入口有理数を使用した算術演算のプロパティ。 「有理数による行動」
このレッスンでは、アクションの基本的なプロパティを数字で思い出します。 基本的な性質を繰り返すだけでなく、それらを有理数に適用する方法も学びます。 例を解くことによって得られたすべての知識を統合します。
数字付きのアクションの基本的なプロパティ：
最初の2つのプロパティは加算プロパティであり、次の2つは乗算プロパティです。 5番目のプロパティは、両方の操作に適用されます。
これらのプロパティに新しいものはありません。 それらは自然数と整数の両方に有効でした。 それらはまた真実です 有理数そして、私たちがさらに研究する数（たとえば、無理数）にも当てはまります。
順列プロパティ：
用語や要素の再配置から、結果は変わりません。
組み合わせのプロパティ：, .
複数の数値の加算または乗算は、任意の順序で実行できます。
分配法則：.
このプロパティは、加算と乗算の両方の演算をリンクします。 また、左から右に読む場合は角かっこを開くルール、逆方向に読む場合は公約数を角かっこから外すルールと呼ばれます。
次の2つのプロパティは説明します 中立的な要素加算と乗算の場合：0を加算して1を乗算しても、元の数値は変更されません。
説明するさらに2つのプロパティ 対称要素加算と乗算の場合、反対の数の合計はゼロです。 逆数の積は1に等しい。
次のプロパティ：。 数値にゼロを掛けると、結果は常にゼロになります。
最後に見るプロパティはです。
数値にを掛けると、反対の数値が得られます。 このプロパティには機能があります。 他のすべての考慮されたプロパティは、残りを使用して証明できませんでした。 同じ特性は、前のものを使用して証明することができます。
による乗算
数値にを掛けると、反対の数値が得られることを証明します。 これには、分配プロパティを使用します。
それはどんな数にも当てはまります。 数字の代わりに置き換えて：
括弧内の左側は、相互に反対の数の合計です。 それらの合計はゼロです（私たちはそのような特性を持っています）。 今出発しました。 右側では、次のようになります。 
.
これで、左側にゼロがあり、右側に2つの数値の合計があります。 ただし、2つの数値の合計がゼロの場合、これらの数値は相互に反対になります。 しかし、その数には反対の数が1つだけあります。 つまり、これは次のとおりです。
プロパティは証明されています。
以前のプロパティを使用して証明できるこのようなプロパティは、と呼ばれます 定理
ここに減算と除算のプロパティがないのはなぜですか？ たとえば、減算の分配法則を書くことができます。
しかしそれ以来：
- 任意の数の減算は、その数をその反対に置き換えて、同等に加算として書くことができます。
- 除算は、数値の逆数による乗算として記述できます。
これは、加算と乗算のプロパティを減算と除算に適用できることを意味します。 その結果、覚えておく必要のあるプロパティのリストが短くなります。
私たちが検討したすべてのプロパティは、有理数のプロパティだけではありません。 これらのルールはすべて、他の番号、たとえば、不合理な番号の対象となります。 たとえば、合計とその反対の数はゼロに等しくなります。
次に、実際の部分に移り、いくつかの例を解決します。
人生の有理数
定量的に記述できるオブジェクトのプロパティは、いくつかの数字で示され、次のように呼ばれます。 量：長さ、重量、温度、数量。
1つの同じ値は、正または負の整数と小数の両方で表すことができます。
たとえば、あなたの身長はmです- 小数。 しかし、それはcmに等しいと言うことができます-これはすでに整数です（図1）。
米。 1.イラストなど
もう1つの例。 負の温度摂氏スケールではケルビンスケールで正になります（図2）。
米。 2.例えばイラスト
