家 / 火傷の種類/ 連立方程式を解く方法。マトリックスとその種類。逆行列を見つけるためのオプション

連立方程式を解く方法。マトリックスとその種類。逆行列を見つけるためのオプション

この記事では、方程式系とその解法を定義する概念を紹介します。システムソリューションのよくある事例を考察します。提供されている例は、ソリューションを詳細に説明するのに役立ちます。

Yandex.RTB R-A-339285-1

連立方程式の定義

連立方程式の定義に進むには、レコードの種類とその意味という 2 つの点に注意する必要があります。これを理解するには、それぞれのタイプについて詳しく説明する必要があります。その後、方程式系の定義にたどり着きます。

たとえば、2 つの方程式 2 x + y = − 3 と x = 5 を考えて、次のように中かっこで結合してみましょう。

2 x + y = - 3、x = 5。

中括弧で結合された方程式は、方程式系のレコードとみなされます。これらは、特定のシステムの方程式に対する一連の解を定義します。すべての決定は全員の決定でなければなりません与えられた方程式.

言い換えれば、これは、最初の方程式の解は、システムによって結合されたすべての方程式の解になることを意味します。

定義 1

連立方程式- これは、中括弧で結合された特定の数の方程式であり、方程式に対する多くの解があり、それらは同時にシステム全体の解でもあります。

連立方程式の主な種類

方程式や連立方程式には非常に多くの種類があります。解決や学習を容易にするために、特定の特性に従ってグループに分類されています。これは、個々のタイプの方程式系を検討するのに役立ちます。

まず、方程式は方程式の数によって分類されます。方程式が 1 つだけある場合、それは次のようになります。常方程式、それらがもっとある場合は、2 つ以上の方程式から構成されるシステムを扱っていることになります。

もう 1 つの分類は変数の数に関するものです。変数の数が 1 の場合、未知数が 1 つある連立方程式を扱っていると言い、2 の場合、変数が 2 つあります。例を見てみましょう

x + y = 5、2 x - 3 y = 1

明らかに、連立方程式には 2 つの変数 x と y が含まれています。

このような方程式を記述する場合、レコード内に存在するすべての変数の数がカウントされます。各式にそれらが存在する必要はありません。少なくとも 1 つの方程式には 1 つの変数が必要です。連立方程式の例を考えてみましょう

2 x = 11、x - 3 z 2 = 0、2 7 x + y - z = - 3

このシステムには 3 つの変数 x、y、z があります。最初の方程式には明示的な x と暗黙的な y および z があります。暗黙的な変数とは、係数が 0 の変数です。 2 番目の方程式には x と z があり、y は暗黙の変数です。それ以外の場合は次のように書くことができます

2 x + 0 y + 0 z = 11

もう 1 つの方程式は、x + 0 · y − 3 · z = 0 です。

方程式の 3 番目の分類はタイプです。それらは学校で行われます簡単な方程式 2 つの系から始まる方程式系一次方程式 2 つの変数を使用して . これは、システムに 2 つの線形方程式が含まれていることを意味します。たとえば、次のように考えてみましょう

2 x - y = 1、x + 2 y = - 1、および - 3 x + y = 0。 5 、x + 2 2 3 y = 0

これらは基本的な最も単純な線形方程式です。次に、3 つ以上の未知のものを含むシステムに遭遇する可能性があります。

9 年生では、2 つの変数と非線形変数を含む方程式を解きます。方程式全体では、次数が増加して複雑さが増します。このようなシステムは、一定数の方程式と未知数を含む非線形方程式系と呼ばれます。そのようなシステムの例を見てみましょう

x 2 - 4 x y = 1、x - y = 2、および x = y 3 x y = - 5

どちらも 2 つの変数をもつシステムであり、どちらも非線形です。

問題を解決するときに遭遇する可能性があるのは、分数有理方程式。例えば

x + y = 3、1 x + 1 y = 2 5

どの連立方程式であるかを特定せずに、単に連立方程式と呼ぶこともできます。システム自体の種類が特定されることはほとんどありません。

高学年になると、無理数方程式、三角方程式、指数方程式の学習に進みます。例えば、

x + y - x · y = 5 、 2 · x · y = 3 、 x + y = 5 · π 2 、 sin x + cos 2 y = - 1 、 y - log 3 x = 1 、 x y = 3 12 。

高等教育機関は、線形代数方程式系 (SLAE) の解決策を研究および研究しています。このような方程式の左側には 1 次の多項式が含まれ、右側にはいくつかの数値が含まれます。学校のものとの違いは、変数の数と方程式の数が任意であり、ほとんどの場合一致しないことです。

連立方程式を解く

定義 2

2 つの変数を使用して連立方程式を解くは、置換されると各方程式を正しい数値不等式に変える変数のペアです。つまり、特定のシステムの各方程式の解になります。

たとえば、値 x = 5 と y = 2 のペアは、連立方程式 x + y = 7、x - y = 3 の解となります。方程式を代入すると真になるからです数値不等式 5 + 2 = 7 および 5 − 2 = 3。 x = 3 と y = 0 のペアを代入すると、代入によって正しい方程式が得られないため、システムは解けません。つまり、3 + 0 = 7 が得られます。

1 つ以上の変数を含むシステムの定義を定式化してみましょう。

定義 3

1 つの変数を使用して連立方程式を解く– これは変数の値であり、システムの方程式の根です。これは、すべての方程式が正しい数値等式に変換されることを意味します。

1 つの変数 t を持つ連立方程式の例を考えてみましょう。

t 2 = 4、5 (t + 2) = 0

(− 2) · 2 = 4 と 5 · (− 2 + 2) = 0 は真の数値的等価であるため、数値 - 2 は方程式の解になります。 t = 1 では、代入すると 2 つの誤った等式 12 = 4 および 5 · (1 + 2) = 0 が得られるため、この系は解けません。

定義 4

3 つ以上の変数を含む系を解くそれぞれ、システムのすべての方程式を正しい等式に変換する 3 つ、4 つ、およびそれ以上の値を呼び出します。

変数の値 x = 1、y = 2、z = 0 がある場合、それらを方程式系 2 · x = 2, 5 · y = 10、x + y + z = 3 に代入します。 2 · 1 = 2、5 · 2 = 10、および 1 + 2 + 0 = 3 が得られます。これは、これらの数値不等式が正しいことを意味します。また、値 (1, 0, 5) は、値を代入すると、2 番目も 3 番目も正しくなくなるため、解にはなりません。 5 0 = 10、1 + 0 + 5 = 3.

