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フラクタルリスト。フラクタルとそのアルゴリズムについて。仕事の根本的な質問

数学、
正しく見ると、
真実を反映するだけでなく、
しかし、比類のない美しさでもあります。
バートランド・ラッセル.

もちろん、フラクタルについて聞いたことがあるでしょう。現実そのものよりもリアルな、Bryce3d の息をのむような写真をご覧になったことがあるでしょう。山、雲、樹皮 - これらすべては通常のユークリッド幾何学を超えています。直線、円、三角形を使用して岩や島の境界を記述することはできません。そしてここでフラクタルが役に立ちます。この見慣れた見知らぬ人たちは何ですか？彼らはいつ現れましたか?

出演履歴。

フラクタル幾何学の最初のアイデアは 19 世紀に生まれました。カントールは、単純な再帰的 (繰り返し) 手順を使用して、線を接続されていない点の集合 (いわゆるカントールダスト) に変えました。彼はラインを取り、中央の 3 分の 1 を削除し、残りのセクションで同じことを繰り返しました。ペアノは特別な種類の線を描きました (図 No. 1)。それを描画するために、Peano は次のアルゴリズムを使用しました。

最初のステップでは、直線を取得し、それを元の線の長さの 3 倍短い 9 つのセグメントに置き換えました (図 1 のパート 1 と 2)。次に、結果の線の各セグメントに対して同じことを行いました。など、無限に続きます。そのユニークな点は、平面全体を埋めることです。平面上のすべての点について、ペアノ線に属する点を見つけることができることが証明されています。ペアノの曲線とカントールのダストは、通常の幾何学的オブジェクトを超えていました。彼らには明確な次元がありませんでした。カントールの塵は 1 次元の直線に基づいて構築されているように見えましたが、点 (次元 0) で構成されていました。そして、ペアノ曲線は 1 次元の線に基づいて構築され、結果として平面が得られました。科学の他の多くの分野でも、その解決策が上記と同様の奇妙な結果をもたらす問題が出現しました (ブラウン運動、株価)。

フラクタルの父

20世紀までは、このような奇妙な物体のデータは体系化されることなく蓄積されてきました。それは、現代のフラクタル幾何学とフラクタルという言葉の父であるブノワ・マンデルブロがそれらを取り上げるまでのことでした。 IBM で数学アナリストとして働いている間、彼は次のようなノイズを研究しました。電子回路、統計を使用して説明することはできません。徐々に事実を比較するうちに、彼は数学の新しい方向性、つまりフラクタル幾何学の発見に至りました。

フラクタルとは何ですか? マンデルブロ自身は、壊れた（部分に分かれた）ことを意味するラテン語のフラクトゥスからフラクタルという言葉を導き出しました。そして、フラクタルの定義の 1 つは、複数の部分で構成され、複数の部分に分割できる幾何学的図形であり、各部分は (少なくともおおよそ) 全体の小さいコピーを表します。

フラクタルをより明確に想像するために、古典となった B. マンデルブロの著書「自然のフラクタル幾何学」にある例、「ブリテン島の海岸の長さはどれくらいですか?」を考えてみましょう。この質問に対する答えは、思っているほど単純ではありません。それはすべて、使用するツールの長さによって異なります。キロメートル定規を使用して海岸を測定すると、ある程度の長さが得られます。ただし、私たちのラインよりもサイズがはるかに小さい多くの小さな湾や半島を見逃すことになります。定規のサイズをたとえば 1 メートルに縮小すると、こうした風景の詳細が考慮され、それに応じて海岸の長さも長くなります。さらに進んで、ミリメートルの定規を使用して海岸の長さを測定してみましょう。ミリメートルよりも大きい詳細を考慮に入れると、長さはさらに大きくなります。その結果、このような一見単純な質問に対する答えは誰もが困惑する可能性があります。英国の海岸の長さは無限です。

寸法について少し。

彼の中で日常生活私たちは常に次元に遭遇します。道路の長さ（250 m）を推定し、アパートの面積（78 m2）を調べ、ステッカーにあるビール瓶の体積（0.33 dm3）を探します。この概念は非常に直感的であり、説明する必要はないようです。ラインの寸法は 1 です。これは、基準点を選択することにより、正または負の 1 つの数値を使用してこのライン上の任意の点を定義できることを意味します。さらに、これは円、正方形、放物線などのすべての線に当てはまります。

次元 2 は、2 つの数値によって任意の点を一意に定義できることを意味します。二次元というのが平面を意味するとは思わないでください。球の表面も 2 次元です (幅と経度などの角度という 2 つの値を使用して定義できます)。

数学的な観点から見ると、寸法は次のように決定されます。1 次元のオブジェクトの場合、線形サイズを 2 倍にすると、サイズ (この場合は長さ) が 2 倍 (2 倍) 増加します。 ^1)。

2 次元オブジェクトの場合、長さの寸法を 2 倍にすると、サイズ (たとえば、長方形の面積) が 4 倍 (2^2) 増加します。

3 次元オブジェクトの場合、長さの寸法を 2 倍にすると、体積は 8 倍 (2^3) 増加します。

したがって、寸法Ｄは、直線寸法Ｌの増加に対する物体Ｓの「サイズ」の増加の依存性に基づいて計算することができる。Ｄ＝ｌｏｇ（Ｓ）／ｌｏｇ（Ｌ）。行 D=log(2)/log(2)=1 の場合。平面の場合、D=log(4)/log(2)=2。ボリューム D=log(8)/log(2)=3 の場合。少し混乱するかもしれませんが、一般的には複雑ではなく、理解できるものです。

なぜ私がこんなことを話しているのでしょうか？そして、たとえばソーセージからフラクタルを分離する方法を理解するためです。ペアノ曲線の次元を計算してみましょう。したがって、長さ X の 3 つのセグメントで構成される元の線が、3 倍短い 9 つのセグメントに置き換えられます。したがって、最小セグメントが 3 倍に増加すると、ライン全体の長さは 9 倍に増加し、D=log(9)/log(3)=2 は 2 次元オブジェクトになります。

したがって、いくつかの単純なオブジェクト (セグメント) から得られた図形の次元が、これらのオブジェクトの次元よりも大きい場合、フラクタルを扱っていることになります。

フラクタルはグループに分けられます。最大のグループは次のとおりです。

幾何学的なフラクタル。

ここからフラクタルの歴史が始まりました。このタイプのフラクタルは、単純な幾何学的構造によって得られます。通常、これらのフラクタルを構築するときは、次のことを行います。「シード」、つまり公理、つまりフラクタルが構築される基礎となるセグメントのセットを受け取ります。次に、この「シード」に一連のルールが適用され、ある種の幾何学的図形に変換されます。次に、同じルールのセットがこの図の各部分に再度適用されます。ステップが進むごとに、図形はますます複雑になり、(少なくとも頭の中で) 無限の数の変換を実行すると、幾何学的なフラクタルが得られます。

上で説明したペアノ曲線は幾何学的なフラクタルです。下の図は、幾何学的なフラクタルの他の例を示しています (左から右に、コッホのスノーフレーク、リスト、シェルピンスキーの三角形)。

スノーフレークコッホ

シート

シェルピンスキー・トライアングル

これらの幾何学的なフラクタルのうち、最初のものであるコッホ雪の結晶は非常に興味深く、非常に有名です。正三角形をベースにして作られています。 ___ の各行は、元の _/\_ の 1/3 の長さの 4 行に置き換えられます。したがって、反復ごとに、曲線の長さは 3 分の 1 ずつ増加します。そして、無限回反復を行うと、フラクタル、つまり無限の長さのコッホ雪の結晶が得られます。無限曲線がカバーする領域は限られていることがわかります。ユークリッド幾何学の方法と図を使用して同じことを試してみてください。

コッホ雪の結晶の寸法 (雪の結晶が 3 倍になると、長さは 4 倍になります) D=log(4)/log(3)=1.2619...

