入り口コサインは斜辺の反対側の比です。 サイン、コサイン、タンジェント: それは何ですか? サイン、コサイン、タンジェントを見つける方法
この記事では贈り方を紹介します 三角法における角度と数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義。 ここでは、表記法について説明し、記入例を示し、図解を示します。 結論として、三角法と幾何学におけるサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義の間に類似点を描きましょう。
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サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義
学校の数学の授業でサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの概念がどのように形成されるかを見てみましょう。 幾何学のレッスンでは、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義が与えられます。 鋭角直角三角形で。 そしてその後、回転角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントと数について説明する三角法が研究されます。 これらすべての定義を示し、例を挙げ、必要なコメントを加えましょう。
直角三角形の鋭角
幾何学のコースから、直角三角形の鋭角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義がわかりました。 それらは直角三角形の辺の比率として与えられます。 それらの公式を与えてみましょう。
意味。
直角三角形の鋭角の正弦斜辺の反対側の比率です。
意味。
直角三角形の鋭角の余弦隣接する脚と斜辺の比率です。
意味。
直角三角形の鋭角の接線– これは、反対側と隣接する側の比率です。
意味。
直角三角形の鋭角の余接- これは、隣接する側と反対側の比率です。
ここでは、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの指定 (それぞれ、sin、cos、tg、ctg) も導入されています。
たとえば、ABC の場合、 直角三角形が直角 C の場合、鋭角 A の正弦は、斜辺 AB に対する反対側 BC の比に等しくなります。つまり、sin∠A=BC/AB となります。
これらの定義により、鋭角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値を計算することができます。 既知の長さ直角三角形の辺とそれに沿った部分 既知の値サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント、および一方の辺の長さを使用して、もう一方の辺の長さを求めます。 たとえば、直角三角形で脚 AC が 3 に等しく、斜辺 AB が 7 に等しいことがわかっている場合、定義に従って鋭角 A の余弦の値を計算できます: cos∠A=AC/ AB=3/7。
回転角度
三角法では、角度をより広く見るようになり、回転角の概念が導入されます。 鋭角とは異なり、回転角の大きさは 0 ～ 90 度に限定されず、回転角は度単位 (およびラジアン単位) で -∞ ～ +∞ の実数で表すことができます。
この観点から、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義は鋭角ではなく、任意の大きさの角度、つまり回転角で与えられます。 それらは、点 A 1 の x 座標と y 座標によって与えられます。いわゆる開始点 A(1, 0) は、直交デカルト座標系の始点である点 O を中心に角度 α だけ回転した後に到達します。そして単位円の中心。
意味。
回転角の正弦αは点Ａ１の縦座標、すなわちｓｉｎα＝ｙである。
意味。
回転角の余弦αは点A 1 の横座標、つまりcosα=xと呼ばれます。
意味。
回転角の正接αは、点A 1 の縦座標とその横座標の比、すなわち、tanα=y/xである。
意味。
回転角の余接αは、点A 1 の横座標とその縦座標の比、すなわち、ctgα=x/yである。
サインとコサインは、開始点を角度 α だけ回転することによって得られる点の横座標と縦座標を常に決定できるため、任意の角度 α に対して定義されます。 ただし、接線と余接はどの角度に対しても定義されていません。 接線は、開始点がゼロの横座標 (0, 1) または (0, −1) の点に向かう角度 α に対して定義されておらず、これは角度 90°+180° k、k∈Z (π) で発生します。 /2+π・k rad)。 実際、そのような回転角度では、式 tgα=y/x は意味を持ちません。ゼロによる除算が含まれるからです。 コタンジェントについては、始点が縦座標ゼロの点 (1, 0) または (−1, 0) に向かう角度 α については定義されておらず、これは角度 180° k, k ∈Z で発生します。 (π・k rad)。
したがって、サインとコサインは任意の回転角度に対して定義され、タンジェントは 90°+180°k、k∈Z (π/2+πk rad) を除くすべての角度に対して定義され、コタンジェントは 180° ·k を除くすべての角度に対して定義されます。 、ｋ∈Ｚ（π・ｋラジアン）。
