一般的な二次方程式の解。 二次方程式の解き方。 式の因数分解

」、つまり 1 次方程式です。 このレッスンでは次のことを見ていきます 二次方程式と呼ばれるものそしてそれを解決する方法。

二次方程式とは何ですか?

重要！

方程式の次数は、未知のものの最も高い次数によって決まります。

未知数の最大累乗が「2」の場合、二次方程式が得られます。

二次方程式の例

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• × 2 + 0.25x = 0
• × 2 − 8 = 0

重要！ 二次方程式の一般的な形式は次のようになります。

A x 2 + b x + c = 0

「a」「b」「c」には番号が付けられます。

• 「a」は最初の係数、または最高の係数です。
• 「b」は 2 番目の係数です。
• 「c」は自由な用語です。

「a」、「b」、「c」を見つけるには、方程式を二次方程式の一般形式「ax 2 + bx + c = 0」と比較する必要があります。

二次方程式の係数「a」「b」「c」を求める練習をしてみましょう。

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

方程式	オッズ
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

× 2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

× 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

二次方程式の解き方

とは異なり 一次方程式解決策のために 二次方程式特殊なものが使われている 根を求める公式.

覚えて！

二次方程式を解くには、次のものが必要です。

• 二次方程式を一般形式「ax 2 + bx + c = 0」にします。 つまり、右側には「0」だけが残るはずです。
• ルートの公式を使用します。

この公式を使用して二次方程式の根を求める方法の例を見てみましょう。 二次方程式を解いてみましょう。

X 2 − 3x − 4 = 0

方程式「x 2 − 3x − 4 = 0」はすでに一般形式「ax 2 + bx + c = 0」に変換されているため、さらに単純化する必要はありません。 それを解決するには、申請するだけです 二次方程式の根を求める公式.

この式の係数「a」、「b」、「c」を決定しましょう。

× 1;2 =
× 1;2 =
× 1;2 =
× 1;2 =

あらゆる二次方程式を解くために使用できます。

式「x 1;2 = 」では、部首表現が頻繁に置き換えられます。
「b 2 − 4ac」は文字「D」を表し、判別式と呼ばれます。 判別式の概念については、「判別式とは」のレッスンで詳しく説明します。

二次方程式の別の例を見てみましょう。

x 2 + 9 + x = 7x

この形式では、係数「a」、「b」、「c」を決定するのは非常に困難です。 まず、方程式を一般形式「ax 2 + bx + c = 0」に縮小しましょう。

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
× 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

これで根の計算式を使用できるようになりました。

X 1;2 =
× 1;2 =
× 1;2 =
× 1;2 =
x =

6

2

x = 3
答え: x = 3

二次方程式には根がない場合があります。 この状況は、数式の根の下に負の数値が含まれている場合に発生します。

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 または x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

もちろん、1 次の方程式を解く方法を学んだので、他の人たちと協力して、特に 2 次方程式 (二次方程式とも呼ばれます) を扱いたいと考えます。

二次方程式は、ax² + bx + c = 0 のような方程式です。変数は x、数値は a、b、c で​​、a はゼロではありません。

二次方程式のいずれかの係数 (c または b) がゼロに等しい場合、この方程式は不完全な二次方程式として分類されます。

これまで一次方程式しか解けなかった学生が不完全な二次方程式を解くにはどうすればよいでしょうか? 不完全な二次方程式を考える 他の種類そしてそれらを解決する簡単な方法。

a) 係数 c が 0 に等しく、係数 b がゼロの場合 ゼロに等しいの場合、ax ² + bx + 0 = 0 は、ax ² + bx = 0 の形式の方程式に変換されます。

このような方程式を解くには、不完全な 2 次方程式を解く公式を知っている必要があります。これは、左側を因数分解し、後で積がゼロに等しいという条件を使用することで構成されます。

たとえば、5x² - 20x = 0 です。括弧内の共通因数を取り出すという通常の数学的演算を実行しながら、方程式の左側を因数分解します。

5x (x - 4) = 0

積がゼロに等しいという条件を使用します。

5 x = 0 または x - 4 = 0

答えは次のようになります。最初の根は 0 です。 2 番目の根は 4 です。

b) b = 0 で、自由項がゼロに等しくない場合、方程式 ax ² + 0x + c = 0 は、ax ² + c = 0 の形式の方程式に変換されます。方程式は 2 つの方法で解かれます。 : a) 左側の方程式の多項式を因数分解することによって。 b) 算術平方根のプロパティを使用します。 このような方程式は、次のような方法の 1 つを使用して解くことができます。