いわゆる L システムは、幾何学的なフラクタルの構築に適しています。これらのシステムの本質は、特定のシステムシンボルのセットが存在し、それぞれが特定のアクションとシンボル変換ルールのセットを示すことです。たとえば、Fractint プログラムで L-Systems を使用した Koch のスノーフレークの記述

; エイドリアン・マリアーノ（マンデルブロ著『自然のフラクタル幾何学』より）コッホ1 ( ; 回転角度を 360/6=60 度に設定します。アングル6 ; 建設の初期図面公理 F--F--F ; 文字変換ルール F=F+F--F+F )

この説明では、記号の幾何学的意味は次のとおりです。

F は線を引く + 時計回りに回す - 反時計回りに回すことを意味します

フラクタルの 2 番目の特性は自己相似性です。シェルピンスキーの三角形を例に考えてみましょう。これを構築するには、正三角形の中心から三角形を「切り取り」ます。形成された 3 つの三角形 (中央の三角形を除く) に対して同じ手順を無限に繰り返してみましょう。結果として得られた三角形のいずれかを取り出して拡大すると、全体の正確なコピーが得られます。この場合、完全な自己相似を扱っています。

この記事のフラクタル図のほとんどは Fractint プログラムを使用して取得されたものであることをすぐに留保させてください。フラクタルに興味があるなら、これは必須のプログラムです。その助けを借りて、何百もの異なるフラクタルを構築し、それらに関する包括的な情報を取得し、さらにはフラクタルがどのように聞こえるかを聞くこともできます;)。

このプログラムが良いと言うのは、何も言っていないのと同じだ。彼女は素晴らしいです、一つを除いては - 最新バージョン 20.0 は DOS バージョンでのみ利用可能です:(。このプログラム (最新バージョン 20.0) は http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html で見つけることができます。

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さて、おやつに興味深い例マイクロソフトエクセルセル A2 と B2 は、0 から 1 までの同じ値を持ちます。値 0.5 は効果がありません。

フラタル画像を使ってプログラムを作成できた皆さん、こんにちは。 2800 mH の石の上に dt 反復 100,000 で 3d max バッキングを使用してフラクタルシダのクリアリングを構築するのに最適なサイクル方法を誰が教えてくれますか?

フラクタルであるドラゴン曲線を描画するためのプログラムを含むソースコードがあります。

記事は素晴らしいです。 Excel はおそらくコプロセッサエラー (下位桁で) です。

フラクタルの例

「フラクタル」は、半世紀も前に数学者によって使用されるようになり、すぐに相乗作用およびアトラクターと並んで、若い決定論的カオス理論の「三本の柱」の 1 つとなり、今日ではすでにその 1 つとして認識されています。宇宙の構造の基本的な要素。

と ラテン語のfractusは翻訳されています「壊れた」として、現代ラテン語では「引き裂かれた」という意味が与えられました。フラクタルとは、その一部である全体/より大きなものと同一であると同時に、それぞれの独自のものをコピーするものです。成分。したがって、「フラクティリティ」とは、「すべて」とその構成要素との無限の類似性、つまり、あらゆるレベルでの自己相似性です。フラクタルブランチの各レベルは「反復」と呼ばれます。説明またはグラフィック表示されたシステムがより開発されるほど、観察者にはより多くのフラクタル反復が表示されます。この場合、枝に分かれる点（幹が枝に分かれる、川が二つの流れに分かれるなど）を分岐点と呼びます。

フラクタスという用語 1975 年に数学者のブノワマンデルブロによって、説明するために選ばれました。科学的発見そして数年後、彼の著書「自然のフラクタル幾何学」でこのテーマをより幅広い聴衆に向けて展開した後、人気が高まりました。

今日、フラクタルは、人間によって生み出された、いわゆる「フラクタルアート」の幻想的なパターンとして広く知られています。コンピュータプログラム。しかし、コンピューターの助けを借りて、美しい抽象的な写真だけでなく、山、川、森林などの非常に信じられる自然の風景も生成できます。実際、ここが科学の移行点です。実生活、またはその逆は、それらを分離することが一般的に可能であると仮定した場合です。

事実は、 フラクタル原理精密科学における発見を説明するのに適しているだけではありません。これはまず第一に、自然そのものの構造と発展の原理です。私たちの周りにあるものはすべてフラクタルです。最も明白な例としては、支流のある川、毛細血管のある静脈系、稲妻、霜の模様、樹木などがあります。 フラクタル理論、私たちは実験的に、1 本の木の図から次のような結論を導き出すことができると確信しました。森林地帯これらの木が生える場所。フラクタルグループの他の例: 原子 – 分子 – 惑星系 – 太陽系- 銀河 - 宇宙... 分、時間、日、週、月、年、世紀... 人々のコミュニティでさえ、フラクタル性の原理に従って組織化されています: 私 - 家族 - 氏族 - 国籍 - 国籍 - 人種.. . 個人 - グループ - パーティー - 状態。従業員 - 部門 - 部門 - 企業 - 懸念事項...さまざまな宗教の神の神殿でさえも、キリスト教を含む同じ原則に基づいて建てられています。父なる神 - 三位一体 - 聖人 - 教会 - 信者、言うまでもなく、神の神殿の組織は言うまでもありません。異教の宗教。

話自己相似集合は、ポアンカレ、ファトゥー、ジュリア、カントール、ハウスドルフといった科学者の著作の中で19世紀に初めて注目されたと述べていますが、真実はすでに異教徒のスラブ人が、人々が個人の存在を小さな細部として理解しているという証拠を私たちに残していました。宇宙の無限の中で。これはベラルーシとウクライナの美術史家によって研究された「蜘蛛」と呼ばれる民俗文化財です。これは、現代の「モバイル」スタイルの彫刻のプロトタイプのようなものです（部品は一定の動き相互に相対的に)。「クモ」はわらで作られることが多く、同じ形の小、中、大の要素で構成され、それぞれの小さな部分が大きな部分と全体の構造を正確に繰り返すように互いに吊り下げられています。このデザインは、あたかも家が全世界の要素であることを示すかのように、家の主要な隅に掛けられました。

フラクタル理論は、哲学を含め、今日どこでも機能しています。フラクタル理論では、それぞれの人生、そしてあらゆる人生が全体としてフラクタルであるときに、「分岐点」が発生し、さらに多くの場合に「分岐点」が発生します。高レベル発達はさまざまな道をたどる可能性があり、人が「選択の前に自分自身に気づく」瞬間が、その人の人生のフラクタルにおける本当の「分岐点」になります。

決定論的カオス理論では、各フラクタルの発展は無限ではないと言われています。科学者たちは、ある瞬間に反復の成長が止まり、フラクタルが「狭く」なり始め、徐々に元の単位尺度に達し、その後、吸気と呼気に似たプロセスが再び循環すると信じています。朝と夜、冬と夏の自然の変化。

フラクタル特性は、数学者の気まぐれや空想の産物ではありません。それらを研究することで、私たちは周囲の物体や現象の重要な特徴を区別し、予測することを学びます。これらは、以前は、完全に無視されていなくても、目でおおよそ、定性的にのみ評価されていました。たとえば、複雑な信号、脳図、心雑音のフラクタル次元を比較することで、医師はいくつかの症状を診断できます。深刻な病気患者をまだ助けることができる初期段階で。また、アナリストは、モデルの開始時に以前の価格の動きを比較することで、モデルのさらなる発展を予測することができ、それによって予測における重大な誤りを回避できます。

フラクタルの不規則性

フラクタルの最初の特性は、その不規則性です。フラクタルが関数で記述される場合、数学用語における不規則性の特性は、そのような関数が微分不可能であること、つまりどの点でも滑らかではないことを意味します。実はこれが市場と最も直接的な関係があるのです。価格変動は非常に不安定で不安定なため、多くのトレーダーを混乱させることがあります。私たちの任務は、このすべての混乱を整理し、秩序をもたらすことです。