定義には、すでに知られている sin、cos、tg、ctg の指定が含まれています。また、回転角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを指定するためにも使用されます (タンジェントとコタンジェントに対応する Tan と cot の指定が見つかる場合もあります)。 。 したがって、回転角 30 度の正弦は sin30° と書くことができ、エントリ tg(-24°17') と ctgα は、回転角 -24 度 17 分の正接と回転角 α の余接に対応します。 。 角度のラジアン単位を書くとき、「rad」という指定が省略されることが多いことを思い出してください。 たとえば、3 π rad の回転角の余弦は、通常、cos3・πと表されます。
この点の結論として、回転角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントについて話すとき、「回転角度」という語句や「回転」という言葉が省略されることが多いことに注意してください。 つまり、通常、「回転角アルファのサイン」という表現の代わりに、「アルファ角のサイン」、またはさらに短い「サイン アルファ」という表現が使用されます。 コサイン、タンジェント、コタンジェントについても同様です。
また、直角三角形の鋭角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義は、0 度から 90 度の範囲の回転角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントについての定義と一致しているとも言えます。 私たちはこれを正当化します。
数字
意味。
数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント t は、回転角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント (t ラジアン単位) にそれぞれ等しい数値です。
たとえば、定義上、数値 8 · π のコサインは、8 · π ラジアンの角度のコサインに等しい数値です。 角度の余弦は 8 π rad です 1に等しいしたがって、数値 8・π のコサインは 1 に等しくなります。
数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを決定する別のアプローチがあります。 これは、各実数 t にドットを割り当てることから成ります。 単位円直交座標系の原点を中心とし、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントはこの点の座標によって決定されます。 これをさらに詳しく見てみましょう。
実数と円上の点との間に対応関係がどのように確立されるかを示しましょう。
- 数値 0 には開始点 A(1, 0) が割り当てられます。
- 正数 t は単位円の点に関連付けられており、開始点から反時計回りに円に沿って移動し、長さ t のパスを歩くと到達します。
- 負の数 t は単位円上の点に関連付けられており、開始点から時計回りに円に沿って移動し、長さ |t| のパスを歩くと、その点に到達します。 。
次に、数値 t のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義に移ります。 数値ｔが円Ａ １ （ｘ，ｙ）上の点に対応するとする（例えば、数値πは点Ａ １ （０，１）に対応する）。
意味。
数値の正弦 t は、数値 t に対応する単位円上の点の縦座標、つまり sint=y です。
意味。
数値のコサイン t は、数 t に対応する単位円の点の横座標と呼ばれます、つまりコスト = x です。
意味。
数値の正接 t は、番号 t に対応する単位円上の点の縦軸と横軸の比、つまり、tgt=y/x です。 別の同等の公式では、数値 t のタンジェントは、この数値のサインとコサインの比、つまり tgt=sint/cost になります。
意味。
数のコタンジェント t は、数値 t に対応する単位円上の点の横座標と縦座標の比、つまり ctgt=x/y です。 別の公式は次のとおりです。数値 t の正接は、数値 t の余弦と数値 t の正弦の比です: ctgt=cost/sint。
ここで、今与えられた定義がこの段落の冒頭で与えられた定義と一致していることに注意してください。 実際、数ｔに対応する単位円上の点は、始点を角度ｔラジアンだけ回転させた点と一致する。
この点を明確にする価値は依然としてある。 sin3 というエントリがあるとします。 数字の 3 の正弦について話しているのか、それとも 3 ラジアンの回転角の正弦について話しているのかをどのように理解すればよいでしょうか? これは通常、文脈から明らかですが、そうでない場合は、基本的に重要ではない可能性があります。
角度および数値引数の三角関数
前の段落で与えられた定義によれば、各回転角 α は、非常に特定の値 sinα および値 cosα に対応します。 また、90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) 以外のすべての回転角度は tgα 値に対応し、180°k, k∈Z (πk rad) 以外の値は - 値に対応します。 ctgαの。 したがって、sinα、cosα、tanα、ctgα は角度 α の関数です。 言い換えれば、これらは角度引数の関数です。
数値引数の関数サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントについても同様に言えます。 実際、各実数 t は、コストだけでなく非常に特定の値 sint に対応します。 また、π/2+π・k,k∈Z以外の数値は値tgtに、数値π・k,k∈Z-値はctgtに対応します。
関数はサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントと呼ばれます。 基本的な三角関数.
