La forme standard du monôme 4c avant JC est. Le concept de monôme. Forme standard du monôme

Les monômes sont l'un des principaux types d'expressions étudiés dans le cours d'algèbre scolaire. Dans ce document, nous vous expliquerons ce que sont ces expressions, définirons leur forme standard et montrerons des exemples, et comprendrons également des concepts connexes, tels que le degré d'un monôme et son coefficient.

Qu'est-ce qu'un monôme

Les manuels scolaires donnent généralement la définition suivante de ce concept :

Définition 1

Les monômes incluent nombres, variables, ainsi que leurs puissances avec exposants naturels et différents types ouvrages compilés à partir d’eux.

Sur la base de cette définition, nous pouvons donner des exemples de telles expressions. Ainsi, tous les nombres 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 seront des monômes. Toutes les variables, par exemple x, a, b, p, q, t, y, z, seront également des monômes par définition. Cela inclut également les puissances des variables et des nombres, par exemple 6 3, (− 7, 41) 7, x 2 et t 15, ainsi que des expressions de la forme 65 · x, 9 · (− 7) · x · y 3 · 6, x · x · y 3 · x · y 2 · z, etc. Veuillez noter qu'un monôme peut contenir un nombre ou une variable, ou plusieurs, et qu'ils peuvent être mentionnés plusieurs fois dans un même polynôme.

Des types de nombres tels que les nombres entiers, les nombres rationnels et les nombres naturels appartiennent également aux monômes. Vous pouvez également inclure ici des nombres réels et complexes. Ainsi, les expressions de la forme 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 seront également des monômes.

Quelle est la forme standard d'un monôme et comment y convertir une expression

Pour faciliter l'utilisation, tous les monômes sont d'abord réduits à une forme spéciale appelée standard. Formulons précisément ce que cela signifie.

Définition 2

Forme standard du monôme ils appellent sa forme dans laquelle elle représente une œuvre multiplicateur numérique Et diplômes naturels différentes variables. Le facteur numérique, également appelé coefficient du monôme, est généralement écrit en premier à gauche.

Pour plus de clarté, sélectionnons plusieurs monômes de la forme standard : 6 (c'est un monôme sans variables), 4 · a, − 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. Cela inclut également l'expression xy(ici le coefficient sera égal à 1), −x3(ici le coefficient est - 1).

Donnons maintenant des exemples de monômes qui doivent être réduits à vue générale: 4 une 2 une 3(ici vous devez combiner les mêmes variables), 5 x (− 1) 3 et 2(ici, vous devez combiner les facteurs numériques à gauche).

Généralement, lorsqu'un monôme comporte plusieurs variables écrites en lettres, les facteurs alphabétiques sont écrits par ordre alphabétique. Par exemple, il est préférable d'écrire 6 un b 4 c z 2, comment b 4 6 une z 2 c. Toutefois, l’ordre peut être différent si la finalité du calcul l’exige.

Tout monôme peut être réduit à une forme standard. Pour ce faire, vous devez remplir toutes les informations nécessaires transformations identitaires.

Le concept de degré d'un monôme

Il est très important notion connexe degrés de monôme. Écrivons la définition de ce concept.

Définition 3

Par le pouvoir du monôme, écrit sous forme standard, est la somme des exposants de toutes les variables incluses dans sa notation. S'il ne contient aucune variable et que le monôme lui-même est différent de 0, alors son degré sera nul.

Donnons des exemples de puissances d'un monôme.

Exemple 1

Ainsi, le monôme a a un degré égal à 1, puisque a = a 1. Si nous avons un monôme 7, alors il aura le degré zéro, car il n'a pas de variables et est différent de 0. Et voici l'enregistrement 7 une 2 x y 3 une 2 sera un monôme du 8ème degré, car la somme des exposants de tous les degrés des variables qu'il contient sera égale à 8 : 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Le monôme réduit à la forme standard et le polynôme original auront le même degré.

