با استفاده از تعریف مشتق، مشتق تابع را پیدا کنید. چگونه مسائل مربوط به معنای فیزیکی مشتق را حل کنیم. معنای هندسی مشتق. مماس بر نمودار یک تابع

در هواپیمای مختصات xOyنمودار تابع را در نظر بگیرید y=f(x). بیایید موضوع را درست کنیم M(x 0 ؛ f (x 0)). بیایید یک آبسیسا اضافه کنیم x 0افزایش Δх. ما یک آبسیسا جدید خواهیم گرفت x 0 + Δx. این ابسیسا نکته است ن، و ترتیب مساوی خواهد بود f (x 0 +Δx). تغییر در ابسیسا مستلزم تغییر در دستور بود. این تغییر تابع افزایش نامیده می شود و نشان داده می شود Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0).از طریق نقطه مو نبیایید یک سکانس بکشیم MN، که یک زاویه را تشکیل می دهد φ با جهت محور مثبت اوه. بیایید مماس زاویه را تعیین کنیم φ از مثلث قائم الزاویه MPN.

اجازه دهید Δхبه سمت صفر میل می کند. سپس سکنت MNتمایل به گرفتن موقعیت مماس دارد MT، و زاویه φ تبدیل به یک زاویه خواهد شد α . بنابراین، مماس زاویه α وجود دارد مقدار محدودمماس زاویه φ :

حد نسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان، زمانی که دومی به صفر میل می کند، مشتق تابع در یک نقطه معین نامیده می شود:

معنای هندسیمشتق در این واقعیت نهفته است که مشتق عددی تابع در یک نقطه معین برابر است با مماس زاویه تشکیل شده توسط مماس ترسیم شده از طریق این نقطه به منحنی داده شده و جهت مثبت محور. اوه:

مثال ها.

1. افزایش آرگومان و افزایش تابع y= را پیدا کنید x 2، اگر مقدار اولیه آرگومان برابر بود 4 و جدید - 4,01 .

راه حل.

مقدار آرگومان جدید x=x 0 +Δx. بیایید داده ها را جایگزین کنیم: 4.01=4+Δx، بنابراین آرگومان افزایش می یابد. Δх=4.01-4=0.01. افزایش یک تابع، طبق تعریف، برابر است با تفاوت بین مقادیر جدید و قبلی تابع، یعنی. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). از آنجایی که ما یک تابع داریم y=x2، آن Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

پاسخ: افزایش آرگومان Δх=0.01; افزایش تابع Δу=0,0801.

افزایش تابع را می توان متفاوت یافت: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. زاویه تمایل مماس بر نمودار تابع را پیدا کنید y=f(x)در نقطه x 0، اگر f "(x 0) = 1.

راه حل.

مقدار مشتق در نقطه مماس x 0و مقدار مماس زاویه مماس است (معنای هندسی مشتق). ما داریم: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45 درجه،زیرا tg45°=1.

پاسخ: مماس بر نمودار این تابع زاویه ای با جهت مثبت محور Ox برابر با 45 درجه.

3. فرمول مشتق تابع را استخراج کنید y=x n.

تفکیکعمل یافتن مشتق یک تابع است.

هنگام یافتن مشتقات، از فرمول هایی استفاده کنید که بر اساس تعریف مشتق مشتق شده اند، به همان روشی که فرمول درجه مشتق را استخراج کردیم: (x n)" = nx n-1.

اینها فرمول ها هستند.

جدول مشتقاتبا تلفظ فرمول های کلامی به خاطر سپردن آسان تر خواهد بود:

1. مشتق یک کمیت ثابت صفر است.

2. X اول برابر با یک است.

3. عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد.

4. مشتق یک درجه برابر است با حاصل ضرب توان این درجه یک درجه با پایه یکسان، اما توان یک کمتر است.

5. مشتق یک ریشه برابر است با یک تقسیم بر دو ریشه مساوی.

6. مشتق یک تقسیم بر x برابر است با منهای یک تقسیم بر x مربع.

7. مشتق سینوس برابر با کسینوس است.

8. مشتق کسینوس برابر با منهای سینوس است.

9. مشتق مماس برابر است با تقسیم بر مجذور کسینوس.

10. مشتق کوتانژانت برابر است با منهای یک تقسیم بر مجذور سینوس.

ما آموزش می دهیم قوانین تمایز.

1. مشتق جمع جبری برابر است با مجموع جبری مشتقات اصطلاحات.

2. مشتق یک محصول برابر است با حاصلضرب مشتق عامل اول و دوم به اضافه حاصلضرب عامل اول و مشتق عامل دوم.

3. مشتق "y" تقسیم بر "ve" برابر است با کسری که در آن صورت "y اول ضرب در "ve" منهای "y ضرب در ve اول" و مخرج "ve مجذور" است.

4. یک مورد خاص از فرمول 3.

هنگام حل مسائل مختلف هندسه، مکانیک، فیزیک و سایر شاخه های دانش، نیاز به استفاده از همان فرآیند تحلیلی از این تابع بوجود آمد. y=f(x)یک تابع جدید به نام دریافت کنید تابع مشتق(یا به سادگی مشتق) یک تابع معین f(x)و با نماد مشخص می شود

فرآیندی که طی آن از یک تابع معین f(x)یک ویژگی جدید دریافت کنید f" (x)، تماس گرفت تفکیکو شامل سه مرحله زیر است: 1) استدلال ایکسافزایش  ایکسو افزایش مربوط به تابع را تعیین کنید  y = f(x+ x) -f(x); 2) ایجاد رابطه

3) شمارش ایکسثابت و  ایکس0، پیدا می کنیم
، که با آن نشان می دهیم f" (x)، گویی تأکید می کند که تابع حاصل فقط به مقدار بستگی دارد ایکس، که در آن به مرز می رویم. تعریف: مشتق y "=f" (x) تابع داده شده y=f(x) برای x معینحد نسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان نامیده می شود، مشروط بر اینکه افزایش آرگومان به سمت صفر میل کند، البته اگر این حد وجود داشته باشد، یعنی. محدود، فانی. بدین ترتیب،
، یا

توجه داشته باشید که اگر برای مقداری ایکسبرای مثال زمانی که x=a، نگرش
در  ایکس 0 به حد محدود تمایل ندارد، در این صورت می گویند که تابع f(x)در x=a(یا در نقطه x=a) مشتق ندارد یا در نقطه قابل تمایز نیست x=a.

