入り口3 点を通る平面の方程式の公式。 直線と平面の間の角度を見つける。 2 つの平面の交点
座標とベクトル。 総合ガイド (2019)
この記事では、多くの幾何学問題を単純な算術に落とし込むことを可能にする 1 つの「魔法の杖」について説明します。 この「棒」は、特に建築に自信がないときに、あなたの人生をずっと楽にしてくれます。 空間図形、セクションなど。これにはすべて、一定の想像力と実践的なスキルが必要です。 ここで検討を開始する方法を使用すると、あらゆる種類の幾何学的構造や推論をほぼ完全に抽象化できます。 メソッドは次のように呼ばれます 「コーディネートメソッド」。 この記事では、次の質問について検討します。
- 座標平面
- 平面上の点とベクトル
- 2 点からベクトルを構築する
- ベクトルの長さ (2 点間の距離)
- セグメントの中央の座標
- ベクトルの内積
- 2 つのベクトル間の角度
座標メソッドがなぜそのように呼ばれるかはすでに想像できたと思います。 そう、幾何学的な物体ではなく、その数値的な性質（座標）を使って動作することからこの名前がついたのです。 そして、幾何学から代数への移行を可能にする変換そのものは、座標系を導入することにあります。 元の図形が平面であれば座標は 2 次元、図形が 3 次元であれば座標は 3 次元になります。 この記事では、2 次元の場合のみを検討します。 この記事の主な目的は、いくつかの使い方を教えることです。 基本的なテクニック座標法 (統一国家試験パート B の面積測定の問題を解くときに役立つことがあります)。 このトピックに関する次の 2 つのセクションでは、問題 C2 (立体測定の問題) を解決する方法について説明します。
座標方法についてどこから議論するのが論理的でしょうか? おそらく座標系の概念から来ているのでしょう。 初めて彼女に出会ったときのことを思い出してください。 あなたがこの存在を知ったのは中学1年生の頃だったと思います。 一次関数、 例えば。 ポイントごとに構築したことを思い出させてください。 覚えていますか？ 任意の数値を選択し、それを式に代入して、そのように計算しました。 たとえば、if、then、if、then など、最終的に何が得られましたか? そして、座標付きのポイントを受け取りました: そして。 次に、「十字」（座標系）を描き、その上でスケール（単位セグメントとして持つセルの数）を選択し、その上に得られた点をマークし、それを直線で結んだ結果、次のようになります。折れ線は関数のグラフです。
ここでもう少し詳しく説明する必要がある点がいくつかあります。
1. すべてが図面内に美しくコンパクトに収まるように、便宜上 1 つのセグメントを選択します。
2. 軸は左から右へ、軸は下から上へ向かうことが認められます
3. それらは直角に交差し、その交点を原点と呼びます。 それは文字で示されます。
4. たとえば点の座標を書く場合、括弧内の左側には軸に沿った点の座標があり、右側には軸に沿った点の座標があります。 特に、それは単にその時点で次のことを意味します
5. 座標軸上の任意の点を指定するには、その座標 (2 つの数字) を指定する必要があります。
6. 軸上にある任意の点について、
7. 軸上にある任意の点について、
8. 軸は x 軸と呼ばれます
9. 軸は y 軸と呼ばれます
次のステップに進みましょう。2 つの点にマークを付けます。 これら 2 点を線分で結びましょう。 そして、点から点へ線分を描くかのように矢印を配置します。つまり、線分に方向性を持たせます。
もう 1 つの方向セグメントが何と呼ばれているか覚えていますか? そうです、それはベクトルと呼ばれるものです！
したがって、点と点を接続すると、 始まりは点A、終わりは点Bになります。次にベクトルを取得します。 あなたもこの工作を中学 2 年生のときにやったのを覚えていますか?
ベクトルは、点と同様に 2 つの数値で表すことができることがわかりました。これらの数値はベクトル座標と呼ばれます。 質問: ベクトルの座標を見つけるには、ベクトルの先頭と末尾の座標がわかれば十分だと思いますか? そうです！ そして、これは非常に簡単に行われます。
したがって、ベクトルでは点が開始点であり、点が終了点であるため、ベクトルの座標は次のようになります。
たとえば、次の場合、ベクトルの座標は
今度は逆のことをして、ベクトルの座標を見つけてみましょう。 そのためには何を変える必要があるでしょうか? はい、始まりと終わりを入れ替える必要があります。これで、ベクトルの始まりが点に、終わりが点になります。 それから：
よく見てください、ベクトルとベクトルの違いは何ですか? 唯一の違いは座標の符号です。 彼らは正反対です。 この事実は通常次のように書かれます。
場合によっては、どの点がベクトルの始点でどの点が終点であるかが特に指定されていない場合、ベクトルは 3 つ以上の点で表されることがあります。 大文字で、および小文字 1 つ (例: 、など)。
さあ、少し 練習する自分で調べて、次のベクトルの座標を見つけます。
検査：
次に、もう少し難しい問題を解決します。
点で始まるベクトルには、co-or-di-na-you があります。 abs-cis-su 点を見つけます。
同じことは非常に平凡です。点の座標を とします。 それから
ベクトル座標とは何かという定義に基づいてシステムをコンパイルしました。 次に、その点には座標があります。 横座標に興味があります。 それから
答え：
ベクトルを使って他に何ができるでしょうか? はい、ほとんどすべてが通常の数値と同じです (除算はできませんが、2 つの方法で乗算ができる点を除きます。そのうちの 1 つについては後で説明します)。
- ベクトルは互いに追加できます
- ベクトルは互いに減算できます
- ベクトルはゼロ以外の任意の数値で乗算 (または除算) できます。
- ベクトルは互いに乗算できます
これらすべての操作は非常に明確な幾何学的表現を持っています。 たとえば、足し算と引き算の三角形 (または平行四辺形) ルールは次のとおりです。
ベクトルは、数値を乗算または除算すると、伸びたり縮んだり、方向を変えたりします。
ただし、ここでは座標がどうなるかという問題に興味があります。
1. 2 つのベクトルを加算 (減算) する場合、それらの座標を要素ごとに加算 (減算) します。 あれは：
2. ベクトルを数値で乗算 (除算) する場合、そのすべての座標がこの数値で乗算 (除算) されます。
例えば：
· co-or-di-nat Century-to-RAの量を求めます。
まず各ベクトルの座標を見つけてみましょう。 両方とも同じ原点、つまり原点を持っています。 それらの目的は異なります。 それから、 。 次に、ベクトルの座標を計算してみましょう。結果のベクトルの座標の合計は等しくなります。
答え：
次の問題を自分で解決してください。
· ベクトル座標の和を求める
私たちは以下をチェックします:
ここで次の問題を考えてみましょう。座標平面上に 2 つの点があります。 それらの間の距離を見つけるにはどうすればよいですか? 最初の点を次の点としましょう。 それらの間の距離を で表しましょう。 わかりやすくするために次の図を作成してみましょう。
私が何をしてしまったのか？ まず点を結び、さらにその点から軸に平行な線を引き、その点から軸に平行な線を引きます。 それらはある点で交差し、注目すべき図形を形成したのでしょうか？ 彼女の何がそんなに特別なのでしょうか？ はい、あなたも私もほぼすべてを知っています 直角三角形。 そうですね、確かにピタゴラスの定理ですね。 必要なセグメントはこの三角形の斜辺であり、そのセグメントは脚です。 点の座標は何ですか? はい、図から簡単に見つけることができます。セグメントは軸に平行であるため、それぞれの長さを見つけるのは簡単です。セグメントの長さをそれぞれ で表すと、次のようになります。
ここでピタゴラスの定理を使ってみましょう。 脚の長さがわかっているので、斜辺を見つけます。
したがって、2 点間の距離は、座標との差の二乗和の根になります。 または - 2 つの点の間の距離は、それらを接続する線分の長さになります。 点間の距離が方向に依存しないことが簡単にわかります。 それから：
ここから、次の 3 つの結論が導き出されます。
2 点間の距離の計算について少し練習してみましょう。
たとえば、次の場合、 と の間の距離は次のようになります。
または、別の方法でベクトルの座標を見つけてみましょう。
そしてベクトルの長さを求めます。
ご覧のとおり、同じものです！
では、自分でも少し練習してみましょう。
タスク: 指定された点間の距離を求める:
私たちは以下をチェックします:
少し違うように聞こえますが、同じ公式を使用した問題をさらにいくつか示します。
1. まぶたの長さの二乗を求めます。
2. まぶたの長さの二乗を求めます
問題なく対処できたと思いますか？ 私たちは以下をチェックします:
1. これは注意のためです) ベクトルの座標はすでに見つけています: 。 次に、ベクトルは座標を持ちます。 その長さの二乗は次のようになります。
2. ベクトルの座標を見つける
すると、その長さの二乗は次のようになります。
何も複雑なことはありませんね? 単純な算術、それ以上のものはありません。
以下の問題は明確に分類することはできません。一般的な知識と簡単な絵を描く能力が問われます。
1. 横軸と点を結ぶカットからの角度の正弦を求めます。
そして
ここはどうやって進めばいいのでしょうか？ と軸の間の角度の正弦を見つける必要があります。 正弦はどこで探せばいいのでしょうか？ そう、直角三角形です。 では、何をする必要があるのでしょうか？ この三角形を作ろう！
点の座標は and であるため、セグメントは and セグメントに等しくなります。 角度の正弦を見つける必要があります。 サインは比であることを思い出してください 反対側斜辺まで、そして
私たちには何が残されているのでしょうか？ 斜辺を見つけます。 これを行うには 2 つの方法があります。1 つはピタゴラスの定理を使用する方法 (脚は既知です!)、もう 1 つは 2 点間の距離の公式を使用する方法 (実際には、最初の方法と同じです!) です。 私は 2 番目の方法で行きます。
答え：
次のタスクはさらに簡単に見えるでしょう。 彼女はその点の座標上にいます。
タスク2。その点から、per-pen-di-ku-lyar が ab-cis 軸上に下げられます。 ナイ・ディ・テ・アブ・シス・ス・オス・ノー・ヴァ・ニヤ・ペル・ペン・ディ・ク・ラ・ラ。
絵を描いてみましょう:
垂線の底辺は、x 軸 (軸) と交差する点であり、私にとってこれは点です。 この図は、座標が であることを示しています。 私たちは横座標、つまり「x」成分に興味があります。 彼女は平等だ。
答え： .
タスク3.前の問題の条件で、点から座標軸までの距離の和を求めます。
点から軸までの距離がわかっていれば、このタスクは一般的に初歩的なものです。 あなたが知っている？ そう願っていますが、それでも念を押しておきます。
では、上の図で、そのような垂線を既に描いたでしょうか? どの軸にあるのでしょうか？ 軸へ。 そしてその長さはどれくらいでしょうか？ 彼女は平等だ。 次に、自分で軸に垂線を引き、その長さを求めます。 平等になりますよね？ すると、それらの合計は等しくなります。
答え： .
タスク4。問題2の条件において、横軸に対して点と対称な点の縦軸を求めよ。
対称性が何であるかは直感的に理解できると思います。 多くの建物、テーブル、飛行機、球、円柱、正方形、菱形などの多くの幾何学的形状など、多くの物体にそれがあります。大まかに言えば、対称性は次のように理解できます。図形は 2 つ (またはそれ以上) の同一の半分で構成されています。 この対称性を軸対称といいます。 では軸とは何でしょうか？ これはまさに、相対的に言えば、図を等しい半分に「切断」できる線です (この図では、対称軸は直線です)。
さて、タスクに戻りましょう。 軸に関して対称な点を探していることがわかります。 そして、この軸が対称軸になります。 これは、軸がセグメントを 2 つの等しい部分に分割するように点をマークする必要があることを意味します。 そのような点を自分でマークしてみてください。 次に、私の解決策と比較してください。
あなたにとっても同じようにうまくいきましたか？ 大丈夫！ 見つかった点の座標に興味があります。 平等です
答え：
さて、数秒考えた後、縦軸に対して点 A に対称な点の横軸は何になるでしょうか? あなたの答えは何ですか？ 正解： 。
一般に、ルールは次のように記述できます。
横軸に対して対称な点の座標は次のとおりです。
縦軸に対して対称な点の座標は次のとおりです。
いや、もう完全に怖いですよ タスク: 原点に対して対称な点の座標を求めます。 まずは自分の頭で考えてから、私の絵を見てください！
答え：
今 平行四辺形の問題:
タスク 5: 点が ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma に表示されます。 その点で or-di-を見つけてください。
この問題は、ロジックと座標方法という 2 つの方法で解決できます。 最初に座標法を使用してから、別の方法で解決する方法を説明します。
点の横座標が等しいことは明らかです。 (点から横軸に引いた垂線上にあります)。 座標を見つける必要があります。 私たちの図形が平行四辺形であるという事実を利用しましょう。これはつまり、ということです。 2 点間の距離の公式を使用して、セグメントの長さを求めてみましょう。
点と軸を結ぶ垂線を下げます。 交点を文字で表します。
セグメントの長さは等しい。 (この点については、私たちが議論したところで自分で問題を見つけてください)、次に、ピタゴラスの定理を使用してセグメントの長さを求めます。
セグメントの長さはその縦座標と正確に一致します。
答え： .