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2。 答えは次のようになります。最初の根は 5/2 です。 2 番目の根は - 5/2 に等しくなります。

c) b が 0 に等しく、c が 0 に等しい場合、ax ² + 0 + 0 = 0 は、ax ² = 0 の形式の方程式に変換されます。このような方程式では、x は 0 に等しくなります。

ご覧のとおり、不完全な二次方程式は根を 2 つまでしか持つことができません。

コピエフスカヤ田舎中学校

二次方程式を解く 10 の方法

責任者: パトリケエワ ガリーナ アナトリエフナ、

数学の先生

コペボ村、2007

1. 二次方程式の発展の歴史

1.1 古代バビロンの二次方程式

1.2 ディオファントスが二次方程式をどのように構成し、解いたか

1.3 インドの二次方程式

1.4 アル・ホレズミによる二次方程式

1.5 ヨーロッパ XIII ～ XVII 世紀の二次方程式

1.6 ビエタの定理について

2. 二次方程式の解法

結論

文学

1. 二次方程式の発展の歴史

1.1 古代バビロンの二次方程式

古代においてさえ、一次方程式だけでなく二次方程式も解く必要があったのは、土地区画の面積の特定や軍事的な性質の掘削作業に関連した問題を解決する必要があったためです。天文学や数学そのものの発展と同様に。 二次方程式は紀元前 2000 年頃に解けるようになりました。 e. バビロニア人。

現代の代数表記を使用すると、彼らの楔形文字テキストには、不完全なものに加えて、たとえば完全な二次方程式が存在すると言えます。

バツ 2 + バツ = ¾; バツ 2 - バツ = 14,5

バビロニアの文書に記載されているこれらの方程式を解くための規則は、基本的に現代のものと一致しますが、バビロニア人がどのようにしてこの規則に到達したのかは不明です。 これまでに発見されたほぼすべての楔形文字テキストは、レシピの形で提示された解決策を伴う問題のみを提供しており、それらがどのように発見されたのかについては示されていません。

にもかかわらず 上級バビロンで代数学が発展したため、楔形文字テキストには負の数の概念が欠けており、 一般的な方法二次方程式を解くこと。

1.2 ディオファントスが二次方程式をどのように構成し、解いたか。

ディオファントスの『算術』には、代数学の体系的な表現は含まれていませんが、説明を伴い、さまざまな次数の方程式を構築することによって解決される体系的な一連の問題が含まれています。

ディオファントスは方程式を作成するとき、未知数を巧みに選択して解を単純化します。

たとえば、これは彼の仕事の 1 つです。

問題11。「合計が 20 で積が 96 であることを知って、2 つの数値を見つけてください。」

ディオファントスは次のように推論します。問題の条件から、必要な数は等しくないことがわかります。なぜなら、それらが等しい場合、その積は 96 ではなく 100 に等しくなるからです。したがって、それらの 1 つは以上になります。それらの合計の半分、つまり 。 10 + ×、もう一方は小さい、つまり 10代。 それらの違い 2倍 .

したがって、次の方程式が成り立ちます。

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - × 2 = 96

× 2 - 4 = 0 (1)

ここから x = 2。 必要な数値の 1 つが次と等しい 12 、 他の 8 。 解決 x = -2ギリシャの数学は正の数しか知らなかったため、ディオファントスは存在しないからです。

必要な数値の 1 つを未知数として選択してこの問題を解決すると、方程式の解が得られます。

y(20 - y) = 96、

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

ディオファントスが、必要な数の半差を未知数として選択することにより、解を単純化していることは明らかです。 彼は問題を不完全な二次方程式 (1) を解くことになんとか還元しました。

1.3 インドの二次方程式

二次方程式に関する問題は、インドの数学者で天文学者のアリヤバッタによって 499 年に編纂された天文論文「アリヤバティアム」にすでに記載されています。 別のインドの科学者、ブラフマグプタ（7世紀）は次のように概説しています。 原則二次方程式の解は単一の正準形式に変換されます。

ああ 2 + b x = c、a > 0。 (1)