2. معنای هندسی مشتق.

نمودار تابع y = f (x) را در نظر بگیرید که در مجاورت نقطه x 0 قابل تفکیک است.

f(x)

بیایید یک خط مستقیم دلخواه را در نظر بگیریم که از نقطه ای روی نمودار یک تابع می گذرد - نقطه A(x 0, f (x 0)) و نمودار را در نقطه ای B(x;f(x) قطع می کند). به چنین خطی (AB) سکونت گفته می شود. از ∆ABC: ​​AC = ∆x؛ ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

از آنجایی که AC || Ox، سپس ALO = BAC = β (به عنوان متناظر برای موازی). اما ALO زاویه تمایل مقطع AB به جهت مثبت محور Ox است. این بدان معنی است که tanβ = k شیب خط مستقیم AB است.

اکنون ∆x را کاهش می دهیم، یعنی. ∆х→ 0. در این حالت، نقطه B مطابق نمودار به نقطه A نزدیک می شود و سکنت AB می چرخد. موقعیت محدود مقطع AB در ∆x→ 0 یک خط مستقیم (a) خواهد بود که مماس بر نمودار تابع y = f (x) در نقطه A نامیده می شود.

اگر در برابری tgβ =∆y/∆x به حد ∆x → 0 برویم، به دست می‌آید.
ortg =f "(x 0)، از آنجا که
-زاویه تمایل مماس به جهت مثبت محور Ox
، با تعریف مشتق. اما tg = k ضریب زاویه ای مماس است که به معنای k = tg = f "(x 0) است.

بنابراین، معنای هندسی مشتق به شرح زیر است:

مشتق تابع در نقطه x 0 مساوی با شیبمماس بر نمودار تابع رسم شده در نقطه با آبسیسا x 0 .

3. معنای ظاهری مشتق.

حرکت یک نقطه را در امتداد یک خط مستقیم در نظر بگیرید. اجازه دهید مختصات یک نقطه در هر زمان x(t) داده شود. مشخص است (از یک درس فیزیک) که میانگین سرعت در یک دوره زمانی برابر است با نسبت مسافت طی شده در این دوره زمانی به زمان، یعنی.

Vav = ∆x/∆t. بیایید به سمت حد در آخرین تساوی به عنوان ∆t → 0 برویم.

lim Vav (t) =  (t 0) - سرعت آنی در زمان t 0، ∆t → 0.

و lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (با تعریف مشتق).

بنابراین، (t) =x"(t).

معنای فیزیکی مشتق به شرح زیر است: مشتق تابعy = f(ایکس) در نقطهایکس 0 نرخ تغییر تابع استf(x) در نقطهایکس 0

این مشتق در فیزیک برای یافتن سرعت از تابع شناخته شده مختصات در برابر زمان، شتاب از تابع شناخته شده سرعت در برابر زمان استفاده می شود.

(t) = x"(t) - سرعت،

a(f) = "(t) - شتاب، یا

اگر قانون حرکت یک نقطه مادی در یک دایره شناخته شده باشد، می توان سرعت زاویه ای و شتاب زاویه ای را در حین حرکت چرخشی پیدا کرد:

φ = φ(t) - تغییر زاویه در طول زمان،

ω = φ"(t) - سرعت زاویه ای،

ε = φ"(t) - شتاب زاویه ای، یا ε = φ"(t).

اگر قانون توزیع جرم یک میله ناهمگن شناخته شود، چگالی خطی میله ناهمگن را می توان یافت:

m = m (x) - جرم،

x ، l - طول میله،

p = m" (x) - چگالی خطی.

با استفاده از مشتق، مسائل مربوط به تئوری کشسانی و ارتعاشات هارمونیک حل می شود. بنابراین، طبق قانون هوک

F = -kx، x – مختصات متغیر، k – ضریب کشسانی فنر. با قرار دادن ω 2 =k/m، معادله دیفرانسیل آونگ فنر x"(t) + ω 2 x(t) = 0 را به دست می آوریم،

که در آن ω = √k/√m فرکانس نوسان (l/c)، k - سفتی فنر (H/m).

معادله ای به شکل y" + ω 2 y = 0 معادله نوسانات هارمونیک (مکانیکی، الکتریکی، الکترومغناطیسی) نامیده می شود. راه حل چنین معادلاتی تابع است.

y = Asin (ωt + φ 0) یا y = Acos (ωt + φ 0)، که در آن

الف - دامنه نوسانات، ω - فرکانس چرخه ای،

φ 0 - فاز اولیه.

مشتق تابع یکی از موضوعات دشوار در برنامه درسی مدرسه است. هر فارغ التحصیل به این سؤال پاسخ نمی دهد که مشتق چیست.

این مقاله به روشی ساده و واضح توضیح می دهد که مشتق چیست و چرا به آن نیاز است.. ما اکنون برای دقت ریاضی در ارائه تلاش نخواهیم کرد. مهمترین چیز این است که معنی را درک کنید.

بیایید تعریف را به خاطر بسپاریم:

مشتق نرخ تغییر یک تابع است.

شکل نمودارهای سه تابع را نشان می دهد. به نظر شما کدام یک سریعتر رشد می کند؟

پاسخ واضح است - سوم. بالاترین نرخ تغییر یعنی بزرگترین مشتق را دارد.

در اینجا یک مثال دیگر است.

کوستیا، گریشا و ماتوی در همان زمان شغل پیدا کردند. بیایید ببینیم درآمد آنها در طول سال چگونه تغییر کرده است:

نمودار همه چیز را به یکباره نشان می دهد، اینطور نیست؟ درآمد Kostya در شش ماه بیش از دو برابر شد. و درآمد گریشا نیز افزایش یافت، اما کمی. و درآمد Matvey به صفر کاهش یافت. شرایط شروع یکسان است، اما نرخ تغییر تابع، یعنی مشتق، - ناهمسان. در مورد ماتوی، مشتق درآمد او به طور کلی منفی است.

به طور شهودی، ما به راحتی نرخ تغییر یک تابع را تخمین می زنیم. اما چگونه این کار را انجام دهیم؟

چیزی که ما واقعاً به آن نگاه می کنیم این است که نمودار یک تابع با چه شدتی بالا (یا پایین) می رود. به عبارت دیگر، با تغییر x چقدر سریع y تغییر می کند؟ بدیهی است که عملکرد یکسانی در نقاط مختلف می تواند داشته باشد معنی متفاوتمشتق - یعنی می تواند سریعتر یا کندتر تغییر کند.

