角度のサイン、コサイン、コタンジェントの決定。 コサインとサインの定理。 直角三角形と三角関数

直角三角形を解く問題が検討された場合、私はサインとコサインの定義を覚えるためのテクニックを紹介することを約束しました。 これを使用すると、どの辺が斜辺に属するか (隣接または反対側) をいつでもすぐに思い出すことができます。 あまり長く放置しないことに決めたのですが、 必要な材料以下、読んでください😉

実際、私は 10 年生から 11 年生の生徒がこれらの定義を覚えるのがいかに難しいかを繰り返し観察してきました。 彼らは脚が斜辺を指すことをよく覚えていますが、どれが斜辺なのか- 彼らは忘れてしまいます、そして 混乱した。 試験ではご存知のとおり、間違いの代償は減点です。

私が紹介する情報は数学とは直接関係ありません。 彼女はとつながっています 想像力豊かな思考、そして言語的論理的コミュニケーションの方法を使用します。 まさにそれが私が覚えている方法です、一度きり定義データ。 忘れてしまった場合でも、ここで紹介するテクニックを使えばいつでも簡単に思い出すことができます。

直角三角形のサインとコサインの定義を思い出してください。

余弦 鋭角直角三角形の場合、これは斜辺に対する隣接する脚の比率です。

副鼻腔直角三角形の鋭角は、斜辺に対する反対側の辺の比です。

それでは、コサインという言葉からどのような連想を抱きますか?

おそらく誰もが独自のものを持っています😉リンクを覚えておいてください:

したがって、その表現はすぐにあなたの記憶に現れます -

«… ADJACENT 脚と斜辺の比».

コサインの決定に関する問題は解決されました。

直角三角形のサインの定義を覚えておく必要がある場合は、コサインの定義を覚えておけば、直角三角形の鋭角のサインが斜辺に対する反対側の辺の比であることを簡単に証明できます。 結局のところ、脚は 2 つしかなく、隣接する脚が余弦によって「占有」されている場合、反対側の脚だけが正弦とともに残ります。

タンジェントとコタンジェントはどうでしょうか？ 混乱も同様だ。 生徒はこれが脚の関係であることは知っていますが、問題は、どちらがどの脚を指すのか、反対側と隣接する脚、またはその逆を思い出すことです。

定義:

正接直角三角形の鋭角は、隣接する辺に対する反対側の辺の比です。

コタンジェント直角三角形の鋭角は、隣接する辺と反対側の辺の比です。

どうやって覚えるの？ 方法は 2 つあります。 1 つは言語と論理の接続を使用し、もう 1 つは数学的な接続を使用します。

数学的方法

そのような定義があります - 鋭角のタンジェントは、角度のサインとコサインの比です。

*公式を覚えておけば、直角三角形の鋭角の接線が、隣り合う辺に対する反対側の辺の比であることをいつでも求めることができます。

同じく。鋭角のコタンジェントは、角度の余弦とその正弦の比です。

それで！ これらの公式を覚えておけば、いつでも次のことを判断できます。

- 直角三角形の鋭角の接線は、隣接する辺に対する反対側の辺の比です。

— 直角三角形の鋭角の余接は、隣接する辺と反対側の辺の比です。

ワードロジカルメソッド

タンジェントについて。 リンクを覚えておいてください:

つまり、接線の定義を覚える必要がある場合、この論理接続を使用すると、接線が何であるかを簡単に思い出すことができます。

「…隣り合う辺に対する反対側の辺の比率」

コタンジェントについて話す場合、タンジェントの定義を覚えていれば、コタンジェントの定義を簡単に説明できます。

「…隣接する辺と反対側の比率」

タンジェントとコタンジェントを覚えるための興味深いトリックがウェブサイトにあります。 " 数学的タンデム " 、 見て。

ユニバーサルメソッド

暗記するだけで済みます。しかし、実践が示すように、言語と論理のつながりのおかげで、人は数学的な情報だけでなく、情報を長期間記憶します。

この資料がお役に立てば幸いです。

よろしくお願いします、アレクサンダー・クルチツキーク

P.S: ソーシャルネットワーク上でこのサイトについて教えていただければ幸いです。

角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントとは何かは、直角三角形を理解するのに役立ちます。

直角三角形の辺を何といいますか? そう、斜辺と脚です。斜辺は反対側です。 直角(この例では、これは側面 \(AC\) です); 脚は残りの 2 つの辺 \(AB\) と \(BC\) (直角に隣接する辺) であり、角度 \(BC\) に対して脚を考慮すると、脚 \(AB\) は次のようになります。隣接する脚、脚 \(BC\) は反対側です。 それでは、角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントとは何ですか?という質問に答えましょう。

