ماشین حساب ترکیبی از بردارها. ضرب ضربدری بردارها. حاصلضرب مخلوط بردارها

محصول مخلوط (یا بردار-اسکالر).سه بردار a، b، c (به ترتیب نشان داده شده گرفته شده اند) حاصل ضرب اسکالر بردار a و حاصلضرب برداری b x c، یعنی عدد a(b x c) یا همان چیزی است که (b x c)a نامیده می شود.
نامگذاری: abc.

هدف. ماشین حساب آنلاین برای محاسبه حاصلضرب مخلوط بردارها طراحی شده است. راه حل به دست آمده در یک فایل Word ذخیره می شود. علاوه بر این، یک الگوی راه حل در اکسل ایجاد می شود.

آ ( ; ; )
ب( ; ; )
ج ( ; ; )
هنگام محاسبه دترمینان، از قانون مثلث استفاده کنید

نشانه های همسطح بودن بردارها

سه بردار (یا تعداد بزرگتر) در صورتی همسطح نامیده می شوند که به یک مبدأ مشترک تقلیل یافته باشند، در یک صفحه قرار گیرند.
اگر حداقل یکی از سه بردار صفر باشد، آن سه بردار نیز همسطح در نظر گرفته می شوند.

نشانه همسطح بودن. اگر سیستم a، b، c راست دست باشد، abc>0 ; اگر چپ است، سپس abc معنای هندسی محصول مخلوط. قطعه مخلوط abc از سه بردار غیرهمسطح a، b، c برابر است با حجم متوازی الاضلاع ساخته شده روی بردارهای a، b، c، با علامت مثبت گرفته می شود اگر سیستم a، b، c راست دست باشد، و با اگر این سیستم چپ دست باشد، علامت منفی است.

خواص یک محصول مخلوط

1. وقتی فاکتورها به صورت دایره ای بازآرایی می شوند، حاصلضرب مخلوط تغییر نمی کند؛ وقتی دو عامل بازآرایی می شوند، علامت معکوس می شود: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   از معنای هندسی ناشی می شود.
2. (a+b)cd=acd+bcd (ویژگی توزیعی). به هر تعداد اصطلاح گسترش می یابد.
   برگرفته از تعریف محصول مخلوط است.
3. (ma)bc=m(abc) (ویژگی ترکیبی با توجه به یک عامل اسکالر).
   برگرفته از تعریف محصول مخلوط است. این ویژگی ها این امکان را فراهم می کند که تبدیل ها را برای محصولات ترکیبی اعمال کنیم که با محصولات جبری معمولی تفاوت دارند فقط از این جهت که ترتیب عوامل را فقط با در نظر گرفتن علامت محصول می توان تغییر داد.
4. محصول مخلوطی که حداقل دو عامل مساوی داشته باشد برابر با صفر است: aab=0.

مثال شماره 1. یک محصول ترکیبی پیدا کنید. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc.

مثال شماره 2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca. همه عبارت ها به جز دو مورد افراطی برابر با صفر هستند. همچنین bca=abc. بنابراین (a+b)(b+c)(c+a)=2abc.

مثال شماره 3. حاصلضرب مخلوط سه بردار a=15i+20j+5k، b=2i-4j+14k، c=3i-6j+21k را محاسبه کنید.
راه حل. برای محاسبه حاصلضرب مخلوط بردارها، لازم است که تعیین کننده یک سیستم متشکل از مختصات بردار را پیدا کنیم. بیایید سیستم را در فرم بنویسیم.

در این درس به دو عمل دیگر با بردارها نگاه خواهیم کرد: حاصلضرب برداری بردارهاو حاصلضرب مخلوط بردارها (لینک فوری برای کسانی که به آن نیاز دارند). اشکالی ندارد، گاهی اوقات اتفاق می افتد که برای خوشبختی کامل، علاوه بر حاصل ضرب اسکالر بردارها، بیشتر و بیشتر مورد نیاز است. این اعتیاد بردار است. ممکن است به نظر برسد که ما در حال ورود به جنگل هندسه تحلیلی هستیم. این اشتباه است. در این بخش از ریاضیات عالی به طور کلی چوب کمی وجود دارد، به جز شاید به اندازه کافی برای پینوکیو. در واقع، مواد بسیار رایج و ساده است - به سختی پیچیده تر از همان حاصلضرب عددی، حتی وظایف معمولی کمتری وجود خواهد داشت. نکته اصلی در هندسه تحلیلی، همانطور که بسیاری متقاعد شده اند یا قبلاً متقاعد شده اند، اشتباه نکردن در محاسبات است. مثل یک طلسم تکرار کنید و خوشحال خواهید شد =)

اگر بردارها در جایی دور می درخشند، مانند رعد و برق در افق، مهم نیست، با درس شروع کنید وکتور برای آدمکبرای بازیابی یا کسب مجدد دانش اولیه در مورد بردارها. خوانندگان آماده تر می توانند به طور انتخابی با اطلاعات آشنا شوند؛ من سعی کردم کامل ترین مجموعه نمونه هایی را که اغلب در کار عملی

چه چیزی شما را بلافاصله خوشحال می کند؟ وقتی کوچک بودم، می‌توانستم با دو و حتی سه توپ دستکاری کنم. خوب کار کرد. اکنون دیگر نیازی به دستکاری نخواهید داشت، زیرا ما در نظر خواهیم گرفت فقط بردارهای فضایی، و بردارهای مسطح با دو مختصات کنار گذاشته می شوند. چرا؟ به این ترتیب این کنش ها متولد شدند - بردار و حاصلضرب مخلوط بردارها تعریف شده و در فضای سه بعدی کار می کنند. در حال حاضر آسان تر است!