مشتق یک تابع نشان داده می شود.

ما به شما نشان خواهیم داد که چگونه آن را با استفاده از نمودار پیدا کنید.

نمودار برخی از تابع ها رسم شده است. بیایید یک نقطه را با یک آبسیسا روی آن بگیریم. اجازه دهید یک مماس بر نمودار تابع در این نقطه رسم کنیم. ما می خواهیم تخمین بزنیم که نمودار یک تابع با چه شدتی بالا می رود. یک مقدار مناسب برای این است مماس زاویه مماس.

مشتق تابع در یک نقطه برابر است با مماس زاویه مماس کشیده شده به نمودار تابع در این نقطه.

لطفاً توجه داشته باشید که به عنوان زاویه تمایل مماس، زاویه بین مماس و جهت مثبت محور را در نظر می گیریم.

گاهی اوقات دانش آموزان می پرسند مماس بر نمودار یک تابع چیست؟ این یک خط مستقیم است که یک نقطه مشترک با نمودار این بخش دارد و همانطور که در شکل ما نشان داده شده است. به نظر مماس بر دایره است.

بیا پیداش کنیم ما به یاد داریم که مماس یک زاویه حاد در راست گوشهبرابر با نسبت پای مخالفبه مجاور از مثلث:

ما مشتق را با استفاده از یک نمودار بدون دانستن فرمول تابع پیدا کردیم. چنین مشکلاتی اغلب در امتحان دولتی واحد در ریاضیات زیر عدد یافت می شود.

رابطه مهم دیگری نیز وجود دارد. به یاد بیاورید که خط مستقیم با معادله داده می شود

کمیت در این معادله نامیده می شود شیب یک خط مستقیم. برابر است با مماس زاویه میل خط مستقیم به محور.

.

ما آن را دریافت می کنیم

بیایید این فرمول را به خاطر بسپاریم. معنای هندسی مشتق را بیان می کند.

مشتق تابع در یک نقطه برابر است با شیب مماس رسم شده به نمودار تابع در آن نقطه.

به عبارت دیگر مشتق برابر با مماس زاویه مماس است.

قبلاً گفتیم که یک تابع می تواند مشتقات مختلفی در نقاط مختلف داشته باشد. بیایید ببینیم مشتق چگونه با رفتار تابع مرتبط است.

بیایید یک نمودار از یک تابع رسم کنیم. اجازه دهید این تابع در برخی مناطق افزایش یابد و در برخی دیگر کاهش یابد در سرعت های مختلف. و اجازه دهید این تابع حداکثر و حداقل امتیاز داشته باشد.

در یک نقطه عملکرد افزایش می یابد. مماس بر نمودار رسم شده در نقطه شکل می گیرد گوشه ی تیز; با جهت محور مثبت این بدان معنی است که مشتق در نقطه مثبت است.

در نقطه ای که عملکرد ما کاهش می یابد. مماس در این نقطه یک زاویه مبهم تشکیل می دهد. با جهت محور مثبت از آنجایی که مماس یک زاویه منفی منفی است، مشتق در نقطه منفی است.

این چیزی است که اتفاق می افتد:

اگر تابعی در حال افزایش باشد، مشتق آن مثبت است.

اگر کاهش یابد، مشتق آن منفی است.

در نقاط حداکثر و حداقل چه اتفاقی خواهد افتاد؟ می بینیم که در نقاط (حداکثر نقطه) و (نقطه حداقل) مماس افقی است. بنابراین، مماس زاویه مماس در این نقاط برابر با صفر، و مشتق نیز صفر است.

نقطه - حداکثر امتیاز. در این مرحله، افزایش تابع با کاهش جایگزین می شود. در نتیجه، علامت مشتق در نقطه از "بعلاوه" به "منفی" تغییر می کند.

در نقطه - حداقل نقطه - مشتق نیز صفر است، اما علامت آن از "منهای" به "بعلاوه" تغییر می کند.

نتیجه‌گیری: با استفاده از مشتق می‌توانیم هر چیزی را که در مورد رفتار یک تابع مورد علاقه ماست، دریابیم.

اگر مشتق مثبت باشد، تابع افزایش می یابد.

اگر مشتق منفی باشد، تابع کاهش می یابد.

در حداکثر نقطه، مشتق صفر است و علامت "بعلاوه" را به "منفی" تغییر می دهد.

در حداقل نقطه، مشتق نیز صفر است و علامت "منهای" را به "بعلاوه" تغییر می دهد.

بیایید این نتایج را در قالب یک جدول بنویسیم:

	افزایش	حداکثر امتیاز	کاهش می دهد	حداقل امتیاز	افزایش
+	0	-	0	+

اجازه دهید دو توضیح کوچک ارائه دهیم. هنگام حل مشکل به یکی از آنها نیاز خواهید داشت. دیگری - در سال اول، با مطالعه جدی تر از توابع و مشتقات.

ممکن است مشتق یک تابع در نقطه ای برابر با صفر باشد، اما تابع در این نقطه نه ماکزیمم داشته باشد و نه حداقل. این به اصطلاح است :

در یک نقطه مماس بر نمودار افقی و مشتق آن صفر است. با این حال، قبل از نقطه، تابع افزایش یافته است - و بعد از نقطه به افزایش ادامه می دهد. علامت مشتق تغییر نمی کند - همانطور که بود مثبت می ماند.

همچنین اتفاق می افتد که در نقطه حداکثر یا حداقل مشتق وجود ندارد. در نمودار، این مربوط به یک شکست شدید است، زمانی که کشیدن مماس در یک نقطه مشخص غیرممکن است.

اگر تابع نه با نمودار، بلکه با فرمول داده شود، مشتق را چگونه می توان پیدا کرد؟ در این مورد اعمال می شود

سطح اول

مشتق یک تابع راهنمای جامع (2019)

بیایید یک جاده مستقیم را تصور کنیم که از یک منطقه تپه ای عبور می کند. یعنی بالا و پایین می رود اما به راست و چپ نمی پیچد. اگر محور به صورت افقی در امتداد جاده و به صورت عمودی هدایت شود، خط جاده بسیار شبیه به نمودار یک تابع پیوسته خواهد بود:

محور سطح معینی از ارتفاع صفر است؛ در زندگی ما از سطح دریا به عنوان آن استفاده می کنیم.