角度の正弦– これは、斜辺に対する反対側 (遠い) 脚の比率です。

私たちの三角形では:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

角度の余弦– これは、斜辺に対する隣接する (近い) 脚の比率です。

私たちの三角形では:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

角度の正接– これは、反対側 (遠い側) と隣接する側 (近い側) の比率です。

私たちの三角形では:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

角度の余接– これは、隣接する (近い) 脚と反対側 (遠い) 脚の比率です。

私たちの三角形では:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

これらの定義は必要です 覚えて！ どの脚を何に分割するかを覚えやすくするには、次のことを明確に理解する必要があります。 正接そして コタンジェント脚だけが座っており、斜辺はのみに現れます。 副鼻腔そして 余弦。 そして、一連の連想を思いつくことができます。 たとえば、これは次のとおりです。

コサイン→タッチ→タッチ→隣接。

コタンジェント→タッチ→タッチ→隣接。

まず第一に、三角形の辺の比率は、(同じ角度での) これらの辺の長さに依存しないため、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを覚えておく必要があります。 信じないで？ 次に、画像を見て確認してください。

たとえば、角度 \(\beta \) の余弦を考えてみましょう。 定義により、三角形 \(ABC\) から: \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \)ですが、三角形 \(AHI \) から角度 \(\beta \) の余弦を計算できます。 \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \)。 ご覧のとおり、辺の長さは異なりますが、1 つの角度の余弦の値は同じです。 したがって、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値は角度の大きさのみに依存します。

定義を理解したら、先に進んでそれらを統合してください。

下の図に示されている三角形 \(ABC \) について、次のことがわかります。 \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

さて、わかりましたか？ それから、自分で試してみてください。角度 \(\beta \) についても同じことを計算してください。

答え: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

単位（三角関数）円

度やラジアンの概念を理解して、半径が \(1\) に等しい円について考えました。 このようなサークルをこう呼びます シングル。 三角関数を勉強するときにとても役立ちます。 したがって、もう少し詳しく見てみましょう。

ご覧のとおり、この円はデカルト座標系で構築されています。 円の半径 1に等しい、円の中心は原点にありますが、動径ベクトルの初期位置は \(x\) 軸の正の方向に沿って固定されます (この例では、これは半径 \(AB\) です)。

円上の各点は、 \(x\) 軸に沿った座標と \(y\) 軸に沿った座標という 2 つの数値に対応します。 これらの座標番号は何ですか? そして一般的に、彼らは目の前の話題と何の関係があるのでしょうか？ これを行うには、考慮された直角三角形について覚えておく必要があります。 上の図では、2 つの完全な直角三角形が見えます。 三角形 \(ACG\) について考えてみましょう。 \(CG\) は \(x\) 軸に垂直であるため、長方形になります。

三角形 \(ACG \) から \(\cos \ \alpha \) は何ですか? それは正しい \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \)。 さらに、 \(AC\) は半径であることがわかっています。 単位円、つまり \(AC=1\) を意味します。 この値をコサインの式に代入してみましょう。 何が起こるかというと、次のとおりです。

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

三角形 \(ACG \) からの \(\sin \ \alpha \) は何に等しいでしょうか? もちろん、 \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)！ 半径 \(AC\) の値をこの式に代入すると、次のようになります。

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

では、その円に属する点 \(C\) がどの座標にあるかわかるでしょうか。 まあ、まさか？ \(\cos \ \alpha \) と \(\sin \alpha \) が単なる数字だと気づいたらどうなるでしょうか? \(\cos \alpha \) はどの座標に対応しますか? もちろん、座標 \(x\) です。 \(\sin \alpha \) はどの座標に対応するのでしょうか? そう、\(y\) の座標です。 それでポイントは \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

では、\(tg \alpha \) と \(ctg \alpha \) は何に等しいのでしょうか? そうです、タンジェントとコタンジェントの対応する定義を使用して、それを取得しましょう \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \)、A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

角度がもっと大きかったらどうなるでしょうか？ たとえば、この図のように:

この例では何が変わったのでしょうか? それを理解しましょう。 これを行うには、もう一度直角三角形に戻りましょう。 直角三角形 \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : 角度 (角度 \(\beta \) に隣接するもの) を考えてみましょう。 角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値は何ですか? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? そうです、三角関数の対応する定義に従います。

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(配列) \)

ご覧のとおり、角度のサインの値は依然として座標 \(y\) に対応しています。 角度の余弦の値 - 座標 \(x\) ; そして、対応する比率のタンジェントとコタンジェントの値。 したがって、これらの関係は動径ベクトルのあらゆる回転に適用されます。

動径ベクトルの初期位置は \(x\) 軸の正の方向に沿っていることはすでに述べました。 ここまではこのベクトルを反時計回りに回転させてきましたが、時計回りに回転させたらどうなるでしょうか? 特別なことは何もありません。特定の値の角度も得られますが、それはマイナスになるだけです。 したがって、動径ベクトルを反時計回りに回転すると、次のようになります。 正の角度、時計回りに回転すると – ネガティブ。