این عملیات، درست مانند محصول اسکالر، شامل دو بردار. اینها حروف فنا ناپذیر باشند.

خود عمل نشان داده شده بابه روش زیر: . گزینه های دیگری نیز وجود دارد، اما من عادت دارم که حاصل ضرب برداری بردارها را به این شکل، در پرانتز مربع با یک ضربدر نشان دهم.

و بلافاصله سوال: اگر در حاصل ضرب اسکالر بردارهادو بردار درگیر هستند، و در اینجا دو بردار نیز ضرب می شوند، سپس تفاوت در چیست? تفاوت آشکار، اول از همه، در نتیجه است:

حاصل حاصل ضرب اسکالر بردارها NUMBER است:

حاصل ضرب ضربدری بردارها بردار است: یعنی بردارها را ضرب می کنیم و دوباره بردار می گیریم. باشگاه تعطیل شده در واقع، نام عملیات از اینجا آمده است. در ادبیات آموزشی مختلف، نام‌گذاری‌ها ممکن است متفاوت باشد؛ من از حرف استفاده خواهم کرد.

تعریف محصول متقاطع

ابتدا یک تعریف با یک تصویر وجود دارد، سپس نظرات.

تعریف: محصول برداری غیر خطیبردارها، به این ترتیب گرفته شده استبه نام VECTOR، طولکه به صورت عددی است برابر مساحت متوازی الاضلاع است، بر اساس این بردارها ساخته شده است. بردار متعامد به بردارها، و به گونه ای هدایت می شود که اساس جهت گیری درست داشته باشد:

بیایید تعریف را تکه تکه کنیم، چیزهای جالب زیادی در اینجا وجود دارد!

بنابراین، می توان به نکات مهم زیر اشاره کرد:

1) بردارهای اصلی که با فلش های قرمز مشخص شده اند، طبق تعریف خطی نیست. مناسب است که کمی بعد مورد بردارهای خطی را در نظر بگیریم.

2) بردارها گرفته می شوند به ترتیب کاملاً تعریف شده: – "الف" در "بودن" ضرب می شود، نه "بودن" با "الف". حاصل ضرب برداری VECTOR است که با رنگ آبی نشان داده شده است. اگر بردارها ضرب شوند به صورت برعکس، سپس بردار برابر طول و مخالف جهت (رنگ تمشک) به دست می آوریم. یعنی برابری درست است .

3) حال با معنای هندسی حاصلضرب بردار آشنا می شویم. این نکته بسیار مهمی است! LENGTH بردار آبی (و بنابراین بردار زرشکی) از نظر عددی برابر با AREA متوازی الاضلاع ساخته شده روی بردارها است. در شکل، این متوازی الاضلاع به رنگ مشکی است.

توجه داشته باشید : رسم شماتیک است و طبیعتاً طول اسمی حاصلضرب بردار با مساحت متوازی الاضلاع برابر نیست.

یکی از آنها را به یاد بیاوریم فرمول های هندسی: مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب اضلاع مجاور و سینوس زاویه بین آنها.. بنابراین، بر اساس موارد فوق، فرمول محاسبه LENGTH حاصلضرب بردار معتبر است:

تاکید می کنم که فرمول مربوط به LENGTH بردار است و نه در مورد خود بردار. معنای عملی چیست؟ و معنی این است که در مسائل هندسه تحلیلی، مساحت متوازی الاضلاع اغلب از طریق مفهوم یک محصول برداری پیدا می شود:

اجازه دهید فرمول مهم دوم را بدست آوریم. مورب متوازی الاضلاع (خط نقطه چین قرمز) آن را به دو مثلث مساوی تقسیم می کند. بنابراین، مساحت یک مثلث ساخته شده بر روی بردارها (سایه دهی قرمز) را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

4) نه کمتر واقعیت مهماین است که بردار متعامد بر بردارها است، یعنی . البته بردار جهت مخالف (فلش تمشک) نیز با بردارهای اصلی متعامد است.

