درجه کاهش مدار هورنر معادلات در ریاضیات عالی ریشه های گویا چند جمله ای ها. طرح هورنر

و غیره. ماهیت آموزشی عمومی دارد و دارد پراهمیتبرای مطالعه کل دوره ریاضیات بالاتر. امروز ما معادلات "مدرسه ای" را تکرار خواهیم کرد، اما نه فقط معادلات "مدرسه ای" - بلکه آنهایی که در همه جا در مسائل مختلف ویشمت یافت می شوند. طبق معمول، داستان به صورت کاربردی بیان می شود، یعنی. من روی تعاریف و طبقه بندی ها تمرکز نمی کنم، اما دقیقاً با شما در میان می گذارم تجربه شخصیراه حل ها اطلاعات در درجه اول برای مبتدیان در نظر گرفته شده است، اما خوانندگان پیشرفته تر نیز چیزهای زیادی برای خود پیدا خواهند کرد. لحظات جالب. و البته وجود خواهد داشت مواد جدید، فراتر رفتن دبیرستان.

پس معادله…. خیلی ها این کلمه را با لرز به یاد می آورند. معادلات "پیچیده" با ریشه چه ارزشی دارند... آنها را فراموش کنید! زیرا در این صورت با بی ضررترین "نمایندگان" این گونه روبرو خواهید شد. یا خسته کننده معادلات مثلثاتیبا ده ها روش حل راستش من خودم خیلی دوستشون نداشتم... وحشت نکنید! - سپس بیشتر "قاصدک ها" با یک راه حل واضح در 1-2 مرحله در انتظار شما هستند. اگرچه "باباآدم" مطمئناً می چسبد، اما در اینجا باید عینی باشید.

به اندازه کافی عجیب، در ریاضیات عالی، برخورد با معادلات بسیار ابتدایی مانند خطیمعادلات

حل این معادله به چه معناست؟ این به معنای یافتن چنین مقداری از "x" (ریشه) است که آن را به یک برابری واقعی تبدیل می کند. بیایید "سه" را با تغییر علامت به سمت راست پرتاب کنیم:

و "دو" را به سمت راست رها کنید (یا همان چیز - هر دو طرف را در ضرب کنید) :

برای بررسی، بیایید تروفی برنده شده را با معادله اصلی جایگزین کنیم:

برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که مقدار یافت شده در واقع ریشه این معادله است. یا همانطور که می گویند این معادله را برآورده می کند.

لطفا توجه داشته باشید که ریشه را می توان به صورت هم نوشت اعشاری:
و سعی کنید به این سبک بد پایبند نباشید! من دلیل را بیش از یک بار تکرار کردم، به ویژه در همان درس اول جبر بالاتر.

به هر حال، معادله را می توان "به زبان عربی" نیز حل کرد:

و جالبتر اینکه این ضبط کاملا قانونی است! اما اگر معلم نیستید، پس بهتر است این کار را نکنید، زیرا اصالت در اینجا مجازات می شود =)

و حالا کمی در مورد

روش حل گرافیکی

معادله شکل دارد و ریشه آن است مختصات "X". نقاط تقاطع نمودار تابع خطیبا برنامه تابع خطی (محور x):

به نظر می رسد که مثال آنقدر ابتدایی است که در اینجا چیز دیگری برای تجزیه و تحلیل وجود ندارد، اما می توان یک تفاوت غیرمنتظره دیگر را از آن "فشرده" کرد: بیایید همان معادله را در شکل ارائه کنیم و نمودارهای توابع را بسازیم:

که در آن، لطفا این دو مفهوم را با هم اشتباه نگیرید: یک معادله یک معادله است و تابع- این یک تابع است! کارکرد فقط کمکریشه های معادله را پیدا کنید که ممکن است دو، سه، چهار یا حتی بی نهایت زیاد باشد. نزدیکترین مثال در این معنا همان معروف است معادله درجه دوم ، الگوریتم راه حلی که برای آن پاراگراف جداگانه ای دریافت کرد فرمول های مدرسه "گرم".. و این تصادفی نیست! اگر می توانید یک معادله درجه دوم را حل کنید و بدانید قضیه فیثاغورسپس شاید بتوان گفت: "نیمی از ریاضیات بالاتر از قبل در جیب شماست" =) البته اغراق آمیز، اما نه چندان دور از واقعیت!

بنابراین، بیایید تنبل نباشیم و معادله درجه دوم را با استفاده از آن حل کنیم الگوریتم استاندارد:

، یعنی معادله دو متفاوت دارد معتبرریشه:

به راحتی می توان تأیید کرد که هر دو مقدار یافت شده در واقع این معادله را برآورده می کنند:

اگر به طور ناگهانی الگوریتم حل را فراموش کردید و هیچ وسیله یا دست کمکی در دسترس نیست، چه باید کرد؟ این وضعیت ممکن است، برای مثال، در طول یک آزمون یا امتحان ایجاد شود. ما از روش گرافیکی استفاده می کنیم! و دو راه وجود دارد: شما می توانید نقطه به نقطه بسازیدسهمی ، به این ترتیب متوجه می شود که کجا محور را قطع می کند (اگر اصلاً عبور کند). اما بهتر است کاری حیله گرتر انجام دهید: معادله را به شکل تصور کنید، نمودارهایی از توابع ساده تر بکشید - و مختصات "X".نقاط تقاطع آنها به وضوح قابل مشاهده است!


اگر معلوم شد که خط مستقیم سهمی را لمس می کند، آنگاه معادله دارای دو ریشه منطبق (چندین) است. اگر معلوم شد که خط مستقیم سهمی را قطع نمی کند، پس هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

برای این کار البته باید بتوانید بسازید نمودارهای توابع ابتدایی، اما از طرف دیگر حتی یک دانش آموز هم می تواند این مهارت ها را انجام دهد.

و دوباره - یک معادله یک معادله است، و توابع، توابعی هستند که فقط کمک کردمعادله را حل کن!

و در اینجا، اتفاقا، مناسب است یک چیز دیگر را به خاطر بسپاریم: اگر تمام ضرایب یک معادله در یک عدد غیر صفر ضرب شوند، ریشه آن تغییر نمی کند..

بنابراین، برای مثال، معادله همین ریشه ها را دارد به عنوان یک "اثبات" ساده، ثابت را از پرانتز خارج می کنم:
و بدون درد آن را حذف خواهم کرد (هر دو قسمت را بر «منهای دو» تقسیم می کنم):

ولی!اگر تابع را در نظر بگیریم ، پس شما نمی توانید در اینجا از شر ثابت خلاص شوید! فقط خارج کردن ضریب از داخل پرانتز مجاز است: .

بسیاری از مردم روش حل گرافیکی را دست کم می گیرند و آن را چیزی "بی وقار" می دانند و برخی حتی این امکان را کاملاً فراموش می کنند. و این اساساً اشتباه است، زیرا ترسیم نمودارها گاهی اوقات فقط وضعیت را نجات می دهد!

مثال دیگر: فرض کنید ریشه های ساده ترین معادله مثلثاتی را به خاطر نمی آورید: . فرمول کلی در کتاب های درسی مدرسه، در تمام کتاب های مرجع ریاضی ابتدایی وجود دارد، اما در دسترس شما نیست. با این حال، حل معادله حیاتی است (معروف به "دو"). یک خروجی وجود دارد! - ساخت نمودار توابع:


پس از آن ما با آرامش مختصات "X" نقاط تقاطع آنها را می نویسیم:

ریشه های بی نهایت زیادی وجود دارد و در جبر نماد فشرده آنها پذیرفته می شود:
، جایی که ( – مجموعه ای از اعداد صحیح) .

و بدون "رفتن" چند کلمه در مورد روش گرافیکی برای حل نابرابری ها با یک متغیر. اصل همین است. بنابراین، برای مثال، راه حل نابرابری هر "x" است، زیرا سینوسی تقریباً به طور کامل زیر خط مستقیم قرار دارد. راه حل نابرابری مجموعه فواصلی است که در آن قطعات سینوسی دقیقاً بالای خط مستقیم قرار دارند. (محور x):

یا به طور خلاصه:

اما در اینجا راه حل های بسیاری برای نابرابری وجود دارد: خالی، زیرا هیچ نقطه ای از سینوسی بالای خط مستقیم قرار ندارد.