همانطور که در طول چنین جاده ای به جلو حرکت می کنیم، به سمت بالا یا پایین نیز حرکت می کنیم. همچنین می‌توان گفت: وقتی آرگومان تغییر می‌کند (حرکت در امتداد محور آبسیسا)، مقدار تابع تغییر می‌کند (حرکت در امتداد محور مختصات). حالا بیایید در مورد چگونگی تعیین "شیب" جاده خود فکر کنیم؟ این چه نوع ارزشی می تواند باشد؟ خیلی ساده است: با حرکت به سمت جلو در یک مسافت مشخص، ارتفاع چقدر تغییر می کند. در واقع، در بخش‌های مختلف جاده، با حرکت به سمت جلو (در امتداد محور x) به اندازه یک کیلومتر، صعود یا سقوط خواهیم کرد. مقادیر مختلفمتر نسبت به سطح دریا (در امتداد محور اردینات).

بیایید پیشرفت را نشان دهیم («دلتا x» را بخوانید).

حرف یونانی (دلتا) معمولاً در ریاضیات به عنوان پیشوند به معنای "تغییر" استفاده می شود. یعنی - این یک تغییر در کمیت است - یک تغییر. پس آن چیست؟ درست است، یک تغییر در بزرگی.

مهم: یک عبارت یک کل واحد، یک متغیر است. هرگز "دلتا" را از "x" یا هر حرف دیگری جدا نکنید! یعنی مثلا .

بنابراین، ما به صورت افقی به جلو حرکت کرده ایم. اگر خط جاده را با نمودار تابع مقایسه کنیم، چگونه خیز را نشان می دهیم؟ قطعا، . یعنی هرچه جلو می رویم بالاتر می رویم.

محاسبه مقدار آسان است: اگر در ابتدا در یک ارتفاع بودیم و پس از حرکت خود را در ارتفاع یافتیم، پس. اگر نقطه پایان پایین تر از نقطه شروع باشد، منفی خواهد بود - این بدان معنی است که ما صعودی نیستیم، بلکه در حال نزول هستیم.

بیایید به "شیب" برگردیم: این مقداری است که نشان می دهد هنگام حرکت یک واحد فاصله به جلو، ارتفاع چقدر (تند) افزایش می یابد:

فرض کنید در بخشی از جاده، وقتی یک کیلومتر به جلو می روید، جاده یک کیلومتر بالا می رود. سپس شیب در این مکان برابر است. و اگر جاده در حالی که با متر جلو می رود، کیلومتر کاهش یافته است؟ سپس شیب برابر است.

حالا بیایید به بالای یک تپه نگاه کنیم. اگر ابتدای قطعه را نیم کیلومتر قبل از قله و انتهای آن را نیم کیلومتر بعد از آن طی کنید، می بینید که ارتفاع تقریباً یکسان است.

یعنی طبق منطق ما معلوم می شود که شیب اینجا تقریباً برابر با صفر است که به وضوح درست نیست. فقط در فاصله کیلومتری خیلی چیزها می توانند تغییر کنند. برای ارزیابی مناسب تر و دقیق تر از شیب، لازم است مناطق کوچکتری در نظر گرفته شود. به عنوان مثال، اگر تغییر ارتفاع را با یک متر حرکت اندازه گیری کنید، نتیجه بسیار دقیق تر خواهد بود. اما حتی این دقت ممکن است برای ما کافی نباشد - بالاخره اگر یک تیر در وسط جاده وجود داشته باشد، می توانیم به سادگی از آن عبور کنیم. آن وقت چه فاصله ای را انتخاب کنیم؟ سانتی متر؟ میلی متر؟ کمتر بهتر است!

که در زندگی واقعیاندازه گیری فاصله تا نزدیکترین میلی متر بیش از حد کافی است. اما ریاضیدانان همیشه برای کمال تلاش می کنند. بنابراین، این مفهوم ابداع شد بی نهایت کوچکیعنی قدر مطلق از هر عددی که بتوانیم نام ببریم کمتر است. مثلا می گویید: یک تریلیونم! چقدر کمتر؟ و این عدد را تقسیم بر - و حتی کمتر خواهد شد. و غیره. اگر بخواهیم بنویسیم که یک کمیت بی نهایت کوچک است، به این صورت می نویسیم: (می خوانیم x تمایل به صفر دارد). درک آن بسیار مهم است که این عدد صفر نیست!ولی خیلی بهش نزدیکه این به این معنی است که شما می توانید بر آن تقسیم کنید.

مفهوم مخالف بینهایت کوچک بی نهایت بزرگ است (). احتمالاً زمانی که روی نابرابری‌ها کار می‌کردید با آن برخورد کرده‌اید: این عدد مدول‌هایی بزرگ‌تر از هر عددی است که فکرش را بکنید. اگر به بزرگترین عدد ممکن رسیدید، کافی است آن را در دو ضرب کنید و یک عدد حتی بزرگتر به دست خواهید آورد. و بی نهایت هنوز علاوه بر اینچه اتفاقی خواهد افتاد. در واقع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک معکوس یکدیگر هستند یعنی at و بالعکس: در.

حالا بیایید به جاده خود برگردیم. شیب محاسبه‌شده ایده‌آل، شیبی است که برای یک بخش بی‌نهایت کوچک از مسیر محاسبه می‌شود، یعنی:

توجه می کنم که با جابجایی بینهایت کوچک، تغییر ارتفاع نیز بی نهایت کوچک خواهد بود. اما اجازه دهید یادآوری کنم که بینهایت کوچک به معنای برابر با صفر نیست. اگر اعداد بینهایت کوچک را بر یکدیگر تقسیم کنید، می توانید یک عدد کاملا معمولی به دست آورید، به عنوان مثال، . یعنی یک مقدار کوچک می تواند دقیقاً چند برابر بزرگتر از مقدار دیگر باشد.

این همه برای چیست؟ جاده، شیب زیاد... ما در رالی اتومبیلرانی نمی رویم، اما در حال آموزش ریاضیات هستیم. و در ریاضیات همه چیز دقیقاً یکسان است، فقط متفاوت نامیده می شود.

مفهوم مشتق

مشتق تابع نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان برای افزایش بی نهایت کوچک آرگومان است.

به صورت فزایندهدر ریاضیات به آن تغییر می گویند. میزان تغییر آرگومان () در حین حرکت در امتداد محور نامیده می شود افزایش آرگومانچقدر تابع (ارتفاع) هنگام حرکت به سمت جلو در امتداد محور با فاصله تغییر کرده است. افزایش تابعو تعیین شده است.

بنابراین، مشتق یک تابع نسبت به زمانی است. مشتق را با همان حرف تابع، فقط با علامت اول در بالا سمت راست نشان می دهیم: یا به سادگی. بنابراین، بیایید فرمول مشتق را با استفاده از این نمادها بنویسیم:

همانطور که در قیاس با جاده، در اینجا وقتی تابع افزایش می یابد، مشتق مثبت است و زمانی که کاهش می یابد، منفی است.

آیا مشتق برابر با صفر است؟ قطعا. به عنوان مثال، اگر در یک جاده افقی صاف رانندگی کنیم، شیب صفر است. و درست است، ارتفاع به هیچ وجه تغییر نمی کند. در مورد مشتق نیز همینطور است: مشتق تابع ثابت (ثابت) برابر با صفر است:

زیرا افزایش چنین تابعی برابر با صفر برای هر کدام است.

بیایید مثال بالای تپه را به یاد بیاوریم. معلوم شد که می توان انتهای بخش را در طرفین مخالف راس به گونه ای مرتب کرد که ارتفاع در انتها یکسان شود، یعنی قطعه موازی با محور باشد:

اما بخش های بزرگ نشانه ای از اندازه گیری نادرست است. قطعه خود را به موازات خودش بالا می بریم، سپس طول آن کاهش می یابد.

در نهایت، زمانی که ما بی نهایت به بالا نزدیک می شویم، طول قطعه بی نهایت کوچک می شود. اما در عین حال موازی با محور باقی مانده است، یعنی اختلاف ارتفاع در انتهای آن برابر با صفر است (به سمت آن تمایل ندارد، بلکه برابر است). پس مشتق

این را می‌توان به این صورت درک کرد: وقتی در بالاترین نقطه ایستاده‌ایم، یک جابجایی کوچک به چپ یا راست قد ما را به طرز چشمگیری تغییر می‌دهد.

یک توضیح کاملاً جبری نیز وجود دارد: در سمت چپ راس تابع افزایش می یابد و در سمت راست کاهش می یابد. همانطور که قبلا متوجه شدیم، وقتی یک تابع افزایش می‌یابد، مشتق مثبت و زمانی که کاهش می‌یابد منفی است. اما به آرامی و بدون پرش تغییر می کند (زیرا جاده هیچ جا شیب خود را به شدت تغییر نمی دهد). بنابراین بین منفی و ارزش های مثبتقطعا باید وجود داشته باشد این جایی خواهد بود که تابع نه افزایش می یابد و نه کاهش می یابد - در نقطه راس.

همین امر در مورد فرورفتگی نیز صادق است (ناحیه ای که تابع سمت چپ کاهش می یابد و در سمت راست افزایش می یابد):

کمی بیشتر در مورد افزایش.

بنابراین استدلال را به قدر تغییر می دهیم. از چه مقداری تغییر می کنیم؟ اکنون (برهان) چه شده است؟ ما می‌توانیم هر نقطه‌ای را انتخاب کنیم، و حالا از آن می‌رقصیم.

نقطه ای را با مختصات در نظر بگیرید. مقدار تابع در آن برابر است. سپس همان افزایش را انجام می دهیم: مختصات را افزایش می دهیم. حالا بحث چیست؟ بسیار آسان: . حالا ارزش تابع چقدر است؟ جایی که آرگومان می رود، تابع: . در مورد افزایش تابع چطور؟ چیز جدیدی نیست: این مقداری است که تابع تغییر کرده است:

تمرین یافتن افزایش ها:

1. افزایش تابع را در نقطه ای پیدا کنید که افزایش آرگومان برابر است.
2. همین امر در مورد تابع در یک نقطه نیز صدق می کند.

راه حل ها:

در نقاط مختلف با افزایش آرگومان یکسان، افزایش تابع متفاوت خواهد بود. این به این معنی است که مشتق در هر نقطه متفاوت است (ما در همان ابتدا در این مورد بحث کردیم - شیب جاده در نقاط مختلف متفاوت است). بنابراین، وقتی مشتق می نویسیم، باید مشخص کنیم که در چه نقطه ای:

تابع توان.

تابع قدرت تابعی است که در آن آرگومان تا حدی است (منطقی، درست است؟).

علاوه بر این - به هر میزان: .

ساده ترین حالت زمانی است که توان به صورت زیر باشد:

بیایید مشتق آن را در یک نقطه پیدا کنیم. بیایید تعریف مشتق را به یاد بیاوریم:

بنابراین استدلال از به تغییر می کند. افزایش تابع چقدر است؟

افزایش این است. اما یک تابع در هر نقطه با آرگومان آن برابر است. از همین رو:

مشتق برابر است با:

مشتق برابر است با:

ب) اکنون در نظر بگیرید تابع درجه دوم (): .

حالا بیایید آن را به خاطر بسپاریم. این بدان معنی است که ارزش افزایش را می توان نادیده گرفت، زیرا بی نهایت کوچک است، و بنابراین در پس زمینه اصطلاح دیگر ناچیز است:

بنابراین، ما به یک قانون دیگر رسیدیم:

ج) سری منطقی را ادامه می دهیم: .

این عبارت را می توان به روش های مختلفی ساده کرد: اولین براکت را با استفاده از فرمول ضرب اختصاری مکعب حاصل از مجموع باز کنید یا کل عبارت را با استفاده از فرمول تفاوت مکعب ها فاکتور کنید. سعی کنید خودتان این کار را با استفاده از هر یک از روش های پیشنهادی انجام دهید.

بنابراین، من موارد زیر را دریافت کردم:

و دوباره این را به خاطر بسپاریم. این بدان معنی است که ما می توانیم از تمام اصطلاحات حاوی:

ما گرفتیم: .

د) قوانین مشابهی را می توان برای قدرت های بزرگ به دست آورد:

ه) معلوم می شود که این قانون را می توان برای یک تابع توان با یک توان دلخواه تعمیم داد، نه حتی یک عدد صحیح:

(2)

این قاعده را می توان اینگونه فرموله کرد: "درجه به عنوان یک ضریب به جلو آورده می شود و سپس کاهش می یابد."

این قاعده را بعداً (تقریباً در پایان) اثبات خواهیم کرد. حال بیایید به چند نمونه نگاه کنیم. مشتق توابع را پیدا کنید:

1. (به دو صورت: با فرمول و با استفاده از تعریف مشتق - با محاسبه افزایش تابع).

1. . باور کنید یا نه، این یک تابع قدرت است. اگر سوالی دارید مانند "این چطور است؟ مدرک کجاست؟»، موضوع «» را به خاطر بسپارید!
   بله، بله، ریشه هم درجه است، فقط کسری: .
   پس مال ما ریشه دوم- این فقط یک درجه با یک نشانگر است:
   .
   با استفاده از فرمول اخیراً آموخته شده به دنبال مشتق می گردیم:

   اگر در این مرحله دوباره نامشخص شد، موضوع "" را تکرار کنید!!! (در مورد یک درجه با توان منفی)

2. . حال توان:

   و اکنون از طریق تعریف (آیا هنوز فراموش کرده اید؟):
   ;
   .
   اکنون، طبق معمول، از اصطلاحی که شامل:
   .

3. . ترکیب موارد قبلی: .

توابع مثلثاتی

در اینجا ما از یک واقعیت از ریاضیات عالی استفاده خواهیم کرد:

با بیان.

شما مدرک را در سال اول موسسه یاد خواهید گرفت (و برای رسیدن به آنجا، باید آزمون یکپارچه دولتی را به خوبی پشت سر بگذارید). حالا من فقط آن را به صورت گرافیکی نشان می دهم:

می بینیم که وقتی تابع وجود ندارد - نقطه روی نمودار قطع می شود. اما هرچه به مقدار نزدیکتر باشد، تابع به آن نزدیکتر است. این همان چیزی است که "هدف" دارد.

علاوه بر این، می توانید این قانون را با استفاده از یک ماشین حساب بررسی کنید. بله، بله، خجالتی نباشید، یک ماشین حساب بگیرید، ما هنوز در آزمون یکپارچه دولتی نیستیم.

بنابراین، بیایید سعی کنیم: ;

فراموش نکنید که ماشین حساب خود را به حالت Radians تغییر دهید!

و غیره. می بینیم که هر چه کوچکتر باشد، مقدار نسبت به آن نزدیکتر است.

الف) تابع را در نظر بگیرید. طبق معمول، بیایید افزایش آن را پیدا کنیم:

بیایید اختلاف سینوس ها را به محصول تبدیل کنیم. برای این کار از فرمول استفاده می کنیم (موضوع “” را به خاطر بسپارید): .

حال مشتق:

بیایید جایگزین کنیم: . سپس برای بینهایت کوچک نیز بی نهایت کوچک است: . عبارت for به شکل زیر است:

و اکنون ما آن را با بیان به یاد می آوریم. و همچنین، اگر بتوان یک کمیت بی نهایت کوچک را در مجموع (یعنی در) نادیده گرفت چه می شود.

بنابراین، قانون زیر را دریافت می کنیم: مشتق سینوس برابر با کسینوس است:

اینها مشتقات اساسی ("جدولی") هستند. در اینجا آنها در یک لیست قرار دارند:

بعداً چند مورد دیگر را به آنها اضافه خواهیم کرد، اما اینها مهمترین آنها هستند، زیرا بیشتر مورد استفاده قرار می گیرند.

تمرین:

1. مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.
2. مشتق تابع را بیابید.

راه حل ها:

1. ابتدا بیایید مشتق در را پیدا کنیم نمای کلیو سپس مقدار آن را جایگزین کنید:
   ;
   .
2. در اینجا ما چیزی شبیه به تابع توان. بیایید سعی کنیم او را به خود بیاوریم
   نمای عادی:
   .
   عالی، حالا می توانید از فرمول استفاده کنید:
   .
   .
3. . اییییییی….. این چیه؟؟؟؟

خوب، حق با شماست، ما هنوز نمی دانیم چگونه چنین مشتقاتی را پیدا کنیم. در اینجا ما ترکیبی از چندین نوع توابع را داریم. برای کار با آنها، باید چند قانون دیگر را یاد بگیرید:

نما و لگاریتم طبیعی.

تابعی در ریاضیات وجود دارد که مشتق آن برای هر مقدار با مقدار خود تابع در همان زمان برابر است. به آن "نما" می گویند و یک تابع نمایی است

اساس این تابع یک ثابت است - بی نهایت است اعشاری، یعنی عدد غیر منطقی (مانند). به آن "عدد اویلر" می گویند، به همین دلیل است که با یک حرف نشان داده می شود.

بنابراین، قانون:

خیلی راحت به خاطر سپردن

خوب، بیایید دور نرویم، بیایید فوراً به آن نگاه کنیم تابع معکوس. معکوس کدام تابع است تابع نمایی? لگاریتم:

در مورد ما، پایه عدد است:

چنین لگاریتمی (یعنی لگاریتمی با پایه) "طبیعی" نامیده می شود و ما از نماد خاصی برای آن استفاده می کنیم: به جای آن می نویسیم.

با چه چیزی برابر است؟ البته، .

مشتق لگاریتم طبیعی نیز بسیار ساده است:

مثال ها:

1. مشتق تابع را بیابید.
2. مشتق تابع چیست؟

پاسخ ها: غرفه دار و لگاریتم طبیعی- توابع از نظر مشتقات به طور منحصر به فردی ساده هستند. توابع نمایی و لگاریتمی با هر پایه دیگری مشتق متفاوتی خواهند داشت که بعد از مرور قوانین تمایز آن را تحلیل خواهیم کرد.

قوانین تمایز

قوانین چی؟ بازم یه ترم جدید دیگه؟!...

تفکیکفرآیند یافتن مشتق است.

همین. این فرآیند را در یک کلمه چه چیز دیگری می‌توان نامید؟ نه مشتق... ریاضیدانان دیفرانسیل را همان افزایش یک تابع در می نامند. این اصطلاح از دیفرانسیل لاتین - تفاوت می آید. اینجا.

هنگام استخراج همه این قوانین، از دو تابع به عنوان مثال و. ما همچنین به فرمول هایی برای افزایش آنها نیاز خواهیم داشت:

در کل 5 قانون وجود دارد.

ثابت از علامت مشتق خارج می شود.

اگر - یک عدد ثابت (ثابت)، پس.

بدیهی است که این قانون برای تفاوت نیز کار می کند: .

بیایید ثابت کنیم. بگذارید باشد یا ساده تر.

مثال ها.

مشتقات توابع را پیدا کنید:

1. در یک نقطه؛
2. در یک نقطه؛
3. در یک نقطه؛
4. در نقطه

راه حل ها:

1. (مشتق در همه نقاط یکسان است، زیرا این تابع خطی، یاد آوردن؟)؛

مشتق محصول

همه چیز در اینجا مشابه است: بیایید یک تابع جدید معرفی کنیم و افزایش آن را پیدا کنیم:

مشتق:

مثال ها:

1. مشتقات توابع را پیدا کنید و
2. مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.

راه حل ها:

مشتق تابع نمایی

اکنون دانش شما کافی است تا بیاموزید چگونه مشتق هر تابع نمایی را بیابید، و نه فقط نماها (آیا هنوز فراموش کرده اید که چیست؟).

بنابراین، برخی از شماره ها کجاست.

ما قبلاً مشتق تابع را می دانیم، بنابراین بیایید سعی کنیم تابع خود را به یک پایه جدید کاهش دهیم:

برای این ما استفاده خواهیم کرد قانون ساده: . سپس:

خوب، کار کرد. حالا سعی کنید مشتق را پیدا کنید و فراموش نکنید که این تابع پیچیده است.

اتفاق افتاد؟

در اینجا، خود را بررسی کنید:

فرمول بسیار شبیه به مشتق یک توان است: همانطور که بود، ثابت می ماند، فقط یک عامل ظاهر شد که فقط یک عدد است، اما یک متغیر نیست.

مثال ها:
مشتقات توابع را پیدا کنید:

پاسخ ها:

این فقط یک عدد است که بدون ماشین حساب نمی توان آن را محاسبه کرد، یعنی دیگر نمی توان آن را یادداشت کرد. به شکل ساده. لذا در جواب به این شکل می گذاریم.

مشتق تابع لگاریتمی

در اینجا مشابه است: شما قبلاً مشتق لگاریتم طبیعی را می دانید:

بنابراین، برای پیدا کردن یک لگاریتم دلخواه با پایه متفاوت، به عنوان مثال:

باید این لگاریتم را به پایه کاهش دهیم. چگونه پایه لگاریتم را تغییر می دهید؟ امیدوارم این فرمول را به خاطر بسپارید:

فقط اکنون به جای آن می نویسیم:

مخرج به سادگی یک ثابت است (عددی ثابت، بدون متغیر). مشتق بسیار ساده به دست می آید:

مشتقات توابع نمایی و لگاریتمی تقریباً هرگز در آزمون یکپارچه دولتی یافت نمی شوند، اما دانستن آنها اضافی نخواهد بود.

مشتق تابع مختلط

"تابع پیچیده" چیست؟ نه، این یک لگاریتم نیست و نه یک تانژانت. درک این توابع ممکن است دشوار باشد (البته اگر لگاریتم را دشوار می‌دانید، مبحث "لگاریتم" را بخوانید و خوب خواهید شد)، اما از نظر ریاضی، کلمه "پیچیده" به معنای "دشوار" نیست.

یک تسمه نقاله کوچک را تصور کنید: دو نفر نشسته اند و با برخی از اشیا کارهایی را انجام می دهند. به عنوان مثال، اولی یک تخته شکلات را در یک بسته بندی می پیچد و دومی آن را با یک روبان می بندد. نتیجه یک شی ترکیبی است: یک شکلات که با روبان بسته شده و بسته شده است. برای خوردن یک شکلات، باید مراحل معکوس را انجام دهید به صورت برعکس.

بیایید یک خط لوله ریاضی مشابه ایجاد کنیم: ابتدا کسینوس یک عدد را پیدا می کنیم و سپس عدد حاصل را مربع می کنیم. بنابراین، یک عدد (شکلاتی) به ما داده می شود، من کسینوس آن را پیدا می کنم (لفاف بندی)، و سپس شما آنچه را که به دست آوردم مربع می کنید (آن را با یک روبان ببندید). چی شد؟ تابع. این مثالی از یک تابع پیچیده است: زمانی که برای یافتن مقدار آن، اولین عمل را مستقیماً با متغیر انجام می دهیم، و سپس یک عمل دوم را با آنچه که از اولی حاصل می شود، انجام می دهیم.

ما به راحتی می‌توانیم همان مراحل را به ترتیب معکوس انجام دهیم: ابتدا آن را مربع می‌کنید و من به دنبال کسینوس عدد حاصل می‌گردم: . به راحتی می توان حدس زد که نتیجه تقریباً همیشه متفاوت خواهد بود. یک ویژگی مهم توابع پیچیده: وقتی ترتیب اعمال تغییر می کند، تابع تغییر می کند.

به عبارت دیگر، تابع پیچیده تابعی است که آرگومان آن تابع دیگری است: .

برای مثال اول، .

مثال دوم: (همان چیز). .

اقدامی که آخرین بار انجام می دهیم نامیده می شود عملکرد "خارجی".، و عمل انجام شد - بر این اساس عملکرد "داخلی".(این اسامی غیر رسمی هستند، من از آنها فقط برای توضیح مطالب به زبان ساده استفاده می کنم).

سعی کنید خودتان تعیین کنید کدام تابع خارجی و کدام داخلی است:

پاسخ ها:جداسازی توابع داخلی و خارجی بسیار شبیه به تغییر متغیرها است: به عنوان مثال، در یک تابع

1. ابتدا چه اقدامی را انجام خواهیم داد؟ ابتدا بیایید سینوس را محاسبه کنیم و فقط آن را مکعب کنیم. این بدان معنی است که یک عملکرد داخلی است، اما یک عملکرد خارجی.
   و کارکرد اصلی ترکیب آنهاست: .
2. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
3. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
4. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
5. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .

متغیرها را تغییر می دهیم و تابع می گیریم.

خوب، حالا شکلات‌مان را استخراج می‌کنیم و به دنبال مشتق آن می‌گردیم. روال همیشه برعکس است: ابتدا به دنبال مشتق می گردیم عملکرد خارجی، سپس حاصل را در مشتق تابع داخلی ضرب کنید. در رابطه با نمونه اصلی، به این صورت است:

مثالی دیگر:

بنابراین، اجازه دهید در نهایت قانون رسمی را فرموله کنیم:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

ساده به نظر می رسد، درست است؟

بیایید با مثال ها بررسی کنیم:

راه حل ها:

1) داخلی:

خارجی: ;

2) داخلی:

(فقط سعی نکنید تا الان آن را قطع کنید! چیزی از زیر کسینوس بیرون نمی آید، یادتان هست؟)

3) داخلی:

خارجی: ;

بلافاصله مشخص است که این یک تابع پیچیده سه سطحی است: از این گذشته، این به خودی خود یک تابع پیچیده است و ما ریشه را نیز از آن استخراج می کنیم، یعنی عمل سوم را انجام می دهیم (شکلات را در یک بسته بندی و با یک روبان در کیف). اما دلیلی برای ترس وجود ندارد: ما همچنان این عملکرد را به همان ترتیب معمول "باز کردن" خواهیم کرد: از پایان.

یعنی ابتدا ریشه و بعد کسینوس و فقط بعد عبارت داخل پرانتز را متمایز می کنیم. و سپس همه را ضرب می کنیم.

در چنین مواردی، شماره گذاری اقدامات راحت است. یعنی آنچه را که می دانیم تصور کنیم. به چه ترتیبی اقداماتی را برای محاسبه مقدار این عبارت انجام خواهیم داد؟ بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

هرچه این عمل دیرتر انجام شود، عملکرد مربوطه "خارجی" تر خواهد بود. توالی اقدامات مانند قبل است:

در اینجا لانه سازی به طور کلی 4 سطح است. بیایید مسیر عمل را مشخص کنیم.

1. بیان رادیکال. .

2. ریشه. .

3. سینوس. .

4. مربع. .

5. کنار هم گذاشتن همه:

مشتق. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

مشتق از یک تابع- نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان برای افزایش بی نهایت کوچک آرگومان:

مشتقات پایه:

قوانین تمایز:

ثابت از علامت مشتق خارج می شود:

مشتق جمع:

مشتقات محصول:

مشتق ضریب:

مشتق تابع مختلط:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

1. ما تابع "داخلی" را تعریف کرده و مشتق آن را پیدا می کنیم.
2. ما تابع "خارجی" را تعریف می کنیم و مشتق آن را پیدا می کنیم.
3. نتایج نقطه اول و دوم را ضرب می کنیم.

تصميم گرفتن وظایف فیزیکییا مثال در ریاضیات بدون آگاهی از مشتق و روش های محاسبه آن کاملاً غیرممکن است. مشتق یکی از مهمترین مفاهیم تجزیه و تحلیل ریاضی. ما تصمیم گرفتیم مقاله امروز را به این موضوع اساسی اختصاص دهیم. مشتق چیست، معنای فیزیکی و هندسی آن چیست، مشتق تابع را چگونه محاسبه کنیم؟ همه این سؤالات را می توان در یکی ترکیب کرد: چگونه مشتق را درک کنیم؟

معنای هندسی و فیزیکی مشتق

اجازه دهید یک تابع وجود داشته باشد f(x) ، در یک بازه زمانی مشخص مشخص شده است (الف، ب) . نقاط x و x0 متعلق به این بازه هستند. وقتی x تغییر می کند، خود تابع تغییر می کند. تغییر استدلال - تفاوت در مقادیر آن x-x0 . این تفاوت به صورت نوشته شده است دلتا x و افزایش آرگومان نامیده می شود. تغییر یا افزایش یک تابع، تفاوت بین مقادیر یک تابع در دو نقطه است. تعریف مشتق:

مشتق یک تابع در یک نقطه حد نسبت افزایش تابع در یک نقطه معین به افزایش آرگومان زمانی است که دومی به سمت صفر میل می کند.

در غیر این صورت می توان اینگونه نوشت:

یافتن چنین محدودیتی چه فایده ای دارد؟ و در اینجا چیست:

مشتق تابع در یک نقطه برابر است با مماس زاویه بین محور OX و مماس بر نمودار تابع در یک نقطه معین.

معنای فیزیکی مشتق: مشتق مسیر نسبت به زمان برابر است با سرعت حرکت مستقیم.

در واقع، از دوران مدرسه همه می دانند که سرعت یک مسیر خاص است x=f(t) و زمان تی . سرعت متوسطبرای مدت معین:

برای پی بردن به سرعت حرکت در یک لحظه از زمان t0 شما باید حد را محاسبه کنید:

قانون اول: یک ثابت تنظیم کنید

ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد. علاوه بر این، این باید انجام شود. هنگام حل مثال هایی در ریاضیات، آن را به عنوان یک قاعده در نظر بگیرید - اگر می توانید یک عبارت را ساده کنید، حتما آن را ساده کنید .

مثال. بیایید مشتق را محاسبه کنیم:

قانون دوم: مشتق از مجموع توابع

مشتق مجموع دو تابع برابر است با مجموع مشتقات این توابع. همین امر در مورد مشتق تفاوت توابع نیز صادق است.

ما برای این قضیه اثبات نمی کنیم، بلکه یک مثال عملی را در نظر می گیریم.

مشتق تابع را پیدا کنید:

قانون سوم: مشتق حاصلضرب توابع

مشتق حاصل ضرب دو تابع متمایز با فرمول محاسبه می شود:

مثال: مشتق یک تابع را پیدا کنید:

راه حل:

در اینجا مهم است که در مورد محاسبه مشتقات توابع پیچیده صحبت کنیم. مشتق تابع مختلط با حاصلضرب مشتق این تابع نسبت به آرگومان میانی و مشتق آرگومان میانی نسبت به متغیر مستقل برابر است.

در مثال بالا به این عبارت برخورد می کنیم:

در این حالت، آرگومان میانی 8 برابر به توان پنجم است. برای محاسبه مشتق چنین عبارتی، ابتدا مشتق تابع خارجی را با توجه به آرگومان میانی محاسبه می کنیم و سپس با توجه به متغیر مستقل در مشتق خود آرگومان میانی ضرب می کنیم.

قانون چهارم: مشتق ضریب دو تابع

فرمول تعیین مشتق ضریب دو تابع:

ما سعی کردیم در مورد مشتقات برای آدمک ها از ابتدا صحبت کنیم. این موضوع آنقدرها هم که به نظر می رسد ساده نیست، پس اخطار داشته باشید: در مثال ها اغلب مشکلاتی وجود دارد، بنابراین هنگام محاسبه مشتقات مراقب باشید.

در صورت داشتن هرگونه سوال در این زمینه و موضوعات دیگر، می توانید با خدمات دانشجویی تماس بگیرید. در مدت زمان کوتاهی، ما به شما کمک می کنیم تا سخت ترین آزمون را حل کنید و وظایف را درک کنید، حتی اگر قبلاً محاسبات مشتق را انجام نداده باشید.