判別式が0の場合に根を求める公式。判別式を使って二次方程式を解く

判別式は複数の値を持つ用語です。 この記事では、特定の多項式に有効な解があるかどうかを判断できる多項式の判別式について説明します。 二次多項式の公式は、学校の代数と解析のコースにあります。 判別式を見つけるにはどうすればよいですか? 方程式を解くためには何が必要でしょうか?

二次多項式または二次方程式は次のように呼ばれます。 i * w ^ 2 + j * w + k は 0 に等しく、「i」と「j」はそれぞれ最初と 2 番目の係数、「k」は「否定項」とも呼ばれる定数、「w」はは変数です。 そのルートは、アイデンティティに変わる変数のすべての値になります。 このような等式は、i、(w - w1) および (w - w2) が 0 に等しい積として書き換えることができます。この場合、係数「i」がゼロにならない場合、次の関数は次のようになります。左辺は、x が値 w1 または w2 を取る場合にのみゼロになります。 これらの値は、多項式をゼロに設定した結果です。

二次多項式が消滅する変数の値を見つけるには、その係数に基づいて構築され、判別式と呼ばれる補助的な構成が使用されます。 この設計は、D が j * j - 4 * i * k に等しいという式に従って計算されます。 なぜ使われるのでしょうか？

1. 有効な結果があるかどうかがわかります。
2. 彼女はそれらの計算を手伝ってくれます。

この値は実際のルートの存在をどのように示しますか。

• これが正の場合、実数の領域で 2 つの根が見つかります。
• 判別式の場合 ゼロに等しいの場合、両方の解が一致します。 解は 1 つだけあり、それは実数の分野からのものであると言えます。
• 判別式がゼロより小さい場合、多項式には実根がありません。

材料を確保するための計算オプション

合計 (7 * w^2; 3 * w; 1) が 0 に等しい場合式 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 を使用して D を計算すると、-19 が得られます。 0 未満の判別値は、実際の行に結果がないことを示します。

2 * w^2 - 3 * w + 1 が 0 と同等であると考えると、の場合、D は (-3) の 2 乗から数値 (4; 2; 1) の積を引いたものとして計算され、9 - 8、つまり 1 に等しくなります。 正の値実線上には 2 つの結果があると述べています。

合計 (w ^ 2; 2 * w; 1) を 0 とみなすと、, D は、2 の 2 乗から数値の積 (4; 1; 1) を引いたものとして計算されます。 この式は 4 - 4 に簡略化され、0 になります。 結果は同じであることがわかります。 この式をよく見てみると、これが「完全な正方形」であることがわかります。 これは、等式が (w + 1) ^ 2 = 0 の形式で書き換えられることを意味します。この問題の結果は「-1」であることが明らかになりました。 D が 0 に等しい状況では、等式の左辺は「和の 2 乗」公式を使用して常に折りたたむことができます。

根の計算に判別式を使用する

この補助的な構造は、実際の解の数を示すだけでなく、それらを見つけるのにも役立ちます。 2 次方程式の一般的な計算式は次のとおりです。

w = (-j +/- d) / (2 * i)、ここで d は 1/2 乗の判別式です。

判別式がゼロ未満で、d が虚数であり、結果が虚数であるとします。

D がゼロの場合、D の 1/2 乗に等しい d もゼロになります。 解決策: -j / (2 * i)。 再び 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0 を考慮すると、-2 / (2 * 1) = -1 と同等の結果が得られます。

D > 0 と仮定すると、d は実数であり、ここでの答えは 2 つの部分に分かれます: w1 = (-j + d) / (2 * i) と w2 = (-j - d) / (2 * i) ）。 どちらの結果も有効になります。 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 を見てみましょう。ここで、判別式と d は 1 です。 w1 は (3 + 1) を (2 * 2) で割った値または 1 に等しく、w2 は (3 - 1) を 2 * 2 で割った値または 1/2 に等しいことがわかります。

方程式の結果 二次式からゼロまでは次のアルゴリズムに従って計算されます。

1. 有効な解の数を決定します。
2. 計算 d = D^(1/2)。
3. 式 (-j +/- d) / (2 * i) に従って結果を求めます。
4. 得られた結果を元の等式に代入して検証します。

いくつかの特殊なケース

係数によっては、解が多少簡略化される場合があります。 明らかに、変数の 2 乗の係数がゼロであれば、線形等式が得られます。 変数の 1 乗の係数が 0 の場合、次の 2 つのオプションが考えられます。

1. 自由項が負の場合、多項式は二乗の差に拡張されます。
2. 正の定数の場合、実際の解は見つかりません。

自由項がゼロの場合、根は (0; -j) になります。

ただし、解決策を見つけるのを簡単にする特別なケースは他にもあります。

縮小 2 次方程式

与えられたものはと呼ばれますそのような 二次三項式、ここで、先頭の項の前の係数は 1 です。 この状況では、根の合計が変数の係数の 1 乗に -1 を乗じたものに等しく、その積が定数「k」に対応するというビエタの定理が適用されます。