別の解決策 (それを説明する図を示します)
解決策の進捗状況:
1. 行動
2. 点の座標と長さを見つけます
3. それを証明してください。
もう一つ セグメントの長さの問題:
三角形の上に点が表示されます。 平行な正中線の長さを求めます。
三角形の中心線は何か覚えていますか? したがって、このタスクはあなたにとって初歩的なものです。 覚えていない場合は、思い出させてください。三角形の中心線は、反対側の中点を結ぶ線です。 それは底辺と平行であり、その半分に等しい。
ベースはセグメントです。 先ほどの長さを調べる必要がありましたが、それは等しいです。 すると、中央の線の長さは半分になり、同じになります。
答え： .
コメント: この問題は別の方法で解決できます。これについては後で説明します。
それまでの間、ここにいくつかの問題があります。練習してください。非常に単純ですが、座標法の使い方が上手になるのに役立ちます。
1. ポイントはトラペションの上部です。 その正中線の長さを求めます。
2. ポイントと外観 ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma。 その点で or-di-を見つけてください。
3. カットした部分と点を結んで長さを求めます。
4. 座標平面上で色付きの図形の後ろの領域を見つけます。
5. na-cha-le ko-or-di-nat を中心とする円が点を通過します。 彼女のラジアスを見つけてください。
6. サークルのディテ・ラ・ディ・アスを見つけて、直角のカについて説明して、何かの頂点にはコーまたはディ・ナがある、あなたはとても責任がある
解決策:
1. 台形の正中線はその底辺の合計の半分に等しいことが知られています。 底は等しい、底。 それから
答え：
2. この問題を解決する最も簡単な方法は、(平行四辺形の規則) に注意することです。 ベクトルの座標を計算することは難しくありません。 ベクトルを追加すると、座標が追加されます。 次に座標があります。 ベクトルの原点はその座標を持つ点であるため、その点もこれらの座標を持ちます。 私たちは縦座標に興味があります。 彼女は平等だ。
答え：
3. 2 点間の距離の公式に従って直ちに行動します。
答え：
4. 写真を見て、影付きの領域が「挟まれている」 2 つの図を教えてください。 2つの正方形の間に挟まれています。 次に、目的の図形の面積は、大きな正方形の面積から小さな正方形の面積を引いたものに等しくなります。 小さな正方形の辺は点を結んだ線分であり、その長さは
すると、小さな正方形の面積は、
大きな正方形でも同じことを行います。その辺は点を結ぶ線分であり、その長さは次のようになります。
すると、大きな正方形の面積は、
次の式を使用して、目的の図形の面積を求めます。
答え：
5. 円が中心として原点を持ち、点を通過する場合、その半径はセグメントの長さに正確に等しくなります (図を作成すると、これがなぜ明白であるかがわかります)。 このセグメントの長さを調べてみましょう。
答え：
長方形に外接する円の半径は、その対角線の半分に等しいことが知られています。 2 つの対角線の長さを調べてみましょう (結局のところ、長方形では対角線は等しいのです!)。
答え：
さて、すべてに対処できましたか？ それを理解するのはそれほど難しくありませんでしたね? ここでのルールは 1 つだけです。それは、視覚的な画像を作成し、そこからすべてのデータを単に「読み取る」ことができることです。
もう残りわずかです。 文字通り、議論したい点があと 2 つあります。
この簡単な問題を解決してみましょう。 ２点とさせていただきます。 セグメントの中点の座標を見つけます。 この問題の解決策は次のとおりです。点を目的の中央にすると、その点の座標が決まります。
あれは： セグメントの中央の座標 = セグメントの端の対応する座標の算術平均。
このルールは非常に単純で、通常は生徒にとって困難を引き起こすことはありません。 どのような問題が発生し、どのように使用されるかを見てみましょう。
1. カットから探したり、探したり、ポイントを接続したり、
2. ポイントは世界トップのようです。 彼の dia-go-na-ley の per-re-se-che-niya を見つけてください。
3. 円の中心を見つけて、abs-cis-su、長方形の ka について記述-san-noy、何かの上部には co-or-di-na-you so-responsibility-but があります。
解決策:
1. 最初の問題は単に古典的なものです。 すぐにセグメントの中央を決定します。 座標があります。 縦軸は等しい。
答え：
2. この四角形は平行四辺形 (ひし形でも!) であることが簡単にわかります。 これは、辺の長さを計算し、互いに比較することで自分で証明できます。 平行四辺形について何を知っていますか? 対角線は交点によって半分に分割されます。 うん！ では、対角線の交点はどこになるでしょうか? これは対角線の真ん中です。 特に対角線を選択します。 この場合、点は座標を持ちます。点の縦座標は次のようになります。
答え：
3. 長方形に外接する円の中心は何と一致しますか? それは対角線の交点と一致します。 長方形の対角線について何を知っていますか? それらは等しく、交点によりそれらは半分に分割されます。 タスクは前のタスクに減らされました。 たとえば、対角線を考えてみましょう。 次に、 が外接円の中心であれば、 は中点になります。 座標を探しています。横座標は等しいです。
答え：
では、自分で少し練習してください。各問題の答えだけを示しますので、自分でテストしてください。
1. 円のディテ・ラ・ディ・アスを見つけて、三角のカについて説明して、何かの頂点にはコー・オア・ディ・ノー・ミスターがある
2. 円の中心を見つけて、三角の点について説明します。その頂点には座標があります。
3. 横軸に接する点を中心とする円はどのようなラジウサでなければなりませんか?
4. 軸とカットからの再切断点を見つけて、その点を接続し、
答え:
すべては成功しましたか？ 本当に期待しています！ さて、最後のひと押しです。 今は特に注意してください。 これから説明する内容は、次のことに直接関係するだけではありません。 単純な作業パート B の座標メソッドに関連していますが、問題 C2 の随所にもあります。
私がまだ守っていない約束はどれですか? 私が導入すると約束したベクトルの操作と、最終的に導入した操作を覚えていますか? 本当に何も忘れていませんか？ 忘れた！ ベクトル乗算の意味を説明するのを忘れていました。
ベクトルとベクトルを乗算するには 2 つの方法があります。 選択した方法に応じて、さまざまな性質のオブジェクトが取得されます。
外積は非常に巧妙に計算されます。 その方法とそれが必要な理由については、次の記事で説明します。 そして今回はスカラー積に焦点を当てます。
計算するには 2 つの方法があります。
ご想像のとおり、結果は同じになるはずです。 それでは、まず最初のメソッドを見てみましょう。
座標による内積
検索: - スカラー積の一般に受け入れられている表記法
計算式は次のとおりです。
つまり、スカラー積 = ベクトル座標の積の和です。
例：
探して
解決：
各ベクトルの座標を見つけてみましょう。
次の式を使用してスカラー積を計算します。
答え：
わかりますか、複雑なことはまったくありません。
さて、それでは自分で試してみてください。
· 何世紀にもわたるスカラー プロジェクトを見つけて、
あなたは管理しましたか？ もしかしたら小さな落とし穴に気づいたでしょうか？ 確認しよう：
前の問題と同様にベクトル座標です。 答え： 。
座標以外に、スカラー積を計算する別の方法があります。つまり、ベクトルの長さとそれらの間の角度の余弦を使用します。
ベクトルとベクトルの間の角度を示します。
つまり、スカラー積は、ベクトルの長さとそれらの間の角度の余弦の積に等しくなります。
最初の公式があり、それははるかに単純で、少なくともその中にコサインが含まれていないのに、なぜこの 2 番目の公式が必要なのでしょうか。 そして、これは、最初と 2 番目の式から、あなたと私がベクトル間の角度を見つける方法を推測できるようにするために必要です。
それでは、ベクトルの長さの公式を覚えてみましょう。
次に、このデータをスカラー積の式に代入すると、次のようになります。
しかし、別の方法では:
それで、あなたと私は何を手に入れましたか？ これで、2 つのベクトル間の角度を計算できる式が完成しました。 簡潔にするために次のように書かれることもあります。
つまり、ベクトル間の角度を計算するアルゴリズムは次のとおりです。
- 座標を介してスカラー積を計算します
- ベクトルの長さを求めて乗算します。
- ポイント 1 の結果をポイント 2 の結果で割ります。
例を使って練習してみましょう:
1. まぶたと間の角度を見つけます。 答えはグラドゥサーで答えてください。
2. 前の問題の条件で、ベクトル間の余弦を求めます。
やってみましょう。最初の問題を解決するのを手伝って、2 番目の問題は自分で解決してみてください。 同意する？ それでは始めましょう!
