liste fractale. À propos des fractales et de leurs algorithmes. La question fondamentale du travail

Mathématiques,
si tu regardes bien,
reflète non seulement la vérité,
mais aussi d'une beauté incomparable.
Bertrand Russell.

Vous avez, bien sûr, entendu parler des fractales. Vous avez certainement vu ces images à couper le souffle de Bryce3d qui sont plus réelles que la réalité elle-même. Montagnes, nuages, écorce d'arbre - tout cela va au-delà de la géométrie euclidienne habituelle. Nous ne pouvons pas décrire la pierre ou les limites de l'île avec des lignes, des cercles et des triangles. C'est là que les fractales viennent à la rescousse. Quels sont ces inconnus familiers ? Quand sont-ils apparus ?

Histoire d'apparition.

Les premières idées de géométrie fractale sont apparues au XIXe siècle. Kantor, en utilisant une simple procédure récursive (répétitive), a transformé la ligne en un ensemble de points non connectés (le soi-disant Cantor Dust). Il a pris la ligne et a enlevé le tiers central, puis a répété la même chose avec les segments restants. Peano a dessiné un type spécial de ligne (dessin #1). Peano a utilisé l'algorithme suivant pour le dessiner.

Lors de la première étape, il a pris une ligne droite et l'a remplacée par 9 segments 3 fois plus courts que la longueur de la ligne d'origine (parties 1 et 2 de la figure 1). Ensuite, il a fait de même avec chaque segment de la ligne résultante. Et ainsi de suite à l'infini. Sa particularité réside dans le fait qu'il remplit tout le plan. Il est prouvé que pour tout point du plan on peut trouver un point appartenant à la droite de Peano. La courbe de Peano et la poussière de Cantor allaient au-delà des objets géométriques ordinaires. Ils n'avaient pas de dimension claire. La poussière de Cantor était apparemment construite sur la base d'une ligne droite unidimensionnelle, mais était constituée de points (dimension 0). Et la courbe de Peano a été construite sur la base d'une ligne unidimensionnelle, et le résultat était un plan. Dans de nombreux autres domaines de la science, des problèmes sont apparus qui ont conduit à des résultats étranges, tels que ceux décrits ci-dessus (mouvement brownien, cours des actions).

Père des fractales

Jusqu'au 20ème siècle, il y avait une accumulation de données sur ces objets étranges, sans aucune tentative de les systématiser. Il en fut ainsi jusqu'à ce qu'ils soient repris par Benoit Mandelbrot - le père de la géométrie fractale moderne et du mot fractale. Alors qu'il travaillait chez IBM en tant qu'analyste mathématique, il a étudié le bruit dans circuits électroniques, qui ne pouvait pas être décrit à l'aide de statistiques. En comparant progressivement les faits, il est venu à la découverte d'une nouvelle direction en mathématiques - la géométrie fractale.

Qu'est-ce qu'une fractale. Mandelbrot lui-même a dérivé le mot fractale du mot latin fractus, qui signifie cassé (divisé en parties). Et l'une des définitions d'une fractale est une figure géométrique qui se compose de parties et qui peut être divisée en parties, dont chacune sera une copie plus petite de l'ensemble (au moins approximativement).

Pour imaginer plus clairement une fractale, considérons un exemple donné dans le livre de B. Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" ("Géométrie fractale de la nature"), devenu un classique - "Quelle est la longueur de la côte de Grande-Bretagne?". La réponse à cette question n'est pas aussi simple qu'il y paraît. Tout dépend de la longueur de l'outil que nous allons utiliser. Après avoir mesuré la côte à l'aide d'une règle kilométrique, nous obtiendrons une certaine longueur. Cependant, nous manquerons de nombreuses petites baies et péninsules beaucoup plus petites que notre aire de répartition. En réduisant la taille de la règle à, disons, 1 mètre, nous prendrons en compte ces détails du paysage et, par conséquent, la longueur de la côte deviendra plus longue. Allons-y et mesurons la longueur de la côte avec une règle millimétrique, nous prendrons en compte les détails qui font plus d'un millimètre, la longueur sera encore plus longue. En conséquence, la réponse à une question aussi simple en apparence peut dérouter n'importe qui - la longueur de la côte britannique est infinie.

Un peu sur les dimensions.

Dans son Vie courante nous avons constamment affaire à des dimensions. Nous estimons la longueur de la route (250 m), découvrons la superficie de l'appartement (78 m2) et recherchons le volume d'une bouteille de bière (0,33 dm3) sur la vignette. Ce concept est assez clair intuitivement et, semble-t-il, ne nécessite pas de clarification. La ligne a une dimension de 1. Cela signifie qu'en choisissant un point de référence, nous pouvons déterminer n'importe quel point sur cette ligne en utilisant 1 nombre - positif ou négatif. Et cela s'applique à toutes les lignes - un cercle, un carré, une parabole, etc.

La dimension 2 signifie que nous pouvons définir de manière unique n'importe quel point par deux nombres. Ne pensez pas que bidimensionnel signifie plat. La surface d'une sphère est également bidimensionnelle (elle peut être définie à l'aide de deux valeurs - des angles comme la largeur et la longitude).

Si vous regardez d'un point de vue mathématique, la dimension est définie comme suit : pour les objets unidimensionnels, doubler leur taille linéaire entraîne une augmentation de la taille (dans ce cas, la longueur) d'un facteur deux (2 ^ 1 ).

Pour les objets bidimensionnels, doubler les dimensions linéaires entraîne une multiplication par quatre (2 ^ 2) de la taille (par exemple, l'aire d'un rectangle).

Pour les objets tridimensionnels, une multiplication par deux des dimensions linéaires entraîne une multiplication par huit du volume (2^3), et ainsi de suite.

Ainsi, la dimension D peut être calculée en fonction de la dépendance de l'augmentation de la "taille" de l'objet S à l'augmentation des dimensions linéaires L. D = log(S)/log(L). Pour la ligne D=log(2)/log(2)=1. Pour le plan D=log(4)/log(2)=2. Pour le volume D=log(8)/log(2)=3. Cela peut être un peu déroutant, mais en général c'est simple et compréhensible.

Pourquoi est-ce que je raconte tout ça ? Et afin de comprendre comment séparer les fractales de, disons, les saucisses. Essayons de calculer la dimension de la courbe de Peano. Nous avons donc la ligne d'origine, composée de trois segments de longueur X, remplacée par 9 segments trois fois moins longs. Ainsi, lorsque le segment minimum est augmenté de 3 fois, la longueur de la ligne entière augmente de 9 fois et D=log(9)/log(3)=2 est un objet à deux dimensions !!!

Ainsi, lorsque la dimension d'une figure obtenue à partir de quelques objets simples (segments) est supérieure à la dimension de ces objets, on a affaire à une fractale.

Les fractales sont divisées en groupes. Les plus grands groupes sont :

Fractales géométriques.

C'est avec eux que l'histoire des fractales a commencé. Ce type de fractales est obtenu par des constructions géométriques simples. Habituellement, lors de la construction de ces fractales, on procède comme suit: une "graine" est prise - un axiome - un ensemble de segments, sur la base desquels la fractale sera construite. De plus, un ensemble de règles est appliqué à cette "graine", qui la transforme en une figure géométrique. De plus, le même ensemble de règles est à nouveau appliqué à chaque partie de cette figure. A chaque étape, la figure deviendra de plus en plus complexe, et si nous effectuons (au moins dans l'esprit) un nombre infini de transformations, nous obtiendrons une fractale géométrique.

La courbe de Peano considérée ci-dessus est une fractale géométrique. La figure ci-dessous montre d'autres exemples de fractales géométriques (de gauche à droite, Flocon de Koch, Liszt, Triangle de Sierpinski).

Flocon de neige Koch

Feuille

Triangle de Sierpinski

Parmi ces fractales géométriques, la première est très intéressante et assez célèbre - le flocon de neige de Koch. Il est construit sur la base d'un triangle équilatéral. Chaque ligne dont ___ est remplacée par 4 lignes chacune 1/3 de la longueur originale _/\_. Ainsi, à chaque itération, la longueur de la courbe augmente d'un tiers. Et si nous faisons un nombre infini d'itérations, nous obtenons une fractale - un flocon de neige de Koch de longueur infinie. Il s'avère que notre courbe infinie couvre une zone limitée. Essayez de faire de même avec les méthodes et les figures de la géométrie euclidienne.

Dimension d'un flocon de Koch (quand un flocon de neige augmente de 3 fois sa longueur augmente de 4 fois) D=log(4)/log(3)=1.2619...

