システムを解くためのアルゴリズム。 定義、概念、名称。 トピックに関するレッスンとプレゼンテーション: 「方程式系。代入法、加算法、新しい変数の導入法」

トピックに関するレッスンとプレゼンテーション: 「方程式系。代入法、加算法、新しい変数の導入法」

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不平等系を解く方法

皆さん、私たちは連立方程式を研究し、グラフを使用してそれを解く方法を学びました。 次に、システムを解決する他の方法が存在するか見てみましょう。
ほぼすべての解き方は中学1年生で勉強した解き方と変わりません。 次に、解く方法を学習した方程式に従っていくつかの調整を行う必要があります。
このレッスンで説明するすべての方法の本質は、システムを、より単純な形式とソリューションを備えた同等のシステムに置き換えることです。 みなさん、等価系とは何かを思い出してください。

置換方法

2 つの変数を使用して連立方程式を解く最初の方法はよく知られています。これは置換法です。 この方法を使用して線形方程式を解きました。 では、一般的な場合の方程式を解く方法を見てみましょう。

意思決定をする際にどのように進めるべきでしょうか?
1. 変数の 1 つを別の変数で表現します。 方程式で最もよく使用される変数は x と y です。 方程式の 1 つでは、ある変数を別の変数で表現します。 ヒント: 解き始める前に両方の方程式を注意深く見て、変数を表現しやすい方を選択してください。
2. 表現された変数の代わりに、結果の式を 2 番目の方程式に代入します。
3. 得られた方程式を解きます。
4. 得られた解を 2 番目の方程式に代入します。 複数のソリューションがある場合は、いくつかのソリューションを失わないように、それらを順番に置き換える必要があります。
5. その結果、数字のペア $(x;y)$ が得られます。これを答えとして書き留める必要があります。

例。
置換法 $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$ を使用して 2 つの変数を持つ系を解きます。

解決。
方程式を詳しく見てみましょう。 明らかに、最初の方程式で y を x に関して表現する方がはるかに簡単です。
$\begin(cases)y=5-x、\\xy=6\end(cases)$。
最初の式を 2 番目の式 $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$ に代入してみましょう。
2 番目の方程式を個別に解いてみましょう。
$x(5-x)=6$。
$-x^2+5x-6=0$。
$x^2-5x+6=0$。
$(x-2)(x-3)=0$。
2 番目の方程式 $x_1=2$ と $x_2=3$ に対する 2 つの解が得られました。
2 番目の式に順次代入します。
$x=2$ の場合、$y=3$ になります。 $x=3$ の場合、$y=2$ になります。
答えは 2 つの数字のペアになります。
答え: $(2;3)$ と $(3;2)$。

代数加算法

私たちもこの方法を7年生で学びました。
2 つの変数の有理方程式には、方程式の両辺を乗算することを忘れずに任意の数を乗算できることが知られています。 方程式の 1 つに特定の数を掛けて、結果として得られた方程式をシステムの 2 番目の方程式に加算するときに変数の 1 つが破壊されるようにしました。 次に、残りの変数について方程式を解きました。
この方法は引き続き機能しますが、変数の 1 つを常に破棄できるとは限りません。 ただし、方程式の 1 つの形式を大幅に簡素化することができます。

例。
システムを解きます: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$。

解決。
最初の式に 2 を掛けてみましょう。
$\begin(cases)4x+2xy-2=0、\\4y+2xy+6=0\end(cases)$。
最初の式から 2 番目の式を減算してみましょう。
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$。
ご覧のとおり、結果として得られる方程式の形式は元のものよりもはるかに単純です。 これで、置換メソッドを使用できるようになりました。
$\begin(cases)4x-4y-8=0、\\4y+2xy+6=0\end(cases)$。
結果として得られる方程式で、x を y で表現してみましょう。
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$。
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$。
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$。
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$。
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$。
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$。
$y=-1$ と $y=-3$ が得られました。
これらの値を最初の式に順番に代入してみましょう。 $(1;-1)$ と $(-1;-3)$ という 2 つの数値のペアが得られます。
答え: $(1;-1)$ と $(-1;-3)$。