通常、角度引数の三角関数を扱っているのか、それとも数値引数の三角関数を扱っているのかは、文脈から明らかです。 それ以外の場合は、独立変数を角度の尺度 (角度引数) と数値引数の両方として考えることができます。
しかし、学校では主に数値関数、つまり引数とそれに対応する関数値が数値である関数を学習します。 したがって、もし 私たちが話しているのは特に関数については、三角関数を数値引数の関数として考えることをお勧めします。
幾何学と三角法の定義の関係
回転角 α が 0 ～ 90 度の範囲であると考えると、三角法の文脈における回転角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義は、三角関数のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義と完全に一致します。幾何学のコースで与えられる直角三角形の鋭角。 これを正当化しましょう。
直交デカルト座標系 Oxy で単位円を描いてみましょう。 開始点 A(1, 0) をマークしましょう。 これを 0 ～ 90 度の範囲の角度 α だけ回転させて、点 A 1 (x, y) を取得します。 点 A 1 から Ox 軸への垂線 A 1 H を落としてみましょう。
直角三角形の角 A 1 OH であることが簡単にわかります。 角度に等しい回転α、この角度に隣接する脚の長さ OH は点 A 1 の横座標に等しい、つまり |OH|=x、角の反対側の脚 A 1 H の長さは点 A 1 の縦座標に等しい。点Ａ １ 、つまり｜Ａ １ Ｈ｜＝ｙであり、斜辺ＯＡ １ の長さは単位円の半径であるため、１に等しい。 次に、幾何学からの定義により、直角三角形 A 1 OH の鋭角 α の正弦は、斜辺に対する反対側の脚の比に等しくなります。つまり、sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y。 そして、三角法の定義により、回転角αの正弦は点Ａ １ の縦座標に等しい、すなわち、ｓｉｎα＝ｙである。 これは、直角三角形の鋭角の正弦を求めることは、α が 0 ～ 90 度の場合の回転角 α の正弦を求めることと同等であることを示しています。
同様に、鋭角 α のコサイン、タンジェント、コタンジェントの定義は、回転角 α のコサイン、タンジェント、コタンジェントの定義と一致していることがわかります。
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まず、半径 1 で中心が (0;0) の円を考えます。 任意の αЄR について、0A と 0x 軸の間の角度のラジアン単位が α に等しくなるように、半径 0A を描くことができます。 反時計回りの方向が正とみなされます。 半径 A の端の座標を (a,b) とします。
正弦の定義
定義: 上記の方法で構築された単位半径の縦座標に等しい数値 b は、sinα で示され、角度 α のサインと呼ばれます。
例: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0
コサインの定義
定義: 上記の方法で構築された単位半径の端の横座標に等しい数値 a は、cosα で示され、角度 α の余弦と呼ばれます。
例: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2
これらの例では、単位半径と単位円の端の座標に関する角度のサインとコサインの定義を使用しています。 より視覚的に表現するには、単位円を描画し、その上に対応する点をプロットし、その横座標を数えてコサインを計算し、縦座標を数えてサインを計算する必要があります。
接線の定義
定義: x≠π/2+πk、kЄZ に対する関数 tgx=sinx/cosx は、角度 x の余接と呼ばれます。 ドメイン tgx関数これらは、x=π/2+πn、nЄZ を除き、すべて実数です。
例: tg0 tgπ = 0 0 = 0
この例は前の例と似ています。 角度の正接を計算するには、点の縦座標を横座標で割る必要があります。
コタンジェントの定義
定義: x≠πk、kЄZ の関数 ctgx=cosx/sinx は、角度 x の余接と呼ばれます。 関数 ctgx = の定義域は、点 x=πk、kЄZ を除くすべての実数です。
正直角三角形を使用した例を見てみましょう
コサイン、サイン、タンジェント、コタンジェントが何であるかをより明確にするため。 角度 y の正直角三角形を使用した例を見てみましょう。 面a、b、c。 斜辺 c、脚 a と b です。 斜辺 c と脚 b y の間の角度。
意味：角度 y のサインは、斜辺の反対側の比です: siny = a/c
意味：角度 y の余弦は、隣接する脚と斜辺の比です: cozy = v/c
意味：角度 y の正接は、反対側と隣接する側の比です: tgy = a/b
意味：角度 y の余接は、隣接する側と反対側の比です: ctgy= in/a
サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは三角関数とも呼ばれます。 各角度には独自のサインとコサインがあります。 そして、ほぼすべての人が独自のタンジェントとコタンジェントを持っています。
角度が与えられれば、そのサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントが分かると考えられています。 およびその逆。 サインまたはその他の三角関数がそれぞれ与えられると、角度がわかります。 角度ごとに三角関数が書かれた特別な表も作成されています。
サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの概念は、数学の一分野である三角法の主要なカテゴリーであり、角度の定義と密接に関連しています。 この数学を習得するには、公式や定理の暗記と理解、そして空間的思考の発達が必要です。 だからこそ、小学生や学生は、 三角関数の計算しばしば困難を引き起こします。 これらを克服するには、三角関数と公式にもっと慣れる必要があります。
三角法の概念
理解するために 基本概念三角関数を使用する場合は、まず直角三角形と円の角度が何であるか、そしてすべての基本的な三角関数の計算がそれらに関連付けられている理由を決定する必要があります。 角の 1 つが 90 度である三角形は長方形です。 歴史的に、この数字は建築、航海、芸術、天文学の分野でよく使用されていました。 したがって、人々はこの図形の特性を研究し分析することによって、そのパラメータの対応する比率を計算するようになりました。