Les soi-disant L-Systems sont bien adaptés à la construction de fractales géométriques. L'essence de ces systèmes est qu'il existe un certain ensemble de symboles du système, chacun désignant une certaine action et un ensemble de règles de conversion des symboles. Par exemple, la description du flocon de neige Koch utilisant L-Systems dans le programme Fractint

; Adrian Mariano de La géométrie fractale de la nature par Mandelbrot Koch1 ( ;régler l'angle de rotation 360/6=60 degrés Angle 6 ; Dessin initial à construire Axiome F--F--F ; Règle de conversion des caractères F=F+F--F+F )

Dans cette description, les significations géométriques des symboles sont les suivantes :

F signifie tracer une ligne + tourner dans le sens des aiguilles d'une montre - tourner dans le sens inverse des aiguilles d'une montre

La deuxième propriété des fractales est l'auto-similarité. Prenons, par exemple, le triangle de Sierpinski. Pour le construire à partir du centre d'un triangle équilatéral, on "découpe" le triangle. Nous répétons la même procédure pour les trois triangles formés (à l'exception du central) et ainsi de suite à l'infini. Si nous prenons maintenant l'un des triangles formés et l'agrandissons, nous obtiendrons une copie exacte de l'ensemble. Dans ce cas, nous avons affaire à une auto-similitude complète.

Je vais faire une réserve tout de suite que la plupart des dessins fractals de cet article ont été obtenus à l'aide du programme Fractint. Si vous êtes intéressé par les fractales, alors c'est un programme indispensable pour vous. Avec son aide, vous pouvez créer des centaines de fractales différentes, obtenir des informations complètes à leur sujet et même écouter le son des fractales ;).

Dire que le programme est bon, c'est ne rien dire. Elle est géniale, sauf pour une chose - dernière version 20.0 n'est disponible qu'en version DOS :(. Vous pouvez trouver ce programme (dernière version 20.0) sur http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html .

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commentaires

Eh bien, pour une collation exemple intéressant Microsoft Excel Les cellules A2 et B2 ont les mêmes valeurs entre 0 et 1. Une valeur de 0,5 n'a aucun effet.

Bonjour à tous ceux qui ont réussi à faire un programme à partir de la photo de la fraternité. Qui peut me dire quelle méthode de cycle dois-je utiliser pour construire une prairie de fractales de fougères avec un support 3d max avec 100 000 itérations sur une pierre avec 2800 mH

Il existe une source avec un programme pour dessiner la courbe du Dragon, également une fractale.

L'article est génial. Et Excel est probablement une erreur de coprocesseur (sur les derniers bits bas)

exemple de fractale

"Fractale" a été introduit dans l'usage des mathématiciens il y a moins d'un demi-siècle, est rapidement devenu, avec la synergétique et l'attracteur, l'un des "trois piliers" de la jeune Théorie du Chaos Déterministe, et aujourd'hui il est déjà reconnu comme l'un des éléments fondamentaux de l'univers.

AVEC le mot latin fractus est traduit comme "cassé", les langues latines modernes lui donnaient le sens de "déchiré". Une fractale est quelque chose qui est identique au tout / plus grand, dont elle fait partie, et, en même temps, copie chacune de ses propres partie constituante. Ainsi, la « fractalité » est une similitude infinie de « tout » avec ses composants, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une auto-similarité à tous les niveaux. Chaque niveau d'une branche fractale est appelé une "itération", plus le système décrit ou représenté graphiquement est développé, plus l'observateur voit d'itérations fractales. Dans ce cas, le point où se produit la division (par exemple, un tronc en branches, une rivière en deux cours d'eau, etc.) est appelé point de bifurcation.

terme fractus a été choisi par le mathématicien Benoit Mandelbrot en 1975 pour décrire découverte scientifique et est devenu populaire quelques années plus tard après avoir développé le thème pour un public plus large dans son livre The Fractal Geometry of Nature.

Aujourd'hui, la fractale est largement connue comme les motifs fantastiques de ce qu'on appelle "l'art fractal" créé par logiciels d'ordinateur. Mais en utilisant un ordinateur, vous pouvez générer non seulement de belles images abstraites, mais également des paysages naturels très crédibles - montagnes, rivières, forêts. Ici, en effet, est le point de transition de la science vers vrai vie, ou vice versa, en supposant qu'ils peuvent être séparés du tout.

Le fait est que principe de fractalité convient non seulement pour décrire les découvertes dans les sciences exactes. C'est d'abord le principe de la structure et du développement de la nature elle-même. Tout ce qui nous entoure est fractal ! Le groupe d'exemples le plus évident sont les rivières avec des affluents, un système veineux avec des capillaires, des éclairs, des modèles de gel, des arbres… Plus récemment, des scientifiques ont testé théorie de la fractalité, expérimentalement convaincu même que, selon le schéma d'un arbre, on peut tirer des conclusions sur des bois où poussent ces arbres. Autres exemples de groupes fractals : atome - molécule - système planétaire - système solaire- galaxies - univers... Minute - heure - jour - semaine - mois - année - siècle... Même la communauté des gens s'auto-organise selon les principes de la fractalité : je suis une famille - clan - nationalité - nationalités - races ... Individu - groupe - parti - état. Employé - département - département - entreprise - préoccupation... Même les panthéons divins des différentes religions sont construits sur le même principe, y compris le christianisme : Dieu le Père - Trinité - les saints - l'église - les croyants, sans oublier l'organisation du divin panthéons des religions païennes.

Histoire déclare que pour la première fois des ensembles auto-similaires ont été remarqués au 19ème siècle dans les travaux de scientifiques - Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff, mais la vérité est que déjà les Slaves païens nous ont laissé la preuve que les gens comprenaient l'être individuel comme un petit détail dans l'univers infini. Il s'agit d'un objet de culture populaire étudié par les historiens de l'art de Biélorussie et d'Ukraine, appelé «l'araignée». C'est une sorte de prototype d'une sculpture de style moderne "mobile" (les pièces sont en en mouvement constant l'un par rapport à l'autre). L '"araignée" est souvent en paille, constituée de petits, moyens et grands éléments de même forme, suspendus les uns aux autres de sorte que chaque partie plus petite répète exactement la structure plus grande et la structure entière dans son ensemble. Cette conception a été accrochée dans le coin principal du logement, comme si elle désignait votre maison comme un élément du monde entier.

La théorie de la fractalité fonctionne aujourd'hui partout, y compris en philosophie, qui dit qu'au cours de chaque vie, et toute vie dans son ensemble est fractale, des "points de bifurcation" se produisent lorsque plus niveaux élevés le développement peut aller de différentes manières, et le moment où une personne « fait face à un choix » est le véritable « point de bufurcation » dans les fractales de sa vie.

La théorie du chaos déterministe dit que le développement de chaque fractale n'est pas infini. Les scientifiques pensent qu'à un certain moment, il arrive une limite, au-delà de laquelle la croissance des itérations s'arrête et la fractale commence à "rétrécir", atteignant progressivement sa mesure unique d'origine, puis le processus recommence - de la même manière que les inhalations et les expirations, le changements de matin et de nuit, d'hiver et d'été dans la nature.

Les propriétés fractales ne sont pas un caprice ni un fruit de la vaine fantaisie des mathématiciens. En les étudiant, nous apprenons à distinguer et à prédire des caractéristiques importantes des objets et des phénomènes qui nous entourent, qui auparavant, sinon complètement ignorées, n'étaient estimées qu'approximativement, qualitativement, à l'œil nu. Par exemple, en comparant les dimensions fractales de signaux complexes, d'encéphalogrammes ou de souffles cardiaques, les médecins peuvent diagnostiquer certains maladies gravesà un stade précoce, lorsque le patient peut encore être aidé. En outre, l'analyste, comparant le comportement antérieur des prix, au début de la formation du modèle, peut prévoir son développement ultérieur, évitant ainsi les erreurs grossières de prévision.

Irrégularité des fractales

La première propriété des fractales est leur irrégularité. Si une fractale est décrite par une fonction, alors la propriété d'irrégularité en termes mathématiques signifiera qu'une telle fonction n'est pas différentiable, c'est-à-dire qu'elle n'est lisse en aucun point. En fait, cela a la relation la plus directe avec le marché. Les fluctuations de prix sont parfois si volatiles et changeantes qu'elles déroutent de nombreux commerçants. Notre tâche est de trier tout ce chaos et de le ramener à l'ordre.

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Auto-similarité des fractales

La deuxième propriété dit qu'une fractale est un objet qui a la propriété d'auto-similarité. Il s'agit d'un modèle récursif, dont chaque partie répète dans son développement le développement de l'ensemble du modèle dans son ensemble et est reproduite à différentes échelles sans changements visibles. Cependant, des changements se produisent encore, ce qui peut grandement affecter notre perception de l'objet.