新しい変数を導入する方法

私たちもこの方法を勉強しましたが、もう一度見てみましょう。

例。
系を解きます: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$。

解決。
置換 $t=\frac(x)(y)$ を導入しましょう。
最初の方程式を新しい変数 $t+\frac(2)(t)=3$ で書き直してみましょう。
結果として得られる方程式を解いてみましょう。
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$。
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$。
$t=2$ または $t=1$ が得られました。 逆の変化 $t=\frac(x)(y)$ を導入してみましょう。
$x=2y$ と $x=y$ が得られました。

各式について、元のシステムを個別に解く必要があります。
$\begin(cases)x=2y、\\2x^2-y^2=1\end(cases)$。 $\begin(cases)x=y、\\2x^2-y^2=1\end(cases)$。
$\begin(cases)x=2y、\\8y^2-y^2=1\end(cases)$。 $\begin(cases)x=y、\\2y^2-y^2=1\end(cases)$。
$\begin(cases)x=2y、\\7y^2=1\end(cases)$。 $\begin(cases)x=2y、\\y^2=1\end(cases)$。
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$。 $\begin(cases)x=y、\\y=±1\end(cases)$。
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$。 $\begin(cases)x=±1、\\y=±1\end(cases)$。
4 組のソリューションを受け取りました。
答え: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$。

例。
系を解く: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(cases)$。

解決。
$z=\frac(2)(x-3y)$ と $t=\frac(3)(2x+y)$ の置換を導入しましょう。
元の方程式を新しい変数で書き直してみましょう。
$\begin(cases)z+t=2、\\4z-3t=1\end(cases)$。
代数加算法を使ってみましょう。
$\begin(cases)3z+3t=6、\\4z-3t=1\end(cases)$。
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1、\\4z-3t=1\end(cases)$。
$\begin(cases)7z=7、\\4z-3t=1\end(cases)$。
$\begin(cases)z=1、\\-3t=1-4\end(cases)$。
$\begin(cases)z=1、\\t=1\end(cases)$。
逆置換を導入してみましょう。
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1、\\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$。
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$。
置換メソッドを使用してみましょう。
$\begin(cases)x=2+3y、\\4+6y+y=3\end(cases)$。
$\begin(cases)x=2+3y、\\7y=-1\end(cases)$。
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7))、\\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$。
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$。
答え: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$。

独立した解を求める連立方程式の問題

システムを解決する:
1. $\begin(cases)2x-2y=6,\\xy =-2\end(cases)$。
2. $\begin(cases)x+y^2=3、\\xy^2=4\end(cases)$。
3. $\begin(cases)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\end(cases)$。
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4、\\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\終了(ケース)$。
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7) )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$。

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説明書

追加方法。
2 つを厳密に上下に記述する必要があります。

549+45y+4y=-7、45y+4y=549-7、49y=542、y=542:49、y≈11。
(システムから) 任意に選択した方程式に、すでに見つかった「ゲーム」の代わりに数字 11 を挿入し、2 番目の未知数を計算します。

X=61+5*11、x=61+55、x=116。
この連立方程式の答えは、x=116、y=11 です。

グラフィックメソッド。
これは、線が方程式系に数学的に書かれる点の座標を実際に見つけることから構成されます。 両方の線のグラフは、同じ座標系で別々に描画する必要があります。 一般的なビュー: – y=khx+b。 直線を作成するには、2 点の座標を見つけるだけで十分であり、x は任意に選択されます。
システムを次のように与えます: 2x – y=4