方程式系には、解がまったく存在しない場合や、無限の数の解が存在する場合があります。これは、このトピックを詳しく調査することで検証できます。方程式系は、そのすべての方程式の解の集合の積であるという結論に達することができます。いくつかの定義を詳しく見てみましょう。

定義5

非互換方程式系は、解がない場合に呼び出され、それ以外の場合に呼び出されます。 ジョイント.

定義6

不確実システムが無限の数の解を持っている場合に呼び出されます。ある有限数の解がある場合、または有限数の解がない場合。

このような用語は高等教育プログラムを対象としているため、学校ではほとんど使用されません。教育機関。等価系に精通すると、連立方程式を解くための既存の知識が深まります。

テキスト内のエラーに気付いた場合は、それを強調表示して Ctrl+Enter を押してください。

システムを解決する 2 つの未知数 - これは、与えられた各方程式を満たす変数値のすべてのペアを見つけることを意味します。このような各ペアは次のように呼ばれますシステムソリューション.

例：
値のペア \(x=3\);\(y=-1\) は、\(x\) と \ の代わりにこれらの 3 とマイナス 1 を系に代入するため、最初の系の解となります。 (y\)、両方の方程式は正しい等式になります \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(場合)\)

しかし \(x=1\); \(y=-2\) - 代入後 2 番目の方程式が「収束しない」ため、最初の系の解ではありません \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)

このようなペアは多くの場合短く書かれることに注意してください。「\(x=3\); \(y=-1\)」の代わりに、\((3;-1)\) のように書きます。

連立一次方程式を解くにはどうすればよいでしょうか?

連立一次方程式を解くには主に 3 つの方法があります。

置換方法。

\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\終了(件)\)\(\Leftrightarrow\)

この変数の代わりに結果の式をシステムの別の方程式に代入します。

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

\(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)

2 番目の方程式では、各項が偶数であるため、 \(2\) で割ることによって方程式を簡略化します。

\(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)

この系は以下のいずれかの方法で解くことができますが、ここでは置換法が最も便利なように思えます。 2番目の式からyを表してみましょう。

\(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)

最初の式に \(y\) の代わりに \(6x-13\) を代入してみましょう。

\(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)

最初の方程式は普通のものになりました。解決しましょう。

まず、括弧を開けてみましょう。

\(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)

\(117\) を右に移動して、同様の項を提示してみましょう。

\(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)

最初の方程式の両辺を \(67\) で割ってみましょう。

\(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)

万歳、\(x\) が見つかりました! その値を 2 番目の式に代入して \(y\) を求めてみましょう。

\(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases) )\)

答えを書いてみましょう。

線形代数方程式 (SLAE) の解法系は、間違いなく線形代数コースで最も重要なトピックです。数学のあらゆる分野からの膨大な数の問題は、連立一次方程式を解くことに帰着します。これらの要因がこの記事の理由を説明しています。記事の内容は、その助けを借りて次のことができるように選択され、構成されています。

線形代数方程式系を解くための最適な方法を選択します。
選択した方法の理論を研究し、
典型的な例と問題に対する詳細な解決策を考慮して、連立一次方程式を解きます。

記事の内容の簡単な説明。

まず、必要な定義、概念をすべて示し、表記法を導入します。

次に、方程式の数が未知変数の数に等しく、一意の解を持つ連立線形代数方程式を解く方法を考えます。まず、Cramer 法に焦点を当て、次に、このような連立方程式を解くための行列法を示し、最後に、ガウス法 (未知変数の逐次消去法) を分析します。理論を強化するために、いくつかの SLAE をさまざまな方法で解決します。

この後、連立線形代数方程式の解法に進みます。一般的な見解、方程式の数が未知の変数の数と一致しないか、システムの主行列が特異です。 SLAE の互換性を確立できる Kronecker-Capelli の定理を定式化してみましょう。行列の基底マイナーの概念を使用して、システムの解 (互換性がある場合) を分析してみましょう。ガウス法についても検討し、例の解決策を詳しく説明します。

線形代数方程式の均一系および不均一系の一般解の構造については、必ず詳しく説明します。基本的な解系の概念を与え、基本的な解系のベクトルを使用して SLAE の一般解がどのように記述されるかを示しましょう。より深く理解するために、いくつかの例を見てみましょう。

結論として、線形方程式に還元できる連立方程式と、その解法で SLAE が生じるさまざまな問題について考察します。

ページナビゲーション。

定義、概念、名称。

次の形式の n 個の未知変数 (p は n に等しい可能性があります) を持つ p 個の線形代数方程式の系を考えます。

未知の変数、 - 係数 (一部の実数または複素数)、 - 自由項 (実数または複素数も)。

この形式の記録 SLAE は、座標.

で マトリックス形式この方程式系を書くと次の形式になります。
どこ - システムのメイン行列 - 未知の変数の列行列 - 自由項の列行列。

自由項の行列列を行列 A に (n+1) 番目の列として追加すると、いわゆる 拡張マトリックス線形方程式系。通常、拡張行列は文字 T で示され、自由項の列は垂直線で残りの列から分離されます。

線形代数方程式系を解くシステムのすべての方程式を恒等式に変換する未知の変数の値のセットと呼ばれます。未知の変数の与えられた値に対する行列方程式も恒等式になります。

方程式系に少なくとも 1 つの解がある場合、それは次のように呼ばれます。 ジョイント.

方程式系に解がない場合は、次のように呼ばれます。 非接合.

SLAE に固有の解決策がある場合、それは次のように呼ばれます。ある; 解決策が複数ある場合、 – 不確かな.

システムのすべての方程式の自由項がゼロに等しい場合、その後、システムが呼び出されます 同種の、さもないと - 異質な.

