حل سیستم های نامساوی روی خط اعداد. حل نابرابری ها در مورد چگونگی حل نابرابری ها موجود است

برنامه حل خطی، درجه دوم و نابرابری های کسرینه تنها پاسخ مشکل را می دهد، بلکه منجر می شود راه حل دقیقبا توضیحات، یعنی. فرآیند حل را برای آزمایش دانش در ریاضیات و/یا جبر نمایش می دهد.

علاوه بر این، اگر در فرآیند حل یکی از نابرابری ها، به عنوان مثال، یک معادله درجه دوم حل شود، حل دقیق آن نیز نمایش داده می شود (در یک اسپویلر موجود است).

این برنامه ممکن است برای دانش آموزان دبیرستانی در آماده سازی مفید باشد تست ها، به والدین برای نظارت بر راه حل های فرزندان خود برای نابرابری ها.

این برنامه ممکن است برای دانش آموزان دبیرستانی مفید باشد مدارس متوسطهدر آماده سازی برای آزمون ها و امتحانات، هنگام آزمایش دانش قبل از آزمون دولتی واحد، برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید آن را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟ مشق شبدر ریاضیات یا جبر؟ در این صورت می توانید از برنامه های ما با راه حل های دقیق نیز استفاده کنید.

به این ترتیب می توانید آموزش و/یا آموزش خود را انجام دهید. برادران کوچکتریا خواهران، در حالی که سطح تحصیلات در زمینه مشکلات در حال حل افزایش می یابد.

قوانین ورود به نابرابری ها

هر حرف لاتین می تواند به عنوان یک متغیر عمل کند.
به عنوان مثال: \(x، y، z، a، b، c، o، p، q\) و غیره.

اعداد را می توان به صورت اعداد کامل یا کسری وارد کرد.
علاوه بر این، اعداد کسریرا می توان نه تنها به عنوان اعشار، بلکه به عنوان یک کسر معمولی وارد کرد.

قوانین وارد کردن کسرهای اعشاری
در کسرهای اعشاری، قسمت کسری را می توان با نقطه یا کاما از کل قسمت جدا کرد.
برای مثال می توانید وارد شوید اعداد اعشاریمانند این: 2.5x - 3.5x^2

قوانین وارد کردن کسرهای معمولی
فقط یک عدد کامل می تواند به عنوان صورت، مخرج و جزء صحیح یک کسر عمل کند.

مخرج نمی تواند منفی باشد.

هنگام وارد کردن کسر عددی، صورت با یک علامت تقسیم از مخرج جدا می شود: /
کل قسمت با علامت آمپرسند از کسر جدا می شود: &
ورودی: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
نتیجه: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

هنگام وارد کردن عبارات می توانید از پرانتز استفاده کنید. در این حالت، هنگام حل نابرابری ها، ابتدا عبارات ساده می شوند.
مثلا: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0.6(a-2)(a+3)

علامت نامساوی مورد نظر را انتخاب کرده و چند جمله ای ها را در فیلدهای زیر وارد کنید.

مشخص شد که برخی از اسکریپت های لازم برای حل این مشکل بارگیری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
ممکن است AdBlock را فعال کرده باشید.
در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را Refresh کنید.

زیرا افراد زیادی مایل به حل مشکل هستند، درخواست شما در صف قرار گرفته است.
پس از چند ثانیه راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا صبر کنید ثانیه...

اگر شما متوجه خطا در راه حل شد، سپس می توانید در این مورد در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکن مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید چه چیزی در فیلدها وارد کنید.

بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری

سیستم های نابرابری با یک مجهول. فواصل عددی

شما در کلاس هفتم با مفهوم سیستم آشنا شدید و حل سیستم معادلات خطی با دو مجهول را یاد گرفتید. در ادامه سیستم ها را در نظر خواهیم گرفت نابرابری های خطیبا یک ناشناخته مجموعه‌ای از راه‌حل‌های سیستم‌های نابرابری را می‌توان با استفاده از بازه‌ها (بازه‌ها، نیمه بازه‌ها، بخش‌ها، پرتوها) نوشت. همچنین با علامت گذاری فواصل اعداد آشنا خواهید شد.