Exemple 2

Nous allons vous montrer comment calculer le degré d'un monôme 3 x 2 oui 3 x (− 2) x 5 oui. Sous forme standard, il peut s'écrire sous la forme − 6 x 8 et 4. On calcule le degré : 8 + 4 = 12 . Cela signifie que le degré du polynôme d'origine est également égal à 12.

Notion de coefficient monôme

Si nous avons un monôme réduit à une forme standard qui comprend au moins une variable, alors nous en parlons comme d'un produit avec un facteur numérique. Ce facteur est appelé coefficient numérique, ou coefficient monôme. Écrivons la définition.

Définition 4

Le coefficient d'un monôme est le facteur numérique d'un monôme réduit à sa forme standard.

Prenons comme exemple les coefficients de divers monômes.

Exemple 3

Ainsi, dans l'expression 8 à 3 le coefficient sera le chiffre 8, et en (− 2 , 3) ​​​​​​x y z elles vont − 2 , 3 .

Une attention particulière doit être portée aux coefficients égal à un et moins un. En règle générale, ils ne sont pas explicitement indiqués. On pense que dans un monôme de forme standard, dans lequel il n'y a pas de facteur numérique, le coefficient est égal à 1, par exemple, dans les expressions a, x · z 3, a · t · x, puisqu'ils peuvent être considéré comme 1 · a, x · z 3 – Comment 1xz3 etc.

De même, dans les monômes qui n'ont pas de facteur numérique et qui commencent par un signe moins, on peut considérer - 1 comme le coefficient.

Exemple 4

Par exemple, les expressions − x, − x 3 · y · z 3 auront un tel coefficient, puisqu'elles peuvent être représentées par − x = (− 1) · x, − x 3 · y · z 3 = (− 1 ) · x 3 et z 3 etc.

Si un monôme n'a pas du tout un facteur à une seule lettre, alors nous pouvons parler de coefficient dans ce cas. Les coefficients de ces monômes-nombres seront ces nombres eux-mêmes. Ainsi, par exemple, le coefficient du monôme 9 sera égal à 9.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée

Nous avons noté que tout monôme peut être mettre sous forme standard. Dans cet article, nous comprendrons ce qu'on appelle amener un monôme à une forme standard, quelles actions permettent de réaliser ce processus et envisagerons des solutions à partir d'exemples avec des explications détaillées.

Navigation dans les pages.

Que signifie réduire un monôme à une forme standard ?

Il est pratique de travailler avec des monômes lorsqu'ils sont écrits sous forme standard. Cependant, bien souvent, les monômes sont spécifiés sous une forme différente de la forme standard. Dans ces cas-là, on peut toujours passer du monôme original à un monôme de forme standard en effectuant des transformations d'identité. Le processus permettant d'effectuer de telles transformations est appelé réduction d'un monôme à une forme standard.

Résumons les arguments ci-dessus. Réduire le monôme à la forme standard- cela revient à lui faire des transformations identiques pour qu'il prenne une forme standard.

Comment amener un monôme à une forme standard ?

Il est temps de comprendre comment réduire les monômes à une forme standard.

Comme le montre la définition, les monômes de forme non standard sont des produits de nombres, de variables et de leurs puissances, et éventuellement répétitives. Et un monôme de forme standard ne peut contenir dans sa notation qu'un seul nombre et des variables non répétitives ou leurs puissances. Reste maintenant à comprendre comment amener les produits du premier type au type du second ?

Pour ce faire, vous devez utiliser ce qui suit la règle pour réduire un monôme à la forme standard composé de deux étapes :

• Tout d'abord, un regroupement de facteurs numériques est effectué, ainsi que de variables identiques et de leurs puissances ;
• Deuxièmement, le produit des nombres est calculé et appliqué.

Suite à l'application de la règle énoncée, tout monôme sera réduit à une forme standard.

Exemples, solutions

Il ne reste plus qu'à apprendre à appliquer la règle du paragraphe précédent lors de la résolution d'exemples.

Exemple.

Réduisez le monôme 3 x 2 x 2 à la forme standard.

Solution.