式 (1) の係数は、 あ、マイナスになることもあります。 ブラフマグプタの規則は本質的に私たちの規則と同じです。

で 古代インド難しい問題を解決するための公開コンテストが一般的でした。 インドの古い本の一つには、そのような競技について次のように書かれています。「太陽がその輝きで星を上回るように、学識のある人は公の集会で代数問題を提案し、解決することで他の人の栄光を上回ります。」 問題は詩的な形式で提示されることがよくありました。

これは、12 世紀の有名なインドの数学者の問題の 1 つです。 バスカーズ。

問題13。

「陽気な猿の群れ、そしてブドウの木に沿って 12 匹…

当局は食事をして楽しんだ。 彼らは飛び跳ねたり、ぶら下がったりし始めました...

広場にいます、パート 8。何匹のサルがいましたか?

クリアリングを楽​​しんでました。 教えてください、このパックには？

バスカラ氏の解は、二次方程式の根が 2 値であることを彼が知っていたことを示しています (図 3)。

問題 13 に対応する式は次のとおりです。

( バツ /8) 2 + 12 = バツ

バスカラはこう装って書いている。

x 2 - 64x = -768

そして、この方程式の左辺を二乗するために、両辺を加算します。 32 2 、そして次を取得します:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024、

(x - 32) 2 = 256、

x - 32 = ± 16、

x 1 = 16、x 2 = 48。

1.4 al の二次方程式 - ホレズミ

アル・ホレズミの代数論文では、一次方程式と二次方程式の分類が示されています。 著者は6種類の方程式を数え、以下のように表現します。

1) 「平方根は根に等しい」、つまり 斧 2 + c = b バツ。

2) 「正方形は数字に等しい」、つまり 斧 2 = c。

3) 「根はその数に等しい」、つまり ああ=す。

4) 「平方根と数字は根に等しい」、つまり 斧 2 + c = b バツ。

5) 「二乗と根は数字に等しい」、つまり ああ 2 + bx = s.

6) 「根と数は平方に等しい」、つまり bx + c = ax 2 。

負の数の使用を避けたアル・ホレズミにとって、これらの各式の項は加数であり、減算ではありません。 この場合、正の解をもたない方程式は明らかに考慮されません。 著者は、アル・ジャブルとアル・ムカバラの手法を使用してこれらの方程式を解く方法を説明します。 もちろん、彼の決定は私たちの決定と完全に一致するわけではありません。 これが純粋に修辞的なものであることは言うまでもなく、たとえば、最初のタイプの不完全な二次方程式を解くとき、次のことに注意する必要があります。

アル・ホレズミは、17 世紀以前のすべての数学者と同様に、ゼロ解を考慮していません。これはおそらく、特定の実際的な問題ではゼロ解が重要ではないためです。 完全な二次方程式を解くとき、アル・ホレズミは特定の数値例を使用してそれらを解くための規則を示し、次に幾何学的証明を示します。

問題14。「正方形と21という数字は10の根に等しい。 根を探せ』 (方程式の根 x 2 + 21 = 10x を意味します)。

著者の解決策は次のようなものです。根の数を半分に割ると 5 が得られ、5 をそのまま掛けて積から 21 を引くと、残りは 4 になります。4 から根を取ると 2 が得られます。5 から 2 を引きます。 、3 を取得すると、これが目的のルートになります。 または、2 に 5 を足すと 7 になります。これもルートです。

アル・ホレズミの論文は、二次方程式の分類を体系的に説明し、その解の公式を与えた、私たちに伝えられた最初の本です。

1.5 ヨーロッパにおける二次方程式 XIII - XVII bb

ヨーロッパのアル・フワリズミの方針に沿って二次方程式を解くための公式は、イタリアの数学者レオナルド・フィボナッチによって 1202 年に書かれたそろばんの本に初めて記載されました。 この膨大な著作には、イスラム諸国と両国の数学の影響が反映されています。 古代ギリシャ、プレゼンテーションの完全性と明瞭さの両方によって区別されます。 著者は問題を解決するための新しい代数例をいくつか独自に開発し、ヨーロッパで初めて負の数の導入に取り組みました。 彼の本は、イタリアだけでなく、ドイツ、フランス、その他のヨーロッパ諸国でも代数知識の普及に貢献しました。 そろばんの本からの多くの問題は、16 ～ 17 世紀のヨーロッパのほぼすべての教科書で使用されました。 そして部分的にXVIII。