1. これらのベクトルは私たちの古い友人です。 すでにスカラー積を計算しましたが、それは等しかったです。 それらの座標は次のとおりです: 、 。 次に、それらの長さを求めます。
次に、ベクトル間のコサインを探します。
角度の余弦は何ですか? ここがコーナーです。
答え：
では、2 番目の問題を自分で解いて比較してみましょう。 非常に短い解決策だけを紹介します。
2. 座標があります、座標があります。
ベクトル間の角度を とすると、
答え：
試験問題のパート B でベクトルと座標法に直接関係する問題は非常にまれであることに注意してください。 ただし、C2 の問題の大部分は、座標系を導入することで簡単に解決できます。 したがって、この記事は、複雑な問題を解決するために必要な非常に賢い構造を作成するための基礎であると考えることができます。
座標とベクトル。 平均レベル
あなたと私はコーディネート方法の研究を続けています。 最後の部分では、次のことを可能にする多くの重要な公式を導き出しました。
- ベクトル座標を見つける
- ベクトルの長さを求めます (または、2 点間の距離)
- ベクトルを加算および減算します。 それらを実数で乗算します
- セグメントの中点を見つける
- ベクトルの内積を計算する
- ベクトル間の角度を求める
もちろん、座標方法全体がこの 6 点に当てはまるわけではありません。 これは、大学でよく知ることになる解析幾何学などの科学の基礎となっています。 単一の状態で問題を解決できる基盤を構築したいだけです。 テスト。 パート B のタスクを処理しました。次は、高品質のタスクに移ります。 新しいレベル！ この記事では、座標法に切り替えることが妥当な C2 問題を解決する方法について説明します。 この合理性は、問題で何が求められているか、どのような数値が与えられているかによって決まります。 したがって、次のような質問がある場合は、座標メソッドを使用します。
- 2 つの平面間の角度を求める
- 直線と平面の間の角度を求めます
- 2 本の直線の間の角度を求めます
- 点から平面までの距離を求める
- 点から線までの距離を求める
- 直線から平面までの距離を求める
- 2 本の線の間の距離を求める
問題文で指定された図形が回転体 (球、円柱、円錐など) の場合
座標法に適した数値は次のとおりです。
- 直方体
- ピラミッド（三角形、四角形、六角形）
私の経験からも 座標メソッドを使用するのは不適切です:
- 断面積を求める
- 物体の体積の計算
ただし、調整方法にとって 3 つの「不利な」状況が実際には非常にまれであることにすぐに注意してください。 ほとんどのタスクにおいて、特に 3 次元の構造 (非常に複雑な場合もあります) が苦手な場合には、これが救世主となる可能性があります。
上に挙げた数字は一体何なのでしょうか? それらは、正方形、三角形、円などの平らではなくなり、ボリュームがあります。 したがって、2次元ではなく3次元の座標系を考慮する必要があります。 構築は非常に簡単です。横軸と縦軸に加えて、もう 1 つの軸であるアプリケーション軸を導入します。 図は、それらの相対位置を概略的に示しています。
それらはすべて互いに直交しており、一点で交差します。これを座標の原点と呼びます。 前と同様に、横軸、縦軸 - 、導入された適用軸 - を示します。
以前に平面上の各点が 2 つの数値 (横座標と縦座標) で特徴付けられていた場合、空間内の各点はすでに 3 つの数値 (横座標、縦座標、および応用) で記述されています。 例えば：
したがって、点の横座標は等しく、縦座標は 、アプリケートは です。
点の横座標は、横座標軸への点の投影、縦座標 - 縦軸への点の投影、およびアプリケート - アプリケート軸への点の投影とも呼ばれることもあります。 したがって、点が与えられた場合、座標を持つ点は次のようになります。
平面上への点の投影と呼ばれる
平面上への点の投影と呼ばれる
当然の疑問が生じます。2 次元の場合に導出された式はすべて空間内で有効ですか? 答えは「はい」です。それらは公平で、見た目も同じです。 細かい点については。 それがどれであるかはすでに推測していると思います。 すべての式で、適用軸を担当する項をもう 1 つ追加する必要があります。 つまり。
1. 2 つの点が与えられた場合: 、次のようになります。
- ベクトル座標:
- 2 点間の距離 (またはベクトルの長さ)
- セグメントの中点には座標があります
2. 2 つのベクトルが指定された場合: and の場合:
- それらのスカラー積は次のようになります。
- ベクトル間の角度の余弦は次のようになります。
しかし、宇宙はそれほど単純ではありません。 ご存知のとおり、座標をもう 1 つ追加すると、この空間に「存在する」図形の範囲に大幅な多様性が導入されます。 さらに詳しく説明するには、大まかに言って、直線の「一般化」をいくつか紹介する必要があります。 この「一般化」が平面になります。 飛行機について何を知っていますか? 飛行機とは何ですか?という質問に答えてみてください。 言うのはとても難しいです。 しかし、私たちは皆、それがどのようなものかを直感的に想像します。
ざっくり言うと、これは空間に突き刺さった無限の「シート」のようなものです。 「無限大」とは、平面が全方向に広がること、つまりその面積が無限大に等しいことを意味します。 しかし、この「実践的な」説明では、飛行機の構造についてはまったく理解できません。 そして、私たちに興味を持っているのは彼女です。
幾何学の基本的な公理の 1 つを思い出してみましょう。
- 直線は平面上の 2 つの異なる点を通過しますが、その点は 1 つだけです。
または、宇宙におけるその類似物:
もちろん、指定された 2 つの点から直線の方程式を導き出す方法は覚えていますが、それはまったく難しいことではありません。最初の点に座標があり、2 番目の点の座標がある場合、直線の方程式は次のようになります。
あなたはこれを7年生で受けました。 空間では、直線の方程式は次のようになります。 座標を持つ 2 つの点が与えられるとします。すると、それらを通過する直線の方程式は次の形式になります。
たとえば、線は点を通過します。
これはどのように理解すべきでしょうか? これは次のように理解する必要があります。点の座標が次の系を満たす場合、点は直線上にあります。
直線の方程式にはあまり興味がありませんが、まさにその点に注意を払う必要があります。 重要な概念ベクトル直線を指示します。 - 指定された線上またはそれに平行な非ゼロのベクトル。
たとえば、両方のベクトルは直線の方向ベクトルです。 を線上にある点とし、その方向ベクトルをとします。 次に、直線の方程式は次の形式で書くことができます。
もう一度言いますが、直線の方程式にはあまり興味がありませんが、方向ベクトルとは何かをぜひ覚えておいてください。 また： これは、直線上またはそれに平行なゼロ以外のベクトルです。
撤回する 与えられた 3 つの点に基づく平面の方程式もはやそれほど些細なことではなくなり、通常、この問題はコースでは取り上げられません 高校。 しかし無駄だ！ このテクニックは、複雑な問題を解決するために座標法を使用する場合に不可欠です。 しかし、あなたは何か新しいことを学びたいと思っているのではないでしょうか？ さらに、通常は解析幾何学のコースで学習されるテクニックの使用方法をすでに知っていることが判明すると、大学の先生に感銘を与えることができます。 それでは始めましょう。
平面の方程式は、平面上の直線の方程式とあまり変わりません。つまり、次の形式になります。
いくつかの数字（すべてではありません） ゼロに等しい)、および変数、たとえば: など。 ご覧のとおり、平面の方程式は直線 (一次関数) の方程式とそれほど変わりません。 しかし、あなたと私が何を議論したか覚えていますか? 同じ線上にない 3 つの点がある場合、それらから平面の方程式を一意に再構成できると述べました。 しかし、どうやって？ 説明してみます。
平面の方程式は次のとおりです。
そして、点はこの平面に属しているので、各点の座標を平面の方程式に代入すると、正しい恒等性が得られるはずです。
したがって、未知数を含む 3 つの方程式を解く必要があります。 ジレンマ！ ただし、常にそう仮定することができます (これを行うには、で割る必要があります)。 したがって、3 つの未知数を含む 3 つの方程式が得られます。
ただし、このようなシステムを解決するのではなく、そこから生じる謎の式を書き出します。
与えられた 3 つの点を通過する平面の方程式
\[\左| (\begin(配列)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(配列)) \right| = 0\]
停止！ これは何ですか？ とても珍しいモジュールです！ ただし、目の前にあるオブジェクトはモジュールとは何の関係もありません。 このオブジェクトは 3 次行列式と呼ばれます。 今後、平面上の座標の方法を扱うとき、これらと同じ決定要因に頻繁に遭遇することになります。 三次行列式とは何ですか? 奇妙なことに、それは単なる数字です。 どの特定の数値を行列式と比較するのかを理解する必要があります。
まずは 3 次行列式を more で書いてみましょう 一般的な見解:
数字はどこにありますか。 さらに、最初のインデックスは行番号を意味し、インデックスは列番号を意味します。 たとえば、この数値が 2 行目と 3 列目の交点にあることを意味します。 つけてみましょう 次の問題: そのような行列式はどのように正確に計算するのでしょうか? つまり、具体的にどのような数字と比較するのでしょうか。 3 次行列式にはヒューリスティックな (視覚的な) 三角形ルールがあり、次のようになります。
- 主対角線 (左上隅から右下隅まで) の要素の積 主対角線に「垂直」な最初の三角形を形成する要素の積 主対角線に「垂直」な 2 番目の三角形を形成する要素の積主対角線
- 二次対角線 (右上隅から左下隅まで) の要素の積 二次対角線に「垂直」な最初の三角形を形成する要素の積 二次対角線に「垂直」な 2 番目の三角形を形成する要素の積二次対角線
- 次に、行列式は、ステップで取得された値と次の値の差に等しくなります。
これらすべてを数値で書き出すと、次の式が得られます。
ただし、この形式での計算方法を覚える必要はありません。三角形と、何を足して何から何を引くかという考え方を頭の中に入れておくだけで十分です)。
三角形の方法を例で説明してみましょう。
1. 行列式を計算します。
何を追加し、何を減算するかを考えてみましょう。
プラスが付いた用語:
これは主対角線です。要素の積は次と等しいです。
最初の三角形、「主対角線に垂直: 要素の積は次と等しい」
2 番目の三角形、「主対角線に垂直: 要素の積は次と等しい」
3 つの数字を合計します。
マイナスがつく用語
これは側対角線です。要素の積は次と等しいです。
最初の三角形、「二次対角線に垂直: 要素の積は次の値に等しい」
2 番目の三角形、「二次対角線に垂直: 要素の積は次の値に等しい」
3 つの数字を合計します。
あとは、「マイナス」項の合計から「プラス」項の合計を引くだけです。
したがって、
ご覧のとおり、3 次行列式の計算には複雑なことや超自然的なことは何もありません。 三角形について覚えて、算術ミスをしないことが重要です。 今度は自分で計算してみます。
私たちは以下をチェックします:
- 主対角線に垂直な最初の三角形:
- 主対角線に垂直な 2 番目の三角形:
- プラスを含む項の合計:
- 2番目の対角線に垂直な最初の三角形:
- 辺の対角線に垂直な 2 番目の三角形:
- マイナスを含む項の合計:
- プラスを含む項の合計 - マイナスを含む項の合計:
ここにさらにいくつかの決定要因があります。それらの値を自分で計算し、答えと比較してください。
答え:
さて、すべてが一致しましたか？ わかりました。次に進んでください。 問題がある場合、私のアドバイスは次のとおりです。インターネット上には、オンラインで行列式を計算するためのプログラムがたくさんあります。 必要なのは、独自の行列式を考え出し、それを自分で計算し、プログラムが計算したものと比較することだけです。 結果が一致し始めるまで、同様に繰り返します。 この瞬間が訪れるまでにそれほど時間はかからないと確信しています。
さて、与えられた 3 つの点を通過する平面の方程式について話したときに書き出した行列式に戻りましょう。
必要なのは、その値を直接 (三角法を使用して) 計算し、結果をゼロに設定することだけです。 当然、これらは変数であるため、変数に応じた式が得られます。 この式は、同じ直線上にない 3 つの与えられた点を通過する平面の方程式になります。
これを簡単な例で説明してみましょう。
1. 点を通過する平面の方程式を作成します。
これら 3 つの点の決定要因をコンパイルします。
単純化してみましょう:
ここで、三角定規を使用して直接計算します。
\[(\left| (\begin(配列)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(配列)) \ right| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]