5) بردار به گونه ای جهت داده شده است که اساساین دارد درستگرایش. در درس در مورد انتقال به یک پایه جدیدمن با جزئیات کافی در مورد آن صحبت کردم جهت هواپیما، و اکنون متوجه خواهیم شد که جهت گیری فضا چیست. من روی انگشتان شما توضیح خواهم داد دست راست . ذهنی ترکیب کنید انگشت اشاره با وکتور و انگشت وسطبا وکتور انگشت حلقه و انگشت کوچکآن را در کف دست خود فشار دهید. در نتیجه شست - محصول برداری به بالا نگاه می کند. این یک مبنای راست گرا است (این یکی در شکل است). حالا بردارها را تغییر دهید ( انگشت اشاره و وسط) در بعضی جاها، در نتیجه انگشت شست به اطراف می چرخد ​​و حاصلضرب بردار از قبل به پایین نگاه می کند. این نیز یک مبنای حق مدار است. ممکن است این سوال برای شما پیش بیاید: کدام پایه گرایش چپ دارد؟ "تخصیص" به همان انگشتان دست چپبردارها، و پایه سمت چپ و جهت چپ فضا را بدست آورید (در این حالت انگشت شست در جهت بردار پایینی قرار می گیرد). به بیان تصویری، این پایه ها فضا را در جهات مختلف "پیچان" یا جهت می دهند. و این مفهوم را نباید چیزی دور از ذهن یا انتزاعی در نظر گرفت - به عنوان مثال، جهت گیری فضا توسط معمولی ترین آینه تغییر می کند، و اگر شما "شیء منعکس شده را از شیشه بیرون بکشید"، در حالت کلی ترکیب آن با "اصلی" امکان پذیر نخواهد بود. به هر حال، سه انگشت خود را به سمت آینه بگیرید و انعکاس را تجزیه و تحلیل کنید ;-)

... چقدر خوب است که اکنون از آن خبر دارید راست و چپمبانی، زیرا اظهارات برخی از اساتید در مورد تغییر جهت گیری ترسناک است =)

ضرب ضربدر بردارهای خطی

تعریف به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است، باید بدانیم وقتی بردارها هم خط هستند چه اتفاقی می افتد. اگر بردارها خطی باشند، می توان آنها را روی یک خط مستقیم قرار داد و متوازی الاضلاع ما نیز در یک خط مستقیم "تا" می شود. حوزه از جمله، همانطور که ریاضیدانان می گویند، منحطمتوازی الاضلاع برابر با صفر است. همین امر از فرمول به دست می آید - سینوس صفر یا 180 درجه برابر با صفر، و بنابراین مساحت صفر است

بنابراین، اگر، پس . به بیان دقیق، خود حاصلضرب بردار برابر با بردار صفر است، اما در عمل اغلب از این موضوع غفلت می شود و می نویسند که به سادگی برابر با صفر است.

یک مورد خاص حاصل ضرب یک بردار با خودش است:

با استفاده از حاصلضرب برداری، می توانید همخطی بردارهای سه بعدی را بررسی کنید و ما نیز این مشکل را در میان موارد دیگر تحلیل خواهیم کرد.

برای راه حل ها نمونه های عملیممکن است مورد نیاز باشد جدول مثلثاتیبرای یافتن مقادیر سینوس ها از آن.

خوب، بیایید آتش را روشن کنیم:

مثال 1

الف) طول حاصل ضرب بردار بردارها را بیابید اگر

ب) مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها را بیابید اگر

راه حل: نه، این اشتباه تایپی نیست، من عمداً داده های اولیه را در بندها یکسان کردم. زیرا طراحی راه حل ها متفاوت خواهد بود!

الف) با توجه به شرایط، باید پیدا کنید طولبردار (محصول متقاطع). طبق فرمول مربوطه:

پاسخ:

اگر از شما در مورد طول سؤال شد ، در پاسخ ما بعد - واحدها را نشان می دهیم.

ب) با توجه به شرط، باید پیدا کنید مربعمتوازی الاضلاع بر روی بردارها ساخته شده است. مساحت این متوازی الاضلاع از نظر عددی برابر است با طول حاصلضرب بردار:

پاسخ:

لطفاً توجه داشته باشید که پاسخ به هیچ وجه در مورد محصول برداری صحبت نمی کند؛ از ما در مورد آن سؤال شد مساحت شکلبر این اساس، بعد واحد مربع است.

ما همیشه به آنچه که باید بر اساس شرایط پیدا کنیم نگاه می کنیم و بر این اساس فرموله می کنیم روشنپاسخ. ممکن است به معنای واقعی کلمه به نظر برسد، اما در بین معلمان تعداد زیادی از لفظ گرایان وجود دارد و این تکلیف شانس خوبی برای بازگرداندن آن برای تجدید نظر دارد. اگر چه این یک سخن گفتن دور از ذهن نیست - اگر پاسخ نادرست باشد، این تصور به وجود می آید که شخص چیزهای ساده را نمی فهمد و/یا اصل کار را درک نکرده است. هنگام حل هر مشکلی باید همیشه این نکته را تحت کنترل داشت ریاضیات بالاتر، و در موضوعات دیگر نیز.

حرف بزرگ "en" کجا رفت؟ در اصل، می‌توانست به راه حل اضافه شود، اما برای کوتاه کردن ورودی، این کار را نکردم. امیدوارم همه این را بفهمند و برای همین کار تعیین شوند.

یک مثال محبوب برای تصمیم مستقل:

مثال 2

مساحت مثلثی که بر روی بردارها ساخته شده است را پیدا کنید اگر

فرمول یافتن مساحت یک مثلث از طریق حاصلضرب بردار در نظرات تعریف شده است. راه حل و پاسخ در پایان درس است.