したがって、円の周りの動径ベクトルの全回転は \(360()^\circ \) または \(2\pi \) であることがわかります。 半径ベクトルを \(390()^\circ \) または \(-1140()^\circ \) だけ回転させることは可能ですか? もちろん、できますよ！ 最初のケースでは、 \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \)したがって、動径ベクトルは 1 回転し、 \(30()^\circ \) または \(\dfrac(\pi )(6) \) の位置で停止します。

2 番目のケースでは、 \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \)つまり、動径ベクトルは 3 回転し、 \(-60()^\circ \) または \(-\dfrac(\pi )(3) \) の位置で停止します。

したがって、上記の例から、角度は \(360()^\circ \cdot m \) または \(2\pi \cdot m \) (\(m \) は任意の整数) だけ異なると結論付けることができます。動径ベクトルの同じ位置に対応します。

下の図は、角度 \(\beta =-60()^\circ \) を示しています。 同じ画像がコーナーに対応します \(-420()^\circ 、-780()^\circ 、\ 300()^\circ 、660()^\circ \)等 このリストは無期限に継続できます。 これらすべての角度は、次の一般式で表すことができます。 \(\beta +360()^\circ \cdot m\)または \(\beta +2\pi \cdot m \) (\(m \) は任意の整数)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

ここで、基本的な三角関数の定義を理解し、単位円を使用して、値が何であるかを答えてみてください。

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

以下に単位円を示します。

何か問題がありますか? それからそれを理解しましょう。 したがって、次のことがわかります。

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(配列)\)

ここから、特定の角度の尺度に対応する点の座標を決定します。 さて、順番に始めましょう：のコーナー \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)は座標 \(\left(0;1 \right) \) の点に対応するため、次のようになります。

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- 存在しない;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

さらに、同じロジックに従うと、次のことがわかります。 \(180()^\circ 、\ 270()^\circ 、\ 360()^\circ 、\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )座標を持つ点に対応する \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \右) \)、 それぞれ。 これがわかれば、対応する点での三角関数の値を求めるのは簡単です。 まずは自分で試してみて、それから答えを確認してください。

答え:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- 存在しない

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- 存在しない

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- 存在しない

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- 存在しない

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

したがって、次の表を作成できます。

これらの値をすべて覚えておく必要はありません。 単位円上の点の座標と三角関数の値の対応を覚えておくだけで十分です。

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(覚えているか、表示できるようにする必要があります!! \) !}

しかし、 と の角度の三角関数の値は \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)以下の表に示すとおり、次のことを覚えておく必要があります。

怖がらないでください。対応する値の非常に単純な記憶の一例を示します。

この方法を使用するには、角度の 3 つの尺度すべての正弦値を覚えておくことが重要です ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\))、および \(30()^\circ \) の角度の正接の値。 これらの \(4\) の値がわかれば、テーブル全体を復元するのは非常に簡単です。コサイン値は矢印に従って転送されます。

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(配列) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)、これを知っていると、次の値を復元できます。 \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \)。 分子「\(1 \)」は \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) に対応し、分母「\(\sqrt(\text(3)) \)」はに対応します。 \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . コタンジェント値は、図に示されている矢印に従って転送されます。 これを理解し、矢印の付いた図を覚えていれば、表の \(4\) の値だけを覚えておけば十分です。

円上の点の座標

円の中心の座標、半径、回転角がわかっていれば、円上の点（その座標）を見つけることは可能でしょうか？ もちろん、できますよ！ 出してみましょう 一般式点の座標を見つけます。 たとえば、これは私たちの目の前にある円です。

私たちにはその点が与えられています \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- 円の中心。 円の半径は \(1.5\) です。 点 \(O\) を \(\delta \) 度回転して得られる点 \(P\) の座標を求める必要があります。

図からわかるように、点 \(P\) の座標 \(x\) は、線分 \(TP=UQ=UK+KQ\) の長さに対応します。 線分 \(UK\) の長さは円の中心の座標 \(x\) に対応します。つまり、 \(3\) に等しくなります。 セグメント \(KQ\) の長さは、コサインの定義を使用して表すことができます。

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

次に、点 \(P\) の座標が得られます。 \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

同じロジックを使用して、点 \(P\) の y 座標の値を求めます。 したがって、

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

それで、 一般的な見解点の座標は次の式で決定されます。

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(配列) \)、 どこ

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - 円の中心の座標、

\(r\) - 円の半径、

\(\delta \) - ベクトル半径の回転角度。

ご覧のとおり、検討している単位円の場合、中心の座標が 0 に等しく、半径が 1 に等しいため、これらの式は大幅に短縮されます。

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

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計算を実行するには、ActiveX コントロールを有効にする必要があります。