Regroupons les facteurs numériques et les facteurs avec une variable x. Après regroupement, le monôme original prendra la forme (3·2)·(x·x 2) . Le produit des nombres des premières parenthèses est égal à 6, et la règle de multiplication des puissances par pour les mêmes raisons permet à l'expression entre les deuxièmes parenthèses d'être représentée par x 1 +2=x 3. En conséquence, nous obtenons un polynôme de forme standard 6 x 3.

Voici un bref résumé de la solution : 3 x 2 x 2 =(3 2) (x x 2)=6 x 3.

Répondre:

3 x 2 x 2 = 6 x 3.

Ainsi, pour donner à un monôme une forme standard, vous devez être capable de regrouper des facteurs, de multiplier des nombres et de travailler avec des puissances.

Pour consolider le matériel, résolvons un autre exemple.

Exemple.

Présentez le monôme sous forme standard et indiquez son coefficient.

Solution.

Le monôme original a un seul facteur numérique dans sa notation −1, déplaçons-le au début. Après cela, nous regrouperons séparément les facteurs avec la variable a, séparément avec la variable b, et il n'y a rien avec quoi regrouper la variable m, nous la laisserons telle quelle, nous avons . Après avoir effectué des opérations avec les puissances entre parenthèses, le monôme prendra la forme standard dont nous avons besoin, à partir de laquelle nous pourrons voir le coefficient du monôme égal à −1. Le moins un peut être remplacé par un signe moins : .

Dans cette leçon, nous donnerons une définition stricte d'un monôme et examinerons divers exemples tirés du manuel. Rappelons les règles de multiplication des puissances avec les mêmes bases. Définissons la forme standard d'un monôme, le coefficient du monôme et sa partie lettre. Considérons deux principales opérations typiques sur les monômes, à savoir la réduction à une forme standard et le calcul d'une valeur numérique spécifique d'un monôme pour des valeurs données des variables littérales qui y sont incluses. Formulons une règle pour réduire un monôme à une forme standard. Apprenons à résoudre des problèmes standard avec n'importe quel monôme.

Sujet:Monômes. Opérations arithmétiques sur les monômes

Leçon:Le concept de monôme. Forme standard du monôme

Prenons quelques exemples :

3. ;

Nous trouverons caractéristiques communes pour les expressions données. Dans les trois cas, l’expression est le produit de nombres et de variables élevés à une puissance. Sur cette base, nous donnons définition du monôme : Un monôme est une expression algébrique qui consiste en le produit de puissances et de nombres.

Donnons maintenant des exemples d'expressions qui ne sont pas des monômes :

Trouvons la différence entre ces expressions et les précédentes. Cela consiste dans le fait que dans les exemples 4 à 7, il y a des opérations d'addition, de soustraction ou de division, tandis que dans les exemples 1 à 3, qui sont des monômes, il n'y a pas ces opérations.

Voici quelques exemples supplémentaires :

L'expression numéro 8 est un monôme car elle est le produit d'une puissance et d'un nombre, alors que l'exemple 9 n'est pas un monôme.

Maintenant, découvrons actions sur les monômes .

1. Simplification. Regardons l'exemple n°3 ;et exemple n°2 /

Dans le deuxième exemple nous ne voyons qu'un seul coefficient - , chaque variable n'apparaît qu'une seule fois, c'est-à-dire la variable " UN" est représenté en un seul exemplaire par "", de même, les variables "" et "" n'apparaissent qu'une seule fois.

Dans l'exemple n°3, au contraire, il y a deux coefficients différents - et , on voit la variable "" deux fois - comme "" et comme "", de même, la variable "" apparaît deux fois. Autrement dit, cette expression devrait être simplifiée, nous arrivons donc à la première action effectuée sur les monômes est de réduire le monôme à la forme standard . Pour ce faire, nous allons réduire l'expression de l'exemple 3 à la forme standard, puis nous définirons cette opération et apprendrons comment réduire n'importe quel monôme à la forme standard.