چیزی هست که نفهمید؟ دروس در مورد مجموعه هاو نمودارهای تابع!

بیایید خود را گرم کنیم:

تمرین 1

معادلات مثلثاتی زیر را به صورت گرافیکی حل کنید:

پاسخ در پایان درس

همانطور که می بینید برای مطالعه علوم دقیق اصلاً نیازی به جمع کردن فرمول ها و کتاب های مرجع نیست! علاوه بر این، این یک رویکرد اساساً ناقص است.

همانطور که قبلاً در همان ابتدای درس به شما اطمینان دادم، معادلات مثلثاتی پیچیده در یک دوره استاندارد ریاضیات عالی به ندرت باید حل شوند. همه پیچیدگی ها معمولاً با معادلاتی مانند ختم می شود که راه حل آن دو گروه ریشه است که از ساده ترین معادلات و . در مورد حل دومی زیاد نگران نباشید - در یک کتاب جستجو کنید یا آن را در اینترنت پیدا کنید =)

روش حل گرافیکی نیز می تواند در موارد کمتر بی اهمیت کمک کند. برای مثال، معادله ی زیر را در نظر بگیرید:

چشم انداز حل آن به نظر می رسد ... اصلاً شبیه چیزی نیست، اما فقط باید معادله را به شکل تصور کنید، بسازید نمودارهای تابعو همه چیز فوق العاده ساده خواهد بود. یک نقاشی در وسط مقاله در مورد وجود دارد توابع بی نهایت کوچک (در تب بعدی باز می شود).

یکسان روش گرافیکیمی توانید دریابید که معادله قبلاً دو ریشه دارد و یکی از آنها برابر با صفرو دیگری ظاهراً غیر منطقیو متعلق به بخش است. این ریشه را می توان تقریباً محاسبه کرد، برای مثال، روش مماس. به هر حال، در برخی از مشکلات، این اتفاق می افتد که شما نیازی به یافتن ریشه ها ندارید، بلکه متوجه می شوید آیا آنها اصلا وجود دارند؟. و در اینجا نیز یک نقاشی می تواند کمک کند - اگر نمودارها قطع نشوند، ریشه ای وجود ندارد.

ریشه های گویا چند جمله ای ها با ضرایب صحیح.
طرح هورنر

و اکنون از شما دعوت می کنم که نگاه خود را به قرون وسطی معطوف کنید و فضای بی نظیر جبر کلاسیک را احساس کنید. برای درک بهتر مطالب توصیه می کنم حداقل کمی مطالعه کنید اعداد مختلط.

آنها بهترین هستند. چند جمله ای ها.

موضوع مورد علاقه ما رایج ترین چند جمله ای های فرم با خواهد بود کلضرایب عدد طبیعیتماس گرفت درجه چند جمله ای، عدد – ضریب بالاترین درجه (یا فقط بالاترین ضریب)، و ضریب آن است عضو رایگان.

من به طور خلاصه این چند جمله ای را با .

ریشه های یک چند جمله ایریشه های معادله را صدا بزنید

من عاشق منطق آهن هستم =)

برای مثال، به ابتدای مقاله بروید:

هیچ مشکلی برای یافتن ریشه های چندجمله ای های درجه 1 و 2 وجود ندارد، اما هرچه افزایش می دهید این کار دشوارتر و دشوارتر می شود. اگرچه از طرفی همه چیز جالب تر است! و این دقیقاً همان چیزی است که قسمت دوم درس به آن اختصاص خواهد یافت.

اول، به معنای واقعی کلمه، نیمی از صفحه تئوری:

1) با توجه به نتیجه قضیه اساسی جبر، چند جمله ای درجه دقیقاً دارد مجتمعریشه ها برخی از ریشه ها (یا حتی همه) ممکن است خاص باشند معتبر. علاوه بر این، در بین ریشه های واقعی ممکن است ریشه های یکسان (چندین) وجود داشته باشد (حداقل دو تا حداکثر).

اگر تعدادی از اعداد مختلط ریشه یک چند جمله ای باشد، پس مزدوجتعداد آن نیز لزوماً ریشه این چند جمله ای است (ریشه های مرکب مزدوج شکل دارند).

ساده ترین مثالیک معادله درجه دوم است که برای اولین بار در 8 ظاهر شد (پسندیدن)کلاس، و در نهایت در موضوع "تمام" کردیم اعداد مختلط. اجازه دهید یادآوری کنم: یک معادله درجه دوم یا دارای دو ریشه واقعی متفاوت است یا ریشه های متعدد یا ریشه های پیچیده مزدوج.

2) از قضیه بزوتنتیجه این است که اگر یک عدد ریشه یک معادله باشد، می توان چند جمله ای مربوطه را فاکتور گرفت:
، جایی که یک چند جمله ای درجه است.

و باز هم مال ما نمونه قدیمی: از آنجایی که ریشه معادله است، پس . پس از آن دستیابی به گسترش معروف "مدرسه" دشوار نیست.

نتیجه قضیه بزوت ارزش عملی زیادی دارد: اگر ریشه یک معادله درجه 3 را بدانیم، می توانیم آن را به شکل نمایش دهیم. و از معادله درجه دوم به راحتی می توان ریشه های باقی مانده را پیدا کرد. اگر ریشه یک معادله درجه 4 را بدانیم، می توان سمت چپ را به یک محصول و غیره گسترش داد.

و در اینجا دو سوال وجود دارد:

سوال یک. چگونه این ریشه را پیدا کنیم؟ اول از همه، بیایید ماهیت آن را تعریف کنیم: در بسیاری از مسائل ریاضیات عالی باید پیدا کرد گویا، به خصوص کلریشه های چند جمله ای ها، و در این راستا، در ادامه به طور عمده به آنها علاقه مند خواهیم شد. ... آنقدر خوب هستند، آنقدر کرکی، که فقط می خواهید آنها را پیدا کنید! =)

اولین چیزی که به ذهن می رسد روش انتخاب است. به عنوان مثال، معادله را در نظر بگیرید. نکته اینجا در عبارت آزاد است - اگر برابر با صفر بود، همه چیز خوب بود - "x" را از پرانتز خارج می کنیم و خود ریشه ها به سطح می افتند:

اما عبارت آزاد ما برابر با "سه" است و بنابراین ما شروع به جایگزینی اعداد مختلف در معادله ای می کنیم که ادعا می کنند "ریشه" هستند. اول از همه، جایگزینی مقادیر منفرد خود را نشان می دهد. بیایید جایگزین کنیم:

اخذ شده غلطبرابری، بنابراین، واحد «مناسب نبود». خوب، بیایید جایگزین کنیم:

اخذ شده درست است، واقعیبرابری! یعنی مقدار ریشه این معادله است.

برای یافتن ریشه های چند جمله ای درجه 3، یک روش تحلیلی وجود دارد (به اصطلاح فرمول های کاردانو)، اما اکنون ما به یک کار کمی متفاوت علاقه مند هستیم.

از آنجایی که - ریشه چند جمله ای ما است، چند جمله ای را می توان به شکل نشان داد و به وجود می آید سوال دوم: چگونه یک "برادر کوچکتر" پیدا کنیم؟

ساده ترین ملاحظات جبری نشان می دهد که برای انجام این کار باید تقسیم بر . چگونه یک چند جمله ای را بر چند جمله ای تقسیم کنیم؟ همان روش مدرسه ای که اعداد معمولی را تقسیم می کند - "ستون"! در اولین مثال های درس به تفصیل درباره این روش بحث کردم. محدودیت های پیچیده، و اکنون به روش دیگری می پردازیم که نام دارد طرح هورنر.

ابتدا "بالاترین" چند جمله ای را می نویسیم با همه از جمله ضرایب صفر:
، پس از آن این ضرایب را (به ترتیب دقیق) در ردیف بالای جدول وارد می کنیم:

ریشه را در سمت چپ می نویسیم:

من بلافاصله رزرو می کنم که اگر شماره "قرمز" باشد، طرح هورنر نیز کار می کند نهریشه چند جمله ای است. با این حال، بیایید در کارها عجله نکنیم.