直角三角形に関連する主なカテゴリは、斜辺と脚です。 斜辺は、三角形の直角の反対側の辺です。 脚はそれぞれ残りの 2 つの側面です。 三角形の角度の合計は常に 180 度になります。
球面三角法は三角法の一部であり、学校では学習しませんが、天文学や測地学などの応用科学では科学者が使用しています。 球面三角法の三角形の特徴は、角度の合計が常に 180 度を超えることです。
三角形の角度
直角三角形では、角度の正弦は、三角形の斜辺に対する目的の角度の反対側の脚の比率です。 したがって、コサインは隣接する脚と斜辺の比になります。 これらの値は両方とも常に次の大きさを持ちます。 1未満斜辺は常に脚よりも長いためです。
角度の正接は、目的の角度の反対側と隣接する側の比、またはサインとコサインの比に等しい値です。 コタンジェントは、目的の角度の隣接する側と反対側の比です。 角度の余接は、1 を接線値で割ることによっても取得できます。
単位円
幾何学における単位円は、半径が 1 に等しい円です。 このような円は、円の中心が原点と一致するデカルト座標系で構築され、動径ベクトルの初期位置は X 軸 (横軸) の正の方向に沿って決定されます。 円上の各点には、XX と YY の 2 つの座標、つまり横座標と縦座標があります。 XX 平面内の円上の任意の点を選択し、そこから横軸に垂線を引くと、選択した点 (文字 C で示される) までの半径によって形成される直角三角形が得られ、垂線は X 軸に引かれます。 （交点は文字 G で示されます）、線分は原点（点は文字 A で示されます）と交点 G の間の横軸です。得られる三角形 ACG は円に内接する直角三角形です。ここで、AG は斜辺、AC と GC は脚です。 円ＡＣの半径とＡＧで示される横軸のセグメントとの間の角度は、α（アルファ）として定義される。 したがって、cos α = AG/AC となります。 AC が単位円の半径であり、1 に等しいと考えると、cos α=AG であることがわかります。 同様に、sinα=CGです。
さらに、このデータがわかれば、cos α=AG、sin α=CG であるため、円上の点 C の座標を決定できます。これは、点 C が 与えられた座標(cos α;sin α)。 タンジェントがサインとコサインの比に等しいことがわかっているので、tan α = y/x、cot α = x/y と判断できます。 負の座標系で角度を考慮すると、一部の角度のサイン値とコサイン値が負になる可能性があることを計算できます。
計算と基本的な公式
三角関数の値
単位円を通して三角関数の本質を考察すると、いくつかの角度に対するこれらの関数の値を導き出すことができます。 値は以下の表に記載されています。
最も単純な三角恒等式
三角関数の符号の下に未知の値がある方程式を三角関数といいます。 値 sin x = α, k - 任意の整数を持つ恒等式:
- sin x = 0、x = πk。
- 2. sin x = 1、x = π/2 + 2πk。
- sin x = -1、x = -π/2 + 2πk。
- sin x = a, |a| > 1、解決策はありません。
- sin x = a, |a| ≦ 1、x = (-1)^k * arcsin α + πk。
値 cos x = a を持つ恒等式 (k は任意の整数):
- cos x = 0、x = π/2 + πk。
- cos x = 1、x = 2πk。
- cos x = -1、x = π + 2πk。
- cos x = a, |a| > 1、解決策はありません。
- cos x = a, |a| ≦ 1、x = ±arccos α + 2πk。
値 tg x = a を持つ恒等式 (k は任意の整数):
- Tan x = 0、x = π/2 + πk。
- Tan x = a、x = arctan α + πk。
値 ctg x = a を持つ恒等式 (k は任意の整数):
- cot x = 0、x = π/2 + πk。
- ctg x = a、x = arcctg α + πk。
還元式
このカテゴリー 定数式は、形式の三角関数から引数の関数に移動できるメソッドを示します。つまり、任意の値の角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを、0 から計算の利便性を高めるために90度。
角度の正弦に対する換算関数の公式は次のようになります。
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600+α)=sinα。
角度の余弦の場合:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α。
上記の式は 2 つの規則に従って使用できます。 まず、角度が値 (π/2 ± a) または (3π/2 ± a) として表現できる場合、関数の値は次のように変化します。
- 罪から余程まで。
- コスから罪へ。
- tg から ctg へ。
- ctgからtgへ。
角度が (π ± a) または (2π ± a) で表せる場合、関数の値は変わりません。
第 2 に、還元された関数の符号は変化しません。最初に正であった場合、そのまま残ります。 負の関数も同様です。
加算式
これらの公式は、三角関数を通じて 2 つの回転角の和と差のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値を表します。 通常、角度はαとβで表されます。
式は次のようになります。
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin。
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin。
- Tan(α ± β) = (tg α ± Tan β) / (1 ∓ Tan α * Tan β)。
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β)。
これらの式は、任意の角度 α および β に対して有効です。
二重角と三重角の公式
２倍角三角関数、３倍角三角関数は、それぞれ角度２α、３αの関数と角度αの三角関数を関係付ける式である。 加算式から導出される:
- sin2α = 2sinα*cosα。
- cos2α = 1 - 2sin^2 α。
- Tan2α = 2tgα / (1 - Tan^2 α)。
- sin3α = 3sinα - 4sin^3 α。
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα。
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α)。
