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最も単純な指数方程式、解の例。指数方程式を解く。例

例:

$4^x=32$
$5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8$
$(\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0$

指数方程式の解き方

指数方程式を解くときは、それを $a^(f(x))=a^(g(x))$ の形にしてから、指数が等しくなるように移行します。

$a^(f(x))=a^(g(x))$ $⇔$ $f(x)=g(x)$

例えば：$2^(x+1)=2^2$ $⇔$ $x+1=2$

重要！同じロジックから、このような移行には 2 つの要件が続きます。
- の数 左右は同じでなければなりません。
- 左右の度数は「純粋」でなければなりませんつまり、乗算や除算などはあってはならないのです。

例えば：

方程式を $a^(f(x))=a^(g(x))$ の形式に変換するために使用されます。

例。指数方程式 $\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$ を解きます。
解決：

$\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

$27 = 3^3$ であることがわかっています。これを考慮して方程式を変形してみます。

$\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

ルート $\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))$ の性質により、 $\sqrt(3^3)=((3^3) が得られます。 )^( \frac(1)(2))$。次に、次数の性質 $(a^b)^c=a^(bc)$ を使用して、 $((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ を取得します。 (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2)$。

$3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)$

$a^b·a^c=a^(b+c)$ であることもわかっています。これを左辺に適用すると、 $3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= となります。 3^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)$。

$3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)$

$a^(-n)=\frac(1)(a^n)$ ということを思い出してください。この式は次のような場合にも使用できます。裏: $\frac(1)(a^n) =a^(-n)$。すると $\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)$ となります。

$3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)$

プロパティ $(a^b)^c=a^(bc)$ を右辺に適用すると、次のようになります: $(3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)$。

$3^(x+0.5)=3^(-2x)$

これで、基数が等しくなり、干渉する係数などはなくなりました。したがって、移行を行うことができます。

例。指数方程式 $4^(x+0.5)-5 2^x+2=0$ を解きます。
解決：

$4^(x+0.5)-5 2^x+2=0$		ここでも、反対方向のべき乗特性 $a^b \cdot a^c=a^(b+c)$ を使用します。
$4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0$		ここで $4=2^2$ を思い出してください。
$(2^2)^x・(2^2)^(0.5)-5・2^x+2=0$		度の特性を使用して、次のように変換します。 $(2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2$ $(2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.$
$2・(2^x)^2-5・2^x+2=0$		方程式を注意深く見てみると、置換 $t=2^x$ がそれ自体を示唆していることがわかります。

$t_1=2$ $t_2=\frac(1)(2)$		ただし、 $t$ の値は見つかったので、 $x$ が必要です。 X に戻り、逆の置換を行います。
$2^x=2$ $2^x=\frac(1)(2)$		負の累乗特性を使用して 2 番目の方程式を変形しましょう...
$2^x=2^1$ $2^x=2^(-1)$		...答えが出るまで決めます。
$x_1=1$ $x_2=-1$

答え : $-1; 1$.

疑問は残ります - どの方法をいつ使用するかをどのように理解するか? これには経験が伴います。手に入るまで使ってください一般的な推奨事項複雑な問題を解決するには、「何をすればよいかわからない場合は、できることをしてください。」つまり、原理的に方程式を変換する方法を探し、それを実行してみてください。何が起こったらどうなるでしょうか? 重要なことは、数学に基づいた変換のみを行うことです。

解のない指数方程式

学生がよく混乱するもう 2 つの状況を見てみましょう。
- 正の数値の累乗はゼロに等しくなります (例: $2^x=0$)。
- 正の数は負の数の累乗に等しい (例: $2^x=-4$)。

力技で解決してみましょう。 x が正の数の場合、x が大きくなるにつれて、全体のべき乗 $2^x$ は増加するだけです。

$x=1$; $2^1=2$
$x=2$; $2^2=4$
$x=3$; $2^3=8$。

$x=0$; $2^0=1$

また、による。マイナスの X が残ります。プロパティ $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$ を思い出して、次のことを確認します。

$x=-1$; $2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)$
$x=-2$; $2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)$
$x=-3$; $2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)$

ステップを進めるごとに数値は小さくなりますが、ゼロになることはありません。したがって、マイナスの程度は私たちを救いませんでした。次のような論理的な結論に達します。

正の数は、どの程度であっても正の数のままです。

したがって、上記の両方の方程式には解がありません。

基数が異なる指数方程式

実際には、互いに還元できない異なる基数を持ち、同時に同じ指数をもつ指数方程式に遭遇することがあります。これらは次のようになります: $a^(f(x))=b^(f(x))$、ここで $a$ と $b$ は正の数です。

例えば：

$7^(x)=11^(x)$
$5^(x+2)=3^(x+2)$
$15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)$

このような方程式は、方程式のいずれかの辺で割ることによって簡単に解くことができます (通常は右辺、つまり \(b^(f(x))\ で割ります)。この方法で割ることができるのは、正の数であるためです。は任意のべき乗に対して正です (つまり、ゼロで除算しません)。次のようになります。

$\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))$ $=1$

例。指数方程式 $5^(x+7)=3^(x+7)$ を解きます。
解決：

$5^(x+7)=3^(x+7)$		ここでは、5 を 3 に、またはその逆に変換することはできません (少なくともを使用しない限り)。これは、 $a^(f(x))=a^(g(x))$ という形式に到達できないことを意味します。ただし、指標は同じです。方程式を右側、つまり $3^(x+7)$ で割ってみましょう (これができるのは、3 がどの程度でも 0 にならないことがわかっているからです)。
$\frac(5^(x+7))(3^(x+7))$ $=$$\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )$		ここで、プロパティ $(\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)$ を思い出し、左から逆方向に使用します。右側では、単純に分数を減らします。
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=1$		事態はこれ以上好転していないようだ。ただし、べき乗のもう 1 つの性質を覚えておいてください。$a^0=1$、言い換えれば、「あらゆる数値のゼロ乗は $1$ に等しい」ということです。逆もまた真です。「1 は、ゼロ乗の任意の数として表すことができます。」これを利用して、右側のベースを左側と同じにしてみましょう。
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=$ $(\frac(5)(3))^0$		出来上がり！基地を撤去しましょう。
		返答を書いております。

答え : $-7$.