ضریب پیشرو را از بالا حذف می کنیم:

فرآیند پر کردن سلول های پایین تا حدودی یادآور گلدوزی است، جایی که "منهای یک" نوعی "سوزن" است که در مراحل بعدی نفوذ می کند. عدد "carried down" را در (-1) ضرب می کنیم و عدد سلول بالایی را به محصول اضافه می کنیم:

مقدار پیدا شده را در "سوزن قرمز" ضرب می کنیم و ضریب معادله زیر را به محصول اضافه می کنیم:

و در نهایت، مقدار حاصل دوباره با "سوزن" و ضریب بالایی "پردازش" می شود:

صفر در آخرین خانه به ما می گوید که چند جمله ای به تقسیم می شود بدون هیچ ردی (همانطور که باید باشد)، در حالی که ضرایب بسط مستقیماً از خط پایین جدول حذف می شوند:

بنابراین، ما از معادله به معادله معادل حرکت کردیم و همه چیز با دو ریشه باقیمانده روشن است. (در این صورت ما ریشه های پیچیده مزدوج می گیریم).

به هر حال، معادله را می توان به صورت گرافیکی نیز حل کرد: نمودار "رعد و برق" و ببینید که نمودار از محور x عبور می کند () در نقطه . یا همان ترفند "حیله گر" - ما معادله را به شکل بازنویسی می کنیم، نمودارهای ابتدایی را ترسیم می کنیم و مختصات "X" نقطه تقاطع آنها را تشخیص می دهیم.

به هر حال، نمودار هر تابع-چند جمله ای درجه 3 حداقل یک بار محور را قطع می کند، یعنی معادله مربوطه حداقلیکی معتبرریشه این حقیقتبرای هر تابع چند جمله ای با درجه فرد معتبر است.

و در اینجا من نیز می خواهم در این مورد صحبت کنم نکته مهم که به اصطلاحات مربوط می شود: چند جمله ایو تابع چندجمله ای – این یک چیز نیست! اما در عمل اغلب در مورد "نمودار چند جمله ای" صحبت می کنند که البته سهل انگاری است.

با این حال، اجازه دهید به طرح هورنر برگردیم. همانطور که اخیراً اشاره کردم، این طرح برای اعداد دیگر کار می کند، اما اگر عدد نهریشه معادله است، سپس یک جمع غیر صفر (باقیمانده) در فرمول ما ظاهر می شود:

بیایید مقدار "ناموفق" را طبق طرح هورنر "اجرا کنیم". در این مورد، استفاده از همان جدول راحت است - یک "سوزن" جدید در سمت چپ بنویسید، ضریب پیشرو را از بالا حرکت دهید. (فلش سبز سمت چپ)، و ما می رویم:

برای بررسی، بیایید پرانتزها را باز کنیم و اصطلاحات مشابه را ارائه کنیم:
، خوب.

به راحتی می توان فهمید که باقیمانده ("شش") دقیقاً مقدار چند جمله ای در . و در واقع - چگونه است:
و حتی زیباتر - مانند این:

از محاسبات بالا به راحتی می توان فهمید که طرح هورنر نه تنها امکان فاکتور چند جمله ای را فراهم می کند، بلکه می تواند یک انتخاب "متمدن" از ریشه را نیز انجام دهد. من به شما پیشنهاد می کنم الگوریتم محاسبه را خودتان با یک کار کوچک تلفیق کنید:

وظیفه 2

با استفاده از طرح هورنر، ریشه صحیح معادله را بیابید و چند جمله ای مربوطه را فاکتور بگیرید.

به عبارت دیگر، در اینجا باید به ترتیب اعداد 1، -1، 2، -2، ... را بررسی کنید تا زمانی که یک باقیمانده صفر در آخرین ستون "کشیده شود". این بدان معنی است که "سوزن" این خط ریشه چند جمله ای است

مرتب کردن محاسبات در یک جدول راحت است. راه حل دقیقو پاسخ در پایان درس.

روش انتخاب ریشه برای موارد نسبتاً ساده خوب است، اما اگر ضرایب و/یا درجه چندجمله‌ای بزرگ باشد، ممکن است این فرآیند زمان زیادی ببرد. یا شاید مقادیری از همان لیست 1، -1، 2، -2 وجود دارد و فایده ای برای در نظر گرفتن ندارد؟ و علاوه بر این، ریشه ها ممکن است کسری باشند، که منجر به یک ضربه زدن کاملا غیر علمی می شود.

خوشبختانه، دو قضیه قدرتمند وجود دارد که می تواند به طور قابل توجهی جستجو برای مقادیر "نامزد" برای ریشه های عقلانی را کاهش دهد:

قضیه 1در نظر بگیریم غیر قابل کاهشکسری که در آن . اگر عدد ریشه معادله باشد، عبارت آزاد بر تقسیم و ضریب پیشرو بر آن تقسیم می شود.

به خصوص، اگر ضریب پیشرو باشد، این ریشه گویا یک عدد صحیح است:

و ما شروع به بهره برداری از قضیه فقط با این جزئیات خوشمزه می کنیم:

به معادله برگردیم. از آنجایی که ضریب پیشرو آن است، پس ریشه های عقلی فرضی می توانند منحصراً عدد صحیح باشند و عبارت آزاد لزوماً باید بدون باقیمانده به این ریشه ها تقسیم شود. و "سه" را فقط می توان به 1، -1، 3 و -3 تقسیم کرد. یعنی ما فقط 4 "نامزد اصلی" داریم. و با توجه به قضیه 1، دیگر اعداد گویانمی تواند ریشه های این معادله در اصل باشد.

در معادله کمی "مقابله" بیشتر وجود دارد: عبارت آزاد به 1، -1، 2، - 2، 4 و -4 تقسیم می شود.

لطفاً توجه داشته باشید که اعداد 1، -1 "عادی" لیست ریشه های احتمالی هستند (پیامد آشکار قضیه)و بهترین انتخاب برای تست اولویت.

بیایید به مثال های معنادارتر برویم:

مشکل 3

راه حل: از آنجایی که ضریب پیشرو است، پس ریشه های عقلی فرضی فقط می توانند عدد صحیح باشند و لزوما باید مقسوم علیه جمله آزاد باشند. "منهای چهل" به جفت اعداد زیر تقسیم می شود:
- در مجموع 16 "کاندیدا".

و در اینجا بلافاصله یک فکر وسوسه انگیز ظاهر می شود: آیا می توان تمام ریشه های منفی یا مثبت را از بین برد؟ در برخی موارد ممکن است! من دو نشانه را بیان می کنم:

1) اگر همهاگر ضرایب چند جمله ای غیر منفی باشد، نمی تواند ریشه مثبت داشته باشد. متأسفانه، این مورد ما نیست (اکنون، اگر معادله ای به ما داده شود - بله، هنگام جایگزینی هر مقدار چند جمله ای، مقدار چند جمله ای کاملاً مثبت است، به این معنی که همه چیز اعداد مثبت (و غیر منطقی هم)نمی تواند ریشه های معادله باشد.

2) اگر ضرایب برای توان های فرد غیر منفی و برای همه توان های زوج باشد. (از جمله عضو رایگان)منفی هستند، پس چند جمله ای نمی تواند ریشه منفی داشته باشد. این مورد ماست! با نگاهی دقیق تر، می بینید که هنگام جایگزین کردن هر "X" منفی در معادله، سمت چپ به شدت منفی خواهد بود، به این معنی که ریشه های منفی ناپدید می شوند.

بنابراین، 8 عدد برای تحقیق باقی مانده است:

ما آنها را به طور متوالی طبق طرح هورنر "شارژ" می کنیم. امیدوارم قبلاً به محاسبات ذهنی تسلط داشته باشید:

هنگام آزمایش "دو" شانس در انتظار ما بود. بنابراین، ریشه معادله مورد بررسی است، و

باقی مانده است که معادله را مطالعه کنیم . انجام این کار از طریق تفکیک کننده آسان است، اما من با استفاده از همان طرح، یک آزمایش شاخص انجام خواهم داد. ابتدا توجه داشته باشید که عبارت آزاد برابر با 20 است که به این معنی است قضیه 1اعداد 8 و 40 از لیست ریشه های احتمالی خارج می شوند و مقادیر را برای تحقیق باقی می گذارند (یکی طبق طرح هورنر حذف شد).

