入り口帯分数の掛け算の解き方。 分数と整数の掛け算と割り算のルール
整数と分数の掛け算は、それほど難しい作業ではありません。 しかし、学校ではおそらく理解していても、その後忘れてしまった微妙な点があります。
整数と分数を掛ける方法 - いくつかの項
分子と分母が何であるか、また適正分数と仮分数がどのように異なるかを覚えている場合は、この段落を飛ばしてください。 理論をすっかり忘れてしまった人向けです。
分子は 上部分数は割るものです。 分母が小さくなりました。 これが私たちが分けるものです。
固有分数とは、分子が分母より小さい分数です。 仮分数とは、分子が分母以上である分数のことです。
整数に分数を掛ける方法
整数と分数を掛けるためのルールは非常に単純です。分子と整数を掛けますが、分母には触れません。 例: 2 に 5 分の 1 を掛けると、5 分の 2 が得られます。 4 に 16 分の 3 を掛けると、16 分の 12 になります。
削減
2 番目の例では、結果の端数を減らすことができます。
それはどういう意味ですか？ この分数の分子と分母は両方とも 4 で割り切れることに注意してください。 両方の数値を公約数で割ることを分数を減らすといいます。 4分の3を獲得します。
仮分数
しかし、4 に 5 分の 2 を掛けるとします。 結果は5分の8でした。 これは仮分数です。
それは間違いなく正しい形にする必要があります。 これを行うには、パーツ全体を選択する必要があります。
ここでは、剰余による除算を使用する必要があります。 余りとして 1 と 3 が得られます。
整数 1 と 5 分の 3 が適切な分数です。
8 分の 35 を正しい形にするのは少し難しく、8 で割り切れる 37 に最も近い数は 32 です。 割ると4つになります。 35 から 32 を引くと 3 が得られます。 結果: 4 つの全体と 3 つの 8 つ。
分子と分母が等しい。 そしてここではすべてが非常にシンプルで美しいです。 分子と分母が等しい場合、結果は単純に 1 になります。
レッスン内容
分母が似ている分数の足し算
分数の加算には 2 つのタイプがあります。
- 分母が似ている分数の足し算
- 分母の異なる分数の加算
まず、分母が似ている分数の足し算を学びましょう。 ここではすべてがシンプルです。 同じ分母を持つ分数を加算するには、分母を変更せずに分子を加算する必要があります。 たとえば、分数と を加算してみましょう。 分子を追加し、分母は変更しないままにします。
この例は、ピザが 4 つの部分に分かれていることを思い出すと簡単に理解できます。 ピザにピザを追加すると、ピザが得られます。
例2。分数と を加算します。
答えは仮分数でした。 仕事の終わりが来たら、仮分数を取り除くのが通例です。 仮分数を削除するには、その部分全体を選択する必要があります。 私たちの場合、部分全体は簡単に分離されます。2 を 2 で割った値は 1 になります。
この例は、2 つの部分に分かれたピザについて思い出すと簡単に理解できます。 ピザにさらにピザを追加すると、丸ごと 1 枚のピザが得られます。
例 3。 分数と を加算します。
繰り返しますが、分子を合計し、分母は変更しないままにします。
この例は、ピザが 3 つの部分に分かれていることを思い出すと簡単に理解できます。 ピザにさらにピザを追加すると、ピザが得られます。
例4.式の値を見つける 
この例は、前の例とまったく同じ方法で解決されます。 分子を追加し、分母は変更しないでください。
絵を使って解決策を描いてみましょう。 ピザにピザを追加してさらにピザを追加すると、丸ごと 1 枚のピザとさらに多くのピザが得られます。
ご覧のとおり、同じ分母を持つ分数を加算することは何も複雑ではありません。 次のルールを理解するだけで十分です。
- 同じ分母を持つ分数を加算するには、分母を変更せずに分子を加算する必要があります。
分母の異なる分数の加算
次に、分母が異なる分数を加算する方法を学びましょう。 分数を加算する場合、分数の分母は同じである必要があります。 しかし、それらは常に同じであるわけではありません。
たとえば、分数は次の理由で加算できます。 同じ分母.