したがって、最初の係数が 1 の場合、w1 + w2 は -j に等しく、w1 * w2 は k に等しくなります。 この表現が正しいことを検証するには、最初の式から w2 = -j - w1 を表し、それを 2 番目の等式 w1 * (-j - w1) = k に代入します。 結果は、元の等式 w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0 になります。

注意することが重要です, i * w ^ 2 + j * w + k = 0 は「i」で割ることで達成できるということです。 結果は次のようになります: w^2 + j1 * w + k1 = 0。ここで、j1 は j/i に等しく、k1 は k/i に等しくなります。

すでに解かれている 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 と結果 w1 = 1 および w2 = 1/2 を見てみましょう。 これを半分に割る必要があり、その結果、 w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0 となります。 見つかった結果に対して定理の条件が当てはまることを確認してみましょう: 1 + 1/2 = 3/ 2 と 1*1/2 = 1 /2。

2番目の要素でも

変数の 1 乗 (j) が 2 で割り切れる場合とすると、式を簡略化し、判別式 D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k の 4 分の 1 を使って解を求めることができます。 w = (-j +/- d/2) / i となります。ここで、d/2 = D/4 の 1/2 乗です。

i = 1 で係数 j が偶数の場合、解は変数 w の係数の半分と -1 の積に、この半分の二乗根から定数「k」を引いたものをプラス/マイナスしたものになります。 式: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2。

より高い判別次数

上で説明した 2 次三項式の判別式は、最も一般的に使用される特殊なケースです。 一般的な場合、多項式の判別式は次のようになります。 この多項式の根の差の二乗を乗算します。。 したがって、判別式が 0 に等しい場合は、少なくとも 2 つの多重解が存在することを示します。

i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0 を考えます。

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m。

判別式がゼロを超えると仮定します。 これは、実数の領域に 3 つの根があることを意味します。 ゼロでは複数の解が存在します。 Dの場合< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

ビデオ

私たちのビデオでは、判別式の計算について詳しく説明します。

質問に対する答えが得られませんでしたか? 著者にトピックを提案します。

判別式は 2 次方程式と同様、8 年生の代数コースで学習され始めます。 判別式とビエタの定理を使用して、二次方程式を解くことができます。 研究方法 二次方程式、判別式と同様に、実際の教育における多くのことと同様に、学童に植え付けるのはかなりうまくいきません。 したがって、彼らは合格します 学生時代、9 年生から 11 年生までの教育が「」に置き換わります。 高等教育「そしてみんながまた見ています - 「二次方程式の解き方は？」「方程式の根はどうやって求めるの？」「判別式はどうやって求めるの？」 そして...

判別式

二次方程式 a*x^2+bx+c=0 の判別式 D は、D=b^2–4*a*c に等しくなります。
二次方程式の根 (解) は、判別式 (D) の符号に依存します。
D>0 – 方程式には 2 つの異なる実根があります。
D=0 - 方程式には 1 つの根があります (2 つの一致する根):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
判別式を計算する式は非常に簡単なので、多くの Web サイトでオンラインの判別式計算ツールが提供されています。 この種のスクリプトはまだわかっていないので、実装方法を知っている方がいらっしゃいましたら、メールでご連絡ください。 このメール アドレスはスパムボットから保護されています。 閲覧するにはJavaScriptを有効にする必要があります。 .

二次方程式の根を求めるための一般式:

次の式を使用して方程式の根を求めます。
二乗変数の係数がペアになっている場合は、判別式ではなく、その 4 番目の部分を計算することをお勧めします。
このような場合、方程式の根は次の式を使用して求められます。

根を見つける 2 番目の方法は、ビエタの定理です。

この定理は二次方程式だけでなく多項式に対しても定式化されます。 これは、Wikipedia またはその他の電子リソースで読むことができます。 ただし、簡単にするために、上記の 2 次方程式に関係する部分、つまり (a=1) の形式の方程式を考えてみましょう。
Vieta の公式の本質は、方程式の根の合計が、反対の符号をとった変数の係数に等しいということです。 方程式の根の積は自由項に等しくなります。 ビエタの定理は数式で書くことができます。
Vieta の公式の導出は非常に簡単です。 単純な因数を使って二次方程式を書いてみましょう
ご覧のとおり、独創的なものはすべて同時にシンプルです。 ビエタの公式は、根の弾性率の差、または根の弾性率の差が 1、2 の場合に有効です。例えば、次の方程式は、ビエタの定理によれば、根が存在します。




方程式 4 までの分析は次のようになります。 方程式の根の積は 6 であるため、根は値 (1, 6) と (2, 3)、または反対の符号を持つペアになる可能性があります。 根の合計は 7 (逆符号の変数の係数) です。 ここから、二次方程式の解は x=2 であると結論付けます。 x=3。
Vieta の公式を満たすために符号を調整して、自由項の約数の中から方程式の根を選択する方が簡単です。 最初はこれを実行するのが難しいように思えますが、多くの二次方程式を練習すると、この手法は古典的な方法で判別式を計算して二次方程式の根を求めるよりも効果的であることがわかります。
ご覧のとおり、判別式と方程式の解を見つける方法を研究する学校理論には実際的な意味はありません。 「なぜ小学生に二次方程式が必要なの？」「判別式の物理的な意味は？」

それを理解してみましょう 判別式は何を説明しますか?