家の壁を作るとき、一人で幅と高さをメートルで測ることができます。 小数値を生成します。 彼が小数（有理数）で実行する以降のすべての計算。 別の人は、幅と高さのレンガの数ですべてを測定することができます。 整数値のみを受け取った後、彼は整数を使用して計算を実行します。
値自体は、全体でも、部分的でも、負でも、正でもありません。 しかし、数量の値を表す数は、すでにかなり具体的です（たとえば、負の数や分数）。 測定尺度によって異なります。 そして、実際の値から数学モデルに移行するときは、特定の種類の数値を使用します
足し算から始めましょう。 用語は必要に応じて並べ替えることができ、アクションは任意の順序で実行できます。 異なる記号の用語が1桁で終わる場合は、最初にそれらを使用してアクションを実行すると便利です。 これを行うために、用語を交換します。 例えば：
一般的な分数 同じ分母折りやすい。
反対の数は合計でゼロになります。 同じ10進数の「テール」を持つ数値は簡単に減算できます。 これらのプロパティと可換加算の法則を使用すると、値の計算を容易にすることができます。たとえば、次の式を使用できます。
補完的な小数の末尾を持つ数値は簡単に合計されます。 全体と小数部分で 混合数別々に作業するのに便利です。 次の式の値を評価するときに、これらのプロパティを使用します。
乗算に移りましょう。 掛けやすい数字のペアがあります。 可換性を使用して、因子が互いに隣接するように因子を再配置できます。 製品のマイナスの数をすぐに計算して、結果の符号について結論を出すことができます。
この例を考えてみましょう。
要因からの場合 ゼロの場合、積はゼロに等しくなります。例：。
逆数の積は1に等しく、1を掛けても積の値は変わりません。 この例を考えてみましょう。
分配法則を使用した例を考えてみましょう。 角かっこを開くと、各乗算が簡単に実行されます。
バダムシ中学校№2
数学
6年生で
「有理数による行動」
準備
数学の先生
Babenko Larisa Grigorievna
と。 バダムシャ
2014
レッスントピック：« 有理数による演算».
レッスンタイプ :
知識の一般化と体系化のレッスン。
レッスンの目的：
教育：
正の数と負の数の行動規則に関する学生の知識を一般化して体系化します。
演習を実行する過程でルールを適用する機能を統合するため。
独立した仕事のためのスキルを開発します。
現像：
発展させる 論理的思考、数学的スピーチ、計算スキル; -習得した知識を応用問題の解決に応用する能力を開発する。 -視野を広げる;
教育者：
育成 認知的関心主題に。
装置：
タスクのテキスト、各学生の課題が記載されたシート。
数学。 6年生の教科書 教育機関/
N.Ya. ビレンキン、V.I。 ジョホフ、A.S。 チェスノコフ、S。I.シュヴァルツバード。 -M.、2010年。
レッスンプラン：
時間を整理します。
口頭で働く
数の足し算と引き算の規則の繰り返し さまざまな兆候。 知識の更新。
教科書の課題を解く
テストの実行
レッスンのまとめ。 宿題をする
反射
授業中
時間を整理します。
先生と生徒に挨拶します。
レッスンのトピック、レッスンでの作業計画のプレゼンテーション。
今日は珍しいレッスンがあります。 このレッスンでは、有理数の演算のすべての規則と、加算、減算、乗算、除算の演算を実行する機能を覚えています。
私たちのレッスンのモットーは中国語のたとえ話です：
「教えてください。忘れます。
見せてください。覚えています。
やらせていただければわかります」
私はあなたを旅に招待したいと思います。
日の出がはっきりと見える空間の真ん中に、狭い無人の国が伸びていた-数直線。 それがどこから始まったのか、どこで終わったのかは誰にもわかりません。 そして、この国に最初に定住したのは 整数。 自然数とは何ですか？それらはどのように表されますか？
答え：
数字1、2、3、4、…..オブジェクトを数えるため、または示すために使用されます シリアルナンバー同種のオブジェクトの中の1つまたは別のオブジェクトの自然と呼ばれます（N ).