ただし、分数をすぐに足すことはできません。 分母が異なる。 このような場合、分数は同じ (共通の) 分母に減らす必要があります。
分数を同じ分母に減らす方法はいくつかあります。 他の方法は初心者にとって複雑に見えるかもしれないので、今日はそのうちの 1 つだけを見ていきます。
この方法の本質は、最初に両方の分数の分母の最小公倍数が検索されることです。 次に、LCM を最初の分数の分母で割って、最初の追加係数を取得します。 2 番目の分数についても同じことを行います。最小公倍数は 2 番目の分数の分母で除算され、2 番目の追加係数が取得されます。
次に、分数の分子と分母に追加の係数が乗算されます。 これらの動作の結果、分母が異なる分数は分母が同じ分数に変わります。 そして、そのような分数を加算する方法はすでに知っています。
例1。 分数を足してみましょう
まず、両方の分数の分母の最小公倍数を見つけます。 最初の分数の分母は数値 3 で、2 番目の分数の分母は数値 2 です。これらの数値の最小公倍数は 6 です。
LCM (2 および 3) = 6
さて、分数と に戻りましょう。 まず、最小公倍数を最初の分数の分母で割って、最初の追加係数を取得します。 LCM は数値 6 で、最初の分数の分母は数値 3 です。6 を 3 で割ると、2 が得られます。
結果として得られる数値 2 は、最初の追加乗数です。 それを最初の分数まで書きます。 これを行うには、分数の上に小さな斜線を引き、その上にある追加の因数を書き留めます。
2 番目の部分についても同じことを行います。 LCM を 2 番目の分数の分母で割って、2 番目の追加係数を取得します。 LCM は数値 6 で、2 番目の分数の分母は数値 2 です。6 を 2 で割ると、3 が得られます。
結果として得られる数値 3 は、2 番目の追加乗数です。 それを2番目の分数まで書きます。 もう一度、2 番目の分数の上に小さな斜線を描き、その上にある追加の因子を書き留めます。
これで、追加する準備がすべて整いました。 分数の分子と分母に追加の係数を乗算する作業が残ります。
私たちがたどり着いたものを注意深く見てください。 分母が異なる分数は分母が同じ分数になるという結論に達しました。 そして、そのような分数を加算する方法はすでに知っています。 この例を最後まで見てみましょう。
これで例は完了です。 を追加することがわかります。
絵を使って解決策を描いてみましょう。 ピザにピザを追加すると、丸ごと 1 枚のピザと、さらに 6 分の 1 のピザが得られます。
分数を同じ（共通）分母に減らすことは、絵を使用して表すこともできます。 分数と を公分母に換算すると、分数と が得られます。 これら 2 つの部分は、同じピザで表されます。 唯一の違いは、今回は均等に分割される (同じ分母に減らされる) ということです。
最初の図は分数 (6 個のうち 4 個) を表し、2 番目の図は分数 (6 個のうち 3 個) を表します。 これらの部分を追加すると、(6 個中 7 個の部分) が得られます。 この分数は不適切なので、その部分全体を強調表示しました。 その結果、（丸ごとピザ 1 枚と 6 枚目のピザ）を入手しました。
この例については詳細に説明しすぎたことに注意してください。 で 教育機関こんなに詳しく書くのは習慣的ではありません。 両方の分母とそれらに対する追加因子の最小公倍数をすばやく見つけることができ、さらに、見つかった追加因子に分子と分母をすばやく乗算できる必要があります。 学校にいる場合は、この例を次のように書く必要があります。
しかし、それもあります 裏側メダル。 数学を勉強する最初の段階で詳細なメモを取っていないと、その種の質問が現れ始めます。 「その数字はどこから来るのですか？」、「分数が突然まったく異なる分数になるのはなぜですか？」 «.
分母が異なる分数の加算を簡単にするには、次の段階的な手順を使用します。
- 分数の分母の最小公倍数を求めます。
- LCM を各分数の分母で割り、各分数の追加係数を取得します。
- 分数の分子と分母に追加の係数を掛けます。
- 同じ分母を持つ分数を加算します。
- 答えが仮分数であることが判明した場合は、その部分全体を選択します。
例2。式の値を見つける 
.