説明書

コサインを求める必要がある場合 角度任意の三角形では、余弦定理を使用する必要があります。
角度が鋭角の場合: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
角度の場合: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab)、ここで、a、b は角に隣接する辺の長さ、c は角の反対側の辺の長さです。

役立つアドバイス

コサインの数学的表記は cos です。
コサイン値は 1 より大きく、-1 より小さいことはできません。

出典:

• 角度の余弦を計算する方法
• 単位円上の三角関数

余弦- これは基本です 三角関数コーナー。 コサインを決定する機能は、ベクトル代数でさまざまな軸へのベクトルの投影を決定するときに役立ちます。

説明書

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

辺 a、b、c がそれぞれ 3、4、5 mm に等しい三角形があります。

探す 余弦大きい方の辺の間の角度。

辺 a の反対側の角度を ? で表すと、上で導出された式によれば、次のようになります。

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0.8

答え: 0.8。

三角形が直角であれば、次のように求めます。 余弦角度の場合は、任意の 2 つの辺の長さを知るだけで十分です ( 余弦直角は0です）。

辺 a、b、c を持つ直角三角形があるとします。c は斜辺です。

すべてのオプションを検討してみましょう。

(三角形の) 辺 a と b の長さがわかっている場合、cos? を求めます。

さらにピタゴラスの定理を使用してみましょう。

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

結果の式が正しいことを確認するために、例 1 の式を代入します。

いくつかの基本的な計算を行うと、次の結果が得られます。

同様に見つかりました 余弦長方形で 三角形他の場合:

既知の a と c (斜辺と 反対側の足）、cosを見つけますか？

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с。

例の値 a=3 と c=5 を置き換えると、次のようになります。

既知の b と c (斜辺と隣接する脚)。

コスを見つけますか？

同様の変換を行うと (例 2 と 3 に示す)、この場合は次のようになります。 余弦 V 三角形非常に単純な式を使用して計算されます。

導出された式の単純さは簡単に説明できます。実際、角に隣接していますか? 脚は斜辺の投影であり、その長さは斜辺の長さに cos? を掛けたものに等しくなります。

最初の例の値 b=4 と c=5 を代入すると、次のようになります。

これは、すべての式が正しいことを意味します。

ヒント 5: 直角三角形の鋭角を見つける方法

直接 炭酸系三角形は、歴史的な観点から見て、おそらく最も有名な幾何学図形の 1 つです。 ピタゴラスの「パンツ」は「エウレカ」にしか太刀打ちできない！ アルキメデス。

必要になるだろう

• - 三角形の描画;
• - 定規。
• - 分度器

説明書

三角形の角度の合計は 180 度です。 長方形で 三角形 1 つの角度 (直線) は常に 90 度であり、残りは鋭角です。 それぞれ90度未満。 長方形の角度を調べるには 三角形直線である場合は、定規を使用して三角形の辺を測定し、最大の辺を決定します。 それは斜辺 (AB) であり、直角 (C) の反対側に位置します。 残りの2辺は直角と脚(AC、BC)を形成します。

どの角度が鋭角であるかを特定したら、分度器を使用して角度を計算します。 数式.

分度器を使用して角度を決定するには、分度器の上部 (文字 A で示します) を分度器の中央にある定規の特別なマークに合わせます。脚 AC が分度器の上端と一致する必要があります。 分度器の半円部分に、斜辺ABが通過する点をマークします。 この点の値は、度単位の角度に対応します。 分度器に2つの値が表示されている場合、鋭角の場合は小さい方を選択し、鈍角の場合は大きい方を選択する必要があります。

Bradis の参考書で結果の値を見つけて、結果の数値がどの角度に対応するかを判断します。 私たちの祖母はこの方法を使っていました。

私たちの場合、計算関数で取るだけで十分です 三角関数の公式。 たとえば、組み込みの Windows 電卓です。 「電卓」アプリケーションを起動し、「表示」メニュー項目で「エンジニアリング」を選択します。 目的の角度の正弦を計算します。たとえば、sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

電卓を次のように切り替えます 逆関数、電卓ディスプレイの INV ボタンをクリックしてから、逆正弦関数ボタン (ディスプレイ上では sin のマイナス 1 乗として表示されます) をクリックします。 次のメッセージが計算ウィンドウに表示されます: asind (0.5) = 30。 必要な角度の値は 30 度です。

出典:

• Bradis テーブル (サイン、コサイン)

数学におけるコサイン定理は、角度の 3 辺と 2 辺を求める必要がある場合に最もよく使用されます。 ただし、問題の条件が逆になる場合もあります。指定された 3 つの辺との角度を見つける必要があります。