ضرایب سه جمله ای را در ردیف بالای جدول جدید می نویسیم و ما با همان "دو" شروع به بررسی می کنیم. چرا؟ و چون ریشه ها می توانند مضرب باشند، لطفاً: - این معادله دارای 10 ریشه یکسان است. اما بیایید حواسمان پرت نشود:

و در اینجا البته کمی دروغ گفتم، چون می دانستم ریشه ها عقلانی است. از این گذشته، اگر آنها غیرمنطقی یا پیچیده بودند، با بررسی ناموفق تمام اعداد باقی مانده مواجه می شدم. بنابراین، در عمل، توسط ممیز هدایت شوید.

پاسخ: ریشه های عقلی: 2، 4، 5

ما در مشکلی که تجزیه و تحلیل کردیم خوش شانس بودیم، زیرا: الف) آنها فوراً از بین رفتند مقادیر منفی، و ب) ریشه را خیلی سریع پیدا کردیم (و از نظر تئوری می توانیم کل لیست را بررسی کنیم).

اما در واقعیت وضعیت بسیار بدتر است. شما را به تماشا دعوت می کنم بازی هیجان انگیزبا عنوان "آخرین قهرمان":

مشکل 4

ریشه های منطقی معادله را بیابید

راه حل: توسط قضیه 1شمارندگان ریشه های عقلی فرضی باید شرط را برآورده کنند (می خوانیم «دوازده بر ال تقسیم می شود»)و مخرج ها با شرط مطابقت دارند. بر این اساس، ما دو لیست دریافت می کنیم:

"list el":
و "لیست ام": (خوشبختانه اعداد اینجا طبیعی هستند).

حالا بیایید لیستی از تمام ریشه های ممکن تهیه کنیم. ابتدا لیست el را بر تقسیم می کنیم. کاملاً مشخص است که همان اعداد به دست خواهد آمد. برای راحتی، آنها را در جدول قرار می دهیم:

بسیاری از کسری ها کاهش یافته اند و در نتیجه مقادیری به دست می آیند که قبلاً در "لیست قهرمان" هستند. ما فقط "تازه کارها" را اضافه می کنیم:

به طور مشابه، ما همان "فهرست" را بر اساس تقسیم می کنیم:

و در نهایت در

بنابراین، تیم شرکت کنندگان در بازی ما تکمیل می شود:


متأسفانه، چند جمله‌ای در این مسئله، معیار «مثبت» یا «منفی» را برآورده نمی‌کند و بنابراین نمی‌توانیم ردیف بالا یا پایین را کنار بگذاریم. شما باید با تمام اعداد کار کنید.

چه احساسی دارید؟ بیا، سرت را بلند کن - قضیه دیگری وجود دارد که به طور مجازی می توان آن را "قضیه قاتل" نامید... ... "نامزدها"، البته =)

اما ابتدا باید نمودار هورنر را برای حداقل یک مورد پیمایش کنید تمامشماره. به طور سنتی، بیایید یکی را بگیریم. در خط بالا ضرایب چند جمله ای را می نویسیم و همه چیز طبق معمول است:

از آنجایی که چهار به وضوح صفر نیست، مقدار ریشه چند جمله ای مورد نظر نیست. اما او به ما کمک زیادی خواهد کرد.

قضیه 2اگر برای برخی به طور کلیمقدار چند جمله ای غیر صفر است: و سپس ریشه های گویا آن (اگر آنها هستند)شرط را ارضا کند

در مورد ما و بنابراین همه ریشه های ممکن باید شرایط را برآورده کنند (بیایید آن را شرط شماره 1 بنامیم). این چهار نفر «قاتل» بسیاری از «نامزدها» خواهند بود. به عنوان نمونه، من به چند چک نگاه می کنم:

بیایید "نامزد" را بررسی کنیم. برای انجام این کار، اجازه دهید به طور مصنوعی آن را به شکل کسری نشان دهیم، که از آن به وضوح مشاهده می شود که . بیایید تفاوت آزمون را محاسبه کنیم: . چهار بر «منهای دو» تقسیم می‌شود: به این معنی که ریشه ممکن آزمون را پس داده است.

بیایید مقدار را بررسی کنیم. تفاوت تست اینجاست: . البته، و بنابراین "موضوع" دوم نیز در لیست باقی می ماند.

وب سایت " مدرس حرفه ای ریاضی " ادامه سلسله مقالات روش شناسی در مورد تدریس را ادامه می دهد. من شرح روش های کارم را با پیچیده ترین و مشکل سازترین موضوعات برنامه درسی مدرسه منتشر می کنم. این مطالب برای معلمان و معلمان ریاضی که با دانش آموزان کلاس های 8-11 کار می کنند هم در برنامه عادی و هم در برنامه کلاس های ریاضی مفید خواهد بود.

معلم ریاضی همیشه نمی تواند مطالبی را که در کتاب درسی ضعیف ارائه شده است توضیح دهد. متأسفانه چنین موضوعاتی روز به روز بیشتر می شود و خطاهای ارائه به دنبال نویسندگان کتابچه ها به طور انبوه ایجاد می شود. این نه تنها در مورد معلمان شروع کننده ریاضی و معلمان پاره وقت (معلمین، دانشجویان و معلمان دانشگاه هستند)، بلکه برای معلمان با تجربه، معلمان خصوصی حرفه ای، معلمان با تجربه و مدارک نیز صدق می کند. همه معلمان ریاضی استعداد درست تصحیح لبه های ناهموار کتاب های درسی مدرسه را ندارند. همه همچنین نمی دانند که این اصلاحات (یا اضافات) ضروری هستند. تعداد کمی از کودکان درگیر تطبیق مطالب برای درک کیفی آن توسط کودکان هستند. متأسفانه زمانی گذشته است که معلمان ریاضیات به همراه متدولوژیست ها و نویسندگان نشریات به طور انبوه در مورد هر حرف از کتاب درسی بحث می کردند. پیش از این، قبل از انتشار یک کتاب درسی در مدارس، تحلیل ها و مطالعات جدی در مورد نتایج یادگیری انجام می شد. زمان آماتورهایی فرا رسیده است که تلاش می کنند کتاب های درسی را جهانی کنند و آنها را با استانداردهای کلاس های قوی ریاضیات تنظیم کنند.

رقابت برای افزایش مقدار اطلاعات تنها منجر به کاهش کیفیت جذب آن و در نتیجه کاهش سطح دانش واقعی در ریاضیات می شود. اما هیچ کس به این توجه نمی کند. و فرزندان ما مجبور هستند، قبلاً در کلاس هشتم، آنچه را که ما در مؤسسه مطالعه کردیم، مطالعه کنند: نظریه احتمال، حل معادلات درجه بالا و چیز دیگری. انطباق مطالب موجود در کتابها برای درک کامل کودک چیزهای زیادی را به دنبال دارد و معلم ریاضی مجبور است به نحوی با این موضوع کنار بیاید.

بیایید در مورد روش تدریس چنین موضوع خاصی مانند "تقسیم یک چند جمله ای بر یک چند جمله ای بر یک گوشه" صحبت کنیم که در ریاضیات بزرگسالان به عنوان "قضیه بزوت و طرح هورنر" شناخته می شود. همین چند سال پیش، این سوال برای یک معلم خصوصی ریاضی خیلی مهم نبود، زیرا بخشی از برنامه درسی اصلی مدرسه نبود. اکنون نویسندگان محترم کتاب درسی با ویرایش تلیاکوفسکی تغییراتی در آن ایجاد کرده اند آخرین نسخهبه نظر من بهترین کتاب درسی است و با از بین بردن کامل آن، فقط نگرانی های بی مورد را به معلم اضافه می کند. معلمان مدارس و کلاس هایی که وضعیت ریاضیات را ندارند، با تمرکز بر نوآوری های نویسندگان، اغلب پاراگراف های اضافی را در درس های خود قرار می دهند و کودکان کنجکاو با نگاه کردن به صفحات زیبای کتاب ریاضی خود، به طور فزاینده ای از معلم: «این تقسیم بر یک گوشه چیست؟ آیا قرار است از این مسیر عبور کنیم؟ چگونه یک گوشه را به اشتراک بگذاریم؟ دیگر هیچ پنهانی از چنین سوالات مستقیمی وجود ندارد. مربی باید چیزی به کودک بگوید.