線形代数方程式の初等系を解く。

システムの方程式の数が未知の変数の数に等しく、その主行列の行列式がそうでない場合ゼロに等しい、そのような SLAE を SLAE と呼びます 小学校。このような連立方程式には一意の解があり、均一系の場合、すべての未知の変数はゼロに等しくなります。

私たちは高校でそのような SLAE の研究を始めました。それらを解くとき、私たちは 1 つの方程式を取得し、1 つの未知の変数を他の方程式で表現して残りの方程式に代入し、次に次の方程式を取得し、次の未知の変数を表現して他の方程式に代入する、という作業を繰り返しました。あるいは、加算法を使用しました。つまり、2 つ以上の方程式を加算して、いくつかの未知の変数を除去しました。これらのメソッドは本質的にガウス法の修正であるため、詳細には触れません。

線形方程式の初等系を解く主な方法は、Cramer 法、行列法、および Gauss 法です。それらを整理しましょう。

Cramer 法を使用して連立一次方程式を解きます。

線形代数方程式系を解く必要があるとします。

ここで、方程式の数は未知の変数の数に等しく、システムの主行列の行列式はゼロ、つまりとは異なります。

をシステムの主行列の行列式とします。 - 置換によって A から得られる行列の行列式 1 番目、2 番目、…、n 番目列を無料会員の列にそれぞれ追加します。

この表記法では、未知の変数は次のような Cramer 法の式を使用して計算されます。。これは、Cramer の方法を使用して線形代数方程式系の解を見つける方法です。

例。

クレーマー法 .

解決。

システムの主行列は次の形式になります。。その行列式を計算してみましょう (必要に応じて、記事を参照してください)。

システムの主行列の行列式はゼロではないため、システムには Cramer の方法で見つけることができる独自の解があります。

必要な行列式を構成して計算しましょう (行列 A の最初の列を自由項の列に置き換えることによって行列式を取得し、2 番目の列を自由項の列に置き換えることによって行列式を取得し、行列 A の 3 番目の列を自由項の列に置き換えることによって行列式を取得します) :

数式を使用して未知の変数を見つける :

答え：

Cramer の方法の主な欠点は (欠点と言えるのであれば)、システム内の方程式の数が 3 つを超える場合の行列式の計算が複雑になることです。

行列法 (逆行列を使用) を使用して線形代数方程式系を解きます。

線形代数方程式系が行列形式で与えられるとします。ここで、行列 A の次元は n × n であり、行列式は非ゼロです。

であるため、行列 A は可逆です。つまり、逆行列が存在します。等式の両辺に左辺を乗算すると、未知の変数の行列列を見つけるための式が得られます。これが、行列法を使用して線形代数方程式系の解を取得した方法です。

例。

連立一次方程式を解くマトリックス法。

解決。

連立方程式を行列形式で書き直してみましょう。

なぜなら

SLAE は行列法を使用して解くことができます。逆行列を使用すると、このシステムの解は次のように求められます。 .

行列 A の要素の代数加算からなる行列を使用して逆行列を構築しましょう (必要に応じて、記事を参照してください)。

逆行列を乗算して未知の変数の行列を計算することが残っています。無料メンバーのマトリックス列に変換します (必要に応じて、記事を参照してください)。

答え：

または、別の表記では x 1 = 4、x 2 = 0、x 3 = -1 となります。

行列法を使用して線形代数方程式系の解を求めるときの主な問題は、特に 3 次以上の正方行列の場合、逆行列を求める複雑さです。

ガウス法を使用して連立一次方程式を解きます。

n 個の未知の変数を含む n 個の線形方程式系の解を見つける必要があるとします。
主行列の行列式はゼロではありません。

ガウス法の本質未知の変数を順番に削除することで構成されます。最初に、x 1 が 2 番目から始めて系のすべての方程式から除外され、次に x 2 が 3 番目から始めてすべての方程式から除外されます。というように、未知の変数 x n だけが残るまで続きます。最後の式で。システム方程式を変換して未知の変数を順次除去するこのプロセスは、 ダイレクトガウス法。ガウス法の前進ストロークが完了すると、最後の方程式から x n が求められ、最後から 2 番目の方程式からのこの値を使用して x n-1 が計算され、以下同様に最初の式から x 1 が求められます。システムの最後の方程式から最初の方程式に移動するときに未知の変数を計算するプロセスは、と呼ばれます。 ガウス法の逆.

未知の変数を除去するアルゴリズムを簡単に説明します。

システムの方程式を並べ替えることで常にこれを達成できるため、と仮定します。 2 番目から始めて、システムのすべての方程式から未知の変数 x 1 を削除しましょう。これを行うには、システムの 2 番目の方程式に最初の値をで乗算した値を追加し、3 番目の方程式に最初の値をで乗算した値を追加し、以下同様に、n 番目の方程式に最初の値をで乗算した値を追加します。このような変換後の連立方程式は次の形式になります。

どこで、そして .

システムの最初の方程式で x 1 を他の未知の変数で表現し、その結果の式を他のすべての方程式に代入したとしても、同じ結果に達したでしょう。したがって、変数 x 1 は、2 番目から始まるすべての方程式から除外されます。

次に、同様の方法で作業を進めますが、図でマークされている、結果として得られるシステムの一部のみを使用します。

これを行うには、システムの 3 番目の方程式に、を乗じた 2 番目の方程式を追加します。 4番目の方程式 2 番目にを乗算した値を追加します。以下同様に、n 番目の方程式に 2 番目のを乗算した値を追加します。このような変換後の連立方程式は次の形式になります。

どこで、そして。したがって、変数 x 2 は、3 番目から始まるすべての方程式から除外されます。

次に、図でマークされているシステムの部分についても同様に動作しながら、未知数 x 3 の除去に進みます。

したがって、システムが次の形式になるまで、ガウス法の直接進行を続けます。

この瞬間から、ガウス法の逆を開始します。最後の方程式から x n を次のように計算し、得られた x n の値を使用して、最後から 2 番目の方程式から x n-1 を見つけます。以下同様に、最初の方程式から x 1 を見つけます。。

例。

連立一次方程式を解くガウス法。

解決。

システムの 2 番目と 3 番目の方程式から未知の変数 x 1 を除外しましょう。これを行うには、2 番目と 3 番目の式の両側に、最初の式の対応する部分を追加し、それぞれとを乗算します。

ここで、2 番目の方程式の左辺と右辺に次の値を乗算して、3 番目の方程式から x 2 を削除します。

これでガウス法の順方向ストロークが完了し、逆方向のストロークを開始します。

結果として得られる連立方程式の最後の方程式から、x 3 が見つかります。

2 番目の方程式から、が得られます。

最初の方程式から残りの未知の変数を見つけ、それによってガウス法の逆を完了します。

答え：

X 1 = 4、x 2 = 0、x 3 = -1。

一般形式の線形代数方程式の解法系。

一般に、システムの方程式の数 p は、未知の変数の数 n と一致しません。

このような SLAE は、解を持たないか、単一の解を持っているか、または無限に多くの解を持っている可能性があります。このステートメントは、主行列が正方および特異である連立方程式にも当てはまります。