Alors, prenons un exemple :

La première action dans l’opération de réduction à la forme standard est toujours de multiplier tous les facteurs numériques :

;

Le résultat de cette action sera appelé coefficient du monôme .

Ensuite, vous devez multiplier les pouvoirs. Multiplions les puissances de la variable " X"selon la règle de multiplication des puissances avec les mêmes bases, qui stipule que lors de la multiplication, les exposants s'ajoutent :

Maintenant multiplions les pouvoirs" à»:

;

Voici donc une expression simplifiée :

;

Tout monôme peut être réduit à une forme standard. Formulons règle de normalisation :

Multipliez tous les facteurs numériques ;

Placez le coefficient résultant en premier lieu ;

Multipliez tous les degrés, c'est-à-dire obtenez la partie lettre ;

C'est-à-dire que tout monôme est caractérisé par un coefficient et une partie lettre. Pour l’avenir, nous notons que les monômes qui ont la même partie de lettre sont appelés similaires.

Maintenant, nous devons travailler technique pour réduire les monômes à la forme standard . Considérez des exemples tirés du manuel :

Devoir : mettre le monôme sous forme standard, nommer le coefficient et la partie lettre.

Pour mener à bien cette tâche, nous utiliserons la règle de réduction d'un monôme à une forme standard et les propriétés des puissances.

1. ;

3. ;

Commentaires sur le premier exemple: Déterminons d'abord si cette expression est bien un monôme ; pour ce faire, vérifions si elle contient des opérations de multiplication de nombres et de puissances et si elle contient des opérations d'addition, de soustraction ou de division. On peut dire que cette expression est un monôme puisque la condition ci-dessus est satisfaite. Ensuite, selon la règle de réduction d'un monôme à une forme standard, on multiplie les facteurs numériques :

- nous avons trouvé le coefficient d'un monôme donné ;

; ; ; c'est-à-dire que la partie littérale de l'expression est obtenue :;

Écrivons la réponse : ;

Commentaires sur le deuxième exemple: En suivant la règle que nous effectuons :

1) multiplier les facteurs numériques :

2) multiplier les puissances :

Les variables sont présentées en un seul exemplaire, c'est-à-dire qu'elles ne peuvent être multipliées par rien, elles sont réécrites sans modifications, le degré est multiplié :

Écrivons la réponse :

;

Dans cet exemple, le coefficient du monôme est égal à un et la partie lettre est .

Commentaires sur le troisième exemple : a Semblable aux exemples précédents, nous effectuons les actions suivantes :

1) multiplier les facteurs numériques :

;

2) multiplier les puissances :

;

Écrivons la réponse : ;

Dans ce cas, le coefficient du monôme est "", et la partie lettre .

Considérons maintenant deuxième opération standard sur les monômes . Puisqu’un monôme est une expression algébrique constituée de variables littérales pouvant prendre des valeurs numériques spécifiques, nous avons l’arithmétique expression numérique, qui doit être calculé. Autrement dit, la prochaine opération sur les polynômes est calculer leur valeur numérique spécifique .

Regardons un exemple. Monôme donné :

ce monôme a déjà été réduit à la forme standard, son coefficient est égal à un, et la partie lettre

Nous avons dit plus tôt qu'une expression algébrique ne peut pas toujours être calculée, c'est-à-dire que les variables qui y sont incluses ne peuvent prendre aucune valeur. Dans le cas d'un monôme, les variables qui y sont incluses peuvent être quelconques, c'est une caractéristique du monôme.

Ainsi, dans l'exemple donné, vous devez calculer la valeur du monôme en , , , .

Le concept de monôme

Définition d'un monôme : Un monôme est une expression algébrique qui utilise uniquement la multiplication.

Forme standard du monôme

Quelle est la forme standard d’un monôme ? Un monôme est écrit sous forme standard, s'il a en premier lieu un facteur numérique et ce facteur est appelé coefficient du monôme, il n'y en a qu'un dans le monôme, les lettres du monôme sont classées par ordre alphabétique et chaque lettre n'apparaît qu'une seule fois.

Un exemple de monôme sous forme standard :

ici en premier lieu se trouve le nombre, le coefficient du monôme, et ce nombre n'en est qu'un dans notre monôme, chaque lettre n'apparaît qu'une seule fois et les lettres sont classées par ordre alphabétique, dans ce cas c'est l'alphabet latin.

Autre exemple de monôme sous forme standard :

chaque lettre n'apparaît qu'une seule fois, elles sont classées par ordre alphabétique latin, mais où est le coefficient du monôme, c'est-à-dire le facteur numérique qui devrait venir en premier ? Ici, il est égal à un : 1adm.

Le coefficient d'un monôme peut-il être négatif ? Oui, peut-être, exemple : -5a.

Le coefficient d'un monôme peut-il être fractionnaire ? Oui, peut-être, exemple : 5.2a.

Si un monôme est constitué uniquement d'un nombre, c'est-à-dire n'a pas de lettres, comment puis-je le mettre sous forme standard ? Tout monôme qui est un nombre est déjà sous forme standard, par exemple : le chiffre 5 est un monôme sous forme standard.

Réduire les monômes à la forme standard

Comment amener un monôme à une forme standard ? Regardons des exemples.

Soit donné le monôme 2a4b ; il faut le mettre sous forme standard. Nous multiplions ses deux facteurs numériques et obtenons 8ab. Maintenant, le monôme est écrit sous forme standard, c'est-à-dire n'a qu'un seul facteur numérique, écrit en premier lieu, chaque lettre du monôme n'apparaît qu'une seule fois et ces lettres sont classées par ordre alphabétique. Donc 2a4b = 8ab.

Étant donné : monôme 2a4a, amener le monôme à la forme standard. On multiplie les nombres 2 et 4 en remplaçant le produit aa par la puissance deux de a 2. On obtient : 8a 2 . C'est la forme standard de ce monôme. Donc 2a4a = 8a 2 .

Monômes similaires

Quels sont les monômes similaires ? Si les monômes ne diffèrent que par les coefficients ou sont égaux, ils sont alors appelés similaires.

Exemple de monômes similaires : 5a et 2a. Ces monômes ne diffèrent que par les coefficients, ce qui signifie qu'ils sont similaires.

Les monômes 5abc et 10cba sont-ils similaires ? Amenons le deuxième monôme à la forme standard et obtenons 10abc. On voit maintenant que les monômes 5abc et 10abc ne diffèrent que par leurs coefficients, ce qui signifie qu'ils sont similaires.

Ajout de monômes

Quelle est la somme des monômes ? Nous ne pouvons résumer que des monômes similaires. Regardons un exemple d'ajout de monômes. Quelle est la somme des monômes 5a et 2a ? La somme de ces monômes sera un monôme semblable à eux, dont le coefficient égal à la somme coefficients des termes. Ainsi, la somme des monômes est 5a + 2a = 7a.

Autres exemples d'ajout de monômes :

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Encore. Vous ne pouvez ajouter que des monômes similaires, l'addition revient à additionner leurs coefficients.

Soustraire des monômes

Quelle est la différence entre les monômes ? Nous ne pouvons soustraire que des monômes similaires. Regardons un exemple de soustraction de monômes. Quelle est la différence entre les monômes 5a et 2a ? La différence de ces monômes sera un monôme qui leur ressemble, dont le coefficient est égal à la différence des coefficients de ces monômes. Ainsi, la différence des monômes est 5a - 2a = 3a.

Autres exemples de soustraction de monômes :

10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Multiplication de monômes

Quel est le produit des monômes ? Regardons un exemple :

ceux. le produit des monômes est égal à un monôme dont les facteurs sont constitués des facteurs des monômes originaux.

Un autre exemple:

2une 2 b 3 * une 5 b 9 = 2une 7 b 12 .

Comment est arrivé ce résultat ? Chaque facteur contient « a » à la puissance : dans le premier - « a » à la puissance 2, et dans le second - « a » à la puissance 5. Cela signifie que le produit contiendra « a » à la puissance de 7, car en multipliant des lettres identiques, les exposants de leurs puissances se replient :

Un 2 * un 5 = un 7 .