二次方程式を解くための一般規則は、単一の標準形式にまとめられます。

×2+ bx = c、

係数符号の考えられるすべての組み合わせに対して b , とヨーロッパでは 1544 年に M. シュティーフェルによってのみ策定されました。

一般形式で二次方程式を解く公式の導出は Viète から入手できますが、Viète は正の根のみを認識しました。 イタリアの数学者タルターリア、カルダーノ、ボンベリは 16 世紀の最初の数学者の一人です。 正の根に加えて、負の根も考慮されます。 17世紀に限っては。 ジラール、デカルト、ニュートン、その他の科学者の研究のおかげで、二次方程式を解く方法は現代的な形になりました。

1.6 ビエタの定理について

二次方程式の係数とその根との関係を表す定理は、ヴィエタにちなんで名付けられ、1591 年に彼によって次のように初めて定式化されました。 B + D、乗算 あ - あ 2 、等しい BD、 それ あ等しい でそして等しい D ».

Vieta を理解するには、次のことを覚えておく必要があります。 あは、他の母音文字と同様に、未知のもの (私たちの バツ)、母音 で、 D- 未知の係数。 現代代数学の言語では、上記の Vieta 定式化は次のことを意味します。

(+ b )x - x 2 = 腹筋 ,

× 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a、x 2 = b .

ビエテは方程式の根と係数の関係を記号を使って書かれた一般式で表現し、方程式の解き方の統一性を確立しました。 しかし、ベトの象徴性はまだ遠いです。 モダンな外観。 彼は負の数を認識しなかったため、方程式を解くとき、すべての根が正である場合のみを考慮しました。

2. 二次方程式の解法

二次方程式は、代数学の壮大な建造物を支える基礎です。 二次方程式は、三角方程式、指数方程式、対数方程式、無理数方程式、超越方程式や不等式を解く際に広く使用されています。 私たちは学校 (8 年生) から卒業まで、二次方程式の解き方を知っています。

二次方程式は中学2年生で習うので、難しいことは何もありません。 それらを解決する能力が絶対に必要です。

二次方程式は、ax 2 + bx + c = 0 の形式の方程式です。ここで、係数 a、b、c は任意の数であり、a ≠ 0 です。

具体的な解法を学ぶ前に、すべての二次方程式は 3 つのクラスに分類できることに注意してください。

1. 根を持たない。
2. ルートは 1 つだけです。
3. 彼らには2つの異なるルーツがあります。

これは、根が常に存在し一意である二次方程式と線形方程式の重要な違いです。 方程式の根の数を確認するにはどうすればよいですか? これには素晴らしいことがあります - 判別式.

判別式

二次方程式 ax 2 + bx + c = 0 が与えられた場合、判別式は単に数値 D = b 2 − 4ac になります。

この公式を暗記する必要があります。 それがどこから来たのかは今では重要ではありません。 もう 1 つ重要なことは、判別式の符号によって、二次方程式の根がいくつあるかを判断できることです。 つまり:

1. Dの場合< 0, корней нет;
2. D = 0 の場合、ルートは 1 つだけ存在します。
3. D > 0 の場合、根は 2 つになります。

注意してください: 判別式は根の数を示し、何らかの理由で多くの人が信じているように、根の符号はまったく示しません。 例を見てみれば、すべてを理解できるでしょう。

タスク。 二次方程式には根がいくつありますか:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0。

最初の方程式の係数を書き出して、判別式を見つけてみましょう。
a = 1、b = −8、c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

したがって、判別式は正であるため、方程式には 2 つの異なる根があります。 2 番目の方程式を同様の方法で分析します。
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131。

判別式は負であり、根はありません。 残った最後の方程式は次のとおりです。
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0。

判別式はゼロです - 根は 1 になります。

各方程式に係数が記載されていることに注意してください。 はい、長いです、はい、退屈ですが、確率を混同したり愚かな間違いを犯したりすることはありません。 速度か品質か、自分で選択してください。

ちなみに、コツを掴めば、しばらくすると係数をすべて書き留める必要がなくなります。 このような操作を頭の中で実行します。 ほとんどの人は、50 ～ 70 個の方程式が解かれた後のどこかでこれを開始しますが、一般的にはそれほど多くはありません。