クロネッカー・カペリの定理。

連立一次方程式の解を見つける前に、その互換性を確立する必要があります。 SLAE に互換性がある場合と矛盾する場合の質問に対する答えは、次のようになります。 クロネッカー・カペリの定理:
n 個の未知数 (p は n に等しい可能性があります) を含む p 方程式系が一貫性を保つためには、システムの主行列のランクが拡張行列のランクと等しいことが必要かつ十分です。 , ランク(A)=ランク(T)。

例として、線形方程式系の互換性を判断するためのクロネッカーカペリの定理の適用を考えてみましょう。

例。

線形方程式系が次のようになっているかどうかを調べます。ソリューション。

解決。

。未成年者をボーダーにする方法を使いましょう。二次の未成年者ゼロとは違う。それに隣接する三次未成年者を見てみましょう。

3 次の境界マイナーはすべて 0 に等しいため、メイン行列のランクは 2 に等しくなります。

次に、拡張行列のランクマイナーは 3 次なので、3 に等しい

ゼロとは違う。

したがって、したがって、Rang(A) は、クロネッカーカペリの定理を使用すると、元の線形方程式系が矛盾していると結論付けることができます。

答え：

このシステムには解決策がありません。

したがって、クロネッカーカペリの定理を使用してシステムの不整合性を確立する方法を学びました。

しかし、SLAE の互換性が確立されている場合、どうやって SLAE の解決策を見つけるのでしょうか?

これを行うには、行列の基底マイナーの概念と行列のランクに関する定理が必要です。

行列 A の最高次数のゼロとは異なるマイナーをといいます。 基本的な.

基底マイナーの定義から、その次数は行列のランクに等しいことがわかります。非ゼロ行列 A の場合、基底マイナーが複数存在する可能性があり、常に 1 つの基底マイナーが存在します。

たとえば、次の行列を考えてみましょう。 .

この行列の 3 行目の要素は 1 行目と 2 行目の対応する要素の合計であるため、この行列の 3 次マイナーはすべて 0 に等しくなります。

次の 2 次マイナーはゼロではないため、基本です。

未成年者はゼロに等しいため、基本的ではありません。

行列の順位定理。

次数 p × n の行列のランクが r に等しい場合、選択された基底マイナーを形成しない行列のすべての行 (および列) 要素は、形成される対応する行 (および列) 要素に関して線形に表現されます。基本マイナー。

行列のランク定理は何を教えてくれますか?

クロネッカーカペリの定理に従って、システムの互換性が確立されている場合は、システムの主行列の基底マイナーを選択し (次数は r に等しい)、次の式をシステムからすべて除外します。選択された基本マイナーを構成しません。この方法で得られた SLAE は、破棄された方程式が依然として冗長であるため、元の SLAE と等価になります (行列の順位定理によれば、これらは残りの方程式の線形結合です)。

その結果、システムの不必要な方程式を破棄した後、2 つのケースが考えられます。

結果として得られるシステム内の方程式 r の数が未知の変数の数と等しい場合、それは明確であり、唯一の解は Cramer 法、行列法、または Gauss 法によって見つけることができます。

例。

解決。

システムのメインマトリックスのランクマイナーは 2 次なので、2 に等しいゼロとは違う。拡張マトリックスランク唯一の 3 次マイナーが 0 であるため、これも 2 に等しくなります。

そして、上で考慮した 2 次マイナーはゼロとは異なります。クロネッカーカペリの定理に基づいて、Rank(A)=Rank(T)=2 であるため、元の線形方程式系の互換性を主張できます。

基本的なマイナーとして私たちは。これは、1 番目と 2 番目の方程式の係数によって形成されます。

システムの 3 番目の方程式は基底マイナーの形成に関与しないため、行列のランクに関する定理に基づいてシステムから除外します。

それで、私たちは得ました初等系線形代数方程式。 Cramer の方法を使用して解決しましょう。

答え：

x 1 = 1、x 2 = 2。

結果として得られる SLAE における方程式の数 r が少ない数未知の変数 n の場合、方程式の左側で基底を形成する項をマイナーのままにし、残りの項を反対の符号を付けて系の方程式の右側に移します。

方程式の左側に残る未知の変数 (そのうちの r) は、主要.

右辺にある未知の変数（n - r 個あります）を呼びます無料.

現在、自由未知変数は任意の値を取ることができるが、r 個の主要な未知変数は独自の方法で自由未知変数を通じて表現されると考えられます。それらの式は、Cramer 法、行列法、または Gauss 法を使用して、結果として得られる SLAE を解くことによって見つけることができます。

例を挙げて見てみましょう。

例。

線形代数方程式系を解く .

解決。

システムのメインマトリックスのランクを見つけてみましょう未成年者と国境を接する方法によって。 1 1 = 1 を 1 次の非ゼロのマイナーとして考えてみましょう。このマイナーに隣接する 2 次のゼロ以外のマイナーを検索してみましょう。

このようにして、2 次のゼロ以外のマイナーを見つけました。 3 次のゼロ以外の境界マイナーを検索してみましょう。

したがって、メインマトリックスのランクは 3 です。拡張行列のランクも 3 に等しく、つまりシステムは一貫しています。

見つかった 3 次のゼロ以外のマイナーを基準とします。

わかりやすくするために、基本マイナーを形成する要素を示します。

システム方程式の左側の基底マイナーに含まれる項を残し、残りを反対の符号で右側に移します。

自由な未知の変数 x 2 と x 5 に任意の値を与えてみましょう。つまり、 , ここで、は任意の数字です。この場合、SLAE は次の形式になります。

Cramer の方法を使用して、結果として得られる線形代数方程式の初等系を解いてみましょう。

したがって、。

回答では、自由な未知の変数を示すことを忘れないでください。

答え：

ここに任意の数字があります。

要約します。

一般線形代数方程式系を解くには、まずクロネッカーカペリの定理を使用してその互換性を判断します。メイン行列のランクが拡張行列のランクと等しくない場合、システムには互換性がないと結論付けられます。

メイン行列のランクが拡張行列のランクと等しい場合、基底マイナーを選択し、選択した基底マイナーの形成に関与しないシステムの方程式を破棄します。

基底マイナーの次数が未知の変数の数と等しい場合、SLAE には独自の解があり、既知の任意の方法で見つけることができます。

基底マイナーの次数が未知変数の数より小さい場合、システム方程式の左側では主要な未知変数を含む項を残し、残りの項を右側に移し、任意の値を与えます。自由な未知の変数。結果として得られる一次方程式系から主な未知数を見つけます。メソッド別の変数 Cramer、行列法、またはガウス法。