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フラクタルの自己相似性

2 番目の特性は、フラクタルが自己相似の特性を持つオブジェクトであることを示します。これは再帰的モデルであり、その発展において各部分が全体としてのモデル全体の発展を繰り返し、目に見える変化なしにさまざまなスケールで再現されます。ただし、変化は実際に発生し、オブジェクトの認識に大きな影響を与える可能性があります。

自己相似性とは、その物体が特徴的なスケールを持たないことを意味します。もしそのようなスケールを持っていたとしたら、その断片の拡大コピーと元の写真はすぐに区別できるでしょう。自己類似オブジェクトには、あらゆる好みに合わせて無限に多くのスケールがあります。自己相似性の本質は、次の例で説明できます。あなたの目の前に、ユークリッドが線を定義した「幅のない長さ」の「本物の」幾何学的な線の写真があり、あなたは友人と楽しんで、彼があなたに元の写真を見せているかどうかを推測しようとしていると想像してください（オリジナル）、または直線の一部を必要な倍に拡大した写真。どんなに頑張っても、オリジナルと断片の拡大コピーを区別することは決してできません; 直線はそのすべての部分で同じ構造をしており、それ自体に似ていますが、この注目すべき性質はいくぶん異なります直線自体の単純な構造、その「真っ直ぐさ」に隠されています（図7）。

同様に、ある物体の写真と、その一部を適切に拡大した写真とを区別できない場合、目の前には自己類似の物体が存在します。少なくともある程度の対称性を持つすべてのフラクタルは自己相似です。これは、構造の一部の断片が特定の空間間隔で厳密に繰り返されることを意味します。これらのオブジェクトはどのような性質のものであってもよく、その外観と形状はスケールに関係なく変化しないことは明らかです。自己相似フラクタルの例:

金融において、この概念は根拠のない抽象概念ではなく、実際的な市場の格言、つまり、時間スケールや価格に関係なく、株式や通貨の動きは表面的には似ているということを理論的に言い直したものです。観察者には分からない外観データが週次、日次、または時間ごとの変化に関連するかどうかをグラフ化します。

もちろん、すべてのフラクタルが、数学者や芸術家の想像力から生まれた将来のフラクタル美術館の素晴らしい展示品のように、規則的で無限に繰り返される構造を持っているわけではありません。自然界で見られる多くのフラクタル (岩石や金属の断層面、雲、通貨相場、乱流、泡、ゲル、すす粒子の輪郭など) には幾何学的類似性がありませんが、各断片で全体の統計的特性が頑固に再現されます。非線形の発展形態を持つフラクタルは、マンデルブロによってマルチフラクタルと呼ばれました。マルチフラクタルは、可変のフラクタル次元を持つ準フラクタルオブジェクトです。当然のことながら、実際のオブジェクトやプロセスは、マルチフラクタルによってより適切に記述されます。

この統計的な自己相似性、または平均的な自己相似性により、フラクタルとさまざまな自然物体が区別されます。

外国為替市場における自己相似性の例を考えてみましょう。

これらの図では、時間スケールが異なるものの、類似していることがわかります。図では 15 分スケールです。 b 週ごとの価格スケール。ご覧のとおり、これらの引用は互いに完全に繰り返すという性質はありませんが、類似していると考えることができます。

最も単純なフラクタル (幾何学的に自己相似なフラクタル) にも、珍しい特性があります。たとえば、フォン・コッホの雪の結晶は、有限の領域に制限されていますが、周囲の長さは無限です (図 9)。さらに、非常にとげとげしているため、輪郭上のどの点でも接線を引くことは不可能です (数学者なら、フォンコッホの雪の結晶は微分不可能、つまりどの点でも滑らかではないと言うでしょう)。

マンデルブロは、物体の不規則性が増加する度合いが異なっても、分数測定の結果が一定のままであることを発見しました。つまり、どんな不規則性にも規則性（規則性、秩序性）があるということです。私たちが何かをランダムに発生するかのように扱うとき、これは私たちがこのランダム性の性質を理解していないことを示しています。市場用語で言えば、これは、同じ典型的な形成が異なる時間枠で発生する必要があることを意味します。 1分足チャートは月足チャートと同様にフラクタル形成を表します。商品市場や金融市場のチャートに見られるこのような「自己類似性」は、市場の行動が経済的、ファンダメンタルズ分析の行動よりも「自然」の行動のパラダイムに近いことを示すあらゆる兆候を示しています。

これらの図では、上記のことが確認できます。左側は分目盛のチャート、右側は週目盛です。ここでは、価格スケールの異なる通貨ペア、ドル/円 (図 9 (a)) とユーロ/ドル (図 9 (b)) を示します。 JPY/USD 通貨ペアは EUR/USD と比べてボラティリティが異なりますが、同じ価格変動構造を観察できます。

フラクタル次元

フラクタルの 3 番目の特性は、フラクタルオブジェクトがユークリッドとは異なる次元 (つまり、トポロジカルな次元) を持つことです。フラクタル次元は、曲線の複雑さを示す指標です。異なるフラクタル次元を持つ領域の交互配置と、システムが外部要因および内部要因によってどのような影響を受けるかを分析することで、システムの動作を予測する方法を学ぶことができます。そして最も重要なのは、不安定な状態を診断して予測することです。

マンデルブロは、現代数学の武器庫で、輪郭のねじれ、表面のしわ、体積の割れ目と多孔性など、物体の不完全性を表す便利な定量的尺度を発見しました。これは、フェリックス・ハウスドルフ (1868-1942) とアブラム・サモイロビッチ・ベシコビッチ (1891-1970) という 2 人の数学者によって提案されました。今日では、当然のことながら、その創造者の輝かしい名前が付けられています（ハウスドルフ – ベシコビッチの次元） – ハウスドルフ – ベシコビッチの次元。ディメンションとは何ですか?なぜ金融市場の分析にディメンションが必要なのでしょうか? これまでは、位相次元という 1 種類の次元しか知りませんでした (図 11)。次元という言葉自体は、オブジェクトの次元数を示します。セグメントまたは直線の場合、これは 1 に等しくなります。次元は 1 つだけ、つまり線分または直線の長さです。平面の場合、長さと幅という 2 次元の次元があるため、次元は 2 になります。空間オブジェクトまたは体積オブジェクトの場合、寸法は長さ、幅、高さの 3 つになります。

例を見てみましょうコンピューターゲーム。ゲームが 3D グラフィックスで作られている場合、ゲームは空間的かつ 3 次元的であり、2D グラフィックスで作られている場合、グラフィックスは平面上に描画されます (図 10)。

ハウスドルフ・ベシコビッチ次元の最も珍しい (珍しいと言ったほうが正しいでしょう) のは、トポロジカル次元のような整数値だけでなく、分数値も取れることです。直線 (無限、半無限、または有限セグメント) の 1 に等しく、ハウスドルフベシコビッチ次元はねじれが増加するにつれて増加しますが、トポロジカル次元は直線で発生するすべての変化を頑なに無視します。

寸法は、セット (ラインなど) の複雑さを特徴付けます。これがトポロジー次元が 1 (直線) の曲線である場合、その曲線は、フラクタル次元が 2 に近づくほど、無限の数の曲がりや分岐によって複雑になる可能性があります。ほぼ平面全体を満たします (図 12)

ハウスドルフ – ベシコビッチ次元は、その値を増加させても、トポロジカル次元が「その場で」値を急激に変更せず、1 から 2 に直線的に移動します。 - 分数値をとります。直線の場合は 1、わずかに曲線の場合は 1.15、より曲線の場合は 1.2、非常に曲線の場合は 1.5 などとなります。

マンデルブロがそれをフラクタル次元と呼ぶ新論理を思いついたのは、まさにハウスドルフ・ベシコビッチ次元が非整数の値を取る能力を特に強調するためでした。したがって、フラクタル次元 (ハウスドルフベシコビッチに限らず、その他の次元) は、必ずしも整数値だけでなく、分数の値も取ることができる次元です。

線形幾何学的フラクタルの場合、次元はその自己相似性を特徴付けます。図を見てみましょう。図１７（Ａ）において、線分はＮ＝４個のセグメントからなり、各セグメントの長さはｒ＝１／３である。その結果、次の比率が得られます。

