有理数の比較。 数値の剰余を比較する

ペルヴシキン・ボリス・ニコラエヴィチ

私立教育機関「サンクトペテルブルク学校「テテ・ア・テテ」」

最上位カテゴリーの数学教師

数値の剰余を比較する

意味 1. 数字が2つある場合1 ) あるそしてbで割るとp同じ余りを与えるr、そのような数はequiremainderまたは弾性率が同等 p.

声明 1. させてp何らかの正の数。 それからすべての数字ある常に、そしてさらに、唯一の方法で次の形式で表現できます。

a=sp+r,

(1)

どこs- 番号、およびr数字 0、1、...、のいずれかp−1.

1 ) この記事では、単語番号は整数として理解されます。

本当に。 もしs−∞から+∞までの値を受け取り、その後数値を受け取ります。sp次の倍数であるすべての数値の集合を表します。p。 間の数字を見てみましょうspそして （s+1) p=sp+p。 なぜならpは正の整数であり、次の間の値です。spそしてsp+p数字があります

ただし、これらの数値は次の設定によって取得できます。r0、1、2、...に等しいp−1。 したがって、sp+r=a可能なすべての整数値を取得します。

この表現が一意であることを示しましょう。 そのふりをしてみましょうp2つの方法で表すことができますa=sp+rそしてああ1 p+ r1 。 それから

または

(2)

なぜならr1 数値 0、1、...、のいずれかを受け入れます。p−1、すると 絶対値 r1 − r少ないp。 しかし、(2) から次のことがわかります。r1 − r複数p。 したがって、r1 = rそしてs1 = s.

番号r呼ばれたマイナス 数字あるモジュロp(言い換えれば、その数はr数値の余りと呼ばれるあるの上p).

声明 2. 数字が2つある場合あるそしてb弾性率が同等p、 それa−bで割ったp.

本当に。 数字が2つある場合あるそしてb弾性率が同等pで割ると、p同じ余りがあるp。 それから

どこsそしてs1 いくつかの整数。

この数字の違いは

(3)

で割ったp、 なぜなら 式 (3) の右辺は次のように除算されます。p.

声明 3. 2 つの数値の差が次の数で割り切れる場合pの場合、これらの数値は係数において同等です。p.

証拠。 で表しましょうrそしてr1 割り算の余りあるそしてbの上p。 それから

どこ

によるとa−bで割ったp。 したがって、r− r1 も割り切れますp。 しかし理由はrそしてr1 数字0、1、...、p−1、次に絶対値 |r− r1 |< p。 次に、次のことを行うためにr− r1 で割ったp条件を満たさなければなりませんr= r1 .

この記述から、比較可能な数値とは、その差が係数で割り切れる数値であることがわかります。

その数字を書き留める必要がある場合は、あるそしてb弾性率が同等p、次に、(ガウスによって導入された) 表記法を使用します。

a≡bモッド（p)

例 25≡39 (mod 7)、−18≡14 (mod 4)。

最初の例から、25 を 7 で割ると、39 と同じ余りが得られることがわかります。実際、25 = 3・7+4 (余り 4) となります。 39=3・7+4(余り4)。 2 番目の例を検討する場合、剰余は係数 (つまり 4) より小さい非負の数でなければならないことを考慮する必要があります。 次に、−18=−5・4+2 (余り2)、14=3・4+2 (余り2)と書くことができます。 したがって、-18 を 4 で割ると 2 が余り、14 を 4 で割ると 2 が余ります。

モジュロ比較のプロパティ

財産 1. 誰にもあるそしてpいつも

あ≡あモッド（p).

財産 2. 数字が2つある場合あるそしてc数値に匹敵するbモジュロp、 それあるそしてc同じモジュールに従って互いに比較できる、つまり もし

a≡bモッド（p), b≡cモッド（p).

それ

a≡cモッド（p).

本当に。 特性 2 の条件から、次のようになります。a−bそしてb−cに分かれていますp。 次に、それらの合計a−b+(b−c)=a−cにも分かれますp.

財産 3. もし

a≡bモッド（p) そしてん≡んモッド（p),

それ

a+m≡b+nモッド（p) そしてa−m≡b−nモッド（p).