指数の「同一性」が明らかでない場合もありますが、指数の特性をうまく利用することでこの問題は解決されます。

例。指数方程式 $7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$ を解きます。
解決：

$7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		この方程式は非常に悲しいものに見えます... 基数が同じ数に減らないだけでなく (7 が $\frac(1)(3)$ に等しくなることは決してありません)、指数も異なります。 .. ただし、左の指数デュースを使用しましょう。
$7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		プロパティ $(a^b)^c=a^(b·c)$ を思い出して、左から変換します。 $7^(2(x-2))=7^(2・(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)$。
$49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		ここで、負の次数 $a^(-n)=\frac(1)(a)^n$ の性質を思い出して、右から変換します。 $(\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)$
$49^(x-2)=3^(x-2)$		ハレルヤ！インジケーターも同じです！すでによく知られているスキームに従って行動し、答えの前に解決します。

答え : $2$.

指数方程式とは何ですか? 例。

つまり、指数方程式... 多種多様な方程式の一般展示における新しいユニークな展示です!) ほとんど常にそうであるように、新しい数学用語のキーワードは、それを特徴づける対応する形容詞です。それで、ここにあります。「指数方程式」という用語のキーワードは、 「示唆的な」。それはどういう意味ですか？この単語は、未知の (x) が位置することを意味します。 あらゆる程度の観点から言えば。そしてそこだけ！これは非常に重要です。

たとえば、次のような単純な方程式は次のとおりです。

3 × +1 = 81

5 × + 5 × +2 = 130

4 2 2 × -17 2 × +4 = 0

あるいは、次のようなモンスターさえも:

2 罪 x = 0.5

すぐに 1 つの重要な点に注意してください。理由度（下） – 数字だけ。しかし、指標度 (上) - X を使用したさまざまな表現。すべては特定の方程式に依存します。突然、x が指標に加えて方程式の別の場所に現れた場合 (たとえば、3 x = 18 + x 2)、そのような方程式はすでに方程式になります。 混合タイプ 。このような方程式には、それを解くための明確なルールがありません。したがって、このレッスンではそれらについては考慮しません。学生たちは大喜びです。) ここでは、「純粋な」形式の指数方程式のみを考慮します。

一般に、すべての、あるいは必ずしも純粋な指数方程式さえ明確に解けるわけではありません。しかし、多種多様な指数方程式の中には、解決できる、または解決すべき特定のタイプがあります。私たちが検討するのはこれらのタイプの方程式です。そして例題は必ず解きます。) それでは、安心して出発しましょう! コンピューターシューティングゲームと同様に、私たちの旅はレベルを経て行われます。初級から単純、単純から中級、中級から複雑へと進みます。その過程で、非標準的な例を解決するためのテクニックと方法という秘密のレベルもあなたを待っています。学校の教科書にはあまり載っていないような内容です…まあ、最後にはもちろん宿題という形でラスボスが待っています。）

レベル 0. 最も単純な指数方程式は何ですか? 単純な指数方程式を解く。

まず、率直に初歩的な事柄を見てみましょう。どこかから始めないといけませんよね？たとえば、次の方程式は次のようになります。

2 x = 2 2

理論がなくても、単純な論理で、常識 x = 2 であることは明らかです。他に方法はありませんよね? X の他の意味は適切ではありません...そして次に、次のことに注目しましょう 決定の記録このクールな指数方程式:

2 x = 2 2

X = 2

私たちに何が起こったのでしょうか？そして次のことが起こりました。私たちは実際にそれを取り、...単純に同じベース (2 つ) を投げました。完全に放り出された。そして、良いニュースは、的を射たということです。

確かに、指数方程式に左と右がある場合、同じ任意の累乗の数値がある場合、これらの数値は破棄され、単純に指数を等しくすることができます。数学ではそれが可能です。) そして、インジケーターを個別に操作して、より単純な方程式を解くことができます。すごいですよね？

あらゆる（はい、まさにあらゆる！）指数方程式を解くための重要なアイデアは次のとおりです。 同一の変換を使用する場合、方程式の左辺と右辺が次のようになるようにする必要があります。 同じさまざまな累乗の基数。その後、同じ基数を安全に削除して指数を等しくすることができます。そして、より単純な方程式を使って作業してください。

ここで鉄則を思い出してみましょう。方程式の左側と右側の数値に塩基番号がある場合に限り、同一の塩基を削除できます。 誇らしい孤独の中で。

素晴らしい孤立とは何を意味するのでしょうか？これは、近傍と係数がないことを意味します。説明しましょう。

たとえば、式では、

3 3 x-5 = 3 2 x +1

スリーは外せません！なぜ？なぜなら、左側にはある程度孤独な3人だけではなく、仕事 3・3×-5 。余分な 3 つが干渉します: 係数です。)

等式についても同じことが言えます

5 3 x = 5 2 x +5 x

ここでも、すべての基数は同じです - 5 です。しかし、右側には 5 の累乗は 1 つもありません。累乗の和が存在します。

つまり、指数方程式が次のような場合にのみ、次のような場合にのみ、同一の基数を削除する権利があります。

あるf (バツ) = グラム (バツ)

このタイプの指数方程式はと呼ばれます もっとも単純な。あるいは、科学的には、 正規の 。そして、目の前にどんな複雑な方程式があったとしても、私たちは何らかの方法でそれを正確にこの最も単純な (標準的な) 形式に還元します。または、場合によっては、 全体性このタイプの方程式。次に、最も単純な方程式は次のように書くことができます。一般的な見解次のように書き換えます。

F(x) = g(x)

それだけです。これは等価な変換になります。この場合、f(x) と g(x) は、x を含む任意の式にすることができます。何でも。

おそらく、特に好奇心旺盛な学生は、一体なぜ、左右の同じ基底を簡単かつ単純に破棄して、指数を等しくするのでしょうか?と疑問に思うでしょう。直感は直感ですが、何らかの方程式と何らかの理由で、このアプローチが間違っていることが判明した場合はどうなるでしょうか? 同じ根拠を放棄することは常に合法ですか?残念ながら、これに対する厳密な数学的答えはありません興味がある尋ねるかなり深く真剣に取り組む必要があります一般理論デバイスと機能の動作。そしてもう少し具体的に言うと、この現象では 厳しい単調さ。特に、厳密な単調性 指数関数y= ×。指数方程式の解法の根底にあるのは指数関数とその特性であるため、そのとおりです。) この質問に対する詳しい答えは、さまざまな関数の単調性を使用して複雑な非標準方程式を解くことに特化した別の特別レッスンで提供されます。)

この点を今詳しく説明しても、平均的な学生の心を驚かせ、無味乾燥で重い理論で事前に怖がらせるだけでしょう。私はこれをしません。）この瞬間タスク - 指数方程式の解き方を学びましょう！最もシンプルなもの！したがって、まだ心配せず、同じ理由を大胆に吐き出しましょう。これ できる(私の言葉を信じてください!) そして、同等の方程式 f(x) = g(x) を解きます。原則として、元の指数関数よりも単純です。

もちろん、人々は指数に x を含まない少なくともと方程式の解き方をすでに知っていると仮定します。）まだ方法がわからない人は、このページを閉じて、関連するリンクをクリックして必要事項を記入してください。昔の隙間。そうしないと大変な事になりますよ、はい...