一般形式の線形代数方程式系を解くためのガウス法。

ガウス法を使用すると、一貫性を最初にテストすることなく、あらゆる種類の線形代数方程式系を解くことができます。未知の変数を順次排除するプロセスにより、SLAE の互換性と非互換性の両方について結論を引き出すことが可能になり、解決策が存在する場合はそれを見つけることが可能になります。

計算の観点からは、ガウス法が推奨されます。

見て詳細な説明記事では、一般形式の線形代数方程式系を解くためのガウス法に関する分析例を示しました。

基本解系のベクトルを使用して、均質および不均質線形代数系に対する一般解を記述します。

このセクションでは、無限の数の解を持つ線形代数方程式の同時均質系と不均質系について説明します。

まず均質系について考えてみましょう。

ソリューションの基本体系 n 個の未知変数を持つ p 個の線形代数方程式の同次系は、この系の (n – r) 個の線形独立解の集合です。ここで、r は系の主行列の基底マイナーの次数です。

同次 SLAE の線形独立解を X (1) 、X (2) 、…、X (n-r) (X (1) 、X (2) 、…、X (n-r) は次元 n の列行列です。 1) により、この均質系の一般解は、任意の定数係数 C 1、C 2、...、C (n-r) をもつ基本解系のベクトルの線形結合、つまりとして表されます。

線形代数方程式の均質系の一般解 (oroslau) という用語は何を意味しますか?

意味は簡単です。公式がすべてを決定します。可能な解決策元の SLAE、つまり、任意の定数 C 1、C 2、...、C (n-r) の値のセットを取り、式に従って、元の均一な SLAE に対する解の 1 つを取得します。

したがって、基本的な解系が見つかった場合、この均一な SLAE のすべての解をとして定義できます。

均質な SLAE に対する基本的な解決システムを構築するプロセスを示しましょう。

元の線形方程式系の基底マイナーを選択し、系から他のすべての方程式を除外し、自由未知変数を含むすべての項を反対の符号を持つ系方程式の右側に移します。自由未知変数に値 1,0,0,...,0 を与え、結果として得られる初等一次方程式系を何らかの方法 (たとえば、Cramer 法) を使用して解くことにより、主な未知数を計算してみましょう。これにより、基本システムの最初の解である X (1) が得られます。自由な未知数に値 0,1,0,0,…,0 を与え、主な未知数を計算すると、 X (2) が得られます。等々。自由未知変数に値 0.0、…、0.1 を代入し、主な未知数を計算すると、 X (n-r) が得られます。このようにして、均質な SLAE に対する基本的な解のシステムが構築され、その一般的な解はの形式で書くことができます。

線形代数方程式の不均質系の場合、一般解はの形式で表されます。ここで、は対応する均質系の一般解、は元の不均質 SLAE の特定の解であり、自由未知数に次の値を与えることで得られます。 0,0,...,0 と主な未知数の値を計算します。

例を見てみましょう。

例。

基本的な解系と線形代数方程式の同次系の一般解を求めます。 .

解決。

同次一次方程式系の主行列のランクは、常に拡張行列のランクと等しくなります。マイナーを境界付ける方法を使用して、メインマトリックスのランクを見つけてみましょう。 1 次の非ゼロのマイナーとして、システムのメイン行列の要素 a 1 1 = 9 を取得します。境界となる 2 次の非ゼロのマイナーを見つけてみましょう。

ゼロとは異なる二次のマイナーが発見されました。ゼロ以外のマイナーを探して、それに隣接する 3 次マイナーを調べてみましょう。

すべての 3 次の境界マイナーは 0 に等しいため、メイン行列と拡張行列のランクは 2 に等しくなります。を取ってみましょう。わかりやすくするために、それを形成するシステムの要素に注目してみましょう。

元の SLAE の 3 番目の方程式は基底マイナーの形成に関与していないため、除外できます。

主な未知数を含む項を方程式の右側に残し、自由未知数を含む項を右側に移します。

元の等次一次方程式系の基本的な解系を構築してみましょう。元の SLAE には 4 つの未知の変数が含まれており、その基底マイナーの次数は 2 に等しいため、この SLAE の基本的な解系は 2 つの解で構成されます。 X (1) を求めるには、自由未知変数に値 x 2 = 1、x 4 = 0 を与え、連立方程式から主な未知数を求めます。
.

この記事の内容は、方程式系について初めて知る人を対象としています。ここでは、連立方程式の定義とその解法を紹介し、最も一般的なタイプの連立方程式についても考察します。いつものように、説明的な例を示します。

ページナビゲーション。

連立方程式とは何ですか?

徐々に方程式系の定義に近づいていきます。まず、2 つの点を示して、それを与えるのが便利であるとだけ言っておきましょう。第一に、録音の種類、第二に、この録音に埋め込まれた意味です。それらを順番に見て、その推論を方程式系の定義に一般化しましょう。

私たちの前にそれらがいくつかあるとしましょう。たとえば、2 つの方程式 2 x+y=−3 と x=5 を考えてみましょう。これらを上下に記述し、左側で中括弧で結合しましょう。

このタイプのレコードは、複数の方程式が列に配置され、左側で中括弧で結合されており、方程式系のレコードです。

このようなエントリは何を意味するのでしょうか? これらは、各方程式の解であるシステムの方程式に対するすべてのそのような解のセットを定義します。

別の言葉で説明しても問題ないでしょう。最初の方程式に対するいくつかの解が、システムの他のすべての方程式に対する解であるとします。したがって、システムレコードは単にそれらを意味します。

これで、方程式系の定義を適切に受け入れる準備が整いました。

意味。

連立方程式コールレコードは、上下に配置された方程式であり、左側で中括弧で結合されており、方程式のすべての解のセットを示し、これらはシステムの各方程式の解でもあります。

教科書にも同様の定義が記載されていますが、そこでは一般的な場合ではなく、次の 2 つの場合について記載されています。有理方程式 2 つの変数を使用します。

主な種類

無限の数の異なる方程式が存在することは明らかです。当然のことながら、それらを使用してコンパイルされた方程式系も無数にあります。したがって、連立方程式の研究と操作の便宜を図るために、類似の特性に従って連立方程式をグループに分けてから、個々のタイプの連立方程式の検討に進むのが理にかなっています。