本当に。 なぜならa−bそしてm−nに分かれていますp、 それ

( a−b)+ ( m−n)=( ああ+m)−( b+n) ,

( a−b)−( m−n)=( 午前中)−( b−n)

にも分かれますp.

このプロパティは、同じモジュラスを持つ任意の数の比較に拡張できます。

財産 4. もし

a≡bモッド（p) そしてん≡んモッド（p),

それ

さらに遠くm−nで割ったpしたがって、b(m−n)=bm−bnにも分かれますp、 手段

BM≡BNモッド（p).

つまり 2 つの数字午前そしてブン弾性率が同じ数値に匹敵するBMしたがって、それらは互いに比較できます (プロパティ 2)。

財産 5. もし

a≡bモッド（p).

それ

あるk≡bkモッド（p).

どこk負でない整数。

本当に。 我々は持っていますa≡bモッド（p）。 性質 4 から次のことがわかります

.................

あるk≡bkモッド（p).

次のステートメントでプロパティ 1 ～ 5 をすべて示します。

声明 4. させてf( バツ1 , バツ2 , バツ3 , ...) は整数係数を持つ有理関数全体であり、

ある1 ≡ b1 , ある2 ≡ b2 , ある3 ≡ b3 、 ... モッド （p).

それから

f( ある1 , ある2 , ある3 , ...)≡ f( b1 , b2 , b3 、 ...） モッド （p).

分割するとすべてが異なります。 比較から

声明 5. させて

どこλ これ最大公約数数字メートルそしてp.

証拠。 させてλ 数値の最大公約数メートルそしてp。 それから

なぜならm(a−b)で割ったk、 それ

剰余はゼロです、つまりメートル1 ( a−b） で割ったk1 。 しかし、数字はメートル1 そしてk1 数値は比較的素です。 したがって、a−bで割ったk1 = k/λその後、ｐ、ｑ、ｓ。

本当に。 違いa≡bの倍数でなければなりませんｐ、ｑ、ｓ。したがって、倍数でなければなりませんh.

特殊なケースでは、モジュールp、q、s素数、そして

a≡bモッド（h),

どこh=pqs。

負のモジュールに基づく比較を許可できることに注意してください。 比較a≡bモッド（p) この場合、違いは次のとおりです。a−bで割ったp。 比較のすべてのプロパティは、否定モジュールに対しても有効です。

意味 1. 2つの数字が1の場合） あるそして bで割ると p同じ余りを与える r、そのような数はequiremainderまたは 弾性率が同等 p.

声明 1. させて p何らかの正の数。 それからすべての数字 ある常に、そしてさらに、唯一の方法で次の形式で表現できます。

ただし、これらの数値は次の設定によって取得できます。 r 0、1、2、...に等しい p−1。 したがって、 sp+r=a可能なすべての整数値を取得します。

この表現が一意であることを示しましょう。 そのふりをしてみましょう p 2つの方法で表すことができます a=sp+rそして ああ 1 p+r 1. それから

(2)

なぜなら r 1 は、0、1、...、のいずれかの数値を受け入れます。 p−1、その後は絶対値 r 1 −r少ない p。 しかし、(2) から次のことがわかります。 r 1 −r複数 p。 したがって、 r 1 =rそして s 1 =s.

番号 r呼ばれた マイナス数字 あるモジュロ p(言い換えれば、その数は r数値の余りと呼ばれる あるの上 p).

声明 2. 数字が2つある場合 あるそして b弾性率が同等 p、 それ a−bで割った p.

本当に。 数字が2つある場合 あるそして b弾性率が同等 pで割ると、 p同じ余りがある p。 それから

で割った p、 なぜなら 式 (3) の右辺は次のように除算されます。 p.

声明 3. 2 つの数値の差が次の数で割り切れる場合 pの場合、これらの数値は係数において同等です。 p.

証拠。 で表しましょう rそして r 1の除算の余り あるそして bの上 p。 それから

例 25≡39 (mod 7)、−18≡14 (mod 4)。

最初の例から、25 を 7 で割ると、39 と同じ余りが得られることがわかります。実際、25 = 3・7+4 (余り 4) となります。 39=3・7+4(余り4)。 2 番目の例を検討する場合、剰余は係数 (つまり 4) より小さい非負の数でなければならないことを考慮する必要があります。 次に、−18=−5・4+2 (余り2)、14=3・4+2 (余り2)と書くことができます。 したがって、-18 を 4 で割ると 2 が余り、14 を 4 で割ると 2 が余ります。

モジュロ比較のプロパティ

財産 1. 誰にも あるそして pいつも

常に比較できるわけではありません

どこ λ 数値の最大公約数です メートルそして p.