Y=-3x+1。
直線は最初の直線を使用して構築されます。便宜上、y=2x-4 と書き留めておく必要があります。 x の（より簡単な）値を考え出し、それを方程式に代入して解き、y を見つけます。 直線が構築される 2 つの点が得られます。 (写真を参照)
×01

y -4 -2
直線は 2 番目の方程式 y=-3x+1 を使用して構築されます。
直線も作ります。 (写真を参照)

y1-5
グラフ上で構築された 2 本の直線の交点の座標を見つけます (直線が交差しない場合、連立方程式には - がありません)。

トピックに関するビデオ

役立つアドバイス

同じ方程式系を 3 つの方程式で解くと 違う方法、答えは同じになります（解決策が正しい場合）。

出典:

• 8年生の代数
• 2 つの未知数を含む方程式をオンラインで解く
• システムソリューション例 一次方程式二人で

システム 方程式は数学的レコードのコレクションであり、各レコードには多数の変数が含まれています。 それらを解決するにはいくつかの方法があります。

必要になるだろう

• -定規と鉛筆。
• -電卓。

説明書

a1x + b1y = c1 および a2x + b2y = c2 の形式を持つ線形方程式で構成されるシステムを解く手順を考えてみましょう。 ここで、x と y は未知の変数、b、c は自由項です。 この方法を適用すると、各システムは各方程式に対応する点の座標を表します。 まず、それぞれの場合において、ある変数を別の変数で表現します。 次に、変数 x を任意の数の値に設定します。 2つで十分です。 方程式に代入して y を求めます。 座標系を構築し、その上に結果として得られる点をマークし、それらを通る線を描きます。 システムの他の部分でも同様の計算を実行する必要があります。

構築されたラインが交差し、共通点が 1 つある場合、システムには独自のソリューションがあります。 平行だと互換性がありません。 そして、線が互いに結合すると、無限に多くの解が得られます。

この方法は非常に視覚的であると考えられます。 主な欠点は、計算された未知数が近似値を持つことです。 より正確な結果は、いわゆる代数的手法によって提供されます。

連立方程式の解はすべてチェックする価値があります。 これを行うには、変数の代わりに結果の値を代入します。 いくつかの方法を使用して解決策を見つけることもできます。 システムの解決策が正しければ、誰もが同じ結果になるはずです。

多くの場合、項の 1 つが不明な方程式が存在します。 方程式を解くには、これらの数値を使用して特定の一連のアクションを覚えて実行する必要があります。

必要になるだろう

• - 紙;
• - ペンまたは鉛筆。

説明書

目の前に8匹のウサギがいて、ニンジンが5本しかないと想像してください。 考えてみてください。各ウサギに 1 つずつニンジンを与えるためには、さらにニンジンを購入する必要があります。

この問題を方程式の形で提示してみましょう: 5 + x = 8。x の代わりに数値 3 を代入してみましょう。実際、5 + 3 = 8 です。

x を数値に置き換えるときは、8 から 5 を引くときと同じことを行います。 未知項の場合、合計から既知の項を減算します。

ウサギが 20 匹いて、ニンジンが 5 本しかないとします。 仲直りしましょう。 方程式とは、その中に含まれる文字の特定の値に対してのみ成立する等式です。 意味を見つける必要がある文字は と呼ばれます。 未知数を 1 つ含む方程式を書き、それを x と呼びます。 ウサギの問題を解くと、5 + x = 20 という方程式が得られます。

20 と 5 の差を見つけてみましょう。引き算の場合、差し引かれる数字が減ります。 減算される数値は と呼ばれ、最終結果は差と呼ばれます。 したがって、x = 20 – 5; x = 15。ウサギのためにニンジンを 15 個買う必要があります。

チェック: 5 + 15 = 20。方程式は正しく解かれています。 もちろん、そのときは 私たちが話しているのはこのような単純なものについては、チェックを行う必要はありません。 ただし、3 桁、4 桁などの数値を含む方程式がある場合は、作業結果を確実に確認するために必ずチェックする必要があります。

トピックに関するビデオ

役立つアドバイス

未知の被減数を求めるには、減数を差に加算する必要があります。

未知の減数を見つけるには、被減数から差を引く必要があります。

ヒント 4: システムを解決する方法 3つの方程式未知の3人とともに

3 つの未知数を含む 3 つの方程式系では、方程式の数が十分であっても、解が存在しない可能性があります。 置換法またはクラマー法を使用して解決してみることができます。 Cramer の方法では、システムを解くことに加えて、未知数の値を見つける前にシステムが解決可能かどうかを評価することができます。