最初の除算は、システムに含まれる方程式の数によってそれ自体を示唆します。 2 つの方程式がある場合は 2 つの方程式系があると言え、3 つの方程式がある場合は 3 つの方程式系があると言えます。この場合、本質的に、システムではなく方程式自体を扱っているため、1 つの方程式のシステムについて話すことが無意味であることは明らかです。

次の除算は、システムの方程式を記述する際に関係する変数の数に基づいて行われます。変数が 1 つある場合は、変数が 1 つある方程式系 (未知数が 1 つあるとも言います) を扱っていることになり、変数が 2 つある場合は、変数が 2 つある方程式系 (未知数が 2 つある) を扱うことになります。例えば、は、2 つの変数 x と y をもつ連立方程式です。

これは、記録に関与するすべてのさまざまな変数の数を指します。それらすべてを各方程式のレコードに一度に含める必要はなく、少なくとも 1 つの方程式に存在していれば十分です。例えば、は、3 つの変数 x、y、z を持つ連立方程式です。最初の方程式では、変数 x は明示的に存在し、y と z は暗黙的です (これらの変数の値はゼロであると仮定できます)。2 番目の方程式では、x と z がありますが、変数 y は明示的には存在しません。言い換えると、最初の方程式は次のように見ることができます。、2番目はx+0・y−3・z=0となります。

連立方程式が異なる 3 番目の点は、方程式自体のタイプです。

学校では、連立方程式の学習は次のように始まります。 2 変数の 2 つの線形方程式系。つまり、このような系は 2 つの一次方程式を構成します。以下にいくつかの例を示します。そして。彼らは方程式系の操作の基礎を学びます。

より複雑な問題を解く場合、3 つの未知数を含む 3 つの線形方程式系に遭遇することもあります。

さらに 9 年生になると、非線形方程式が 2 つの変数を持つ 2 つの方程式系に追加されます。ほとんどは 2 次の方程式全体ですが、頻度は低くなりますが、さらに多くなります。高い学位。これらの系は非線形方程式系と呼ばれ、必要に応じて方程式と未知数の数が指定されます。このような非線形方程式系の例を示します。そして。

そして、システムの中には、たとえば、もあります。これらは通常、どの方程式であるかを特定せずに、単に連立方程式と呼ばれます。ここで、ほとんどの場合、方程式系は単に「方程式系」と呼ばれ、必要な場合にのみ説明が追加されることに注意してください。

高校では、無理数、三角関数、対数、および指数方程式 : , , .

大学の 1 年生のカリキュラムをさらに詳しく見てみると、主に線形代数方程式 (SLAE) 系、つまり左辺に 1 次の多項式が含まれる方程式の研究と解決に重点が置かれています。右側には特定の数値が含まれます。しかし、そこでは学校とは異なり、もはや 2 つの変数を持つ 2 つの一次方程式を扱うのではなく、任意の数の変数を持つ任意の数の方程式を取り上げますが、これは方程式の数と一致しないことがよくあります。

連立方程式の解は何ですか?

「連立方程式の解」という用語は、連立方程式を直接指します。学校では、2 つの変数を使用して連立方程式を解く定義が与えられます。 :

意味。

2 つの変数を使用して連立方程式を解くは、システムの各方程式を正しいものに変えるこれらの変数の値のペアと呼ばれ、言い換えれば、システムの各方程式の解です。

たとえば、変数値のペア x=5、y=2 ((5, 2) と記述できます) は、x= のときの系の方程式であるため、定義上、連立方程式の解となります。 5 では、y=2 がそれらに代入され、それぞれ正しい数値等式 5+2=7 および 5−2=3 に変わります。しかし、値のペア x=3、y=0 はこの系の解ではありません。これらの値を方程式に代入すると、最初の値が誤った等式 3+0=7 になってしまうからです。

同様の定義は、変数が 1 つのシステムだけでなく、変数が 3 つ、4 つなどのシステムでも定式化できます。変数。

意味。

1 つの変数を使用して連立方程式を解くシステムのすべての方程式の根となる変数の値が存在します。つまり、すべての方程式が正しい数値等式に変換されます。

例を挙げてみましょう。次の形式の 1 つの変数 t を持つ連立方程式を考えます。。 (-2) 2 =4 と 5・(-2+2)=0 は両方とも真の数値的等式であるため、数値 -2 はその解です。また、t=1 はシステムの解ではありません。この値を代入すると、1 2 =4 と 5・(1+2)=0 という 2 つの誤った等式が得られるからです。

意味。

3 つ、4 つなどの系を解く。変数 3、4などと呼ばれます。変数の値をそれぞれ設定し、システムのすべての方程式を真の等式に変換します。

したがって、定義により、変数 x=1、y=2、z=0 の値の 3 つの値がシステムの解になります。 , 2・1=2、5・2=10、および1+2+0=3は真の数値的等価です。そして、(1, 0, 5) はこのシステムの解ではありません。これらの変数の値をシステムの方程式に代入すると、2 番目の値は誤った等式 5・0=10 になり、3 番目の値は等式になります。 1+0+5=3 も。

連立方程式には解がない場合もあれば、有限数の解 (たとえば、1、2、...) がある場合や、無限に多くの解がある場合があることに注意してください。このトピックをさらに深く掘り下げていくと、このことがわかります。

連立方程式とその解の定義を考慮すると、連立方程式の解はすべての方程式の解の集合の積であると結論付けることができます。

結論として、関連する定義をいくつか示します。

意味。

非接合、解決策がない場合、それ以外の場合はシステムが呼び出されます。 ジョイント.