私は、基礎を排除する過程で出現する可能性のある無理数、三角関数、その他の残忍な方程式について話しているのではありません。しかし、心配しないでください。現時点では完全な残虐行為を程度の観点から考慮するつもりはありません。時期尚早です。ほとんどの場合のみトレーニングします簡単な方程式.)

次に、最も単純なものに減らすために追加の努力が必要な方程式を見てみましょう。区別するために、それらを次のように呼びましょう 単純な指数方程式。それでは、次のレベルに進みましょう!

レベル 1. 単純な指数方程式。度数を認識しましょう！自然な指標。

指数方程式を解く際の重要なルールは次のとおりです。 学位を扱うためのルール。この知識とスキルがなければ何もうまくいきません。ああ、ああ。ですから、学位に問題があるのであれば、まずそれは歓迎です。さらに、も必要になります。これらの変換 (そのうち 2 つ!) は、一般にすべての数学方程式を解くための基礎となります。実証的なものだけではありません。忘れた人はリンクも見てください。ただそこに置いているだけではありません。

しかし、権限のある操作とアイデンティティの変換だけでは十分ではありません。個人的な観察と工夫も必要です。私たちにも同じ理由が必要ですよね。そこで、例を調べて、明示的な形式または偽装された形式でそれらを探します。

たとえば、次の方程式は次のようになります。

3 2 x – 27 x +2 = 0

まずは見てみる根拠。それらは違う！３時２７分。しかし、パニックになったり絶望したりするのは時期尚早です。それを思い出す時が来た

27 = 3 3

数字の3と27は程度の差で親戚になります。したがって、私たちには次のように書く権利があります。

27 x +2 = (3 3) x+2

さあ、私たちの知識をつなげてみましょう 度付きのアクション（そして私はあなたに警告しました！）。そこには非常に便利な公式があります。

(a m) n = a mn

これを実行に移すと、うまくいきます。

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

元の例は次のようになります。

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

素晴らしい、度数の基礎が平らになりました。それが私たちが望んでいたものです。戦闘の半分は終了しました。) 次に、基本的なアイデンティティ変換を開始します。3 3(x +2) を右に移動します。はい、数学の初歩的な演算をキャンセルした人は誰もいません。) 次の結果が得られます。

3 2 x = 3 3(x +2)

この種の方程式から何が得られるでしょうか? そして、私たちの方程式が縮小されたという事実 正規形に: 左右に同じ累乗数 (3) があります。しかも三人とも見事に孤立している。トリプルを自由に削除して、以下を取得してください。

2x = 3(x+2)

これを解決すると次のようになります。

X = -6

それでおしまい。これが正解です。)

では、解決策を考えてみましょう。この例では何が私たちを救ったのでしょうか? 3 つの力についての知識が私たちを救ってくれました。正確にはどのように? 私たちは 特定された 27 番には暗号化された 3 が含まれています。このトリック（同じベースの暗号化）異なる数字) は指数方程式の中で最も人気のあるものの 1 つです。一番人気でない限り。はい、同じように、ちなみに。これが、指数方程式において観察と数値内の他の数値の累乗を認識する能力が非常に重要である理由です。

実践的なアドバイス:

人気のある数字の力を知る必要があります。直面して！

もちろん、2 の 7 乗、または 3 の 5 乗は誰でもできます。私の頭では考えていませんが、少なくとも草稿の中では。しかし、指数方程式では、累乗する必要はなく、むしろ、128 や 243 など、その数値の背後に隠されている数値と累乗を見つける必要があることがよくあります。そして、これは単純な累乗よりも複雑です。あなたも同意するでしょう。よく言われるように、違いを感じてください。

学位を直接認識する能力は、このレベルだけでなく次のレベルでも役立つため、ここであなたのための小さなタスクを紹介します。

その数が何乗で何番目であるかを決定します。

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

答え（もちろんランダム）：

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

はいはい！タスクよりも答えの方が多いことに驚かないでください。たとえば、2 8、4 4、および 16 2 はすべて 256 です。

レベル 2. 単純な指数方程式。度数を認識しましょう！マイナスおよび小数のインジケーター。

このレベルでは、私たちはすでに学位に関する知識を最大限に活用しています。つまり、この魅力的なプロセスには、ネガティブで断片的な指標が含まれています。はいはい！私たちは自分の力を高める必要がありますよね？

たとえば、このひどい方程式は次のとおりです。

繰り返しますが、最初に見るのは基礎です。理由は違います！そして今回は、それらは互いに少しも似ていません。 5 と 0.04...そして塩基を除去するには、同じ塩基が必要です...どうすればよいでしょうか?

大丈夫です！実際、すべては同じですが、5 と 0.04 の関係が視覚的にわかりにくいだけです。どうすれば抜け出せるでしょうか？普通の分数である 0.04 という数字に進みましょう。そうすれば、すべてがうまくいくでしょう。)

0,04 = 4/100 = 1/25

おお！ 0.04は1/25であることがわかりました。まあ、誰が考えたでしょうか！）

それで、どうやって？ 5 と 1/25 の関係がわかりやすくなりましたか? それでおしまい...