したがって、点を通過する平面の方程式は次のようになります。
次に、1 つの問題を自分で解決してみて、それについて話し合います。
2. 点を通る平面の方程式を求めます。
それでは、解決策について説明しましょう。
行列式を作成しましょう:
そしてその値を計算します。
この場合、平面の方程式は次の形式になります。
または、 で削減すると、次のようになります。
ここで自制のための 2 つのタスクを実行します。
- 3 点を通過する平面の方程式を作成します。
答え:
すべてが一致しましたか？ 繰り返しますが、特定の困難がある場合の私のアドバイスは次のとおりです。頭から 3 つの点を取り出し (高い確率でそれらは同じ直線上にありません)、それらに基づいて平面を構築します。 そして、オンラインで自分自身をチェックします。 たとえば、サイトでは次のようになります。
ただし、行列式の助けを借りて、平面の方程式を構築するだけではありません。 ベクトルに対して定義されるのは内積だけではないことをお話しました。 ベクター製品や混合製品もあります。 2 つのベクトルのスカラー積が数値の場合、2 つのベクトルのベクトル積はベクトルになり、このベクトルは指定されたベクトルに垂直になります。
さらに、そのモジュールはベクトルと上に構築された平行四辺形の面積に等しくなります。 点から線までの距離を計算するには、このベクトルが必要になります。 どうすれば数えられるでしょうか？ ベクトル積ベクトル、そしてその座標が与えられている場合は? 三次行列式が再び役に立ちます。 ただし、ベクトル積を計算するアルゴリズムに進む前に、少し余談をしておく必要があります。
この脱線は基底ベクトルに関するものです。
それらを図に模式的に示します。
なぜベーシックと呼ばれているのだと思いますか? 事実は次のとおりです。
または写真で:
この式の妥当性は次の理由から明らかです。
ベクターアートワーク
これで、外積の導入を開始できます。
2 つのベクトルのベクトル積はベクトルであり、次の規則に従って計算されます。
外積を計算する例をいくつか挙げてみましょう。
例 1: ベクトルの外積を求めます。
解決策: 私は決定要因を考えます:
そして私はそれを計算します:
基底ベクトルの記述から、通常のベクトル表記に戻ります。
したがって：
さあ、試してみましょう。
準備ができて？ 私たちは以下をチェックします:
そして伝統的に2つ 制御のためのタスク:
- 次のベクトルのベクトル積を求めます。
- 次のベクトルのベクトル積を求めます。
答え:
3 つのベクトルの混合積
必要となる最後の構築は、3 つのベクトルの混合積です。 スカラーと同様に、それは数値です。 計算方法は 2 つあります。 - 決定要因を介して、 - 混合生成物を介して。
つまり、次の 3 つのベクトルが与えられるとします。
次に、 で示される 3 つのベクトルの混合積は、次のように計算できます。
1. - つまり、混合積は、1 つのベクトルのスカラー積と、他の 2 つのベクトルのベクトル積です。
たとえば、3 つのベクトルの混合積は次のようになります。
ベクトル積を使用して自分で計算して、結果が一致することを確認してください。
そしてもう一度 - 2つの例 独立した決定:
答え:
座標系の選択
さて、これで、複雑な立体幾何学問題を解決するために必要な知識の基礎がすべて揃いました。 ただし、それらを解決するための例とアルゴリズムに直接進む前に、次の質問について検討することが役立つと思います。 特定の図形の座標系を選択します。結局のところ、計算がどれほど面倒になるかを最終的に決定するのは、座標系と空間内の図形の相対位置の選択です。
このセクションでは次の図を考慮することに注意してください。
- 直方体
- 直角柱（三角柱、六角柱…）
- ピラミッド（三角形、四角形）
- 四面体（三角錐と同じ）
直方体または立方体の場合は、次の構築をお勧めします。
つまり、フィギュアを「隅」に配置します。 立方体や直方体はとても 良い数字。 彼らにとって、頂点の座標はいつでも簡単に見つけることができます。 たとえば、(図に示すように)
この場合、頂点の座標は次のようになります。
もちろん、これを覚える必要はありませんが、立方体や直方体の最適な配置方法を覚えておくことをお勧めします。
直進プリズム
プリズムはさらに有害な存在です。 さまざまな方法で空間に配置できます。 ただし、次のオプションが最も受け入れられるように思えます。
三角柱：
つまり、三角形の辺の 1 つを完全に軸上に配置し、頂点の 1 つが座標の原点と一致します。
六角柱：
つまり、頂点の 1 つは原点と一致し、辺の 1 つは軸上にあります。
四角錐と六角錐：
この状況は立方体と似ています。底面の 2 つの辺を座標軸に合わせ、頂点の 1 つを座標の原点に合わせます。 唯一のわずかな困難は、点の座標を計算することです。
六角錐の場合 - 六角柱の場合と同じです。 主なタスクは、やはり頂点の座標を見つけることです。
四面体（三角錐）
この状況は、三角柱の場合に示した状況と非常によく似ています。つまり、1 つの頂点が原点と一致し、もう 1 つの側面が座標軸上にあります。
さて、あなたと私はいよいよ問題の解決に着手するところまで来ました。 記事の冒頭で述べたことから、次の結論を導き出すことができます。ほとんどの C2 問題は、角度の問題と距離の問題の 2 つのカテゴリに分類されます。 まず、角度を求める問題を見ていきます。 これらは、(複雑さが増すにつれて) 次のカテゴリに分類されます。
角度を求める問題
- 2 本の直線間の角度を求める
- 2 つの平面間の角度を求める
これらの問題を順番に見てみましょう。まず 2 つの直線間の角度を求めます。 さて、覚えておいてください、あなたと私は以前に同様の例を解いたことがありませんか? 覚えていますか、似たようなものがすでにありました...私たちは 2 つのベクトルの間の角度を探していました。 2 つのベクトルが与えられた場合、それらの間の角度は次の関係から求められます。
ここでの目標は、2 つの直線の間の角度を見つけることです。 「平面図」を見てみましょう。
2本の直線が交差したときの角度はいくつでしょうか? ほんの少しだけ。 確かに、それらのうち 2 つだけが等しくありませんが、他のものはそれらに対して垂直です (したがって、それらと一致します)。 では、2 つの直線の間の角度はどちらの角度を考慮すべきでしょうか。それとも? ここでのルールは次のとおりです。 2 つの直線の間の角度は常に度以下です。 つまり、2 つの角度から常に最小度数の角度を選択します。 つまり、この図では 2 本の直線間の角度は等しいということです。 2 つの角度のうち最小のものを毎回見つける手間を省くために、狡猾な数学者は係数を使用することを提案しました。 したがって、2 つの直線間の角度は次の式で求められます。
注意深い読者であるあなたは、角度の余弦を計算するために必要な数値を正確にどこで入手するのでしょうか?という疑問を抱いたはずです。 答え: 線の方向ベクトルからそれらを取得します。 したがって、2 つの直線の間の角度を求めるアルゴリズムは次のようになります。
- 式 1 を適用します。
またはもっと詳しく言うと:
- 最初の直線の方向ベクトルの座標を探しています。
- 2番目の直線の方向ベクトルの座標を探しています
- スカラー積の係数を計算します。
- 最初のベクトルの長さを探しています
- 2 番目のベクトルの長さを探しています
- ポイント 4 の結果とポイント 5 の結果を掛けます。
- ポイント 3 の結果をポイント 6 の結果で割ります。線間の角度の余弦を求めます。
- この結果により角度を正確に計算できる場合は、角度を探します。
- それ以外の場合は逆余弦で書き込みます
さて、問題に移るときが来ました。最初の 2 つの解決策を詳しく説明し、別の問題の解決策を後で説明します。 簡単に言うと、最後の 2 つの問題については答えのみを示します。計算はすべて自分で行う必要があります。
タスク:
1. 右側のテトラエドレで、テトラエドラの高さと中央の辺の間の角度を見つけます。
2. 右側の 6 隅のピラミデで、100 個のオス ノ ヴァ ニヤが等しく、辺も等しいので、線と線の間の角度を求めます。
3. 右側の 4 つの石炭のピラミディのすべての辺の長さは互いに等しい。 直線間の角度を見つけます。カットから見た場合、指定されたピラミディの場合、ポイントはそのボコ第 2 リブ上にあります。
4. 立方体の端に点があるので、直線と直線の間の角度を見つけます。
5. 立方体の端にある点 - 直線と直線の間の角度を見つけます。
この順序でタスクを並べたのは偶然ではありません。 あなたはまだ座標法の操作を始めていませんが、最も「問題のある」図形は私自身が分析し、最も単純な立方体についてはあなたに任せておきます。 徐々にすべての図の操作方法を学ぶ必要がありますが、トピックごとにタスクの複雑さを増していきます。
問題の解決を始めましょう:
1. 四面体を描画し、前に提案したように座標系に配置します。 正四面体は正四面体なので、すべての面（底辺を含む）は正三角形です。 辺の長さは与えられていないので、等しいとみなすことができます。 角度は実際には四面体がどれだけ「伸ばされているか」に依存しないことが理解できたと思います。 四面体の高さと中央値も描きます。 途中で、そのベースを描きます（これは私たちにとっても役立ちます）。
と の間の角度を見つける必要があります。 私たちは何を知っているのでしょうか？ 私たちが知っているのは点の座標だけです。 これは、点の座標を見つける必要があることを意味します。 ここで、点とは三角形の高さ (または二等分線または中央線) の交点であると考えます。 そしてポイントは盛り上がったポイントです。 ポイントはセグメントの中央です。 次に、最後に点の座標を見つける必要があります。
最も単純なもの、つまり点の座標から始めましょう。 図を見てください: 点の適用がゼロに等しい (点が平面上にある) ことは明らかです。 その縦軸は等しい（中央値であるため）。 横軸を見つけるのはさらに困難です。 ただし、これはピタゴラスの定理に基づいて簡単に行うことができます。三角形を考えてみましょう。 その斜辺が等しく、その脚の 1 つが等しい場合、次のようになります。
最後に次のようになります。
次に、点の座標を見つけてみましょう。 その applicate が再びゼロに等しく、その縦座標が点の縦座標と同じであることは明らかです。 その横軸を求めてみましょう。 覚えていれば、これは非常に簡単に実行できます ハイツ 正三角形交点は比例分割されます、上から数えて。 次のとおりであるため、セグメントの長さに等しい点の必要な横座標は次のようになります。 したがって、点の座標は次のようになります。
点の座標を求めてみましょう。 その横座標と縦座標が点の横座標と縦座標と一致していることは明らかです。 そして、applicate はセグメントの長さに等しくなります。 - これは三角形の足の 1 つです。 三角形の斜辺はセグメント、つまり脚です。 それは私が太字で強調した理由によって求められています。
ポイントはセグメントの中央です。 次に、セグメントの中点の座標の公式を覚えておく必要があります。
これで、方向ベクトルの座標を探すことができます。
さて、すべての準備が整いました。すべてのデータを式に代入します。
したがって、
答え：
このような「恐ろしい」答えに怯える必要はありません。C2 タスクではこれが一般的な方法です。 むしろ、この部分の「美しい」答えに驚きたいと思います。 また、お気づきのとおり、私はピタゴラスの定理と正三角形の高度の性質以外にはほとんど頼っていません。 つまり、立体測定の問題を解決するために、最小限の立体測定を使用しました。 この利点は、かなり面倒な計算によって部分的に「消失」します。 しかし、それらは非常にアルゴリズム的です。
2. 正六角錐とその底辺を座標系とともに描いてみましょう。
線と線の間の角度を見つける必要があります。 したがって、私たちの仕事は、点の座標を見つけることになります。 小さな図面を使用して最後の 3 つの座標を見つけ、点の座標を通じて頂点の座標を見つけます。 やるべきことはたくさんありますが、まずは始めましょう!
a) 座標: その適用範囲と座標がゼロに等しいことは明らかです。 横軸を求めてみましょう。 これを行うには、直角三角形を考えてみましょう。 残念ながら、この中で私たちは斜辺、つまり等しいことしか知りません。 脚を見つけようとします (脚の長さを 2 倍にすると点の横座標が得られるのは明らかです)。 どうやって探せばいいのでしょうか？ ピラミッドの底辺にどのような図形があるかを思い出してみましょう。 これは正六角形です。 それはどういう意味ですか？ これは、すべての辺とすべての角度が等しいことを意味します。 私たちはそのような角度を見つける必要があります。 何か案は？ アイデアはたくさんありますが、公式があります。
正n角形の角度の合計は次のようになります。 .