代数学コースでは、関数、関数を研究するためのスキーム、および関数のグラフを構築するためのスキームを学習します。 すべての関数の中で、放物線は重要な位置を占めており、その方程式は次の形式で書くことができます。
したがって、二次方程式の物理的意味は放物線の零点、つまり関数のグラフと横軸 Ox の交点です。
以下に説明する放物線の性質を思い出してください。 試験やテスト、入学試験などの時期が来ると、参考書がありがたいことになるでしょう。 二乗変数の符号は、グラフ上の放物線の枝が上に行くかどうか (a>0) に対応します。

または枝が下がった放物線（<0) .

放物線の頂点は根の中間にあります

判別式の物理的意味:

判別式がゼロより大きい (D>0) 場合、放物線には Ox 軸との交点が 2 つあります。
判別式がゼロ (D=0) の場合、頂点の放物線は x 軸に接触します。
そして最後のケースは、判別式がゼロより小さい場合 (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

不完全な二次方程式

二次方程式は中学2年生で習うので、難しいことは何もありません。 それらを解決する能力が絶対に必要です。

二次方程式は、ax 2 + bx + c = 0 の形式の方程式です。ここで、係数 a、b、c は任意の数であり、a ≠ 0 です。

具体的な解法を学ぶ前に、すべての二次方程式は 3 つのクラスに分類できることに注意してください。

1. 根を持たない。
2. ルートは 1 つだけです。
3. 彼らには2つの異なるルーツがあります。

これは、根が常に存在し一意である二次方程式と線形方程式の重要な違いです。 方程式の根の数を確認するにはどうすればよいですか? これには素晴らしいことがあります - 判別式.

判別式

二次方程式 ax 2 + bx + c = 0 が与えられた場合、判別式は単に数値 D = b 2 − 4ac になります。

この公式を暗記する必要があります。 それがどこから来たのかは今では重要ではありません。 もう 1 つ重要なことは、判別式の符号によって、二次方程式の根がいくつあるかを判断できることです。 つまり:

1. Dの場合< 0, корней нет;
2. D = 0 の場合、ルートは 1 つだけ存在します。
3. D > 0 の場合、根は 2 つになります。

注意してください: 判別式は根の数を示し、何らかの理由で多くの人が信じているように、根の符号はまったく示しません。 例を見てみれば、すべてを理解できるでしょう。

タスク。 二次方程式には根がいくつありますか:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0。

最初の方程式の係数を書き出して、判別式を見つけてみましょう。
a = 1、b = −8、c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

したがって、判別式は正であるため、方程式には 2 つの異なる根があります。 2 番目の方程式を同様の方法で分析します。
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131。

判別式は負であり、根はありません。 残った最後の方程式は次のとおりです。
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0。

判別式はゼロです - 根は 1 になります。

各方程式に係数が記載されていることに注意してください。 はい、長いです、はい、退屈ですが、確率を混同したり愚かな間違いを犯したりすることはありません。 速度か品質か、自分で選択してください。

ちなみに、コツを掴めば、しばらくすると係数をすべて書き留める必要がなくなります。 このような操作を頭の中で実行します。 ほとんどの人は、50 ～ 70 個の方程式が解かれた後のどこかでこれを開始しますが、一般的にはそれほど多くはありません。

二次方程式の根

それでは、解決策自体に移りましょう。 判別式 D > 0 の場合、根は次の式を使用して求めることができます。

二次方程式の根の基本公式

D = 0 の場合、これらの式のいずれかを使用できます。同じ数値が得られ、それが答えとなります。 最後に、D の場合< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. × 2 + 12x + 36 = 0。

最初の方程式:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16。

D > 0 ⇒ 方程式には根が 2 つあります。 それらを見つけてみましょう:

2 番目の方程式:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (-1) · 15 = 64。

D > 0 ⇒ この方程式にも根が 2 つあります。 見つけてみましょう

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3。 \\ \終了(整列)\]

最後に、3 番目の方程式は次のようになります。
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0。

D = 0 ⇒ 方程式の根は 1 つです。 任意の式を使用できます。 たとえば、最初のものは次のとおりです。

例からわかるように、すべては非常に簡単です。 公式を知っていて計算ができれば問題ありません。 ほとんどの場合、負の係数を式に代入するとエラーが発生します。 ここでも、上で説明したテクニックが役に立ちます。式を文字通りに見て、各ステップを書き留めてください。そうすれば、すぐにエラーを取り除くことができます。