上記の手順を使用してみましょう。
ステップ 1. 分数の分母の最小公倍数を求める
両方の分数の分母の最小公倍数を求めます。 分数の分母は数字の 2、3、4 です。
ステップ 2. LCM を各分数の分母で割り、各分数の追加係数を取得します。
LCM を最初の分数の分母で割ります。 LCM は数値 12 で、最初の分数の分母は数値 2 です。12 を 2 で割ると 6 が得られます。最初の追加因数 6 が得られます。これを最初の分数の上に書きます。
次に、最小公倍数を 2 番目の分数の分母で割ります。 LCM は数値 12 で、2 番目の分数の分母は数値 3 です。12 を 3 で割ると 4 が得られます。2 番目の追加因数 4 が得られます。これを 2 番目の分数の上に書きます。
次に、最小公倍数を 3 番目の分数の分母で割ります。 LCM は数値 12 で、3 番目の分数の分母は数値 4 です。12 を 4 で割ると 3 が得られます。3 番目の追加因数 3 が得られます。これを 3 番目の分数の上に書きます。
ステップ 3. 分数の分子と分母に追加の係数を掛けます。
分子と分母に追加の係数を掛けます。
ステップ 4. 同じ分母を持つ分数を加算します
私たちは、分母が異なる分数が同じ（共通の）分母を持つ分数になるという結論に達しました。 残っているのは、これらの分数を加算することだけです。 合計してください:
追加が 1 行に収まらなかったため、残りの式を次の行に移動しました。 数学ではこれが許されています。 式が 1 行に収まらない場合は次の行に移動します。最初の行の末尾と新しい行の先頭には等号 (=) を入れる必要があります。 2 行目の等号は、これが 1 行目の式の続きであることを示します。
ステップ 5. 答えが仮分数であることが判明した場合は、その部分全体を選択します
私たちの答えは仮分数であることが判明しました。 その全体の部分を強調する必要があります。 私たちは次のことを強調します:
回答を受け取りました
分母が似ている分数の引き算
分数の引き算には 2 つのタイプがあります。
- 分母が似ている分数の引き算
- 分母の異なる分数の引き算
まず、分母が似ている分数の引き算を学びましょう。 ここではすべてがシンプルです。 ある分数から別の分数を引くには、最初の分数の分子から 2 番目の分数の分子を引く必要がありますが、分母は同じままにしておきます。
たとえば、式 の値を見つけてみましょう。 この例を解決するには、最初の分数の分子から 2 番目の分数の分子を引き、分母を変更しないようにする必要があります。 これをやろう：
この例は、ピザが 4 つの部分に分かれていることを思い出すと簡単に理解できます。 ピザからピザを切り出すと、次のようなピザが得られます。
例2。式の値を見つけます。
もう一度、最初の分数の分子から 2 番目の分数の分子を引き、分母は変更しないままにします。
この例は、ピザが 3 つの部分に分かれていることを思い出すと簡単に理解できます。 ピザからピザを切り出すと、次のようなピザが得られます。
例 3.式の値を見つける 
この例は、前の例とまったく同じ方法で解決されます。 最初の分数の分子から残りの分数の分子を引く必要があります。
ご覧のとおり、分母が同じ分数の引き算は何も複雑ではありません。 次のルールを理解するだけで十分です。
- ある分数から別の分数を引くには、最初の分数の分子から 2 番目の分数の分子を引き、分母は変更しないままにする必要があります。
- 答えが仮分数であることが判明した場合は、その部分全体を強調表示する必要があります。
分母の異なる分数の引き算
たとえば、分数の分母は同じであるため、分数から分数を引くことができます。 ただし、これらの分数は分母が異なるため、分数から分数を引くことはできません。 このような場合、分数は同じ (共通の) 分母に減らす必要があります。
共通の分母は、分母が異なる分数を加算するときに使用したのと同じ原理を使用して求められます。 まず、両方の分数の分母の最小公倍数を求めます。 次に、最小公倍数が最初の分数の分母で除算され、最初の追加係数が取得されます。これは最初の分数の上に書き込まれます。 同様に、最小公倍数は 2 番目の分数の分母で除算され、2 番目の追加係数が取得されます。これは 2 番目の分数の上に書き込まれます。
次に、分数に追加の係数が乗算されます。 これらの演算の結果、分母が異なる分数は分母が同じ分数に変換されます。 そして、私たちはそのような分数を引き算する方法をすでに知っています。
例1.式の意味を調べます。
これらの分数は分母が異なるため、同じ (共通の) 分母に減らす必要があります。
まず、両方の分数の分母の最小公倍数を求めます。 最初の分数の分母は数値 3 で、2 番目の分数の分母は数値 4 です。これらの数値の最小公倍数は 12 です。
LCM (3 および 4) = 12
さて、分数の話に戻って、
最初の分数に対する追加の因数を見つけてみましょう。 これを行うには、最小公倍数を最初の分数の分母で割ります。 LCM は数値 12 で、最初の分数の分母は数値 3 です。12 を 3 で割ると 4 が得られます。最初の分数の上に 4 を書きます。
2 番目の部分についても同じことを行います。 LCM を 2 番目の分数の分母で割ります。 LCM は数値 12 で、2 番目の分数の分母は数値 4 です。12 を 4 で割ると 3 が得られます。2 番目の分数に 3 を書きます。