和から積への遷移
この式を簡略化して 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) と考えると、恒等 sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 が得られます。 同様に、sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; Tanα + Tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α)。
積から和への遷移
これらの公式は、和から積への遷移の恒等式から導き出されます。
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*。
度数換算式
これらの恒等式では、サインとコサインの 2 乗と 3 乗は、倍角の 1 乗のサインとコサインで表現できます。
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8。
汎用置換
普遍三角関数置換の公式は、半角の正接に関して三角関数を表します。
- sin x = (2tgx/2) * (1 + Tan^2 x/2)、x = π + 2πn;
- cos x = (1 - Tan^2 x/2) / (1 + Tan^2 x/2)、ここで x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2)、ここで x = π + 2πn;
- cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2)、x = π + 2πn。
特殊なケース
原虫の特殊なケース 三角方程式を以下に示します (k は任意の整数)。
正弦の商:
| 罪×値 | x値 |
|---|---|
| 0 | πｋ |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk または 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk または -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk または 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk または -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk または 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk または -2π/3 + 2πk |
コサインの商:
| cos x 値 | x値 |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4+2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
接線の商:
| tg×値 | x値 |
|---|---|
| 0 | πｋ |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
コタンジェントの商:
| ctg x 値 | x値 |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
定理
正弦定理
定理には、単純なものと拡張されたものの 2 つのバージョンがあります。 単純な定理サイン: a/sin α = b/sin β = c/sin γ。 この場合、a、b、c は三角形の辺、α、β、γ はそれぞれ対角です。
任意の三角形の拡張正弦定理: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R。 この恒等式において、R は与えられた三角形が内接する円の半径を示します。
コサイン定理
恒等式は次のように表示されます: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α。 式中、a、b、c は三角形の辺、α は辺 a の対角です。
正接定理
この公式は、2 つの角度の接線とその反対側の長さの関係を表します。 辺には a、b、c のラベルが付けられ、対応する対角は α、β、γ となります。 正接定理の公式: (a - b) / (a+b) = Tan((α - β)/2) / Tan((α + β)/2)。
余接定理
三角形に内接する円の半径と辺の長さを結びます。 a、b、c が三角形の辺、A、B、C がそれぞれその対角、r が内接円の半径、p が三角形の半周長である場合、次のようになります。 ID は有効です:
- cot A/2 = (p-a)/r;
- cot B/2 = (p-b)/r;
- cot C/2 = (p-c)/r。
応用
三角法は単に次のことに関連する理論科学ではありません。 数式。 その特性、定理、規則はさまざまな業界で実際に使用されています。 人間の活動— 天文学、航空航法、海洋航法、音楽理論、測地学、化学、音響学、光学、エレクトロニクス、建築、経済学、機械工学、測定作業、コンピュータグラフィックス、地図作成、海洋学、その他多数。
サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは三角法の基本概念であり、これを利用して三角形の辺の角度と長さの関係を数学的に表現し、恒等式、定理、法則を通じて必要な数量を求めることができます。
重要な注意事項！
1. 数式の代わりに gobbledygook が表示される場合は、キャッシュをクリアします。 ブラウザでこれを行う方法はここに書かれています:
2. 記事を読み始める前に、ナビゲーターに最大限の注意を払ってください。 有用なリソースのために
サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント
サイン ()、コサイン ()、タンジェント ()、コタンジェント () の概念は、角度の概念と密接に関連しています。 これらの一見すると複雑な概念（多くの学童に恐怖状態を引き起こす）をよく理解し、「悪魔は描かれているほど恐ろしいものではない」ことを確認するために、次のことから始めましょう。非常に初心者であり、角度の概念を理解しています。
角度の概念: ラジアン、度
写真を見てみましょう。 ベクトルは、点に対して一定量だけ「回転」します。 したがって、初期位置に対するこの回転の尺度は次のようになります。 コーナー.