در عمل، این کار واقعاً بسیار رایج است؛ مثلث ها به طور کلی می توانند شما را عذاب دهند.

برای حل مشکلات دیگر نیاز داریم:

ویژگی های حاصلضرب برداری بردارها

ما قبلاً برخی از ویژگی های محصول برداری را در نظر گرفته ایم، با این حال، آنها را در این لیست قرار می دهم.

برای بردارهای دلخواه و یک عدد دلخواه، ویژگی های زیر درست است:

1) در سایر منابع اطلاعاتی معمولاً این مورد در خواص برجسته نمی شود، اما از نظر عملی بسیار مهم است. پس بگذارید باشد.

2) - ملک نیز در بالا مورد بحث قرار گرفته است، گاهی اوقات به آن می گویند ضد جابجایی. به عبارت دیگر، ترتیب بردارها مهم است.

3) – انجمنی یا انجمنیقوانین محصول برداری ثابت ها را می توان به راحتی به خارج از حاصل ضرب برداری منتقل کرد. راستی اونجا چیکار باید بکنن؟

4) – توزیع یا توزیعیقوانین محصول برداری باز کردن براکت ها هم مشکلی ندارد.

برای نشان دادن، اجازه دهید به یک مثال کوتاه نگاه کنیم:

مثال 3

پیدا کنید اگر

راه حل:این شرط دوباره مستلزم یافتن طول حاصلضرب بردار است. بیایید مینیاتور خود را نقاشی کنیم:

(1) طبق قوانین انجمنی، ثابت ها را خارج از محدوده حاصلضرب برداری می گیریم.

(2) ثابت را به خارج از ماژول منتقل می کنیم و ماژول علامت منفی را می خورد. طول نمی تواند منفی باشد.

(3) بقیه روشن است.

پاسخ:

وقت آن است که چوب بیشتری به آتش اضافه کنید:

مثال 4

مساحت یک مثلث ساخته شده بر روی بردارها را محاسبه کنید اگر

راه حل: با استفاده از فرمول مساحت مثلث را پیدا کنید . نکته مهم این است که بردارهای "tse" و "de" خود به عنوان مجموع بردارها ارائه می شوند. الگوریتم در اینجا استاندارد است و تا حدودی یادآور مثال های شماره 3 و 4 درس است. حاصل ضرب نقطه ای بردارها. برای وضوح، ما راه حل را به سه مرحله تقسیم می کنیم:

1) در مرحله اول، حاصلضرب برداری را از طریق حاصلضرب بردار بیان می کنیم، در واقع، بیایید یک بردار را بر اساس یک بردار بیان کنیم. هنوز در مورد طول مدت صحبتی نشده است!

(1) عبارات بردارها را جایگزین کنید.

(2) با استفاده از قوانین توزیعی، براکت ها را طبق قاعده ضرب چندجمله ای ها باز می کنیم.

(3) با استفاده از قوانین انجمنی، همه ثابت ها را فراتر از محصولات برداری حرکت می دهیم. با کمی تجربه می توان مراحل 2 و 3 را به طور همزمان انجام داد.

(4) جمله اول و آخر به دلیل خاصیت nice برابر با صفر (بردار صفر) است. در عبارت دوم از خاصیت ضد جابجایی یک محصول برداری استفاده می کنیم:

(5) ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می کنیم.

در نتیجه، مشخص شد که بردار از طریق یک بردار بیان می شود، که برای دستیابی به آن نیاز بود:

2) در مرحله دوم طول حاصلضرب برداری مورد نیاز خود را پیدا می کنیم. این عمل مشابه مثال 3 است:

3) مساحت مثلث مورد نیاز را پیدا کنید:

مراحل 2-3 راه حل می توانست در یک خط نوشته شود.

پاسخ:

مشکل در نظر گرفته شده کاملاً رایج است تست ها، در اینجا یک مثال برای یک راه حل مستقل آورده شده است:

مثال 5

پیدا کنید اگر

راه حل سریعو پاسخ در پایان درس. بیایید ببینیم هنگام مطالعه نمونه های قبلی چقدر دقت کردید ;-)

ضرب ضربدری بردارها در مختصات

، مشخص شده بر اساس متعارف، با فرمول بیان می شود:

فرمول واقعاً ساده است: در خط بالای تعیین کننده، بردارهای مختصات را می نویسیم، در خط دوم و سوم، مختصات بردارها را "قرار می دهیم" و می گذاریم. به ترتیب دقیق– ابتدا مختصات بردار “ve” سپس مختصات بردار “double-ve”. اگر بردارها باید به ترتیب دیگری ضرب شوند، سطرها باید تعویض شوند:

مثال 10

بررسی کنید که آیا بردارهای فضای زیر خطی هستند یا خیر:
آ)
ب)

راه حل: بررسی بر اساس یکی از عبارات این درس است: اگر بردارها به صورت خطی باشند، حاصلضرب بردار آنها برابر با صفر (بردار صفر) است: .

الف) حاصلضرب برداری را پیدا کنید:

بنابراین، بردارها خطی نیستند.