口頭で数える
88-19 72:8 200-60
回答：134; 61; 2180。
それらの数は無限にありましたが、国は幅は小さいものの長さが無限であったため、すべてが1から無限に収まり、最初の状態である自然数のセットを形成しました。
タスクに取り組んでいます。
その国は非常に美しかった。 壮大な庭園はその領土全体にありました。 さくらんぼ、りんご、桃です。 そのうちの1つを見ていきます。
さくらんぼには3日ごとに20％多くの熟したさくらんぼがあります。 観察開始時に250個の熟したサクランボがあった場合、このサクランボは9日間で何個の熟した果実を持ちますか？
回答：このチェリーには、9日間で432個の熟した果実があります（300; 360; 432）。
いくつかの新しい数が最初の州の領土に定着し始めました、そしてこれらの数は自然数と一緒に新しい州を形成しました、我々は課題を解くことによってどれを見つけるでしょう。
生徒のテーブルには2枚のシートがあります。
1.計算：
1）-48 + 53 2）45-（-23）3）-7.5：（-0.5）4）-4x（-15）
1)56:(-8) 2)-3,3-4,7 3)-5,6:(-0,1) 4)9-12
1）48-54 2）37-（-37）3）-52.7 + 42.7 4）-6x1 / 3
1）-12x（-6）2）-90：（-15）3）-25 + 45 4）6-（-10）
エクササイズ：すべての自然数から手を離さずに連続して接続し、結果の文字に名前を付けます。
テストへの回答：
5 68 15 60
72 6 20 16
質問：この記号はどういう意味ですか？ 整数と呼ばれる数は何ですか？
回答：1）左側、最初の州の領土から、数字の0が落ち着き、その左側に-1、さらに左側に-2など。 無限に。 自然数とともに、これらの数は新しい拡張状態である整数のセットを形成しました。
2）自然数、それらの反対の数、およびゼロは整数と呼ばれます（ Z ).
学んだことの繰り返し.
1）私たちのおとぎ話の次のページは魅了されています。 間違いを訂正して、それを劣化させます。
27 · 4 0 -27 = 27 0 · (-27) = 0
63 3 0 · 40 (-6) · (-6) -625 124
50 · 8 27 -18: (-2)
回答：
-27 4 27 0（-27）= 0
-50 8 4 -36：6
2) 私たちはその話を聞き続けます。
に 無料の場所分数2/5が数直線上でそれらに追加されました。 −4/5; 3.6; −2,2;…分数は、最初の入植者とともに、有理数のセットの別の拡張状態を形成しました。 （（ Q)
1）有理数と呼ばれる数は何ですか？
2）整数、小数、有理数はありますか？
3）任意の整数、任意の小数が有理数であることを示します。
ボード上のタスク： 8; 3 ; -6; - ; - 4,2; – 7,36; 0; .
回答：
1）比率として記述できる数値 、aは整数、pは自然数であり、有理数と呼ばれます。 .
2）はい。
3) .
あなたは今、全体と分数、ポジティブとを知っています 負の数さらに、その数はゼロです。 これらの数字はすべて有理数と呼ばれ、ロシア語に翻訳すると「 心に従順です。」
有理数
正ゼロ負
整数分数整数分数
将来、数学（数学だけでなく）をうまく勉強するためには、ルールをよく知っている必要があります 算術演算記号の規則を含む有理数で。 そして、彼らはとても異なっています！ しばらく混乱してください。
Fizkultminutka。
動的一時停止。
先生：すべての仕事は休憩が必要です。 休憩しましょう！
いくつかの回復演習を行いましょう：
1）1、2、3、4、5-
一度！ 起きて、引き上げる
二！ かがむ、かがむ、
三！ 手で3拍手
3つの頭のうなずき。
4-腕が広い。
5-手を振る。 6-机に静かに座ります。
（テキストの内容に応じて、子供たちは先生をフォローします。）
2）すばやく点滅し、目を閉じて、このように5カウント座ります。 5回繰り返します。