اما به عنوان؟ احتمالاً اگر در کتب درسی به خوبی ارائه می شد، روش کار با موضوع را شرح نمی دادم. همه چیز با ما چگونه پیش می رود؟ کتاب های درسی باید چاپ و فروخته شوند. و برای این کار باید مرتبا به روز شوند. آیا معلمان دانشگاه شکایت دارند که بچه ها با سر خالی و بدون دانش و مهارت به سراغشان می آیند؟ آیا الزامات دانش ریاضی در حال افزایش است؟ عالی! بیایید برخی تمرین ها را حذف کنیم و به جای آن موضوعاتی را که در برنامه های دیگر مطالعه می شود درج کنیم. چرا کتاب درسی ما بدتر است؟ ما چند فصل اضافی را اضافه خواهیم کرد. دانش آموزان قانون تقسیم یک گوشه را نمی دانند؟ این ریاضیات پایه است. این پاراگراف باید اختیاری باشد، با عنوان "برای کسانی که می خواهند بیشتر بدانند." معلمان مخالف آن؟ چرا ما به طور کلی به معلمان اهمیت می دهیم؟ روش شناسان و معلمان مدرسه هم مخالف هستند؟ ما مواد را پیچیده نخواهیم کرد و ساده ترین بخش آن را در نظر خواهیم گرفت.

و از اینجا شروع می شود. سادگی موضوع و کیفیت یکسان سازی آن، قبل از هر چیز در درک منطق آن نهفته است، نه در انجام، طبق دستورات نویسندگان کتاب درسی، مجموعه خاصی از عملیات که به وضوح به یکدیگر مرتبط نیستند. . در غیر این صورت مه در سر دانش آموز خواهد بود. اگر نویسندگان دانش‌آموزان نسبتاً قوی را هدف قرار می‌دهند (اما در یک برنامه معمولی مطالعه می‌کنند)، پس نباید موضوع را در فرم دستوری ارائه کنید. در کتاب درسی چه می بینیم؟ بچه ها باید طبق این قاعده تقسیم بندی کنیم. چند جمله ای زیر زاویه را بدست آورید. بنابراین، چند جمله ای اصلی فاکتورسازی می شود. با این حال، روشن نیست که چرا عبارت‌های زیر گوشه دقیقاً به این ترتیب انتخاب می‌شوند، چرا باید آنها را در چند جمله‌ای بالای گوشه ضرب کرد و سپس از باقیمانده فعلی کم کرد. و مهمتر از همه، مشخص نیست که چرا تک‌جمله‌های انتخاب شده باید در نهایت اضافه شوند و چرا براکت‌های حاصل بسط چند جمله‌ای اصلی خواهند بود. هر ریاضیدان توانمندی روی توضیحات ارائه شده در کتاب درسی علامت سوال پررنگ می گذارد.

من راه حل خود را برای حل مسئله به اطلاع اساتید راهنما و معلمان ریاضی می رسانم که عملاً هر آنچه در کتاب درسی آمده است برای دانش آموز آشکار می شود. در واقع، قضیه بزوت را ثابت می کنیم: اگر عدد a ریشه یک چند جمله ای باشد، این چند جمله ای را می توان به عواملی تجزیه کرد که یکی از آنها x-a است و دومی به یکی از سه روش از اولی به دست می آید: با جداسازی یک عامل خطی از طریق تبدیل، با تقسیم بر یک گوشه، یا با طرح هورنر. با این فرمول است که کار برای معلم خصوصی ریاضی راحت تر خواهد بود.

روش شناسی تدریس چیست؟ اول از همه، این یک نظم واضح در توالی توضیحات و مثال هایی است که بر اساس آن نتایج ریاضی گرفته می شود. این موضوعاستثنا نیست برای معلم ریاضی بسیار مهم است که کودک را با قضیه بزوت آشنا کند قبل از تقسیم بر یک گوشه. این خیلی مهمه! بهترین راه برای رسیدن به درک این است که مثال خاص. بیایید چند جمله ای را با یک ریشه انتخاب شده برداریم و تکنیک فاکتورسازی آن را با استفاده از روشی که دانش آموزان مدرسه از کلاس هفتم آشنا هستند نشان دهیم. تحولات هویتی. با توضیحات، تاکید و راهنمایی مناسب از معلم ریاضی می توان مطالب را بدون هیچ گونه محاسبات کلی ریاضی، ضرایب و توان دلخواه منتقل کرد.

توصیه های مهم برای معلم ریاضی- دستورالعمل ها را از ابتدا تا انتها دنبال کنید و این ترتیب را تغییر ندهید.

بنابراین، بیایید بگوییم که ما یک چند جمله ای داریم. اگر عدد 1 را به جای X آن جایگزین کنیم، مقدار چند جمله ای برابر با صفر خواهد بود. بنابراین x=1 ریشه آن است. بیایید سعی کنیم آن را به دو جمله تجزیه کنیم تا یکی از آنها حاصل ضرب یک عبارت خطی و مقداری تک جمله باشد و دومی دارای درجه یک کمتر از . یعنی آن را به شکل بازنمایی کنیم

تک جمله ای را برای فیلد قرمز انتخاب می کنیم تا وقتی در جمله اول ضرب می شود، کاملاً با جمله اول چند جمله ای اصلی منطبق شود. اگر دانش‌آموز ضعیف‌ترین فرد نباشد، کاملاً قادر خواهد بود که عبارت مورد نیاز را به معلم ریاضی بگوید: . باید فوراً از معلم خصوصی خواسته شود تا آن را در قسمت قرمز قرار دهد و نشان دهد که با باز شدن آنها چه اتفاقی خواهد افتاد. بهتر است این چند جمله ای موقت مجازی را در زیر فلش ها (زیر عکس کوچک) امضا کنید، آن را با مقداری رنگ، به عنوان مثال، آبی برجسته کنید. این به شما کمک می کند تا یک عبارت را برای فیلد قرمز انتخاب کنید که باقی مانده انتخاب نامیده می شود. من به معلمان توصیه می کنم در اینجا به این نکته اشاره کنند که این باقیمانده را می توان با تفریق پیدا کرد. با انجام این عملیات دریافت می کنیم:

معلم ریاضی باید توجه دانش‌آموز را به این نکته جلب کند که با جایگزین کردن یک به این برابری، تضمین می‌کنیم که صفر را در سمت چپ آن بدست آوریم (زیرا 1 ریشه چند جمله‌ای اصلی است) و در سمت راست، بدیهی است که ما ترم اول را نیز صفر خواهد کرد. این بدان معنی است که بدون هیچ تأییدی می توان گفت که یکی ریشه "باقیمانده سبز" است.

بیایید با آن به همان شیوه ای که با چند جمله ای اصلی انجام دادیم برخورد کنیم و همان عامل خطی را از آن جدا کنیم. معلم ریاضی دو قاب را جلوی دانش آموز ترسیم می کند و از آنها می خواهد که از چپ به راست پر کنند.

دانش‌آموز یک تک‌جمله برای فیلد قرمز برای معلم انتخاب می‌کند، به طوری که وقتی در جمله اول عبارت خطی ضرب می‌شود، عبارت اول چند جمله‌ای در حال گسترش را به دست می‌دهد. ما آن را در قاب قرار می دهیم، بلافاصله براکت را باز می کنیم و عبارتی را که باید از حالت تاشو کم شود، با رنگ آبی برجسته می کنیم. با انجام این عملیات به دست می آوریم

و در نهایت، همین کار را با آخرین باقیمانده انجام دهید

بالاخره بهش میرسیم

حال بیایید عبارت را از براکت خارج کنیم و شاهد تجزیه چند جمله ای اصلی به عواملی خواهیم بود که یکی از آنها "x منهای ریشه انتخاب شده" است.

برای جلوگیری از اینکه دانش آموز فکر کند که آخرین "باقیمانده سبز" به طور تصادفی به عوامل مورد نیاز تجزیه شده است، معلم ریاضی باید به آن اشاره کند. دارایی مهماز همه باقیمانده های سبز - هر کدام ریشه 1 دارند. از آنجایی که درجات این باقیمانده ها کاهش می یابد، پس هر درجه ای از چند جمله ای اولیه به ما داده شود، دیر یا زود، یک "باقیمانده سبز" خطی با ریشه 1 دریافت خواهیم کرد، و بنابراین لزوماً تعدادی عدد و عبارت را به محصول تجزیه می کند.