したがって、正六角形の角度の合計は度に等しくなります。 この場合、それぞれの角度は次と等しくなります。
もう一度写真を見てみましょう。 セグメントが角度の二等分線であることは明らかです。 この場合、角度は度に等しくなります。 それから：
ではどこから。
したがって、座標があります
b) これで、点の座標を簡単に見つけることができます。
c) 点の座標を見つけます。 横軸はセグメントの長さと一致するため、等しくなります。 縦座標を見つけることもそれほど難しくありません。点を結び、直線の交点をたとえば のように指定すると、次のようになります。 （簡単な構造を自分で行います）。 したがって、点 B の縦座標はセグメントの長さの合計に等しくなります。 もう一度三角形を見てみましょう。 それから
その後、点は座標を持ちます
d) 次に、点の座標を見つけてみましょう。 長方形を考えて、次のことを証明してください。 したがって、点の座標は次のようになります。
e) 頂点の座標を見つけることが残っています。 その横座標と縦座標が点の横座標と縦座標と一致していることは明らかです。 アプリを探してみましょう。 それ以来。 直角三角形を考えてみましょう。 問題の条件によると、サイドエッジ。 これは私の三角形の斜辺です。 するとピラミッドの高さは脚の高さになります。
次に、点には次の座標があります。
これで、興味のあるすべての点の座標がわかりました。 直線の方向ベクトルの座標を探しています。
これらのベクトルの間の角度を探します。
答え：
繰り返しになりますが、この問題を解く際に、正 n 角形の角度の合計の公式と、直角三角形のコサインとサインの定義以外の高度なテクニックは使用しませんでした。
3. ここでもピラミッドの辺の長さが与えられていないので、数えてみます。 1に等しい。 したがって、側面だけでなくすべての辺が互いに等しいため、ピラミッドの底面と私には正方形があり、側面は正三角形になります。 問題のテキストに示されているすべてのデータに注目して、このようなピラミッドとその底面を平面上に描画してみましょう。
と の間の角度を探しています。 点の座標を検索するときは、非常に簡単な計算を行います。 それらを「解読」する必要があります。
b) - セグメントの中央。 その座標:
c) 三角形のピタゴラスの定理を使って線分の長さを求めます。 三角形のピタゴラスの定理を使って求めることができます。
座標:
d) - セグメントの中央。 その座標は
e) ベクトル座標
f) ベクトル座標
g) 角度を探す:
立方体は最も単純な図形です。 きっと自分で解決できると思います。 問題 4 と 5 の答えは次のとおりです。
直線と平面の間の角度を求める
さて、単純なパズルの時間は終わりました。 例はさらに複雑になります。 線と平面の間の角度を見つけるには、次のように進めます。
- 3 つの点を使用して、平面の方程式を構築します。
,
三次行列式を使用します。 - 2 つの点を使用して、直線の方向ベクトルの座標を探します。
- 次の公式を適用して、直線と平面の間の角度を計算します。
ご覧のとおり、この式は 2 つの直線の間の角度を求めるために使用した式と非常によく似ています。 右側の構造は単純に同じで、左側では以前のコサインではなくサインを探しています。 さて、厄介なアクションが 1 つ追加されました - 平面の方程式を検索するというものです。
先延ばしにしないようにしましょう 解決策の例:
1. メインだがヴァニームの直接プリズム、つまり私たちは等しい対貧しい三角形です。 直線と平面の間の角度を求めます
2. 西から見た長方形のパラル・ル・ル・ピ・ペ・デで、直線と平面の間の角度を見つけます
3. 直角六隅のプリズムでは、すべての辺が等しいです。 直線と平面の間の角度を求めます。
4. 既知の肋骨のオス・ノ・ヴァ・ニエムのある右三角形のピ・ラ・ミ・デで、灰色の部分を通る、底面が平らでまっすぐな角を見つけます。肋骨と
5. 頂点をもつ直角四角形パイラミディのすべての辺の長さは等しい。 点がピラミディの端の側にある場合、直線と平面の間の角度を見つけます。
繰り返しますが、最初の 2 つの問題は詳しく解決し、3 つ目は簡単に解決します。最後の 2 つは自分で解決してください。 また、三角錐と四角錐はすでに扱っていますが、角柱はまだ扱っていません。
解決策:
1. プリズムとその底面を描いてみましょう。 これを座標系と組み合わせて、問題ステートメントで指定されているすべてのデータに注目してみましょう。
比率に準拠していない点があったことをお詫びしますが、問題を解決するためには、これは実際にはそれほど重要ではありません。 平面は単に私のプリズムの「後壁」です。 このような平面の方程式は次の形式になると単純に推測するだけで十分です。
ただし、これは次のように直接示すことができます。
この平面上の任意の 3 点を選択してみましょう。たとえば、 です。
平面の方程式を作成しましょう。
演習: この行列式を自分で計算してください。 成功しましたか？ この場合、平面の方程式は次のようになります。
あるいは単に
したがって、
この例を解決するには、直線の方向ベクトルの座標を見つける必要があります。 点は座標の原点に一致しているので、ベクトルの座標は単純に点の座標に一致しますが、そのためにはまず点の座標を求めます。
これを行うには、三角形を考えてみましょう。 頂点からの高さ (中央値や二等分線とも呼ばれます) を描きましょう。 したがって、点の縦座標は に等しい。 この点の横座標を見つけるには、セグメントの長さを計算する必要があります。 ピタゴラスの定理によれば、次のようになります。
次に、点には次の座標があります。
ドットは「盛り上がった」ドットです。
この場合、ベクトル座標は次のようになります。
答え：
ご覧のとおり、このような問題を解決するとき、基本的に難しいことは何もありません。 実際には、プリズムなどの図形の「直線性」によってプロセスがもう少し簡略化されます。 次の例に進みましょう。
2. 直方体を描き、その中に平面と直線を描き、さらにその下底を個別に描きます。
まず、平面の方程式、つまりその中にある 3 点の座標を求めます。
(最初の 2 つの座標は明白な方法で取得され、最後の座標は画像からポイントに簡単に見つけることができます)。 次に、平面の方程式を作成します。
計算します:
誘導ベクトルの座標を探しています。その座標が点の座標と一致しているのは明らかですよね。 座標を見つけるにはどうすればよいですか? これらは、適用軸に沿って 1 つ上げられた点の座標です。 。 次に、目的の角度を探します。
答え：
3. 正六角錐を描き、その中に平面と直線を描きます。
ここでは、この問題を解決することは言うまでもなく、平面を描くことさえ問題になりますが、座標方法は関係ありません。 その多用途性が主な利点です。
平面は 3 つの点を通過します。 私たちは彼らの座標を探しています:
1) 。 最後の 2 点の座標を自分で見つけてください。 これには六角錐の問題を解く必要があります。
2) 平面の方程式を構築します。
ベクトルの座標を探しています: 。 （三角錐問題をもう一度見てください！）
3) 角度を探す:
答え：
ご覧のとおり、これらのタスクには超自然的に難しいことは何もありません。 ただ根元には細心の注意が必要です。 最後の 2 つの問題のみに答えます。
ご覧のとおり、問題を解決するためのテクニックはどこでも同じです。主なタスクは、頂点の座標を見つけて特定の式に代入することです。 角度を計算するために、さらにもう 1 つのクラスの問題を考慮する必要があります。
2 つの平面間の角度の計算
解決アルゴリズムは次のようになります。
- 3 つの点を使用して、最初の平面の方程式を求めます。
- 他の 3 つの点を使用して、2 番目の平面の方程式を求めます。
- 次の式を適用します。
ご覧のとおり、この公式は前の 2 つの公式と非常によく似ており、これを利用して直線間の角度、および直線と平面間の角度を求めました。 したがって、これを覚えるのは難しくありません。 タスクの分析に進みましょう。
1. 直角三角柱の底面の辺は等しく、側面の対角も等しい。 平面とプリズムの軸の平面との間の角度を見つけます。
2. すべての辺が等しい右の四隅のピラミデで、ペンディクの点を通る平面と平面の骨の間の角度の正弦を求めます。嘘つきだけどストレート。
3. 正四隅角柱は、底辺の辺が等しく、辺の辺も等しい。 端にフロム・メー・チェ・オンという点があります。 平面間の角度を見つけて、
4. 直角柱では、底辺の辺は等しく、辺の辺も等しい。 点から端に点があるので、平面とのなす角を求めます。
5. 立方体で、平面と平面の間の角度の余弦を求めます。
問題の解決策:
1. 正三角柱 (底辺が正三角形) を描き、その上に問題文に現れる平面をマークします。
2 つの平面の方程式を見つける必要があります。基底の方程式は自明です。3 つの点を使用して対応する行列式を作成できますが、すぐに方程式を作成します。
ここで方程式を見つけてみましょう。 Point は座標 Point を持ちます。 は三角形の中央値と高度なので、三角形のピタゴラスの定理を使用して簡単に見つけることができます。 次に、点は座標を持ちます: 点の適用対象を見つけましょう。これを行うには、直角三角形を考えてください。
次に、次の座標を取得します。 平面の方程式を作成します。
平面間の角度を計算します。
答え：
2. 図面の作成:
最も難しいのは、この点を垂直に通過するこの謎の飛行機がどのようなものであるかを理解することです。 さて、肝心なことは、それは何ですか？ 主なことは注意力です！ 実際、この線は垂直です。 直線も垂直です。 この場合、これら 2 つの直線を通る平面は直線に対して垂直になり、ちなみに点を通過します。 この平面はピラミッドの頂上も通過します。 それから希望の飛行機 - そしてその飛行機はすでに私たちに与えられています。 点の座標を探しています。
点を介して点の座標を見つけます。 小さな画像から、点の座標は次のようになることが容易に推測できます。ピラミッドの頂点の座標を見つけるには、何が残っているでしょうか? 高さも計算する必要があります。 これは、同じピタゴラスの定理を使用して行われます。まず、それを証明します (底辺で正方形を形成する小さな三角形から自明のこと)。 条件によると、次のようになります。
これですべての準備が整いました: 頂点座標:
平面の方程式を作成します。
あなたはすでに行列式の計算の専門家です。 問題なく、次のものを受け取ることができます。
またはそうでない場合 (両辺に 2 の根を掛ける場合)
次に、平面の方程式を求めてみましょう。
(平面方程式の求め方を忘れたわけではありませんよね? このマイナス 1 がどこから来たのか理解できない場合は、平面の方程式の定義に戻ってください! それは、その前にいつも判明しただけです私の飛行機は座標の原点に属していました!)
行列式を計算します。
(平面の方程式が点を通る直線の方程式と一致していることに気づくかもしれません。その理由を考えてください!)
次に、角度を計算してみましょう。
正弦を見つける必要があります。
答え：
3. ひっかけ問題：直角柱って何だと思いますか？ これはまさにあなたがよく知っている直方体です。 早速絵を描いてみましょう！ ベースを個別に描く必要さえありません。ここではあまり役に立ちません。
前に述べたように、平面は方程式の形式で記述されます。
では、平面を作成しましょう
すぐに平面の方程式を作成します。
角度を探しています:
最後の 2 つの問題に対する答えは次のとおりです。
さて、今は少し休憩するときです。あなたも私も素晴らしく、素晴らしい仕事をしてきたからです。
座標とベクトル。 上級レベル
この記事では、座標法を使用して解決できる別のクラスの問題、つまり距離計算問題について説明します。 つまり、次の場合を考えます。
- 交差する線間の距離の計算。
これらの課題を難易度の高い順に並べました。 最も見つけやすいことが判明しました 点から面までの距離、そして最も難しいのは見つけることです 交差する線間の距離。 もちろん、不可能なことはありません。 先延ばしにせず、すぐに最初のクラスの問題の検討に進みましょう。
点から平面までの距離を計算する
この問題を解決するには何が必要でしょうか?
1. 点座標
したがって、必要なデータをすべて受信したらすぐに、次の式を適用します。
最後の部分で説明した以前の問題から、平面の方程式をどのように構築するかはすでに知っているはずです。 早速タスクに取り掛かりましょう。 スキームは次のとおりです。 1、2 - 決定をお手伝いします。詳細については、3、4 - 答えだけを示します。解決策を自分で実行して比較します。 はじめましょう！
タスク:
1. 立方体が与えられます。 立方体の辺の長さは等しい。 セーレディーナの切り口から平面までの距離を求めます
2. 右の 4 つの石炭 pi-ra-mi-yes を考えると、辺の辺は底辺に等しい。 エッジ上の点から平面までの距離を求めます。
3. オス・ノ・ヴァ・ニエムのある直角三角形のピ・ラ・ミ・デでは、辺が等しく、オス・ノ・ヴァ・ニエムの百ロも等しい。 頂上から平面までの距離を求めます。
4. 正六角柱では、すべての辺が等しい。 点から平面までの距離を求めます。
解決策:
1. 単一のエッジを持つ立方体を描き、セグメントと平面を作成し、セグメントの中央を文字で示します
.
まず、点の座標を見つけるという簡単なことから始めましょう。 それ以来 (セグメントの中央の座標を覚えておいてください!)
次に、3 つの点を使用して平面の方程式を作成します。
\[\左| (\begin(配列)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(配列)) \right| = 0\]
これで、距離を求め始めることができます。
2. すべてのデータをマークした図面から再開します。
ピラミッドの場合は、その底辺を個別に描画すると便利です。
たとえ私が前足で鶏のように絵を描いたとしても、この問題を簡単に解決することはできます。
点の座標を見つけるのが簡単になりました
点の座標なので、
2. 点 a の座標はセグメントの中央であるため、次のようになります。
問題なく、平面上のさらに 2 つの点の座標を見つけることができたので、平面の方程式を作成して簡略化します。
\[\左| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(配列)) \right|) \right| = 0\]
点の座標は であるため、距離を計算します。
答え (非常にまれです!):
さて、わかりましたか？ ここでの内容はすべて、前のパートで説明した例と同様に技術的なものであるように思えます。 ですから、その内容をマスターしていれば、残りの 2 つの問題を解くのは難しくないと思います。 答えだけをお伝えします。
直線から平面までの距離を計算する
実際、ここには何も新しいことはありません。 直線と平面を相互に配置するにはどうすればよいでしょうか? 可能性は 1 つだけです。交差するか、直線が平面に平行であるかです。 直線からこの直線が交差する平面までの距離は何だと思いますか? ここでは、そのような距離がゼロに等しいことが明らかであるように私には思えます。 興味深いケースではありません。
2 番目のケースはさらに厄介です。ここでは距離がすでにゼロではありません。 ただし、線は平面に平行であるため、線の各点はこの平面から等距離になります。
したがって：
これは、私のタスクが以前のタスクに減らされたことを意味します。直線上の任意の点の座標を探し、平面の方程式を探し、点から平面までの距離を計算します。 実際、統一国家試験ではそのような課題は非常にまれです。 なんとか問題を 1 つだけ見つけることができました。その中のデータは、座標法があまり適用できないものでした。
ここで、別の、より重要な問題のクラスに移りましょう。
点から線までの距離を計算する
私たちは何が必要なのか？
1. 距離を求める点の座標:
2. 線上にある任意の点の座標
3. 直線の方向ベクトルの座標
どのような公式を使用するのでしょうか?