証拠。 させて λ 数値の最大公約数 メートルそして p。 それから

なぜなら m(a−b)で割った k、 それ

したがって、

そして メートルは数の約数の 1 つです p、 それ

どこ h=pqs。

負のモジュールに基づく比較を許可できることに注意してください。 比較 a≡bモッド（ p) この場合、違いは次のとおりです。 a−bで割った p。 比較のすべてのプロパティは、否定モジュールに対しても有効です。

私たちは有理数の研究を続けています。 このレッスンでは、それらを比較する方法を学びます。

これまでのレッスンで、数値が座標線上で右にあるほど大きいことを学びました。 したがって、座標線上で数値が左にあるほど、数値は小さくなります。

たとえば、数字 4 と 1 を比較すると、4 は 1 より大きいとすぐに答えることができます。これは完全に論理的なステートメントであり、誰もが同意するでしょう。

その証拠として、座標線を挙げることができます。 4 つが 1 つの右側にあることを示しています

この場合、必要に応じて使用できるルールもあります。 次のようになります。

2 つの正の数のうち、係数が大きいほうの数が大きくなります。

どの数値が大きくてどの数値が小さいかという質問に答えるには、まずこれらの数値のモジュールを見つけ、これらのモジュールを比較してから、質問に答える必要があります。

たとえば、上記のルールを適用して、同じ数値 4 と 1 を比較します。

数値のモジュールを見つける:

|4| = 4

|1| = 1

見つかったモジュールを比較してみましょう。

4 > 1

という質問に答えます。

4 > 1

のために 負の数別のルールがあり、次のようになります。

2 つの負の数のうち、係数が小さいほうの数が大きくなります。

たとえば、数値 −3 と −1 を比較します。

数値のモジュールを見つける

|−3| = 3

|−1| = 1

見つかったモジュールを比較してみましょう。

3 > 1

という質問に答えます。

−3 < −1

数値の係数を数値自体と混同しないでください。 多くの初心者が犯すよくある間違い。 たとえば、-3 の係数が -1 の係数より大きい場合、これは -3 が -1 より大きいことを意味するわけではありません。

数値 -3 は数値 -1 より小さいです。 これは座標線を使えば理解できます

数値 -3 が -1 よりも左にあることがわかります。 そして、左に行くほど少なくなることがわかります。

負の数と正の数を比較すると、答えが自ずと見えてきます。 負の数は、正の数よりも小さくなります。 たとえば、-4 は 2 未満です。

-4 は 2 よりも左にあることがわかります。そして、「左に行くほど小さい」ことがわかります。

ここでは、まず数字の符号に注目する必要があります。 数値の前のマイナス記号は、その数値が負であることを示します。 番号記号がない場合、その数値は正ですが、わかりやすくするために書き留めることができます。 これはプラス記号であることを思い出してください

例として、-4、-3、-1、2 の形式の整数を調べました。このような数値を比較したり、それらを座標線上に描くことは難しくありません。

分数など、他の種類の数値を比較することははるかに困難です。 帯分数小数もあり、一部は負になります。 このような数値を座標線上に正確に表現できるとは限らないため、ここでは基本的にルールを適用する必要があります。 場合によっては、比較して理解しやすくするために数値が必要になります。

例1.有理数を比較する

したがって、負の数と正の数を比較する必要があります。 負の数は、正の数よりも小さくなります。 したがって、時間を無駄にすることなく、以下であると答えます。

例2。

2 つの負の数値を比較する必要があります。 2 つの負の数のうち、大きさが小さい方が大きくなります。

数値のモジュールを見つける:

見つかったモジュールを比較してみましょう。

例 3. 2.34 と 2.34 という数字を比較してください。

正の数と負の数を比較する必要があります。 正の数は、負の数よりも大きくなります。 したがって、時間を無駄にすることなく、2.34 は以上であると答えます。

例4.有理数を比較し、

数値のモジュールを見つける:

見つかったモジュールを比較します。 ただし、その前に、比較しやすいようにそれらを明確な形にしましょう。つまり、仮分数に変換して共通の分母にします。

ルールによれば、2 つの負の数のうち、法が小さいほうの数が大きくなります。 これは、数値の法が数値の法より小さいため、有理数が より大きいことを意味します

例5。

ゼロと負の数を比較する必要があります。 ゼロはどの負の数よりも大きいため、時間を無駄にすることなく、0 はより大きいと答えます。

例6。有理数 0 と

ゼロと正の数を比較する必要があります。 ゼロは任意の正の数より小さいため、時間を無駄にすることなく、0 はより小さいと答えます。

例 7。 有理数 4.53 と 4.403 を比較する

2 つの正の数を比較する必要があります。 2 つの正の数のうち、係数が大きいほうの数が大きくなります。

どちらの分数でも小数点以下の桁数を同じにしましょう。 これを行うには、分数 4.53 の最後にゼロを 1 つ追加します。

数値のモジュールを見つける

見つかったモジュールを比較してみましょう。

ルールによれば、2 つの正の数のうち、絶対値が大きい数のほうが大きくなります。 これは、4.53 の法が 4.403 の法より大きいため、有理数 4.53 は 4.403 より大きいことを意味します。

例8.有理数を比較し、

2 つの負の数値を比較する必要があります。 2 つの負の数のうち、係数が小さいほうの数が大きくなります。

数値のモジュールを見つける:

見つかったモジュールを比較します。 しかし、まず、比較しやすいようにそれらを明確な形式にしましょう。つまり、帯分数を仮分数に変換し、次に両方の分数を共通の分母にします。

ルールによれば、2 つの負の数のうち、法が小さいほうの数が大きくなります。 これは、数値の法が数値の法より小さいため、有理数が より大きいことを意味します

小数の比較は、分数や帯分数の比較よりもはるかに簡単です。 場合によっては、そのような分数の全体を見ることによって、どの分数が大きくてどの分数が小さいかという質問にすぐに答えることができます。

これを行うには、パーツ全体のモジュールを比較する必要があります。 これにより、タスク内の質問にすぐに答えることができます。 結局のところ、ご存知のとおり、部品全体が 小数分数よりも重みが大きくなります。

例9。有理数 15.4 と 2.1256 を比較する

分数全体の係数は、分数全体の係数 2.1256 よりも 15.4 大きくなります。

したがって、分数 15.4 は分数 2.1256 よりも大きくなります。

15,4 > 2,1256

言い換えれば、分数 15.4 にゼロを加算し、得られた分数を通常の数値と同様に比較するという時間を無駄にする必要はありませんでした。

154000 > 21256

比較ルールは変わりません。 この例では、正の数を比較しました。

例10。有理数 -15.2 と -0.152 を比較する

2 つの負の数値を比較する必要があります。 2 つの負の数のうち、係数が小さいほうの数が大きくなります。 ただし、整数部分のモジュールのみを比較します。

分数全体の係数は、分数全体の係数 -0.152 よりも -15.2 大きいことがわかります。

これは、数値 -0.152 の整数部分の係数が数値 -15.2 の整数部分の係数より小さいため、有理数 -0.152 が -15.2 より大きいことを意味します。

−0,152 > −15,2

例11.有理数 -3.4 と -3.7 を比較する

2 つの負の数値を比較する必要があります。 2 つの負の数のうち、係数が小さいほうの数が大きくなります。 ただし、整数部分のモジュールのみを比較します。 しかし、問題は、整数の係数が等しいということです。

この場合、古い方法であるモジュールを検索する必要があります。 有理数これらのモジュールを比較してください

見つかったモジュールを比較してみましょう。

ルールによれば、2 つの負の数のうち、法が小さいほうの数が大きくなります。 これは、数値 -3.4 の法が数値 -3.7 の法より小さいため、有理数 -3.4 が -3.7 より大きいことを意味します。