これで減算の準備が整いました。 分数に追加の係数を乗算する作業が残ります。
分母が異なる分数は分母が同じ分数になるという結論に達しました。 そして、私たちはそのような分数を引き算する方法をすでに知っています。 この例を最後まで見てみましょう。
回答を受け取りました
絵を使って解決策を描いてみましょう。 ピザからピザを切り出せば、ピザが得られる
これ 詳細版ソリューション。 もし私たちが学校にいたなら、この例題をもっと短く解く必要があるでしょう。 このような解決策は次のようになります。
分数を共通の分母に減らすことは、絵を使用して表すこともできます。 これらの分数を公分母に還元すると、分数 と が得られます。 これらの分数は同じピザのスライスで表されますが、今回は等しい割合に分割されます (同じ分母に減らされます)。
最初の写真は分数 (12 個のうち 8 個) を示し、2 番目の写真は分数 (12 個のうち 3 個) を示しています。 8 個から 3 個を切り出すと、12 個のうち 5 個が得られます。 この分数はこれら 5 つの部分を表します。
例2。式の値を見つける 
これらの分数は分母が異なるため、最初にそれらを同じ (共通の) 分母に減らす必要があります。
これらの分数の分母の最小公倍数を求めてみましょう。
分数の分母は数値 10、3、および 5 です。これらの数値の最小公倍数は 30 です。
LCM(10, 3, 5) = 30
次に、各分数の追加の因数を見つけます。 これを行うには、最小公倍数を各分数の分母で割ります。
最初の分数に対する追加の因数を見つけてみましょう。 LCM は数値 30 で、最初の分数の分母は数値 10 です。30 を 10 で割ると、最初の追加因数 3 が得られます。これを最初の分数の上に書きます。
ここで、2 番目の部分に対する追加の因数を見つけます。 LCM を 2 番目の分数の分母で割ります。 LCM は数値 30 で、2 番目の分数の分母は数値 3 です。30 を 3 で割ると、2 番目の追加係数 10 が得られます。これを 2 番目の分数の上に書きます。
ここで、3 番目の分数に対する追加の因数を見つけます。 LCM を 3 番目の分数の分母で割ります。 LCM は数値 30 で、3 番目の分数の分母は数値 5 です。30 を 5 で割ると、3 番目の追加係数 6 が得られます。これを 3 番目の分数の上に書きます。
これで、すべての減算の準備が整いました。 分数に追加の係数を乗算する作業が残ります。
私たちは、分母が異なる分数が同じ（共通の）分母を持つ分数になるという結論に達しました。 そして、私たちはそのような分数を引き算する方法をすでに知っています。 この例を終了しましょう。
例の続きは 1 行に収まらないため、続きを次の行に移動します。 新しい行の等号 (=) を忘れないでください。
答えは正分数であることが判明し、すべてが適切であるように見えますが、あまりにも面倒で醜いです。 もっとシンプルにすべきです。 何ができるでしょうか？ この分数を短くすることができます。
分数を約分するには、その分子と分母を数値 20 と 30 の (GCD) で割る必要があります。
したがって、数値 20 と 30 の gcd を求めます。
ここで例に戻り、分数の分子と分母を、見つかった gcd で、つまり 10 で割ります。
回答を受け取りました
分数と数値の掛け算
分数に数値を掛けるには、指定された分数の分子にその数値を掛け、分母はそのままにする必要があります。
例1。 分数に数値 1 を掛けます。
分数の分子に数値 1 を掛けます。
録音には半分の 1 時間がかかると理解できます。 たとえば、ピザを 1 回取ると、ピザが手に入ります。
乗法の法則から、被乗数と因数を交換しても積は変わらないことがわかります。 式が と書かれている場合でも、積は と等しくなります。 ここでも、整数と分数を乗算するルールが機能します。
この表記は 1 の半分を取ると理解できます。 たとえば、ピザが 1 枚あり、その半分を取ると、ピザが出来上がります。
例 2。 式の値を見つける
分数の分子に4を掛けます
答えは仮分数でした。 その全部分を強調してみましょう。
この式は 2 四半期を 4 回行うと理解できます。 たとえば、ピザを 4 枚取ると、丸ごと 2 枚のピザが得られます。
そして、被乗数と乗数を交換すると、次の式が得られます。 また、2 に等しくなります。この式は、4 枚のピザ全体から 2 枚のピザを取り出したものとして理解できます。
分数の掛け算
分数を掛けるには、分数の分子と分母を掛ける必要があります。 答えが仮分数であることが判明した場合は、その部分全体を強調表示する必要があります。
例1.式の値を見つけます。
回答をいただきました。 この部分を減らすことをお勧めします。 この分数は 2 で減らすことができます。その場合、最終的な解は次の形式になります。
この表現は、半分のピザからピザを取り出すと理解できます。 ピザが半分あるとしましょう:
この半分から3分の2をどうやって奪うのか？ まず、この半分を 3 つの等しい部分に分割する必要があります。
そして、これら 3 つの部分から 2 つを取り出します。
ピザを作ります。 ピザを 3 つの部分に分割するとどのようになるかを思い出してください。
このピザの 1 枚と、私たちが撮った 2 枚の寸法は同じになります。
言い換えると、 私たちが話しているのはほぼ同じサイズのピザ。 したがって、式の値は次のようになります。
例 2。 式の値を見つける