そして今、度付きの行動のルールに従って、 マイナスの指標安定した手で書くことができます。

すばらしい。したがって、同じベース、つまり 5 に到達しました。ここで、方程式の不都合な数値 0.04 を 5 -2 に置き換えると、次のようになります。

繰り返しますが、次数を伴う演算規則に従って、次のように書くことができます。

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

念のため、（知らない人がいる場合に備えて）学位を扱うための基本的なルールは以下の場合に有効であることを思い出してください。 どれでもインジケーター！負の値も含みます。) したがって、適切なルールに従って指標 (-2) と (x-1) を自由に乗算してください。私たちの方程式はどんどん良くなっていきます。

全て！孤独なファイブを除けば、左右の勢力には何もありません。方程式は標準形式に変換されます。そして、ギザギザのトラックに沿って。 5 を削除し、指標を同等にします。

バツ 2 –6 バツ+5=-2(バツ-1)

例はほぼ解決しました。残っているのは小学校中学校の数学だけです。括弧を (正しく!) 開いて、左側にあるものをすべて集めてください。

バツ 2 –6 バツ+5 = -2 バツ+2

バツ 2 –4 バツ+3 = 0

これを解くと 2 つの根が得られます。

バツ 1 = 1; バツ 2 = 3

それだけです。）

さて、もう一度考えてみましょう。この例では、同じ数字を異なる程度で認識する必要がありました。つまり、数字 0.04 の暗号化された 5 を見ることです。そして今回は - マイナス度！どうやってこれをやったのでしょうか？いきなりですが、そんなことはありません。しかし、小数の 0.04 から公分数の 1/25 に移行すると、すべてが明らかになりました。そして決定はすべて時計仕掛けのように進みました。)

したがって、もう 1 つのグリーンな実践的なアドバイスです。

指数方程式に小数が含まれる場合、次のようになります。小数普通のものに。で普通の分数多くの人気のある数字の累乗を認識するのがはるかに簡単です。認識後、分数から負の指数をもつ累乗に移行します。

このトリックは指数方程式で非常に頻繁に発生することに注意してください。しかし、その人物は主題に含まれていません。たとえば、彼は 32 と 0.125 という数字を見て動揺します。彼は気づいていないのですが、これは度合いが違うだけで、同じ 2 つです...しかし、あなたはすでに知っています!)

方程式を解きます。

で！静かなホラーのように見えます...しかし、見た目は騙されます。これは、気の遠くなるような複雑な方程式ですが、最も単純な指数方程式です。外観。そして今、それをあなたにお見せします。）

まず、底と係数のすべての数値を見てみましょう。もちろん、それらは異なります、はい。しかし、私たちはそれでもリスクを冒して、それらを実現しようとします同一！に到達してみましょう 同じ数を異なる累乗で表す。また、その数はできるだけ少ないことが好ましい。それでは、デコードを始めましょう!

そうですね、4 つあればすべてがすぐにわかります。2 2 です。さて、それはすでに何かです。）

0.25 という割合では、まだ不明です。確認する必要があります。実践的なアドバイスを使用しましょう - 小数から普通の分数に移行してみましょう。

0,25 = 25/100 = 1/4

もうずっと良くなりました。なぜなら、1/4 が 2 -2 であることがはっきりとわかるからです。素晴らしいです。0.25 という数字も 2 に似ています。)

ここまでは順調ですね。しかし、すべての中で最悪の数字が残っています - 2の平方根！この唐辛子はどうすればいいでしょうか？ 2の累乗でも表現できるのでしょうか？そして誰が知っています...

さて、学位に関する知識の宝庫にもう一度飛び込んでみましょう! 今回はさらに私たちの知識を結び付けます 根について。 9年生のコースで、あなたも私も、望むならどんな根もいつでも学位に変えることができることを学んだはずです 分数インジケーター付き。

このような：

私たちの場合には：

おお！ 2の平方根は2 1/2であることがわかります。それでおしまい！

それはいいです！私たちの不便な番号はすべて、実際には暗号化された 2 であることが判明しました。) どこかで非常に高度に暗号化されていることに異論はありません。しかし、私たちはそのような暗号を解くプロフェッショナリズムも向上させています。そして、すべてがすでに明らかです。方程式では、数値 4、0.25、および 2 の根を 2 のべき乗に置き換えます。

全て！この例のすべての次数の基数は同じ 2 になりました。そして、度付きの標準アクションが使用されるようになりました。

午前あ、ん = 午前 + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

左側の場合、次のようになります。

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

右側の場合は次のようになります。

そして今、私たちの邪悪な方程式は次のようになります。

この方程式がどのようにして生まれたのか正確に理解していない人のために言っておきますが、ここでの質問は指数方程式に関するものではありません。問題は程度を伴う行為についてです。困っている方に緊急リピートしていただきました！

ここがフィニッシュラインです！指数方程式の正準形式が得られました。それで、どうやって？すべてはそれほど怖いものではないということを納得していただけたでしょうか？ ;) 2 を削除し、インジケーターを同等にします。

あとはこの一次方程式を解くだけです。どうやって？もちろん、同じ変換の助けを借りてです。) 何が起こっているかを決定してください! 両辺に 2 を掛けて (分数 3/2 を取り除くため)、X の付いた項を左に移動し、X の付いていない項を右に移動し、類似した項を持ってきて、数えてください。そうすれば幸せになります。

すべてが美しくなるはずです。

X=4

では、もう一度解決策を考えてみましょう。この例では、からの移行に助けられました。 平方根 に 指数 1/2 の次数。さらに、このような狡猾な変換のみが、どこでも同じベース (2 つ) に到達するのに役立ち、状況を救ったのです。そして、それがなければ、私たちは永久にフリーズし、この例に対処することができなくなる可能性が十分にあります、そうです...

したがって、私たちは次の実践的なアドバイスを無視しません。

指数方程式に根が含まれている場合は、根から小数指数を含む累乗に移動します。非常に多くの場合、そのような変換だけがさらなる状況を明らかにします。

もちろん、負のべき乗と分数べき乗はさらに複雑です自然度。少なくとも視覚的な認識、特に右から左への認識の観点からは！

たとえば、2 の -3 乗や 4 の -3/2 乗などを直接上げることは、それほど大きな問題ではないことは明らかです。詳しい人向け。）

しかし、たとえば次のことにすぐに気づいてください。

0,125 = 2 -3

または

ここでは、練習と豊富な経験のみがルールです。そしてもちろん、明確なアイデア、 負の分数度とは何ですか?そして - 実践的なアドバイス！はい、はい、それらと同じものです緑.) それらが今後もあなたが多様な学位をよりよく乗り越え、成功の可能性を大幅に高めるのに役立つことを願っています。ですから、それらを無視しないようにしましょう。私は無駄ではない緑時々書きます。）

しかし、負の力や分数の力などの特殊な能力であってもお互いを知るようになれば、指数方程式を解く能力は大幅に拡大し、ほぼすべてのタイプの指数方程式を処理できるようになります。そうですね、何もないとしても、すべての指数方程式の 80% は間違いなく当てはまります。はい、はい、冗談ではありません！

これで、指数方程式の入門の最初の部分は論理的な結論に達しました。そして、中間のトレーニングとして、私は伝統的に、少し内省することをお勧めします。)

演習 1.