不完全な二次方程式

二次方程式が定義で与えられたものとわずかに異なる場合があります。 例えば：

1. x 2 + 9x = 0;
2. × 2 − 16 = 0。

これらの方程式には項の 1 つが欠けていることに気づくのは簡単です。 このような二次方程式は、標準的な方程式よりも解くのがさらに簡単で、判別式を計算する必要さえありません。 そこで、新しい概念を導入しましょう。

方程式 ax 2 + bx + c = 0 は、b = 0 または c = 0 の場合、つまり、 変数 x または自由要素の係数はゼロに等しい。

もちろん、これらの係数が両方ともゼロに等しい場合、非常に困難なケースが考えられます: b = c = 0。この場合、方程式は ax 2 = 0 の形式になります。明らかに、そのような方程式には根が 1 つあります: x = 0。

残りのケースを考えてみましょう。 b = 0 とすると、ax 2 + c = 0 という形式の不完全な 2 次方程式が得られます。これを少し変形してみましょう。

算数以来 平方根からのみ存在します 負の数、最後の等式は (−c /a) ≥ 0 の場合にのみ意味を持ちます。 結論:

1. ax 2 + c = 0 という形式の不完全な 2 次方程式で、不等式 (−c /a) ≥ 0 が満たされる場合、根は 2 つ存在します。 式は上に示されています。
2. (−c /a) の場合< 0, корней нет.

ご覧のとおり、判別式は必要ありません。不完全な 2 次方程式には複雑な計算がまったくありません。 実際、不等式 (−c /a) ≥ 0 を覚える必要さえありません。値 x 2 を表現し、等号の反対側にあるものを確認するだけで十分です。 正の数がある場合、根は 2 つになります。 負の値の場合、ルートはまったく存在しません。

ここで、自由要素がゼロに等しい、ax 2 + bx = 0 の形式の方程式を見てみましょう。 ここではすべてが単純です。常に 2 つのルートが存在します。 多項式を因数分解するだけで十分です。

括弧内の共通因数を取り出す

因数の少なくとも 1 つがゼロの場合、積はゼロになります。 根はここから来ています。 結論として、これらの方程式のいくつかを見てみましょう。

タスク。 二次方程式を解く：

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0。

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7。

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6。 根がないので、 平方は負の数に等しくすることはできません。

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; × 2 = −1.5。

二次方程式 - 簡単に解けます！ ※以下「KU」といいます。皆さん、数学において、このような方程式を解くことほど簡単なことはないと思われるでしょう。 しかし、多くの人が彼に関して問題を抱えていることを何かが教えてくれました。 Yandex が毎月どれだけのオンデマンド インプレッションを発生させるかを確認することにしました。 何が起こったのか、見てください。

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この方程式の解き方を解説するサイトはたくさんありますが、私も寄稿して資料を公開することにしました。 まず、訪問者がこのリクエストに基づいて私のサイトに来てほしいと考えています。 次に、他の記事で「KU」の話題が出た際には、この記事へのリンクを貼ります。 第三に、彼の解決策について、通常他のサイトで述べられている内容よりももう少し詳しく説明します。 始めましょう！記事の内容:

二次方程式は次の形式の方程式です。

ここで、係数 a、bおよび c は任意の数で、a≠0 です。

学校のコースでは、資料は次の形式で提供されます。方程式は 3 つのクラスに分割されます。

1. ルーツは 2 つあります。

2. *ルートは 1 つだけです。

3. 彼らには根がありません。 ここで特に注目に値するのは、それらには本当のルーツがないということです。

ルートはどのように計算されますか? ただ！

判別式を計算します。 この「ひどい」という言葉の根底には、非常に単純な公式があります。

根の公式は次のとおりです。

※これらの公式を暗記する必要があります。

すぐに書き留めて解決できます。

例：

1. D > 0 の場合、方程式には 2 つの根があります。

2. D = 0 の場合、方程式の根は 1 つです。

3.Dの場合< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

方程式を見てみましょう。

この点に関して、学校のコースでは、判別式がゼロに等しい場合、根は 1 つ得られると述べていますが、ここでは 9 に等しいとされています。 どれも正しいし、そうなんですが…。

この考えは多少間違っています。 実は根が２つあるんです。 はい、はい、驚かないでください、結果は 2 つあります 等根、数学的に正確に言うと、答えには 2 つの根が含まれている必要があります。

× 1 = 3 × 2 = 3

しかし、これはそうです - ちょっとした余談です。 学校ではそれを書き留めて、根は1つであると言うことができます。

次の例は次のとおりです。

ご存知のとおり、負の数の根は取れないため、この場合は解決策がありません。

それが決定プロセス全体です。

二次関数。

これは、ソリューションが幾何学的にどのように見えるかを示しています。 これを理解することは非常に重要です (将来、記事の 1 つで 2 次不等式の解法を詳細に分析します)。