最初の分数の分子と 2 番目の分数の分子を掛け、最初の分数の分母と 2 番目の分数の分母を掛けます。
答えは仮分数でした。 その全部分を強調してみましょう。
例 3.式の値を見つける
最初の分数の分子と 2 番目の分数の分子を掛け、最初の分数の分母と 2 番目の分数の分母を掛けます。
答えは普通の分数になりましたが、短縮すればよかったです。 この分数を減らすには、この分数の分子と分母を数値 105 と 450 の最大公約数 (GCD) で割る必要があります。
それでは、数値 105 と 450 の gcd を求めてみましょう。
次に、答えの分子と分母を、今見つけた gcd で、つまり 15 で割ります。
整数を分数で表す
任意の整数は分数として表すことができます。 たとえば、数字の 5 は と表すことができます。 これによって 5 の意味が変わることはありません。この式は「数字の 5 を 1 で割ったもの」を意味し、ご存知のとおり、これは 5 に等しいからです。
逆数
今、私たちは非常に知ります 興味深い話題数学で。 「逆数」といいます。
意味。 番号を反転ある を乗算すると、ある 1つを与えます。
変数の代わりにこの定義に代入してみましょう ある番号 5 を選択して、定義を読んでみてください。
番号を反転 5 を乗算すると、 5 1つを与えます。
5を掛けると1になる数を見つけることはできますか? それは可能であることが分かりました。 5 を分数として想像してみましょう。
次に、分子と分母を入れ替えるだけで、この分数自体を掛け算します。 言い換えれば、分数を逆さまだけで乗算してみましょう。
この結果、何が起こるでしょうか? この例を引き続き解くと、次の結果が得られます。
これは、5 に 5 を掛けると 1 が得られるため、数値 5 の逆数が数値 であることを意味します。
数値の逆数は、他の整数に対しても求めることができます。
他の分数の逆数を求めることもできます。 これを行うには、裏返すだけです。
分数を数値で割る
ピザが半分あるとしましょう:
それを2人で均等に分けましょう。 一人当たりピザは何枚もらえるでしょうか？
ピザの半分を分割した後、2 つの等しい部分が得られ、それぞれがピザを構成していることがわかります。 それで全員がピザを食べます。
分数の除算は逆数を使用して行われます。 逆数を使用すると、割り算を掛け算に置き換えることができます。
分数を数値で割るには、分数に約数の逆数を掛ける必要があります。
このルールを使用して、ピザの半分を 2 つの部分に分割することを書き留めます。
したがって、分数を数値 2 で割る必要があります。 ここで、被除数は分数、約数は数値 2 です。
分数を数値 2 で割るには、この分数に約数 2 の逆数を掛ける必要があります。約数 2 の逆数が分数です。 したがって、乗算する必要があります
前回は、分数の足し算と引き算を学習しました (レッスン「分数の足し算と引き算」を参照)。 これらのアクションの最も困難な部分は、分数を共通の分母にすることでした。
今度は掛け算と割り算を扱います。 幸いなことに、これらの演算は加算や減算よりもさらに単純です。 まず、整数部分が分離されていない 2 つの正の分数がある、という最も単純なケースを考えてみましょう。
2 つの分数を乗算するには、それらの分子と分母を別々に乗算する必要があります。 最初の数値が新しい分数の分子となり、2 番目の数値が分母になります。
2 つの分数を除算するには、最初の分数に「反転した」2 番目の分数を掛ける必要があります。
指定：
定義から、分数の除算は乗算に帰着することがわかります。 分数を「反転」するには、分子と分母を入れ替えるだけです。 したがって、このレッスンでは主に掛け算を考えていきます。
乗算の結果、約分数が発生する可能性があります (実際に発生することもよくあります)。もちろん、これは約分する必要があります。 すべての縮小の結果、分数が正しくないことが判明した場合は、部分全体を強調表示する必要があります。 しかし、乗算で絶対に起こらないのは、共通の分母への還元です。つまり、交差法はなく、最大因数と最小公倍数です。
定義により、次のようになります。
分数と整数部および負の分数の乗算
分数に整数部分が含まれている場合は、それらを不適切な分数に変換してから、上で概説したスキームに従って乗算する必要があります。
分数の分子、分母、またはその前にマイナスがある場合、次の規則に従って、そのマイナスを乗算から除外したり、完全に削除したりできます。
- プラスとマイナスはマイナスになります。
- 2 つの否定が肯定になります。
これまで、これらのルールは、負の分数を加算および減算する場合、つまり部分全体を削除する必要がある場合にのみ適用されていました。 作品の場合、いくつかの欠点を一度に「燃やす」ために一般化できます。
- ネガが完全に消えるまで、ペアでネガを取り消します。 極端な場合には、1 つのマイナス、つまり相手がいなかったマイナスが生き残る可能性があります。
- マイナスが残っていない場合、操作は完了です。乗算を開始できます。 最後のマイナスに対応するペアがなかったために取り消し線が引かれていない場合は、それを乗算の範囲外とします。 結果は負の分数になります。
タスク。 式の意味を調べます。
すべての分数を不適切な分数に変換し、乗算からマイナスを取り除きます。 残ったものを掛け合わせます 通常のルール。 我々が得る：