この分数の分母が何を意味するかは明らかです。これは直線の方向ベクトルの長さです。 これは非常に難しい分子です。 この式は、ベクトルのベクトル積の係数 (長さ) を意味し、ベクトル積の計算方法は、作業の前の部分で学習しました。 知識をリフレッシュしてください。今すぐに必要になります。
したがって、問題を解決するためのアルゴリズムは次のようになります。
1. 距離を求めたい点の座標を探します。
2. 距離を求める直線上の任意の点の座標を探します。
3. ベクトルを構築する
4. 直線の方向ベクトルを構築する
5. ベクトル積を計算する
6. 結果のベクトルの長さを調べます。
7. 距離を計算します。
やるべきことはたくさんあり、例は非常に複雑になります。 だから今、すべての注意を集中してください！
1. 頂点のある直角三角形のピラミダが与えられます。 ピ・ラ・ミ・ディに基づく百路は平等、あなたも平等です。 灰色の端から直線までの距離を見つけます。ここで、点 と は灰色の端と獣医からの距離です。
2. リブの長さと直角のダメな部分の長さは等しいので、頂点から直線までの距離を求めます。
3. 正六角柱ではすべての辺が等しいので、点から直線までの距離を求めます
解決策:
1. すべてのデータをマークしたきちんとした図面を作成します。
やるべきことはたくさんあります！ まず、何をどのような順序で探すのかを言葉で説明します。
1. 点の座標と
2. 点座標
3. 点の座標と
4. ベクトルの座標と
5. 外積
6. ベクトルの長さ
7. ベクトル積の長さ
8. からの距離
さて、私たちにはこれからたくさんの仕事が待っています！ 袖をまくって挑戦しましょう！
1. ピラミッドの高さの座標を見つけるには、点の座標を知る必要があります。その適用値は 0 であり、その縦座標はその横座標と等しく、その横座標はセグメントの長さに等しくなります。正三角形の場合、ここから頂点から数えて比率で分割します。 最後に、座標を取得しました。
点座標
2. - セグメントの中央
3. - セグメントの中央
セグメントの中点
4.座標
ベクトル座標
5. ベクトル積を計算します。
6. ベクトルの長さ: 置き換える最も簡単な方法は、セグメントを三角形の中線にすることです。これは、セグメントが底辺の半分に等しいことを意味します。 それで。
7. ベクトル積の長さを計算します。
8. 最後に、距離を求めます。
うーん、それです！ 正直に言いますが、この問題は従来の方法 (構築による) を使用して解決した方がはるかに早く解決できます。 しかし、ここではすべてを既成のアルゴリズムに縮小しました。 解決アルゴリズムは理解できたと思いますか? したがって、残りの 2 つの問題はご自身で解決していただきます。 答えを比べてみませんか？
繰り返しますが、これらの問題は、座標法に頼るよりも、構築によって解決する方が簡単 (迅速) です。 私がこの解決方法を示したのは、「何も構築し終えなくても」できる普遍的な方法を示すためだけです。
最後に、最後のクラスの問題を考えてみましょう。
交差する線間の距離の計算
ここで、問題を解決するためのアルゴリズムは前のアルゴリズムと同様になります。 私たちが持っているもの:
3. 1 番目と 2 番目の線の点を接続する任意のベクトル:
線間の距離はどうやって調べるのでしょうか?
式は次のとおりです。
分子は係数です 混合製品(前のパートで紹介しました)、分母は前の式と同じです (直線の方向ベクトルのベクトル積の係数、求めている直線間の距離)。
それを思い出させておきます
それから 距離の式は次のように書き換えることができます。:
これは行列式を行列式で割ったものです。 とはいえ、正直に言うと、ここで冗談を言っている暇はありません。 実際、この式は非常に面倒で、非常に複雑な計算が必要になります。 私だったら、最後の手段としてのみそれに頼るでしょう。
上記の方法を使用していくつかの問題を解決してみましょう。
1. すべての辺が等しい直角三角柱の直線と直線の間の距離を求めます。
2. 直角三角柱を考えると、底面のすべての辺は本体リブを通る断面に等しく、セ・レ・ディ・ウェルリブは正方形になります。 直線間の距離を求めて、
1つ目は私が決めて、それを踏まえて2つ目はあなたが決めるのです！
1. プリズムを描いて直線をマークし、
点Cの座標：そのとき
点座標
ベクトル座標
点座標
ベクトル座標
ベクトル座標
\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(配列)(*(20)(l))(\begin(配列)(*(20)(c))0&1&0\end(配列))\\(\begin(配列)(*(20) (c))0&0&1\end(配列))\\(\begin(配列)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(配列))\end(配列)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]
ベクトル間のベクトル積を計算します。
\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(配列)(l)\begin(配列)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(配列)\\\begin(配列)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(配列)\end(配列) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]
次に、その長さを計算します。
答え：
次に、2 番目のタスクを慎重に完了してみてください。 それに対する答えは次のようになります。
座標とベクトル。 簡単な説明と基本的な公式
ベクトルは有向線分です。 - ベクトルの始まり、 - ベクトルの終わり。
ベクトルは or で表されます。
絶対値ベクトル - ベクトルを表すセグメントの長さ。 として示されます。
ベクトル座標:
,
ここで、ベクトル \displaystyle a の端は です。
ベクトルの合計: 。
ベクトルの積:
ベクトルの内積：
平面の方程式。 平面の方程式はどうやって書くのでしょうか？
飛行機の相互配置。 タスク
空間幾何学は「平面」幾何学ほど複雑ではありません。宇宙への飛行はこの記事から始まります。 このトピックをマスターするには、以下をよく理解する必要があります ベクトルさらに、飛行機の形状についてよく理解しておくことをお勧めします。多くの類似点や類似点があるため、情報がよりよく理解されます。 私の一連のレッスンでは、2D の世界は記事から始まります。 平面上の直線の方程式。 しかし今、バットマンはフラットテレビの画面を離れ、バイコヌール宇宙基地から飛び立っています。
図面と記号から始めましょう。 概略的には、平面は平行四辺形の形で描くことができ、空間の印象を作り出します。 
平面は無限ですが、私たちが描写できるのはその一部だけです。 実際には、平行四辺形に加えて、楕円形や雲も描かれます。 技術的な理由から、飛行機を正確にこの方法で、正確にこの位置で描写する方が都合がよいのです。 で検討する実際の飛行機 実践例、任意の方法で配置できます。頭の中で図面を手に取り、空間内で回転させて、平面に任意の傾きや角度を与えます。
指定: 飛行機は通常、小さなギリシャ文字で示されますが、これは明らかに飛行機と混同しないためです。 平面上の直線または一緒に 空間内の直線。 私は という文字を使うことに慣れています。 図面では「シグマ」の文字であり、穴ではありません。 とはいえ、穴の空いた飛行機は確かにかなり面白いです。
場合によっては、同じギリシャ文字に下付き文字を付けて平面を指定すると便利です (例: )。
明らかに、平面は 3 つの要素によって一意に決定されます。 いろいろな点、同じ直線上にない。 したがって、飛行機の3文字の指定は、たとえば、飛行機に属する点などによって非常に人気があります。 多くの場合、文字は括弧で囲まれます。 
平面を別の幾何学的図形と混同しないようにするためです。
経験豊富な読者のために私は クイックアクセスメニュー:
- 点と 2 つのベクトルを使用して平面の方程式を作成するにはどうすればよいですか?
- 点と法線ベクトルを使用して平面の方程式を作成するにはどうすればよいですか?
長い待ち時間でも疲れることはありません。
一般的な平面方程式
平面の一般方程式は次の形式になります。ここで、係数は同時にゼロに等しくなりません。
多くの理論的計算と実際的な問題は、通常の正規直交基底と アフィン基底スペース (オイルがオイルの場合は、レッスンに戻ります) ベクトルの線形 (非) 依存性。 ベクトルの基礎）。 簡単にするために、すべてのイベントは正規直交基底とデカルト直交座標系で発生すると仮定します。
空間想像力を少し練習してみましょう。 あなたのものが悪くても大丈夫です。今度はそれを少し発展させてみましょう。 緊張してプレーするにもトレーニングが必要です。
最も一般的なケースでは、数値がゼロに等しくない場合、平面は 3 つの座標軸すべてと交差します。 たとえば、次のようになります。
もう一度繰り返しますが、飛行機はあらゆる方向に無限に進み、私たちが描く機会はその一部だけです。
最も単純な平面の方程式を考えてみましょう。
この方程式をどう理解すればよいでしょうか? 考えてみてください。「X」と「Y」の値がどのような場合でも、「Z」は常にゼロに等しくなります。 これは「ネイティブ」座標面の方程式です。 実際、形式的には、方程式は次のように書き換えることができます。 
ここから、「x」と「y」がどのような値を取るかは気にしないことがはっきりとわかりますが、「z」がゼロに等しいことが重要です。
同じく：
– 座標平面の方程式;
– 座標平面の方程式。
問題を少し複雑にして、平面を考えてみましょう (この段落のここおよび以降では、数値係数がゼロに等しくないことを前提としています)。 方程式を次の形式に書き直してみましょう。 どのように理解すればよいでしょうか？ 「X」は、「Y」と「Z」のどの値に対しても、常に特定の数に等しくなります。 この平面は座標平面と平行です。 たとえば、平面は平面に平行であり、点を通過します。
同じく：
– 座標平面に平行な平面の方程式。
– 座標平面に平行な平面の方程式。
メンバーを追加しましょう: 。 方程式は次のように書き換えることができます。つまり、「zet」は何でも構いません。 それはどういう意味ですか？ 「X」と「Y」は、平面上にある直線を描く関係で結ばれています（調べればわかります） 平面上の直線の方程式?)。 「z」は何でもよいので、この直線は任意の高さで「複製」されます。 したがって、方程式は座標軸に平行な平面を定義します。
同じく：
– 座標軸に平行な平面の方程式。
– 座標軸に平行な平面の方程式。
自由項がゼロの場合、平面は対応する軸を直接通過します。 たとえば、古典的な「直接比例」: 。 平面に直線を引き、それを頭の中で上下に掛け合わせます (「Z」は任意なので)。 結論: 方程式で定義される平面は座標軸を通過します。
復習を完了します: 平面の方程式 
原点を通過します。 さて、ここで、点がこの方程式を満たすことは明らかです。
そして最後に、図に示されているケースは次のとおりです。 – 平面はすべての座標軸と友好的ですが、常に 8 つの八分円のいずれかに位置する三角形を「切断」します。
空間内の線形不等式
情報を理解するにはよく勉強する必要があります 平面内の線形不等式, 多くのことが似てくるからです。 実際には非常にまれな内容であるため、この段落ではいくつかの例を示して簡単に概要を説明します。
方程式が平面を定義する場合、不等式は次のようになります。
聞く 半角スペース。 不等式が厳密でない場合 (リストの最後の 2 つ)、不等式の解には、半空間に加えて、平面自体も含まれます。
例5
平面の単位法線ベクトルを求める 
.
解決: 単位ベクトルとは、長さが 1 のベクトルです。 このベクトルを で表すことにします。 ベクトルが同一線上にあることは明らかです。 
まず、平面の方程式から法線ベクトルを削除します。
単位ベクトルを見つけるにはどうすればよいですか? 単位ベクトルを見つけるには、次のものが必要です。 毎ベクトル座標をベクトルの長さで割ります.
法線ベクトルを次の形式に書き換えて、その長さを調べてみましょう。
上記によれば：
答え: 
検証: 検証が必要なもの。
レッスンの最後の段落を注意深く研究した読者はおそらく次のことに気づいたでしょう。 単位ベクトルの座標は、正確にベクトルの方向余弦です。:
目前の問題から少し休憩しましょう。 任意の非ゼロベクトルが与えられたとき、条件に従って、その方向余弦を見つける必要があります (レッスンの最後の問題を参照してください) ベクトルの内積)、実際には、これと同一線上にある単位ベクトルが見つかります。 実際には 1 つのボトルに 2 つのタスクが含まれています。
数学的解析の一部の問題では、単位法線ベクトルを見つける必要性が生じます。
法線ベクトルを抽出する方法はわかったので、今度は逆の質問に答えてみましょう。
点と法線ベクトルを使用して平面の方程式を作成するにはどうすればよいですか?