これは次の形式の関数です。

ここで、x と y は変数です

a、b、c – 指定された数値 (a ≠ 0)

グラフは放物線です。

つまり、「y」をゼロとして二次方程式を解くと、放物線と x 軸の交点が見つかることがわかります。 これらの点は 2 つ (判別式が正)、1 つ (判別式がゼロ)、なし (判別式が負) の場合があります。 についての詳細 二次関数 閲覧できますインナ・フェルドマンによる記事。

例を見てみましょう:

例 1: 解決する 2倍 2 +8 バツ–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

答え: x 1 = 8 x 2 = –12

※式の左辺と右辺を2で割る、つまり簡略化することはすぐにできました。 計算が簡単になります。

例 2: 決める ×2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

x 1 = 11 および x 2 = 11 であることがわかりました。

答えに x = 11 と書いても構いません。

答え: x = 11

例 3: 決める × 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

判別式が負であるため、実数では解がありません。

答え: 解決策はありません

判別式は負です。 解決策はあります！

ここでは負の判別式が得られた場合の式の解き方について説明します。 複素数について何か知っていますか? それらがなぜ、どこで生じたのか、また数学におけるそれらの特定の役割と必要性については、ここでは詳しく説明しません。これは大きな別の記事のトピックです。

複素数の概念。

ちょっとした理論。

複素数 z は次の形式の数です。

z = a + bi

ここで、a と b は実数、i はいわゆる虚数単位です。

あ+び – これは単一の数字であり、追加ではありません。

虚数単位はマイナス 1 の根に等しいです。

ここで次の方程式を考えてみましょう。

2 つの共役根が得られます。

不完全な二次方程式。

特殊なケースを考えてみましょう。これは、係数「b」または「c」がゼロに等しい（または両方がゼロに等しい）場合です。 それらは判別式なしで簡単に解くことができます。

ケース 1. 係数 b = 0。

方程式は次のようになります。

変換しましょう:

例：

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

ケース 2. 係数 c = 0。

方程式は次のようになります。

変換して因数分解してみましょう:

*因数の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、積はゼロに等しくなります。

例：

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 または x–5 =0

× 1 = 0 × 2 = 5

ケース 3. 係数 b = 0 および c = 0。

ここで、方程式の解が常に x = 0 になることは明らかです。

係数の便利なプロパティとパターン。

大きな係数を持つ方程式を解くことができるプロパティがあります。

あバツ 2 + bx+ c=0 平等が成り立つ

ある + b+ c = 0、それ

- 方程式の係数の場合 あバツ 2 + bx+ c=0 平等が成り立つ

ある+ c =b, それ

これらのプロパティは、特定のタイプの方程式を解くのに役立ちます。

例 1: 5001 バツ 2 –4995 バツ – 6=0

オッズの合計は 5001+( – 4995)+(– 6) = 0、つまり

例 2: 2501 バツ 2 +2507 バツ+6=0

平等が成り立つ ある+ c =b, 手段

係数の規則性。

1. 方程式 ax 2 + bx + c = 0 の係数「b」が (a 2 +1) に等しく、係数「c」が数値的に 係数に等しい「a」の場合、その根は等しい

ax 2 + (a 2 +1)・x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a。

例。 6x 2 + 37x + 6 = 0 という式を考えてみましょう。

x 1 = –6 x 2 = –1/6。

2. 方程式 ax 2 – bx + c = 0 の係数「b」が (a 2 +1) に等しく、係数「c」が係数「a」と数値的に等しい場合、その根は等しいです。

ax 2 – (a 2 +1)・x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a。

例。 15x 2 –226x +15 = 0 という式を考えてみましょう。

× 1 = 15 × 2 = 1/15。

3. 式の場合 ax 2 + bx – c = 0 係数「b」 は (a 2 に等しい) – 1) および係数「c」 数値的には係数「a」に等しい, その場合、その根は等しいです

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a。

例。 17x 2 +288x – 17 = 0 という式を考えてみましょう。

× 1 = – 17 × 2 = 1/17。

4. 方程式 ax 2 – bx – c = 0 の係数「b」が (a 2 – 1) に等しく、係数 c が係数「a」と数値的に等しい場合、その根は等しい。

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a。

例。 10x 2 – 99x –10 = 0 という式を考えてみましょう。

× 1 = 10 × 2 = – 1/10

ビエタの定理。

ビエタの定理は、フランスの有名な数学者フランソワ ビエタにちなんで命名されました。 ビエタの定理を使用すると、任意の KU の根の和と積を係数で表現できます。

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

合計すると、14 という数字から得られるのは 5 と 9 だけです。これらは根です。 一定のスキルがあれば、提示された定理を使用して、多くの二次方程式を口頭ですぐに解くことができます。

