入り口連立方程式を素早く解く方法。 連立方程式を解くためのグラフィカルな方法。 引き算法を使って簡単な問題を解く
1. 置換方法: システムの任意の方程式から、未知のものを別のものを通して表現し、それをシステムの 2 番目の方程式に代入します。
タスク。連立方程式を解く：
解決。システムの最初の方程式から次のように表されます。 でを通して バツそれをシステムの 2 番目の方程式に代入します。 システムを手に入れましょう 
オリジナルのものと同等です。
同様の用語を導入すると、システムは次のような形式になります。
2 番目の方程式から次のことがわかります。 この値を式に代入すると、 で = 2 - 2バツ、 我々が得る で= 3。したがって、この系の解は数値のペアになります。
2. 代数加算法: 2 つの方程式を追加すると、1 つの変数を含む方程式が得られます。
タスク。システム方程式を解きます。
解決。 2 番目の方程式の両辺に 2 を掛けると、次のシステムが得られます。 
オリジナルのものと同等です。 この系の 2 つの方程式を追加すると、次の系に到達します。 
同様の用語を導入すると、このシステムは次のような形式になります。 
2 番目の方程式から、 が得られます。 この値を式 3 に代入すると、 バツ + 4で= 5、得られます 
、 どこ 。 したがって、このシステムの解は数値のペアになります。
3. 新しい変数を導入する方法: システム内でいくつかの繰り返し式を探しています。これを新しい変数で表すことで、システムの外観を簡素化します。
タスク。連立方程式を解く：
解決。このシステムを別の方法で書いてみましょう。 
させて x + y = あなた、xy = v.次に、システムを取得します
代入法を使って解いてみましょう。 システムの最初の方程式から次のように表されます。 あなたを通して vそれをシステムの 2 番目の方程式に代入します。 システムを手に入れましょう 
それらの。 
システムの 2 番目の方程式から、次のことがわかります。 v 1 = 2, v 2 = 3.
これらの値を式に代入すると、 あなた = 5 - v、 我々が得る あなた 1 = 3,
あなた 2 = 2。すると 2 つのシステムができます。
最初の系を解くと、2 組の数値 (1; 2)、(2; 1) が得られます。 2 番目のシステムには解決策がありません。
独立した仕事のための演習
1. 置換法を使用して連立方程式を解きます。
まず、2 つの変数を含む方程式系の解の定義を思い出してください。
定義 1
数値のペアを方程式に代入すると真の等価性が得られる場合、2 つの変数における方程式系の解と呼ばれます。
将来的には、2 つの変数をもつ 2 つの方程式系を検討します。
存在する 連立方程式を解く 4 つの基本的な方法：置換法、加算法、 グラフィックメソッド、新しい変数を維持する方法。 これらの方法を見てみましょう 具体的な例。 最初の 3 つの方法を使用する原理を説明するために、次の 2 つのシステムを考えます。 一次方程式 2 つの未知数があります:
置換方法
代入方法は次のとおりです。これらの方程式のいずれかを使用して、$y$ を $x$ で表現すると、$y$ がシステム方程式に代入され、そこから変数 $x が見つかります。$ この後、次のようになります。変数 $y.$ を簡単に計算します
例1
2 番目の方程式の $y$ を $x$ で表現してみましょう。
最初の方程式に代入して $x$ を求めてみましょう。
\ \ \
$y$ を見つけてみましょう:
答え： $(-2,\ 3)$
追加方法。
例を使用してこの方法を見てみましょう。
例 2
\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]
2 番目の方程式に 3 を掛けると、次のようになります。
\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]
次に、両方の方程式を加算してみましょう。
\ \ \
2 番目の方程式から $y$ を求めてみましょう。
\[-6-y=-9\] \
答え： $(-2,\ 3)$
注1
この方法では、一方または両方の方程式に、加算中に変数の 1 つが「消える」ような数値を乗算する必要があることに注意してください。
グラフィック手法
グラフィカルな方法は次のとおりです。システムの両方の方程式が座標平面上に描かれ、それらの交点が見つかります。
例 3
\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]
両方の方程式から $y$ を $x$ で表現してみましょう。
\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]
両方のグラフを同じ平面上に描いてみましょう。
写真1。
答え： $(-2,\ 3)$
新しい変数を導入する方法
次の例を使用してこの方法を見てみましょう。
例 4
\[\left\( \begin(配列)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(配列) \right .\]
解決。
このシステムは次のシステムと同等です
\[\left\( \begin(配列)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(配列) \右。\]
$2^x=u\ (u>0)$ および $3^y=v\ (v>0)$ とすると、次のようになります。
\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]
結果として得られるシステムを加算法を使用して解いてみましょう。 方程式を合計してみましょう。
\ \
次に、2 番目の方程式から、次のことがわかります。
置換に戻ると、次のようになります。 新しいシステム指数方程式:
\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]