اگر در نامعادله‌های \(4x > 2000\) و \(5x \leq 4000\) عدد مجهول x یکسان باشد، این نامعادله‌ها با هم در نظر گرفته می‌شوند و گفته می‌شود که سیستمی از نابرابری‌ها را تشکیل می‌دهند: $$ \left\ (\begin(array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right. $$

براکت فرفری نشان می دهد که شما باید مقادیر x را پیدا کنید که هر دو نابرابری سیستم به نابرابری های عددی صحیح تبدیل شوند. این سیستم نمونه ای از سیستم نابرابری های خطی با یک مجهول است.

راه حل یک سیستم نابرابری با یک مجهول، مقدار مجهول است که در آن تمام نامساوی های سیستم به نامعادله های عددی واقعی تبدیل می شوند. حل یک سیستم نابرابری به معنای یافتن همه راه‌حل‌های این سیستم یا ایجاد عدم وجود راه‌حل است.

نابرابری های \(x \geq -2 \) و \(x \leq 3 \) را می توان به صورت یک نامعادله مضاعف نوشت: \(-2 \leq x \leq 3 \).

راه حل های سیستم های نامساوی با یک مجهول مجموعه های عددی مختلفی هستند. این مجموعه ها نام دارند. بنابراین، در محور اعداد، مجموعه اعداد x به طوری که \(-2 \leq x \leq 3 \) با یک پاره با انتهای آن در نقاط -2 و 3 نشان داده می شود.

اگر \(a یک قطعه باشد و با [a; b نشان داده شود]

اگر \(a یک بازه باشد و با (a; b) نشان داده شود.

مجموعه‌ای از اعداد \(x\) که نابرابری‌های \(a \leq x نیمه بازه‌ای هستند و به ترتیب [a; b) و (a; b) نشان داده می‌شوند.

قطعات، فواصل، نیمه بازه ها و پرتوها نامیده می شوند فواصل عددی.

بنابراین، فواصل عددی را می توان به صورت نامساوی مشخص کرد.

راه حل یک نامعادله در دو مجهول یک جفت اعداد (x; y) است که نامعادله داده شده را به یک نامعادله عددی واقعی تبدیل می کند. حل یک نابرابری به معنای یافتن مجموعه تمام راه حل های آن است. بنابراین، راه حل های نابرابری x > y، برای مثال، جفت اعداد (5; 3)، (-1; -1) خواهند بود، زیرا \(5 \geq 3 \) و \(-1 \geq - 1\)

حل سیستم های نابرابری

شما قبلاً یاد گرفته اید که چگونه نابرابری های خطی را با یک مجهول حل کنید. آیا می دانید سیستم نابرابری و راه حلی برای سیستم چیست؟ بنابراین، فرآیند حل سیستم های نابرابری با یک مجهول هیچ مشکلی برای شما ایجاد نخواهد کرد.

و با این حال، به شما یادآوری می کنیم: برای حل یک سیستم نابرابری، باید هر نابرابری را جداگانه حل کنید و سپس محل تلاقی این راه حل ها را پیدا کنید.

به عنوان مثال، سیستم اصلی نابرابری ها به شکل زیر کاهش یافت:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

برای حل این سیستم نامساوی، جواب هر نامعادله را روی خط اعداد علامت بزنید و محل تقاطع آنها را پیدا کنید:

تقاطع قطعه [-2; 3] - این راه حل برای سیستم اصلی نابرابری ها است.

این مقاله اطلاعات اولیه در مورد سیستم های نابرابری ارائه می دهد. در اینجا یک تعریف از یک سیستم نابرابری و یک تعریف از یک راه حل برای یک سیستم نابرابری ارائه شده است. انواع اصلی سیستم هایی که اغلب باید در درس های جبر در مدرسه با آنها کار کرد نیز فهرست شده اند و مثال هایی آورده شده است.

پیمایش صفحه.

سیستم نابرابری چیست؟

راحت است که سیستم های نابرابری ها را به همان روشی که تعریف سیستم معادلات را معرفی کردیم، یعنی با نوع نماد و معنای تعبیه شده در آن، تعریف کنیم.

تعریف.