ب) حاصلضرب برداری را پیدا کنید:

پاسخ: الف) خطی نیست، ب)

در اینجا، شاید، تمام اطلاعات اولیه در مورد حاصلضرب برداری بردارها وجود دارد.

این بخش خیلی بزرگ نخواهد بود، زیرا مشکلات کمی در استفاده از حاصلضرب مخلوط بردارها وجود دارد. در واقع، همه چیز به تعریف بستگی دارد، معنی هندسیو چند فرمول کاری

حاصلضرب مخلوط بردارها حاصل ضرب سه بردار است:

بنابراین آنها مانند یک قطار در صف ایستادند و نمی توانند منتظر شناسایی شوند.

ابتدا یک تعریف و یک تصویر:

تعریف: کار مختلط غیر همسطحبردارها، به این ترتیب گرفته شده است، تماس گرفت حجم موازی، بر روی این بردارها ساخته شده است، اگر پایه درست باشد، با علامت "+" و اگر پایه سمت چپ باشد علامت "-" مجهز شده است.

بیایید نقاشی را انجام دهیم. خطوطی که برای ما نامرئی هستند با خطوط نقطه چین ترسیم می شوند:

بیایید به تعریف بپردازیم:

2) بردارها گرفته می شوند به ترتیب خاصی، یعنی همان طور که ممکن است حدس بزنید، بازآرایی بردارها در محصول، بدون عواقب رخ نمی دهد.

3) قبل از اظهار نظر در مورد معنای هندسی، یک واقعیت آشکار را متذکر می شوم: حاصلضرب مخلوط بردارها یک عدد است: . در ادبیات آموزشی، طراحی ممکن است کمی متفاوت باشد؛ من عادت دارم یک محصول ترکیبی را با حرف "pe" و نتیجه محاسبات را با حرف "pe" نشان دهم.

الف - مقدماتی محصول مخلوط، حجم موازی است، بر روی بردارها ساخته شده است (شکل با بردارهای قرمز و خطوط سیاه ترسیم شده است). یعنی عدد برابر با حجم یک متوازی الاضلاع معین است.

توجه داشته باشید : نقاشی شماتیک است.

4) دوباره نگران مفهوم جهت گیری مبنا و فضا نباشیم. منظور از قسمت پایانی این است که می توان یک علامت منفی به حجم اضافه کرد. به زبان ساده، محصول مخلوط می تواند منفی باشد: .

به طور مستقیم از تعریف، فرمول محاسبه حجم یک متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها را دنبال می کند.

را ماشین حساب آنلاینحاصلضرب مخلوط بردارها را محاسبه می کند. داده شده راه حل دقیق. برای محاسبه حاصلضرب ترکیبی از بردارها، روش نمایش بردارها (با مختصات یا دو نقطه) را انتخاب کنید، داده ها را در سلول ها وارد کنید و روی دکمه "محاسبه" کلیک کنید.

×

هشدار

تمام سلول ها پاک شود؟

Clear را ببندید

دستورالعمل ورود داده هااعداد به صورت اعداد صحیح (مثلاً: 487، 5، -7623، و غیره)، اعشاری (مثلاً 67.، 102.54، و غیره) یا کسری وارد می شوند. کسر باید به شکل a/b وارد شود که a و b (b>0) اعداد صحیح یا اعداد اعشاری. مثال‌های 45/5، 6.6/76.4، -7/6.7، و غیره.

حاصلضرب مخلوط بردارها (نظریه)

قطعه مخلوطسه بردار عددی است که از حاصل ضرب اسکالر حاصل حاصلضرب بردار دو بردار اول و بردار سوم به دست می آید. به عبارت دیگر، اگر سه بردار داده شود الف، بو ج، سپس برای بدست آوردن حاصلضرب مخلوط این بردارها ابتدا دو بردار اول و بردار حاصل [ ab] به صورت اسکالر در بردار ضرب می شود ج.

حاصلضرب مخلوط سه بردار الف، بو جبه صورت زیر مشخص می شود: abcیا همینطور ( الف، ب، ج). سپس می توانیم بنویسیم:

abc=([ab],ج)

قبل از فرمول‌بندی قضیه‌ای که معنای هندسی یک محصول ترکیبی را نشان می‌دهد، با مفاهیم سه‌گانه سمت راست، سه‌گانه چپ، سیستم مختصات راست، سیستم مختصات چپ (تعریف‌های 2، 2" و 3 در صفحه حاصلضرب بردار بردارها به صورت آنلاین) آشنا شوید.

برای قطعیت، در موارد زیر فقط سیستم های مختصات راست دست را در نظر خواهیم گرفت.

قضیه 1. حاصلضرب مخلوط بردارها ([ab],ج) برابر است با حجم یک موازی ساخته شده روی بردارهایی که به یک مبدأ مشترک کاهش یافته است الف، ب، ج، با علامت مثبت گرفته شده است، اگر سه الف، ب، جراست، و با علامت منفی اگر سه الف، ب، جترک کرد اگر بردارها الف، ب، جهمسطح هستند، پس ([ ab],ج) برابر با صفر است.

