EntréeLe concept de dérivé. Qu'est-ce qu'un dérivé ? Définition du dérivé. Signification géométrique de la dérivée et du différentiel. Signification géométrique et physique de la dérivée
Le problème B9 donne le graphique d’une fonction ou d’une dérivée à partir de laquelle vous devez déterminer l’une des quantités suivantes :
- La valeur de la dérivée à un moment donné x 0,
- Points maximum ou minimum (points extremum),
- Intervalles de fonctions croissantes et décroissantes (intervalles de monotonie).
Les fonctions et dérivées présentées dans ce problème sont toujours continues, ce qui rend la solution beaucoup plus facile. Malgré le fait que la tâche appartient à la section analyse mathematique, c'est tout à fait à la portée des étudiants, même les plus faibles, puisqu'il n'y a pas de profondeur connaissance théorique pas requis ici.
Pour trouver la valeur de la dérivée, des points extrêmes et des intervalles de monotonie, il existe des algorithmes simples et universels - ils seront tous discutés ci-dessous.
Lisez attentivement les conditions du problème B9 pour éviter de commettre des erreurs stupides : parfois vous tombez sur des textes assez longs, mais conditions importantes, qui influencent le cours de la décision, il y en a peu.
Calcul de la valeur dérivée. Méthode en deux points
Si le problème est donné un graphique d'une fonction f(x), tangente à ce graphique en un certain point x 0, et qu'il est nécessaire de trouver la valeur de la dérivée à ce point, l'algorithme suivant est appliqué :
- Trouvez deux points « adéquats » sur le graphique tangent : leurs coordonnées doivent être entières. Notons ces points comme A (x 1 ; y 1) et B (x 2 ; y 2). Notez correctement les coordonnées - c'est moment clé solutions, et toute erreur ici entraîne une réponse incorrecte.
- Connaissant les coordonnées, il est facile de calculer l'incrément de l'argument Δx = x 2 − x 1 et l'incrément de la fonction Δy = y 2 − y 1 .
- Enfin, on retrouve la valeur de la dérivée D = Δy/Δx. En d'autres termes, vous devez diviser l'incrément de la fonction par l'incrément de l'argument - et ce sera la réponse.
Notons encore une fois : les points A et B doivent être recherchés précisément sur la tangente, et non sur le graphe de la fonction f(x), comme cela arrive souvent. La ligne tangente contiendra nécessairement au moins deux de ces points - sinon le problème ne sera pas formulé correctement.
Considérez les points A (−3 ; 2) et B (−1 ; 6) et trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2 ; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Trouvons la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Tâche. La figure montre un graphique de la fonction y = f(x) et une tangente à celle-ci au point d'abscisse x 0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0 .
Considérez les points A (0 ; 3) et B (3 ; 0), trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3 ; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
On trouve maintenant la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Tâche. La figure montre un graphique de la fonction y = f(x) et une tangente à celle-ci au point d'abscisse x 0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0 .
Considérez les points A (0 ; 2) et B (5 ; 2) et trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5 ; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Reste à trouver la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
A partir du dernier exemple, on peut formuler une règle : si la tangente est parallèle à l'axe OX, la dérivée de la fonction au point de tangence est nulle. Dans ce cas, vous n’avez même pas besoin de compter quoi que ce soit : il suffit de regarder le graphique.
Calcul des points maximum et minimum
Parfois, au lieu d'un graphique d'une fonction, le problème B9 donne un graphique de la dérivée et nécessite de trouver le point maximum ou minimum de la fonction. Dans cette situation, la méthode en deux points est inutile, mais il existe un autre algorithme encore plus simple. Tout d'abord, définissons la terminologie :
- Le point x 0 est appelé le point maximum de la fonction f(x) si dans un certain voisinage de ce point l'inégalité suivante est vraie : f(x 0) ≥ f(x).
- Le point x 0 est appelé le point minimum de la fonction f(x) si dans un certain voisinage de ce point l'inégalité suivante est vraie : f(x 0) ≤ f(x).
Afin de trouver les points maximum et minimum à partir du graphique dérivé, suivez simplement ces étapes :
- Redessinez le graphique dérivé en supprimant toutes les informations inutiles. Comme le montre la pratique, les données inutiles ne font qu'interférer avec la décision. Par conséquent, nous marquons les zéros de la dérivée sur l'axe des coordonnées - et c'est tout.
- Découvrez les signes de la dérivée sur les intervalles entre zéros. Si pour un point x 0 on sait que f'(x 0) ≠ 0, alors seules deux options sont possibles : f'(x 0) ≥ 0 ou f'(x 0) ≤ 0. Le signe de la dérivée est facile à déterminer à partir du dessin original : si le graphe dérivé se situe au-dessus de l'axe OX, alors f'(x) ≥ 0. Et vice versa, si le graphe dérivé se situe en dessous de l'axe OX, alors f'(x) ≤ 0.
- Nous vérifions à nouveau les zéros et les signes de la dérivée. Là où le signe passe de moins à plus, c'est le point minimum. A l’inverse, si le signe de la dérivée passe du plus au moins, c’est le point maximum. Le comptage se fait toujours de gauche à droite.
Ce schéma ne fonctionne que pour les fonctions continues – il n’y en a pas d’autres dans le problème B9.
Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−5; 5]. Trouvez le point minimum de la fonction f(x) sur ce segment.
Débarrassons-nous des informations inutiles et ne laissons que les limites [−5; 5] et les zéros de la dérivée x = −3 et x = 2,5. On note également les signes :
Évidemment, au point x = −3, le signe de la dérivée passe de moins à plus. C'est le point minimum.
Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−3; 7]. Trouvez le point maximum de la fonction f(x) sur ce segment.
Redessinons le graphique en ne laissant que les limites [−3; 7] et les zéros de la dérivée x = −1,7 et x = 5. Notons les signes de la dérivée sur le graphique résultant. Nous avons:
Évidemment, au point x = 5, le signe de la dérivée passe du plus au moins - c'est le point maximum.
Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle [−6 ; 4]. Trouver le nombre de points maximum de la fonction f(x) appartenant au segment [−4; 3].
Des conditions du problème il résulte qu'il suffit de considérer uniquement la partie du graphe limitée par le segment [−4 ; 3]. Par conséquent, nous construisons un nouveau graphe sur lequel nous marquons uniquement les frontières [−4 ; 3] et les zéros de la dérivée à l'intérieur. A savoir, les points x = −3,5 et x = 2. On obtient :
Sur ce graphique, il n'y a qu'un seul point maximum x = 2. C'est à ce stade que le signe de la dérivée passe du plus au moins.
Une petite note sur les points avec des coordonnées non entières. Par exemple, dans le dernier problème, le point x = −3,5 a été considéré, mais avec le même succès nous pouvons prendre x = −3,4. Si le problème est correctement rédigé, de tels changements ne devraient pas affecter la réponse, puisque les points « sans domicile fixe » ne participent pas directement à la résolution du problème. Bien entendu, cette astuce ne fonctionnera pas avec des points entiers.
Trouver des intervalles de fonctions croissantes et décroissantes
Dans un tel problème, comme les points maximum et minimum, il est proposé d'utiliser le graphe dérivé pour trouver les zones dans lesquelles la fonction elle-même augmente ou diminue. Tout d’abord, définissons ce que sont l’augmentation et la diminution :
- Une fonction f(x) est dite croissante sur un segment si pour deux points quelconques x 1 et x 2 de ce segment l'énoncé suivant est vrai : x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . En d’autres termes, plus la valeur de l’argument est grande, plus la valeur de la fonction est grande.
- Une fonction f(x) est dite décroissante sur un segment si pour deux points quelconques x 1 et x 2 de ce segment l'énoncé suivant est vrai : x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Ceux. valeur plus élevée L’argument correspond à la plus petite valeur de la fonction.
Formulons conditions suffisantes ascendant et descendant :
- Pour qu'une fonction continue f(x) augmente sur le segment , il suffit que sa dérivée à l'intérieur du segment soit positive, c'est-à-dire f'(x) ≥ 0.
- Pour qu'une fonction continue f(x) décroisse sur le segment , il suffit que sa dérivée à l'intérieur du segment soit négative, c'est-à-dire f'(x) ≤ 0.
Acceptons ces déclarations sans preuves. Ainsi, nous obtenons un schéma pour trouver des intervalles d'augmentation et de diminution, qui est à bien des égards similaire à l'algorithme de calcul des points extremum :
- Supprimez toutes les informations inutiles. Dans le graphique original de la dérivée, nous nous intéressons principalement aux zéros de la fonction, nous ne les laisserons donc que.
- Marquez les signes de la dérivée aux intervalles entre les zéros. Où f'(x) ≥ 0, la fonction augmente, et où f'(x) ≤ 0, elle diminue. Si le problème impose des restrictions sur la variable x, nous les marquons en outre sur un nouveau graphique.
- Maintenant que l'on connaît le comportement de la fonction et les contraintes, il reste à calculer la quantité requise dans le problème.
Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−3; 7.5]. Trouver les intervalles de diminution de la fonction f(x). Dans votre réponse, indiquez la somme des entiers compris dans ces intervalles.
Comme d'habitude, redessinons le graphique et marquons les limites [−3 ; 7,5], ainsi que les zéros de la dérivée x = −1,5 et x = 5,3. Puis on note les signes de la dérivée. Nous avons:
Puisque la dérivée est négative sur l'intervalle (− 1,5), c'est l'intervalle de fonction décroissante. Il reste à additionner tous les entiers qui se trouvent à l'intérieur de cet intervalle :
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle [−10 ; 4]. Trouver les intervalles d'augmentation de la fonction f(x). Dans votre réponse, indiquez la longueur du plus grand d’entre eux.
Débarrassons-nous des informations inutiles. Laissons seulement les frontières [−10 ; 4] et les zéros de la dérivée, qui étaient cette fois quatre : x = −8, x = −6, x = −3 et x = 2. Marquons les signes de la dérivée et obtenons l'image suivante :
Nous nous intéressons aux intervalles de fonction croissante, c'est-à-dire tel que f'(x) ≥ 0. Il existe deux de ces intervalles sur le graphique : (−8 ; −6) et (−3 ; 2). Calculons leurs longueurs :
l 1 = − 6 − (−8) = 2 ;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Puisque nous devons trouver la longueur du plus grand des intervalles, nous notons la valeur l 2 = 5 comme réponse.
Lorsqu'une personne a fait ses premiers pas indépendants dans l'étude de l'analyse mathématique et commence à se demander questions embarrassantes, alors il n'est plus si facile de s'en sortir avec l'expression selon laquelle « le calcul différentiel a été trouvé dans le chou ». Le moment est donc venu de déterminer et de révéler le secret de la naissance. tableaux de dérivés et règles de différenciation. Commencé dans l'article sur la signification de la dérivée, que je recommande fortement d'étudier, car là-bas, nous venons d'examiner le concept de dérivé et avons commencé à cliquer sur des problèmes sur le sujet. Cette même leçon a d’ailleurs une orientation pratique prononcée,
les exemples discutés ci-dessous peuvent, en principe, être maîtrisés de manière purement formelle (par exemple, lorsqu'il n'y a pas de temps/d'envie de se plonger dans l'essence du dérivé). Il est également hautement souhaitable (mais là encore pas nécessaire) de pouvoir trouver des dérivées en utilisant la méthode « ordinaire » - au moins au niveau de deux leçons de base : Comment trouver la dérivée ? et Dérivée d'une fonction complexe.
Mais il y a une chose dont nous ne pouvons définitivement plus nous passer maintenant, c'est limites de fonction. Vous devez COMPRENDRE ce qu'est une limite et être capable de les résoudre au moins à un niveau moyen. Et tout cela parce que la dérivée
la fonction en un point est déterminée par la formule :
Je vous rappelle les appellations et les termes : ils appellent incrément d'argument;
– incrément de fonction ;
– ce sont des symboles UNIQUES (« delta » ne peut pas être « arraché » de « X » ou « Y »).
Évidemment, ce qu’est une variable « dynamique » est une constante et le résultat du calcul de la limite 
- nombre (parfois - "plus" ou "moins" l'infini).
En tant que point, vous pouvez considérer TOUTE valeur appartenant à domaine de définition fonction dans laquelle une dérivée existe.
Remarque : la clause « dans lequel le dérivé existe » – en général c'est significatif! Ainsi, par exemple, bien qu'un point soit inclus dans le domaine de définition d'une fonction, sa dérivée
n'existe pas là-bas. Donc la formule
non applicable au point
et une formulation abrégée sans réserve serait incorrecte. Des faits similaires sont vrais pour d’autres fonctions avec des « ruptures » dans le graphique, en particulier pour l’arc sinus et l’arc cosinus.
Ainsi, après avoir remplacé , nous obtenons la deuxième formule de travail :
Faites attention à une circonstance insidieuse qui peut dérouter la théière : dans cette limite, « x », étant lui-même une variable indépendante, joue le rôle d'une statistique, et la « dynamique » est à nouveau fixée par l'incrément. Le résultat du calcul de la limite
est la fonction dérivée.
Sur la base de ce qui précède, nous formulons les conditions de deux problèmes typiques :
- Trouver dérivée en un point, en utilisant la définition de dérivée.
- Trouver fonction dérivée, en utilisant la définition de dérivée. Cette version, d'après mes observations, est beaucoup plus courante et recevra la plus grande attention.
La différence fondamentale entre les tâches est que dans le premier cas, vous devez trouver le numéro (éventuellement, l'infini), et dans le second –
fonction De plus, le dérivé peut ne pas exister du tout.
Comment ?
Créez un ratio et calculez la limite.
D'où vient-il? tableau des dérivés et règles de différenciation ? Grâce à la seule limite
Cela semble magique, mais
en réalité - un tour de passe-passe et pas de fraude. À la leçon Qu'est-ce qu'un dérivé ? J'ai commencé à regarder des exemples spécifiques où, en utilisant la définition, j'ai trouvé les dérivées d'une fonction linéaire et quadratique. Aux fins de l'échauffement cognitif, nous continuerons à perturber tableau des dérivés, peaufinant l'algorithme et les solutions techniques :
Essentiellement, vous devez prouver un cas particulier de dérivée d'une fonction puissance, qui apparaît généralement dans le tableau : .
La solution est techniquement formalisée de deux manières. Commençons par la première approche, déjà familière : l'échelle commence par une planche et la fonction dérivée commence par la dérivée en un point.
Considérons un point (spécifique) appartenant à domaine de définition fonction dans laquelle il y a une dérivée. Fixons l'incrément à ce stade (bien sûr, dans le cadre o/o -ya) et composez l'incrément correspondant de la fonction :
Calculons la limite :
L'incertitude 0:0 est éliminée par une technique standard, envisagée au premier siècle avant JC. Multiplions
numérateur et dénominateur de l'expression conjuguée 
:
La technique permettant de résoudre une telle limite est discutée en détail dans la leçon d’introduction. sur les limites des fonctions.
Puisque vous pouvez choisir N'IMPORTE QUEL point de l'intervalle comme
Ensuite, après avoir effectué le remplacement, on obtient :
Réjouissons-nous encore une fois des logarithmes :
Trouver la dérivée d'une fonction en utilisant la définition de la dérivée
Solution : Considérons une approche différente pour promouvoir la même tâche. C'est exactement la même chose, mais plus rationnel en termes de design. L'idée est de se débarrasser
indice et utilisez une lettre au lieu d'une lettre.
Considérons un point arbitraire appartenant à domaine de définition fonction (intervalle) et définissez l’incrément dedans. Mais ici d'ailleurs, comme dans la plupart des cas, on peut le faire sans aucune réserve, puisque la fonction logarithmique est dérivable en tout point du domaine de définition.
Alors l’incrément correspondant de la fonction est :
Trouvons la dérivée :
La simplicité du design est contrebalancée par la confusion qui peut
se produisent chez les débutants (et pas seulement). Après tout, nous sommes habitués au fait que la lettre « X » change dans la limite ! Mais ici tout est différent : - une statue antique, et - un visiteur vivant, marchant d'un pas vif dans le couloir du musée. Autrement dit, « x » est « comme une constante ».
Je commenterai l'élimination de l'incertitude étape par étape :
(1)
Utilisation de la propriété logarithme
.
(2) Entre parenthèses, divisez le numérateur par le dénominateur terme par terme.
(3) Au dénominateur, on multiplie et divise artificiellement par « x » pour que
profitez de la merveilleuse limite 
, tandis que infinitésimal actes.
Réponse : par définition d'une dérivée :
Ou en bref :
Je propose de construire vous-même deux autres formules de tableau :
Trouver la dérivée par définition
Dans ce cas, il est pratique de réduire immédiatement l'incrément compilé à un dénominateur commun. Un échantillon approximatif du devoir à la fin de la leçon (première méthode).
Trouver la dérivée par définition
Et ici, tout doit être réduit à une limite remarquable. La solution est formalisée de la deuxième manière.
Un certain nombre d'autres dérivés tabulaires. Liste complète peut être trouvé dans un manuel scolaire, ou, par exemple, dans le 1er volume de Fichtenholtz. Je ne vois pas beaucoup d'intérêt à copier des preuves de règles de différenciation à partir de livres - elles sont également générées
formule
Passons aux tâches réellement rencontrées : Exemple 5
Trouver la dérivée d'une fonction 
, en utilisant la définition de la dérivée
Solution : utilisez le premier style de conception. Considérons un point appartenant et fixons l'incrément de l'argument sur celui-ci. Alors l’incrément correspondant de la fonction est :
Peut-être que certains lecteurs n’ont pas encore pleinement compris le principe selon lequel des augmentations doivent être réalisées. Prenez un point (nombre) et trouvez la valeur de la fonction qu'il contient : 
, c'est-à-dire dans la fonction
au lieu de "X", vous devez le remplacer. Maintenant, prenons-le
Incrément de fonction compilé Il peut être avantageux de simplifier immédiatement. Pour quoi? Faciliter et raccourcir la solution à une limite supplémentaire.
On utilise des formules, on ouvre les parenthèses et on réduit tout ce qui peut être réduit :
La dinde est éviscérée, pas de problème avec le rôti :
Finalement: 
Puisque nous pouvons choisir n’importe quel nombre réel comme valeur, nous effectuons le remplacement et obtenons 
.
Répondre : 
un-prieuré.
À des fins de vérification, trouvons la dérivée en utilisant les règles
différenciation et tableaux :
Il est toujours utile et agréable de connaître à l’avance la bonne réponse, il est donc préférable de différencier la fonction proposée de manière « rapide », soit mentalement, soit dans un brouillon, au tout début de la solution.
Trouver la dérivée d'une fonction par définition de la dérivée
Ceci est un exemple pour décision indépendante. Le résultat est évident :
Revenons au style n°2 : exemple 7
Voyons immédiatement ce qui devrait se passer. Par règle de différenciation des fonctions complexes:
Solution : considérer un point arbitraire auquel il appartient, définir l'incrément de l'argument et compenser l'incrément
Trouvons la dérivée :
(1) On utilise la formule trigonométrique
(2) Sous le sinus, nous ouvrons les parenthèses, sous le cosinus, nous présentons des termes similaires.
(3) Sous le sinus on annule les termes, sous le cosinus on divise le numérateur par le dénominateur terme par terme.
(4) En raison de l'étrangeté du sinus, nous supprimons le « moins ». Sous cosinus
nous indiquons que le terme .
(5) On effectue une multiplication artificielle au dénominateur afin d'utiliser première limite merveilleuse. Ainsi, l’incertitude est éliminée, mettons de l’ordre dans le résultat.
Réponse : par définition Comme vous pouvez le constater, la principale difficulté du problème considéré repose sur
complexité à la limite + légère originalité du packaging. Dans la pratique, les deux méthodes de conception sont utilisées, c'est pourquoi je décris les deux approches de manière aussi détaillée que possible. Ils sont équivalents, mais néanmoins, selon mon impression subjective, il est plus conseillé aux nuls de s'en tenir à l'option 1 avec « X-zéro ».
À l'aide de la définition, trouvez la dérivée de la fonction
C'est une tâche que vous devez résoudre vous-même. L'échantillon est conçu dans le même esprit que l'exemple précédent.
Examinons une version plus rare du problème :
Trouvez la dérivée d'une fonction en un point en utilisant la définition de la dérivée.
Premièrement, quel devrait être le résultat final ? Nombre Calculons la réponse de la manière standard :
Solution : d'un point de vue clarté, cette tâche est beaucoup plus simple, puisque dans la formule, au lieu de
une valeur spécifique est prise en compte.
Fixons l'incrément au point et composons l'incrément correspondant de la fonction :
Calculons la dérivée au point :
Nous utilisons une formule de différence tangente très rare 
et encore une fois on réduit la solution à la première
limite remarquable :
Réponse : par définition de dérivée en un point.
Le problème n’est pas si difficile à résoudre et « en vue générale« - il suffit de remplacer le clou ou simplement selon la méthode de conception. Dans ce cas, il est clair que le résultat ne sera pas un nombre, mais une fonction dérivée.
Exemple 10 À l'aide de la définition, trouvez la dérivée de la fonction 
à ce point
Ceci est un exemple à résoudre par vous-même.
La tâche bonus finale est destinée principalement aux étudiants ayant une étude approfondie de l'analyse mathématique, mais elle ne fera de mal à personne d'autre non plus :
La fonction sera-t-elle différentiable ? 
à ce point?
Solution : Il est évident qu'une fonction donnée par morceaux est continue en un point, mais y sera-t-elle dérivable ?
L'algorithme de résolution, et pas seulement pour les fonctions par morceaux, est le suivant :
1) Trouver la dérivée gauche en un point donné : .
2) Trouver la dérivée droite en un point donné : .
3) Si les dérivées unilatérales sont finies et coïncident :
, alors la fonction est différentiable au point
géométriquement, il y a ici une tangente commune (voir la partie théorique de la leçon Définition et signification du dérivé).
Si deux sont reçus différentes significations: 
(dont l'un peut s'avérer infini), alors la fonction n'est pas différenciable à ce point.
Si les deux dérivées unilatérales sont égales à l'infini
(même s'ils ont des signes différents), alors la fonction n'est pas
est différentiable au point, mais il existe une dérivée infinie et une tangente verticale commune au graphe (voir exemple leçon 5Équation normale) .
Premier niveau
Dérivée d'une fonction. Guide complet (2019)
Imaginons une route droite traversant une zone vallonnée. Autrement dit, il monte et descend, mais ne tourne ni à droite ni à gauche. Si l'axe est dirigé horizontalement le long de la route et verticalement, alors la ligne de route sera très similaire au graphique d'une fonction continue :
L'axe est un certain niveau d'altitude zéro ; dans la vie, nous utilisons le niveau de la mer comme tel.
À mesure que nous avançons sur une telle route, nous montons ou descendons également. On peut aussi dire : lorsque l'argument change (déplacement le long de l'axe des abscisses), la valeur de la fonction change (déplacement le long de l'axe des ordonnées). Réfléchissons maintenant à la façon de déterminer la « raideur » de notre route ? Quel genre de valeur cela pourrait-il représenter ? C'est très simple : à quel point la hauteur va changer en avançant sur une certaine distance. En effet, sur différents tronçons de route, en avançant (le long de l'axe des x) d'un kilomètre, on montera ou descendra de différentes quantités mètres par rapport au niveau de la mer (le long de l'axe des ordonnées).
Notons la progression (lire « delta x »).
La lettre grecque (delta) est couramment utilisée en mathématiques comme préfixe signifiant « changement ». C'est-à-dire - c'est un changement de quantité, - un changement ; alors qu'est-ce que c'est? C'est vrai, un changement d'ampleur.
Important : une expression est un tout unique, une variable. Ne séparez jamais le « delta » du « x » ou de toute autre lettre ! C'est par exemple .
Nous avons donc avancé, horizontalement, de. Si nous comparons la ligne de la route avec le graphique de la fonction, alors comment dénotons-nous la montée ? Certainement, . Autrement dit, à mesure que nous avançons, nous montons plus haut.
La valeur est facile à calculer : si au début nous étions en hauteur, et qu'après le déplacement nous nous retrouvions en hauteur, alors. Si le point final est inférieur au point de départ, il sera négatif - cela signifie que nous ne montons pas, mais descendons.
Revenons à la « raideur » : c'est une valeur qui montre de combien (forte) la hauteur augmente lorsque l'on avance d'une unité de distance :
Supposons que sur une section de la route, en avançant d'un kilomètre, la route s'élève d'un kilomètre. Alors la pente à cet endroit est égale. Et si la route, en avançant de m, descendait de km ? Alors la pente est égale.
Regardons maintenant le sommet d'une colline. Si vous prenez le début du tronçon un demi-kilomètre avant le sommet et la fin un demi-kilomètre après, vous constaterez que la hauteur est presque la même.
Autrement dit, selon notre logique, il s'avère que la pente ici est presque égale à zéro, ce qui n'est clairement pas vrai. Sur une distance de plusieurs kilomètres, beaucoup de choses peuvent changer. Il est nécessaire de considérer des zones plus petites pour une évaluation plus adéquate et plus précise de la pente. Par exemple, si vous mesurez le changement de hauteur lorsque vous vous déplacez d’un mètre, le résultat sera beaucoup plus précis. Mais même cette précision peut ne pas nous suffire - après tout, s'il y a un poteau au milieu de la route, nous pouvons simplement le dépasser. Quelle distance choisir alors ? Centimètre? Millimètre? Moins c'est mieux !
DANS vrai vie Mesurer les distances au millimètre près est largement suffisant. Mais les mathématiciens recherchent toujours la perfection. Le concept a donc été inventé infinitésimal, c’est-à-dire que la valeur absolue est inférieure à n’importe quel nombre que nous pouvons nommer. Par exemple, vous dites : un billionième ! Combien moins ? Et vous divisez ce nombre par - et ce sera encore moins. Et ainsi de suite. Si on veut écrire qu’une quantité est infinitésimale, on écrit ainsi : (on lit « x tend vers zéro »). Il est très important de comprendre que ce nombre n'est pas nul ! Mais très proche. Cela signifie que vous pouvez diviser par cela.
Le concept opposé à infinitésimal est infiniment grand (). Vous l'avez probablement déjà rencontré lorsque vous travailliez sur les inégalités : ce nombre est modulo supérieur à tous les nombres auxquels vous pouvez penser. Si vous obtenez le plus grand nombre possible, multipliez-le simplement par deux et vous obtiendrez un nombre encore plus grand. Et l'infini encore En outre que va-t-il se passer. En fait, l'infiniment grand et l'infiniment petit sont l'inverse l'un de l'autre, c'est-à-dire at, et vice versa : at.
Revenons maintenant à notre route. La pente idéalement calculée est la pente calculée pour un segment infinitésimal du chemin, soit :
Je constate qu'avec un déplacement infinitésimal, le changement de hauteur sera également infinitésimal. Mais laissez-moi vous rappeler qu'infinitésimal ne veut pas dire égal à zéro. Si vous divisez des nombres infinitésimaux les uns par les autres, vous pouvez obtenir un nombre tout à fait ordinaire, par exemple . Autrement dit, une petite valeur peut être exactement plusieurs fois supérieure à une autre.
A quoi ça sert tout ça ? La route, la pente... Nous ne participons pas à un rallye automobile, mais nous enseignons les mathématiques. Et en mathématiques, tout est exactement pareil, mais appelé différemment.
Notion de dérivé
La dérivée d'une fonction est le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument pour un incrément infinitésimal de l'argument.
Progressivement en mathématiques, ils appellent le changement. La mesure dans laquelle l'argument () change à mesure qu'il se déplace le long de l'axe est appelée incrément d'argument et est désigné. La mesure dans laquelle la fonction (hauteur) a changé lors du déplacement vers l'avant le long de l'axe d'une distance est appelée incrément de fonction et est désigné.
Ainsi, la dérivée d’une fonction est le rapport au quand. On note la dérivée par la même lettre que la fonction, seulement avec un nombre premier en haut à droite : ou simplement. Écrivons donc la formule dérivée en utilisant ces notations :
Comme dans l'analogie avec la route, ici lorsque la fonction augmente, la dérivée est positive, et lorsqu'elle diminue, elle est négative.
La dérivée peut-elle être égale à zéro ? Certainement. Par exemple, si nous roulons sur une route horizontale et plate, la pente est nulle. Et c’est vrai, la hauteur ne change pas du tout. Il en est de même de la dérivée : la dérivée d'une fonction constante (constante) est égale à zéro :
puisque l'incrément d'une telle fonction est égal à zéro pour tout.
Rappelons-nous l'exemple du sommet d'une colline. Il s'est avéré qu'il était possible de disposer les extrémités du segment sur les côtés opposés du sommet de manière à ce que la hauteur aux extrémités soit la même, c'est-à-dire que le segment soit parallèle à l'axe :
Mais de grands segments sont le signe d’une mesure inexacte. Nous élèverons notre segment parallèlement à lui-même, puis sa longueur diminuera.
Finalement, lorsque nous serons infiniment proches du sommet, la longueur du segment deviendra infinitésimale. Mais en même temps, il reste parallèle à l'axe, c'est-à-dire que la différence de hauteur à ses extrémités est égale à zéro (elle ne tend pas vers, mais est égale à). Donc la dérivée
Cela peut être compris ainsi : lorsque nous nous trouvons tout en haut, un petit déplacement vers la gauche ou la droite modifie de manière négligeable notre hauteur.
Il existe aussi une explication purement algébrique : à gauche du sommet la fonction augmente, et à droite elle diminue. Comme nous l’avons découvert précédemment, lorsqu’une fonction augmente, la dérivée est positive, et lorsqu’elle diminue, elle est négative. Mais cela change en douceur, sans sauts (puisque la route ne change brusquement de pente nulle part). Ainsi, entre négatif et valeurs positives il doit certainement y en avoir. Ce sera là où la fonction n'augmente ni ne diminue - au point sommet.
Il en va de même pour le creux (la zone où la fonction à gauche diminue et à droite augmente) :
Un peu plus sur les incréments.
Nous changeons donc l’argument en grandeur. On change à partir de quelle valeur ? Qu’est-il devenu (l’argument) maintenant ? Nous pouvons choisir n'importe quel point, et maintenant nous allons danser à partir de lui.
Considérons un point avec une coordonnée. La valeur de la fonction qu'il contient est égale. Ensuite on fait le même incrément : on augmente la coordonnée de. Quel est l’argument maintenant ? Très facile: . Quelle est la valeur de la fonction maintenant ? Là où va l’argument, la fonction aussi : . Qu'en est-il de l'incrément de fonction ? Rien de nouveau : c'est toujours l'ampleur de l'évolution de la fonction :
Entraînez-vous à trouver des incréments :
- Recherchez l'incrément de la fonction à un point où l'incrément de l'argument est égal à.
- Il en va de même pour la fonction en un point.
Solutions:
À différents points avec le même incrément d'argument, l'incrément de fonction sera différent. Cela signifie que la dérivée en chaque point est différente (nous en avons discuté au tout début - la pente de la route est différente en différents points). Ainsi, lorsque l’on écrit une dérivée, il faut indiquer à quel moment :
Fonction de puissance.
Une fonction puissance est une fonction dont l’argument est dans une certaine mesure (logique, n’est-ce pas ?).
De plus - dans une certaine mesure : .
Le cas le plus simple est celui où l'exposant est :
Trouvons sa dérivée en un point. Rappelons la définition d'une dérivée :
L’argument change donc de à. Quel est l'incrément de la fonction ?
L'incrément, c'est ça. Mais une fonction est en tout point égale à son argument. C'est pourquoi:
La dérivée est égale à :
La dérivée de est égale à :
b) Considérons maintenant fonction quadratique (): .
Maintenant, rappelons-le. Cela signifie que la valeur de l'incrément peut être négligée, puisqu'elle est infinitésimale, et donc insignifiante par rapport à l'autre terme :
Nous avons donc proposé une autre règle :
c) On continue la série logique : .
Cette expression peut être simplifiée de différentes manières : ouvrez la première parenthèse en utilisant la formule de multiplication abrégée du cube de la somme, ou factorisez l'expression entière en utilisant la formule de différence des cubes. Essayez de le faire vous-même en utilisant l'une des méthodes suggérées.
J'ai donc obtenu ceci :
Et encore une fois, rappelons-le. Cela signifie que l'on peut négliger tous les termes contenant :
On a: .
d) Des règles similaires peuvent être obtenues pour les grandes puissances :
e) Il s'avère que cette règle peut être généralisée pour une fonction puissance avec un exposant arbitraire, pas même un entier :
| (2) |
La règle peut être formulée ainsi : « le diplôme est avancé sous forme de coefficient, puis diminué de . »
Nous prouverons cette règle plus tard (presque à la toute fin). Voyons maintenant quelques exemples. Trouvez la dérivée des fonctions :
- (de deux manières : par formule et en utilisant la définition de dérivée - en calculant l'incrément de la fonction) ;
- . Croyez-le ou non, il s’agit d’une fonction de pouvoir. Si vous avez des questions comme « Comment ça va ? Où est le diplôme ? », souvenez-vous du sujet « » !
Oui, oui, la racine est aussi un degré, uniquement fractionnaire : .
Alors le nôtre Racine carrée- ce n'est qu'un diplôme avec un indicateur :
.
Nous recherchons la dérivée en utilisant la formule récemment apprise :Si à ce stade cela devient à nouveau flou, répétez le sujet « » !!! (environ un degré avec un exposant négatif)
- . Maintenant l'exposant :
Et maintenant à travers la définition (vous avez déjà oublié ?) :
;
.
Maintenant, comme d'habitude, nous négligeons le terme contenant :
. - . Combinaison de cas précédents : .
Fonctions trigonométriques.
Ici, nous utiliserons un fait issu des mathématiques supérieures :
Avec expression.
Vous en apprendrez la preuve dès la première année d'institut (et pour y arriver, vous devez réussir l'examen d'État unifié). Maintenant, je vais juste le montrer graphiquement :
Nous voyons que lorsque la fonction n'existe pas, le point sur le graphique est coupé. Mais plus la valeur est proche, plus la fonction s’en rapproche : c’est ce qui « vise ».
De plus, vous pouvez vérifier cette règle à l'aide d'une calculatrice. Oui, oui, ne soyez pas timide, prenez une calculatrice, nous n'en sommes pas encore à l'examen d'État unifié.
Alors, essayons : ;
N'oubliez pas de passer votre calculatrice en mode Radians !
etc. On voit que plus la valeur du rapport est petite, plus la valeur du rapport est proche de.
a) Considérons la fonction. Comme d'habitude, trouvons son incrément :
Transformons la différence des sinus en un produit. Pour ce faire, nous utilisons la formule (rappelez-vous le sujet « ») : .
Maintenant la dérivée :
Faisons un remplacement : . Alors pour infinitésimal c'est aussi infinitésimal : . L'expression pour prend la forme :
Et maintenant, nous nous en souvenons avec l'expression. Et aussi, que se passerait-il si une quantité infinitésimale pouvait être négligée dans la somme (c'est-à-dire at).
On obtient donc la règle suivante : la dérivée du sinus est égale au cosinus:
Ce sont des dérivés basiques (« tabulaires »). Les voici dans une seule liste :
Plus tard, nous leur en ajouterons quelques autres, mais ce sont les plus importants, car ils sont les plus souvent utilisés.
Pratique:
- Trouver la dérivée de la fonction en un point ;
- Trouvez la dérivée de la fonction.
Solutions:
- Tout d'abord, trouvons la dérivée sous forme générale, puis substituons sa valeur :
;
. - Ici, nous avons quelque chose de similaire à fonction de puissance. Essayons de l'amener à
vue normale:
.
Super, vous pouvez maintenant utiliser la formule :
.
. - . Eeeeeee….. Qu'est-ce que c'est ????
Bon, vous avez raison, on ne sait pas encore comment trouver de tels dérivés. Nous avons ici une combinaison de plusieurs types de fonctions. Pour travailler avec eux, vous devez apprendre quelques règles supplémentaires :
Exposant et logarithme népérien.
Il existe une fonction en mathématiques dont la dérivée pour toute valeur est à la fois égale à la valeur de la fonction elle-même. C'est ce qu'on appelle « exposant » et c'est une fonction exponentielle.
La base de cette fonction est une constante - elle est infinie décimal, c'est-à-dire un nombre irrationnel (tel que). On l'appelle le « nombre d'Euler », c'est pourquoi il est désigné par une lettre.
Donc la règle :
Très facile à retenir.
Bon, n'allons pas loin, regardons ça tout de suite fonction inverse. Quelle fonction est l'inverse de fonction exponentielle? Logarithme:
Dans notre cas, la base est le nombre :
Un tel logarithme (c'est-à-dire un logarithme avec une base) est appelé « naturel », et nous utilisons pour cela une notation spéciale : nous l'écrivons à la place.
A quoi est-ce égal ? Bien sûr, .
La dérivée du logarithme népérien est également très simple :
Exemples:
- Trouvez la dérivée de la fonction.
- Quelle est la dérivée de la fonction ?
Réponses: Exposant et un algorithme naturel- les fonctions sont particulièrement simples en termes de dérivées. Les fonctions exponentielles et logarithmiques avec n'importe quelle autre base auront une dérivée différente, que nous analyserons plus tard, après avoir parcouru les règles de différenciation.
Règles de différenciation
Des règles de quoi ? Encore un nouveau terme, encore ?!...
Différenciation est le processus de recherche de la dérivée.
C'est tout. Comment pouvez-vous appeler ce processus en un mot ? Pas dérivé... Les mathématiciens appellent la différentielle le même incrément d'une fonction à. Ce terme vient du latin différentia – différence. Ici.
Lors de la dérivation de toutes ces règles, nous utiliserons deux fonctions, par exemple et. Nous aurons également besoin de formules pour leurs incréments :
Il y a 5 règles au total.
La constante est soustraite du signe dérivé.
Si - un nombre constant (constant), alors.
Évidemment, cette règle fonctionne aussi pour la différence : .
Prouvons-le. Laissez-le être, ou plus simple.
Exemples.
Trouvez les dérivées des fonctions :
- à un moment donné ;
- à un moment donné ;
- à un moment donné ;
- à ce point.
Solutions:
- (la dérivée est la même en tous points, puisque cette fonction linéaire, souviens-toi?);
Dérivé du produit
Tout est similaire ici : introduisons une nouvelle fonction et trouvons son incrément :
Dérivé:
Exemples:
- Trouver les dérivées des fonctions et ;
- Trouvez la dérivée de la fonction en un point.
Solutions:
Dérivée d'une fonction exponentielle
Vos connaissances sont désormais suffisantes pour apprendre à trouver la dérivée de n'importe quelle fonction exponentielle, et pas seulement les exposants (avez-vous déjà oublié ce que c'est ?).
Alors, où est un certain nombre.
Nous connaissons déjà la dérivée de la fonction, essayons donc de réduire notre fonction à une nouvelle base :
Pour cela nous utiliserons règle simple: . Alors:
Eh bien, ça a fonctionné. Essayez maintenant de trouver la dérivée, et n'oubliez pas que cette fonction est complexe.
Arrivé?
Ici, vérifiez par vous-même :
La formule s'est avérée très similaire à la dérivée d'un exposant : telle qu'elle était, elle reste la même, seul un facteur est apparu, qui n'est qu'un nombre, mais pas une variable.
Exemples:
Trouvez les dérivées des fonctions :
Réponses:
Il s'agit simplement d'un nombre qui ne peut pas être calculé sans calculatrice, c'est-à-dire qu'il ne peut plus être écrit. sous forme simple. Par conséquent, nous le laissons sous cette forme dans la réponse.
Dérivée d'une fonction logarithmique
C’est pareil ici : vous connaissez déjà la dérivée du logarithme népérien :
Par conséquent, pour trouver un logarithme arbitraire avec une base différente, par exemple :
Nous devons réduire ce logarithme à la base. Comment changer la base d'un logarithme ? J'espère que vous vous souvenez de cette formule :
Seulement maintenant, nous écrirons à la place :
Le dénominateur est simplement une constante (un nombre constant, sans variable). La dérivée s’obtient très simplement :
Les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques ne sont presque jamais trouvées dans l'examen d'État unifié, mais il ne sera pas superflu de les connaître.
Dérivée d'une fonction complexe.
Qu'est-ce qu'une « fonction complexe » ? Non, ce n'est pas un logarithme, ni une arctangente. Ces fonctions peuvent être difficiles à comprendre (même si si vous trouvez le logarithme difficile, lisez le sujet « Logarithmes » et tout ira bien), mais d'un point de vue mathématique, le mot « complexe » ne signifie pas « difficile ».
Imaginez un petit tapis roulant : deux personnes sont assises et effectuent des actions avec des objets. Par exemple, le premier enveloppe une barre de chocolat dans un emballage et le second l'attache avec un ruban. Le résultat est un objet composite : une barre de chocolat enveloppée et nouée avec un ruban. Pour manger une barre de chocolat, il faut faire les étapes inverses ordre inverse.
Créons un pipeline mathématique similaire : nous trouverons d'abord le cosinus d'un nombre, puis nous mettrons au carré le nombre obtenu. Donc, on nous donne un nombre (chocolat), je trouve son cosinus (emballage), et puis vous mettez au carré ce que j'ai obtenu (nouez-le avec un ruban). Ce qui s'est passé? Fonction. Ceci est un exemple de fonction complexe : lorsque, pour trouver sa valeur, on effectue une première action directement avec la variable, puis une deuxième action avec ce qui résulte de la première.
On peut facilement faire les mêmes étapes dans l'ordre inverse : on le met d'abord au carré, et je cherche ensuite le cosinus du nombre obtenu : . Il est facile de deviner que le résultat sera presque toujours différent. Une caractéristique importante des fonctions complexes : lorsque l'ordre des actions change, la fonction change.
Autrement dit, une fonction complexe est une fonction dont l'argument est une autre fonction: .
Pour le premier exemple, .
Deuxième exemple : (même chose). .
L'action que nous faisons en dernier sera appelée fonction "externe", et l'action effectuée en premier - en conséquence fonction "interne"(ce sont des noms informels, je les utilise uniquement pour expliquer le matériel dans un langage simple).
Essayez de déterminer par vous-même quelle fonction est externe et laquelle interne :
Réponses: La séparation des fonctions internes et externes est très similaire à la modification de variables : par exemple, dans une fonction
- Quelle action allons-nous effectuer en premier ? Tout d’abord, calculons le sinus, puis cubez-le seulement. Cela signifie qu’il s’agit d’une fonction interne, mais externe.
Et la fonction originelle est leur composition : . - Interne: ; externe: .
Examen: . - Interne: ; externe: .
Examen: . - Interne: ; externe: .
Examen: . - Interne: ; externe: .
Examen: .
Nous changeons les variables et obtenons une fonction.
Eh bien, maintenant nous allons extraire notre barre de chocolat et chercher le dérivé. La procédure est toujours inversée : on cherche d’abord la dérivée de la fonction externe, puis on multiplie le résultat par la dérivée de la fonction interne. Par rapport à l'exemple original, cela ressemble à ceci :
Un autre exemple:
Alors, formulons enfin la règle officielle :
Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :
Cela semble simple, non ?
Vérifions avec des exemples :
Solutions:
1) Interne : ;
Externe: ;
2) Interne : ;
(N’essayez pas de le couper maintenant ! Rien ne sort de sous le cosinus, vous vous souvenez ?)
3) Interne : ;
Externe: ;
Il est immédiatement clair qu'il s'agit d'une fonction complexe à trois niveaux : après tout, c'est déjà une fonction complexe en soi, et nous en extrayons également la racine, c'est-à-dire que nous effectuons la troisième action (nous mettons le chocolat dans un emballage et avec un ruban dans la mallette). Mais il n'y a aucune raison d'avoir peur : nous allons quand même « déballer » cette fonction dans le même ordre que d'habitude : depuis la fin.
Autrement dit, nous différencions d'abord la racine, puis le cosinus, et ensuite seulement l'expression entre parenthèses. Et puis on multiplie le tout.
Dans de tels cas, il est pratique de numéroter les actions. Autrement dit, imaginons ce que nous savons. Dans quel ordre effectuerons-nous les actions pour calculer la valeur de cette expression ? Regardons un exemple :
Plus l’action est réalisée tardivement, plus la fonction correspondante sera « externe ». La séquence d'actions est la même que précédemment :
Ici, la nidification est généralement à 4 niveaux. Déterminons la marche à suivre.
1. Expression radicale. .
2. Racine. .
3. Sinus. .
4. Carré. .
5. Rassembler le tout :
DÉRIVÉ. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES
Dérivée d'une fonction- le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument pour un incrément infinitésimal de l'argument :
Dérivés de base :
Règles de différenciation :
La constante est soustraite du signe dérivé :
Dérivée de la somme :
Dérivé du produit :
Dérivée du quotient :
Dérivée d'une fonction complexe :
Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :
- Nous définissons la fonction « interne » et trouvons sa dérivée.
- Nous définissons la fonction « externe » et trouvons sa dérivée.
- Nous multiplions les résultats des premier et deuxième points.
Décider tâches physiques ou des exemples en mathématiques sont totalement impossibles sans connaissance de la dérivée et des méthodes de calcul. Le dérivé est l'un des les notions les plus importantes analyse mathematique. Nous avons décidé de consacrer l’article d’aujourd’hui à ce sujet fondamental. Qu'est-ce qu'un dérivé, quelle est sa nature physique et signification géométrique comment calculer la dérivée d'une fonction ? Toutes ces questions peuvent être regroupées en une seule : comment comprendre la dérivée ?
Signification géométrique et physique de la dérivée
Qu'il y ait une fonction f(x) , spécifié dans un certain intervalle (un B) . Les points x et x0 appartiennent à cet intervalle. Lorsque x change, la fonction elle-même change. Changer l'argument - la différence de ses valeurs x-x0 . Cette différence s’écrit deltax et est appelé incrément d’argument. Un changement ou un incrément d'une fonction est la différence entre les valeurs d'une fonction en deux points. Définition du dérivé :
La dérivée d'une fonction en un point est la limite du rapport de l'incrément de la fonction en un point donné à l'incrément de l'argument lorsque ce dernier tend vers zéro.
Sinon, cela peut s'écrire ainsi :
Quel est l'intérêt de trouver une telle limite ? Et voici ce que c'est :
la dérivée d'une fonction en un point est égale à la tangente de l'angle entre l'axe OX et la tangente au graphique de la fonction en un point donné.
Signification physique de la dérivée : la dérivée de la trajectoire par rapport au temps est égale à la vitesse du mouvement rectiligne.
En effet, depuis l'école tout le monde sait que la vitesse est un chemin particulier x=f(t) et le temps t . vitesse moyenne pendant une certaine période :
Pour connaître la vitesse de déplacement à un instant donné t0 vous devez calculer la limite :
Première règle : définir une constante
La constante peut être soustraite du signe dérivé. De plus, cela doit être fait. Lorsque vous résolvez des exemples en mathématiques, prenez-le comme règle : Si vous pouvez simplifier une expression, assurez-vous de la simplifier .
Exemple. Calculons la dérivée :
Deuxième règle : dérivée de la somme des fonctions
La dérivée de la somme de deux fonctions est égale à la somme des dérivées de ces fonctions. Il en va de même pour la dérivée de la différence de fonctions.
Nous ne donnerons pas de démonstration de ce théorème, mais considérerons plutôt un exemple pratique.
Trouvez la dérivée de la fonction :
Troisième règle : dérivée du produit de fonctions
La dérivée du produit de deux fonctions différentiables est calculée par la formule :
Exemple : trouver la dérivée d'une fonction :
Solution: 
Il est important de parler ici du calcul des dérivées de fonctions complexes. La dérivée d'une fonction complexe est égale au produit de la dérivée de cette fonction par rapport à l'argument intermédiaire et de la dérivée de l'argument intermédiaire par rapport à la variable indépendante.
Dans l'exemple ci-dessus, nous rencontrons l'expression :
Dans ce cas, l’argument intermédiaire est 8x à la puissance cinq. Afin de calculer la dérivée d'une telle expression, nous calculons d'abord la dérivée de la fonction externe par rapport à l'argument intermédiaire, puis multiplions par la dérivée de l'argument intermédiaire lui-même par rapport à la variable indépendante.
Règle quatre : dérivée du quotient de deux fonctions
Formule pour déterminer la dérivée du quotient de deux fonctions :
Nous avons essayé de parler de produits dérivés pour les nuls à partir de zéro. Ce sujet n'est pas aussi simple qu'il y paraît, alors soyez prévenu : il y a souvent des pièges dans les exemples, alors soyez prudent lors du calcul des dérivées.
Pour toute question sur ce sujet ou sur d’autres sujets, vous pouvez contacter le service étudiants. En peu de temps, nous vous aiderons à résoudre les tests les plus difficiles et à comprendre les tâches, même si vous n'avez jamais effectué de calculs de dérivées auparavant.
Si vous suivez la définition, alors la dérivée d'une fonction en un point est la limite du rapport de l'incrément de la fonction Δ ouià l'incrément d'argument Δ X:
Tout semble clair. Mais essayez d'utiliser cette formule pour calculer, disons, la dérivée de la fonction F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X péché X. Si vous faites tout par définition, après quelques pages de calculs, vous vous endormirez simplement. Il existe donc des moyens plus simples et plus efficaces.
Pour commencer, notons que parmi toute la variété des fonctions, on peut distinguer les fonctions dites élémentaires. C'est relatif expressions simples, dont les dérivés sont calculés depuis longtemps et répertoriés dans le tableau. De telles fonctions sont assez faciles à mémoriser – ainsi que leurs dérivées.
Dérivées de fonctions élémentaires
Les fonctions élémentaires sont toutes celles listées ci-dessous. Les dérivées de ces fonctions doivent être connues par cœur. De plus, il n'est pas du tout difficile de les mémoriser - c'est pourquoi ils sont élémentaires.
Ainsi, dérivées de fonctions élémentaires :
| Nom | Fonction | Dérivé |
| Constante | F(X) = C, C ∈ R. | 0 (oui, zéro !) |
| Puissance avec exposant rationnel | F(X) = X n | n · X n − 1 |
| Sinus | F(X) = péché X | parce que X |
| Cosinus | F(X) = cos X | −péché X(moins sinus) |
| Tangente | F(X) = tg X | 1/cos 2 X |
| Cotangente | F(X) = ctg X | − 1/péché 2 X |
| Un algorithme naturel | F(X) = journal X | 1/X |
| Logarithme arbitraire | F(X) = journal un X | 1/(X dans un) |
| Fonction exponentielle | F(X) = e X | e X(Rien n'a changé) |
Si une fonction élémentaire est multipliée par une constante arbitraire, alors la dérivée de la nouvelle fonction est également facilement calculée :
(C · F)’ = C · F ’.
En général, les constantes peuvent être soustraites du signe de la dérivée. Par exemple:
(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .
Bien évidemment, les fonctions élémentaires peuvent s’ajouter les unes aux autres, se multiplier, se diviser – et bien plus encore. C'est ainsi qu'apparaîtront de nouvelles fonctions, non plus particulièrement élémentaires, mais aussi différenciées selon certaines règles. Ces règles sont discutées ci-dessous.
Dérivée de la somme et de la différence
Soit les fonctions données F(X) Et g(X), dont les dérivés nous sont connus. Par exemple, vous pouvez prendre les fonctions élémentaires évoquées ci-dessus. Ensuite, vous pouvez trouver la dérivée de la somme et de la différence de ces fonctions :
- (F + g)’ = F ’ + g ’
- (F − g)’ = F ’ − g ’
Ainsi, la dérivée de la somme (différence) de deux fonctions est égale à la somme (différence) des dérivées. Il peut y avoir plus de termes. Par exemple, ( F + g + h)’ = F ’ + g ’ + h ’.
À proprement parler, il n’existe pas de concept de « soustraction » en algèbre. Il existe une notion d'« élément négatif ». Donc la différence F − g peut être réécrit comme une somme F+ (−1) g, et il ne reste alors qu'une seule formule - la dérivée de la somme.
F(X) = X 2 + péché x ; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.
Fonction F(X) est la somme de deux fonctions élémentaires, donc :
F ’(X) = (X 2 + péché X)’ = (X 2)’ + (péché X)’ = 2X+ cosx ;
On raisonne de la même manière pour la fonction g(X). Seulement il y a déjà trois termes (du point de vue de l'algèbre) :
g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).
Répondre:
F ’(X) = 2X+ cosx ;
g ’(X) = 4X · ( X
2 + 1).
Dérivé du produit
Les mathématiques sont une science logique, c'est pourquoi beaucoup de gens croient que si la dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées, alors la dérivée du produit grève">égal au produit de dérivés. Mais allez vous faire foutre ! La dérivée d'un produit se calcule selon une toute autre formule. A savoir :
(F · g) ’ = F ’ · g + F · g ’
La formule est simple, mais elle est souvent oubliée. Et pas seulement les écoliers, mais aussi les étudiants. Le résultat est des problèmes mal résolus.
Tâche. Trouver des dérivées de fonctions : F(X) = X 3 cosx ; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .
Fonction F(X) est le produit de deux fonctions élémentaires, donc tout est simple :
F ’(X) = (X 3 parce que X)’ = (X 3)' parce que X + X 3 (car X)’ = 3X 2 parce que X + X 3 (− péché X) = X 2 (3cos X − X péché X)
Fonction g(X) le premier facteur est un peu plus compliqué, mais régime général cela ne change pas. Évidemment, le premier facteur de la fonction g(X) est un polynôme et sa dérivée est la dérivée de la somme. Nous avons:
g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .
Répondre:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X péché X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e
X
.
Veuillez noter qu'à la dernière étape, la dérivée est factorisée. Formellement, cela n'est pas nécessaire, mais la plupart des dérivées ne sont pas calculées seules, mais pour examiner la fonction. Cela signifie qu'en outre la dérivée sera assimilée à zéro, ses signes seront déterminés, et ainsi de suite. Dans un tel cas, il est préférable de factoriser une expression.
S'il y a deux fonctions F(X) Et g(X), et g(X) ≠ 0 sur l'ensemble qui nous intéresse, on peut définir une nouvelle fonction h(X) = F(X)/g(X). Pour une telle fonction vous pouvez également trouver la dérivée :
Pas faible, hein ? D'où vient le moins ? Pourquoi g 2 ? Et comme ça ! C'est l'un des plus formules complexes- Tu ne peux pas le comprendre sans bouteille. Il est donc préférable de l'étudier sur exemples spécifiques.
Tâche. Trouver des dérivées de fonctions :
Le numérateur et le dénominateur de chaque fraction contiennent des fonctions élémentaires, il suffit donc de connaître la formule de la dérivée du quotient :
Selon la tradition, factorisons le numérateur - cela simplifiera grandement la réponse :
Une fonction complexe n’est pas nécessairement une formule d’un demi-kilomètre. Par exemple, il suffit de prendre la fonction F(X) = péché X et remplacez la variable X, disons, sur X 2 + ln X. Cela va fonctionner F(X) = péché ( X 2 + ln X) - c'est une fonction complexe. Il a également un dérivé, mais il ne sera pas possible de le trouver en utilisant les règles évoquées ci-dessus.
Que dois-je faire? Dans de tels cas, remplacer une variable et une formule par la dérivée d'une fonction complexe permet de :
F ’(X) = F ’(t) · t', Si X est remplacé par t(X).
En règle générale, la situation concernant la compréhension de cette formule est encore plus triste qu'avec la dérivée du quotient. Par conséquent, il est également préférable de l'expliquer avec des exemples précis, avec Description détaillée chaque étape.
Tâche. Trouver des dérivées de fonctions : F(X) = e 2X + 3 ; g(X) = péché ( X 2 + ln X)
Notez que si dans la fonction F(X) au lieu de l'expression 2 X+ 3 sera facile X, alors on obtient une fonction élémentaire F(X) = e X. Par conséquent, nous effectuons un remplacement : soit 2 X + 3 = t, F(X) = F(t) = e t. On recherche la dérivée d'une fonction complexe à l'aide de la formule :
F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
Et maintenant, attention ! Nous effectuons le remplacement inverse : t = 2X+ 3. On obtient :
F ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3
Voyons maintenant la fonction g(X). Il faut évidemment le remplacer X 2 + ln X = t. Nous avons:
g ’(X) = g ’(t) · t' = (péché t)’ · t' = cos t · t ’
Remplacement inversé : t = X 2 + ln X. Alors:
g ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).
C'est tout! Comme le montre la dernière expression, tout le problème a été réduit au calcul de la somme dérivée.
Répondre:
F ’(X) = 2 · e
2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) parce que ( X 2 + ln X).
Très souvent dans mes cours, au lieu du terme « dérivé », j'utilise le mot « premier ». Par exemple, une prime du montant égal à la somme coups. Est-ce plus clair ? Bon, c'est bien.
Ainsi, calculer la dérivée revient à s'affranchir de ces mêmes coups selon les règles évoquées ci-dessus. Comme dernier exemple, revenons à la puissance dérivée avec un exposant rationnel :
(X n)’ = n · X n − 1
Peu de gens savent que dans le rôle n pourrait bien agir un nombre fractionnaire. Par exemple, la racine est X 0,5. Et s’il y avait quelque chose d’extraordinaire sous la racine ? Encore une fois, le résultat sera une fonction complexe - ils aiment donner de telles constructions à essais et les examens.
Tâche. Trouvez la dérivée de la fonction :
Tout d’abord, réécrivons la racine sous la forme d’une puissance avec un exposant rationnel :
F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .
Maintenant, nous effectuons un remplacement : laissez X 2 + 8X − 7 = t. On trouve la dérivée à l'aide de la formule :
F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.
Faisons le remplacement inverse : t = X 2 + 8X− 7. Nous avons :
F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .
Enfin, revenons aux sources :