整数部分が強調表示されている分数の前に表示されるマイナスは、整数部分だけを指すのではなく、分数全体を具体的に指すことをもう一度思い出してください (これは最後の 2 つの例に当てはまります)。
こちらも注意 負の数：乗算する場合は括弧で囲みます。 これは、乗算記号からマイナスを分離し、表記全体をより正確にするために行われます。
その場で分数を減らす
乗算は非常に労力を要する演算です。 ここでの数値は非常に大きいことが判明したため、問題を単純化するために、さらに端数を減らしてみることができます。 乗算の前に。 実際、本質的には、分数の分子と分母は通常の因数であるため、分数の基本的な性質を使用して約分できます。 例を見てみましょう。
タスク。 式の意味を調べます。
定義により、次のようになります。
すべての例で、削減された数とその残りの数は赤色でマークされています。
注意してください: 最初のケースでは、乗数は完全に減少しました。 その代わりに、一般的に書く必要のない単位が残ります。 2 番目の例では、完全な削減は達成できませんでしたが、それでも総計算量は減少しました。
ただし、分数の足し算や引き算の際には、このテクニックを決して使用しないでください。 はい、同様の数値を削減したい場合があります。 ここで見てください:
そんなことはできません！
このエラーは、加算するときに分数の分子が数値の積ではなく和を生成するために発生します。 したがって、分数の基本的な性質を適用することは不可能です。なぜなら、この性質は特に数値の乗算を扱うからです。
端数を減らす理由は他にありません。 正しい解決策前のタスクは次のようになります。
正しい解決策:
ご覧のとおり、正解はそれほど美しくないことが判明しました。 一般に、注意してください。
中学・高校講座では「分数」をテーマに授業を行いました。 ただし、この概念は学習プロセスで与えられる概念よりもはるかに広いです。 今日、分数の概念は頻繁に登場しますが、分数の掛け算などの式を誰もが計算できるわけではありません。
分数とは何ですか?
歴史的に、分数は測定する必要性から生まれました。 実際に見てみると、セグメントの長さと長方形の体積を決定する例がよくあります。
最初に、学生はシェアの概念について説明します。 たとえば、スイカを 8 つの部分に分割すると、各人はスイカの 8 分の 1 を受け取ることになります。 この 8 分の 1 をシェアといいます。
任意の値の 1/2 に等しいシェアは、半分と呼ばれます。 1/3 - 3番目。 1/4 - 4分の1。 5/8、4/5、2/4 の形式のレコードは普通分数と呼ばれます。 公分数は分子と分母に分けられます。 それらの間には分数バー、つまり分数バーがあります。 分数線は、水平線または斜線として描画できます。 この場合は分割記号を指します。
分母は、数量またはオブジェクトが何等分されるかを表します。 分子は同一の株式が何株取得されるかです。 分子は分数線の上に書かれ、分母は分数線の下に書かれます。
普通の分数を表示するのに最も便利です 座標光線。 単位セグメントを 4 等分した場合、各部分にラベルを付けます ラテン文字の場合、結果は優れた視覚補助となる可能性があります。 したがって、点 A は単位セグメント全体の 1/4 に等しいシェアを示し、点 B は特定のセグメントの 2/8 を示します。
分数の種類
分数には、普通数、小数、および帯分数を使用できます。 また、分数は適正分数と不正分数に分けることができます。 この分類の方が適しているのは、 普通の分数.
固有分数とは、分子が分母より小さい数値です。 したがって、仮分数とは、分子が分母より大きい数のことです。 2 番目のタイプは通常、帯分数として記述されます。 この式は、整数と小数部で構成されます。 たとえば、1 1/2 です。 1 は整数部、1/2 は小数部です。 ただし、式で何らかの操作 (分数の除算または乗算、約分または変換) を実行する必要がある場合、帯分数は仮分数に変換されます。
正しい分数式は常に次のとおりです。 1未満、不正確 - 1 以上。
この式とは、分数式の分母が 1 といくつかのゼロで表現できる任意の数が表現されるレコードを意味します。 分数が適切であれば、10 進表記の整数部分はゼロになります。
小数部を記述するには、まず整数部分を記述し、コンマを使用して小数部と分数を区切ってから、分数式を記述する必要があります。 小数点以降の分子には、分母のゼロと同じ数のデジタル文字が含まれている必要があることに注意してください。
例。 分数7 21 / 1000を10進数で表します。
仮分数を帯分数に、またはその逆に変換するアルゴリズム
問題の答えに仮分数を記述するのは誤りであるため、帯分数に変換する必要があります。
- 分子を既存の分母で割ります。
- V 具体例不完全商 - 全体。
- 余りは小数部分の分子であり、分母は変更されません。
例。 仮分数を帯分数に変換します: 47 / 5。
解決。 47: 5。部分商は 9、余り = 2。つまり、47 / 5 = 9 2 / 5。
帯分数を仮分数として表す必要がある場合があります。 次に、次のアルゴリズムを使用する必要があります。
- 整数部分には分数式の分母が乗算されます。
- 得られた積は分子に加算されます。
- 結果は分子に書き込まれますが、分母は変わりません。
例。 数字を仮分数として帯分数で表します: 9 8 / 10。
解決。 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 が分子です。
答え: 98 / 10.