سیستم نابرابری هارکوردی است که تعداد معینی از نابرابری‌ها را نشان می‌دهد که یکی زیر دیگری نوشته شده‌اند، که در سمت چپ توسط یک مهاربند جمع شده‌اند، و مجموعه‌ای از همه راه‌حل‌ها را نشان می‌دهد که به طور همزمان راه‌حل هر نابرابری از سیستم هستند.

اجازه دهید مثالی از یک سیستم نابرابری ارائه دهیم. بیایید دو مورد دلخواه را در نظر بگیریم، برای مثال، 2 x−3>0 و 5−x≥4 x−11، آنها را یکی زیر دیگری بنویسیم.
2 x-3> 0،
5-x≥4 x-11
و با یک علامت سیستم - یک بریس فرفری متحد شوید، در نتیجه یک سیستم نابرابری به شکل زیر به دست می آوریم:

ایده مشابهی در مورد سیستم های نابرابری در کتاب های درسی مدرسه ارائه شده است. شایان ذکر است که تعاریف آنها به صورت محدودتر ارائه شده است: برای نابرابری با یک متغیر یا با دو متغیر

انواع اصلی سیستم های نابرابری

واضح است که می توان تعداد بی نهایت زیادی را سرودن سیستم های مختلفنابرابری ها برای اینکه در این تنوع گم نشوید، توصیه می شود آنها را در گروه هایی در نظر بگیرید که خود را دارند امکانات. تمام سیستم های نابرابری را می توان بر اساس معیارهای زیر به گروه هایی تقسیم کرد:

• با تعداد نابرابری های سیستم؛
• با تعداد متغیرهای درگیر در ضبط؛
• بر اساس نوع خود نابرابری ها

بر اساس تعداد نابرابری های موجود در رکورد، سیستم های دو، سه، چهار و غیره متمایز می شوند. نابرابری ها در پاراگراف قبل مثالی از یک سیستم آوردیم که سیستمی متشکل از دو نابرابری است. اجازه دهید مثال دیگری از یک سیستم چهار نابرابری را نشان دهیم .

به طور جداگانه، خواهیم گفت که هیچ فایده ای ندارد که در مورد سیستم یک نابرابری صحبت کنیم، در این مورد، اساسا ما در مورددر مورد خود نابرابری، نه در مورد سیستم.

اگر به تعداد متغیرها نگاه کنید، سیستم های نابرابری با یک، دو، سه و غیره وجود دارد. متغیرها (یا همانطور که می گویند مجهولات). به آخرین سیستم نابرابری که در دو پاراگراف بالا نوشته شده است نگاه کنید. این یک سیستم با سه متغیر x، y و z است. لطفاً توجه داشته باشید که دو نابرابری اول او شامل هر سه متغیر نیست، بلکه فقط یکی از آنها را شامل می شود. در چارچوب این سیستم، آنها را باید به عنوان نابرابری با سه درک کرد متغیرهای فرم x+0·y+0·z≥-2 و 0·x+y+0·z≤5 به ترتیب. توجه داشته باشید که مدرسه بر روی نابرابری ها با یک متغیر تمرکز می کند.

باقی مانده است که در مورد چه نوع نابرابری هایی در سیستم های ضبط دخیل هستند بحث کنیم. در مدرسه، آنها عمدتاً سیستم های دو نابرابری (کمتر - سه، حتی کمتر - چهار یا بیشتر) را با یک یا دو متغیر در نظر می گیرند و خود نابرابری ها معمولاً کل نابرابری هادرجه اول یا دوم (کمتر - بیشتر درجات بالایا به صورت کسری عقلانی). اما تعجب نکنید اگر در مواد آماده سازی خود برای آزمون یکپارچه دولتی با سیستم هایی از نابرابری های حاوی نابرابری های غیر منطقی، لگاریتمی، نمایی و غیره مواجه شدید. به عنوان مثال، ما سیستم نابرابری ها را ارائه می دهیم ، برگرفته از .

راه حل سیستم نابرابری چیست؟

اجازه دهید تعریف دیگری را در رابطه با سیستم های نابرابری ها معرفی کنیم - تعریف راه حل برای سیستم نابرابری ها:

تعریف.

حل یک سیستم نابرابری با یک متغیربه چنین مقداری از متغیری گفته می شود که هر یک از نابرابری های سیستم را به درست تبدیل می کند، به عبارت دیگر راه حلی برای هر نابرابری سیستم است.