پس از چنین کارهای مقدماتی، برای معلم ریاضیات دشوار نخواهد بود که به دانش آموز توضیح دهد که هنگام تقسیم بر یک گوشه چه اتفاقی می افتد. این همان فرآیند است، فقط به شکل کوتاه‌تر و فشرده‌تر، بدون علائم مساوی و بدون بازنویسی همان اصطلاحات برجسته. چند جمله‌ای که از آن ضریب خطی استخراج می‌شود در سمت چپ گوشه نوشته می‌شود، تک‌جمله‌های قرمز انتخاب شده در یک زاویه جمع‌آوری می‌شوند (اکنون مشخص می‌شود که چرا باید جمع شوند)، برای به دست آوردن "چندجمله‌ای آبی"، "قرمز" باید در x-1 ضرب شوند، و سپس از نحوه انجام این کار در تقسیم معمول اعداد به یک ستون، از روش انتخاب شده فعلی کم کرد (در اینجا قیاسی با آنچه قبلاً مطالعه شده است وجود دارد). "بقایای سبز" به دست آمده در معرض جداسازی و انتخاب جدید "مونومی های قرمز" قرار دارند. و به همین ترتیب تا زمانی که "تراز سبز" را به صفر برسانید. مهمترین چیز این است که دانش آموز بفهمد سرنوشت بیشترچند جمله ای های بالا و زیر زاویه نوشته شده است. بدیهی است که اینها براکت هایی هستند که حاصلضرب آنها برابر با چند جمله ای اصلی است.

مرحله بعدی کار معلم خصوصی ریاضیات، فرمول بندی قضیه بزوت است. در واقع، فرمول بندی آن با این رویکرد استاد راهنما آشکار می شود: اگر عدد a ریشه یک چند جمله ای باشد، می توان آن را فاکتور گرفت که یکی از آنها است و دیگری به یکی از سه روش از اولی به دست می آید. :

• تجزیه مستقیم (مشابه با روش گروه بندی)
• تقسیم بر یک گوشه (در یک ستون)
• از طریق مدار هورنر

باید گفت که نه همه معلمان ریاضی نمودار هورنر را به دانش آموزان نشان می دهند و نه همه معلمان مدرسه (خوشبختانه خود معلمان) در طول درس به این موضوع عمیقاً وارد موضوع نمی شوند. با این حال، برای یک دانش آموز کلاس ریاضی، دلیلی برای توقف در تقسیم طولانی نمی بینم. علاوه بر این، راحت ترین و سریعتکنیک تجزیه دقیقاً بر اساس طرح هورنر است. برای اینکه به کودک توضیح دهید از کجا آمده است، کافی است با استفاده از مثال تقسیم بر یک گوشه، ضرایب بالاتر را در باقیمانده های سبز ردیابی کنید. روشن می شود که ضریب پیشرو چند جمله ای اولیه به ضریب اولین "تک جمله ای قرمز" و بیشتر از ضریب دوم چند جمله ای فوقانی فعلی منتقل می شود. کسر شدحاصل ضرب ضریب جاری "تک اسم قرمز" در . بنابراین امکان پذیر است اضافه کردنحاصل ضرب در . پس از تمرکز توجه دانش‌آموز بر روی ویژگی‌های اعمال با ضرایب، معلم ریاضی می‌تواند نحوه انجام این اعمال را بدون ثبت خود متغیرها نشان دهد. برای انجام این کار، به راحتی می توانید ریشه و ضرایب چند جمله ای اصلی را به ترتیب اولویت در جدول زیر وارد کنید:

اگر درجه ای در یک چند جمله ای وجود نداشته باشد، ضریب صفر آن در جدول قرار می گیرد. ضرایب "چند جمله ای های قرمز" به ترتیب در خط پایین مطابق قانون "قلاب" نوشته می شود:

ریشه در آخرین ضریب قرمز ضرب می شود، به ضریب بعدی در خط بالا اضافه می شود و نتیجه تا خط پایین نوشته می شود. در آخرین ستون تضمین شده است که بالاترین ضریب آخرین "باقیمانده سبز" یعنی صفر را بدست آوریم. پس از تکمیل فرآیند، اعداد بین ریشه همسان و باقیمانده صفر قرار می گیردمعلوم می شود که ضرایب عامل دوم (غیرخطی) است.

از آنجایی که ریشه a در انتهای خط پایین یک صفر می دهد، از طرح هورنر می توان برای بررسی اعداد برای عنوان ریشه یک چند جمله ای استفاده کرد. اگر قضیه خاصی در انتخاب ریشه عقلی. تمام نامزدهای این عنوان که با کمک آن به دست آمده اند، به سادگی به نوبه خود از سمت چپ در نمودار هورنر درج می شوند. به محض اینکه به صفر رسیدیم عدد مورد آزمایش یک ریشه خواهد بود و در عین حال ضرایب فاکتورگیری چند جمله ای اصلی را در خط آن بدست می آوریم. خیلی راحت

در خاتمه، مایلم متذکر شوم که برای معرفی دقیق طرح هورنر، و همچنین ادغام عملی موضوع، معلم ریاضیات باید تعداد ساعت کافی در اختیار داشته باشد. معلمی که با رژیم «هفته‌ای یک‌بار» کار می‌کند نباید در بخش گوشه‌ای شرکت کند. در آزمون دولتی واحد در ریاضیات و در آکادمی دولتی ریاضیات در ریاضیات، بعید است که در بخش اول با معادله ای درجه سوم روبرو شوید که بتوان با چنین ابزاری حل کرد. اگر معلمی کودک را برای امتحان ریاضی در دانشگاه دولتی مسکو آماده می کند، مطالعه این موضوع اجباری می شود. معلمان دانشگاه، بر خلاف گردآورندگان آزمون یکپارچه دولتی، واقعاً دوست دارند عمق دانش یک متقاضی را آزمایش کنند.

کولپاکوف الکساندر نیکولاویچ، معلم ریاضیات مسکو، استروگینو

اسلاید 3

هورنر ویلیامز جورج (1786-22.9.1837) - ریاضیدان انگلیسی. در بریستول متولد شد. او در آنجا تحصیل و کار کرد، سپس در مدارس باث. کارهای اساسی در جبر. در سال 1819م روشی را برای محاسبه تقریبی ریشه های واقعی چند جمله ای منتشر کرد که امروزه روش روفینی-هورنر نامیده می شود (این روش در قرن سیزدهم برای چینی ها شناخته شده بود) طرح تقسیم یک چند جمله ای بر دو جمله ای x-a نام دارد. بعد از هورنر

اسلاید 4

طرح هورنر

روش تقسیم چند جمله ای n امدرجه بر روی یک دو جمله ای خطی - a، بر اساس این واقعیت که ضرایب ضرایب ناقص و باقیمانده به ضرایب چند جمله ای قابل تقسیم و با فرمول ها مرتبط هستند:

اسلاید 5

محاسبات بر اساس طرح هورنر در جدول قرار داده شده است:

مثال 1. تقسیم ضریب جزئی x3-x2+3x - 13 و باقیمانده 42=f(-3) است.

اسلاید 6

مزیت اصلی این روش فشرده بودن علامت گذاری و توانایی تقسیم سریع یک چند جمله ای به یک دو جمله ای است. در واقع، طرح هورنر شکل دیگری از ثبت روش گروه بندی است، اگرچه برخلاف دومی، کاملاً غیر تصویری است. پاسخ (فاکتورسازی) در اینجا به خودی خود به دست می آید و روند به دست آوردن آن را نمی بینیم. ما درگیر اثبات دقیق طرح هورنر نخواهیم شد، بلکه فقط نحوه کارکرد آن را نشان خواهیم داد.

اسلاید 7

مثال 2.