−3,4 > −3,7

例12。有理数 0、(3)、およびを比較します。

2 つの正の数値を比較する必要があります。 さらに、周期分数と単分数を比較します。

周期分数 0,(3) を次のように変換しましょう。 公分数そしてそれを分数と比較します。 周期分数 0,(3) を普通分数に変換すると、次のようになります。

数値のモジュールを見つける:

見つかったモジュールを比較します。 しかし、まず、比較しやすくするために、それらをわかりやすい形式にまとめましょう。つまり、それらを共通の分母にまとめましょう。

ルールによれば、2 つの正の数のうち、絶対値が大きい数のほうが大きくなります。 これは、数値の法が数値 0,(3) の法より大きいため、有理数は 0,(3) より大きいことを意味します。

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2 つの整数の場合 バツそして でそれらの差が 偶数。 以前に紹介した 3 つの等価条件がすべて満たされていることを確認するのは簡単です。 この方法で導入された同値関係は、整数のセット全体を 2 つの互いに素なサブセット (偶数のサブセットと奇数のサブセット) に分割します。

このケースを一般化すると、ある固定の自然数の倍数だけ異なる 2 つの整数は等しいと言えます。 これは、ガウスによって導入されたモジュロ比較可能性の概念の基礎です。

番号 あ、 に匹敵します bモジュロ メートル、それらの差が定数で割り切れる場合 自然数 メートル、 あれは a - bで割った メートル。 象徴的にこれは次のように書かれます。

a ≡ b(mod m),

そしてそれは次のようになります: あに匹敵します bモジュロ メートル.

このようにして導入された関係は、比較と等価性の間の深い類似性のおかげで、数値が倍数異なる場合の計算を簡素化します。 メートル、実際には異なりません（m の倍数までは比較が等しいため）。

たとえば、数値 7 と 19 はモジュロ 4 では同等ですが、モジュロ 5 では同等ではありません。 19-7=12は4では割り切れますが、5では割り切れません。

という数字とも言えます。 バツモジュロ メートル整数で割ったときの余りに等しい バツの上 メートル、 なぜなら

x=km+r、r = 0、1、2、...、m-1.

特定のモジュールによる数値の比較可能性がすべての等価性の特性を備えていることを確認するのは簡単です。 したがって、整数のセットは、係数が同等の数のクラスに分割されます。 メートル。 そのようなクラスの数は等しい メートル、で割ったときの同じクラスのすべての数値 メートル同じ余りを与える。 たとえば、次の場合 メートル= 3 の場合、3 つのクラスが得られます。3 の倍数の数値のクラス (3 で割ると余りが 0 になる)、3 で割ると余りが 1 になる数値のクラス、そして 3 で割ると余りが 1 になる数値のクラスです。 3で割った余りが2。

比較の使用例は、よく知られた可分性基準によって提供されます。 共通の数値表現 n 10 進数体系の数値は次の形式になります。

n = c10 2 + b10 1 + a10 0,

どこ a、b、c、- 数値の桁は右から左に書かれますので、 あ- ユニット数、 b- 10の位など 10k以降 ≡ 任意の k≥0 に対して 1(mod9) とすると、記述から次のことがわかります。

n ≡ c + b + a(mod9)、

ここで、9 で割り切れるかどうかのテストが続きます。 nは、その桁の合計が 9 で割り切れる場合に限り、9 で割り切れます。この推論は、9 を 3 に置き換える場合にも当てはまります。

11 で割り切れるかどうかのテストが得られます。比較が行われます。

10≡- 1(mod11)、10 2 ≡ 1(mod11) 10 3 ≡- 1(mod11)など。 それが理由です n ≡ c - b + a - …。(mod11)。

したがって、 nが 11 で割り切れるのは、その数字の交互の合計 a - b + c -... が 11 で割り切れる場合に限ります。

たとえば、数字 9581 の各桁の交互の合計は 1 - 8 + 5 - 9 = -11 で、これは 11 で割り切れます。つまり、数字 9581 は 11 で割り切れます。

比較がある場合: 、等式と同じ方法で項ごとに加算、減算、乗算できます。

比較には常に整数を乗算できます。

もし なら、それでは

ただし、比較を係数で減らすことは常に可能であるとは限りません。たとえば、数値 42 と 12 を公約数 6 で減らすことは不可能です。 このような削減は、不正確な結果につながります。