説明書

2 つの辺の長さと 1 つの角度の値がわかっている三角形が与えられたと想像してください。 この三角形の角はすべて等しくなく、辺の大きさも異なります。 角度 γ は、この図の AB で示される三角形の辺の反対側にあります。 この角度と残りの辺 AC および BC を通じて、コサイン定理を使用して三角形の未知の辺を見つけることができ、そこから以下に示す式を導き出します。
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ、a=BC、b=AB、c=AC
コサイン定理は、一般化ピタゴラスの定理とも呼ばれます。

ここで、図の 3 つの辺がすべて与えられているが、その角度 γ が不明であると想像してください。 a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ という形式であることがわかっているので、目的の値が角度 γ になるようにこの式を変換します: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2。
次に、上記の方程式を少し異なる形式に変換します: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ。
この式は、次の式に変換する必要があります: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc。
あとは式に数値を代入して計算するだけです。

γ で示される余弦を求めるには、逆余弦と呼ばれる三角法の逆関数を使って表現する必要があります。 数値 m の逆余弦は、角度 γ の余弦が m に等しい角度 γ の値です。 関数 y=arccos m は減少しています。 たとえば、角度 γ の余弦が 2 分の 1 に等しいと想像してください。 次に、角度 γ はアークコサインを通じて次のように定義できます。
γ = arccos、m = arccos 1/2 = 60°、ここで m = 1/2。
同様の方法で、他の 2 つの未知の辺を含む三角形の残りの角度を見つけることができます。

サインとコサインは「直接」と呼ばれる 2 つの三角関数です。 これらは他の問題よりも頻繁に計算する必要がある問題であり、今日この問題を解決するために、私たち一人一人にはかなりの選択肢があります。 以下に最も多いものをいくつか示します 簡単な方法.

説明書

他に計算手段がない場合は、分度器、鉛筆、紙を使用します。 コサインの定義の 1 つは、直角三角形の鋭角に関して与えられます。これは、この角度の反対側の脚の長さと長さの比に等しいです。 角度の 1 つが直角 (90°) で、もう 1 つが計算したい角度となる三角形を描きます。 辺の長さは重要ではありません。測定しやすい方法で辺を描きます。 希望する脚と斜辺の長さを測定し、任意の方法で最初の長さを 2 番目の長さで割ります。

内蔵の計算機を使用して三角関数の値を活用します。 検索エンジンニグマ、インターネットにアクセスできる場合。 たとえば、角度 20° のコサインを計算する必要がある場合、次のようにロードします。 ホームページサービス http://nigma.ru の場合、検索クエリ フィールドに「cosine 20」と入力し、「検索」ボタンをクリックします。 「度」を省略し、「コサイン」という単語を cos に置き換えることもできます。いずれの場合でも、検索エンジンは小数点以下 15 桁 (0.939692620785908) まで正確な結果を表示します。

オペレーティング システムにインストールされている標準プログラムを開きます Windowsシステム、インターネットにアクセスできない場合。 これを行うには、たとえば、win キーと r キーを同時に押し、calc コマンドを入力して [OK] ボタンをクリックします。 三角関数を計算するには、「エンジニアリング」または「科学」と呼ばれるインターフェイス (OS バージョンに応じて) を使用します。電卓メニューの「表示」セクションで目的の項目を選択します。 この後、角度の値を入力し、プログラム インターフェイスの cos ボタンをクリックします。

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ヒント 8: 直角三角形の角度を決定する方法

長方形は、角と辺の間の特定の関係によって特徴付けられます。 それらのいくつかの値が分かれば、他の値を計算できます。 この目的のために、幾何学の公理と定理に基づいた公式が使用されます。

コサインはよく知られた三角関数であり、三角関数の主要な関数の 1 つでもあります。 直角三角形の角度の余弦は、三角形の隣接する辺と三角形の斜辺の比です。 ほとんどの場合、コサインの定義は長方形タイプの三角形に関連付けられます。 しかし、直角三角形の余弦を計算する必要がある角度が、この直角三角形の中に存在しないことも起こります。 それではどうすればいいでしょうか？ 三角形の角度の余弦を求めるにはどうすればよいですか?

直角三角形の角度の余弦を計算する必要がある場合、すべては非常に簡単です。 この問題の解決策が含まれているコサインの定義を覚えておくだけで済みます。 同じ関係を見つける必要があるだけです 隣接する脚、三角形の斜辺も同様です。 実際、ここで角度の余弦を表現するのは難しくありません。 式は次のとおりです。 - cosα = a/c、ここで「a」は脚の長さ、辺「c」は斜辺の長さです。 たとえば、直角三角形の鋭角の余弦は、次の式を使用して求めることができます。

任意の三角形の角度の余弦が何に等しいか知りたい場合は、余弦定理が役に立ちます。このような場合に使用する価値があります。 コサイン定理は、三角形の辺の二乗はアプリオリであると述べています。 合計に等しい同じ三角形の残りの辺の 2 乗。ただし、これらの辺の積をそれらの辺の間にある角度の余弦で 2 倍にすることはありません。