つまり、ネガティブなことを解読することについての私の言葉は、分数べき乗無駄ではないので、プレイすることをお勧めしますちょっとしたゲーム!

数値を 2 のべき乗として表現します。

答え（混乱中）：

起こりました？素晴らしい！次に、戦闘ミッションを実行します。最も単純で単純な指数方程式を解きます。

タスク2。

方程式を解きます (答えはすべてめちゃくちゃです!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

答え:

x = 16

バツ 1 = -1; バツ 2 = 2

バツ = 5

起こりました？実際、それははるかに簡単です!

次に、次のゲームを解きます。

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x ·7 x

答え:

バツ 1 = -2; バツ 2 = 2

バツ = 0,5

バツ 1 = 3; バツ 2 = 5

そして、これらの例は残り 1 つですか? 素晴らしい！あなたは成長しています！次に、軽食としてさらにいくつかの例を示します。

答え:

バツ = 6

バツ = 13/31

バツ = -0,75

バツ 1 = 1; バツ 2 = 8/3

で、これは決まったのか？まあ、敬意を表します！脱帽です）ということで、今回のレッスンは無駄ではなかったですし、最初のレベル指数方程式を解くことは、首尾よく習得したとみなしてよいでしょう。次のレベルとより複雑な方程式が待っています! そして新しい技術とアプローチ。そして非標準的な例。そして新たな驚きも。）これはすべて次のレッスンで説明します。

何か問題がありましたか？これは、問題がにある可能性が高いことを意味します。またはで。あるいは両方を一度に。ここでは私は無力です。入ることができますもう一度私が提案できることは 1 つだけです。怠惰にせずリンクに従ってください。)

つづく。）

このレッスンは、指数方程式を学び始めたばかりの人を対象としています。いつものように、定義と簡単な例から始めましょう。

このレッスンを読んでいるということは、最も単純な方程式である 1 次方程式と 2 次方程式についてはすでに最低限の理解があると思います。 $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ など。このような構造を解決できることは、これから説明するトピックで「行き詰まり」にならないようにするために絶対に必要です。

ということで、指数方程式。いくつか例を挙げてみましょう。

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

それらの中には、より複雑に見えるものもあれば、逆に単純すぎるものもあります。しかし、それらにはすべて共通点があります重要な兆候: 彼らの表記には指数関数 $f\left(x \right)=((a)^(x))$ が含まれています。したがって、定義を導入しましょう。

指数方程式とは、指数関数を含む方程式です。 $((a)^(x))$ という形式の式。示された関数に加えて、そのような方程式には、多項式、根、三角法、対数などの他の代数構造を含めることができます。

はい、それでは。定義を整理しました。さて問題は、このくだらないことをどうやって解決するかということだ。答えは単純でもあり、複雑でもあります。

良いニュースから始めましょう。多くの生徒を教えてきた私の経験から言えますが、ほとんどの生徒は指数方程式が同じ対数よりもはるかに簡単で、三角関数よりもはるかに簡単であると感じています。

しかし、悪いニュースがあります。時々、あらゆる種類の教科書や試験の問題を書いている人が「霊感」に襲われ、薬物で炎症を起こした脳が非常に残酷な方程式を作り始め、それを解くのが生徒だけでなく、多くの教師にとっても困難になることがあります。そういった問題に行き詰まってしまいます。

ただし、悲しいことは話さないようにしましょう。そして、物語の冒頭で与えられた 3 つの方程式に戻りましょう。それぞれを解決してみましょう。

最初の方程式: $((2)^(x))=4$。さて、数字 4 を得るには、数字 2 を何乗する必要がありますか? おそらく二番目でしょうか？結局のところ、 $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - そして正しい数値的等価性が得られました。確かに$x=2$です。ありがとう、キャップ、でもこの方程式はとても簡単だったので、うちの猫でも解けました。:)

次の方程式を見てみましょう。

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

しかし、ここではもう少し複雑です。多くの生徒は、$((5)^(2))=25$ が九九であることを知っています。 $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ は本質的に負の累乗の定義であると疑う人もいます (式 $((a)^(-n))= \ と同様ですfrac(1)(((a)^(n)))$)。

最後に、これらの事実を組み合わせると次のような結果が得られることを認識しているのは、ごく少数の選ばれた人だけです。

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

したがって、元の式は次のように書き換えられます。

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

しかし、これはすでに完全に解決可能です。方程式の左側には指数関数があり、方程式の右側には指数関数があり、それら以外には何も存在しません。したがって、基底を「破棄」して、愚かにも指標を同一視することができます。

私たちは、どんな学生でもたった数行で解ける最も単純な一次方程式を取得しました。 4 行で説明します。

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

最後の 4 行で何が起こっているのか理解できない場合は、必ずトピックに戻ってください。一次方程式」と繰り返します。なぜなら、このトピックを明確に理解していなければ、指数方程式に取り組むのは時期尚早だからです。

\[((9)^(x))=-3\]

では、どうすればこれを解決できるでしょうか? 最初に考えたのは $9=3\cdot 3=((3)^(2))$ なので、元の方程式は次のように書き換えることができます。

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

次に、べき乗を累乗するときに指数が乗算されることを思い出します。

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

そして、そのような決定に対して、私たちは正直に値する2つを受け取ります。ポケモンのような冷静さで、私たちは 3 つの前にあるマイナス記号をこの 3 乗で送信したからです。しかし、それはできません。だからこそ。 3 つの異なる力を見てみましょう。

\[\begin(行列) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(行列)\]

このタブレットを編集するとき、私は何も歪曲しませんでした。正の累乗、負の累乗、さらには分数の累乗も調べました... さて、ここで少なくとも 1 つの負の数はどこにあるでしょうか? 彼は行ってしまった！そして、それはあり得ません。なぜなら、指数関数 $y=((a)^(x))$ は、第一に、常に次の値しか取りません。正の値(どれだけ 1 を掛けても、2 で割っても、それは正の数です。) そして第 2 に、そのような関数の底である数値 $a$ は、定義上正の数です。