با یک مثال توضیح می دهیم. بیایید یک سیستم دو نامساوی با یک متغیر را در نظر بگیریم. بیایید مقدار متغیر x را برابر با 8 در نظر بگیریم، این یک راه حل برای سیستم نابرابری های ما است، زیرا جایگزینی آن با نامعادله های سیستم، دو نامعادله عددی صحیح 8>7 و 2-3·8≤0 را به دست می دهد. برعکس، وحدت راه حلی برای سیستم نیست، زیرا زمانی که آن را جایگزین متغیر x می کنیم، اولین نامعادله به نامعادله عددی نادرست 1>7 تبدیل می شود.

به همین ترتیب، ما می‌توانیم تعریف راه‌حل برای سیستم نابرابری‌ها را با دو، سه و معرفی کنیم تعداد زیادیمتغیرها:

تعریف.

حل یک سیستم نابرابری با دو، سه و غیره متغیرهایک جفت، سه و غیره نامیده می شود. مقادیر این متغیرها که در عین حال راه حلی برای هر نابرابری سیستم است، یعنی هر نابرابری سیستم را به یک نابرابری عددی صحیح تبدیل می کند.

به عنوان مثال، یک جفت مقادیر x=1، y=2 یا در نماد دیگری (1، 2) راه حلی برای یک سیستم نابرابری با دو متغیر است، زیرا 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

سیستم های نامساوی ممکن است هیچ راه حلی نداشته باشند، ممکن است تعداد راه حل های محدودی داشته باشند، یا ممکن است تعداد راه حل های نامتناهی داشته باشند. مردم اغلب در مورد مجموعه ای از راه حل ها برای یک سیستم نابرابری صحبت می کنند. وقتی یک سیستم راه حلی ندارد، مجموعه ای از راه حل های آن خالی است. هنگامی که تعداد راه حل های محدود وجود دارد، مجموعه راه حل ها شامل تعداد محدودی از عناصر است و زمانی که راه حل ها بی نهایت باشد، مجموعه راه حل ها از تعداد نامتناهی عنصر تشکیل شده است.

برخی منابع تعاریفی از راه‌حل خاص و کلی برای سیستم نابرابری‌ها ارائه می‌کنند، مثلاً در کتاب‌های موردکوویچ. زیر راه حل خصوصی سیستم نابرابری هاتنها تصمیم او را درک کنید در نوبتش راه حل کلی برای سیستم نابرابری ها- اینها همه تصمیمات خصوصی او هستند. با این حال، این اصطلاحات تنها زمانی معنا پیدا می کنند که لازم باشد به طور خاص تأکید کنیم که در مورد چه نوع راه حلی صحبت می کنیم، اما معمولاً این از قبل از متن واضح است، بنابراین اغلب آنها به سادگی می گویند "راه حلی برای یک سیستم نابرابری".

از تعاریف سیستم نابرابری ها و راه حل های آن که در این مقاله معرفی شد، چنین بر می آید که راه حل یک سیستم نابرابری، محل تلاقی مجموعه راه حل های تمام نابرابری های این سیستم است.

کتابشناسی - فهرست کتب.

1. جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-019243-9.
2. جبر:پایه نهم: آموزشی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2009. - 271 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-021134-5.
3. موردکوویچ A.G.جبر. کلاس نهم. ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزشی/ A. G. Mordkovich، P. V. Semenov. - چاپ سیزدهم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. شابک 978-5-346-01752-3.
4. موردکوویچ A.G.جبر و شروع تحلیل ریاضی. درجه 11. در 2 ساعت. قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی (سطح مشخصات) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - چاپ دوم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. شابک 978-5-346-01027-2.
5. آزمون یکپارچه دولتی-2013. ریاضیات: گزینه های امتحان استاندارد: 30 گزینه / ویرایش. A. L. Semenova، I. V. Yashchenko. - م.: انتشارات آموزش ملی، 1391. - 192 ص. – (USE-2013. FIPI - مدرسه).