3）目をしっかりと閉じ、3まで数え、それらを開いて、5まで数えて遠くを調べます。 5回繰り返します。
歴史的なページ。
人生では、おとぎ話のように、人々は有理数を徐々に「発見」しました。 最初、オブジェクトを数えるとき、自然数が発生しました。 最初は、それらの数は少なかった。 最初は1と2の数字だけが出てきました。「ソリスト」、「太陽」、「連帯」という言葉はラテン語の「solus」（1つ）に由来します。 多くの部族では、他の数字はありませんでした。 「3」の代わりに、「4」の代わりに「ワンツー」と言いました-「ツーツー」。 そして6時まで続きます。 そして、たくさんありました。 量を測定するとき、戦利品を分割するとき、人々は分数に遭遇しました。 分数での操作を容易にするために、発明されました 小数。 ヨーロッパでは、1585年にオランダの数学者によって紹介されました。
方程式の仕事
方程式を解き、座標線に沿って与えられた座標に対応する文字を見つけることによって、数学者の名前を学びます。
1）-2.5 + x \ u003d 3.5 2）-0.3 x \ u003d 0.6 3）y-3.4 \ u003d -7.4
4）-0.8：x \ u003d -0.4 5）a（-8）\ u003d 0 6）m + (- )=
E A T M I O V R N U S
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
回答：
6（C）4）2（B）
-2（T）5）0（I）
-4（E）6）4（H）
STEVIN-オランダの数学者およびエンジニア（Simon Stevin）
歴史的なページ。
先生：
科学の発展における過去を知らなければ、その現在を理解することは不可能です。 人々は私たちの時代の前から負の数で行動を起こすことを学びました。 インドの数学者は、正の数を「特性」、負の数を「負債」と考えていました。 インドの数学者Brahmagupta（7世紀）が正と負の数で演算を実行するためのいくつかの規則を概説した方法は次のとおりです。
「2つのプロパティの合計はプロパティです」
「2つの借金の合計は借金です」
「財産と負債の合計はそれらの差に等しい」、
「2つの財産または2つの負債の積は財産です」、「財産と負債の積は負債です」。
皆さん、古代インドのルールを現代語に翻訳してください。
先生のメッセージ：
太陽のない世界には暖かさがないので、
冬の雪もなく、花の葉もなく、
ですから、数学には記号のない行動はありません！
子供たちは、どのアクションサインが欠けているかを推測するように求められます。
エクササイズ。 不足している文字を挿入します。
− 1,2 1,4 = − 2,6
3,2 (− 8) = − 0,4
1 (− 1,7) = 2,7
− 4,5 (− 0,5) = 9
− 1,3 2,8 = 1,5
回答：1）+ 2）∙3）-4）：5）-6）：
独立した仕事（シートにタスクへの回答を書き留めます）：
数字を比較する
モジュールを見つける
ゼロと比較
それらの合計を見つける
それらの違いを見つける
作品を探す
プライベートを探す
反対の数字を書く
これらの数字の間の距離を見つける
10）それらの間にいくつの整数がありますか
11）それらの間にあるすべての整数の合計を求めます。
評価基準：すべてが正しく決定された-「5」
1-2エラー-「4」
3-4エラー-「3」
4つ以上のエラー-「2」
個人の仕事カードで（さらに）。
カード1.方程式を解きます：8.4-（x-3.6）\ u003d 18
カード2.方程式を解きます：-0.2x · (-4) = -0,8
カード3.方程式を解きます：=
カードへの回答 :
1) 6; 2) -1; 3) 4/15.
ゲーム「試験」.
国の住民は幸せに暮らし、ゲームをし、問題や方程式を解き、要約するために私たちに遊ぶことを提案しました。
生徒はボードに来て、カードを取り、書かれた質問に答えます 裏.