L'auto-similarité signifie que l'objet n'a pas d'échelle caractéristique : s'il avait une telle échelle, vous distingueriez immédiatement la copie agrandie du fragment de l'image originale. Les objets auto-similaires ont un nombre infini d'échelles pour tous les goûts. L'essence de l'auto-similarité peut être expliquée par l'exemple suivant. Imaginez que vous avez une image d'une "vraie" ligne géométrique, "longueur sans largeur", comme Euclide a défini la ligne, et que vous jouez avec un ami, essayant de deviner s'il vous montre l'image originale (original) ou une image de tout fragment de droite. Quels que soient vos efforts, vous ne pourrez jamais distinguer l'original de la copie agrandie du fragment, la ligne droite est disposée de la même manière dans toutes ses parties, elle est semblable à elle-même, mais cette propriété remarquable de celle-ci est quelque peu caché par la structure simple de la ligne droite elle-même, sa "rectitude" (Fig. 7).

Si vous ne pouvez pas non plus distinguer un instantané d'un objet d'un instantané correctement agrandi de l'un de ses fragments, alors vous avez un objet auto-similaire. Toutes les fractales qui ont au moins une certaine symétrie sont auto-similaires. Et cela signifie que certains fragments de leur structure sont strictement répétés à certains intervalles spatiaux. Évidemment, ces objets peuvent être de toute nature, et leur apparence et leur forme restent inchangées quelle que soit l'échelle. Un exemple de fractale auto-similaire :

En finance, ce concept n'est pas une abstraction sans fondement, mais une reformulation théorique d'un dicton pratique du marché, à savoir que les mouvements d'une action ou d'une devise sont superficiellement similaires, quels que soient la période et le prix. L'observateur ne peut dire apparence graphique, que les données se réfèrent à des changements hebdomadaires, quotidiens ou horaires.

Bien sûr, toutes les fractales n'ont pas une structure aussi régulière et répétée à l'infini que ces merveilleuses expositions du futur musée d'art fractal, nées de l'imagination de mathématiciens et d'artistes. De nombreuses fractales trouvées dans la nature (surfaces de failles de roches et de métaux, nuages, cotations monétaires, écoulements turbulents, mousse, gels, contours de particules de suie, etc.) manquent de similitude géométrique, mais reproduisent obstinément dans chaque fragment les propriétés statistiques de l'ensemble. Les fractales avec une forme de développement non linéaire ont été nommées par Mandelbrot comme multifractales. Une multifractale est un objet quasi-fractal avec une dimension fractale variable. Naturellement, les objets et processus réels sont bien mieux décrits par les multifractales.

Une telle auto-similarité statistique, ou auto-similitude en moyenne, distingue les fractales d'une variété d'objets naturels.

Prenons un exemple d'auto-similarité sur le marché des changes :

Sur ces figures, on voit qu'elles sont similaires, tout en ayant une échelle de temps différente, sur la Fig. et l'échelle de 15 minutes, dans la Fig. b grille tarifaire hebdomadaire. Comme vous pouvez le voir, ces citations n'ont pas la capacité de se répéter parfaitement, cependant, nous pouvons les considérer comme similaires.

Même les fractales les plus simples - les fractales géométriquement similaires - ont des propriétés inhabituelles. Par exemple, le flocon de neige de von Koch a un périmètre de longueur infinie, bien qu'il délimite une surface finie (Fig. 9). De plus, il est si épineux qu'il est impossible de lui tracer une tangente en tout point du contour (un mathématicien dirait qu'un flocon de neige de von Koch n'est dérivable nulle part, c'est-à-dire qu'il n'est lisse en aucun point).

Mandelbrot a découvert que les résultats de la mesure fractionnaire restent constants pour divers degrés d'amélioration de l'irrégularité de l'objet. En d'autres termes, il y a régularité (correction, ordre) pour toute irrégularité. Lorsque nous traitons quelque chose comme aléatoire, cela indique que nous ne comprenons pas la nature de ce caractère aléatoire. En termes de marché, cela signifie que la formation des mêmes formations typiques doit se produire dans des délais différents. Un graphique d'une minute décrira une formation fractale de la même manière qu'un graphique mensuel. Cette « auto-similarité » que l'on retrouve sur les graphiques des marchés des matières premières et des marchés financiers montre tous les signes que les actions du marché sont plus proches du paradigme du comportement de la « nature » que du comportement de l'analyse fondamentale économique.

Dans ces chiffres, vous pouvez trouver la confirmation de ce qui précède. À gauche, un graphique avec une échelle des minutes, à droite, un graphique hebdomadaire. Les paires de devises USD/Yen (Fig. 9 (a)) et Euro/Dollar (Fig. 9 (b)) sont présentées ici avec différentes échelles de prix. Même si la paire de devises JPY/USD a une volatilité différente par rapport à l'EUR/USD, nous pouvons observer la même structure de mouvement des prix.

dimension fractale

La troisième propriété des fractales est que les objets fractals ont une dimension autre qu'euclidienne (en d'autres termes, une dimension topologique). La dimension fractale est une mesure de la complexité de la courbe. En analysant l'alternance des sections avec différentes dimensions fractales et comment le système est affecté par des facteurs externes et internes, on peut apprendre à prédire le comportement du système. Et surtout, pour diagnostiquer et prévoir les conditions instables.

Dans l'arsenal des mathématiques modernes, Mandelbrot a trouvé une mesure quantitative pratique de l'imperfection des objets - la sinuosité du contour, le plissement de la surface, la fracturation et la porosité du volume. Il a été proposé par deux mathématiciens - Felix Hausdorff (1868-1942) et Abram Samoylovich Besikovich (1891-1970). Maintenant, il porte à juste titre les noms glorieux de ses créateurs (dimension Hausdorff-Besikovich) - dimension Hausdorff-Besikovich. Qu'est-ce que la dimension et pourquoi en avons-nous besoin dans le cadre de l'analyse des marchés financiers ? Avant cela, nous ne connaissions qu'un seul type de dimension - topologique (Fig. 11). Le mot dimension lui-même indique le nombre de dimensions d'un objet. Pour un segment, une droite, il est égal à 1, c'est-à-dire nous n'avons qu'une seule dimension, à savoir la longueur d'un segment ou d'une droite. Pour un avion, la dimension sera 2, puisque nous avons une dimension à deux dimensions, longueur et largeur. Pour l'espace ou les objets solides, la dimension est 3 : longueur, largeur et hauteur.

Prenons un exemple avec jeux d'ordinateur. Si le jeu est réalisé en graphisme 3D, il est spatial et volumineux, si en graphisme 2D, les graphismes sont affichés sur un plan (Fig. 10).

Le plus inhabituel (il serait plus correct de dire - inhabituel) dans la dimension Hausdorff-Besikovich était qu'elle pouvait prendre non seulement des nombres entiers, comme dimension topologique, mais aussi des valeurs fractionnaires. Egale à un pour une droite (infinie, semi-infinie ou pour un segment fini), la dimension de Hausdorff-Besicovitch augmente à mesure que la tortuosité augmente, tandis que la dimension topologique ignore obstinément tous les changements qui se produisent avec la ligne.

La dimension caractérise la complication d'un ensemble (par exemple, une ligne droite). S'il s'agit d'une courbe de dimension topologique égale à 1 (droite), alors la courbe peut se compliquer d'une infinité de coudes et de branches à tel point que sa dimension fractale se rapproche de deux, c'est-à-dire remplira presque tout le plan (Fig. 12)

En augmentant sa valeur, la dimension Hausdorff-Besikovich ne la change pas brusquement, comme le ferait la dimension topologique "à sa place", le passage de 1 immédiatement à 2. La dimension Hausdorff-Besikovich - et cela à première vue peut sembler inhabituel et surprenant, prend des valeurs fractionnaires : égal à un pour une ligne droite, il devient 1,15 pour une ligne peu sinueuse, 1,2 pour une ligne plus sinueuse, 1,5 pour une ligne très sinueuse, etc.

C'est pour souligner la capacité de la dimension Hausdorff-Besikovich à prendre des valeurs fractionnaires, non entières, que Mandelbrot a inventé son propre néologisme, l'appelant la dimension fractale. Ainsi, une dimension fractale (pas seulement Hausdorff-Besikovich, mais n'importe quelle autre) est une dimension qui peut prendre des valeurs non pas nécessairement entières, mais aussi fractionnaires.