角度の概念について他に何を知っておく必要がありますか? もちろん、角度単位です！
角度は、幾何学と三角法の両方で、度およびラジアンで測定できます。
(1度)の角度をといいます。 中心角円の一部に等しい円弧に基づいて、円の中で。 したがって、円全体は円弧の「部分」で構成されているか、円が描く角度は等しいです。
つまり、上の図は角度に等しいことを示しています。つまり、この角度は円周のサイズの円弧上にあります。
ラジアン単位の角度は、長さが円の半径に等しい円弧によって囲まれる円の中心角です。 さて、わかりましたか？ そうでない場合は、図面から理解しましょう。
したがって、図はラジアンに等しい角度を示しています。つまり、この角度は、長さが円の半径に等しい円弧上にあります（長さが長さに等しいか、半径が円弧に等しい）。弧の長さ)。 したがって、円弧の長さは次の式で計算されます。
中心角はラジアンで表します。
さて、これを知って、円が描く角度には何ラジアンが含まれるか答えられますか? はい、このためには円周の公式を覚えておく必要があります。 彼女が来た：
さて、これら 2 つの公式を相関させて、円が描く角度が等しいことを確認しましょう。 つまり、度とラジアンの値を相関させることで、それが得られます。 それぞれ、 。 ご覧のとおり、「度」とは異なり、「ラジアン」という単語は省略されています。これは、通常、測定単位が文脈から明らかであるためです。
ラジアンは何ラジアンですか? それは正しい！
わかった？ 次に、修正してください。
何か問題がありますか? それから見てください 答え:
直角三角形: 角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント
そこで、角度という概念を考え出しました。 しかし、角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントとは何でしょうか? それを理解しましょう。 これを行うには、直角三角形が役立ちます。
直角三角形の辺を何といいますか? そうです、斜辺と脚です。斜辺は直角の反対側にある側面です (この例ではこれが側面です)。 脚は残りの 2 つの側面と (隣接する側面) です。 直角)、角度に対して脚を考慮すると、脚は次のようになります。 隣接する脚、足は反対側です。 それでは、角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントとは何ですか?という質問に答えましょう。
角度の正弦- これは、斜辺に対する反対側 (遠い) 脚の比率です。
私たちの三角形で。
角度の余弦- これは、斜辺に対する隣接する (近い) 脚の比率です。
私たちの三角形で。
角度の正接- これは、隣接する (近い) 側に対する反対側 (遠い) 側の比率です。
私たちの三角形で。
角度の余接- これは、隣接する (近い) 脚と反対側 (遠い) 脚の比率です。
私たちの三角形で。
これらの定義は必要です 覚えて！ どの脚を何に分割するかを覚えやすくするには、次のことを明確に理解する必要があります。 正接そして コタンジェント脚だけが座っており、斜辺はのみに現れます。 副鼻腔そして 余弦。 そして、一連の連想を思いつくことができます。 たとえば、これは次のとおりです。
コサイン→タッチ→タッチ→隣接。
コタンジェント→タッチ→タッチ→隣接。
まず第一に、三角形の辺の比率は (同じ角度での) これらの辺の長さに依存しないため、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを覚えておく必要があります。 信じないで？ 次に、画像を見て確認してください。
たとえば、角度の余弦を考えてみましょう。 定義上、三角形から: ですが、三角形から角度の余弦を計算できます: 。 ご覧のとおり、辺の長さは異なりますが、1 つの角度の余弦の値は同じです。 したがって、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値は角度の大きさのみに依存します。
定義を理解したら、先に進んでそれらを統合してください。
下の図に示す三角形について、 を求めます。
さて、わかりましたか？ 次に、自分で試してみてください。角度についても同じように計算してください。
単位（三角関数）円
度とラジアンの概念を理解して、半径が等しい円を考えました。 このようなサークルをこう呼びます シングル。 三角関数を勉強するときにとても役立ちます。 したがって、もう少し詳しく見てみましょう。
ご覧のとおり、この円はデカルト座標系で構築されています。 円の半径は 1 に等しく、円の中心は座標の原点にあり、動径ベクトルの初期位置は軸の正の方向に沿って固定されます (この例では、これが半径です)。
円上の各点は、軸座標と軸座標という 2 つの数値に対応します。 これらの座標番号は何ですか? そして一般的に、彼らは目の前の話題と何の関係があるのでしょうか？ これを行うには、考慮された直角三角形について覚えておく必要があります。 上の図では、2 つの完全な直角三角形が見えます。 三角形を考えてみましょう。 軸に直角なので長方形です。
三角形は何に等しいですか? それは正しい。 さらに、 が単位円の半径であることもわかります。つまり、 です。 この値をコサインの式に代入してみましょう。 何が起こるかというと、次のとおりです。
三角形は何に等しいですか? まあ、もちろん、！ この式に半径の値を代入すると、次のようになります。