さらにビエタの定理。 二次方程式を解いた後に便利です いつものやり方で(判別式を通じて) 結果の根をチェックできます。 これを常に行うことをお勧めします。

輸送方法

この方法では、係数「a」が自由項に「投げられた」かのように乗算されるため、このように呼ばれます。 「転送」方式。この方法は、ビエタの定理を使用して方程式の根を簡単に見つけることができる場合、そして最も重要なことに、判別式が正確な二乗である場合に使用されます。

もし あ± b+c≠ 0 の場合、転送テクニックが使用されます。例:

2バツ 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => バツ 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

式 (2) の Vieta の定理を使用すると、x 1 = 10 x 2 = 1 を簡単に決定できます。

方程式の結果の根は 2 で割る必要があります (2 つは x 2 から「投げられた」ため)、次のようになります。

× 1 = 5 × 2 = 0.5。

根拠は何ですか? 何が起こっているか見てください。

式 (1) と (2) の判別式は等しいです。

方程式の根を見ると、分母が異なるだけであり、結果は x 2 の係数に正確に依存します。

2 番目の (変更された) ものには 2 倍大きい根があります。

したがって、結果を 2 で割ります。

※3つリセマラした場合は結果を3で割る等となります。

答え: x 1 = 5 x 2 = 0.5

平方メートル ur-ieと統一国家試験。

その重要性について簡単に説明します。根と判別式の公式を暗記する必要があり、考えずに素早く判断できなければなりません。 統一国家試験のタスクに含まれる問題の多くは、要するに 2 次方程式 (幾何学的な方程式も含む) を解くことになります。

注目すべき点があります!

1. 方程式を記述する形式は「暗黙的」にすることができます。 たとえば、次のような入力が可能です。

15+9x2 - 45x = 0 または 15x+42+9x 2 - 45x=0 または 15 -5x+10x 2 = 0。

あなたは彼をそこに連れて行く必要があります 標準ビュー（決めるときに迷わないように）。

2. x は未知の量であり、他の文字 (t、q、p、h など) で表すことができることに注意してください。

二次方程式。 判別式。 解決策、例。

注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）

二次方程式の種類

二次方程式とは何ですか? それはどのように見えますか？ の観点から 二次方程式キーワードは "四角"。これは、方程式において、 必然的に xの二乗があるはずです。 それに加えて、方程式には X (1 乗) と数値だけが含まれる場合もあります (含まれない場合もあります)。 （無料会員）。また、2 を超えるべき乗に X があってはなりません。

数学用語では、二次方程式は次の形式の方程式です。

ここ a、b、c- いくつかの数字。 bとc- まったく何でも構いませんが、 あ– ゼロ以外のもの。 例えば：

ここ あ =1; b = 3; c = -4

ここ あ =2; b = -0,5; c = 2,2

ここ あ =-3; b = 6; c = -18

まあ、わかります...

左の二次方程式には次のようになります。 フルセットメンバー。 X を係数で 2 乗したもの あ、 x の 1 乗と係数 bそして 無料会員S.

このような二次方程式は次のように呼ばれます。 満杯。

で、もし b= 0、何が得られるでしょうか? 我々は持っています X は最初の勢力に負けます。これは、ゼロを乗算すると発生します。) たとえば、次のようになります。

5x 2 -25 = 0、

2x 2 -6x=0、

-x 2 +4x=0

等々。 そして、両方の係数が bそして cがゼロに等しい場合は、さらに単純になります。

2x 2 =0、

-0.3x 2 =0

何かが欠けているこのような方程式はと呼ばれます 不完全な二次方程式。これは非常に論理的です。) x の 2 乗はすべての方程式に存在することに注意してください。

ちなみに、なぜ あゼロに等しくすることはできませんか? そして代わりにあなたが代わります あゼロ。) 私たちの X の 2 乗が消えてしまいます! 方程式は線形になります。 そして解決策は全く異なります...

これが二次方程式の主な種類のすべてです。 完全と不完全。

二次方程式を解く。

完全な二次方程式を解く。

二次方程式は簡単に解けます。 公式と明確で単純なルールに従って。 最初の段階で必要なのは、 与えられた方程式標準的な形式につながります。つまり、 フォームに:

方程式がすでにこの形式で与えられている場合は、最初の段階を行う必要はありません。) 重要なことは、すべての係数を正しく決定することです。 あ, bそして c.

二次方程式の根を求める公式は次のようになります。

ルート記号の下の式は次のように呼ばれます。 判別式。 しかし、彼については以下で詳しく説明します。 ご覧のとおり、X を見つけるには、次を使用します。 a、b、cのみ. それらの。 二次方程式からの係数。 慎重に値を置き換えてください a、b、cこの式で計算していきます。 代用しましょう あなた自身のサインで！ たとえば、式では次のようになります。

あ =1; b = 3; c= -4。 ここにそれを書き留めておきます。

この例はほぼ解決されています。

これが答えです。

すべてがとてもシンプルです。 それで、間違いを犯すことは不可能だと思いますか？ そうですね、どうやって...