Pour les fractales géométriques linéaires, la dimension caractérise leur auto-similarité. Considérez la Fig. 17(A), la ligne se compose de N=4 segments, dont chacun a une longueur de r = 1/3. En conséquence, nous obtenons le rapport :

D = logN/log(1/r)

La situation est tout autre quand on parle de multifractales (non-linéaires). Ici la dimension perd son sens de définition de la similarité d'un objet et se définit par diverses généralisations, beaucoup moins naturelles que la dimension unique des objets auto-similaires.

Sur le marché des changes, la dimension peut caractériser la volatilité des cotations de prix. Chaque paire de devises a son propre comportement en termes de prix. Pour la paire Livre/Dollar (Fig. 13(a)) c'est plus calme que pour l'Euro/Dollar (Fig. 13(b)). La chose la plus intéressante est que ces devises évoluent dans la même structure de niveaux de prix, cependant, elles ont des dimensions différentes, ce qui peut affecter les échanges intrajournaliers et les changements de modèles qui échappent au regard inexpérimenté.

Sur la fig. La figure 14 montre la dimension par rapport au modèle mathématique, afin que vous pénétriez plus profondément le sens de ce terme. Notez que les trois figures montrent le même cycle. Sur la fig. et la dimension est de 1,2, dans la Fig. b, la dimension est de 1,5, et sur la Fig. en 1.9. On peut voir qu'avec une augmentation de la dimension, la perception de l'objet se complique, l'amplitude des oscillations augmente.

Sur les marchés financiers, la dimension se traduit non seulement par la volatilité des prix, mais aussi par un détail des cycles (vagues). Grâce à elle, nous pourrons distinguer si une onde appartient à une certaine échelle de temps. Sur la fig. 15 montre la paire euro/dollar sur une échelle de prix quotidienne. Faites attention, vous pouvez clairement voir le cycle formé et le début d'un nouveau cycle plus large. En passant à l'échelle horaire et en zoomant sur l'un des cycles, on peut voir des cycles plus petits, et une partie d'un grand situé sur D1 (Fig. 16). Détail de la boucle, c'est-à-dire leur dimension permet de déterminer à partir des conditions initiales comment la situation peut évoluer dans le futur. On peut dire que : la dimension fractale reflète la propriété d'invariance d'échelle de l'ensemble considéré.

Le concept d'invariance a été introduit par Mandelbrot à partir du mot "scellant" - évolutif, c'est-à-dire lorsqu'un objet a la propriété d'invariance, il a des échelles d'affichage différentes.

Sur la fig. 16 cercle A met en évidence un mini-cycle (vague détaillée), cercle B - une vague d'un cycle plus large. C'est justement à cause de la dimension qu'on ne peut pas toujours déterminer TOUS les cycles sur la même échelle de prix.

Nous parlerons des problèmes de détermination et de développement des propriétés des cycles non périodiques dans la section «Cycles sur le marché des changes», maintenant l'essentiel pour nous était de comprendre comment et où la dimension se manifeste sur les marchés financiers.

Ainsi, on peut dire que les fractales comme modèles sont utilisées lorsque l'objet réel ne peut être représenté sous la forme de modèles classiques. Et cela signifie que nous avons affaire à des relations non linéaires et à la nature non déterministe (aléatoire) des données. La non-linéarité au sens idéologique signifie la multivariance des voies de développement, la disponibilité d'un choix parmi des voies alternatives et un certain rythme d'évolution, ainsi que l'irréversibilité des processus évolutifs. La non-linéarité au sens mathématique désigne un certain type d'équations mathématiques (équations différentielles non linéaires) contenant les grandeurs souhaitées en puissances supérieures à un ou des coefficients qui dépendent des propriétés du milieu. Un exemple simple de système dynamique non linéaire :

Johnny grandit de 2 pouces par an. Ce système explique comment la taille de Johnny change avec le temps. Soit x(n) la taille de Johnny cette année. Écrivons sa croissance l'année suivante sous la forme x (n + 1). On peut alors écrire le système dynamique sous la forme d'une équation :

x(n+1) = x(n) + 2.

Voir? N'est-ce pas un calcul simple ? Si nous entrons la taille de Johnny aujourd'hui x (n) = 38 pouces, alors sur le côté droit de l'équation nous obtenons la taille de Johnny l'année prochaine, x (n+1) = 40 pouces :

x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

Se déplacer de droite à gauche dans une équation est appelé itération (répétition). Nous pouvons répéter l'équation à nouveau en entrant la nouvelle taille de Johnny de 40 pouces du bon côté de l'équation (c'est-à-dire x(n) = 40) et nous obtenons x(n+1) = 42. Si nous itérons (répétons) l'équation 3 fois, on obtient la taille de Johnny en 3 ans, soit 44 pouces, en commençant par une taille de 38 pouces.

C'est un système dynamique déterministe. Si nous voulons le rendre non déterministe (stochastique), nous pourrions faire un modèle comme celui-ci : Johnny grandit de 2 pouces par an, plus ou moins, et écrire l'équation comme suit :

x(n+1) = x(n) + 2 + e

où e est une petite erreur (petite par rapport à 2), représente une distribution de probabilité.

Revenons à l'équation déterministe d'origine. L'équation originale, x(n+1) = x(n) + 2, est linéaire. Linéaire signifie que vous ajoutez des variables ou des constantes, ou que vous multipliez des variables par des constantes. Par exemple, l'équation

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

est linéaire. Mais si vous multipliez les variables ou les élevez à une puissance supérieure à un, l'équation (le système) deviendra non linéaire. Par exemple, l'équation

x(n+1) = x(n) 2

est non linéaire car x(n) est au carré. L'équation

est non linéaire car deux variables, x et y, sont multipliées.

Lorsque nous appliquons des modèles classiques (par exemple, tendance, régression, etc.), nous disons que le futur d'un objet est déterminé de manière unique, c'est-à-dire dépend entièrement de conditions initiales et se prêtent à une prévision claire. Vous pouvez exécuter indépendamment l'un de ces modèles dans Excel. Un exemple de modèle classique peut être représenté comme une tendance constamment décroissante ou croissante. Et nous pouvons prédire son comportement, connaissant le passé de l'objet (les données initiales pour la modélisation). Et les fractales sont utilisées dans le cas où l'objet a plusieurs options de développement et l'état du système est déterminé par la position dans laquelle il se trouve sur ce moment. Autrement dit, nous essayons de simuler un développement chaotique. Ce système est le marché interbancaire des changes.

Voyons maintenant comment on peut obtenir à partir d'une droite ce que nous appelons une fractale, avec ses propriétés inhérentes.

Sur la fig. 17(A) montre la courbe de Koch. Prenons un segment de droite, sa longueur = 1, c'est-à-dire encore une dimension topologique. Nous allons maintenant le diviser en trois parties (chacune 1/3 de la longueur) et supprimer le tiers central. Mais nous remplacerons le tiers médian par deux segments (chacun 1/3 de la longueur), qui peuvent être représentés comme les deux côtés d'un triangle équilatéral. Il s'agit de la deuxième étape (b) de la conception illustrée à la fig. 17(A). À ce stade, nous avons 4 parties plus petites, chacune 1/3 de la longueur, donc la longueur totale est 4(1/3) = 4/3. Nous répétons ensuite ce processus pour chacun des 4 petits lobes de la ligne. C'est l'étape trois (c). Cela nous donnera 16 segments de ligne encore plus petits, chacun 1/9 de la longueur. Donc toute la longueur est maintenant 16/9 ou (4/3) 2 . En conséquence, nous avons obtenu une dimension fractionnaire. Mais non seulement cela distingue la structure résultante d'une ligne droite. Il est devenu auto-similaire et il est impossible de tracer une tangente en aucun de ses points (Fig. 17 (B)).

Contenu

Ensembles auto-similaires avec des propriétés inhabituelles en mathématiques

À partir de la fin du XIXe siècle, des exemples d'objets auto-similaires dotés de propriétés pathologiques du point de vue de l'analyse classique sont apparus en mathématiques. Il s'agit notamment des éléments suivants :

• l'ensemble Cantor est un ensemble parfait indénombrable dense nulle part. En modifiant la procédure, on peut aussi obtenir un ensemble nulle part dense de longueur positive ;
• le triangle de Sierpinski (« nappe ») et le tapis de Sierpinski sont des analogues du Cantor posé sur l'avion ;
• L'éponge de Menger - un analogue du Cantor situé dans un espace tridimensionnel;
• exemples par Weierstrass et van der Waerden d'une fonction continue différentiable nulle part;
• Courbe de Koch - une courbe continue non auto-sécante de longueur infinie qui n'a de tangente en aucun point;
• Courbe de Peano - une courbe continue passant par tous les points du carré;
• la trajectoire d'une particule brownienne n'est nulle part différentiable avec la probabilité 1. Sa dimension de Hausdorff est de deux [ ] .