D = logN/log(1/r)

マルチフラクタル (非線形) について話す場合、状況はまったく異なります。ここで、次元はオブジェクトの類似性の定義としての意味を失い、自己相似オブジェクトの固有の次元よりもはるかに自然ではない、さまざまな一般化を通じて定義されます。

外国為替市場では、このディメンションは価格相場の変動性を特徴付けることができます。各通貨ペアは、価格スケール上で独自の動作をします。ポンド/ドルペア (図 13(a)) の場合は、ユーロ/ドル (図 13(b)) よりも穏やかです。最も興味深いのは、これらの通貨が価格レベルに対して同じ構造で動くということですが、その次元が異なるため、日中取引や素人目には見えないパターンの変化に影響を与える可能性があります。

図では、図 14 は、この用語の意味をより深く理解できるように、数理モデルに関連した次元を示しています。 3 つの写真はすべて 1 つのサイクルを示していることに注意してください。図では、図では寸法は 1.2 です。 b 寸法は 1.5 で、図では 1.9で。次元が増加するにつれて、物体の認識はより複雑になり、振動の振幅が増加することがわかります。

金融市場では、次元性は価格変動の質だけでなく、サイクルの詳細（波）の質にも反映されます。そのおかげで、波が特定の時間スケールに属するかどうかを区別できるようになります。図では、図 15 は、ユーロ/ドルのペアを日次価格スケールで示しています。形成されたサイクルと、より大きな新しいサイクルの始まりがはっきりと見えることに注意してください。時間スケールに切り替えてサイクルの 1 つを拡大すると、より小さなサイクルと、D1 にある大きなサイクルの一部に気づくことができます (図 16)。サイクルの詳細化、つまりそれらの次元により、初期条件から状況が将来どのように発展するかを判断することができます。フラクタル次元は、検討中のセットのスケール不変性の特性を反映していると言えます。

不変性の概念は、マンデルブロによって「シーラント」という言葉から導入されました。つまり、スケーラブルです。オブジェクトが不変の性質を持つ場合、表示スケールは異なります。

図では、図 16 では、円 A はミニサイクル (詳細な波) を強調表示し、円 B – より大きなサイクルの波を強調表示します。ディメンションのせいで、すべてのサイクルを常に同じ価格スケールで決定できるわけではありません。

非周期サイクルの定義の問題とその発展特性については、「外国為替市場のサイクル」セクションで説明しますが、ここで私たちにとって重要なことは、その次元が金融市場でどのように、どこに現れるかを理解することでした。

したがって、モデルとしてのフラクタルは、現実の物体が古典的なモデルの形で表現できない場合に使用されると言えます。これは、非線形の関係とデータの非決定性 (ランダム) な性質を扱っていることを意味します。イデオロギー的な意味での非線形性とは、多変量の発達経路、代替経路からの選択の存在、進化の一定のペース、および進化過程の不可逆性を意味します。数学的な意味での非線形性とは、媒体の特性に応じて、1 より大きい累乗または係数で必要な量を含む特定のタイプの数学方程式 (非線形微分方程式) を意味します。非線形動的システムの簡単な例:

ジョニーは1年に2インチ成長しています。このシステムは、ジョニーの身長が時間の経過とともにどのように変化するかを説明します。 x(n)を今年のジョニーの身長とする。来年の彼の成長を x(n+1) と書きます。次に、力学システムを方程式形式で書くことができます。

x(n+1) = x(n) + 2。

見える？これは単純な計算ではないでしょうか? 今日のジョニーの身長を x(n) = 38 インチとして入力すると、式の右側で来年のジョニーの身長が x(n+1) = 40 インチとして得られます。

x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40。

方程式の右から左への移動をイテレーション（繰り返し）といいます。ジョニーの新しい身長 40 インチを方程式の正しい側 (つまり、x(n) = 40) に挿入して方程式を再度繰り返すと、x(n+1) = 42 が得られます。方程式を 3 回繰り返すと、身長 38 インチから始めて、3 年後のジョニーの身長、つまり 44 インチが得られます。

これは決定論的な動的システムです。それを非決定的 (確率的) にしたい場合は、次のようなモデルを作成できます。ジョニーは多かれ少なかれ、1 年に 2 インチ成長し、方程式を次のように記述します。

x(n+1) = x(n) + 2 + e

ここで、e は小さな誤差 (2 に比べて小さい) で、ある確率分布を表します。

元の決定論的方程式に戻りましょう。元の方程式 x(n+1) = x(n) + 2 は線形です。線形とは、変数または定数を追加するか、変数と定数を乗算することを意味します。たとえば、次の方程式

z(n+1) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

直線的です。しかし、変数を乗算したり、1 より大きい累乗をしたりすると、方程式 (システム) は非線形になります。たとえば、次の方程式

x(n+1) = x(n) 2

x(n) は二乗されるため、非線形になります。方程式

2 つの変数 x と y が乗算されるため、は非線形になります。

古典的なモデル (トレンド、回帰など) を適用すると、オブジェクトの将来は一意に決定されると言えます。完全に依存している初期条件と明確に予測できます。これらのモデルのいずれかを Excel で自分で実行できます。古典的なモデルの例は、継続的な減少または増加の傾向として表すことができます。そして、オブジェクトの過去（モデリングの初期データ）を知ることで、その動作を予測できます。また、フラクタルは、オブジェクトに複数の展開オプションがあり、システムの状態がそのオブジェクトが配置されている位置によって決定される場合に使用されます。この瞬間。つまり、混沌とした発展をシミュレートしようとしているのです。銀行間外国為替市場はまさにそのようなシステムです。

ここで、直線から、その固有の特性を持つフラクタルと呼ばれるものをどのように取得できるかを見てみましょう。

図では、図１７（Ａ）はコッホ曲線を示す。長さ = 1 の線分を考えてみましょう。は依然としてトポロジカルな次元です。次に、それを 3 つの部分 (それぞれ長さの 1/3) に分割し、中央の 3 分の 1 を削除します。ただし、中央の 3 分の 1 を、正三角形の 2 辺と考えることができる 2 つのセグメント (それぞれ長さの 1/3) に置き換えます。このステージ 2 (b) の設計を図に示します。１７（Ａ）。この時点で、それぞれ長さの 1/3 の小さなパーツが 4 つあるため、全体の長さは 4(1/3) = 4/3 になります。次に、4 つの小さな回線共有ごとにこのプロセスを繰り返します。これがステージ 3 (c) です。これにより、それぞれ長さの 1/9 のさらに小さなラインシェアが 16 個得られます。したがって、全体の長さは 16/9 または (4/3) 2 になります。その結果、分数次元が得られました。しかし、得られる構造を真っ直ぐな構造と区別するのはこれだけではありません。自己相似になっており、どの点でも接線を引くことができません (図 17 (B))。

コンテンツ

数学における珍しい性質を持つ自己相似集合

19 世紀の終わり以来、古典的な分析の観点から病理学的な特性を持つ自己相似オブジェクトの例が数学に登場しました。これらには次のものが含まれます。

カントール集合は、どこにも密度のない数え切れないほどの完璧な集合です。手順を変更することで、正の長さのどこにも密度のないセットを取得することもできます。
シェルピンスキートライアングル (「テーブルクロス」) とシェルピンスキーカーペットは、飛行機に設置されたカントールの類似品です。
メンジャーのスポンジは、3 次元空間に設定されたカントールの類似物です。
Weierstrass と van der Waerden による、微分不可能な連続関数の例。
コッホ曲線は、どの点にも接線を持たない、無限長の自己交差しない連続曲線です。
ペアノ曲線 - 正方形のすべての点を通過する連続曲線。
ブラウン粒子の軌道も確率 1 では微分できません。そのハウスドルフ次元は 2 [ ] .