Il en va de même pour le facteur « b ».

Le coefficient du premier facteur est deux et le second est un, donc le résultat est 2 * 1 = 2.

Voici comment le résultat a été calculé : 2a 7 b 12.

A partir de ces exemples, il ressort clairement que les coefficients des monômes sont multipliés et que les lettres identiques sont remplacées par la somme de leurs puissances dans le produit.

Pouvoir d'un monôme

Pour un monôme, il y a la notion de son degré. Voyons ce que c'est.

Définition.

Pouvoir d'un monôme la forme standard est la somme des exposants de toutes les variables incluses dans son enregistrement ; s'il n'y a pas de variables dans la notation d'un monôme et qu'il est différent de zéro, alors son degré est considéré égal à zéro; le nombre zéro est considéré comme un monôme dont le degré est indéfini.

Déterminer le degré d'un monôme permet de donner des exemples. Le degré du monôme a est égal à un, puisque a est un 1. La puissance du monôme 5 est nulle, puisqu'elle est non nulle et que sa notation ne contient pas de variables. Et le produit 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 est un monôme du huitième degré, puisque la somme des exposants de toutes les variables a, x et y est égale à 2+1+3+2=8.

À propos, le degré d'un monôme non écrit sous forme standard est égal au degré du monôme correspondant de forme standard. Pour illustrer cela, calculons le degré du monôme 3 x 2 oui 3 x (−2) x 5 oui. Ce monôme sous forme standard a la forme −6·x 8 ·y 4, son degré est 8+4=12. Ainsi, le degré du monôme original est 12.

Coefficient monomial

Un monôme sous forme standard, qui a au moins une variable dans sa notation, est un produit avec un seul facteur numérique - un coefficient numérique. Ce coefficient est appelé coefficient monôme. Formulons les arguments ci-dessus sous la forme d'une définition.

Définition.

Coefficient monomial est le facteur numérique d'un monôme écrit sous forme standard.

Nous pouvons maintenant donner des exemples de coefficients de divers monômes. Le nombre 5 est le coefficient du monôme 5·a 3 par définition, de même le monôme (−2,3)·x·y·z a un coefficient de −2,3.

Les coefficients des monômes, égaux à 1 et −1, méritent une attention particulière. Le fait est qu’ils ne sont généralement pas explicitement présents dans l’enregistrement. On pense que le coefficient des monômes de forme standard qui n'ont pas de facteur numérique dans leur notation est égal à un. Par exemple, les monômes a, x·z 3, a·t·x, etc. avoir un coefficient de 1, puisque a peut être considéré comme 1·a, x·z 3 - comme 1·x·z 3, etc.

De même, le coefficient des monômes, dont les entrées sous forme standard n'ont pas de facteur numérique et commencent par un signe moins, est considéré comme moins un. Par exemple, les monômes −x, −x 3 y z 3, etc. avoir un coefficient −1, puisque −x=(−1) x, −x 3 oui z 3 =(−1) x 3 oui z 3 et ainsi de suite.

À propos, le concept de coefficient d'un monôme est souvent appelé monômes de la forme standard, qui sont des nombres sans facteurs alphabétiques. Les coefficients de ces monômes-nombres sont considérés comme ces nombres. Ainsi, par exemple, le coefficient du monôme 7 est considéré comme égal à 7.

Bibliographie.

• Algèbre: cahier de texte pour la 7ème année enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 17e éd. - M. : Éducation, 2008. - 240 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019315-3.
• Mordkovitch A.G. Algèbre. 7e année. À 14h Partie 1. Manuel pour les étudiants les établissements d'enseignement/ A.G. Mordkovitch. - 17e éd., ajouter. - M. : Mnémosyne, 2013. - 175 p. : ill. ISBN978-5-346-02432-3.
• Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques) : Proc. allocation.- M.; Plus haut école, 1984.-351 p., ill.