بیایید ثابت کنیم که چند جمله ای P(x)=x4-6x3+7x-392 بر x-7 بخش پذیر است و ضریب تقسیم را پیدا کنیم. راه حل. با استفاده از طرح هورنر، P(7) را پیدا می کنیم: از اینجا P(7)=0 را بدست می آوریم، یعنی. باقیمانده هنگام تقسیم یک چند جمله ای بر x-7 برابر با صفر است و بنابراین، چند جمله ای P(x) مضربی از (x-7) است، علاوه بر این، اعداد در ردیف دوم جدول ضرایب هستند. ضریب P(x) تقسیم بر (x-7)، بنابراین P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

اسلاید 8

چند جمله ای x3 – 5x2 – 2x + 16 را عامل کنید.

این چند جمله ای دارای ضرایب صحیح است. اگر یک عدد صحیح ریشه این چند جمله ای باشد، پس مقسوم علیه عدد 16 است. ± 2; ± 4; ± 8; ± 16. با تأیید مستقیم ما متقاعد شدیم که عدد 2 ریشه این چند جمله ای است، یعنی x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x)، که در آن Q(x) چند جمله ای درجه دوم است.

اسلاید 9

اعداد به دست آمده 1، −3، −8 ضرایب چند جمله ای هستند که از تقسیم چند جمله ای اصلی بر x – 2 به دست می آید. –8) = x2 – 3x – 8. درجه یک چند جمله ای حاصل از تقسیم همیشه 1 کمتر از درجه چند جمله ای اصلی است. بنابراین: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2) (x2 – 3x – 8).

اهداف درس:

• حل معادلات را به دانش آموزان آموزش دهید درجات بالاتربا استفاده از طرح هورنر؛
• توانایی کار به صورت جفت را توسعه دهید.
• در ارتباط با بخش های اصلی دوره، مبنایی برای توسعه توانایی های دانش آموزان ایجاد کنید.
• به دانش آموز کمک کنید پتانسیل خود را ارزیابی کند، علاقه خود را به ریاضیات، توانایی فکر کردن و صحبت کردن در مورد موضوع ایجاد کند.

تجهیزات:کارت برای کار گروهی، پوستر با نمودار هورنر.

روش تدریس:سخنرانی، داستان، توضیح، انجام تمرینات آموزشی.

شکل کنترل:بررسی وظایف تصمیم مستقل، کار مستقل.

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی

2. به روز رسانی دانش دانش آموزان

چه قضیه ای به شما امکان می دهد تعیین کنید که آیا یک عدد ریشه یک معادله است (قضیه ای را فرموله کنید)؟

قضیه بزوت. باقیمانده تقسیم چند جمله ای P(x) بر دو جمله ای x-c برابر است P(c)، عدد c را ریشه چند جمله ای P(x) می گویند اگر P(c)=0. این قضیه اجازه می دهد تا بدون انجام عملیات تقسیم، تعیین کنیم که آیا یک عدد معین ریشه یک چند جمله ای است یا خیر.

چه عباراتی یافتن ریشه ها را آسان تر می کند؟

الف) اگر ضریب پیشرو چند جمله ای برابر با یک، سپس ریشه های چند جمله ای را باید در میان مقسوم علیه های عبارت آزاد جستجو کرد.

ب) اگر مجموع ضرایب یک چند جمله ای 0 باشد، یکی از ریشه ها 1 است.

ج) اگر مجموع ضرایب در مکان های زوج برابر با مجموع ضرایب در مکان های فرد باشد، یکی از ریشه ها برابر با 1- است.

د) اگر همه ضرایب مثبت باشند، ریشه های چند جمله ای اعداد منفی هستند.

ه) چند جمله ای با درجه فرد حداقل یک ریشه واقعی دارد.

3. یادگیری مطالب جدید

هنگام حل اعداد صحیح معادلات جبریشما باید مقادیر ریشه های چند جمله ای ها را پیدا کنید. اگر محاسبات با استفاده از یک الگوریتم خاص به نام طرح هورنر انجام شود، این عملیات می تواند به طور قابل توجهی ساده شود. این مدار به افتخار دانشمند انگلیسی ویلیام جورج هورنر نامگذاری شده است. طرح هورنر الگوریتمی برای محاسبه ضریب و باقیمانده تقسیم چند جمله ای P(x) بر x-c است. به طور خلاصه چگونه کار می کند.

بگذارید یک چند جمله ای دلخواه P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n داده شود. تقسیم این چند جمله ای بر x-c نمایش آن به شکل P(x)=(x-c)g(x) + r(x) است. G(x) جزئی = در 0 x n-1 + در n x n-2 +...+ در n-2 x + در n-1، که در 0 = a 0، در n = st n-1 +a n n=1،2،3،…n-1. باقیمانده r(x)= st n-1 +a n. این روش محاسبه را طرح هورنر می نامند. کلمه "طرح" در نام الگوریتم به این دلیل است که اجرای آن معمولاً به صورت زیر قالب بندی می شود. ابتدا جدول 2 (n+2) را رسم کنید. در سلول پایین سمت چپ عدد c و در خط بالایی ضرایب چند جمله ای P(x) را بنویسید. در این حالت، سلول بالا سمت چپ خالی می ماند.

	در 0 = a 0	در 1 =st 1 +a 1	در 2 = sv 1 + آ 2		در n-1 = st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

عددی که بعد از اجرای الگوریتم معلوم می شود در خانه پایین سمت راست نوشته شده است، باقیمانده تقسیم چند جمله ای P(x) بر x-c است. اعداد دیگر در 0، در 1، در 2، ... در خط پایین ضرایب ضرایب هستند.

به عنوان مثال: چند جمله ای P(x)= x 3 -2x+3 را بر x-2 تقسیم کنید.

دریافت می کنیم که x 3 -2x+3=(x-2) (x2 +2x+2) + 7.

4. تلفیق مطالب مورد مطالعه

مثال 1:چند جمله ای P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 را به فاکتورهایی با ضرایب صحیح تبدیل کنید.

ما به دنبال ریشه های کامل در میان مقسوم کننده های عبارت آزاد -1: 1 هستیم. -1. بیایید یک جدول درست کنیم:

X = -1 - ریشه

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

بیایید 1/2 را بررسی کنیم.

					X=1/2 - ریشه

بنابراین، چند جمله ای P(x) را می توان به شکل نمایش داد

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

مثال 2:معادله 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0 را حل کنید

از آنجایی که مجموع ضرایب چند جمله ای نوشته شده در سمت چپ معادله برابر با صفر است، پس یکی از ریشه ها 1 است. بیایید از طرح هورنر استفاده کنیم:

						X=1 - ریشه

P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2) را دریافت می کنیم. ما در میان مقسوم‌کننده‌های ترم آزاد 2 به دنبال ریشه خواهیم بود.

ما متوجه شدیم که دیگر ریشه های سالمی وجود ندارد. بیایید 1/2 را بررسی کنیم. -1/2.

					X= -1/2 - ریشه

پاسخ 1؛ -1/2.

مثال 3:معادله 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0 را حل کنید.

ما به دنبال ریشه های این معادله در میان مقسوم علیه های جمله آزاد 5 خواهیم بود: 1;-1;5;-5. x=1 ریشه معادله است، زیرا مجموع ضرایب صفر است. بیایید از طرح هورنر استفاده کنیم:

بیایید معادله را به صورت حاصل ضرب سه عامل ارائه کنیم: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. با حل معادله درجه دوم 5x 2 -7x+5=0، D=49-100=-51 بدست آوردیم، هیچ ریشه ای وجود ندارد.

کارت 1

1. چند جمله ای را فاکتور بگیرید: x 4 + 3x 3 -5x 2 -6x-8
2. معادله را حل کنید: 27x3 -15x2 +5x-1=0

کارت 2

1. چند جمله ای را فاکتور بگیرید: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. معادله را حل کنید: x 4 + 2x 3 -13x 2 -38x-24=0

کارت 3

1. فاکتور به: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. معادله را حل کنید: x 3 -2x 2 +4x-8=0

کارت 4

1. فاکتور به: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. معادله را حل کنید: x 4 + 5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. جمع بندی

تست دانش هنگام حل دو به دو در کلاس با شناخت روش عمل و نام پاسخ انجام می شود.