Procédure récursive pour obtenir des courbes fractales

Fractales en tant que points fixes de cartographies de contraction

La propriété d'auto-similitude peut être mathématiquement exprimée de manière rigoureuse comme suit. Soit des cartes de contraction du plan. Considérez le mappage suivant sur l'ensemble de tous les sous-ensembles compacts (fermés et bornés) du plan : Ψ : K ↦ ∪ je = 1 n ψ je (K) (\displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _(i=1)^(n)\psi _(i)(K))

On peut montrer que la cartographie Ψ (\displaystyle\psi ) est une application de contraction sur l'ensemble des compacta avec la métrique de Hausdorff. Par conséquent, d'après le théorème de Banach, cette application a un point fixe unique. Ce point fixe sera notre fractale.

La procédure récursive d'obtention de courbes fractales décrite ci-dessus est un cas particulier de cette construction. Il contient tous les affichages ψ je , je = 1 , … , n (\displaystyle \psi _(i),\,i=1,\dots ,n)- les mappages de similarité, et n (\displaystyle n)- nombre de liens générateurs.

Il est courant de créer de belles images graphiques basées sur des dynamiques complexes en colorant des points plans en fonction du comportement des systèmes dynamiques correspondants. Par exemple, pour compléter l'ensemble de Mandelbrot, vous pouvez colorer les points en fonction de la vitesse d'effort z n (\displaystyle z_(n))à l'infini (défini, disons, comme le plus petit nombre n (\displaystyle n), auquel | z n | (\displaystyle |z_(n)|) dépasse une grande valeur fixe A (\displaystyle A)).

Les biomorphes sont des fractales construites sur la base de dynamiques complexes et ressemblant à des organismes vivants.

Fractales stochastiques

Les objets naturels ont souvent une forme fractale. Pour leur modélisation, des fractales stochastiques (aléatoires) peuvent être utilisées. Exemples de fractales stochastiques :

• trajectoire du mouvement brownien dans le plan et dans l'espace ;
• limite de la trajectoire du mouvement brownien sur le plan. En 2001, Lawler, Schramm et Werner ont prouvé la conjecture de Mandelbrot selon laquelle sa dimension est de 4/3.
• Les évolutions de Schramm-Löwner sont des courbes fractales invariantes de manière conforme qui apparaissent dans les modèles bidimensionnels critiques de la mécanique statistique, tels que le modèle d'Ising et la percolation.
• différentes sortes des fractales aléatoires, c'est-à-dire des fractales obtenues par une procédure récursive, dans lesquelles un paramètre aléatoire est introduit à chaque étape. Le plasma est un exemple de l'utilisation d'une telle fractale en infographie.

Objets naturels aux propriétés fractales

Objets naturels ( quasi-fractales) diffèrent des fractales abstraites idéales par l'incomplétude et l'imprécision des répétitions de structure. La plupart des structures naturelles de type fractale (limites de nuages, côtes, arbres, feuilles de plantes, coraux, ...) sont des quasi-fractales, car à petite échelle, la structure fractale disparaît. Les structures naturelles ne peuvent pas être des fractales idéales en raison des limitations imposées par la taille de la cellule vivante et, finalement, la taille des molécules.

• Dans la faune :
  • Étoiles de mer et oursins
  • Fleurs et plantes (brocoli, chou)
  • Couronnes d'arbres et feuilles de plantes
  • Fruits (ananas)
  • Le système circulatoire et les bronches des humains et des animaux
• Dans la nature inanimée :
  • Frontières d'objets géographiques (pays, régions, villes)
  • Motifs givrés sur les vitres
  • Stalactites, stalagmites, hélictites.

Application

Sciences naturelles

En physique, les fractales apparaissent naturellement lors de la modélisation de processus non linéaires tels que l'écoulement de fluide turbulent, les processus complexes de diffusion-adsorption, les flammes, les nuages, etc. Les fractales sont utilisées dans la modélisation des matériaux poreux, par exemple en pétrochimie. En biologie, ils sont utilisés pour modéliser des populations et pour décrire des systèmes. les organes internes(système de vaisseaux sanguins). Après la création de la courbe de Koch, il a été proposé de l'utiliser lors du calcul de l'étendue littoral.

Ingénierie radio

antennes fractales

Utilisation de la géométrie fractale dans la conception

Les concepts de fractale et de géométrie fractale, apparus à la fin des années 70, se sont solidement ancrés dans le quotidien des mathématiciens et programmeurs depuis le milieu des années 80. Le mot fractale est dérivé du latin fractus et signifie en traduction composé de fragments. Il a été proposé par Benoit Mandelbrot en 1975 pour désigner les structures irrégulières mais auto-similaires qu'il a étudiées. La naissance de la géométrie fractale est généralement associée à la publication du livre de Mandelbrot "La géométrie fractale de la nature" en 1977. Ses travaux ont utilisé les résultats scientifiques d'autres scientifiques qui ont travaillé dans la période 1875-1925 dans le même domaine (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Mais ce n'est qu'à notre époque qu'il était possible de combiner leurs œuvres en un seul système.
Le rôle des fractales dans l'infographie est aujourd'hui assez important. Ils viennent à la rescousse, par exemple, lorsqu'il s'agit, à l'aide de plusieurs coefficients, de définir des lignes et des surfaces de forme très complexe. Du point de vue de l'infographie, la géométrie fractale est indispensable pour la génération de nuages ​​artificiels, de montagnes et de la surface de la mer. En fait, on a trouvé un moyen de représenter facilement des objets complexes non euclidiens, dont les images sont très similaires aux images naturelles.
L'une des principales propriétés des fractales est l'auto-similarité. Dans le cas le plus simple, une petite partie de la fractale contient des informations sur la fractale entière. La définition d'une fractale donnée par Mandelbrot est la suivante : "Une fractale est une structure constituée de parties qui sont en quelque sorte similaires au tout."

Existe grand nombre objets mathématiques appelés fractales (triangle de Sierpinski, flocon de neige de Koch, courbe de Peano, ensemble de Mandelbrot et attracteurs de Lorentz). Les fractales décrivent avec une grande précision de nombreux phénomènes physiques et formations du monde réel : montagnes, nuages, courants turbulents (vortex), racines, branches et feuilles d'arbres, vaisseaux sanguins, ce qui est loin de formes géométriques. Pour la première fois, Benoit Mandelbrot s'est exprimé sur la nature fractale de notre monde dans son ouvrage phare « La géométrie fractale de la nature ».
Le terme fractale a été introduit par Benoit Mandelbrot en 1977 dans son ouvrage fondamental « Fractales, Forme, Chaos et Dimension ». Selon Mandelbrot, le mot fractale vient des mots latins fractus - fractionnaire et frangere - casser, qui reflète l'essence de la fractale en tant qu'ensemble "cassé", irrégulier.

Classification des fractales.

Afin de représenter toute la variété des fractales, il convient de recourir à leur classification généralement acceptée. Il existe trois classes de fractales.

1. Fractales géométriques.

Les fractales de cette classe sont les plus évidentes. Dans le cas bidimensionnel, elles sont obtenues à l'aide d'une polyligne (ou surface dans le cas tridimensionnel) appelée génératrice. Dans une étape de l'algorithme, chacun des segments qui composent la ligne brisée est remplacé par un générateur de ligne brisée à l'échelle appropriée. À la suite de la répétition sans fin de cette procédure, une fractale géométrique est obtenue.

Considérons, par exemple, l'un de ces objets fractals - la courbe triadique de Koch.

Construction de la courbe triadique de Koch.

Prenons un segment de droite de longueur 1. Appelons-le graine. Divisons la graine en trois parties égales de longueur 1/3, supprimons la partie médiane et remplaçons-la par une ligne brisée de deux maillons de longueur 1/3.

Nous obtenons une ligne brisée, composée de 4 liens d'une longueur totale de 4/3, - le soi-disant première génération.

Afin de passer à la génération suivante de la courbe de Koch, il est nécessaire de supprimer et de remplacer la partie médiane de chaque lien. En conséquence, la durée de la deuxième génération sera de 16/9, la troisième de 64/27. si vous continuez ce processus jusqu'à l'infini, le résultat sera une courbe triadique de Koch.

Considérons maintenant la sainte courbe triadique de Koch et découvrons pourquoi les fractales étaient appelées "monstres".

Premièrement, cette courbe n'a pas de longueur - comme nous l'avons vu, avec le nombre de générations, sa longueur tend vers l'infini.

Deuxièmement, il est impossible de construire une tangente à cette courbe - chacun de ses points est un point d'inflexion où la dérivée n'existe pas - cette courbe n'est pas lisse.