二次方程式の根

それでは、解決策自体に移りましょう。 判別式 D > 0 の場合、根は次の式を使用して求めることができます。

二次方程式の根の基本公式

D = 0 の場合、これらの式のいずれかを使用できます。同じ数値が得られ、それが答えとなります。 最後に、D の場合< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. × 2 + 12x + 36 = 0。

最初の方程式:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16。

D > 0 ⇒ 方程式には根が 2 つあります。 それらを見つけてみましょう:

2 番目の方程式:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (-1) · 15 = 64。

D > 0 ⇒ この方程式にも根が 2 つあります。 見つけてみましょう

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3。 \\ \終了(整列)\]

最後に、3 番目の方程式は次のようになります。
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0。

D = 0 ⇒ 方程式の根は 1 つです。 任意の式を使用できます。 たとえば、最初のものは次のとおりです。

例からわかるように、すべては非常に簡単です。 公式を知っていて計算ができれば問題ありません。 ほとんどの場合、負の係数を式に代入するとエラーが発生します。 ここでも、上で説明したテクニックが役に立ちます。式を文字通りに見て、各ステップを書き留めてください。そうすれば、すぐにエラーを取り除くことができます。

不完全な二次方程式

二次方程式が定義で与えられたものとわずかに異なる場合があります。 例えば：

1. x 2 + 9x = 0;
2. × 2 − 16 = 0。

これらの方程式には項の 1 つが欠けていることに気づくのは簡単です。 このような二次方程式は、標準的な方程式よりも解くのがさらに簡単で、判別式を計算する必要さえありません。 そこで、新しい概念を導入しましょう。

方程式 ax 2 + bx + c = 0 は、b = 0 または c = 0 の場合、つまり、 変数 x または自由要素の係数はゼロに等しい。

もちろん、これらの係数が両方ともゼロに等しい場合、非常に困難なケースが考えられます: b = c = 0。この場合、方程式は ax 2 = 0 の形式になります。明らかに、そのような方程式には根が 1 つあります: x = 0。

残りのケースを考えてみましょう。 b = 0 とすると、ax 2 + c = 0 という形式の不完全な 2 次方程式が得られます。これを少し変形してみましょう。

算数以来 平方根は非負の数からのみ存在し、最後の等式は (−c /a) ≥ 0 の場合にのみ意味を持ちます。 結論:

1. ax 2 + c = 0 という形式の不完全な 2 次方程式で、不等式 (−c /a) ≥ 0 が満たされる場合、根は 2 つ存在します。 式は上に示されています。
2. (−c /a) の場合< 0, корней нет.

ご覧のとおり、判別式は必要ありません。不完全な 2 次方程式には複雑な計算がまったくありません。 実際、不等式 (−c /a) ≥ 0 を覚える必要さえありません。値 x 2 を表現し、等号の反対側にあるものを確認するだけで十分です。 もしそこにあるなら 正数- ルートは 2 つになります。 負の値の場合、ルートはまったく存在しません。

ここで、自由要素がゼロに等しい、ax 2 + bx = 0 の形式の方程式を見てみましょう。 ここではすべてが単純です。常に 2 つのルートが存在します。 多項式を因数分解するだけで十分です。

括弧内の共通因数を取り出す

因数の少なくとも 1 つがゼロの場合、積はゼロになります。 根はここから来ています。 結論として、これらの方程式のいくつかを見てみましょう。

タスク。 二次方程式を解く：

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0。

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7。

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6。 根がないので、 平方は負の数に等しくすることはできません。

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; × 2 = −1.5。

方程式の使用は私たちの生活の中で広く使われています。 それらは多くの計算、構造物の建設、さらにはスポーツにも使用されます。 人類は古代に方程式を使用しましたが、それ以来、その使用は増加するばかりです。 判別式を使用すると、次を使用して二次方程式を解くことができます。 一般式、次のようになります。

判別式は多項式の次数に応じて異なります。 上の式は、次の形式の二次方程式を解くのに適しています。

判別式には、知っておく必要がある次の特性があります。

* 多項式に複数の根がある場合、「D」は 0 ( 等根);

* 「D」は多項式の根に関して対称な多項式であり、したがってその係数における多項式です。 さらに、この多項式の係数は、根がとられる拡張に関係なく整数です。

次の形式の二次方程式が与えられたとします。

1 方程式

式によれば、次のようになります。

\ なので、方程式には根が 2 つあります。 それらを定義しましょう:

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