مشق شب:

حل معادلات:

الف) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

ب) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

ج) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

د) x 4 +2x 3 -x-2=0

ادبیات

1. N.Ya. ویلنکین و همکاران، جبر و آغاز تحلیل، پایه دهم (مطالعه عمیق ریاضیات): روشنگری، 2005.
2. U.I. ساخارچوک، ال.اس. ساگاتلوا، حل معادلات درجات بالاتر: ولگوگراد، 2007.
3. S.B. گاشکوف، سیستم های اعداد و کاربرد آنها.

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای مقاصد اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.

نوع درس: درس تسلط و تثبیت دانش اولیه.

هدف درس:

• دانش آموزان را با مفهوم ریشه های چند جمله ای آشنا کنید و به آنها بیاموزید که چگونه آنها را پیدا کنند. بهبود مهارت در استفاده از طرح هورنر برای بسط یک چند جمله ای با توان و تقسیم یک چند جمله ای بر یک دو جمله ای.
• با استفاده از طرح هورنر ریشه های یک معادله را بیاموزید.
• تفکر انتزاعی را توسعه دهید.
• فرهنگ محاسباتی را تقویت کنید.
• توسعه ارتباطات بین رشته ای

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی.

موضوع درس را اطلاع رسانی کنید، اهداف را تنظیم کنید.

2. بررسی تکالیف.

3. مطالعه مطالب جدید.

اجازه دهید Fn(x) = a n x n + a n-1 x n-1 +...+ a 1 x + a 0 - یک چند جمله ای برای x از درجه n، که در آن a 0، a 1،...،a n اعداد داده می شود، و a 0 برابر 0 نیست. اگر چند جمله ای F n (x) با باقیمانده بر دو جمله ای x-a تقسیم شود. ، سپس ضریب (نسبت ناقص) چند جمله ای Q n-1 (x) درجه n-1 است، باقیمانده R یک عدد است و برابری درست است. F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.چند جمله ای F n (x) فقط در مورد R=0 بر دو جمله ای (x-a) بخش پذیر است.

قضیه بزوت: باقیمانده R هنگام تقسیم یک چند جمله ای F n (x) بر یک دو جمله ای (x-a) برابر با ارزشچند جمله ای F n (x) برای x=a، یعنی. R=Pn(a).

کمی تاریخچه قضیه بزوت با وجود سادگی و بدیهی ظاهری، یکی از قضایای اساسی نظریه چند جمله ای ها است. این قضیه خصوصیات جبری چند جمله ای ها (که اجازه می دهد چند جمله ای ها به عنوان اعداد صحیح در نظر گرفته شوند) با ویژگی های عملکردی آنها (که به چندجمله ای ها اجازه می دهد به عنوان توابع در نظر گرفته شوند) مرتبط می کند. یکی از راه‌های حل معادلات درجه بالاتر، فاکتور کردن چند جمله‌ای در سمت چپ معادله است. محاسبه ضرایب چند جمله ای و باقیمانده به صورت جدولی به نام طرح هورنر نوشته می شود.

طرح هورنر الگوریتمی برای تقسیم چندجمله‌ای است که برای حالت خاصی نوشته می‌شود که ضریب برابر با یک دوجمله‌ای باشد. x–a.

هورنر ویلیام جورج (1786 - 1837)، ریاضیدان انگلیسی. تحقیق اصلی مربوط به نظریه معادلات جبری است. روشی برای حل تقریبی معادلات با هر درجه ای ابداع کرد. او در سال 1819 روش مهمی را برای جبر برای تقسیم یک چند جمله ای بر یک دو جمله ای x - a (طرح هورنر) معرفی کرد.

نتیجه فرمول کلیبرای طرح هورنر

تقسیم یک چند جمله‌ای f(x) با باقیمانده بر یک دو جمله‌ای (x-c) به معنای یافتن چند جمله‌ای q(x) و یک عدد r است به طوری که f(x)=(x-c)q(x)+r

اجازه دهید این برابری را با جزئیات بنویسیم:

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

اجازه دهید ضرایب را در همان درجات برابر کنیم:

xn:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1:	f 1 = q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2:	f 2 = q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0:	f n = q n - c q n-1	=> q n = f n + c q n-1.

نمایش مدار هورنر با استفاده از یک مثال.

تمرین 1.با استفاده از طرح هورنر، چند جمله ای f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 را با باقیمانده بر دو جمله ای x-2 تقسیم می کنیم.

	1	-5	0	8
2	1	2*1+(-5)=-3	2*(-3)+0=-6	2*(-6)+8=-4

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x2 -3x-6)-4، که در آن g(x)= (x 2 -3x-6)، r = -4 باقی مانده است.

بسط یک چند جمله ای در توان های یک دوجمله ای.

با استفاده از طرح هورنر، چند جمله ای f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 را در توان های دو جمله ای (x+2) بسط می دهیم.

در نتیجه، باید بسط f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) را بدست آوریم )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12

طرح هورنر اغلب هنگام حل معادلات درجات سوم، چهارم و بالاتر استفاده می شود، زمانی که بسط دادن چند جمله ای به دو جمله ای x-a راحت است. عدد آتماس گرفت ریشه چند جمله ای F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ... + f n-1 x + f n، اگر در x=aمقدار چند جمله ای F n (x) برابر با صفر است: F n (a)=0، یعنی. اگر چند جمله ای بر دو جمله ای x-a بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، عدد 2 ریشه چند جمله ای F 3 (x)=3x 3 -2x-20 است، زیرا F 3 (2)=0. به این معنی. که فاکتورگیری این چند جمله ای حاوی یک عامل x-2 است.

F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x2 +6x+10).

هر چند جمله ای F n(x) درجه n 1 نمی تواند بیشتر داشته باشد nریشه های واقعی

هر ریشه صحیح یک معادله با ضرایب صحیح، مقسوم علیه جمله آزاد آن است.

اگر ضریب پیشرو یک معادله 1 باشد، تمام ریشه های گویا معادله، اگر وجود داشته باشند، اعداد صحیح هستند.

تلفیق مطالب مورد مطالعه.

برای تجمیع مطالب جدید، از دانش آموزان دعوت می شود تا اعداد کتاب درسی 2.41 و 2.42 را تکمیل کنند (ص 65).

(2 دانش آموز در تخته حل می کنند و بقیه با تصمیم گیری، تکالیف را در دفترچه با پاسخ های روی تخته بررسی می کنند).

خلاصه کردن.

با درک ساختار و اصل عملکرد طرح هورنر، می توان از آن در دروس علوم کامپیوتر نیز استفاده کرد، زمانی که مبحث تبدیل اعداد صحیح از سیستم اعداد اعشاری به سیستم باینری و بالعکس در نظر گرفته شود. مبنای انتقال از یک سیستم عددی به سیستم دیگر قضیه کلی زیر است

قضیه.برای تبدیل یک عدد کامل Apاز جانب پ-سیستم اعداد آری به سیستم اعداد پایه دلازم است Apبه ترتیب با باقی مانده را بر عدد تقسیم کنید د، در همان نوشته شده است پسیستم -ary تا زمانی که ضریب حاصل برابر با صفر شود. باقی مانده از تقسیم خواهد بود د- ارقام عددی آگهی، از جوانترین رده تا ارشدترین. تمام اقدامات باید در انجام شود پ-سیستم اعداد آری برای یک فرد، این قانون فقط زمانی مناسب است پ= 10، یعنی هنگام ترجمه از جانبسیستم اعشاری در مورد رایانه، برعکس، انجام محاسبات در سیستم باینری برای آن "راحت تر" است. بنابراین برای تبدیل "2 به 10" از تقسیم ترتیبی بر ده در سیستم باینری استفاده می شود و "10 به 2" جمع توان های ده است. برای بهینه‌سازی محاسبات رویه «10 در 2»، رایانه از طرح محاسباتی اقتصادی هورنر استفاده می‌کند.

مشق شب. پیشنهاد می شود دو کار را تکمیل کنید.

1. با استفاده از طرح هورنر، چند جمله ای f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 را بر دو جمله ای (x-3) تقسیم کنید.

2. ریشه های عدد صحیح چند جمله ای f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 را بیابید.

ادبیات.

1. کوروش آ.گ. "دوره جبر عالی."
2. نیکولسکی اس. ام.، پوتاپوف م.ک. و دیگران درجه 10 "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی."
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.