La longueur et la douceur sont les propriétés fondamentales des courbes, qui sont étudiées à la fois par la géométrie euclidienne et par la géométrie de Lobachevsky et Riemann. Les méthodes traditionnelles d'analyse géométrique se sont avérées inapplicables à la courbe triadique de Koch, de sorte que la courbe de Koch s'est avérée être un monstre - un "monstre" parmi les habitants lisses des géométries traditionnelles.

Construction du "dragon" Harter-Hateway.

Pour obtenir un autre objet fractal, vous devez modifier les règles de construction. Soit l'élément générateur deux segments égaux reliés à angle droit. Dans la génération zéro, nous remplaçons le segment unitaire par cet élément générateur afin que l'angle soit au-dessus. On peut dire qu'avec un tel remplacement, un décalage au milieu du lien se produit. Lors de la construction des générations suivantes, la règle est remplie : le tout premier maillon de gauche est remplacé par un élément générateur de sorte que le milieu du maillon est décalé vers la gauche du sens de déplacement, et lors du remplacement des maillons suivants, le les directions de déplacement des milieux des segments doivent alterner. La figure montre les premières générations et la 11ème génération de la courbe construite selon le principe décrit ci-dessus. La courbe avec n tendant vers l'infini s'appelle le dragon de Harter-Hateway.
En infographie, l'utilisation de fractales géométriques est nécessaire pour obtenir des images d'arbres et d'arbustes. Les fractales géométriques bidimensionnelles sont utilisées pour créer des textures tridimensionnelles (motifs à la surface d'un objet).

2. Fractales algébriques

C'est le plus grand groupe de fractales. Ils sont obtenus à l'aide de processus non linéaires dans des espaces à n dimensions. Les processus bidimensionnels sont les plus étudiés. En interprétant un processus itératif non linéaire comme un système dynamique discret, on peut reprendre la terminologie de la théorie de ces systèmes : portrait de phase, processus stationnaire, attracteur, etc.
On sait que les systèmes dynamiques non linéaires ont plusieurs états stables. L'état dans lequel se trouve le système dynamique après un certain nombre d'itérations dépend de son état initial. Par conséquent, chaque état stable (ou, comme on dit, un attracteur) a une certaine zone d'états initiaux, à partir de laquelle le système tombera nécessairement dans les états finaux considérés. Ainsi, l'espace des phases du système est divisé en zones d'attraction des attracteurs. Si l'espace des phases est bidimensionnel, alors en colorant les régions d'attraction avec des couleurs différentes, on peut obtenir un portrait de phase en couleur de ce système (processus itératif). En modifiant l'algorithme de sélection des couleurs, vous pouvez obtenir des motifs fractals complexes avec des motifs multicolores fantaisistes. Une surprise pour les mathématiciens était la possibilité de générer des structures non triviales très complexes à l'aide d'algorithmes primitifs.

L'ensemble de Mandelbrot.

Prenons l'exemple de l'ensemble de Mandelbrot. L'algorithme pour sa construction est assez simple et repose sur une simple expression itérative : Z = Z[i] * Z[i] + C, Où Zi Et C sont des variables complexes. Des itérations sont effectuées pour chaque point de départ à partir d'une région rectangulaire ou carrée - un sous-ensemble du plan complexe. Le processus itératif se poursuit jusqu'à Z[i] ne dépassera pas le cercle de rayon 2, dont le centre est au point (0,0), (cela signifie que l'attracteur du système dynamique est à l'infini), ou après un nombre suffisamment grand d'itérations (par exemple , 200-500) Z[i] converge vers un point du cercle. En fonction du nombre d'itérations au cours desquelles Z[i] resté à l'intérieur du cercle, vous pouvez définir la couleur du point C(Si Z[i] reste suffisamment à l'intérieur du cercle un grand nombre itérations, le processus itératif s'arrête et ce pixel est coloré en noir).

3. Fractales stochastiques

Une autre classe bien connue de fractales sont les fractales stochastiques, qui sont obtenues si l'un de ses paramètres est modifié de manière aléatoire dans un processus itératif. Il en résulte des objets très similaires aux objets naturels - arbres asymétriques, côtes découpées, etc. Les fractales stochastiques bidimensionnelles sont utilisées pour modéliser le terrain et la surface de la mer.
Il existe d'autres classifications de fractales, par exemple la division des fractales en déterministes (algébriques et géométriques) et non déterministes (stochastiques).

À propos de l'utilisation des fractales

Tout d'abord, les fractales sont un domaine d'art mathématique étonnant, lorsqu'à l'aide des formules et des algorithmes les plus simples, des images d'une beauté et d'une complexité extraordinaires sont obtenues ! Dans les contours des images construites, feuilles, arbres et fleurs se devinent souvent.

L'une des applications les plus puissantes des fractales réside dans l'infographie. Premièrement, c'est la compression fractale d'images, et deuxièmement, la construction de paysages, d'arbres, de plantes et la génération de textures fractales. La physique et la mécanique modernes commencent tout juste à étudier le comportement des objets fractals. Et, bien sûr, les fractales sont directement appliquées aux mathématiques elles-mêmes.
Les avantages des algorithmes de compression d'image fractale sont la très petite taille du fichier compressé et le court temps de récupération de l'image. Les images fractalisées peuvent être mises à l'échelle sans l'apparition de pixellisation. Mais le processus de compression prend longue durée et dure parfois des heures. L'algorithme d'emballage fractal avec perte vous permet de définir le niveau de compression, similaire au format jpeg. L'algorithme est basé sur la recherche de gros morceaux de l'image similaires à certains petits morceaux. Et seulement quelle pièce est similaire à laquelle est écrite dans le fichier de sortie. Lors de la compression, une grille carrée est généralement utilisée (les pièces sont des carrés), ce qui entraîne une légère angularité lors de la restauration de l'image, une grille hexagonale est exempte d'un tel inconvénient.
Iterated a développé un nouveau format d'image, "Sting", qui combine la compression sans perte fractale et "vague" (comme jpeg). Le nouveau format vous permet de créer des images avec la possibilité d'une mise à l'échelle ultérieure de haute qualité, et le volume des fichiers graphiques est de 15 à 20% du volume des images non compressées.
La tendance des fractales à ressembler à des montagnes, des fleurs et des arbres est exploitée par certains éditeurs graphiques, par exemple, les nuages ​​fractals du studio 3D MAX, les montagnes fractales dans World Builder. Les arbres fractals, les montagnes et les paysages entiers sont donnés par des formules simples, sont faciles à programmer et ne se désagrègent pas en triangles et cubes séparés lorsqu'ils sont approchés.
Vous ne pouvez pas ignorer l'utilisation des fractales dans les mathématiques elles-mêmes. En théorie des ensembles, l'ensemble de Cantor prouve l'existence d'ensembles denses parfaits nulle part ; en théorie de la mesure, la fonction "échelle de Cantor" auto-affine est un bon exemple de fonction de distribution de mesure singulière.
En mécanique et en physique, les fractales sont utilisées en raison de leur propriété unique de répéter les contours de nombreux objets naturels. Les fractales vous permettent d'approximer les arbres, les surfaces de montagne et les fissures avec une plus grande précision que les approximations avec des segments de ligne ou des polygones (avec la même quantité de données stockées). Les modèles fractals, comme les objets naturels, ont une "rugosité", et cette propriété est préservée à une augmentation arbitrairement importante du modèle. La présence d'une mesure uniforme sur les fractales permet d'appliquer l'intégration, la théorie du potentiel, pour les utiliser à la place des objets standards dans les équations déjà étudiées.
Avec l'approche fractale, le chaos cesse d'être un désordre bleu et acquiert une structure fine. La science fractale est encore très jeune et a un bel avenir devant elle. La beauté des fractales est loin d'être épuisée et nous offrira encore de nombreux chefs-d'œuvre - ceux qui ravissent l'œil et ceux qui procurent un véritable plaisir à l'esprit.

À propos de la construction de fractales

Méthode des approximations successives

En regardant cette image, il n'est pas difficile de comprendre comment une fractale auto-similaire (dans ce cas, la pyramide de Sierpinski) peut être construite. Nous devons prendre une pyramide ordinaire (tétraèdre), puis découper son milieu (octaèdre), à ​​la suite de quoi nous obtenons quatre petites pyramides. Avec chacun d'eux, nous effectuons la même opération, et ainsi de suite. C'est une explication un peu naïve, mais illustrative.

Considérons plus strictement l'essence de la méthode. Soit un système IFS, c'est-à-dire système de cartographie des contractions S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (par exemple, pour notre pyramide, les applications ressemblent à S i (x)=1/2*x+o i , où o i sont les sommets du tétraèdre, i=1,..,4). Puis on choisit un ensemble compact A 1 dans R n (dans notre cas on choisit un tétraèdre). Et on détermine par récurrence la suite des ensembles A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). On sait que les ensembles A k avec k croissant se rapprochent de l'attracteur requis du système S.

Notez que chacune de ces itérations est un attracteur système récurrent de fonctions itérées (Terme anglais DigrapheIFS, RIFS et aussi IFS orienté graphique) et donc ils sont faciles à construire avec notre programme.

Construction par points ou méthode probabiliste

C'est la méthode la plus facile à mettre en œuvre sur un ordinateur. Pour simplifier, considérons le cas d'un ensemble plat auto-affiné. Soit donc (S

) est un système de contractions affines. Mappages S

représentable comme : S

Matrice fixe de taille 2x2 et o

Colonne vectorielle bidimensionnelle.

• Prenons comme point de départ un point fixe de la première application S 1 :
  x:=o1 ;
  Ici, nous utilisons le fait que tous les points de contraction fixes S 1 ,..,S m appartiennent à la fractale. Un point arbitraire peut être choisi comme point de départ et la séquence de points générée par celui-ci se réduira à une fractale, mais quelques points supplémentaires apparaîtront alors à l'écran.
• Notez le point courant x=(x 1 ,x 2) sur l'écran :
  putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
• On choisit au hasard un nombre j de 1 à m et recalcule les coordonnées du point x :
  j :=Aléatoire(m)+1 ;
  x = S j (x) ;
• On passe à l'étape 2, ou, si on a fait un nombre suffisamment important d'itérations, alors on s'arrête.

Note. Si les coefficients de compression des applications S i sont différents, alors la fractale sera remplie de points de manière inégale. Si les applications S i sont des similitudes, cela peut être évité en compliquant légèrement l'algorithme. Pour cela, à la 3ème étape de l'algorithme, il faut choisir le nombre j de 1 à m avec les probabilités p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , où r i désignent les coefficients de contraction des applications S i , et le nombre s (appelé la dimension de similarité) est trouvé à partir de l'équation r 1 s +...+r m s =1. La solution de cette équation peut être trouvée, par exemple, par la méthode de Newton.

À propos des fractales et de leurs algorithmes

Fractal vient de l'adjectif latin "fractus", et en traduction signifie constitué de fragments, et le verbe latin correspondant "frangere" signifie casser, c'est-à-dire créer des fragments irréguliers. Les concepts de fractale et de géométrie fractale, apparus à la fin des années 70, se sont solidement ancrés dans le quotidien des mathématiciens et programmeurs depuis le milieu des années 80. Le terme a été proposé par Benoit Mandelbrot en 1975 pour désigner les structures irrégulières mais auto-similaires qu'il a étudiées. La naissance de la géométrie fractale est généralement associée à la publication en 1977 du livre de Mandelbrot "La géométrie fractale de la nature" - "La géométrie fractale de la nature". Ses travaux ont utilisé les résultats scientifiques d'autres scientifiques qui ont travaillé dans la période 1875-1925 dans le même domaine (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

Ajustements

Permettez-moi d'apporter quelques ajustements aux algorithmes proposés dans le livre de H.-O. Paytgen et P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993, uniquement pour éradiquer les fautes de frappe et faciliter la compréhension des processus, car après les avoir étudiés, beaucoup restaient un mystère pour moi. Malheureusement, ces algorithmes "compréhensibles" et "simples" mènent une vie à bascule.

La construction de fractales est basée sur une certaine fonction non linéaire d'un processus complexe avec rétroaction z \u003d z 2 + c puisque z et c sont des nombres complexes, alors z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, il faut de le décomposer en x et y afin d'aller vers plus réaliste pour homme ordinaire avion:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Le plan constitué de toutes les paires (x, y) peut être considéré comme ayant des valeurs fixes p et q, ainsi que pour les dynamiques. Dans le premier cas, trier tous les points (x, y) du plan selon la loi et les colorier en fonction du nombre de répétitions de la fonction nécessaires pour sortir du processus itératif ou non colorier (noir) lorsque le maximum autorisé de répétitions est augmenté, on obtient l'affichage de l'ensemble de Julia. Si, au contraire, nous déterminons la paire initiale de valeurs (x, y) et suivons son destin coloristique avec des valeurs changeantes dynamiquement des paramètres p et q, nous obtenons alors des images appelées ensembles de Mandelbrot.

Sur la question des algorithmes de coloration fractale.

Habituellement, le corps de l'ensemble est représenté par un champ noir, bien qu'il soit évident que la couleur noire peut être remplacée par n'importe quelle autre, mais c'est aussi un résultat inintéressant. Obtenir une image d'un ensemble peint de toutes les couleurs est une tâche qui ne peut pas être résolue à l'aide d'opérations cycliques, car le nombre d'itérations formant le corps de l'ensemble est égal au maximum possible et toujours le même. Il est possible de colorer l'ensemble en différentes couleurs en utilisant le résultat de la vérification de la condition de sortie de la boucle (z_magnitude) comme numéro de couleur, ou similaire, mais avec d'autres opérations mathématiques.

Application du "microscope fractal"

mettre en évidence des phénomènes de frontière.

Les attracteurs sont les centres menant la lutte pour la domination sur le plan. Entre les attracteurs, il y a une bordure représentant un motif tourbillonnant. En augmentant l'échelle de considération dans les limites de l'ensemble, on peut obtenir des modèles non triviaux qui reflètent l'état de chaos déterministe - un phénomène courant dans le monde naturel.

Les objets étudiés par les géographes forment un système aux frontières organisées de manière très complexe, à propos duquel leur mise en œuvre devient une tâche pratique difficile. Les complexes naturels ont des noyaux de typicité agissant comme des attracteurs qui perdent leur pouvoir d'influence sur le territoire à mesure qu'il s'éloigne.

A l'aide d'un microscope fractal pour les ensembles de Mandelbrot et de Julia, on peut se faire une idée de processus et de phénomènes aux frontières tout aussi complexes quelle que soit l'échelle de considération, et ainsi préparer la perception d'un spécialiste à une rencontre avec une dynamique et apparemment chaotique dans l'espace et dans le temps objet naturel, à la compréhension de la géométrie fractale de la nature. Les couleurs multicolores et la musique fractale laisseront définitivement une marque profonde dans l'esprit des élèves.

Des milliers de publications et d'énormes ressources Internet sont consacrées aux fractales, cependant, pour de nombreux spécialistes éloignés de l'informatique, ce terme semble complètement nouveau. Les fractales, en tant qu'objets d'intérêt pour les spécialistes de divers domaines de la connaissance, devraient recevoir leur juste place dans le cours de l'informatique.

Exemples

GRILLE DE SIERPINSKI

C'est l'une des fractales que Mandelbrot a expérimentées lors du développement des concepts de dimensions fractales et d'itérations. Les triangles formés en joignant les points médians du plus grand triangle sont coupés du triangle principal pour former un triangle, avec plus de trous. Dans ce cas, l'initiateur est un grand triangle et le gabarit est une opération de découpe de triangles similaires au plus grand. Vous pouvez également obtenir une version 3D d'un triangle en utilisant un tétraèdre ordinaire et en découpant des tétraèdres plus petits. La dimension d'une telle fractale est ln3/ln2 = 1,584962501. Obtenir Tapis Sierpinski, prenez un carré, divisez-le en neuf carrés et découpez celui du milieu. Nous ferons de même avec le reste, des carrés plus petits. À la fin, une grille fractale plate est formée, qui n'a pas de surface, mais avec des connexions infinies. Dans sa forme spatiale, l'éponge de Sierpinski se transforme en un système de formes traversantes, dans lequel chaque élément traversant est constamment remplacé par son propre genre. Cette structure est très similaire à une section de tissu osseux. Un jour, ces structures répétitives deviendront un élément des structures de construction. Leur statique et leur dynamique, estime Mandelbrot, méritent une étude approfondie.

COURBE DE KOCH

La courbe de Koch est l'une des fractales déterministes les plus typiques. Il a été inventé au XIXe siècle par un mathématicien allemand nommé Helge von Koch, qui, en étudiant les travaux de Georg Kontor et de Karl Weierstraße, est tombé sur des descriptions de courbes étranges au comportement inhabituel. Initiateur - ligne directe. La génératrice est un triangle équilatéral dont les côtés sont égaux au tiers de la longueur du plus grand segment. Ces triangles sont ajoutés au milieu de chaque segment encore et encore. Dans ses recherches, Mandelbrot a beaucoup expérimenté les courbes de Koch et a obtenu des figures telles que les îles de Koch, les croix de Koch, les flocons de neige de Koch et même des représentations tridimensionnelles de la courbe de Koch en utilisant un tétraèdre et en ajoutant des tétraèdres plus petits à chacune de ses faces. La courbe de Koch a pour dimension ln4/ln3 = 1,261859507.

Mandelbrot fractal

Ce n'est PAS l'ensemble de Mandelbrot que vous voyez assez souvent. L'ensemble de Mandelbrot est basé sur des équations non linéaires et est une fractale complexe. C'est aussi une variante de la courbe de Koch, malgré le fait que cet objet ne lui ressemble pas. L'initiateur et le générateur sont également différents de ceux utilisés pour créer des fractales basées sur le principe de la courbe de Koch, mais l'idée reste la même. Au lieu de s'attacher triangles équilatérauxà un segment de courbe, les carrés rejoignent le carré. Du fait que cette fractale occupe exactement la moitié de l'espace alloué à chaque itération, elle a une dimension fractale simple de 3/2 = 1,5.

PENTAGONE DE DARER

Une fractale ressemble à un tas de pentagones serrés les uns contre les autres. En fait, il est formé en utilisant un pentagone comme initiateur et des triangles isocèles, le rapport du plus grand côté au plus petit dans lequel est exactement égal au soi-disant nombre d'or (1,618033989 ou 1/(2cos72)) comme générateur . Ces triangles sont coupés à partir du milieu de chaque pentagone, ce qui donne une forme qui ressemble à 5 petits pentagones collés à un grand. Une variante de cette fractale peut être obtenue en utilisant un hexagone comme initiateur. Cette fractale s'appelle l'étoile de David et est assez similaire à la version hexagonale du flocon de neige de Koch. La dimension fractale du pentagone de Darer est ln6/ln(1+g), où g est le rapport de la longueur du grand côté du triangle à la longueur du petit côté. Dans ce cas, g est nombre d'or, donc la dimension fractale est d'environ 1,86171596. La dimension fractale de l'étoile de David est ln6/ln3 ou 1,630929754.

Fractales complexes

En fait, si vous zoomez sur une petite zone de n'importe quelle fractale complexe, puis faites de même sur une petite zone de cette zone, les deux grossissements seront très différents l'un de l'autre. Les deux images seront très similaires dans les détails, mais elles ne seront pas complètement identiques.

Fig 1. Approximation de l'ensemble de Mandelbrot

Comparez, par exemple, les images de l'ensemble de Mandelbrot présentées ici, dont l'une a été obtenue en augmentant une partie de l'autre. Comme vous pouvez le voir, ils ne sont absolument pas identiques, même si sur les deux on voit un cercle noir, à partir duquel des tentacules enflammées vont dans des directions différentes. Ces éléments se répètent indéfiniment dans l'ensemble de Mandelbrot en proportion décroissante.

Les fractales déterministes sont linéaires, tandis que les fractales complexes ne le sont pas. Étant non linéaires, ces fractales sont générées par ce que Mandelbrot a appelé non linéaire équations algébriques. Bon exemple est le processus Zn+1=ZnІ + C, qui est l'équation utilisée pour construire les ensembles de Mandelbrot et de Julia du second degré. La résolution de ces équations mathématiques implique des nombres complexes et imaginaires. Lorsque l'équation est interprétée graphiquement dans le plan complexe, le résultat est une figure étrange dans laquelle les lignes droites se transforment en courbes, des effets d'auto-similarité apparaissent à différents niveaux d'échelle, mais non sans déformations. En même temps, l'image dans son ensemble est imprévisible et très chaotique.

Comme vous pouvez le voir en regardant les images, les fractales complexes sont en effet très complexes et impossibles à créer sans l'aide d'un ordinateur. Pour obtenir des résultats colorés, cet ordinateur doit disposer d'un puissant coprocesseur mathématique et d'un moniteur haute résolution. Contrairement aux fractales déterministes, les fractales complexes ne sont pas calculées en 5 à 10 itérations. Presque chaque point sur l'écran de l'ordinateur est comme une fractale séparée. Lors du traitement mathématique, chaque point est traité comme un motif distinct. Chaque point correspond à une certaine valeur. L'équation est intégrée pour chaque point et est effectuée, par exemple, 1000 itérations. Pour obtenir une image relativement peu déformée dans un intervalle de temps acceptable pour les ordinateurs personnels, il est possible d'effectuer 250 itérations pour un point.

La plupart des fractales que nous voyons aujourd'hui sont magnifiquement colorées. Peut-être que les images fractales ont acquis une si grande valeur esthétique précisément à cause de leurs schémas de couleurs. Une fois l'équation calculée, l'ordinateur analyse les résultats. Si les résultats restent stables ou fluctuent autour d'une certaine valeur, le point devient généralement noir. Si la valeur à un pas ou à un autre tend vers l'infini, le point est peint d'une couleur différente, peut-être bleu ou rouge. Au cours de ce processus, l'ordinateur attribue des couleurs à toutes les vitesses de déplacement.

Habituellement, les points qui se déplacent rapidement sont peints en rouge, tandis que les plus lents sont en jaune, et ainsi de suite. Les points noirs sont probablement les plus stables.

Les fractales complexes diffèrent des fractales déterministes en ce qu'elles sont infiniment complexes, mais peuvent être générées par une formule très simple. Les fractales déterministes n'ont pas besoin de formules ou d'équations. Prenez simplement du papier à dessin et vous pouvez construire un tamis Sierpinski jusqu'à 3 ou 4 itérations sans aucune difficulté. Essayez de le faire avec beaucoup de Julia ! C'est plus simple d'aller mesurer la longueur du littoral de l'Angleterre !

COFFRET MANDERBROT

Fig 2. Ensemble de Mandelbrot

Les ensembles de Mandelbrot et de Julia sont probablement les deux plus courants parmi les fractales complexes. Ils peuvent être trouvés dans de nombreuses revues scientifiques, couvertures de livres, cartes postales et économiseurs d'écran d'ordinateur. L'ensemble Mandelbrot, qui a été construit par Benoit Mandelbrot, est probablement la première association que les gens ont lorsqu'ils entendent le mot fractale. Cette fractale, ressemblant à une carte avec des zones d'arbre et de cercle rougeoyantes, est générée par la simple formule Zn+1=Zna+C, où Z et C sont des nombres complexes et a est un nombre positif.

L'ensemble de Mandelbrot le plus couramment observé est l'ensemble de Mandelbrot du 2e degré, c'est-à-dire a = 2. Le fait que l'ensemble de Mandelbrot n'est pas seulement Zn+1=ZnІ+C, mais une fractale dont l'exposant dans la formule peut être n'importe nombre positif trompé beaucoup. Sur cette page, vous voyez un exemple d'ensemble Mandelbrot pour différentes significations indicateur A.
Figure 3. Apparition de bulles à a=3,5

Le procédé Z=Z*tg(Z+C) est également populaire. Grâce à l'inclusion de la fonction tangente, l'ensemble de Mandelbrot est obtenu, entouré d'une zone ressemblant à une pomme. Lors de l'utilisation de la fonction cosinus, des effets de bulles d'air sont obtenus. En bref, il existe un nombre infini de façons de modifier l'ensemble Mandelbrot pour produire diverses belles images.

JULIA MULTIPLE

Étonnamment, les ensembles de Julia sont formés selon la même formule que l'ensemble de Mandelbrot. L'ensemble Julia a été inventé par le mathématicien français Gaston Julia, d'après qui l'ensemble a été nommé. La première question qui se pose après une connaissance visuelle des ensembles de Mandelbrot et Julia est "si les deux fractales sont générées par la même formule, pourquoi sont-elles si différentes?" Regardez d'abord les photos de l'ensemble Julia. Curieusement, il existe différents types d'ensembles Julia. Lorsque vous dessinez une fractale en utilisant différents points de départ (pour démarrer le processus d'itération), différentes images sont générées. Cela s'applique uniquement à l'ensemble Julia.

Fig 4. Ensemble de Julia

Bien qu'elle ne puisse pas être vue sur l'image, une fractale de Mandelbrot est en fait un groupe de fractales de Julia reliées entre elles. Chaque point (ou coordonnée) de l'ensemble de Mandelbrot correspond à une fractale de Julia. Les ensembles de Julia peuvent être générés en utilisant ces points comme valeurs initiales dans l'équation Z=ZI+C. Mais cela ne signifie pas que si vous sélectionnez un point sur la fractale de Mandelbrot et que vous l'augmentez, vous pouvez obtenir une fractale de Julia. Ces deux points sont identiques, mais uniquement au sens mathématique. Si nous prenons ce point et le calculons selon cette formule, nous pouvons obtenir la fractale de Julia correspondant à un certain point de la fractale de Mandelbrot.