では、円に属する点がどのような座標を持っているかわかりますか? まあ、まさか？ それに気づいて、ただの数字だったらどうなるでしょうか？ どの座標に対応するのでしょうか？ そうですね、もちろんコーディネートも！ そしてそれはどの座標に対応するのでしょうか？ そう、コーディネートです！ したがって、期間。
では、何が等しいのでしょうか？ そうです、タンジェントとコタンジェントの対応する定義を使用して、それを取得しましょう。
角度がもっと大きかったらどうなるでしょうか？ たとえば、この図のように:
この例では何が変わったのでしょうか? それを理解しましょう。 これを行うには、もう一度直角三角形に戻りましょう。 直角三角形: 角度 (角度に隣接するものとして) を考えてみましょう。 角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値は何ですか? そうです、三角関数の対応する定義に従います。
ご覧のとおり、角度のサインの値は依然として座標に対応しています。 角度の余弦の値 - 座標; そして、対応する比率のタンジェントとコタンジェントの値。 したがって、これらの関係は動径ベクトルのあらゆる回転に適用されます。
動径ベクトルの初期位置は軸の正の方向に沿っていることはすでに述べました。 ここまではこのベクトルを反時計回りに回転させてきましたが、時計回りに回転させたらどうなるでしょうか? 特別なことは何もありません。特定の値の角度も得られますが、それはマイナスになるだけです。 したがって、動径ベクトルを反時計回りに回転すると、次のようになります。 正の角度、時計回りに回転すると - ネガティブ。
したがって、円の周りの動径ベクトルの全回転は または であることがわかります。 半径ベクトルを または に回転させることは可能ですか? もちろん、できますよ！ したがって、最初のケースでは、動径ベクトルは 1 回転し、位置 or で停止します。
2 番目の場合、つまり、動径ベクトルは 3 回転し、位置 or で停止します。
したがって、上記の例から、 or ( は任意の整数) によって異なる角度は、動径ベクトルの同じ位置に対応すると結論付けることができます。
下の図は角度を示しています。 コーナー等も同様の画像が対応します。 このリストは無期限に継続できます。 これらすべての角度は、一般式または ( は任意の整数) で表すことができます。
ここで、基本的な三角関数の定義を理解し、単位円を使用して、値が何であるかを答えてみてください。
以下に単位円を示します。
何か問題がありますか? それからそれを理解しましょう。 したがって、次のことがわかります。
ここから、特定の角度の尺度に対応する点の座標を決定します。 それでは、順番に始めましょう。 の角度は座標を持つ点に対応します。したがって、次のようになります。
存在しない;
さらに、同じ論理に従うと、 の角がそれぞれ座標を持つ点に対応していることがわかります。 これがわかれば、対応する点での三角関数の値を求めるのは簡単です。 まずは自分で試してみて、それから答えを確認してください。
答え:
したがって、次の表を作成できます。
これらの値をすべて覚えておく必要はありません。 単位円上の点の座標と三角関数の値の対応を覚えておくだけで十分です。
ただし、以下の表に示す、 と の角度の三角関数の値は、 覚えておかなければならない:
怖がらないで、一例をお見せしましょう 対応する値を覚えるのは非常に簡単です:
この方法を使用するには、角度の 3 つの測定値すべてのサインの値 () と、角度のタンジェントの値を覚えておくことが重要です。 これらの値がわかれば、テーブル全体を復元するのは非常に簡単です。コサイン値は矢印に従って転送されます。
これを知ることで、値を復元できます。 分子「 」が一致し、分母「 」が一致します。 コタンジェント値は、図に示されている矢印に従って転送されます。 これを理解し、矢印の付いた図を覚えていれば、表のすべての値を覚えておくだけで十分です。
円上の点の座標
円上の点(その座標)を見つけることはできますか? 円の中心の座標、半径、回転角度を知る?
もちろん、できますよ！ 出してみましょう 一般式点の座標を見つけるには.
たとえば、これは私たちの目の前にある円です。
点が円の中心であると仮定します。 円の半径は等しいです。 点を度単位で回転させて得られる点の座標を求める必要があります。
図からわかるように、点の座標はセグメントの長さに対応します。 セグメントの長さは円の中心の座標に対応します。つまり、等しいです。 セグメントの長さは、コサインの定義を使用して表現できます。
次に、それが点座標になります。
同じロジックを使用して、点の y 座標値を見つけます。 したがって、
それで、 一般的な見解点の座標は次の式で決定されます。
円の中心の座標、
円の半径、
ベクトル半径の回転角度。
ご覧のとおり、検討している単位円の場合、中心の座標は 0 に等しく、半径は 1 に等しいため、これらの式は大幅に短縮されます。
さて、円上の点を見つける練習をしてこれらの公式を試してみましょう?
1. 点を回転させて得られる単位円上の点の座標を求めます。
2. 点を回転して得られる単位円上の点の座標を求めます。
3. 点を回転して得られる単位円上の点の座標を求めます。
4. 点は円の中心です。 円の半径は等しいです。 初期動径ベクトルを だけ回転させた点の座標を求める必要があります。
5. 点は円の中心です。 円の半径は等しいです。 初期動径ベクトルを だけ回転させた点の座標を求める必要があります。
円上の点の座標を見つけるのが難しいですか?