分数の掛け算
通常の分数に対してさまざまな代数演算を実行できます。 2 つの数値を乗算するには、分子と分子を乗算し、分母と分母を乗算する必要があります。 さらに、分母の異なる分数の掛け算も積と何ら変わりません。 小数同じ分母で。
結果を見つけた後、端数を減らす必要があることが起こります。 結果として得られる式を可能な限り単純化することが不可欠です。 もちろん、答えの仮分数が間違いであるとは言えませんが、それを正解と呼ぶことも困難です。
例。 2 つの普通の分数、1/2 と 20/18 の積を求めます。
この例からわかるように、積を見つけた後、約分可能な分数表記が得られます。 この場合、分子と分母は両方とも 4 で割られ、結果は答え 5 / 9 になります。
小数の乗算
小数の積は、通常の分数の積とは原理がまったく異なります。 したがって、分数の掛け算は次のようになります。
- 2 つの小数は、右端の桁が上下に重なるように上下に記述する必要があります。
- カンマに関係なく、書かれた数値を自然数として乗算する必要があります。
- 各数値の小数点以下の桁数を数えます。
- 乗算後に得られた結果では、小数点以下の両方の因数の合計に含まれるデジタル記号の数を右から数えて、区切り記号を付ける必要があります。
- 積内の数値が少ない場合は、この数値をカバーするために数値の前にできるだけ多くのゼロを書き、カンマを入れてゼロに等しい部分全体を追加する必要があります。
例。 2 つの小数の積、2.25 と 3.6 を計算します。
解決.
帯分数の掛け算
2 つの帯分数の積を計算するには、分数の乗算規則を使用する必要があります。
- 帯分数を仮分数に変換します。
- 分子の積を求めます。
- 分母の積を求めます。
- 結果を書き留めます。
- 表現を可能な限り簡略化します。
例。 4 1/2 と 6 2/5 の積を求めます。
数値と分数の乗算 (分数と数値)
2 つの分数と帯分数の積を求めることに加えて、分数を掛ける必要があるタスクもあります。
そこで、商品を探すには 10進数と自然数の場合、次のものが必要です。
- 右端の桁が上下に重なるように、分数の下に数値を書きます。
- カンマがあっても製品を検索します。
- 結果として得られる結果では、小数点以下の桁数を右から数えて、カンマを使用して整数部分と小数部分を区切ります。
公分数に数値を掛けるには、分子と自然因数の積を求める必要があります。 答えが約分できる端数を生成する場合は、変換する必要があります。
例。 5 / 8 と 12 の積を計算します。
解決. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
答え: 7 1 / 2.
前の例からわかるように、結果の結果を削減し、間違った分数式を帯分数に変換する必要がありました。
分数の掛け算は、混合形式の数値と自然因数の積を求めることにも関係します。 これら 2 つの数値を乗算するには、混合因子の全体部分にその数値を乗算し、分子に同じ値を乗算し、分母を変更しないでください。 必要に応じて、結果の結果を可能な限り単純化する必要があります。
例。 9 5 / 6 と 9 の積を求めます。
解決。 9 5 / 6 × 9 = 9 × 9 + (5 × 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2。
答え: 88 1 / 2.
10、100、1000、または 0.1 の係数を乗算します。 0.01; 0.001
次のルールは前の段落から続きます。 小数を 10、100、1000、10000 などで乗算するには、係数内の 1 の後のゼロの桁数だけ小数点を右に移動する必要があります。
例1。 0.065 と 1000 の積を求めます。
解決。 0.065 × 1000 = 0065 = 65。
答え: 65.
例 2。 3.9 と 1000 の積を求めます。
解決。 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900。
答え: 3900.
自然数と 0.1 を掛ける必要がある場合。 0.01; 0.001; 0.0001 などの場合、結果の積のカンマを、1 の前にゼロがある数だけ左に移動する必要があります。 必要に応じて、自然数の前に十分な数のゼロが書き込まれます。
例1。 56 と 0.01 の積を求めます。
解決。 56 × 0.01 = 0056 = 0.56。
答え: 0,56.