説明書

代入法は、1 つの未知数から他の 2 つの未知数までを順番に計算し、結果をシステムの方程式に代入することで構成されます。 3 つの方程式系を次のように与えます。 一般的な見解:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

最初の式から x を表します: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - で、2 番目と 3 番目の式に代入します。次に、2 番目の式から y を表し、3 番目の式に代入します。 システム方程式の係数を通じて z の一次式を取得します。 ここで「逆方向」に進みます。z を 2 番目の方程式に代入して y を求め、次に z と y を最初の方程式に代入して x を解きます。 z を求める前のプロセスは一般に図に示されています。 これ以上一般形式で記述すると非常に面倒になりますが、実際には、 を代入することで、3 つの未知数をすべて簡単に見つけることができます。

Cramer の方法は、システム行列の構築と、この行列の行列式とさらに 3 つの補助行列の計算で構成されます。 システム行列は、方程式の未知の項の係数で構成されます。 方程式の右辺の数値を含む列、右辺の列。 システム内では使用されませんが、システムを解決するときに使用されます。

トピックに関するビデオ

注記

システム内のすべての方程式は、他の方程式とは独立した追加情報を提供する必要があります。 そうしないと、システムが不十分に決定され、明確な解決策を見つけることができなくなります。

役立つアドバイス

連立方程式を解いた後、求められた値を元の連立方程式に代入し、すべての方程式を満たしていることを確認します。

それ自体で 方程式 3つで 未知には多くの解があるため、ほとんどの場合、さらに 2 つの方程式または条件によって補足されます。 初期データがどのようなものであるかによって、決定の行方は大きく変わります。

必要になるだろう

• - 3 つの未知数を含む 3 つの方程式系。

説明書

3 つのシステムのうち 2 つが 3 つの未知数のうち 2 つだけを持つ場合、いくつかの変数を他の変数で表現し、それらを次のように置き換えてみます。 方程式 3つで 未知。 この場合の目標は、それを正常な状態に戻すことです 方程式見知らぬ人と。 これが である場合、さらなる解決策は非常に簡単です。見つかった値を他の方程式に代入し、他のすべての未知数を求めます。

一部の方程式系は、ある方程式から別の方程式を減算することができます。 または変数の 1 つを乗算して、2 つの未知数を同時にキャンセルできるかどうかを確認してください。 そのような機会がある場合は、それを利用してください。おそらく、その後の解決策は難しくありません。 数値を乗算するときは、左辺と右辺の両方を乗算する必要があることに注意してください。 同様に、方程式を減算するときは、右辺も減算する必要があることに注意してください。

前の方法が役に立たなかった場合は、次の方法を使用してください 一般的な意味で 3 つの方程式の解 未知。 これを行うには、方程式を a11x1+a12x2+a13x3=b1、a21x1+a22x2+a23x3=b2、a31x1+a32x2+a33x3=b3 の形式に書き換えます。 ここで、x の係数の行列 (A)、未知数の行列 (X)、および自由係数の行列 (B) を作成します。 係数の行列と未知数の行列を乗算すると、自由項の行列、つまり A*X=B が得られることに注意してください。

最初に を見つけて行列 A の (-1) 乗を求めます。 ゼロに等しい。 この後、結果の行列に行列 B を掛けます。その結果、すべての値を示す目的の行列 X が得られます。

Cramer の方法を使用して、3 つの方程式系の解を見つけることもできます。 これを行うには、システム行列に対応する 3 次行列式 ∆ を見つけます。 次に、対応する列の値の代わりに自由項の値を置き換えて、さらに 3 つの行列式 ∆1、∆2、∆3 を連続的に見つけます。 次に、x を求めます: x1=Δ1/Δ、x2=Δ2/Δ、x3=Δ3/Δ。