راه حل نابرابریدر حالت برخط راه حلتقریباً هر نابرابری معین برخط. ریاضی نابرابری های آنلاینبرای حل ریاضی سریع پیدا کنید راه حل نابرابریدر حالت برخط. وب سایت www.site به شما امکان می دهد که پیدا کنید راه حلتقریبا هر داده شده جبری, مثلثاتییا نابرابری ماورایی آنلاین. هنگام مطالعه تقریباً هر شاخه ای از ریاضیات در مراحل مختلف، باید تصمیم بگیرید نابرابری های آنلاین. برای دریافت فوری پاسخ، و مهمتر از همه یک پاسخ دقیق، به منبعی نیاز دارید که به شما امکان انجام این کار را بدهد. با تشکر از سایت www.site حل نابرابری آنلاینچند دقیقه طول خواهد کشید. مزیت اصلی www.site هنگام حل ریاضی نابرابری های آنلاین- این سرعت و دقت پاسخ ارائه شده است. سایت قادر به حل هر کدام است نابرابری های جبری آنلاین, نابرابری های مثلثاتی آنلاین, نابرابری های ماورایی آنلاین، و نابرابری هابا پارامترهای ناشناخته در حالت برخط. نابرابری هابه عنوان یک دستگاه ریاضی قدرتمند عمل می کند راه حل هامشکلات عملی با کمک نابرابری های ریاضیمی توان حقایق و روابطی را بیان کرد که ممکن است در نگاه اول گیج کننده و پیچیده به نظر برسند. مقادیر نامعلوم نابرابری هارا می توان با فرمول بندی مسئله در یافت ریاضیزبان در فرم نابرابری هاو تصميم گرفتنوظیفه را در حالت دریافت کرد برخطدر وب سایت www.site هر نابرابری جبری, نابرابری مثلثاتییا نابرابری هاحاوی ماوراییویژگی هایی که به راحتی می توانید تصميم گرفتنآنلاین و پاسخ دقیق را دریافت کنید. هنگام تحصیل علوم طبیعی به ناچار با نیاز مواجه می شوید راه حل هایی برای نابرابری ها. در این صورت پاسخ باید دقیق باشد و بلافاصله در حالت به دست آید برخط. بنابراین برای حل نابرابری های ریاضی به صورت آنلاینما سایت www.site را توصیه می کنیم که به ماشین حساب ضروری شما تبدیل می شود حل نابرابری های جبری آنلاین, نابرابری های مثلثاتی آنلاین، و نابرابری های ماورایی آنلاینیا نابرابری هابا پارامترهای ناشناخته برای مشکلات عملی یافتن راه حل های آنلاین برای انواع مختلف نابرابری های ریاضیمنبع www.. حل نابرابری های آنلاینخودتان، بررسی پاسخ دریافتی با استفاده از آن مفید است راه حل آنلاین نابرابری هادر وب سایت www.site شما باید نابرابری را به درستی بنویسید و فوراً دریافت کنید راه حل آنلاین، پس از آن تنها چیزی که باقی می ماند این است که پاسخ را با راه حل خود برای نابرابری مقایسه کنید. بررسی پاسخ بیش از یک دقیقه طول نمی کشد، کافی است حل نابرابری آنلاینو جواب ها را با هم مقایسه کنید این به شما کمک می کند تا از اشتباهات خود جلوگیری کنید تصمیم گیریو پاسخ را در زمانی که حل نابرابری ها به صورت آنلاینیا جبری, مثلثاتی, ماورایییا نابرابریبا پارامترهای ناشناخته

در مقاله ای که در نظر خواهیم گرفت حل نابرابری ها. ما به شما به وضوح در مورد چگونه برای نابرابری ها راه حل بسازیم، با مثال های واضح!

قبل از اینکه به حل نابرابری ها با استفاده از مثال نگاه کنیم، بیایید مفاهیم اساسی را درک کنیم.