では、方程式 $((9)^(x))=-3$ をどのように解くのでしょうか? しかし、そんなことはありません。根がありません。この意味で、指数方程式は二次方程式に非常に似ており、根がない場合もあります。しかし、二次方程式で根の数が判別式によって決まる場合 (正の判別式 - 2 根、負 - 根なし)、指数方程式ではすべてが等号の右側にあるものによって決まります。

したがって、重要な結論を定式化しましょう。$((a)^(x))=b$ という形式の最も単純な指数方程式は、$b>0$ の場合にのみ根を持ちます。この単純な事実を知れば、提案された方程式に根があるかどうかを簡単に判断できます。それらの。そもそもそれを解決する価値があるのか、それとも根が無いことをすぐに書き留める価値があるのか。

この知識は、より複雑な問題を解決する必要がある場合に何度も役立ちます。とりあえず、歌詞はこれくらいにして、指数方程式を解くための基本的なアルゴリズムを勉強しましょう。

指数方程式の解き方

それでは、問題を定式化してみましょう。次の指数方程式を解く必要があります。

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

前に使用した「単純な」アルゴリズムによれば、数値 $b$ を数値 $a$ のべき乗として表す必要があります。

さらに、変数 $x$ の代わりに式がある場合、すでに解くことができる新しい方程式が得られます。例えば：

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2)。 \\\終了(整列)\]

そして奇妙なことに、このスキームは約 90% のケースで機能します。では、残りの10％はどうなるのでしょうか？残りの 10% は、次の形式のわずかに「統合失調症的な」指数方程式です。

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

さて、3 を得るには 2 を何乗する必要がありますか? 初め？しかし、いいえ、$((2)^(1))=2$ では十分ではありません。 2番目？どちらもいいえ: $((2)^(2))=4$ は多すぎます。ではどれでしょうか？

知識のある学生はおそらくすでに推測しているでしょう。このような場合、「美しく」解決できない場合、「重砲」、つまり対数が登場します。対数を使用すると、任意の正の数は他の任意の累乗として表現できることを思い出してください。正数(1 つを除く):

この公式を覚えていますか? 私が生徒に対数について話すとき、私はいつも警告します。この公式 (これは基本的な対数の恒等式、あるいは対数の定義でもあります) は非常に長い間頭につきまといますし、最も頻繁に「現れる」ことになります。予想外の場所。さて、彼女は浮上しました。方程式とこの式を見てみましょう。

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

$a=3$ が右辺の元の数値であり、$b=2$ が右辺を削減する指数関数のまさに底であると仮定すると、次のようになります。

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\終了(整列)\]

$x=((\log )_(2))3$ という少し奇妙な答えが返されました。他のタスクでは、多くの人がそのような答えに疑問を抱き、解決策を再確認し始めるでしょう。どこかにエラーが忍び込んでいたらどうなるでしょうか? 急いで言っておきますが、ここに間違いはありません。指数方程式の根の対数はまったく典型的な状況です。だからそれに慣れてください。:)

次に、残りの 2 つの方程式を類推して解いてみましょう。

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\終了(整列)\]

それだけです！ちなみに、最後の答えは別の方法で書くこともできます。

対数の引数に乗数を導入しました。しかし、この要素をベースに追加することを誰も止めません。

さらに、3 つのオプションはすべて正しいです。簡単です。さまざまな形同じ番号のレコード。この解決策にどれを選択して書き留めるかは、あなたが決めることです。

したがって、$((a)^(x))=b$ という形式の指数方程式を解く方法を学びました。ここで、数値 $a$ と $b$ は厳密に正です。しかし厳しい現実私たちの世界はとても似ています単純な作業非常にまれに会うでしょう。多くの場合、次のようなことに遭遇するでしょう。

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09。 \\\終了(整列)\]

では、どうすればこれを解決できるでしょうか? これはまったく解決できますか？もしそうなら、どのようにして？

慌てないで。これらすべての方程式は、すぐに簡単に、すでに検討した単純な式に帰着します。代数コースで学んだいくつかのトリックを覚えておく必要があります。そしてもちろん、学位を扱うためのルールはありません。これについては今からお話します。:)

指数方程式の変換

最初に覚えておくべきことは、指数方程式は、それがどれほど複雑であっても、何らかの形で最も単純な方程式、つまりすでに検討済みで、解き方がわかっている方程式に還元する必要があるということです。言い換えれば、指数方程式を解くスキームは次のようになります。

元の式を書き留めます。例: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
何か変なことをしてください。あるいは「方程式を変換する」というくだらないことさえあります。
出力では、$((4)^(x))=4$ などの形式の最も単純な式を取得します。さらに、1 つの初期方程式から、そのような式を一度に複数与えることができます。

最初の点ではすべてが明らかです。うちの猫でも方程式を紙に書くことができます。 3 番目の点も、多かれ少なかれ明らかになったようです。私たちはすでに上記のような方程式を大量に解いています。

しかし、2 番目の点はどうでしょうか? どのような変化ですか？何を何に変換しますか？そしてどうやって？

さて、調べてみましょう。まず、以下の点に注意していただきたいと思います。すべての指数方程式は 2 つのタイプに分類されます。

方程式は同じ底を持つ指数関数で構成されます。例: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
式には次のものが含まれます指数関数さまざまな理由で。例: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ および $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0.09。

最初のタイプの方程式から始めましょう。これらは最も簡単に解くことができます。そして、それらを解決する際には、安定した表現を強調表示するなどのテクニックが役立ちます。

安定した式の分離

この方程式をもう一度見てみましょう。

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

何が見えますか？ 4 つは異なる程度に引き上げられます。ただし、これらの累乗はすべて、変数 $x$ と他の数値の単純な合計です。したがって、学位を扱うためのルールを覚えておく必要があります。

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y)))。 \\\終了(整列)\]

簡単に言うと、足し算はべき乗に変換でき、引き算は割り算に簡単に変換できます。これらの式を方程式の度数に適用してみましょう。

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\終了(整列)\]

この事実を考慮して元の方程式を書き直して、左側のすべての項を集めてみましょう。

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -十一; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0。 \\\終了(整列)\]

最初の 4 つの項には要素 $((4)^(x))$ が含まれています。これを括弧から外してみましょう。

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11。 \\\終了(整列)\]