1. 三角形の鋭角の余弦を求める必要がある場合は、cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab) の公式を使用する必要があります。
2. 三角形の鈍角の余弦を求める必要がある場合は、cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab) の公式を使用する必要があります。 式の指定 - a および b - は、目的の角度に隣接する辺の長さであり、c - は、目的の角度の反対側の辺の長さです。

角度の余弦は、正弦定理を使用して計算することもできます。 三角形のすべての辺は、反対の角の正弦に比例すると述べています。 サイン定理を使用すると、2 つの辺と 1 つの辺の反対側の角度、または 2 つの角度と 1 つの辺に関する情報のみを使用して、三角形の残りの要素を計算できます。 これを例を挙げて考えてみましょう。 問題の条件: a=1; b=2; c=3。 辺「A」の反対側の角度をαとすると、式によれば、cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²)となります。 /(2*2*3)=(4+9-1)/12=12/12=1。 答え: 1.

角度の余弦を三角形ではなく他の任意の関数で計算する必要がある場合 幾何学模様, その後、状況は少し複雑になります。 まず角度の大きさをラジアンまたは度で決定し、その後でこの値からコサインを計算する必要があります。 数値によるコサインは、Bradis テーブル、工学計算機、または特別な数学アプリケーションを使用して決定されます。

特別な数学的アプリケーションには、特定の図形の角度の余弦を自動的に計算するなどの機能が備わっている場合があります。 このようなアプリケーションの利点は、正しい答えが得られるため、ユーザーは場合によっては非常に複雑な問題を解決するために時間を無駄にしないことです。 その一方で、問題を解決するためのアプリケーションのみを常に使用していると、三角形やその他の任意の図形の角度の余弦を求める数学的問題を解決するためのすべてのスキルが失われます。

あなたにはそれ以上の価値があると思います。 これが私の三角法の鍵です。

• ドーム、壁、天井を描く
• 三角関数は単なるものではありません 割合この３つの形。

サインとコサインのメタファー: ドーム

三角形そのものを見るだけでなく、具体的な実例を見つけて、三角形が実際に動作している様子を想像してください。

あなたがドームの真ん中にいて、映画プロジェクターのスクリーンを吊り下げたいと考えていると想像してください。 指をドームに特定の角度「x」で向けると、画面がこの点から吊り下げられるはずです。

指す角度によって次のことが決まります。

• sine(x) = sin(x) = スクリーンの高さ (床からドーム取り付け点まで)
• cosine(x) = cos(x) = あなたから画面までの距離 (階ごと)
• 斜辺、あなたから画面の上部までの距離、常に同じ、ドームの半径に等しい

画面をできるだけ大きくしたいですか? あなたの真上に吊るしてください。

画面をできるだけ遠くに置きたいですか? まっすぐ垂直に吊るしてください。 ご質問のように、この位置では画面の高さはゼロになり、最も遠くに垂れ下がります。

高さとスクリーンからの距離は反比例し、スクリーンが近くに垂れ下がるほど、その高さは大きくなります。

サインとコサインはパーセントです

悲しいことに、私が何年も勉強してきた中で、三角関数のサインとコサインが単なるパーセントにすぎないことを説明した人は一人もいませんでした。 それらの値の範囲は +100% ～ 0 ～ -100%、または正の最大値からゼロ、負の最大値までです。

14 ルーブルの税金を支払ったとしましょう。 それがいくらなのかわかりません。 しかし、私が税金の95％を支払ったと言えば、私がただ騙し取られただけであることが分かるでしょう。

絶対的な高さは何の意味もありません。 しかし、サイン値が 0.95 であれば、テレビがドームのほぼ上部に吊り下げられていることがわかります。 もうすぐ彼は到着します 最大高さドームの中心に達し、その後再び減少し始めます。

このパーセンテージはどのように計算できますか? それは非常に簡単です。現在の画面の高さを可能な最大値 (斜辺とも呼ばれるドームの半径) で割ります。

それが理由です「コサイン = 反対側 / 斜辺」と言われます。 要は興味を持ってもらうことなのです！ サインを「可能な最大値からの現在の高さのパーセンテージ」として定義するのが最善です。 (角度が「地下」を向いている場合、サインは負になります。角度が後ろのドームの点を向いている場合、コサインは負になります。)

単位円 (半径 = 1) の中心にいると仮定して計算を簡略化しましょう。 除算を省略して、高さに等しいサインを取るだけで済みます。

各円は基本的に単一の円であり、必要なサイズに拡大または縮小されます。 したがって、単位円の接続を決定し、その結果を特定の円のサイズに適用します。

実験: 任意の角を取り、表示される幅に対する高さの割合を確認します。

サイン値の増加のグラフは単なる直線ではありません。 最初の 45 度は高さの 70% をカバーしますが、最後の 10 度 (80° から 90°) は 2% のみをカバーします。