اطلاعات کلی در مورد نابرابری ها

نابرابریعبارتی است که در آن توابع با علائم رابطه >، . نابرابری ها می توانند هم عددی و هم حرفی باشند.
نابرابری های دارای دو علامت نسبت را دو، سه - سه و غیره می نامند. مثلا:
a(x) > b(x)،
a(x) a(x) b(x)،
a(x) b(x).
a(x) نابرابری های حاوی علامت > یا یا - سختگیر نیستند.
حل نابرابریهر مقدار از متغیری است که این نابرابری برای آن صادق خواهد بود.
"حل نابرابری"به این معنی است که ما باید مجموعه ای از راه حل های آن را پیدا کنیم. متفاوت است روش های حل نابرابری ها. برای راه حل های نابرابریآنها از خط عددی استفاده می کنند که بی نهایت است. مثلا، راه حل برای نابرابری x > 3 بازه 3 تا + است و عدد 3 در این بازه گنجانده نشده است، بنابراین نقطه روی خط با یک دایره خالی نشان داده می شود، زیرا نابرابری سخت است
+
پاسخ این خواهد بود: x (3; +).
مقدار x=3 در مجموعه راه حل گنجانده نشده است، بنابراین پرانتز گرد است. علامت بی نهایت همیشه با یک پرانتز برجسته می شود. علامت به معنای "تعلق" است.
بیایید نحوه حل نابرابری ها را با استفاده از مثال دیگری با علامت بررسی کنیم:
x 2
-+
مقدار x=2 در مجموعه راه حل ها گنجانده شده است، بنابراین براکت مربع است و نقطه روی خط با یک دایره پر نشان داده می شود.
پاسخ این خواهد بود: x.

4. سیستم را حل کنید

نابرابری دوم سیستم از کجا می تواند ناشی شود؟ به عنوان مثال، از نابرابری

اجازه دهید به صورت گرافیکی راه حل های هر نابرابری را مشخص کنیم و فاصله تقاطع آنها را پیدا کنیم.

بنابراین، اگر سیستمی داشته باشیم که در آن یکی از نابرابری ها هر مقدار x را برآورده کند، می توان آن را حذف کرد.

پاسخ: سیستم متناقض است.

ما مسائل پشتیبانی معمولی را بررسی کردیم که راه‌حل هر سیستم خطی نابرابری‌ها را می‌توان کاهش داد.

سیستم زیر را در نظر بگیرید.

7.

گاهی اوقات یک سیستم خطی با یک نابرابری مضاعف داده می شود؛ این مورد را در نظر بگیرید.

8.

ما به سیستم‌های نابرابری‌های خطی نگاه کردیم، متوجه شدیم که آنها از کجا آمده‌اند، به سیستم‌های استانداردی نگاه کردیم که همه به آن‌ها می‌رسند سیستم های خطی، و برخی از آنها را حل کرد.

1. موردکوویچ A.G. و دیگران جبر پایه نهم: کتاب درسی. برای آموزش عمومی مؤسسات.- ویرایش چهارم. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

2. موردکوویچ A.G. و دیگران جبر کلاس نهم: کتاب مسئله برای دانش آموزان مؤسسات آموزش عمومی / A. G. Mordkovich، T. N. Mishustina، و غیره - ویرایش 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. Makarychev Yu. N. جبر. پایه نهم: آموزشی. برای دانش آموزان آموزش عمومی مؤسسات / Yu. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، I. E. Feoktistov. - ویرایش هفتم، برگردان و اضافی - M.: Mnemosyne، 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. جبر. کلاس نهم. ویرایش شانزدهم - م.، 2011. - 287 ص.

5. موردکوویچ A. G. جبر. کلاس نهم. در 2 ساعت. قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - چاپ دوازدهم، پاک شد. - م.: 2010. - 224 ص: بیمار.

6. جبر. کلاس نهم. در 2 قسمت. قسمت 2. کتاب مسئله برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی / A. G. Mordkovich، L. A. Aleksandrova، T. N. Mishustina و دیگران؛ اد. A. G. Mordkovich. - چاپ دوازدهم، برگردان - م.: 2010.-223 ص: بیمار.

1. پورتال علوم طبیعی ().

2. مجتمع آموزشی و روشی الکترونیکی برای آماده سازی پایه های 10-11 برای کنکور در رشته های علوم کامپیوتر، ریاضی، زبان روسی ().

4. مرکز آموزش "تکنولوژی آموزش" ().

5. بخش College.ru در ریاضیات ().

1. موردکوویچ A.G. و دیگران جبر کلاس نهم: کتاب مسئله برای دانش آموزان مؤسسات آموزش عمومی / A. G. Mordkovich، T. N. Mishustina، و غیره - ویرایش 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. شماره 53; 54; 56; 57.