最も一般的な間違いは、符号値との混同です。 a、b、c。 というか、記号ではなく（どこで混乱するのでしょうか？）、置換についてです。 負の値ルートを計算する式に代入します。 ここで役立つのは、特定の数値を使用して式を詳細に記録することです。 計算に問題がある場合は、 それを行う!

次の例を解く必要があるとします。

ここ ある = -6; b = -5; c = -1

最初から答えが得られることはめったにないとわかっているとします。

まあ、怠惰にしないでください。 追加行を書くのに約 30 秒かかります、そしてエラーの数は 急激に減少します。 そこで、括弧と記号をすべて使って詳しく書きます。

ここまで丁寧に書き出すのは非常に難しいと思われます。 しかし、そう見えるだけです。 試してみる。 まあ、それか選択してください。 速いのと正しいのはどちらが良いでしょうか? さらに、私はあなたを幸せにします。 しばらくすると、すべてをそれほど注意深く書き留める必要がなくなります。 それ自体でうまくいきます。 特に、以下で説明する実践的なテクニックを使用する場合はそうです。 これ 悪い例マイナスがたくさんある問題は、エラーなしで簡単に解決できます。

しかし、多くの場合、二次方程式は少し違って見えます。 たとえば、次のようになります。

分かりましたか？）はい！ これ 不完全な二次方程式.

不完全な二次方程式を解く。

一般的な公式を使用して解くこともできます。 ここで必要なのは、それらが何に等しいかを正しく理解することだけです。 a、b、c.

理解できましたか？ 最初の例では a = 1; b = -4;あ c? 全然無いんです！ そうですね、そうです。 数学では、これは次のことを意味します c = 0 ！ それだけです。 代わりに数式にゼロを代入します c、そして私たちは成功します。 2番目の例も同様です。 ここにゼロがないだけです と、A b !

しかし、不完全な二次方程式はもっと簡単に解くことができます。 数式なしで。 最初の不完全方程式を考えてみましょう。 左側では何ができるでしょうか？ 括弧内の X を取り出すことができます。 取り出してみましょう。

そしてこれからどうなるでしょうか？ そして、因子のいずれかがゼロに等しい場合に限り、積がゼロに等しいという事実もわかります。 信じられない？ では、掛け合わせるとゼロになる 2 つの非ゼロの数値を考えてみましょう。
動作しません？ それでおしまい...
したがって、自信を持って次のように書くことができます。 × 1 = 0, × 2 = 4.

全て。 これらが方程式の根になります。 どちらも適しています。 これらのいずれかを元の方程式に代入すると、正しい単位 0 = 0 が得られます。ご覧のとおり、解決策は一般的な公式を使用するよりもはるかに簡単です。 ちなみに、どの X が最初でどれが 2 番目になるかはまったく関係ありません。 順番に書いていくと便利なので、 ×1- 小さいものと ×2- より大きいもの。

2 番目の方程式も簡単に解くことができます。 9を右側に移動します。 我々が得る：

あとは9からルートを抽出するだけです。 次のことがわかります。

根も２つ . × 1 = -3, × 2 = 3.

これがすべての不完全二次方程式を解く方法です。 X を括弧の外に配置するか、単純に数値を右に移動してルートを抽出します。
これらのテクニックを混同することは非常に困難です。 単純に、最初のケースでは X のルートを抽出する必要がありますが、これはどういうわけか理解できず、2 番目のケースでは括弧内に何も取り出す必要がないからです。

判別式。 判別式。

魔法の言葉 判別式 ！ 高校生でこの言葉を聞いたことがない人はほとんどいないでしょう。 「判別式によって解決します」というフレーズは、自信と安心感を呼び起こします。 なぜなら、判別者にトリックを期待する必要がないからです！ シンプルで問題なく使用できます。) 最も重要なことを思い出させます。 一般式解決策のために どれでも二次方程式:

ルート記号の下の式は判別式と呼ばれます。 通常、判別式は文字で表されます。 D。 判別式:

D = b 2 - 4ac

そして、この表現の何がそれほど注目に値するのでしょうか? なぜ特別な名前が付けられたのでしょうか？ 何 判別式の意味は？結局 -b、または 2aこの式では特に何も呼んでいません...文字と文字です。

つまりね。 この公式を使用して二次方程式を解くと、次のことが可能になります。 たったの3件。

1. 判別式は正です。つまり、そこから根を取り出すことができます。 根がうまく抽出されるか、不十分に抽出されるかは別の問題です。 重要なのは、原則として何が抽出されるかです。 この場合、二次方程式には根が 2 つあります。 2 つの異なるソリューション。

2. 判別式はゼロです。そうすれば、解決策は 1 つになります。 分子にゼロを加算または減算しても何も変わりません。 厳密には一つの根ではありませんが、 二つ同じ。 しかし、簡略化したバージョンでは、次のように話すのが通例です。 一つの解決策。

3. 判別式が負です。負の数の平方根は取れません。 まあいいよ。 これは、解決策がないことを意味します。

正直に言うと、いつ 簡単な解決策二次方程式では判別式の概念は特に必要ありません。 係数の値を式に代入してカウントします。 そこではすべてが自然に起こり、2つの根があり、1つであり、何もありません。 ただし、より複雑なタスクを解決する場合、知識がなければ、 判別式の意味と公式足りない。 特にパラメータを伴う方程式では。 このような方程式は国家試験と統一国家試験の曲技飛行です!)