法線ベクトルと点のこの厳密な構造はダーツボードではよく知られています。 手を前に伸ばして、空間内の任意の点 (たとえば、サイドボードの小さな猫) を心の中で選択してください。 明らかに、この点を通じて、手に垂直な単一の平面を描くことができます。
ベクトルに垂直な点を通る平面の方程式は次の式で表されます。
設定できます 違う方法(1 つの点とベクトル、2 つの点とベクトル、3 つの点など)。 これを念頭に置いた上で、平面の方程式は次のようになります。 異なる種類。 また、特定の条件に従って、平面は平行、垂直、交差などになることがあります。 この記事ではこれについて説明します。 平面の一般方程式の作り方などを学びます。
方程式の正規形
直交する XYZ 座標系を持つ空間 R 3 があるとします。 最初の点 O から解放されるベクトル α を定義しましょう。ベクトル α の端を通して、それに垂直な平面 P を描きます。
P 上の任意の点を Q = (x, y, z) と表します。 点 Q の動径ベクトルに文字 p を付けてみましょう。 この場合、ベクトル α の長さは、р=IαI および Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ) に等しくなります。
ベクトルαと同様に横向きの単位ベクトルです。 α、β、γ は、それぞれベクトル Ʋ と空間軸 x、y、z の正の方向との間に形成される角度です。 任意の点 QϵП のベクトル Ʋ への射影は、p に等しい定数値です: (p,Ʋ) = p(p≥0)。
上の方程式は、p=0 の場合に意味を成します。 唯一のことは、この場合の平面 P は座標の原点である点 O (α=0) と交差し、点 O から放たれる単位ベクトル Ʋ はその向きに関係なく P に垂直になるということです。ベクトルƲが符号に対して正確に決定されることを意味します。 前述の方程式は、ベクトル形式で表された平面 P の方程式です。 しかし、座標では次のようになります。
ここでの P は 0 以上です。正規形の空間における平面の方程式が見つかりました。
一般式
座標の方程式にゼロ以外の数値を乗算すると、まさにその平面を定義する、これと等価な方程式が得られます。 次のようになります。
ここで、A、B、C は同時にゼロとは異なる数です。 この方程式を一般平面方程式といいます。
平面の方程式。 特殊なケース
一般形式の方程式は、追加の条件が存在する場合に変更できます。 それらのいくつかを見てみましょう。
係数 A が 0 であると仮定します。これは、この平面が指定された Ox 軸に平行であることを意味します。 この場合、方程式の形式は Ву+Cz+D=0 のように変わります。
同様に、方程式の形式は次の条件下で変化します。
- まず、B = 0 の場合、方程式は Ax + Cz + D = 0 に変わり、Oy 軸との平行度を示します。
- 次に、C=0 の場合、方程式は Ax+By+D=0 に変換され、指定された Oz 軸との平行度を示します。
- 第三に、D=0 の場合、方程式は Ax+By+Cz=0 のようになり、平面が O (原点) と交差することを意味します。
- 第 4 に、A=B=0 の場合、方程式は Cz+D=0 に変わり、Oxy と平行であることがわかります。
- 第 5 に、B=C=0 の場合、方程式は Ax+D=0 になります。これは、Oyz に対する平面が平行であることを意味します。
- 第 6 に、A=C=0 の場合、方程式は Ву+D=0 の形式になります。つまり、並列性が Oxz に報告されます。
セグメントの方程式のタイプ
数値 A、B、C、D がゼロではない場合、式 (0) の形式は次のようになります。
x/a + y/b + z/c = 1、
ここで、a = -D/A、b = -D/B、c = -D/C。
この平面は、座標 (a,0,0)、Oy - (0,b,0)、および Oz - (0,0,c) の点で Ox 軸と交差することに注意してください。 ）。
方程式 x/a + y/b + z/c = 1 を考慮すると、特定の座標系に対する平面の配置を視覚的に想像するのは難しくありません。
法線ベクトル座標
平面 P に対する法線ベクトル n には係数となる座標があります。 一般方程式与えられた平面、つまり n (A、B、C) の。
法線 n の座標を決定するには、特定の平面の一般方程式を知るだけで十分です。
x/a + y/b + z/c = 1 の形式を持つ方程式をセグメントで使用するとき、および一般方程式を使用するときは、指定された平面の法線ベクトルの座標を次のように書くことができます。(1 /a+1/b+1/付き）。
法線ベクトルがさまざまな問題の解決に役立つことは注目に値します。 最も一般的なものには、平面の垂直度または平行度を証明する問題、平面間の角度、または平面と直線間の角度を求める問題が含まれます。
点と法線ベクトルの座標に応じた平面方程式の種類
特定の平面に垂直な非ゼロのベクトル n は、特定の平面の法線と呼ばれます。
座標空間 (直交座標系) で Oxyz が与えられると仮定します。
- 座標 (xₒ,yₒ,zₒ) を持つ点 Mₒ;
- ゼロベクトル n=A*i+B*j+C*k。
点 Mₒ を通り法線 n に垂直な平面の方程式を作成する必要があります。
空間内の任意の点を選択し、それを M (x y, z) と表します。 任意の点 M (x,y,z) の半径ベクトルを r=x*i+y*j+z*k とし、点 Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* の半径ベクトルとする。 i+yₒ*j+zₒ*k。 ベクトル MₒM がベクトル n に垂直であれば、点 M は特定の平面に属します。 スカラー積を使用して直交条件を書いてみましょう。
[MₒM, n] = 0。
MₒM = r-rₒ であるため、平面のベクトル方程式は次のようになります。
この方程式は別の形式をとることもできます。 これを行うには、スカラー積の特性が使用され、方程式の左側が変換されます。 = - 。 これを c と表すと、次の方程式が得られます: - c = 0 または = c。これは、平面に属する指定された点の動径ベクトルの法線ベクトルへの投影の恒常性を表します。
これで、平面 = 0 のベクトル方程式を記述する座標形式を取得できます。 r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k、および n = A*i+B *j+С*k の場合、次のようになります。
法線 n に垂直な点を通過する平面の方程式があることがわかります。
A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0。
2 点の座標と平面と同一線上にあるベクトルに基づく平面方程式のタイプ
2 つの任意の点 M' (x',y',z') および M'' (x'',y'',z'') とベクトル a (a',a'',a‴) を定義しましょう。
これで、既存の点 M' と M''、および指定されたベクトル a に平行な座標 (x, y, z) を持つ任意の点 M を通過する指定された平面の方程式を作成できます。
この場合、ベクトル M'M=(x-x';y-y';z-z') および M''M=(x''-x';y''-y';z''-z') は、ベクトルと同一平面上にある必要があります。 a=(a',a'',a‴)、これは (M'M, M''M, a)=0 を意味します。
したがって、空間における平面方程式は次のようになります。
3 点と交差する平面の方程式の種類
同じ直線に属さない 3 つの点 (x′,y′,z′)、(x″,y″,z″)、(x‴,y‴,z‴) があるとします。 与えられた３点を通る平面の方程式を書く必要があります。 幾何学の理論では、この種の平面は実際に存在すると主張していますが、それは唯一のものであり、ユニークです。 この平面は点 (x',y',z') と交差するため、方程式の形式は次のようになります。
ここで、A、B、C は同時にゼロとは異なります。 また、指定された平面はさらに 2 つの点 (x'',y'',z'') と (x‴,y‴,z‴) と交差します。 この点に関して、次の条件を満たす必要があります。
これで、未知数 u、v、w を含む同次系を作成できます。
私たちの中で ケースx、yまたは、z は式 (1) を満たす任意の点として機能します。 方程式 (1) と方程式系 (2) および (3) を考慮すると、上図に示された方程式系はベクトル N (A,B,C) によって満たされますが、これは自明ではありません。 このシステムの行列式がゼロに等しいのはこのためです。
得られた式(1)は平面の方程式です。 正確に3点を通過するので確認しやすいです。 これを行うには、行列式を最初の行の要素に展開する必要があります。 行列式の既存の性質から、平面は最初に与えられた 3 つの点 (x′,y′,z′)、(x″,y″,z″)、(x‴,y‴,z‴) と同時に交差することがわかります。 。 つまり、私たちは自分に割り当てられた課題を解決しました。
平面間の上反角
二面角は空間を表します 幾何学模様、1 本の直線から伸びる 2 つの半平面によって形成されます。 言い換えれば、これはこれらの半平面によって制限される空間の部分です。
次の方程式を持つ 2 つの平面があるとします。
次の式に従って、ベクトル N=(A,B,C) と N¹=(A¹,B¹,C¹) が垂直であることがわかります。 与えられた飛行機。 この点に関して、ベクトル N と N¹ の間の角度 φ は、これらの平面の間に位置する角度 (二面角) に等しくなります。 ドット積の形式は次のとおりです。
NN¹=|N||N¹|cos φ、
まさにそのため
cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²))。
0≤φ≤π を考慮すれば十分です。
実際、交差する 2 つの平面は 2 つの角度 (二面角)、φ 1 と φ 2 を形成します。 それらの合計は π (φ 1 + φ 2 = π) に等しくなります。 それらの余弦は、絶対値が等しいですが、符号が異なります。つまり、cos φ 1 = -cos φ 2 となります。 方程式 (0) で A、B、C をそれぞれ数字 -A、-B、-C に置き換えると、得られる方程式は同じ平面、唯一の平面、方程式 cos の角度 φ を決定します。 φ= NN 1 /| N||N 1 | は π-φ に置き換えられます。
垂直面の方程式
間の角度が 90 度である平面は垂直と呼ばれます。 上に示した材料を使用すると、別の平面に垂直な平面の方程式を見つけることができます。 Ax+By+Cz+D=0 と A¹x+B¹y+C¹z+D=0 の 2 つの平面があるとします。 cosφ=0であれば直交すると言えます。 これは、NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0を意味します。
平行平面の方程式
共通点を含まない 2 つの平面は平行と呼ばれます。
条件 (それらの方程式は前の段落と同じです) は、それらに垂直なベクトル N と N¹ が同一線上にあることです。 これは、次の比例条件が満たされていることを意味します。
A/A¹=B/B¹=C/C¹。
比例条件を拡張すると、A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹、
これは、これらの平面が一致していることを示します。 これは、方程式 Ax+By+Cz+D=0 および A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 が 1 つの平面を表すことを意味します。
点から平面までの距離
方程式 (0) で与えられる平面 P があるとします。 座標(xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒの点からそこまでの距離を求める必要があります。 これを行うには、平面 P の方程式を正規形にする必要があります。
(ρ,v)=р (р≥0)。
この場合、ρ (x,y,z) は P 上にある点 Q の動径ベクトル、p はゼロ点から解放された垂線 P の長さ、v は単位ベクトルで、方向
P に属するある点 Q = (x, y, z) の差 ρ-ρ° 半径ベクトル、および与えられた点 Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) の半径ベクトルもそのようなベクトルです。 v への投影の絶対値は、Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) から P までの距離 d に等しくなります。
D=|(ρ-ρ 0 ,v)| しかし、
(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v)。
それで判明しました
d=|(ρ 0 ,v)-р|。
したがって、結果の式の絶対値、つまり目的の d が見つかります。
パラメーター言語を使用すると、明らかなことがわかります。
d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²)。
もし 設定点 Q 0 は座標の原点のように、平面 P の反対側にあり、したがってベクトル ρ-ρ 0 と v の間に位置します。
d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0。
点 Q 0 が座標の原点とともに P の同じ側に位置する場合、作成される角度は鋭角になります。
d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 ,v)>0。
その結果、最初のケースでは (ρ 0 ,v)>р、2 番目のケースでは (ρ 0 ,v) であることがわかります。<р.