これら 5 つの例を解く (または解くのが上手になる) と、それらを見つける方法を学ぶことができます。
概要と基本公式
角度の正弦は、反対側 (遠い) 脚と斜辺の比です。
角度のコサインは、斜辺に対する隣接する (近い) 脚の比率です。
角度の正接は、反対側 (遠い側) と隣接する (近い側) 側の比率です。
角度の余接は、隣接する (近い) 側と反対側 (遠い) 側の比です。
さて、この話題は終わりました。 これらの行を読んでいる場合、それはあなたがとてもクールであることを意味します。
なぜなら、独力で何かを習得できる人はわずか5％だからです。 最後まで読んでいただければ、あなたもこの 5% に入っています！
さて、最も重要なことです。
あなたはこのトピックに関する理論を理解しました。 そして、繰り返しますが、これは…これはまさにスーパーです！ あなたはすでに大多数の同僚よりも優れています。
問題は、これでは十分ではないかもしれないということです...
何のために？
成功するために 統一国家試験に合格する、予算内で大学に入学するため、そして最も重要なことに、生涯にわたって。
何も説得できないけど、一つだけ言っておきます…
良い教育を受けた人は、受けていない人よりもはるかに多くの収入を得ています。 これは統計です。
しかし、これが主要なことではありません。
重要なことは、彼らがより幸せになるということです（そのような研究があります）。 おそらく、より多くのチャンスが彼らの前に開かれ、人生が明るくなったからでしょうか？ わかりません...
でも自分で考えてみてください...
統一国家試験で他の人より確実に優れ、最終的には幸せになるためには何が必要ですか?
このトピックに関する問題を解決して、手を獲得してください。
試験中に理論は問われません。
必要になるだろう 時間をかけて問題を解決する.
そして、それらを（たくさん！）解決していない場合は、間違いなくどこかで愚かな間違いを犯すか、単に時間がないでしょう。
それはスポーツと同じで、確実に勝つためには何度も繰り返す必要があります。
どこにいてもコレクションを見つけられ、 必ず解決策が必要です 詳細な分析 そして決めて決めて決めて！
私たちのタスク (オプション) を使用することもできます。もちろん、それをお勧めします。
私たちのタスクをより上手に使用できるようにするには、現在読んでいる YouClever 教科書の寿命を延ばすことに協力する必要があります。
どうやって？ 次の 2 つのオプションがあります。
- この記事のすべての隠されたタスクのロックを解除します -
- 教科書の 99 記事すべてにあるすべての隠されたタスクへのアクセスのロックを解除します - 教科書を購入 - 499 RUR
はい、教科書にはそのような記事が 99 個あり、すべてのタスクにアクセスし、その中のすべての隠しテキストをすぐに開くことができます。
すべての非表示タスクへのアクセスは、サイトの存続期間中提供されます。
結論は...
私たちの仕事が気に入らない場合は、他の仕事を見つけてください。 理論だけにとどまらないでください。
「わかる」と「解ける」は全く別のスキルです。 両方必要です。
問題を見つけて解決しましょう！
この記事には次の内容が含まれています サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの表。 まず、三角関数の基本値の表、つまり 0、30、45、60、90、...、360 度の角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの表を提供します ( 0、π/6、π/4、π/3、π/2、…、2πラジアン）。 この後、V. M. Bradis によるサインとコサインの表、およびタンジェントとコタンジェントの表を示し、三角関数の値を求めるときにこれらのテーブルを使用する方法を示します。
ページナビゲーション。
角度 0、30、45、60、90、... 度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの表
参考文献。
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- バシュマコフ M.I.代数と解析の始まり: 教科書。 10〜11年生向け。 平均 学校 - 第 3 版 - M.: 教育、1993年。 - 351 ページ: 病気。 - ISBN 5-09-004617-4。
- 代数そして分析の始まり：Proc. 10〜11年生向け。 一般教育 機関 / A. N. コルモゴロフ、A. M. アブラモフ、Yu. P. ドゥドニーツィンなど。 エド。 A. N. コルモゴロフ - 第 14 版 - M.: 教育、2004. - 384 ページ: 病気 - ISBN 5-09-013651-3。
- グセフ V. A.、モルドコビッチ A. G.数学（専門学校入学者向けマニュアル）：Proc. 手当。-M。 より高い 学校、1984.-351 ページ、病気。
- ブラディス V.M. 4桁の算数表：一般教育用。 教科書 施設。 - 第 2 版 - M.: バスタード、1999.- 96 ページ: 病気。 ISBN 5-7107-2667-2