それで、 二次方程式の解き方あなたが覚えた判別式を通して。 あるいは、あなたは学んだのですが、それも悪いことではありません。）あなたは正しく判断する方法を知っています。 a、b、c。 どのようにするか知っていますか？ 注意深くそれらをルート公式に代入し、 注意深く結果を数えます。 ここでのキーワードが 注意深く？

ここで、エラーの数を劇的に減らす実践的なテクニックに注目してください。 不注意によるものと同じものです...後でそれが苦痛で不快なものになります...

最初の予定 。 二次方程式を解く前に怠けずに、標準形式に戻してください。 これはどういう意味ですか？
すべての変換の後、次の方程式が得られたとします。

急いでルート公式を書かないでください。 ほぼ確実に確率がまちまちになります a、b、c。例を正しく構築してください。 最初に X の 2 乗、次に 2 乗なし、次に自由項です。 このような：

繰り返しますが、急ぐ必要はありません。 X の 2 乗の前にマイナスがあると、本当に動揺する可能性があります。 忘れがちです…マイナスをなくしましょう。 どうやって？ はい、前のトピックで教えたとおりです。 方程式全体に -1 を掛ける必要があります。 我々が得る：

しかし、これで、根の公式を安全に書き留め、判別式を計算して、例を解くことができます。 自分で決めてください。 これで、ルート 2 と -1 が得られるはずです。

受付２回目。 根元をチェック！ ビエタの定理によると。 怖がらないでください、すべて説明します！ チェック中 最後のこと方程式。 それらの。 ルート公式を書き留めるために使用したもの。 (この例のように) 係数が a = 1、根の確認は簡単です。 それらを掛け合わせるだけで十分です。 結果は無料メンバーになるはずです。 私たちの場合は-2。 2 ではなく -2 であることに注意してください。 無料会員 あなたのサインと一緒に 。 それがうまくいかない場合は、すでにどこかで失敗していることを意味します。 エラーを探してください。

それが機能する場合は、ルートを追加する必要があります。 最後で最終チェック。 係数は次のようになります。 bと 反対 おなじみ。 この場合、-1+2 = +1 となります。 係数 b X の前にある は -1 に等しくなります。 したがって、すべてが正しいです！
これが非常に単純なのは、x の 2 乗が純粋で、係数がある場合のみであるのが残念です。 a = 1。ただし、少なくともそのような方程式を確認してください。 間違いもどんどん減っていきます。

受付3回目 。 方程式に分数係数がある場合は、分数を削除してください。 「方程式の解き方?恒等変換」のレッスンで説明したように、方程式に共通の分母を掛けます。 分数を扱うと、何らかの理由でエラーが発生し続けます...

ところで、私はこの邪悪な例をマイナスをたくさん付けて単純化することを約束しました。 お願いします！ ここに彼がいます。

マイナスに混乱しないように、方程式に -1 を掛けます。 我々が得る：

それだけです！ 解決するのは楽しいことです!

それでは、トピックをまとめてみましょう。

実践的なアドバイス:

1. 解く前に、二次方程式を標準形式にして構築します。 右.

2. X の 2 乗の前に負の係数がある場合は、方程式全体に -1 を乗じて係数を削除します。

3. 係数が分数の場合、方程式全体に対応する係数を乗算して分数を消去します。

4. x の 2 乗が純粋な場合、その係数は 1に等しい、解はビエタの定理を使用して簡単に検証できます。 やれ！

今、私たちは決めることができます。）

方程式を解く：

8x 2 - 6x + 1 = 0

× 2 + 3x + 8 = 0

× 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

答え（混乱中）：

× 1 = 0
× 2 = 5

× 1.2 =2

× 1 = 2
× 2 = -0.5

x - 任意の数値

× 1 = -3
× 2 = 3

解決策がない

× 1 = 0.25
× 2 = 0.5

すべてが当てはまりますか? 素晴らしい！ 二次方程式は頭の痛い問題ではありません。 最初の 3 つは機能しましたが、残りは機能しませんでした? したがって、問題は二次方程式ではありません。 問題は方程式の等変換にあります。 リンクを見てください、それは役に立ちます。

なかなかうまくいきませんか？ それとも全くうまくいかないのでしょうか？ これらすべての例がセクション 555 に分類されています。 示されている 主要ソリューション内のエラー。 もちろん用途についてもお話します アイデンティティ変換さまざまな方程式を解く際に。 とても助かります！

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ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)

例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。 即時検証によるテスト。 興味を持って学びましょう!)

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