نتیجه 1. برابری زیر برقرار است:

پس همین را ثابت کنیم کافی است

([ab],ج)=([قبل از میلاد مسیح],آ)

(3)

از عبارت (3) مشخص می شود که قسمت چپ و راست با حجم موازی برابر است. اما علائم سمت راست و چپ منطبق هستند، زیرا سه گانه بردارها هستند abcو قبل از میلاد مسیحجهت گیری یکسانی دارند

برابری ثابت شده (1) به ما امکان می دهد حاصلضرب مخلوط سه بردار را بنویسیم الف، ب، جفقط در فرم abc، بدون اینکه مشخص شود کدام دو بردار به صورت بردار در دو بردار اول یا دو بردار آخر ضرب می شوند.

نتیجه 2. ضروری و شرایط کافیهمسطح بودن سه بردار برابری حاصلضرب مخلوط آنها به صفر است.

در واقع، اگر بردارها همسطح باشند، حاصلضرب مخلوط این بردارها برابر با صفر است. برعکس، اگر حاصلضرب مخلوط برابر با صفر باشد، همسطحی بودن این بردارها از قضیه 1 حاصل می شود (زیرا حجم یک موازی ساخته شده روی بردارهایی که به یک مبدأ مشترک کاهش یافته است برابر با صفر است).

نتیجه 3. حاصلضرب مخلوط سه بردار که دو بردار منطبق هستند برابر با صفر است.

واقعا اگر دو بردار از سه بردار منطبق باشند، آنها همسطح هستند. بنابراین حاصلضرب مخلوط این بردارها برابر با صفر است.

حاصلضرب مخلوط بردارها در مختصات دکارتی

قضیه 2. بگذارید سه بردار الف، بو جبا مختصات مستطیلی دکارتی آنها تعریف می شود

اثبات قطعه مخلوط abcبرابر با حاصل ضرب اسکالر بردارها [ ab] و ج. اثر هنری وکتوربردارها [ ab] در مختصات دکارتی با فرمول () محاسبه می شود:

آخرین عبارت را می توان با استفاده از تعیین کننده های مرتبه دوم نوشت:

لازم و کافی است که تعیین کننده برابر با صفر باشد که ردیف های آن با مختصات این بردارها پر شده است، یعنی:

.

(7)

برای اثبات نتیجه کافی است فرمول (4) و نتیجه 2 را در نظر بگیرید.

حاصلضرب مخلوط بردارها با مثال

مثال 1. حاصلضرب مخلوط بردارها را بیابید abs، جایی که

حاصلضرب مخلوط بردارها الف، ب، جبرابر با تعیین کننده ماتریس است L. بیایید تعیین کننده ماتریس را محاسبه کنیم L، تعیین کننده را در امتداد خط 1 گسترش می دهد:

نقطه پایان بردار آ.

برای بررسی دقیق چنین موضوعی، لازم است چندین بخش دیگر را پوشش دهیم. موضوع ارتباط مستقیمی با عباراتی مانند محصول نقطه ای و محصول برداری دارد. در این مقاله سعی کردیم با ارائه یک تعریف دقیق، فرمولی را نشان دهیم که به تعیین محصول با استفاده از مختصات بردارها کمک می کند. علاوه بر این، مقاله شامل بخش هایی است که ویژگی های اثر و ارائه ها را فهرست می کند تجزیه و تحلیل دقیقبرابری ها و مشکلات معمولی

Yandex.RTB R-A-339285-1

مدت، اصطلاح

برای تعیین اینکه این عبارت چیست، باید سه بردار بگیرید.

تعریف 1

کار مختلط a → , b → و d → مقداری است که برابر است با حاصل ضرب عددی a → × b → و d → که a → × b → ضرب a → و b → است. عمل ضرب a →، b → و d → اغلب با a → · b → · d → نشان داده می شود. می توانید فرمول را به این صورت تبدیل کنید: a → · b → · d → = (a → × b → , d →).

ضرب در یک سیستم مختصات

اگر بردارها در صفحه مختصات مشخص شده باشند می توانیم ضرب کنیم.

بیایید i → , j → , k → را در نظر بگیریم

حاصل ضرب بردارها در این مورد خاص به شکل زیر خواهد بود: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y + a y · b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →

تعریف 2

برای انجام محصول نقطه ایدر سیستم مختصات لازم است نتایج حاصل از ضرب مختصات را اضافه کرد.

از این رو:

a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z · j · + a x a y k b x b y

همچنین اگر یک سیستم مختصات معین مختصات بردارهایی را که ضرب می‌شوند مشخص کند، می‌توانیم حاصلضرب مخلوطی از بردارها را تعریف کنیم.

a → × b → = (a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → , d x · i → + d y · j → + d z · k →) = = a y a z b y b x a x a x b x b x a z = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

بنابراین می توان نتیجه گرفت که:

a → · b → · d = a → × b → ، d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

تعریف 3

یک محصول مخلوط را می توان معادل سازی کردبه تعیین کننده ماتریسی که ردیف های آن مختصات برداری هستند. از نظر بصری به نظر می رسد: a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z.

ویژگی‌های عملیات بردارها از ویژگی‌هایی که در یک محصول اسکالر یا بردار برجسته می‌شوند، می‌توانیم ویژگی‌هایی را استخراج کنیم که محصول مخلوط را مشخص می‌کنند. در زیر خواص اصلی را ارائه می دهیم.