出典:

• 3 つの未知数を含む方程式の解

連立方程式を解き始めるときは、それがどのような種類の方程式であるかを理解します。 一次方程式を解く方法はかなりよく研究されています。 非線形方程式はほとんどの場合解けません。 特殊なケースは 1 つだけあり、それぞれは実質的に個別です。 したがって、解法の研究は線形方程式から始める必要があります。 このような方程式は、純粋にアルゴリズム的に解くこともできます。

見つかった未知数の分母はまったく同じです。 はい、分子の構造にはいくつかのパターンが見られます。 方程式系の次元が 2 より大きい場合、消去法では非常に面倒な計算が必要になります。 それらを回避するために、純粋にアルゴリズムによるソリューションが開発されました。 それらの中で最も単純なものは、Cramer のアルゴリズム (Cramer の公式) です。 あなたなら分かるはずだから 一般的なシステム n 個の方程式から方程式を生成します。

システムn線形 代数方程式未知数が n の場合、次の形式になります (図 1a を参照)。 ここで、 аij はシステムの係数です。
xj – 未知数、bi – 自由項 (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n)。 このようなシステムは、行列形式 AX=B でコンパクトに記述することができます。 ここで、A はシステム係数の行列、X は未知数の列行列、B は自由項の列行列です (図 1b を参照)。 Cramer の方法によれば、それぞれの未知の xi =∆i/∆ (i=1,2…,n) となります。 係数行列の行列式 Δ を主行列式、Δi を補助行列式と呼びます。 それぞれの未知数について、主行列式の i 番目の列を自由項の列に置き換えることによって補助行列式が求められます。 二次および三次システムの場合の Cramer 法を図に詳しく示します。 2.

この系は 2 つ以上の等式の組み合わせであり、それぞれの等式には 2 つ以上の未知数が含まれます。 学校のカリキュラムで使用される連立一次方程式を解くには、主に 2 つの方法があります。 それらの1つはメソッドと呼ばれ、もう1つは加算メソッドと呼ばれます。

2 つの方程式系の標準形式

で 標準形式最初の方程式の形式は a1*x+b1*y=c1、2 番目の方程式の形式は a2*x+b2*y=c2 などです。 たとえば、システムの 2 つの部分の場合、指定された両方の a1、a2、b1、b2、c1、c2 は、特定の方程式で表される数値係数です。 次に、x と y は、値を決定する必要がある未知数を表します。 必要な値は、両方の方程式を同時に真の等式に変換します。

加算法を使用して系を解く

システムを解くには、つまり、x と y を真の等式に変える値を見つけるには、いくつかの簡単な手順を実行する必要があります。 1 つ目は、両方の方程式の変数 x または y の数値係数の大きさが同じで符号が異なるように、どちらかの式を変換することです。

たとえば、2 つの方程式からなる系が与えられたとします。 最初の形式は 2x+4y=8 で、2 番目の形式は 6x+2y=6 です。 このタスクを完了するためのオプションの 1 つは、2 番目の方程式に係数 -2 を乗算することです。これにより、-12x-4y=-12 の形式になります。 正しい選択係数は、未知数を見つける手順全体を決定するため、加算によって系を解くプロセスにおける重要なタスクの 1 つです。

次に、システムの 2 つの方程式を追加する必要があります。 明らかに、値が等しいが符号が反対の係数を持つ変数を相互に破壊すると、-10x=-4 という形式になります。 この後、この単純な方程式を解く必要があります。この方程式から、x = 0.4 であることが明らかにわかります。

解決プロセスの最後のステップは、変数の 1 つで見つかった値を、システムで使用可能な元の等式のいずれかに代入することです。 たとえば、最初の式に x=0.4 を代入すると、2*0.4+4y=8 という式が得られ、そこから y=1.8 が求められます。 したがって、x=0.4 および y=1.8 がシステム例の根です。