例 2。 4 と 0.001 の積を求めます。
解決。 4 × 0.001 = 0004 = 0.004。
答え: 0,004.
したがって、異なる分数の積を求めることは、おそらく結果を計算することを除いて、何の問題も引き起こすことはありません。 この場合、電卓なしでは計算できません。
分数と分数、または分数と数値を正しく乗算するには、次のことを知っておく必要があります。 簡単なルール。 次に、これらのルールを詳細に分析します。
普通の分数と分数を掛けます。
分数と分数を掛けるには、これらの分数の分子の積と分母の積を計算する必要があります。
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
例を見てみましょう:
最初の分数の分子と 2 番目の分数の分子を掛け、また、最初の分数の分母と 2 番目の分数の分母を掛けます。
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ 3 倍)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\)
小数 \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) は 3 減りました。
分数に数値を掛けます。
まずはルールを覚えましょう 任意の数値は分数 \(\bf n = \frac(n)(1)\) として表すことができます。
乗算するときはこのルールを使用しましょう。
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
仮分数 \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) を帯分数に変換します。
言い換えると、 数値に分数を掛けるときは、数値に分子を掛け、分母は変更しません。例：
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
帯分数の掛け算。
帯分数を乗算するには、まず各帯分数を仮分数として表し、次に乗算規則を使用する必要があります。 分子と分子を掛け、分母と分母を掛けます。
例：
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
逆数の分数と数値の乗算。
分数 \(\bf \frac(a)(b)\) は、a≠0,b≠0 の場合、分数 \(\bf \frac(b)(a)\) の逆数です。
分数 \(\bf \frac(a)(b)\) と \(\bf \frac(b)(a)\) は逆分数と呼ばれます。 逆数の積は 1 に等しくなります。
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
例：
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
関連する質問:
分数と分数を掛けるにはどうすればよいですか?
答え: 普通の分数の積は、分子と分子、分母と分母の掛け算です。 帯分数の積を求めるには、仮分数に変換し、規則に従って乗算する必要があります。
分母の異なる分数を掛けるにはどうすればよいでしょうか?
答え: 分数の分母が同じか異なるかは問題ではありません。掛け算は、分子と分子、分母と分母の積を求めるルールに従って行われます。
帯分数のかけ算はどうやって行うのですか?
答え: まず、帯分数を仮分数に変換し、次に乗算の規則を使用して積を求める必要があります。
数値に分数を掛けるにはどうすればよいですか?
答え: 数値に分子を掛けますが、分母はそのままにします。
例 #1:
積を計算します。 a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \)
解決：
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color(赤) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
例2:
数値と分数の積を計算します。 a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
解決：
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
例 #3:
分数 \(\frac(1)(3)\) の逆数を書きますか?
答え: \(\frac(3)(1) = 3\)
例 #4:
2 つの相互に逆数の分数の積を計算します。 a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
解決：
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
例5:
逆分数は次のようになります。
a) 適切な分数と同時に。
b) 同時に仮分数。
c) 同時に 自然数?
解決：
a) 最初の質問に答えるために、例を挙げてみましょう。 分数 \(\frac(2)(3)\) は適切で、その逆分数は \(\frac(3)(2)\) に等しくなります。これは仮分数です。 答え: いいえ。
b) 分数のほとんどすべての列挙ではこの条件は満たされませんが、同時に仮分数であるという条件を満たす数がいくつかあります。 たとえば、仮分数は \(\frac(3)(3)\) で、その逆分数は \(\frac(3)(3)\) に等しくなります。 2 つの仮分数が得られます。 回答: 特定の条件下では、分子と分母が等しいとは限りません。
c) 自然数とは、たとえば、1、2、3、…など、数を数えるときに使用する数です。 数値 \(3 = \frac(3)(1)\) をとった場合、その逆分数は \(\frac(1)(3)\) になります。 分数 \(\frac(1)(3)\) は自然数ではありません。 すべての数値を調べた場合、その数値の逆数は 1 を除いて常に分数になります。数値 1 を取ると、その逆数は \(\frac(1)(1) = \frac(1) になります。 )(1) = 1\)。 数字 1 は自然数です。 答え: これらは 1 つの場合にのみ、同時に自然数になることができます。これが数値 1 である場合です。
例6:
帯分数の積を計算します。 a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
解決：
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
例7:
2 つの逆数を同時に帯分数にすることはできますか?
例を見てみましょう。 帯分数 \(1\frac(1)(2)\) を考えて、その逆分数を見つけてみましょう。これを行うには、それを仮分数 \(1\frac(1)(2) = \frac(3) に変換します。 )(2) \) 。 その逆分数は \(\frac(2)(3)\) に等しくなります。 分数 \(\frac(2)(3)\) は固有の分数です。 答え: 相互に反転した 2 つの分数を同時に帯分数にすることはできません。