1. (λ a →) b → d → = a → (λ b →) d → = a → b → (λ d →) = λ a → b → d → λ ∈ R ;
2. a → · b → · d → = d → · a → · b → = b → · d → · a → ; a → · d → · b → = b → · a → · d → = d → · b → · a → ;
3. (a (1) → + a (2) →) · b → · d → = a (1) → · b → · d → + a (2) → · b → · d → a → · (b (1 ) → + b (2) →) d → = a → b (1) → d → + a → b (2) → d → a → b → (d (1) → + d (2) →) = a → b → d (2) → + a → b → d (2) →

علاوه بر خصوصیات فوق، باید تصریح کرد که اگر ضریب صفر باشد، حاصل ضرب نیز صفر خواهد بود.

در صورت مساوی بودن دو یا چند عامل، حاصل ضرب نیز صفر خواهد بود.

در واقع، اگر a → = b →، پس از تعریف حاصلضرب برداری [ a → × b → ] = a → b → · sin 0 = 0، بنابراین، حاصلضرب مخلوط برابر با صفر است، زیرا ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .

اگر a → = b → یا b → = d →، آنگاه زاویه بین بردارهای [a → × b →] و d → برابر با π 2 است. با تعریف حاصل ضرب اسکالر بردارها ([ a → × b → ]، d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0.

ویژگی های عملیات ضرب اغلب هنگام حل مسائل مورد نیاز است.
به منظور بررسی دقیق این موضوع، بیایید چند مثال بزنیم و آنها را با جزئیات شرح دهیم.

مثال 1

برابری ([ a → × b → ]، d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ]، d →)، که در آن λ مقداری واقعی است را ثابت کنید.

برای یافتن راه حلی برای این برابری باید سمت چپ آن دگرگون شود. برای این کار باید از خاصیت سوم یک محصول مخلوط استفاده کنید که می گوید:

([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →)
دیدیم که (([ a → × b → ] , b →) = 0. از این نتیجه می شود که
([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →) = = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + 0 = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →)

با توجه به ویژگی اول، ([ a ⇀ × b ⇀ ]، λ · a →) = λ · ([ a ⇀ × b ⇀ ]، a →)، و ([ a ⇀ × b ⇀ ]، a →) = 0. بنابراین، ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ · a →) . از همین رو،
([ a ⇀ × b ⇀ ], d → + λ a → + b →) = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ a →) = = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + 0 = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →)

برابری ثابت شده است.

مثال 2

لازم است ثابت شود که مدول حاصلضرب سه بردار از حاصل ضرب طول آنها بیشتر نیست.

راه حل

بر اساس شرط، می‌توانیم مثال را به شکل یک نابرابری a → × b → , d → ≤ a → · b → · d → ارائه کنیم.

طبق تعریف، نابرابری a → × b → , d → = a → × b → · d → · cos (a → × b → ^ , d →) = = a → · b → · sin (a → , b → ^) · d → · cos ([ a → × b → ^ ] , d)

با استفاده از توابع ابتدایی می توان نتیجه گرفت که 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1, 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ], d →) ≤ 1.

از اینجا می توان نتیجه گرفت که
(a → × b → , d →) = a → · b → · گناه (a → , b →) ^ · d → · cos (a → × b → ^ , d →) ≤ ≤ a → · b → · 1 d → 1 = a → b → d →

نابرابری ثابت شده است.

تجزیه و تحلیل وظایف معمولی

برای تعیین اینکه حاصل ضرب بردارها چیست، باید مختصات بردارهای در حال ضرب را بدانید. برای عملیات، می توانید از فرمول زیر a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z استفاده کنید.

مثال 3

در یک سیستم مختصات مستطیلی، 3 بردار با مختصات زیر وجود دارد: a → = (1، - 2، 3)، b → (- 2، 2، 1)، d → = (3، - 2، 5). باید تعیین کرد که حاصل ضرب بردارهای مشخص شده a → · b → · d → برابر است.

بر اساس تئوری ارائه شده در بالا، می توانیم از این قاعده استفاده کنیم که محصول مخلوط را می توان از طریق تعیین کننده ماتریس محاسبه کرد. به این صورت خواهد بود: a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1 ) 1 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7

مثال 4

لازم است حاصل ضرب بردارهای i → + j →، i → + j → - k →، i → + j → + 2 · k →، جایی که i →، j →، k → بردارهای واحد هستند. سیستم مختصات دکارتی مستطیلی

بر اساس شرطی که بیان می کند که بردارها در یک سیستم مختصات معین قرار دارند، مختصات آنها را می توان استخراج کرد: i → + j → = (1, 1, 0) i → + j → - k → = (1, 1, - 1) i → + j → + 2 k → = (1، 1، 2)

ما از فرمولی که در بالا استفاده شد استفاده می کنیم
i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → - k → ، (i → + j → + 2 k →) = 0

همچنین می توان محصول مخلوط را با استفاده از طول بردار که از قبل مشخص است و زاویه بین آنها تعیین کرد. بیایید با یک مثال به این پایان نامه نگاه کنیم.