意味。

方程式系は次のように呼ばれます 不確かな無限に多くの解がある場合、そしてある、解の数が有限である場合、または解がまったくない場合。

これらの用語は教科書などで紹介されますが、学校で使われることはほとんどなく、高等教育機関でよく聞かれます。

参考文献。

代数：教科書 7年生用一般教育機関/[ゆ。 N.マカリチェフ、N.G.ミンデュク、K.I.ネシュコフ、S.B.スヴォロワ]。によって編集 S.A.テリャコフスキー。 - 第 17 版 - M.: 教育、2008. - 240 p. ：病気。 - ISBN 978-5-09-019315-3。
代数： 9年生：教育。一般教育用機関/[ゆ。 N.マカリチェフ、N.G.ミンデュク、K.I.ネシュコフ、S.B.スヴォロワ]。によって編集 S.A.テリャコフスキー。 - 第 16 版 - M.: 教育、2009. - 271 p. ：病気。 - ISBN 978-5-09-021134-5。
モルドコビッチ A.G.代数。中学1年生。午後 2 時第 1 部生徒用教科書教育機関/A.G.モルドコビッチ。 - 第 17 版、追加。 - M.: Mnemosyne、2013. - 175 ページ: 病気。 ISBN 978-5-346-02432-3。
モルドコビッチ A.G.代数。 9年生。 2 時間でパート 1. 一般教育機関の学生のための教科書 / A. G. Mordkovich、P. V. Semenov。 - 第 13 版、消去されました。 - M.: Mnemosyne、2011. - 222 p.: 病気。 ISBN 978-5-346-01752-3。
モルドコビッチ A.G.代数とその始まり数学的分析。 11年生。午後 2 時第 1 部一般教育機関の学生向け教科書 ( プロファイルレベル）/A.G.モルドコビッチ、P.V.セミョノフ。 - 第 2 版、消去されました。 - M.: Mnemosyne、2008. - 287 p.: 病気。 ISBN 978-5-346-01027-2。
代数そして分析の始まり：Proc. 10〜11年生向け。一般教育機関 / A. N. コルモゴロフ、A. M. アブラモフ、Yu. P. ドゥドニーツィンなど。エド。 A. N. コルモゴロフ - 第 14 版 - M.: 教育、2004. - 384 ページ: 病気 - ISBN 5-09-013651-3。
A.G.クロシュ。高等代数コース。
Ilyin V. A.、Poznyak E. G. 解析幾何学:教科書：大学向け。 – 第 5 版 – M.: 科学。フィズマトリット、1999 – 224 p。 – (高等数学および数理物理学のコース)。 – ISBN 5-02-015234 – X (第 3 号)

連立方程式は、さまざまなプロセスの数学的モデリングのために経済分野で広く使用されています。例えば、生産管理や計画、物流ルート（輸送問題）や設備配置などの問題を解決するとき。

連立方程式は数学だけでなく、物理学、化学、生物学でも人口規模を求める問題を解決する際に使用されます。

連立一次方程式は、共通の解を見つける必要がある複数の変数を含む 2 つ以上の方程式です。すべての方程式が真の等価になる、またはその数列が存在しないことを証明するような数列。

一次方程式

ax+by=c の形式の方程式は線形と呼ばれます。指定 x、y は値を見つける必要がある未知数、b、a は変数の係数、c は方程式の自由項です。
方程式をプロットして解くと直線のように見え、そのすべての点が多項式の解になります。

連立一次方程式の種類

最も単純な例は、2 つの変数 X と Y を持つ線形方程式系と考えられます。

F1(x, y) = 0 および F2(x, y) = 0。ここで、F1,2 は関数、(x, y) は関数変数です。

連立方程式を解く - これは、システムが真に等しくなる値 (x, y) を見つけること、または x と y の適切な値が存在しないことを確立することを意味します。

点の座標として書かれた値のペア (x, y) は、連立一次方程式の解と呼ばれます。

システムに共通の解決策が 1 つある場合、または解決策が存在しない場合、それらは同等であると呼ばれます。

同次一次方程式系は、右辺がゼロに等しい系です。等号の後の右側の部分が値を持つか関数で表される場合、そのようなシステムは異種システムです。

変数の数が 2 つよりはるかに多い場合は、3 つ以上の変数を含む線形方程式系の例について説明する必要があります。

システムに直面したとき、学童は方程式の数が未知数の数と必ず一致するはずだと思い込んでいますが、実際はそうではありません。システム内の方程式の数は変数に依存せず、必要な数だけ存在することができます。

連立方程式を解くための単純な方法と複雑な方法

このようなシステムを解くための一般的な解析手法はなく、すべての手法は数値解に基づいています。学校の数学コースでは、順列、代数的加算、代入、グラフィカルな行列法、ガウス法による解法などの方法が詳細に説明されています。

解法を教えるときの主な仕事は、システムを正しく分析し、それぞれの例に最適な解法アルゴリズムを見つける方法を教えることです。重要なことは、各メソッドのルールとアクションの体系を暗記することではなく、特定のメソッドを使用する原則を理解することです。

7 年生プログラムの連立一次方程式の解決例中等学校非常にシンプルで、非常に詳細に説明されています。どの数学の教科書でも、このセクションには十分な注意が払われています。ガウスとクラマー法を使用して連立一次方程式を解く例は、高等教育の最初の数年間でより詳細に学習されます。

代入法を使用した系の解法

置換メソッドのアクションは、1 つの変数の値を 2 番目の変数の観点から表現することを目的としています。この式は残りの方程式に代入され、変数が 1 つの形式に変換されます。システム内の未知数に応じてアクションが繰り返されます

代入法を使用して、クラス 7 の連立一次方程式の例に対する解を与えてみましょう。

例からわかるように、変数 x は F(X) = 7 + Y によって表されます。結果の式は、X の代わりにシステムの 2 番目の方程式に代入され、2 番目の方程式で 1 つの変数 Y を取得するのに役立ちました。。この例を解くのは簡単で、Y 値を取得できます。最後のステップは、取得した値を確認することです。

代入によって連立一次方程式の例を解くことが常に可能であるとは限りません。方程式は複雑になる可能性があり、変数を 2 番目の未知数で表現すると、それ以上の計算が面倒になります。システム内に未知数が 3 つを超える場合、代入による解決も不適切です。

線形不均一方程式系の例の解:

代数加算を使用した解法

加算法を使用してシステムの解を求める場合、方程式は項ごとに加算され、さまざまな数値が乗算されます。数学的演算の最終目標は、1 つの変数の方程式を作成することです。

この方法を適用するには、練習と観察が必要です。変数が 3 つ以上ある場合、加算法を使用して連立一次方程式を解くのは簡単ではありません。代数加算は、方程式に分数や小数が含まれる場合に使用すると便利です。

解決アルゴリズム:

方程式の両辺に特定の数を掛けます。結果として算術演算変数の係数の 1 つが 1 に等しくなる必要があります。
結果の式を項ごとに加算し、未知数の 1 つを見つけます。
結果の値をシステムの 2 番目の方程式に代入して、残りの変数を見つけます。

新しい変数を導入することによる解決方法

システムが 2 つ以下の方程式の解を求める必要がある場合は、新しい変数を導入できます。また、未知数の数も 2 つ以下にする必要があります。

この方法は、新しい変数を導入して方程式の 1 つを単純化するために使用されます。導入された未知数に対して新しい方程式が解かれ、その結果の値が元の変数を決定するために使用されます。