フラクタル曲線を取得するための再帰的手順

圧縮マッピングの固定点としてのフラクタル

自己類似性は数学的に厳密に次のように表現できます。平面の収縮マッピングとする。平面のすべてのコンパクトな (閉じた、有界な) サブセットのセットに対する次のマッピングを考えてみましょう。 Ψ : K ↦ ∪ i = 1 n ψ i (K) (\displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _(i=1)^(n)\psi _(i)(K))

マッピングが Ψ (\displaystyle \Psi )は、ハウスドルフ計量を使用したコンパクタのセット上の短縮マップです。したがって、バナッハの定理により、この写像は固有の不動点を持ちます。この固定点がフラクタルになります。

上で説明したフラクタル曲線を取得するための再帰的手順は、この構造の特殊なケースです。すべてのディスプレイが含まれています ψ i , i = 1 , … , n (\displaystyle \psi _(i),\,i=1,\dots ,n)- 類似性の表示、および n (\表示スタイル n)- ジェネレーターリンクの数。

対応する動的システムの動作に応じて平面点を色付けすることで、複雑な力学に基づいた美しいグラフィックイメージを作成することが一般的です。たとえば、マンデルブロ集合を完成させるには、吸引速度に応じて点に色を付けることができます。 z n (\displaystyle z_(n))無限大まで (たとえば、最小の数として定義されます) n (\表示スタイル n)、これで | z n | (\displaystyle |z_(n)|)一定の大きな値を超える A (\displaystyle A)).

バイオモーフは、複雑な力学に基づいて構築されたフラクタルであり、生物を彷彿とさせます。

確率的フラクタル

自然物はフラクタル形状をしていることがよくあります。確率的 (ランダム) フラクタルを使用してモデル化できます。確率的フラクタルの例:

平面および空間におけるブラウン運動の軌跡。
平面上のブラウン運動の軌道の境界。 2001 年に、ローラー、シュラム、ヴェルナーは、その次元が 4/3 であるというマンデルブロの仮説を証明しました。
シュラム・レーウナー進化は、イジングモデルやパーコレーションなどの統計力学の重要な 2 次元モデルで生じる共形不変フラクタル曲線です。
異なる種類ランダム化されたフラクタル、つまり、各ステップでランダムパラメーターが導入される再帰的手順を使用して取得されたフラクタル。プラズマは、コンピューターグラフィックスにおけるこのようなフラクタルの使用例です。

フラクタル特性を持つ自然物体

自然物 ( 準フラクタル）構造の繰り返しの不完全性と不正確さにおいて、理想的な抽象フラクタルとは異なります。自然界に見られるほとんどのフラクタルに似た構造 (雲の境界、海岸線、樹木、植物の葉、サンゴなど) は、ある程度の小さなスケールではフラクタル構造が消えるため、準フラクタルです。生細胞のサイズ、そして最終的には分子のサイズによる制限により、自然の構造は完全なフラクタルになることはできません。

野生動物では:
- ヒトデとウニ
- 花と植物（ブロッコリー、キャベツ）
- 樹冠と植物の葉
- フルーツ（パイナップル）
- 人間および動物の循環系および気管支
無生物の自然界では:
- 地理的オブジェクト（国、地域、都市）の境界
- 窓ガラスの冷ややかな模様
- 鍾乳石、石筍、ヘリクタイト。

応用

自然科学

物理学では、フラクタルは、乱流流体の流れ、複雑な拡散吸着プロセス、炎、雲などの非線形プロセスをモデル化するときに自然に発生します。フラクタルは、石油化学製品などの多孔質材料のモデリングに使用されます。生物学では、集団をモデル化し、システムを説明するために使用されます。内臓(血管系)。コッホ曲線の作成後、範囲を計算するときにそれを使用することが提案されました。海岸線.

無線工学

フラクタルアンテナ

フラクタル幾何学を設計に使用する

70 年代後半に登場したフラクタルとフラクタル幾何学の概念は、80 年代半ば以降、数学者やプログラマーの間でしっかりと確立されました。フラクタルという言葉はラテン語の fractus に由来し、断片から構成されることを意味します。これは、1975 年にブノワマンデルブロによって、彼が懸念していた不規則だが自己相似の構造を指すために提案されました。フラクタル幾何学の誕生は、通常、1977 年のマンデルブロの著書「自然のフラクタル幾何学」の出版と関連付けられています。彼の作品は、1875 年から 1925 年にかけて同じ分野で研究した他の科学者 (ポアンカレ、ファトゥー、 Julia、Cantor、Hausdorff しかし、彼らの仕事を 1 つのシステムに統合することが可能になったのは、現代になって初めてです。
今日のコンピューターグラフィックスにおけるフラクタルの役割は非常に大きいです。これらは、たとえば、いくつかの係数を使用して非常に複雑な形状の線や面を定義する必要がある場合に役立ちます。コンピュータグラフィックスの観点から見ると、人工の雲や山、海面を生成する際にはフラクタル幾何学が欠かせません。実際、画像が自然のものに非常に似ている複雑な非ユークリッドオブジェクトを簡単に表現する方法が発見されました。
フラクタルの主な特性の 1 つは自己相似性です。最も単純なケースでは、フラクタルの小さな部分にフラクタル全体に関する情報が含まれています。マンデルブロのフラクタルの定義は次のとおりです。「フラクタルは、ある意味で全体に似ている部分から構成される構造です。」

存在する大きな数フラクタルと呼ばれる数学的オブジェクト (シェルピンスキーの三角形、コッホの雪の結晶、ペアノ曲線、マンデルブロ集合、ローレンツアトラクター)。フラクタルは、山、雲、乱流 (渦) の流れ、根、木の枝葉、血管など、現実世界の多くの物理現象や形成を非常に正確に記述します。これらは単純なものとは程遠いものです。幾何学的形状。ブノワ・マンデルブロは、独創的な著作「自然のフラクタル幾何学」の中で、私たちの世界のフラクタルの性質について初めて語りました。
フラクタルという用語は、1977 年にブノワマンデルブロによってその基本的な著作『フラクタル、フォーム、カオス、次元』で導入されました。マンデルブロによれば、フラクタルという言葉は、ラテン語のフラクトゥス（分数）とフランジェレ（壊れる）という言葉に由来しており、「壊れた」不規則な集合としてのフラクタルの本質を反映しています。

フラクタルの分類。

さまざまなフラクタルをすべて表現するには、一般に受け入れられている分類に頼るのが便利です。フラクタルには 3 つのクラスがあります。

1. 幾何学的なフラクタル。

このクラスのフラクタルは最も視覚的です。 2 次元の場合は、ジェネレーターと呼ばれる破線 (3 次元の場合は面) を使用して取得されます。アルゴリズムの 1 つのステップで、ポリラインを構成する各セグメントが、適切な縮尺の生成ポリラインに置き換えられます。この手順を際限なく繰り返すことで、幾何学的なフラクタルが得られます。

これらのフラクタルオブジェクトの 1 つである三次コッホ曲線の例を考えてみましょう。

三項コッホ曲線の構築。

長さ 1 の直線セグメントを考えてみましょう。それを次のように呼びましょう。 シード。シードを長さ 1/3 の 3 つの等しい部分に分割し、中央の部分を破棄して、長さ 1/3 の 2 つのリンクの破線に置き換えましょう。

合計長さが 4/3 の 4 つのリンクで構成される破線、いわゆる初代.

コッホ曲線の次世代に移行するには、各リンクの中間部分を破棄して置き換える必要があります。したがって、第 2 世代の長さは 16/9、第 3 世代の長さは 64/27 になります。このプロセスを無限に続けると、結果は 3 項のコッホ曲線になります。

ここで、三項コッホ曲線の特性を検討し、フラクタルが「モンスター」と呼ばれた理由を調べてみましょう。

まず、この曲線には長さがありません。これまで見てきたように、世代数が増えるとその長さは無限大になる傾向があります。

第二に、この曲線の接線を作成することは不可能です。その各点は導関数が存在しない変曲点です。この曲線は滑らかではありません。

長さと滑らかさは曲線の基本的な特性であり、ユークリッド幾何学とロバチェフスキーとリーマンの幾何学の両方によって研究されています。従来の幾何学解析方法は三項コッホ曲線には適用できないことが判明したため、コッホ曲線は怪物、つまり伝統的な幾何学に滑らかに存在する人々の中の「怪物」であることが判明しました。

ハーター・ハイサウェイ「ドラゴン」の建造。

別のフラクタルオブジェクトを取得するには、構築ルールを変更する必要があります。形成要素を、直角に接続された 2 つの等しいセグメントであるとします。 0世代目では角度が上になるように単位線分をこの母要素に置き換えます。このような交換により、リンクの中央に変位が生じると言えます。後続の世代を構築するときは、ルールに従います。左側の最初のリンクは、リンクの中央が移動方向の左側にシフトされるように形成要素に置き換えられます。また、後続のリンクを置き換えるときは、その方向が変更されます。セグメントの中央の変位は交互に行う必要があります。この図は、上記の原理に従って構築された曲線の最初の数世代と 11 世代目を示しています。 n が無限大に向かう曲線は、Harter-Haithaway ドラゴンと呼ばれます。
コンピューターグラフィックスでは、木や茂みの画像を取得するときに幾何学的なフラクタルを使用する必要があります。 2 次元の幾何学的なフラクタルは、3 次元のテクスチャ (オブジェクトの表面のパターン) を作成するために使用されます。

2.代数的フラクタル

これはフラクタルの最大のグループです。これらは、n 次元空間での非線形プロセスを使用して取得されます。二次元プロセスが最も研究されています。非線形反復プロセスを離散動的システムとして解釈する場合、位相ポートレート、定常状態プロセス、アトラクターなどのこれらのシステムの理論の用語を使用できます。
非線形動的システムにはいくつかの安定状態があることが知られています。動的システムが一定回数の反復後に到達する状態は、その初期状態によって異なります。したがって、各安定状態 (または、アトラクターと呼ばれる) には初期状態の特定の領域があり、システムはそこから必然的に検討中の最終状態に分類されます。したがって、システムの位相空間はアトラクターの引力領域に分割されます。位相空間が 2 次元空間の場合、アトラクション領域を異なる色で着色することにより、このシステムの色位相ポートレートを取得できます (反復プロセス)。色選択アルゴリズムを変更することで、奇妙な多色パターンを持つ複雑なフラクタルパターンを得ることができます。数学者にとって驚きだったのは、原始的なアルゴリズムを使用して非常に複雑で自明ではない構造を生成できることでした。

マンデルブロ集合。

例として、マンデルブロ集合を考えてみましょう。その構築のためのアルゴリズムは非常に単純で、単純な反復式に基づいています。 Z = Z[i] * Z[i] + C、どこ子そして C- 複雑な変数。反復は、複素平面のサブセットである長方形または正方形の領域から開始点ごとに実行されます。反復プロセスは次の時点まで続きます。 Z[i]中心が点 (0,0) にある半径 2 の円 (これは、動的システムのアトラクターが無限大にあることを意味します)、または十分な回数の反復の後 (たとえば、、200-500） Z[i]円上のどこかの点に収束します。反復回数に応じて、 Z[i]円の内側に残った点の色を設定できます C（もし Z[i]サークルの中にかなり長い時間留まる大量繰り返しが行われると、繰り返しプロセスが停止し、このラスターポイントが黒く塗りつぶされます)。

3. 確率的フラクタル

もう 1 つのよく知られたクラスのフラクタルは確率的フラクタルです。これは、パラメータの一部が反復プロセスでランダムに変更された場合に取得されます。この場合、結果として得られるオブジェクトは、非対称の木々、険しい海岸線など、自然のものと非常によく似ています。 2 次元の確率的フラクタルは、地形や海面のモデリングに使用されます。
フラクタルには他にも分類があります。たとえば、フラクタルを決定論的 (代数的および幾何学的) と非決定論的 (確率論的) に分けることができます。

フラクタルの使用について

まず第一に、フラクタルは驚くべき数学芸術の分野であり、最も単純な公式とアルゴリズムの助けを借りて、並外れた美しさと複雑さの写真が得られます。構築されたイメージの輪郭には、葉、木、花がよく見られます。

フラクタルの最も強力な応用例のいくつかはコンピューターグラフィックスにあります。第一に、これは画像のフラクタル圧縮であり、第二に、風景、樹木、植物の構築とフラクタルテクスチャの生成です。現代の物理学と力学は、フラクタルオブジェクトの動作を研究し始めたばかりです。そしてもちろん、フラクタルは数学自体で直接使用されます。
フラクタル画像圧縮アルゴリズムの利点は、パックされたファイルのサイズが非常に小さいことと、画像の回復時間が短いことです。フラクタルパックされたイメージは、ピクセル化を引き起こすことなくスケーリングできます。ただし、圧縮プロセスには時間がかかります長い間そしてそれが何時間も続くこともあります。フラクタル非可逆パッケージ化アルゴリズムを使用すると、jpeg 形式と同様に圧縮レベルを設定できます。このアルゴリズムは、いくつかの小さな部分に類似した大きな画像部分を検索することに基づいています。そして、どの部分がどの部分に似ているかだけが出力ファイルに書き込まれます。圧縮する場合、通常は正方形のグリッド (ピースは正方形) が使用されるため、画像を復元するときにわずかに角が生じますが、六角形のグリッドにはこの欠点がありません。
Iterated は、フラクタル圧縮と「ウェーブ」(jpeg など) 可逆圧縮を組み合わせた新しい画像フォーマット「Sting」を開発しました。新しい形式では、後から高品質なスケーリングが可能な画像を作成でき、グラフィックファイルの容量は非圧縮画像の容量の 15 ～ 20% になります。
フラクタルが山、花、木に似る傾向は、たとえば 3D Studio MAX のフラクタル雲や World Builder のフラクタル山など、一部のグラフィックエディターによって利用されています。フラクタルの木、山、風景全体は単純な公式で定義され、プログラムが簡単で、近づいても別々の三角形や立方体に分割されません。
数学自体におけるフラクタルの使用を無視することはできません。集合論では、カントール集合は完全などこにも密でない集合の存在を証明します。測度理論では、自己アフィン関数「カントールのはしご」は特異測度の分布関数の良い例です。
力学や物理学では、多くの自然物の輪郭を繰り返すというフラクタルの独特な特性により、フラクタルが使用されます。フラクタルを使用すると、セグメントまたはポリゴンのセット (保存されたデータ量が同じ) を使用した近似よりも高い精度で樹木、山の表面、亀裂を近似できます。フラクタルモデルには自然物体と同様に「粗さ」があり、この特性はモデルの倍率がどれほど大きくても維持されます。フラクタルに均一な尺度が存在するため、積分やポテンシャル理論を適用し、すでに研究されている方程式の標準オブジェクトの代わりにそれらを使用することができます。
フラクタルのアプローチにより、カオスは青い無秩序ではなくなり、微細な構造を獲得します。フラクタル科学はまだ非常に歴史が浅く、素晴らしい未来が待っています。フラクタルの美しさは尽きず、これからも私たちに多くの傑作、目を楽しませるもの、心に真の喜びをもたらすものを生み出し続けるでしょう。

フラクタルの構築について

逐次近似法

この図を見ると、自己相似フラクタル (この場合はシェルピンスキーピラミッド) を構築する方法を理解するのは難しくありません。正ピラミッド (四面体) を取り出し、その中央 (八面体) を切り取って、4 つの小さなピラミッドを作成する必要があります。それぞれで同じ操作などを実行します。これはやや素朴ですが、明確な説明です。

この方法の本質をより厳密に考えてみましょう。何らかの IFS システムがあるとします。つまり、圧縮マッピングシステム S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (たとえば、ピラミッドの場合、マッピングの形式は S i (x)=1/2*x+o i です。ここで、o i は四面体の頂点、i=1,...,4)。次に、R n 内のコンパクトな集合 A 1 を選択します (この場合、四面体を選択します)。そして、帰納法によって一連の集合 A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k) を定義します。 k を増加させると、セット A k がシステムの望ましいアトラクターにますます良く近似することが知られています。 S.

これらの反復のそれぞれがアトラクターであることに注意してください。 反復関数の再帰システム (英語用語 ダイグラフ IFS, リフスそしてまた グラフ指向の IFS) したがって、プログラムを使用して簡単に構築できます。

ポイントバイポイントまたは確率的手法

これはコンピュータで実装する最も簡単な方法です。簡単にするために、フラットな自己アフィンセットの場合を考えます。それでみましょう(S

) - アフィン短縮のいくつかのシステム。ディスプレイS

次のように表現できます: S

固定行列サイズ 2x2 および o

2 次元ベクトル列。

最初のマッピング S 1 の固定点を開始点としてみましょう。
x:= o1;
ここでは、圧縮のすべての固定点 S 1 ,...,S m がフラクタルに属するという事実を利用します。任意の点を開始点として選択すると、それによって生成された一連の点がフラクタルに描画されますが、画面上にいくつかの追加の点が表示されます。
画面上の現在の点 x=(x 1 ,x 2) をマークしましょう。
putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
1 から m までの数値 j をランダムに選択し、点 x の座標を再計算してみましょう。
j:=ランダム(m)+1;
x:=S j (x);
ステップ 2 に進むか、十分な回数の反復を実行した場合は終了します。

注記。マッピング S i の圧縮率が異なる場合、フラクタルは不均一に点で満たされます。マッピング S i が類似している場合、これはアルゴリズムをわずかに複雑にすることで回避できます。これを行うには、アルゴリズムの 3 番目のステップで、1 から m までの数値 j を確率 p 1 =r 1 s,...,p m =rm s で選択する必要があります。ここで、r i はマッピング Si の圧縮係数を示し、数値 s (類似性次元と呼ばれる) は、方程式 r 1 s +...+r m s =1 から求められます。この方程式の解は、例えばニュートン法によって求めることができる。

フラクタルとそのアルゴリズムについて

フラクタルはラテン語の形容詞「fractus」に由来し、翻訳では断片から成ることを意味し、対応するラテン語の動詞「frangere」は壊れる、つまり不規則な断片を作成することを意味します。 70 年代後半に登場したフラクタルとフラクタル幾何学の概念は、80 年代半ば以降、数学者やプログラマーの間でしっかりと確立されました。この用語は、1975 年にブノワマンデルブロによって造られ、彼が懸念していた不規則だが自己相似の構造を指します。フラクタル幾何学の誕生は、通常、1977 年のマンデルブロの著書「自然のフラクタル幾何学」の出版と関連付けられています。彼の作品は、1875 年から 1925 年にかけて同じ分野で研究した他の科学者 (ポアンカレ、ファトゥー、ジュリア、カントール、ハウスドルフ) の科学的成果を使用しました。

調整

H.-O の本の中で提案されているアルゴリズムにいくつかの調整を加えてみましょう。パイトゲンと P.H. リヒター「フラクタルの美しさ」M. 1993 は、純粋にタイプミスを撲滅し、プロセスを研究した後でも多くのことが私にとって謎のままだったので、プロセスの理解を容易にすることを目的としていました。残念なことに、これらの「わかりやすく」「シンプル」なアルゴリズムは、揺るぎないライフスタイルをもたらします。

フラクタルの構築は、フィードバックを伴う複雑なプロセスの特定の非線形関数に基づいています。 z => z 2 +c z と c は複素数であるため、z = x + iy、c = p + iq を分解する必要があります。より現実的なものにするために x と y を入力します。一般人飛行機：

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p、
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q。

すべてのペア (x,y) で構成される平面は、固定値であるかのように考えることができます。 pとq、そして動的なものもあります。最初のケースでは、法則に従って平面のすべての点 (x, y) を通過し、反復プロセスを終了するために必要な関数の繰り返し回数に応じて色付けするか、または、反復プロセスを終了するときに色付けしない (黒色) ことによって行われます。繰り返しの許容最大値を超えると、Julia セットの表示が取得されます。逆に、最初の値のペア (x,y) を決定し、パラメータ p と q の値を動的に変更してその色彩的運命を追跡すると、マンデルブロ集合と呼ばれる画像が得られます。

フラクタルを着色するためのアルゴリズムの問題について。

通常、セットの本体は黒いフィールドとして表されますが、黒色を他の色に置き換えることができることは明らかですが、これは少し興味深い結果でもあります。全色で着色されたセットの画像を取得することは、循環演算を使用して解決できないタスクです。本体を形成するセットの反復数は可能な最大値に等しく、常に同じです。ループ終了条件 (z_magnitude) のチェック結果またはそれに類似したものを、他の数学的演算を使用して色番号として使用することにより、セットを異なる色で色付けすることができます。

「フラクタル顕微鏡」の応用

境界現象を実証します。

アトラクターは、次元上の支配権をめぐる闘争を主導する中心です。アトラクター間に境界が現れ、鮮やかなパターンを表します。セットの境界内で考慮のスケールを増やすことによって、自然界で一般的な現象である決定論的なカオスの状態を反映する自明ではないパターンを得ることができます。

地理学者が研究する物体は、非常に複雑に組織された境界を持つシステムを形成しているため、その識別は簡単な実際的な作業ではありません。自然の複合体には、領域が遠ざかるにつれて影響力を失うアトラクターとして機能する典型性の核があります。

マンデルブロ集合とジュリア集合にフラクタル顕微鏡を使用すると、考慮の規模に関係なく同様に複雑な境界プロセスと現象のアイデアを形成できるため、ダイナミックで一見しただけで理解できる専門家の認識を準備することができます。、時空の混沌自然物、自然のフラクタル幾何学を理解するために。色とりどりの色彩とフラクタルな音楽は、生徒たちの心に深い印象を残すことでしょう。

何千もの出版物と膨大なインターネットリソースがフラクタルに捧げられていますが、コンピューターサイエンスから遠く離れた多くの専門家にとって、この用語はまったく新しいものに思えます。フラクタルは、さまざまな知識分野の専門家の興味の対象として、コンピューターサイエンスのコースで適切な位置を占めるべきです。

例

シェピンスキーグリッド

これは、マンデルブロがフラクタル次元と反復の概念を開発するときに実験したフラクタルの 1 つです。大きな三角形の中点を結んで形成される三角形が主三角形から切り取られ、より多くの穴のある三角形が形成されます。この場合、イニシエーターは大きな三角形であり、テンプレートは、より大きな三角形に類似した三角形を切り出す操作です。通常の四面体を使用し、小さな四面体を切り出すことによって、三角形の立体バージョンを取得することもできます。このようなフラクタルの次元は ln3/ln2 = 1.584962501 です。

入手するには シェルピンスキーの絨毯, 正方形を取り、9つの正方形に分割し、真ん中の正方形を切り取ります。残りの小さな正方形についても同じことを行います。最終的には、面積を持たず、無限の接続を持つ平坦なフラクタルグリッドが形成されます。シェルピンスキースポンジは、その空間的な形式において、端から端までの形式のシステムに変換され、各端から端までの要素が常に独自の種類のものに置き換えられます。この構造は骨組織の一部に非常に似ています。いつかそのような繰り返し構造が建築構造の要素となるでしょう。マンデルブロは、それらの静力学と力学は綿密な研究に値すると信じています。

コッホカーブ

コッホ曲線は、最も典型的な決定論的フラクタルの 1 つです。これは、19 世紀にヘルゲフォンコッホというドイツの数学者によって発明されました。コッホは、ゲオルクコントールとカールヴァイエルシュトラーセの研究中に、異常な動作を伴ういくつかの奇妙な曲線の記述に遭遇しました。イニシエーターは直線です。ジェネレータは正三角形であり、その辺は大きい方のセグメントの長さの 3 分の 1 に等しい。これらの三角形は各セグメントの中央に繰り返し追加されます。研究の中で、マンデルブロはコッホ曲線を徹底的に実験し、コッホ諸島、コッホ十字、コッホ雪片などの図形を作成し、さらには四面体を使用し、その各面に小さな四面体を追加することによってコッホ曲線の 3 次元表現を作成しました。コッホ曲線の寸法は ln4/ln3 = 1.261859507 です。

マンデルブロフラクタル

これはよく見かけるマンデルブロ集合ではありません。マンデルブロ集合は非線形方程式に基づいており、複素フラクタルです。これもコッホ曲線の変形ですが、このオブジェクトはそれに似ていません。イニシエーターとジェネレーターも、コッホ曲線の原理に基づいてフラクタルを作成するために使用されるものとは異なりますが、考え方は同じです。参加する代わりに正三角形曲線セグメントに正方形が追加されます。このフラクタルは各反復で割り当てられたスペースのちょうど半分を占めるため、単純なフラクタル次元は 3/2 = 1.5 になります。

ダーラー・ペンタゴン

フラクタルは、五角形をぎゅっと詰め込んだように見えます。実際には、五角形をイニシエーターとして、大きい辺と小さい辺の比がいわゆる黄金比 (1.618033989 または 1/(2cos72)) に完全に等しい二等辺三角形をジェネレーターとして使用して形成されます。。これらの三角形は各五角形の中央から切り取られ、5 つの小さな五角形が 1 つの大きな五角形に貼り付けられたように見えます。

このフラクタルの変形は、開始剤として六角形を使用することによって取得できます。このフラクタルはダビデの星と呼ばれ、コッホスノーフレークの六角形バージョンによく似ています。 Darer 五角形のフラクタル次元は ln6/ln(1+g) です。ここで、g は三角形の大きい辺の長さの小さい方の長さに対する比です。この場合、g は黄金比率したがって、フラクタル次元は約 1.86171596 になります。ダビデの星のフラクタル次元 ln6/ln3 または 1.630929754。

複雑なフラクタル

実際、複雑なフラクタルの小さな領域を拡大し、次にその領域の小さな領域で同じことを行うと、2 つの倍率は互いに大きく異なります。 2 つの画像は詳細は非常に似ていますが、完全に同一ではありません。

図 1. マンデルブロ集合近似

たとえば、ここで示したマンデルブロ集合の写真を比較してください。一方の写真は、もう一方の特定の領域を拡大して得られたものです。ご覧のとおり、それらはまったく同じではありませんが、両方に黒い円が見え、そこから燃えるような触手が異なる方向に伸びています。これらの要素は、マンデルブロ集合内で割合を減少させながら無限に繰り返されます。

決定論的フラクタルは線形ですが、複素フラクタルは線形ではありません。非線形であるこれらのフラクタルは、マンデルブロが非線形と呼んだものによって生成されます。代数方程式. 良い例えはプロセス Zn+1=ZnІ + C であり、2 次のマンデルブロ集合とジュリア集合を構築するために使用される方程式です。これらの数学方程式を解くには、複素数と虚数が必要になります。方程式を複素平面でグラフィカルに解釈すると、直線が曲線になり、変形がないわけではないものの、さまざまなスケールレベルで自己相似効果が現れる奇妙な図が得られます。同時に、全体としての全体像は予測不可能であり、非常に混沌としています。

写真を見ればわかるように、複雑なフラクタルは確かに非常に複雑であり、コンピューターの助けなしでは作成できません。カラフルな結果を得るには、このコンピュータには強力な数学的コプロセッサと高解像度モニタが必要です。決定論的フラクタルとは異なり、複素フラクタルは 5 ～ 10 回の反復では計算されません。コンピューター画面上のほぼすべての点は、個別のフラクタルのようなものです。数学的処理中、各点は別個の描画として扱われます。各点は特定の値に対応します。方程式は各点に組み込まれ、たとえば 1000 回反復して実行されます。家庭用コンピュータで許容できる時間内で比較的歪みのない画像を取得するには、1 点に対して 250 回の反復を実行することが可能です。

私たちが今日目にするフラクタルのほとんどは、美しい色をしています。おそらく、フラクタル画像は、まさにその配色のおかげで、これほど大きな美的重要性を獲得しているのでしょう。方程式が計算された後、コンピューターは結果を分析します。結果が安定している場合、または特定の値付近で変動している場合、通常、ドットは黒に変わります。あるステップまたは別のステップの値が無限大になる傾向がある場合、その点は別の色 (おそらく青または赤) でペイントされます。このプロセス中に、コンピューターはすべての動作速度に色を割り当てます。

通常、速く動くドットは赤に色付けされ、ゆっくりと動くドットは黄色に色付けされます。ダークスポットはおそらく最も安定しています。

複素フラクタルは、無限に複雑であるにもかかわらず、非常に単純な式で生成できるという点で、決定論的フラクタルとは異なります。決定論的なフラクタルには公式や方程式は必要ありません。画用紙を用意するだけで、3 ～ 4 回までシェルピンスキーふるいを問題なく作成できます。ジュリアをたくさん使って試してみてください！イングランドの海岸線の長さを測りに行くほうが簡単です。

マンデルブロ集合

図 2. マンデルブロ集合

マンデルブロ集合とジュリア集合は、おそらく複素フラクタルの中で最も一般的な 2 つです。これらは、多くの科学雑誌、本の表紙、ポストカード、コンピューターのスクリーンセーバーなどで見られます。ブノワ・マンデルブロによって構築されたマンデルブロ集合は、フラクタルという言葉を聞いたときにおそらく人々が最初に抱く連想でしょう。このフラクタルは、燃える木のような円形の領域が取り付けられたカーディングマシンに似ており、単純な公式 Zn+1=Zna+C によって生成されます。ここで、Z と C は複素数、a は正の数です。

最も頻繁に見られるマンデルブロ集合は、2 次のマンデルブロ集合、つまり a = 2 です。マンデルブロ集合は Zn+1=ZnІ+C であるだけでなく、式の指数が任意のフラクタルであるという事実正数多くの人を誤解させてきました。このページには、次のマンデルブロ集合の例が表示されます。さまざまな意味インジケーター
図 3. a=3.5 での気泡の外観

Z=Z*tg(Z+C) というプロセスも人気があります。タンジェント関数を含めることにより、結果はリンゴに似た領域で囲まれたマンデルブロ集合になります。コサイン関数を使用すると、気泡効果が得られます。つまり、さまざまな美しい画像を生成するためにマンデルブロ集合を構成する方法は無数にあります。

ジュリアがたくさん

驚くべきことに、ジュリア集合はマンデルブロ集合と同じ公式に従って形成されます。ジュリア集合はフランスの数学者ガストンジュリアによって発明され、その名にちなんで名付けられました。マンデルブロ集合とジュリア集合を視覚的に理解した後に生じる最初の疑問は、「両方のフラクタルが同じ公式に従って生成されるのであれば、なぜこれほど異なるのか?」というものです。まずはジュリアセットの写真をご覧ください。奇妙なことに、Julia セットにはさまざまな種類があります。 (反復プロセスを開始するために) 異なる開始点を使用してフラクタルを描画すると、異なるイメージが生成されます。これは Julia セットにのみ適用されます。

図 4. ジュリアセット

写真では見えませんが、マンデルブロフラクタルは実際には多数のジュリアフラクタルが結合されたものです。マンデルブロ集合の各点 (または座標) はジュリアフラクタルに対応します。これらの点を方程式 Z=ZI+C の初期値として使用して、ジュリアセットを生成できます。ただし、これは、マンデルブロフラクタル上の点を選択して拡大すると、ジュリアフラクタルが得られるという意味ではありません。これら 2 つの点は同一ですが、それは数学的な意味でのみです。この点を取得し、この公式を使用して計算すると、マンデルブロフラクタルの特定の点に対応するジュリアフラクタルを得ることができます。

フラクタル リスト。 フラクタルとそのア​​ルゴリズムについて。 仕事の根本的な質問