これにより、より明確になるでしょう。円を描くように歩くと、0° ではほぼ垂直に上昇しますが、ドームの頂上に近づくにつれて、高さの変化はますます小さくなります。

タンジェントとセカント。 壁

ある日、隣人が壁を建てた すぐ隣にあなたのドームへ。 窓から見える君の景色を泣いて、 良い価格再販用！

しかし、この状況で何とか勝つことは可能でしょうか？

もちろんはい。 隣の家の壁に映画スクリーンを吊るしたらどうなるでしょうか? 角度 (x) をターゲットにすると、次のようになります。

• Tan(x) = Tan(x) = 壁上のスクリーンの高さ
• あなたから壁までの距離: 1 (これはあなたのドームの半径です。壁はあなたからどこにも移動しませんよね?)
• セカント(x) = 秒(x) = ドームの中心に立っているあなたから吊り下げられたスクリーンの頂上までの「はしごの長さ」

接線、つまり画面の高さに関するいくつかの点を明確にしましょう。

• 0 から始まり、無限に大きくなる可能性があります。 画面を壁にどんどん伸ばして、お気に入りの映画を鑑賞するための無限のキャンバスを作成できます。 （もちろん、これほど大きなものになると、多額の費用がかかります）。
• Tangent は、sine の単なる拡大版です。 そして、ドームの上部に近づくにつれて正弦の増加は遅くなりますが、接線は増加し続けます。

セカンスも自慢できることがあります。

• セカントは 1 (はしごは床にあり、あなたから壁まで) から始まり、そこから上昇し始めます。
• セカントは常に接線よりも長くなります。 スクリーンを吊るすために使用する斜めのはしごは、スクリーン自体よりも長いはずですよね？ (非現実的なサイズの場合、画面が非常に長く、梯子をほぼ垂直に配置する必要がある場合、それらのサイズはほぼ同じになります。ただし、その場合でも割線は少し長くなります)。

値は次のとおりです。 パーセント。 スクリーンを 50 度の角度で吊るすことにした場合、tan(50)=1.19 となります。 画面は壁までの距離 (ドーム半径) より 19% 大きくなります。

(x=0 と入力し、直感を確認してください - Tan(0) = 0 および sec(0) = 1。)

コタンジェントとコセカント。 シーリング

信じられないことに、あなたの隣人はあなたのドームに屋根を建てることを決めました。 （どうしたの？裸で庭を歩いているところを覗かれてほしくないらしい…）

さて、屋上への出口を作り、隣人と話す時が来ました。 傾斜角度を選択して建設を開始します。

• 屋根の吹き出し口と床の間の垂直距離は常に 1 (ドームの半径) です。
• cotangent(x) = cot(x) = ドームの頂上と出口点の間の距離
• cosecant(x) = csc(x) = 屋根までのパスの長さ

接線とセカントは壁を表し、コタンジェントとコセカントは天井を表します。

今回の直感的な結論は、以前の結論と似ています。

• 角度を 0° にすると、天井に到達することがないため、屋根への出口は永遠に続きます。 問題。
• 床に対して90度の角度で建てると、屋根までの最短の「はしご」が得られます。 コタンジェントは 0 に等しくなります (屋根に沿ってまったく移動せず、厳密に垂直に終了します)、コセカントは 1 に等しくなります (「はしごの長さ」は最小になります)。

つながりを可視化する

3 つのケースすべてがドーム、壁、天井の組み合わせで描画されると、結果は次のようになります。

まあ、それは同じ三角形ですが、壁や天井に届くまでサイズが大きくなりました。 垂直辺 (サイン、タンジェント)、水平辺 (コサイン、コタンジェント)、および「斜辺」(セカント、コセカント) があります。 (矢印によって、各要素が到達する場所がわかります。コセカントは、あなたから屋根までの合計距離です)。

ちょっとした魔法。 すべての三角形は同じ等式を共有します。

ピタゴラスの定理 (a 2 + b 2 = c 2) から、各三角形の辺がどのように接続されているかがわかります。 さらに、「高さと幅」の比率もすべての三角形で同じである必要があります。 (最大の三角形から小さな三角形に移動するだけです。はい、サイズは変更されていますが、辺の比率は変わりません)。

各三角形のどの辺が 1 (ドームの半径) に等しいかがわかれば、「sin/cos = Tan/1」を簡単に計算できます。

私は常に、単純な視覚化を通じてこれらの事実を思い出そうと努めてきました。 この図では、これらの依存関係がはっきりとわかり、それらがどこから来たのかを理解できます。 このテクニックは、無味乾燥な公式を暗記するよりもはるかに優れています。

他の角度も忘れずに

追記... 接線が常に 1 未満であると考えて、1 つのグラフに固執しないでください。角度を大きくすると、壁に到達せずに天井に到達することができます。

ピタゴラス接続は常に機能しますが、相対的なサイズは異なる場合があります。

(サイン比とコサイン比はドーム内に含まれているため、常に最小であることに気づいたかもしれません)。

要約すると、何を覚えておく必要があるでしょうか?

私たちのほとんどにとって、これで十分だと思います。

• 三角法は、円や繰り返し間隔などの数学的オブジェクトの構造を説明します。
• ドーム/壁/屋根のアナロジーは、さまざまな三角関数間の関係を示しています。
• 三角関数の結果はパーセンテージとなり、これをシナリオに適用します。

1 2 + cot 2 = csc 2 のような公式を覚える必要はありません。 これらは、事実を知っていることを理解しているかのように装う愚かなテストにのみ適しています。 少し時間をかけてドーム、壁、屋根の形の半円を描き、要素にラベルを付けると、すべての公式が紙の上に表示されます。

アプリケーション: 逆関数

三角関数は入力パラメーターとして角度を受け取り、結果をパーセンテージとして返します。 sin(30) = 0.5。 これは、30 度の角度が最大高さの 50% を占めることを意味します。

逆三角関数は、sin -1 または arcsin と書きます。 Asin はさまざまなプログラミング言語で書かれることもよくあります。

私たちの高さがドームの高さの 25% である場合、私たちの角度はいくらでしょうか?

比率の表では、割線を 1 で割った比率を見つけることができます。たとえば、割線を 1 (水平方向の斜辺) で割った値は、1 を余弦で割ったものと等しくなります。

セカントが 3.5 であるとします。つまり、 単位円の半径の 350%。 この値は壁に対する傾斜角度に対応しますか?

付録: いくつかの例

例: 角度 x の正弦を求めます。

退屈な仕事だ。 ありきたりな「正弦を求める」を「最大値 (斜辺) に対する高さのパーセンテージは何ですか?」まで複雑にしてみましょう。

まず、三角形が回転していることに注目してください。 それは何も問題ありません。 三角形には高さもあり、図では緑色で示されています。

斜辺は何に等しいですか? ピタゴラスの定理によれば、次のことがわかります。

3 2 + 4 2 = 斜辺 2 25 = 斜辺 2 5 = 斜辺

大丈夫！ 正弦は、三角形の最長辺、つまり斜辺の高さのパーセンテージです。 この例では、サインは 3/5、つまり 0.60 です。

もちろん、いくつかの方法があります。 正弦が 0.60 であることがわかったので、単純に逆正弦を求めることができます。

アシン(0.6)=36.9

ここでは別のアプローチを紹介します。 三角形は「壁に面している」ため、サインの代わりに接線を使用できることに注意してください。 高さは 3、壁までの距離は 4 なので、接線は 3/4、つまり 75% になります。 逆正接を使用して、パーセント値から角度に戻すことができます。

Tan = 3/4 = 0.75 atan(0.75) = 36.9 例: 岸まで泳いでいきませんか?

あなたはボートに乗っていて、2 km 移動するのに十分な燃料を持っています。 現在、海岸までは 0.25 km です。 十分な燃料を確保するには、岸に対して最大どの角度まで泳ぐことができますか? 問題文への追加: 逆余弦値のテーブルしかありません。

私たちが持っているものは何でしょうか？ 海岸線は有名な三角形の「壁」として表すことができ、壁に取り付けられた「はしごの長さ」は、ボートで岸までカバーできる最大距離 (2 km) です。 セカントが表示されます。

まず、パーセンテージに移動する必要があります。 2 / 0.25 = 8 になります。つまり、海岸 (または壁) までの直線距離の 8 倍の距離を泳ぐことができます。

「8 の正割は何ですか?」という疑問が生じます。 しかし、アークコサインしかないので、それに答えることはできません。

以前に導出した依存関係を使用して、セカントをコサインに関連付けます。「sec/1 = 1/cos」

8 の正割は 1/8 のコサインに等しい。 コサインが 1/8 である角度は、acos(1/8) = 82.8 と等しくなります。 そしてこれは、指定された量の燃料を搭載したボートで許容できる最大の角度です。

悪くないですよね？ ドームと壁と天井の例えがなかったら、私はたくさんの公式や計算に夢中になっていたでしょう。 問題を視覚化すると、解決策の検索が大幅に簡素化されます。また、どの三角関数が最終的に役立つかを確認することも興味深いです。

それぞれの問題について、次のように考えてください。ドーム (sin/cos)、壁 (tan/sec)、または天井 (cot/csc) に興味がありますか?

三角関数がもっと楽しくなります。 簡単な計算をあなたに！