مثال 5

در یک سیستم مختصات مستطیلی سه بردار a →، b → و d → وجود دارد که بر یکدیگر عمود هستند. آنها یک سه تایی راست دست هستند و طول آنها 4، 2 و 3 است. لازم است بردارها را ضرب کنیم.

اجازه دهید c → = a → × b → را نشان دهیم.

بر اساس قاعده، حاصل ضرب بردارهای اسکالر عددی است که برابر است با حاصل ضرب طول بردارهای استفاده شده توسط کسینوس زاویه بین آنها. نتیجه می گیریم که a → · b → · d → = ([ a → × b → ], d →) = c → , d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) .

ما از طول بردار d → مشخص شده در شرط مثال استفاده می کنیم: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^) . تعیین c → و c → , d → ^ ضروری است. با شرط a →، b → ^ = π 2، a → = 4، b → = 2. بردار c → با استفاده از فرمول پیدا می شود: c → = [ a → × b → ] = a → · b → · sin a → , b → ^ = 4 · 2 · sin π 2 = 8
می توان نتیجه گرفت که c → عمود بر a → و b → است. بردارهای a → , b → , c → سه گانه سمت راست خواهند بود، بنابراین از سیستم مختصات دکارتی استفاده می شود. بردارهای c → و d → یک طرفه خواهند بود، یعنی c → , d → ^ = 0 . با استفاده از نتایج مشتق شده، مثال a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24 را حل می کنیم.

a → · b → · d → = 24 .

از عوامل a →، b → و d → استفاده می کنیم.

بردارهای a → , b → و d → از یک نقطه سرچشمه می گیرند. ما از آنها به عنوان طرفین برای ساختن یک شکل استفاده می کنیم.

اجازه دهید نشان دهیم که c → = [ a → × b → ] . برای این مورد، می توانیم حاصل ضرب بردارها را به صورت a → · b → · d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) = c → · n p c → d → تعریف کنیم که در آن n p c → d → نمایش عددی بردار d → به جهت بردار c → = [ a → × b → ] است.

مقدار مطلق n p c → d → برابر با عددی است که همچنین برابر با ارتفاع شکلی است که برای آن بردارهای a → , b → و d → به عنوان ضلع استفاده می شود. بر این اساس باید روشن شود که c → = [ a → × b → ] با توجه به تعریف ضرب بردار عمود بر a → هم بردار و هم بردار است. مقدار c → = a → x b → برابر است با مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارهای a → و b →.

نتیجه می گیریم که مدول حاصل ضرب a → · b → · d → = c → · n p c → d → برابر است با حاصل ضرب مساحت پایه در ارتفاع شکل که بر روی شکل ساخته شده است. بردارهای a →، b → و d → .

تعریف 4

قدر مطلق حاصلضرب متقاطع حجم متوازی الاضلاع است: V par l l e l e p i p i d a = a → · b → · d → .

این فرمول معنای هندسی است.

تعریف 5

حجم یک چهار وجهی، که بر روی →، b → و d → ساخته شده است، برابر با 1/6 حجم متوازی الاضلاع است.

به منظور تحکیم دانش، اجازه دهید به چند مثال معمولی نگاه کنیم.

مثال 6

باید حجم یک متوازی الاضلاع را پیدا کرد که اضلاع آن A B → = (3، 6، 3)، A C → = (1، 3، - 2)، A A 1 → = (2، 2، 2) است. ، در یک سیستم مختصات مستطیلی مشخص شده است. حجم یک متوازی الاضلاع را می توان با استفاده از فرمول قدر مطلق پیدا کرد. از این نتیجه می شود: A B → · A C → · A A 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 · 3 · 2 + 6 · (- 2) · 2 + 3 · 1 · 2 - 3 · 3 · 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = - 18

سپس، V par l l e l e p e d a = - 18 = 18 .

V par l l e l e p i p i d a = 18

مثال 7

سیستم مختصات شامل نقاط A (0، 1، 0)، B (3، - 1، 5)، C (1، 0، 3)، D (-2، 3، 1) است. تعیین حجم چهار وجهی که در این نقاط قرار دارد ضروری است.

بیایید از فرمول V t e t r a e d r a = 1 6 · A B → · A C → · A D → استفاده کنیم. ما می توانیم مختصات بردارها را از مختصات نقاط تعیین کنیم: A B → = (3 - 0, - 1 - 1, 5 - 0) = (3, - 2, 5) A C → = (1 - 0, 0 - 1) , 3 - 0 ) = (1 , - 1 , 3) ​​A D → = (- 2 - 0 , 3 - 1 , 1 - 0) = (- 2 , 2 , 1)

در مرحله بعد، محصول مخلوط A B → A C → A D → را با مختصات برداری تعیین می کنیم: A B → A C → A D → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2 ) · 3 · (- 2) + 5 · 1 · 2 - 5 · (- 1) · (- 2) - (- 2) · 1 · 1 - 3 · 3 · 2 = - 7 جلد V t et r a e d r a = 1 6 · - 7 = 7 6 .

V t e t r a e d r a = 7 6 .

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید