EntréeComment trouver y zéro dans une fonction quadratique. Graphique d'une fonction quadratique
Présentation et cours sur le sujet :
"Graphique de la fonction $y=ax^2+bx+c$. Propriétés"
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Les gars, sur dernières leçons nous avons construit un grand nombre de graphiques, dont de nombreuses paraboles. Aujourd'hui, nous allons résumer les connaissances que nous avons acquises et apprendre à tracer cette fonction dans sa forme la plus générale.
Regardons le trinôme quadratique $a*x^2+b*x+c$. $a, b, c$ sont appelés coefficients. Il peut s'agir de n'importe quel nombre, mais $a≠0$. $a*x^2$ est appelé le terme principal, $a$ est le coefficient principal. Il est à noter que les coefficients $b$ et $c$ peuvent être égal à zéro, c'est-à-dire que le trinôme sera composé de deux termes et le troisième est égal à zéro.
Regardons la fonction $y=a*x^2+b*x+c$. Cette fonction est dite « quadratique » car la puissance la plus élevée est la seconde, c'est-à-dire un carré. Les coefficients sont les mêmes que ceux définis ci-dessus.
Dans la dernière leçon, dans le dernier exemple, nous avons examiné le tracé d’un graphique d’une fonction similaire.
Montrons qu'une telle fonction quadratique peut être réduite à la forme : $y=a(x+l)^2+m$.
Le graphique d'une telle fonction est construit en utilisant système supplémentaire coordonnées En grandes mathématiques, les nombres sont assez rares. Presque tous les problèmes doivent être prouvés dans le cas le plus général. Aujourd’hui, nous examinerons l’une de ces preuves. Les gars, vous pouvez voir toute la puissance de l'appareil mathématique, mais aussi sa complexité.
Soulignons un carré parfait d'un trinôme quadratique :
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac(b)(a)*x)+c=$ $= a(x^2+2\frac(b)(2a)*x+\frac(b^2)(4a))-\frac(b^2)(4a)+c=a(x+\frac(b) (2a))^2+\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Nous avons obtenu ce que nous voulions.
Toute fonction quadratique peut être représentée comme :
$y=a(x+l)^2+m$, où $l=\frac(b)(2a)$, $m=\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Pour tracer le graphique $y=a(x+l)^2+m$, vous devez tracer la fonction $y=ax^2$. De plus, le sommet de la parabole sera situé au point de coordonnées $(-l;m)$.
Ainsi, notre fonction $y=a*x^2+b*x+c$ est une parabole.
L'axe de la parabole sera la droite $x=-\frac(b)(2a)$, et les coordonnées du sommet de la parabole le long de l'axe des abscisses, comme on peut le voir, sont calculées par la formule : $ x_(c)=-\frac(b)(2a) $.
Pour calculer la coordonnée sur l'axe y du sommet d'une parabole, vous pouvez :
- utilisez la formule : $y_(в)=\frac(4ac-b^2)(4a)$,
- remplacez directement la coordonnée du sommet le long de $x$ dans la fonction d'origine : $y_(в)=ax_(в)^2+b*x_(в)+c$.
Si vous devez décrire certaines propriétés ou répondre à certaines questions spécifiques, vous n'avez pas toujours besoin de construire un graphique de la fonction. Nous examinerons les principales questions auxquelles il est possible de répondre sans construction dans l'exemple suivant.
Exemple 1.
Sans représenter graphiquement la fonction $y=4x^2-6x-3$, répondez prochaines questions:
Solution.
a) L'axe de la parabole est la droite $x=-\frac(b)(2a)=-\frac(-6)(2*4)=\frac(6)(8)=\frac(3 )(4)$ .
b) Nous avons trouvé l'abscisse du sommet au dessus de $x_(c)=\frac(3)(4)$.
On retrouve l'ordonnée du sommet par substitution directe dans la fonction d'origine :
$y_(в)=4*(\frac(3)(4))^2-6*\frac(3)(4)-3=\frac(9)(4)-\frac(18)(4 )-\frac(12)(4)=-\frac(21)(4)$.
c) Le graphique de la fonction recherchée sera obtenu par transfert parallèle du graphique $y=4x^2$. Ses branches lèvent la tête, ce qui signifie que les branches de la parabole de la fonction d'origine lèvent également la tête.
En général, si le coefficient $a>0$, alors les branches regardent vers le haut, si le coefficient $a
Exemple 2.
Représentez graphiquement la fonction : $y=2x^2+4x-6$.
Solution.
Trouvons les coordonnées du sommet de la parabole :
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(4)(4)=-1$.
$y_(в)=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Marquons la coordonnée du sommet sur l'axe des coordonnées. À ce stade, comme si à nouveau système coordonnées, nous allons construire une parabole $y=2x^2$.
Il existe de nombreuses façons de simplifier la construction de graphiques paraboliques.
- On peut trouver deux points symétriques, calculer la valeur de la fonction en ces points, les marquer sur le plan de coordonnées et les relier au sommet de la courbe décrivant la parabole.
- Nous pouvons construire une branche de la parabole à droite ou à gauche du sommet puis la réfléchir.
- On peut construire point par point.
Exemple 3.
Trouvez le meilleur et plus petite valeur fonctions : $y=-x^2+6x+4$ sur l'intervalle $[-1;6]$.
Solution.
Construisons un graphique de cette fonction, sélectionnons l'intervalle requis et trouvons les points les plus bas et les plus élevés de notre graphique.
Trouvons les coordonnées du sommet de la parabole :
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(6)(-2)=3$.
$y_(в)=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
Au point de coordonnées $(3;13)$ nous construisons une parabole $y=-x^2$. 
Sélectionnons l'intervalle requis. 
Le point le plus bas a la coordonnée -3, le plus point haut- coordonnée 13.
$y_(nom)=-3$ ; $y_(maximum)=13$.
Problèmes à résoudre de manière autonome
1. Sans représenter graphiquement la fonction $y=-3x^2+12x-4$, répondez aux questions suivantes :a) Identifiez la droite qui sert d’axe à la parabole.
b) Trouvez les coordonnées du sommet.
c) Dans quelle direction la parabole pointe-t-elle (vers le haut ou vers le bas) ?
2. Construisez un graphique de la fonction : $y=2x^2-6x+2$.
3. Représentez graphiquement la fonction : $y=-x^2+8x-4$.
4. Trouvez la plus grande et la plus petite valeur de la fonction : $y=x^2+4x-3$ sur le segment $[-5;2]$.
Une fonction quadratique est une fonction de la forme :
y=a*(x^2)+b*x+c,
où a est le coefficient du plus haut degré d'inconnu x,
b - coefficient pour x inconnu,
et c est un membre gratuit.
Le graphique d’une fonction quadratique est une courbe appelée parabole. La vue générale de la parabole est présentée dans la figure ci-dessous.
Fig.1 Vue générale de la parabole.
Il y a un peu de diverses façons tracer une fonction quadratique. Nous examinerons les principaux et les plus généraux d'entre eux.
Algorithme pour tracer une fonction quadratique y=a*(x^2)+b*x+c
1. Construisez un système de coordonnées, marquez un segment unitaire et étiquetez les axes de coordonnées.
2. Déterminez la direction des branches de la parabole (vers le haut ou vers le bas).
Pour ce faire, il faut regarder le signe du coefficient a. S'il y a un plus, alors les branches sont dirigées vers le haut, s'il y a un moins, alors les branches sont dirigées vers le bas.
3. Déterminez la coordonnée x du sommet de la parabole.
Pour ce faire, vous devez utiliser la formule Xvertex = -b/2*a.
4. Déterminez la coordonnée au sommet de la parabole.
Pour ce faire, substituez dans l'équation Uvershiny = a*(x^2)+b*x+c au lieu de x, la valeur du Xverhiny trouvé à l'étape précédente.
5. Tracez le point résultant sur le graphique et tracez un axe de symétrie qui le traverse, parallèle à l'axe de coordonnées Oy.
6. Trouvez les points d'intersection du graphique avec l'axe Ox.
Pour ce faire, vous devez résoudre l'équation quadratique a*(x^2)+b*x+c = 0 en utilisant l'une des méthodes connues. Si l'équation n'a pas de racines réelles, alors le graphique de la fonction ne coupe pas l'axe Ox.
7. Trouvez les coordonnées du point d'intersection du graphique avec l'axe Oy.
Pour ce faire, nous substituons la valeur x=0 dans l’équation et calculons la valeur de y. Nous marquons ceci ainsi qu'un point symétrique sur le graphique.
8. Trouver les coordonnées d'un point arbitraire A(x,y)
Pour ce faire, choisissez une valeur arbitraire pour la coordonnée x et remplacez-la dans notre équation. Nous obtenons la valeur de y à ce stade. Tracez le point sur le graphique. Et marquez également un point sur le graphique qui est symétrique au point A(x,y).
9. Reliez les points obtenus sur le graphique avec une ligne lisse et continuez le graphique au-delà points extrêmes, jusqu'à la fin de l'axe des coordonnées. Étiquetez le graphique soit sur le repère, soit, si l'espace le permet, le long du graphique lui-même.
Exemple de tracé
A titre d'exemple, traçons une fonction quadratique donné par l'équation y=x^2+4*x-1
1. Dessinez des axes de coordonnées, étiquetez-les et marquez un segment unitaire.
2. Valeurs des coefficients a=1, b=4, c= -1. Puisque a=1, qui est supérieur à zéro, les branches de la parabole sont dirigées vers le haut.
3. Déterminez la coordonnée X du sommet de la parabole Xvertices = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Déterminer la coordonnée Y du sommet de la parabole
Sommets = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Marquez le sommet et dessinez l’axe de symétrie.
6. Trouvez les points d'intersection du graphique de la fonction quadratique avec l'axe Ox. Nous résolvons l'équation quadratique x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Nous marquons les valeurs obtenues sur le graphique.
7. Trouvez les points d'intersection du graphique avec l'axe Oy.
x=0 ; y=-1
8. Choisissez un point arbitraire B. Laissez-lui la coordonnée x=1.
Alors y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Reliez les points obtenus et signez le graphique.
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Comme le montre la pratique, les tâches sur les propriétés et les graphiques d'une fonction quadratique posent de sérieuses difficultés. C'est assez étrange, car ils étudient la fonction quadratique en 8e année, puis tout au long du premier quart de la 9e année, ils « tourmentent » les propriétés de la parabole et construisent ses graphiques pour divers paramètres.
Cela est dû au fait qu'en obligeant les élèves à construire des paraboles, ils ne consacrent pratiquement pas de temps à la « lecture » des graphiques, c'est-à-dire qu'ils ne s'entraînent pas à comprendre les informations reçues de l'image. Apparemment, on suppose qu'après avoir construit une douzaine ou deux graphiques, un étudiant intelligent découvrira et formulera lui-même la relation entre les coefficients de la formule et apparence arts graphiques. En pratique, cela ne fonctionne pas. Pour une telle généralisation, une expérience sérieuse en mini-recherche mathématique est requise, ce que la plupart des élèves de neuvième année ne possèdent bien sûr pas. En attendant, l'Inspection d'Etat propose de déterminer les signes des coefficients à l'aide du barème.
Nous n'exigerons pas l'impossible des écoliers et proposerons simplement l'un des algorithmes permettant de résoudre de tels problèmes.
Donc une fonction de la forme y = hache 2 + bx + c dit quadratique, son graphe est une parabole. Comme son nom l'indique, le terme principal est hache 2. C'est UN ne doit pas être égal à zéro, les coefficients restants ( b Et Avec) peut être égal à zéro.
Voyons comment les signes de ses coefficients affectent l'apparence d'une parabole.
La dépendance la plus simple pour le coefficient UN. La plupart des écoliers répondent avec assurance : « si UN> 0, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, et si UN < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой UN > 0.
y = 0,5x2 - 3x + 1
Dans ce cas UN = 0,5
Et maintenant pour UN < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
Dans ce cas UN = - 0,5
Impact du coefficient Avec C'est également assez facile à suivre. Imaginons que nous voulions trouver la valeur d'une fonction en un point X= 0. Remplacez zéro dans la formule :
oui = un 0 2 + b 0 + c = c. Il se trouve que y = c. C'est Avec est l'ordonnée du point d'intersection de la parabole avec l'axe des y. Généralement, ce point est facile à trouver sur le graphique. Et déterminez s’il se situe au-dessus de zéro ou en dessous. C'est Avec> 0 ou Avec < 0.
Avec > 0:
y = x 2 + 4x + 3
Avec < 0
y = x 2 + 4x - 3
En conséquence, si Avec= 0, alors la parabole passera nécessairement par l'origine :
y = x 2 + 4x
Plus difficile avec le paramètre b. Le point auquel nous le trouverons dépend non seulement de b mais aussi de UN. C'est le sommet de la parabole. Son abscisse (coordonnée de l'axe X) se trouve par la formule x dans = - b/(2a). Ainsi, b = - 2ax dans. C'est-à-dire qu'on procède comme suit : on trouve le sommet de la parabole sur le graphique, on détermine le signe de son abscisse, c'est-à-dire qu'on regarde à droite de zéro ( x dans> 0) ou vers la gauche ( x dans < 0) она лежит.
Cependant, ce n'est pas tout. Il faut aussi faire attention au signe du coefficient UN. Autrement dit, regardez où sont dirigées les branches de la parabole. Et seulement après cela, selon la formule b = - 2ax dans déterminer le signe b.
Regardons un exemple :
Les branches sont dirigées vers le haut, ce qui signifie UN> 0, la parabole coupe l'axe à en dessous de zéro, c'est-à-dire Avec < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x dans> 0. Donc b = - 2ax dans = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: UN > 0, b < 0, Avec < 0.