根が正しく見つかったことを確認するには、見つかった値をシステムの 2 番目の方程式に代入してチェックすると便利です。 たとえば、この場合、0.4*6+1.8*2=6 という形式の等価性が得られますが、これは正しいです。

トピックに関するビデオ

連立方程式の 2 種類の解を分析してみましょう。

1. 代入法を使用して系を解きます。
2. システム方程式の項ごとの加算 (減算) によってシステムを解きます。

連立方程式を解くには 置換法による単純なアルゴリズムに従う必要があります。
1.急行します。 どの方程式からも 1 つの変数を表現します。
2. 代わりに。 結果の値を、表現された変数の代わりに別の方程式に代入します。
3. 結果として得られる方程式を 1 つの変数で解きます。 私たちはシステムの解決策を見つけます。

解決するには 学期ごとの加算（減算）方式次のことが必要です:
1. 同一の係数を作成する変数を選択します。
2. 方程式を加算または減算すると、1 つの変数を含む方程式が得られます。
3. 得られた一次方程式を解きます。 私たちはシステムの解決策を見つけます。

このシステムの解は関数グラフの交点です。

例を使用してシステムの解決策を詳しく考えてみましょう。

例 #1:

代入法で解いてみましょう

置換法を使用して連立方程式を解く

2x+5y=1 (1 つの方程式)
x-10y=3 (2番目の式)

1.エクスプレス
2 番目の方程式には係数 1 の変数 x があることがわかります。これは、2 番目の方程式から変数 x を表現するのが最も簡単であることを意味します。
x=3+10y

2.表現した後、変数xの代わりに3+10yを最初の方程式に代入します。
2(3+10y)+5y=1

3. 結果として得られる方程式を 1 つの変数で解きます。
2(3+10y)+5y=1 (括弧内は開きます)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

方程式系の解はグラフの交点です。したがって、交点は x と y で構成されているため、x と y を見つける必要があります。x を見つけましょう。x を表現した最初の点で、そこに y を代入します。 。
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

ポイントを最初に変数 x を書き、次に変数 y を書くのが通例です。
答え: (1; -0.2)

例2:

項ごとの加算（減算）法を使って解きましょう。

加算法を使用して連立方程式を解く

3x-2y=1 (1 つの方程式)
2x-3y=-10 (2番目の式)

1. 変数を選択します。たとえば、x を選択するとします。 最初の方程式では、変数 x の係数は 3、2 番目の方程式では 2 です。係数を同じにする必要があります。そのためには、方程式を乗算するか、任意の数で除算する権利があります。 最初の方程式に 2 を掛け、2 番目の方程式に 3 を掛けて、合計の係数は 6 になります。

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. 最初の方程式から 2 番目の方程式を引いて変数 x を取り除き、一次方程式を解きます。
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. x を見つけます。 見つかった y をいずれかの式、たとえば最初の式に代入します。
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

交点は x=4.6 になります。 y=6.4
答え: (4.6; 6.4)

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前の段落で説明したグラフィカルな方法よりも信頼性が高くなります。

置換方法

私たちはこの方法を 7 年生で連立一次方程式を解くために使用しました。 中学 1 年生で開発されたアルゴリズムは、2 つの変数 x と y を含む 2 つの方程式系 (必ずしも線形である必要はない) を解くのに非常に適しています (もちろん、変数は他の文字で指定することもできますが、それは問題ではありません)。 実際、前の段落でこのアルゴリズムを使用したのは、 二桁の数字方程式系である数学モデルが誕生しました。 上記の連立方程式を代入法を使用して解きました (§ 4 の例 1 を参照)。

2 つの変数 x、y を含む 2 つの方程式系を解くときに置換法を使用するためのアルゴリズム。

1. システムの 1 つの方程式から y を x に関して表現します。
2. y の代わりに結果の式をシステムの別の方程式に代入します。
3. 結果として得られた方程式を x について解きます。
4. 最初のステップで得られた式 y ～ x に、x の代わりに 3 番目のステップで見つかった方程式の根のそれぞれを順番に代入します。
5. それぞれ 3 番目と 4 番目のステップで見つかった値のペア (x; y) の形式で答えを書きます。