我々が得る：
\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]
この数学プログラムを使用すると、2 つの線形方程式系を次の 2 つの式で解くことができます。 変数メソッド置換と追加の方法。
プログラムは問題の答えを与えるだけでなく、 詳細な解決策代入法と加算法の2通りの解法手順を解説しています。
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方程式を入力するときのルール
任意のラテン文字が変数として機能します。
例: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) など。
数式を入力するとき 括弧を使用できます。 この場合、まず方程式が簡略化されます。 単純化後の方程式は線形でなければなりません。 要素の順序の精度を備えた ax+by+c=0 の形式。
例: 6x+1 = 5(x+y)+2
方程式では整数だけでなく、 小数小数と普通の分数の形式で。
小数部を入力するときのルール。
整数部と小数部 小数ドットまたはカンマで区切ることができます。
例: 2.1n + 3.5m = 55
普通の分数を入力するときのルール。
分数の分子、分母、および整数部分として機能できるのは整数だけです。
分母を負にすることはできません。
分数を入力する場合、分子は除算記号によって分母から区切られます。 /
全体部分はアンパサンド記号によって分数から区切られます。 &
例。
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)
連立方程式を解く
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線形方程式系の解法。 置換方法
代入法を使用して連立一次方程式を解くときの一連のアクション:
1) システムのある方程式からの 1 つの変数を別の変数に関して表現します。
2) 結果の式をこの変数の代わりにシステムの別の方程式に代入します。
$$ \left\( \begin(配列)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(配列) \right. $$
最初の方程式から y を x で表してみましょう: y = 7-3x。 式 7-3x を 2 番目の方程式に y の代わりに代入すると、次のシステムが得られます。
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$
最初のシステムと 2 番目のシステムが同じ解決策を持つことを示すのは簡単です。 2 番目のシステムでは、2 番目の方程式には変数が 1 つだけ含まれています。 この方程式を解いてみましょう:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$
x の代わりに数値 1 を等式 y=7-3x に代入すると、対応する y の値が求められます。
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
ペア (1;4) - システムの解
同じ解を持つ 2 つの変数の連立方程式はと呼ばれます。 同等。 ソリューションを持たないシステムも同等とみなされます。
連立一次方程式を加算によって解く
連立一次方程式を解く別の方法である加算法を考えてみましょう。 この方法でシステムを解くとき、および代入によって解くときは、このシステムから、方程式の 1 つに変数が 1 つだけ含まれる別の同等のシステムに移動します。
加算法を使用して連立一次方程式を解くときの一連のアクション:
1) システムの方程式を項ごとに乗算し、変数の 1 つの係数が反対の数になるように係数を選択します。
2) システム方程式の左辺と右辺を項ごとに加算します。
3) 結果として得られた方程式を 1 つの変数で解きます。
4) 2 番目の変数の対応する値を見つけます。
例。 連立方程式を解いてみましょう。
$$ \left\( \begin(配列)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(配列) \right. $$
このシステムの方程式では、y の係数は反対の数です。 方程式の左辺と右辺を項ごとに加算すると、1 つの変数 3x=33 を持つ方程式が得られます。 システムの方程式の 1 つ、たとえば最初のものを方程式 3x=33 に置き換えてみましょう。 システムを手に入れましょう
$$ \left\( \begin(配列)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(配列) \right. $$
方程式 3x=33 から、x=11 であることがわかります。 この x の値を方程式 \(x-3y=38\) に代入すると、変数 y を含む方程式 \(11-3y=38\) が得られます。 この方程式を解いてみましょう:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)
したがって、加算によって連立方程式の解を見つけました: \(x=11; y=-9\) または \((11;-9)\)
システムの方程式では y の係数が反対の数であるという事実を利用して、その解を等価なシステムの解に縮小しました (元のシステムの各方程式の両辺を合計することによって)。方程式には変数が 1 つだけ含まれています。
書籍（教科書） 統一国家試験および統一国家試験のオンラインテストの要約 ゲーム、パズル 関数のグラフのプロット ロシア語のスペル辞書 若者の俗語辞典 ロシアの学校のカタログ ロシアの中等教育機関のカタログ ロシアの大学のカタログタスクのシステムを解決する 2 つの未知数 - これは、指定された各方程式を満たす変数値のすべてのペアを見つけることを意味します。 このような各ペアは次のように呼ばれます システムソリューション.