質問：
1. 2つの負の数のどちらが大きいと見なされますか？
2.負の数を除算するためのルールを作成します。
3.負の数を乗算するためのルールを作成します。
4.異なる符号の数を乗算するためのルールを作成します。
5.異なる符号の数を分割するためのルールを作成します。
6.負の数を加算するためのルールを作成します。
7.異なる符号の数字を追加するためのルールを作成します。
8.座標線上のセグメントの長さを見つける方法は？
9.整数と呼ばれる数は何ですか？
10.有理数と呼ばれる数は何ですか？
要約します。
先生：今日 宿題創造的になります：
「私たちの周りの正と負の数」というメッセージを準備するか、おとぎ話を作成します。
« レッスンありがとうございます!!!」
次に、a + b = b + a、a +（b + c）=（a + b）+c。
ゼロを追加しても数値は変更されず、反対の数値の合計はゼロになります。
したがって、任意の有理数に対して、a + 0 = a、a +（-a）=0となります。
有理数の乗算には、可換性と結合法則もあります。 言い換えると、a、b、cが有理数の場合、ab-ba、a（bc）-（ab）cです。
1を掛けても有理数は変わりませんが、数とその逆数の積は1です。
したがって、任意の有理数に対して、次のようになります。
a）x + 8-x-22; c）a-m + 7-8 + m;
b）-x-a + 12 + a -12; d）6.1 -k + 2.8 + p-8.8+k-p。
1190.計算の便利な順序を選択したら、式の値を見つけます。
1191.乗算ab=baの可換性を言葉で定式化し、次のことを確認します。
1192.乗算a（bc）=（ab）cの結合法則を言葉で定式化し、次のことを確認します。
1193.計算の便利な順序を選択して、式の値を見つけます。
1194.乗算すると、数値（正または負）はどうなりますか。
a）1つの負の数と2つの正の数。
b）2つの負の数と1つの正の数。
c）7つの負の数といくつかの正の数。
d）20のネガといくつかのポジティブ？ 結論を出します。
1195.製品の兆候を確認します。
a）-2（-3）（-9）（-1.3）14（-2.7）（-2.9）;
b）4（-11）（-12）（-13）（-15）（-17）8090。
a）Vitya、Kolya、Petya、Seryozha、Maximがジムに集まった（図91、a）。 男の子のそれぞれが他の2人だけを知っていたことが判明しました。 誰が誰を知っていますか？ （グラフの端は「お互いを知っている」という意味です。）
b）同じ家族の兄弟姉妹が庭を歩いている。 これらの子供のうち、男の子と女の子はどれですか（図91、b）？ （グラフの点線のエッジは「私は姉妹です」を意味し、実線のエッジは「私は兄弟です」を意味します。）
1205.計算：
1206.比較：
a）23および32; b）（-2）3および（-3）2; c）13および12; d）（-1）3および（-1）2。
1207.5.2853を1000分の1に丸めます。 前 100分の1; 10分の1まで。 ユニットまで。
1208.問題を解決します。
1）モーターサイクリストがサイクリストに追いつく。 今それらの間で23.4キロ。 モーターサイクリストの速度はサイクリストの3.6倍です。 モーターサイクリストが数時間でサイクリストを追い抜くことがわかっている場合は、サイクリストとモーターサイクリストの速度を見つけます。
2）車がバスに追いついている。 今それらの間で18キロ。 バスの速度は車の速度です。 車が数時間でバスを追い越すことがわかっている場合は、バスと車の速度を見つけます。
1209.式の値を見つけます。
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
で計算を確認してください 電卓.
1210.計算の便利な順序を選択したら、式の値を見つけます。 
1211.式を簡略化します。
1212.式の値を見つけます。
1213.次の手順を実行します。
1214.生徒たちは、2.5トンの金属くずを集めるという任務を与えられました。 彼らは3.2トンの金属くずを集めました。 生徒は何パーセントでタスクを完了し、何パーセントでタスクをやり過ぎましたか？
1215.車は240km走行しました。 これらのうち、180 kmは田舎道に沿って歩き、残りの道は高速道路に沿って歩きました。 田舎道の10kmごとのガソリン消費量は1.6リットルで、高速道路では25％少なくなりました。 10 kmの移動ごとに平均して何リットルのガソリンが消費されましたか？
1216.村を出ると、サイクリストは歩行者が橋の上を同じ方向に歩いているのに気づき、12分で彼に追いついた。 サイクリストの速度が15km/ hで、村から橋までの距離が1 km 800 mの場合、歩行者の速度を求めますか？
1217.次の手順を実行します。
a）-4.8 3.7-2.9 8.7-2.6 5.3 + 6.2 1.9;
b）-14.31：5.3-27.81：2.7 + 2.565：3.42 + 4.1 0.8;
c）3.5 0.23-3.5（-0.64）+ 0.87（-2.5）。
ご存知のように、人々は徐々に有理数に精通するようになりました。 最初、オブジェクトを数えるとき、自然数が発生しました。 最初は、それらの数は少なかった。 そのため、最近まで、トレス海峡（ニューギニアとオーストラリアを隔てている）の島々の先住民は、言語で「ウラプン」（1つ）と「オカザ」（2つ）の2つの数字しか持っていませんでした。 島民は「おかざうらぷん」（3つ）、「おかざおかざ」（4つ）などと考えていました。7から始まるすべての数字は、先住民が「多く」を意味する言葉と呼んでいました。
科学者たちは、百の言葉は7000年以上前、千年から6,000年前、そして5、000年前に現れたと信じています 古代エジプトとで 古代バビロン膨大な数の名前があります-最大100万。 しかし、長い間、自然な一連の数は有限であると考えられていました。 大きな数.