接平面とその方程式
接触点 M° における表面への接平面は、表面上のこの点を通って引かれた曲線へのすべての可能な接線を含む平面です。
このタイプの表面方程式 F(x,y,z)=0 では、接点 M°(x°,y°,z°) における接平面の方程式は次のようになります。
F x (x°,y°,z°)(x- x°)+ F x (x°, y°, z°)(y- y°)+ F x (x°, y°,z°)(z-z°)=0。
明示的な形式 z=f (x,y) でサーフェスを指定すると、接平面は次の方程式で記述されます。
z-z° =f(x°, y°)(x- x°)+f(x°, y°)(y- y°)。
2 つの平面の交点
Oxyz が位置する座標系 (長方形) には、交差して一致しない 2 つの平面 П′ と П″ が与えられます。 直交座標系にある平面は一般方程式によって決定されるため、P' と P'' は式 A'x+B'y+C'z+D'=0 および A''x で与えられると仮定します。 +B”y+С”z+D”=0。 この場合、平面 P' の法線 n' (A',B',C') と平面 P'' の法線 n'' (A'',B'',C'') があります。 私たちの平面は平行ではなく、一致しないため、これらのベクトルは同一線上にありません。 数学の言語を使用すると、この条件は次のように書くことができます: n'≠ n'' ↔ (A',B',C') ≠ (λ*A'',λ*B'',λ*C''), λϵR。 P' と P'' の交点にある直線を文字 a で表すとします。この場合、a = P' ∩ P''。
aは、(共通)平面P'およびP''のすべての点の集合からなる直線です。 これは、線 a に属する任意の点の座標が方程式 A'x+B'y+C'z+D'=0 および A''x+B''y+C''z+D''=0 を同時に満たさなければならないことを意味します。 。 これは、点の座標が次の方程式系の部分解となることを意味します。
その結果、この連立方程式の（一般的な）解法により、P' と P'' の交点となる直線の各点の座標が決まり、直線が決定されることがわかります。空間の Oxyz (直方体) 座標系における a。
同じ線上にない 3 つの与えられた点を通過する平面の方程式を見つける必要があるとします。 それらの半径ベクトルを 、現在の半径ベクトルを で表すと、必要な方程式をベクトル形式で簡単に取得できます。 実際、ベクトルは同一平面上にある必要があります (ベクトルはすべて目的の平面内にあります)。 したがって、これらのベクトルのベクトルとスカラー積はゼロに等しくなければなりません。
これは、指定された 3 つの点を通過する平面の方程式をベクトル形式で表したものです。
座標に移ると、座標の方程式が得られます。
指定された 3 つの点が同じ線上にある場合、ベクトルは同一線上になります。 したがって、式 (18) の行列式の最後の 2 行の対応する要素は比例し、行列式はまったくゼロに等しくなります。 したがって、式 (18) は x、y、z のどの値についても同一になります。 幾何学的に、これは、空間内の各点を介して、指定された 3 つの点が存在する平面を通過することを意味します。
注 1. ベクトルを使用しなくても同じ問題を解くことができます。
与えられた 3 つの点の座標をそれぞれ示し、最初の点を通過する任意の平面の方程式を書きます。
目的の平面の方程式を取得するには、方程式 (17) が他の 2 点の座標によって満たされることを要求する必要があります。
式(19)から、2つの係数と3番目の係数の比を決定し、求められた値を式(17)に入力する必要があります。
例 1. 点を通過する平面の方程式を書きます。
これらの点の最初の点を通過する平面の方程式は次のようになります。
平面 (17) が他の 2 点と最初の点を通過するための条件は次のとおりです。
2 番目の方程式を最初の方程式に追加すると、次のようになります。
2 番目の方程式に代入すると、次のようになります。
式 (17) に A、B、C の代わりに、それぞれ 1、5、-4 (これらに比例する数値) を代入すると、次のようになります。
例 2. 点 (0, 0, 0)、(1, 1, 1)、(2, 2, 2) を通過する平面の方程式を書きます。
点 (0, 0, 0) を通過する任意の平面の方程式は次のようになります。
この平面が点 (1, 1, 1) と (2, 2, 2) を通過するための条件は次のとおりです。
2 番目の方程式を 2 で減らすと、2 つの未知数を決定するには、次の式が 1 つ存在することがわかります。
ここから、 が得られます。 ここで、平面の値を方程式に代入すると、次のことがわかります。
これは目的の平面の方程式です。 それは任意に依存します
量 B、C (つまり、関係から、つまり、3 つの与えられた点を通過する無限の数の平面が存在します (3 つの与えられた点は同じ直線上にあります)。
注 2. 同じ線上にない 3 つの与えられた点を通る平面を描く問題は、行列式を使用すれば一般形式で簡単に解くことができます。 実際、方程式 (17) と (19) では、係数 A、B、C が同時に 0 に等しくなることはありえないため、これらの方程式を 3 つの未知数 A、B、C を持つ均質系と考えると、必要かつ十分な式を書くことができます。ゼロとは異なる、この系の解が存在する条件 (パート 1、第 VI 章、§ 6):
この行列式を最初の行の要素に拡張すると、現在の座標に関する 1 次の方程式が得られます。これは、特に指定された 3 つの点の座標によって満たされます。
後者は、 の代わりにこれらの点の座標を代入して直接検証することもできます。 左側では、最初の行の要素がゼロであるか、または 2 つの同一の行が存在する行列式が得られます。 したがって、構築された方程式は、指定された 3 つの点を通過する平面を表します。
空間内の任意の 3 点を通過して単一の平面を描画するには、これらの点が同じ直線上にないことが必要です。
一般的なデカルト座標系の点 M 1 (x 1, y 1, z 1)、M 2 (x 2, y 2, z 2)、M 3 (x 3, y 3, z 3) を考えてみましょう。
任意の点 M(x, y, z) が点 M 1、M 2、M 3 と同一平面上にあるためには、ベクトルが同一平面上にある必要があります。
定義 2.1.
空間内の 2 本の線が同じ平面上にあり、共通点を持たない場合、それらの線は平行であると呼ばれます。
2 本の線 a と b が平行な場合、面積測定と同様に、|| と書きます。 b. 空間では、線は交差しないように、または平行になるように配置できます。 このケースは立体測定に特化しています。
定義 2.2.
共通点がなく、平行ではない線を「交差」といいます。
定理2.1。
与えられた線の外側の点を介して、与えられた線に平行な線を 1 本だけ引くことができます。
| 平行線の符号 |
| 空間内の 2 つの線が同じ平面上にあり、交差しない場合、それらの線は平行であると呼ばれます。 指定された線の外側の点を介して、この直線に平行な直線を 1 本だけ引くことができます。 このステートメントは、平面内の緯線の公理に帰着します。 定理。 3 番目の直線に平行な 2 つの直線は平行です。 線bとcが線aと平行であるとします。 b || を証明しましょう。 と。 直線a、b、および直線が同一平面上にある場合は面積測定で考慮されますが、ここでは省略します。 a、b、c が同じ平面上にないと仮定します。 しかし、2 本の平行線は同じ平面上にあるので、a と b はその平面内にあり、a b と c もその平面内にあると仮定できます (図 61)。 線 c 上に点 (任意の) M をマークし、線 b と点 M を通して平面を描きます。 彼女、 、 は直線 l で交差します。 直線 l は平面と交差しません。l が交差する場合、その交点は a (a と l が同じ平面内にある) と b (b と l が同じ平面内にある) 上にある必要があるからです。 したがって、1 つの交点 l と は線 a と線 b の両方上になければなりませんが、これは不可能です。 b. したがって、 || 、l || a、l || b. a と l は同じ平面上にあるため、l は (平行性の公理により) 直線 c と一致し、したがって || と一致します。 b. 定理は証明されました。 |
25.直線と平面の間の平行度の記号
定理
平面に属さない線がこの平面内の線と平行である場合、その線は平面自体に平行です。
証拠
α を平面、a をその中にない線、a1 を線 a に平行な α 平面内の線とします。 線aとa1を通る平面α1を描きましょう。 平面αと平面α１は直線ａ１に沿って交差する。 交差する平面 α に直線がある場合、交点は直線 a1 に属します。 しかし、線aとa1は平行なので、これは不可能です。 したがって、線ａは平面αと交わらず、したがって平面αと平行となる。 定理は証明されました。
27.与えられた平面に平行な平面の存在
定理
与えられた平面の外側の点を介して、与えられた平面に平行な平面を 1 つだけ描くことができます。
証拠
この平面 α に、交差する 2 本の線 a と b を描きましょう。 与えられた点 A を通り、それらに平行な線 a1 と b1 を描きます。 直線ａ１、ｂ１を通る平面βは、平面の平行性定理より、平面αと平行である。
別の平面 β1 が点 A を通過し、これも平面 α に平行であるとします。 β1 平面上の、β 平面内にない点 C をマークしましょう。 点 A、C、および平面 α の点 B を通る平面 γ を描きましょう。 この平面は、直線 b、a、c に沿って平面 α、β、β1 と交差します。 線aと線cは平面αと交差しないため、線bと交差しません。 したがって、それらは線bと平行になります。 しかし、γ 平面では、点 A を通過できるのは、線 b に平行な 1 本の線だけです。 それは仮定に反します。 定理は証明されました。
28.平行面の性質番目
29. 
空間内の垂直線。 空間内の 2 本の直線間の角度が 90 度の場合、その直線は垂直と呼ばれます。 c. メートル。 k. k. メートル。 c. k. 交差します。 交配。
| 定理 1 直線と平面の垂直性の符号。 平面と交差する線が、この線と平面の交点を通過するこの平面内の 2 本の線に対して垂直である場合、その線は平面に対して垂直です。 | |
| 証明: 平面内の線 b と線 c に垂直な線を a とします。 次に、直線aは直線bと直線cの交点Aを通過します。 直線aが平面に垂直であることを証明しましょう。 平面内の点 A を通る任意の線 x を描き、それが線 a に垂直であることを示してみましょう。 点Aを通らず、線b、c、xと交わる任意の線を平面上に描きます。 交点を B、C、X とします。線分 AA 1 と AA 2 を、点 A から異なる方向に直線 a 上にプロットします。 線分 AC は定理による高さと作図上の中央値 (AA 1 = AA 2) であるため、三角形 A 1 CA 2 は二等辺です。同じ理由で、三角形 A 1 BA 2 も二等辺です。 したがって、三角形 A 1 BC と A 2 BC は 3 つの辺が等しいことになります。 三角形 A 1 BC と A 2 BC が等しいことから、角度 A 1 BC と A 2 BC は等しいことがわかり、したがって、三角形 A 1 BC と A 2 BC は 2 つの辺とそれらの間の角度が等しいことがわかります。 。 これらの三角形の辺 A 1 X と A 2 X が等しいことから、三角形 A 1 XA 2 は二等辺であると結論付けられます。 したがって、XA の中央値は高さでもあります。 これは、線xがaに垂直であることを意味します。 定義上、直線は平面に対して垂直です。 定理は証明されました。 |
| 定理 2 垂直線と平面の第 1 の性質。 平面が 2 本の平行線の一方に垂直であれば、もう一方にも垂直です。 |  |
| 証明: a 1 と a 2 - 2 を平行線と線 a 1 に垂直な平面とする。 この平面が直線 a 2 に垂直であることを証明しましょう。 直線a 2 と平面の交点A 2 を通り、平面上に任意の直線x 2 を引いてみましょう。 点 A 1 を通る平面内に、線 a 1 と線 x 2 に平行な線 x 1 の交点を描きます。 線ａ １ は平面に対して垂直であるため、線ａ １ とｘ １ は垂直である。 そして、定理 1 より、これらに平行な交線、a 2 と x 2 も垂直になります。 したがって、線ａ ２ は、平面内の任意の線ｘ ２ に対して垂直である。 そして、これは (定義上) 直線 a 2 が平面に垂直であることを意味します。 定理は証明されました。 サポート タスク No. 2 も参照してください。 | |
| 定理 3 垂直線と平面の第 2 の性質。 同じ平面に垂直な 2 本の線は平行です。 |  |
| 証明: a と b を平面に垂直な 2 本の直線とする。 線分aと線bが平行ではないとします。 平面内にない、直線 b 上の点 C を選択しましょう。 点 C を通り、線 a と平行な線 b 1 を引きます。 定理 2 によれば、線 b 1 は平面に対して垂直です。B および B 1 を、線 b および b 1 と平面との交点とする。 このとき、直線BB 1 は交線bとb 1 に垂直になります。 そして、これは不可能です。 私たちは矛盾に到達しました。 定理は証明されました。 |
33.垂直は、与えられた平面上の与えられた点から下げられた、与えられた点と平面上の点を結び、平面に垂直な直線上にある線分です。 平面内にあるこのセグメントの端は と呼ばれます。 垂線の底辺.
傾斜した指定された点から指定された平面に描かれた線分とは、指定された点と、その平面に垂直ではない平面上の点を接続する任意の線分です。 平面内にあるセグメントの端は と呼ばれます。 傾斜したベース。 同じ点から引いた垂線と傾斜線の底辺を結んだ線分を「線分」といいます。 斜投影.
ABはα面に垂直です。
AC – 斜め、CB – 投影。
定理の説明
傾斜した線の底部を通る平面上に描かれた直線がその投影に対して垂直である場合、その直線は傾斜した直線に対して垂直です。
証拠
させて AB- 平面 α に垂直、 交流。- 傾いていて、 c- 点を通過するα平面上の直線 Cそして投影に垂直 紀元前。 ダイレクトにしましょう CK線に平行 AB。 真っ直ぐ CKは平面 α に垂直です (平行なので AB)、したがって、この平面の任意の直線、したがって、 CK直線に垂直な c。 平行線を引いてみましょう ABそして CK平面 β (平行線が平面を定義し、1 つだけ)。 真っ直ぐ cβ 平面にある 2 つの交差する線に垂直な線、これは 紀元前状態に応じて、そして CK構造上、それはこの平面に属する任意の線に対して垂直であることを意味します。つまり、線に対して垂直であることを意味します。 交流。.