方程式の両辺を分数 $-\frac(11)(4)$ で割る必要があります。つまり、基本的には、逆分数 $-\frac(4)(11)$ を掛けます。我々が得る：

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1。 \\\終了(整列)\]

それだけです！元の方程式を最も単純な形に縮小し、最終的な答えを得ました。

同時に、解く過程で共通因数 $((4)^(x))$ を発見しました (さらに括弧から外しました)。これは安定した式です。新しい変数として指定することも、単に慎重に表現して答えを取得することもできます。いずれの場合も、解決策の重要な原則は次のとおりです。

元の方程式の中で、すべての指数関数から簡単に区別できる変数を含む安定した式を見つけます。

幸いなことに、ほぼすべての指数方程式でこのような安定した式を分離できるということです。

しかし、悪いニュースは、これらの表現は非常に扱いにくく、識別するのが非常に難しい場合があるということです。そこで、もう 1 つ問題を見てみましょう。

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

おそらく誰かが今、「パシャ、あなたは石に投げられたのですか？」と質問するでしょう。ここには異なる基数があります – 5 と 0.2 です。」ただし、累乗を底 0.2 に変換してみましょう。たとえば、小数部を通常の小数部に換算して削除してみましょう。

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

ご覧のとおり、分母にはありますが、5 という数字がまだ表示されています。同時に指標はマイナスに書き換えられた。そして今、そのうちの1つを思い出してみましょう最も重要なルール度を扱う:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ 】

もちろん、ここで私は少し嘘をついていました。完全に理解するには、ネガティブな指標を取り除くための式を次のように書く必要があるからです。

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \右))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

一方で、分数だけを扱うことを妨げるものは何もありませんでした。

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ right))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

ただし、この場合、累乗を別の累乗にできる必要があります (念のために言っておきますが、この場合、インジケーターは一緒に加算されます)。しかし、分数を「逆にする」必要はありませんでした - おそらく、これは人によっては簡単かもしれません。:)

いずれの場合も、元の指数方程式は次のように書き換えられます。

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1。 \\\終了(整列)\]

したがって、元の方程式は、以前に検討した方程式よりもさらに簡単に解くことができることがわかります。ここでは、安定した式を選択する必要さえありません。すべてが自動的に削減されています。 $1=((5)^(0))$ ということを覚えておくだけで済み、そこから次のことが得られます。

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2。 \\\終了(整列)\]

それが解決策です！最終的な答えは $x=-2$ でした。同時に、すべての計算を大幅に簡素化した 1 つのテクニックにも注目したいと思います。

指数方程式では、必ず小数を削除して通常の小数に変換してください。これにより、同じ度数の基底を確認できるようになり、解決策が大幅に簡素化されます。

さあ、もっと先に進みましょう複雑な方程式、次数を使用して互いにまったく還元できない異なる基底が存在します。

Degree プロパティの使用

特に厳しい方程式が 2 つあることを思い出してください。

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09。 \\\終了(整列)\]

ここでの主な問題は、何を根拠に与えるかが明確ではないことです。安定した表現はどこにありますか? 同じ根拠はどこにありますか？これはどれもありません。

しかし、別の道を進んでみましょう。既製の同一の塩基がない場合は、既存の塩基を因数分解してそれらを見つけることができます。

最初の方程式から始めましょう。

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x))。 \\\終了(整列)\]

しかし、その逆、つまり 7 と 3 から 21 を作ることもできます。これは、両方の度数の指標が同じであるため、左側で特に簡単に行うことができます。

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3。 \\\終了(整列)\]

それだけです！指数を積の外に取り出すと、すぐに数行で解ける美しい方程式が得られました。

次に、2 番目の方程式を見てみましょう。ここではすべてがはるかに複雑です。

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

この場合、分数は既約であることが判明しましたが、何かが約分できる場合は、必ず約分してください。多くの場合、すでに作業できる興味深い理由が表示されます。

残念ながら、私たちには特別なものは何も現れませんでした。しかし、積の左側の指数が逆であることがわかります。

思い出してもらいたいのですが、インジケーターのマイナス記号を取り除くには、分数を「反転」するだけです。さて、元の方程式を書き直してみましょう。

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9) )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100)。 \\\終了(整列)\]

2行目では単純に実行しました一般的な指標ルールに従って括弧内の積から $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) $、後者では単純に数値 100 に分数を掛けます。

ここで、左側 (底部) と右側の数字が多少似ていることに注意してください。どうやって？はい、それは明らかです。それらは同じ数の累乗です。我々は持っています：

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \右))^(2))。 \\\終了(整列)\]

したがって、方程式は次のように書き換えられます。

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\右))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

この場合、右側では、同じ基数で学位を取得することもできます。これには、単に分数を「ひっくり返す」だけで十分です。

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

私たちの方程式は最終的に次の形式になります。

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3)。 \\\終了(整列)\]

それが解決策です。彼の主なアイデアは、たとえ異なるベースであっても、フックまたは詐欺師によって、これらのベースを同じものに還元しようとするという事実に要約されます。これには、方程式の基本的な変換と累乗を扱うためのルールが役立ちます。

しかし、どのようなルールで、いつ使用するのでしょうか? ある方程式では両辺を何かで割る必要があり、別の方程式では指数関数の底を因数分解する必要があることをどのように理解できますか?

この質問に対する答えは経験によって明らかになるでしょう。最初は単純な方程式に挑戦してから、徐々に問題を複雑にしていきます。そうすればすぐに、同じ統一州試験や独立/試験作品から出た指数方程式を解くのに十分なスキルが身につくでしょう。

この難しい問題を解決するために、一連の方程式をダウンロードすることをお勧めします。独立した決定。すべての方程式には答えがあるので、いつでも自分自身をテストできます。

このレッスンでは、より複雑な指数方程式を解く方法を見て、指数関数に関する基本的な理論原理を思い出します。

1. 指数関数の定義と性質、最も単純な指数方程式の解法

指数関数の定義と基本的な性質を思い出してみましょう。すべての指数方程式と不等式の解は、これらの特性に基づいています。

指数関数はの形式の関数です。ここで、底は次数であり、ここで x は独立変数、引数です。 y は従属変数、関数です。

米。 1. 指数関数のグラフ

グラフは増加する指数と減少する指数を示し、それぞれ 1 より大きい底と 1 より小さいが 0 より大きい底を持つ指数関数を示しています。

両方の曲線は点 (0;1) を通過します

指数関数の性質:

ドメイン: ;

値の範囲: ;

関数は単調であり、とともに増加し、とともに減少します。

単調関数は、単一の引数値が与えられると、それぞれの値を受け取ります。

引数がマイナスからプラスの無限大に増加すると、関数はゼロを含めてプラスの無限大まで増加します。逆に、引数がマイナスからプラスの無限大に増加すると、関数は無限大からゼロまで減少します (これを含むことはありません)。

2. 標準的な指数方程式を解く

最も単純な指数方程式の解き方を思い出してみましょう。彼らの解決策は、指数関数の単調性に基づいています。ほとんどすべての複雑な指数方程式は、このような方程式に還元できます。

における指数の等価性対等の立場で指数関数の特性、つまり単調性によるものです。

解決方法:

度数の基数を等しくします。

指数を等しくします。

より複雑な指数方程式の検討に移りましょう; 私たちの目標は、それぞれを最も単純なものに減らすことです。

左側のルートを削除して、次数を同じ基底に持っていきましょう。

複雑な指数方程式を最も単純なものに減らすために、変数の置換がよく使用されます。

power プロパティを使用してみましょう。

代替品をご紹介しております。それならそうしましょう

結果の方程式に 2 を掛けて、すべての項を左側に移動してみましょう。

最初のルートは y 値の範囲を満たさないため、破棄します。我々が得る：

度数を同じ指標に換算してみましょう。

代替品を紹介しましょう:

それならそうしましょう。このような置換により、y が厳密に正の値をとることは明らかです。我々が得る：

私たちはこのような二次方程式の解き方を知っているので、答えを書き留めることができます。

ルートが正しく見つかったことを確認するには、ビエタの定理を使用してチェックします。つまり、ルートとその積の合計を見つけて、それらを方程式の対応する係数と比較します。

我々が得る：

3. 2 次の等次指数方程式を解く方法

次の重要な種類の指数方程式を学習してみましょう。

このタイプの方程式は、関数 f および g に関して 2 次の同次方程式と呼ばれます。左側には、二次三項式パラメーター g を使用した f を基準とした相対値、またはパラメーター f を使用した g を基準とした二次三項式。

解決方法:

この方程式は二次方程式として解くことができますが、別の方法で解く方が簡単です。考慮すべきケースは 2 つあります。

最初のケースでは、

2 番目のケースでは、最高次数で割って次を得る権利があります。

変数の変更を導入する必要があります。二次方程式 y に対する相対値:

関数 f と g は任意の関数にすることができますが、これらが指数関数である場合に興味があることに注意してください。

4. 同次方程式を解く例

すべての項を方程式の左側に移動してみましょう。

指数関数は厳密に正の値を取得するため、次の場合には考慮せずに、方程式を直ちにで割る権利があります。

我々が得る：

代替品を紹介しましょう: (指数関数の性質による)

二次方程式が得られました。

ビエタの定理を使用して根を決定します。

最初のルートは y の値の範囲を満たさないため、それを破棄し、次のようになります。

度のプロパティを使用して、すべての度を単純な基数に換算してみましょう。

関数 f と g に注目するのは簡単です。

指数関数は厳密に正の値を取得するため、の場合を考慮せずに、方程式をで直ちに除算する権利があります。

装置：

コンピューター、
マルチメディアプロジェクター,
画面、
付録 1（パワーポイントスライドプレゼンテーション）「指数方程式を解く方法」
付録 2（Wordで「3つの異なるべき乗の基数」のような方程式を解く）
付録 3（実践用のWordでの配布資料）。
付録 4(宿題用に Word で作成したプリント)。

授業中

1. 組織段階

レッスンテーマのメッセージ（板書）、
10 年生から 11 年生までの一般授業の必要性:

生徒をアクティブラーニングに向けて準備する段階

繰り返し

意味。

指数方程式は、指数を持つ変数を含む方程式です (生徒の回答)。

先生のメモ。指数方程式は超越方程式のクラスに属します。この発音しにくい名前は、一般的に言えば、そのような方程式は数式の形では解くことができないことを示唆しています。

それらはコンピュータ上の数値的手法によってのみ近似的に解決できます。しかし、試験課題についてはどうでしょうか? 重要なのは、試験官が分析的な解決策を可能にするような方法で問題を組み立てることです。言い換えれば、次のことを行うことができます (そしてそうすべきです!) アイデンティティ変換、この指数方程式を最も単純な指数方程式に還元します。この最も単純な方程式は次のように呼ばれます。 最も単純な指数方程式。 解決されつつある 対数で。

指数方程式を解く状況は、問題の作成者が特別に発明した迷路を旅することを思い出させます。これらの非常に一般的な議論から、非常に具体的な推奨事項が導き出されます。

指数方程式を正しく解くには、次のことを行う必要があります。

1. すべての指数恒等式を積極的に知るだけでなく、これらの恒等式が定義されている変数値のセットも見つけます。これにより、これらの恒等式を使用するときに不必要な根を取得せず、さらに解を失わないようにすることができます。方程式に。

2. すべての指数関数的な恒等式を積極的に認識します。

3. 明らかに、詳細に、エラーなく、方程式の数学的変換を実行します（方程式のある部分から別の部分に項を変換し、符号を変更することを忘れずに、分数を共通の分母に戻すなど）。これを数学的文化といいます。同時に、計算自体は手作業で自動的に行われ、頭は解決策の全体的な指針を考える必要があります。変換はできるだけ慎重かつ詳細に行う必要があります。これだけで、間違いのない正確な決定が保証されます。そして、覚えておいてください。小さな算術エラーによって、原理的には解析的に解くことができない超越方程式が単純に作成される可能性があります。道に迷って迷宮の壁にぶつかってしまったことが分かりました。

4. 問題を解決する方法を知っています (つまり、解決の迷路を通るすべての道を知っています)。各段階で正しくナビゲートするには、(意識的にまたは直感的に!) 以下を行う必要があります。

定義する 方程式の種類;
対応する型を覚えておいてください 解決方法タスク。

研究内容の一般化と体系化の段階。

教師は、コンピュータを使用して生徒と一緒に、あらゆる種類の指数方程式とその解法を検討し、まとめます。一般的なスキーム。 (使用したトレーニングコンピュータープログラム L.Ya. Borevsky「数学コース - 2000」、PowerPoint プレゼンテーションの著者は T.N. です。クプツォワ。）