4) 求めたyの値をx = 5 - 3の式に1つずつ代入します。 もしそうなら
5) ペア (2; 1) と与えられた連立方程式の解。

答え: (2; 1);

代数加算法

この方法は、置換法と同様、7 年生の代数コースで連立一次方程式を解くために使用されたことからよく知られています。 次の例を使用して、この方法の本質を思い出してみましょう。

例2。連立方程式を解く

システムの最初の方程式のすべての項に 3 を掛け、2 番目の方程式は変更しないままにしておきます。
システムの 2 番目の方程式を最初の方程式から減算します。

元のシステムの 2 つの方程式を代数的に加算した結果、指定されたシステムの 1 番目と 2 番目の方程式よりも単純な方程式が得られました。 このより単純な方程式を使用して、特定のシステムの方程式、たとえば 2 番目の方程式を置き換える権利があります。 次に、指定された方程式系は、より単純な系に置き換えられます。

この系は代入法を使って解くことができます。 2 番目の方程式からわかります。y の代わりにこの式をシステムの最初の方程式に代入すると、次のようになります。

見つかったxの値を式に代入することは残ります

x = 2 の場合、

したがって、システムに対する 2 つの解決策が見つかりました。

新しい変数を導入する方法

中学2年生の代数の授業で、1変数の有理方程式を解くときに新しい変数を導入する方法を紹介しました。 連立方程式を解くためのこの方法の本質は同じですが、技術的な観点からは、次の例で説明するいくつかの特徴があります。

例 3.連立方程式を解く

新しい変数を導入しましょう。その後、システムの最初の方程式をより多くの式に書き直すことができます。 シンプルな形で: 変数 t についてこの方程式を解いてみましょう:

これらの値は両方とも条件を満たすため、ルートになります 有理方程式変数 t を使用します。 しかし、それは x = 2y が見つかるか、または
したがって、新しい変数を導入する方法を使用して、見た目は非常に複雑だったシステムの最初の方程式を、2 つのより単純な方程式に「階層化」することができました。

x = 2 y; y - 2x。

次は何ですか？ そして二人がそれぞれ受け取ったのは、 簡単な方程式方程式 x 2 - y 2 = 3 をもつ系で 1 つずつ考える必要がありますが、これはまだ覚えていません。 言い換えれば、問題は結局のところ、次の 2 つの方程式系を解くことになります。

最初のシステムと 2 番目のシステムに対する解を見つけて、結果として得られるすべての値のペアを答えに含める必要があります。 最初の連立方程式を解いてみましょう。

特にここではすべての準備が整っているので、置換法を使用しましょう。システムの 2 番目の方程式に x の代わりに式 2y を代入しましょう。 我々が得る

x = 2y であるため、それぞれ、x 1 = 2、x 2 = 2 が求められます。したがって、指定されたシステムの 2 つの解 (2; 1) と (-2; -1) が得られます。 2 番目の連立方程式を解いてみましょう。

再び代入法を使用してみましょう。式 y の代わりに 2x をシステムの 2 番目の方程式に代入します。 我々が得る

この方程式には根がありません。つまり、方程式系には解がありません。 したがって、最初のシステムの解のみを答えに含める必要があります。

答え: (2; 1); (-2;-1)。

2 つの変数を使用して 2 つの方程式系を解くときに新しい変数を導入する方法は、2 つのバージョンで使用されます。 最初のオプション: 1 つの新しい変数が導入され、システムの 1 つの方程式のみで使用されます。 これは、例 3 で起こったこととまったく同じです。 2 番目のオプション: 2 つの新しい変数が導入され、システムの両方の方程式で同時に使用されます。 これは例 4 に当てはまります。

例4.連立方程式を解く

2 つの新しい変数を導入しましょう。

それではそれを考慮に入れてみましょう

これにより、指定されたシステムをより単純な形式で書き直すことができますが、新しい変数 a と b に関しては次のようになります。

a = 1 であるため、方程式 a + 6 = 2 から次のことがわかります。 1 + 6 = 2; 6=1。 したがって、変数 a と b に関しては、次の 1 つの解が得られます。

変数 x と y に戻ると、連立方程式が得られます。

この系を解くために代数的加算法を適用してみましょう。

それ以来、方程式 2x + y = 3 から次のことがわかります。
したがって、変数 x と y に関しては、次の 1 つの解が得られます。

この段落を短い、しかしかなり真剣な理論的な会話で締めくくりましょう。 あなたはすでに、一次方程式、二次方程式、有理方程式、無理数方程式などのさまざまな方程式を解く経験を積んでいます。 方程式を解く主な考え方は、ある方程式から、より単純ではあるが指定された方程式と同等の別の方程式に徐々に移動することであることはご存知でしょう。 前の段落では、2 つの変数を含む方程式の等価性の概念を紹介しました。 この概念は連立方程式にも使用されます。

意味。

変数 x と y を持つ 2 つの方程式系は、それらが同じ解をもつ場合、または両方の系が解を持たない場合、等価であると呼ばれます。

このセクションで説明した 3 つの方法 (代入、代数加算、新しい変数の導入) はすべて、等価性の観点からは完全に正しいです。 言い換えれば、これらの方法を使用して、ある方程式系を、より単純ではあるが元の系と同等の別の系に置き換えます。

連立方程式を解くためのグラフィカルな方法

私たちは、代入法、代数的加算法、新しい変数の導入など、一般的で信頼性の高い方法で連立方程式を解く方法をすでに学びました。 では、前のレッスンですでに学習した方法を思い出してみましょう。 つまり、あなたが知っていることを繰り返しましょう グラフィカルな方法ソリューション。

連立方程式を解く方法 グラフィック的には、特定のシステムに含まれ、同じ座標面に位置する特定の方程式のそれぞれについてのグラフの構築と、これらのグラフの点の交点を見つける必要がある場所を表します。 この連立方程式を解くには、この点の座標 (x; y) を使用します。

グラフィカルな方程式系では、単一の正しい解が存在するか、無限の数の解が存在するか、あるいは解がまったく存在しないことが一般的であることに注意してください。

次に、これらの各ソリューションを詳しく見てみましょう。 したがって、連立方程式のグラフである線が交差する場合、連立方程式は一意の解を得ることができます。 これらの線が平行である場合、そのような方程式系にはまったく解がありません。 システムの方程式の直接グラフが一致する場合、そのようなシステムでは多くの解を見つけることができます。

それでは、グラフィック手法を使用して、2 つの未知数を含む 2 つの方程式系を解くアルゴリズムを見てみましょう。

まず、最初の式のグラフを作成します。
2 番目のステップは、2 番目の方程式に関連するグラフを構築することです。
第三に、グラフの交点を見つける必要があります。
その結果、各交点の座標が得られ、これが連立方程式の解となります。

例を使用してこの方法をさらに詳しく見てみましょう。 解く必要がある方程式系が与えられています。

方程式を解く

1. まず、この方程式 x2+y2=9 のグラフを作成します。

ただし、この方程式のグラフは原点を中心とする円となり、その半径は 3 に等しいことに注意してください。

2. 次のステップでは、y = x – 3 のような方程式をグラフにします。

この場合、直線を作成し、点 (0;−3) と (3;0) を見つける必要があります。

3. 何が得られたか見てみましょう。 直線が点 A と B の 2 つで円と交差していることがわかります。

ここで、これらの点の座標を探しています。 座標 (3;0) が点 A に対応し、座標 (0;-3) が点 B に対応することがわかります。

その結果、何が得られるでしょうか?

線が円と交差するときに得られる数値 (3;0) と (0;-3) は、システムの両方の方程式の正確な解です。 このことから、これらの数値もこの方程式系の解であることがわかります。

つまり、この解の答えは (3;0) と (0;−3) という数字になります。