この例は、新しい変数 t を導入することにより、システムの 1 番目の方程式を標準のものに縮約できることを示しています。二次三項式。判別式を見つけることで多項式を解くことができます。

よく知られた公式: D = b2 - 4*a*c を使用して判別式の値を見つける必要があります。ここで、D は目的の判別式、b、a、c は多項式の因数です。与えられた例では、a=1、b=16、c=39、したがって D=100 になります。判別式が 0 より大きい場合、解は 2 つあります: t = -b±√D / 2*a。判別式が 0 より小さい場合、解は 1 つあります: x = -b / 2*a。

得られる系の解は加算法によって求められます。

システムを解決するための視覚的手法

3 方程式系に適しています。この方法は、システムに含まれる各方程式のグラフを座標軸上に構築することから成ります。曲線との交点の座標は次のようになります。一般的な決定システム。

グラフィカルな方法には多くのニュアンスがあります。視覚的な方法で連立一次方程式を解く例をいくつか見てみましょう。

例からわかるように、各線に対して 2 つの点が構築され、変数 x の値は任意に選択されました: 0 と 3。x の値に基づいて、y の値が見つかりました。 3 と 0。座標 (0, 3) と (3, 0) の点がグラフ上にマークされ、線で結ばれています。

2 番目の方程式についてもこの手順を繰り返す必要があります。線の交点がシステムの解になります。

次の例では、検索する必要があります。グラフィックソリューション連立一次方程式: 0.5x-y+2=0 および 0.5x-y-1=0。

この例からわかるように、グラフは平行で全長に沿って交差しないため、システムには解決策がありません。

例 2 と 3 のシステムは似ていますが、構築すると、ソリューションが異なることが明らかになります。システムに解決策があるかどうかを常に判断できるわけではなく、グラフを作成することが常に必要であることに留意してください。

マトリックスとその種類

行列は、線形方程式系を簡潔に記述するために使用されます。マトリックスは、数字が詰まった特別なタイプの表です。 n*m には n 行と m 列があります。

列と行の数が等しい場合、行列は正方形になります。行列ベクトルは、無限に可能な行数を持つ 1 列の行列です。対角線の 1 つに沿って 1 があり、その他の要素が 0 である行列は、単位と呼ばれます。

逆行列とは、元の行列を乗算すると単位行列になる行列のことで、このような行列は元の正方行列に対してのみ存在します。

連立方程式を行列に変換するための規則

連立方程式に関しては、方程式の係数と自由項は行列番号として記述され、1 つの方程式が行列の 1 行に相当します。

行の少なくとも 1 つの要素がゼロでない場合、行列行は非ゼロであると言われます。したがって、方程式のいずれかで変数の数が異なる場合は、不足している未知数の代わりにゼロを入力する必要があります。

行列の列は変数に厳密に対応している必要があります。これは、変数 x の係数は 1 つの列 (たとえば最初の列) にのみ書き込むことができ、未知の y の係数は 2 番目の列にのみ書き込むことができることを意味します。

行列を乗算する場合、行列のすべての要素に数値が順番に乗算されます。

逆行列を見つけるためのオプション

逆行列を求める公式は非常に単純です: K -1 = 1 / |K| (K -1 は逆行列、|K|) は行列の行列式です。 |K| ゼロに等しくない場合、システムには解決策があります。

2 行 2 列の行列の行列式は簡単に計算できます。対角要素を互いに乗算するだけです。「3 x 3」オプションの場合、式 |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c があります。 3 + a 3 b 2 c 1 。数式を使用することも、要素の列数と行数が作業内で繰り返されないように、各行と各列から 1 つの要素を取得する必要があることを覚えておくこともできます。

行列法を使用した連立一次方程式の解法の例

行列法を使用して解を見つけると、多数の変数と方程式を含むシステムを解くときに面倒な入力を減らすことができます。

この例では、a nm は方程式の係数、行列はベクトル x n は変数、b n は自由項です。

ガウス法を使用したシステムの解決

で高等数学ガウス法はクラマー法とともに研究されており、系の解を求めるプロセスはガウス・クラマー解法と呼ばれます。これらの方法は、多数の線形方程式を含むシステムの変数を見つけるために使用されます。

ガウス法は、代入や代数的加算による解法に非常に似ていますが、より系統的です。学校の授業では、3 連立方程式と 4 連立方程式に対してガウス法による解法が使用されます。この方法の目的は、システムを逆台形の形に縮小することです。代数変換と代入により、システムの方程式の 1 つで 1 つの変数の値が求められます。 2 番目の方程式は 2 つの未知数を含む式であり、3 と 4 はそれぞれ 3 つと 4 つの変数を含みます。

システムを記述された形式にした後、さらなる解決策はシステムの方程式に既知の変数を順次代入することに帰着します。

7 年生の教科書では、ガウス法による解法の例が次のように説明されています。

この例からわかるように、ステップ (3) で 2 つの方程式が得られました: 3x 3 -2x 4 =11 および 3x 3 +2x 4 =7。いずれかの式を解くと、変数 x n の 1 つを見つけることができます。

本文中で言及されている定理 5 は、システムの方程式の 1 つを等価なものに置き換えると、結果のシステムも元のものと等価になるということを述べています。

ガウス法は生徒にとって理解するのが難しい高校、しかし、最も興味深い方法数学と物理学のクラスの高度な学習プログラムに登録している子供たちの創意工夫を開発します。

記録を容易にするために、計算は通常次のように行われます。

方程式の係数と自由項は行列の形式で記述され、行列の各行がシステムの方程式の 1 つに対応します。方程式の左側と右側を分離します。ローマ数字はシステム内の式の数を示します。

まず、処理する行列を書き留めてから、いずれかの行で実行されるすべてのアクションを書き留めます。結果の行列は「矢印」記号の後に書き込まれ、結果が得られるまで必要な代数演算が継続されます。

結果は、対角線の 1 つが 1 に等しく、他のすべての係数が 0 に等しい行列になるはずです。つまり、行列は単位形式に縮小されます。方程式の両辺の数値を使って計算を行うことを忘れてはなりません。

この記録方法は煩わしさが少なく、多数の未知の項目をリストアップすることに気をとられることがなくなります。

どのような解決方法でも自由に使用するには、注意とある程度の経験が必要です。すべてのメソッドが応用的な性質を持っているわけではありません。解決策を見つける方法の中には、人間の活動の特定の分野でより好ましいものもありますが、教育目的で存在するものもあります。

連立方程式を解く方法。 マトリックスとその種類。 逆行列を見つけるためのオプション