例：
値のペア \(x=3\);\(y=-1\) は、\(x\) と \ の代わりにこれらの 3 とマイナス 1 を系に代入するため、最初の系の解となります。 (y\)、両方の方程式は正しい等式になります \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(場合)\)
しかし \(x=1\); \(y=-2\) - 代入後 2 番目の方程式が「収束しない」ため、最初の系の解ではありません \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)
このようなペアは多くの場合短く書かれることに注意してください。「\(x=3\); \(y=-1\)」の代わりに、\((3;-1)\) のように書きます。
連立一次方程式を解くにはどうすればよいでしょうか?
連立一次方程式を解くには主に 3 つの方法があります。
- 置換方法。
-
\(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)
2 番目の方程式では、各項が偶数であるため、 \(2\) で割ることによって方程式を簡略化します。
\(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)
この系は以下のいずれかの方法で解くことができますが、ここでは置換法が最も便利なように思えます。 2番目の式からyを表してみましょう。
\(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)
最初の式に \(y\) の代わりに \(6x-13\) を代入してみましょう。
\(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)
最初の方程式は普通のものになりました。 解決しましょう。
まず、括弧を開けてみましょう。
\(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)
\(117\) を右に移動して、同様の項を提示してみましょう。
\(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)
最初の方程式の両辺を \(67\) で割ってみましょう。
\(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)
万歳、\(x\) が見つかりました! その値を 2 番目の式に代入して \(y\) を求めてみましょう。
\(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases) )\)
答えを書いてみましょう。
\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\終了(件)\)\(\Leftrightarrow\)
この変数の代わりに結果の式をシステムの別の方程式に代入します。
\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)
連立方程式の 2 種類の解を分析してみましょう。
1. 代入法を使用して系を解きます。
2. システム方程式の項ごとの加算 (減算) によってシステムを解きます。
連立方程式を解くには 置換法による単純なアルゴリズムに従う必要があります。
1.急行します。 どの方程式からも 1 つの変数を表現します。
2. 代わりに。 結果の値を、表現された変数の代わりに別の方程式に代入します。
3. 結果として得られる方程式を 1 つの変数で解きます。 私たちはシステムの解決策を見つけます。
解決するには 学期ごとの加算（減算）方式次のことが必要です:
1. 同一の係数を作成する変数を選択します。
2. 方程式を加算または減算すると、1 つの変数を含む方程式が得られます。
3. 得られた一次方程式を解きます。 私たちはシステムの解決策を見つけます。
このシステムの解は関数グラフの交点です。
例を使用してシステムの解決策を詳しく考えてみましょう。
例 #1:
代入法で解いてみましょう
置換法を使用して連立方程式を解く2x+5y=1 (1 つの方程式)
x-10y=3 (2番目の式)
1.エクスプレス
2 番目の方程式には係数 1 の変数 x があることがわかります。これは、2 番目の方程式から変数 x を表現するのが最も簡単であることを意味します。
x=3+10y
2.表現した後、変数xの代わりに3+10yを最初の方程式に代入します。
2(3+10y)+5y=1
3. 結果として得られる方程式を 1 つの変数で解きます。
2(3+10y)+5y=1 (括弧内を開きます)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2
方程式系の解はグラフの交点です。交点は x と y で構成されるため、x と y を見つける必要があります。x を見つけて、それを表現した最初の点に y を代入します。
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1
ポイントを最初に変数 x を書き、次に変数 y を書くのが通例です。
答え: (1; -0.2)
例2:
項ごとの加算（減算）法を使って解きましょう。
加算法を使用して連立方程式を解く3x-2y=1 (1 つの方程式)
2x-3y=-10 (2番目の式)
1. 変数を選択します。たとえば、x を選択するとします。 最初の方程式では、変数 x の係数は 3、2 番目の方程式では 2 です。係数を同じにする必要があります。そのためには、方程式を乗算するか、任意の数で除算する権利があります。 最初の方程式に 2 を掛け、2 番目の方程式に 3 を掛けて、合計の係数は 6 になります。
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. 最初の方程式から 2 番目の方程式を引いて変数 x を取り除き、一次方程式を解きます。
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6.4
3. x を見つけます。 見つかった y をいずれかの式、たとえば最初の式に代入します。
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6
交点は x=4.6 になります。 y=6.4
答え: (4.6; 6.4)
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