古代ギリシャの最も偉大な数学者で物理学者のアルキメデス（紀元前287年から212年）は、膨大な数を説明する方法を考え出しました。 アルキメデスが名前を付ける方法を知っていた最大の数は非常に大きかったので、デジタルで記録するには地球から太陽までの距離の2000倍の長さのテープが必要でした。
しかし、彼らはまだそのような膨大な数を書き留める方法を知りませんでした。 これは、6世紀のインドの数学者の後にのみ可能になりました。 数値ゼロが発明され、数値の10進表記の桁に単位がないことを示し始めました。
戦利品を分割するとき、そして後で値を測定するとき、そして他の同様のケースでは、人々は「壊れた数」を導入する必要性に直面しました- 一般的な分数。 分数に対するアクションは、中世に戻って数学の最も難しい領域と見なされていました。 今まで、ドイツ人は困難な状況にある人について、彼は「分数に落ちた」と言います。
分数の操作を簡単にするために、小数が発明されました。 分数。 ヨーロッパでは、オランダの数学者でエンジニアのSimonStevinによってX585に導入されました。
負の数は分数よりも遅く現れました。 長い間このような数値は「存在しない」、「偽」と見なされました。これは主に、正と負の数値「プロパティ-債務」の解釈が混乱を招いたためです。「プロパティ」または「債務」を加算または減算できます。しかし、製品または私有の「財産」と「債務」をどのように理解するのでしょうか。
しかし、そのような疑問や困惑にもかかわらず、正と負の数を乗算および除算するための規則が3世紀に提案されました。 ギリシャの数学者ディオファントゥス（「減算、加算、減数、減算、減算、加算」などの形式）によって、後にインドの数学者バースカラ（XII世紀）も同じように表現しました。 「財産」、「借金」の概念の規則（「2つの財産または2つの借金の積は財産であり、財産と借金の積は借金です。」同じ規則が分割に適用されます）。
負の数に対するアクションのプロパティは、正の数に対するアクションのプロパティと同じであることがわかりました（たとえば、加算と乗算には可換性があります）。 そして最後に、前世紀の初め以来、負の数は正の数と等しくなりました。
その後、数学に新しい数が現れました-無理数、複雑、その他。 あなたは高校でそれらについて学びます。
N.Ya. Vilenkin、A.S。 チェスノコフ、S.I。 Schwarzburd、V.I. Zhokhov、Mathematics for Grade 6、Textbook for Grade 高校
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写真。 有理数の算術演算。
文章：
有理数の演算の規則：
。 同じ符号の数字を追加する場合は、モジュールを追加し、合計の前に共通の記号を付ける必要があります。
。 モジュールが大きい数と符号が異なる2つの数を加算すると、モジュールが小さい数が減算され、モジュールが大きい数の符号が結果の差の前に配置されます。
。 ある数値を別の数値から減算する場合は、減算する数値に反対の数値を加算する必要があります。a --b \ u003d a +（-b）
。 同じ符号の2つの数値を乗算すると、それらのモジュールが乗算され、結果の積の前にプラス記号が配置されます。
。 符号の異なる2つの数値を乗算すると、それらのモジュールが乗算され、結果の積の前にマイナス記号が配置されます。
。 同じ符号で数値を除算する場合、被除数のモジュラスは除数のモジュラスで除算され、結果の商の前にプラス記号が配置されます。
。 符号の異なる数値を除算する場合、被除数のモジュラスは除数のモジュラスで除算され、結果の商の前にマイナス記号が配置されます。
。 ゼロをゼロ以外の数値で除算して乗算すると、ゼロになります。
。 ゼロで割ることはできません。