比較可能性モジュロの定義から、この係数がモジュラスと互いに素である場合、係数による削減が許容されることがわかります。

任意の整数が同等の mod であることはすでに上で述べました。 メートル次の数値のいずれかを使用します: 0、1、2、...、m-1。

この系列に加えて、同じ特性を持つ他の一連の数値があります。 したがって、たとえば、任意の数値は、mod 5 で次の数値のいずれかと比較できます: 0、1、2、3、4 だけでなく、次の数値のいずれかとも比較できます: 0、-4、-3、-2、- 1、または 0、1、-1、2、-2。 このような一連の数値は、5 を法とする完全な剰余系と呼ばれます。

したがって、剰余の完全な系 mod メートルどのシリーズでも メートルこの数字は、互いに比較できるものではありません。 通常、0、1、2、...、の数字で構成される完全な控除システムが使用されます。 メートル-1。 数値を引く nモジュロ メートル割り算の余りです nの上 メートル、次の表現から導き出されます。 n = km + r, 0<r<メートル- 1.

数値の剰余を比較する

作成者: イリーナ・ズチコワ

魔王「ライシアムNo.6」

クラス: 10「a」

科学監修者: ゼルトヴァ・オルガ・ニコラエヴナ

タンボフ

2016

• 問題
• プロジェクトの目的
• 仮説
• プロジェクトの目標とそれを達成するための計画
• 比較とその特性
• 問題の例とその解決策
• 使用したサイトと文献

問題：

ほとんどの学生は、非標準的な課題やオリンピックの課題を解決するために数値のモジュロ比較を使用することはほとんどありません。

プロジェクトの目的:

数字の剰余を比較することで、標準外のタスクやオリンピックのタスクをどのように解決できるかを示します。

仮説：

「数字のモジュロの比較」というトピックをより深く学習すると、学生がいくつかの非標準的な課題やオリンピックの課題を解決するのに役立ちます。

プロジェクトの目標とそれを達成するための計画:

1. 「数値の剰余の比較」というトピックを詳しく学習します。

2. 数値のモジュロ比較を使用して、いくつかの非標準およびオリンピックのタスクを解決します。

3.「数の剰余の比較」というテーマについて生徒向けのメモを作成します。

4. 10a 年生で「数値の剰余の比較」というテーマの授業を実施します。

5.「モジュールごとの比較」というテーマで授業の宿題を出します。

6.「モジュールごとの比較」というトピックを学習する前と学習した後で、タスクを完了するまでの時間を比較します。

7.結論を導き出します。

「数値のモジュロの比較」というトピックを詳しく学習する前に、さまざまな教科書でそれがどのように表現されているかを比較することにしました。

• 代数と数学的解析の始まり。 上級レベル。 10年生（Yu.M.コリャギン 他）
• 数学: 代数、関数、データ分析。 7年生（L.G.ピーターソン 他）
• 代数と数学的解析の始まり。 プロフィールレベル。 10年生（E.P.ネリン 他）
• 代数と数学的解析の始まり。 プロフィールレベル。 10年生（G.K.ムラヴィン 他）

私が発見したのですが、教科書によっては、上級レベルであるにもかかわらず、このトピックについてさえ触れていないことがあります。 そして、このトピックは、L.G. Peterson の教科書 (章: 割り算の理論への導入) で最も明確かつ理解しやすい方法で提示されています。この教科書の理論に基づいて、「数のモジュロの比較」を理解してみましょう。

比較とその特性。

意味： 2 つの整数 a と b を整数 m (m>0) で割ったときの余りが同じである場合、次のようになります。a と b は同等の法 m です、 そして書く：

定理： a と b の差が m で割り切れる場合に限ります。

プロパティ：

1. 比較の反射性。任意の数値 a は、m を法としてそれ自体と比較できます (m>0、a、m は整数)。
2. 対称的な比較。数値 a が m を法として数値 b に匹敵する場合、数値 b は同じ法で数値 a に匹敵します (m>0、a、b、m は整数です)。
3. 比較の推移性。数値 a が m を法として数値 b に匹敵し、数値 b が同じ法を法として数値 c に匹敵する場合、数値 a は m を法として数値 c に匹敵します (m>0; a,b,c) ,m は整数です)。
4. 数値 a が m を法とした数値 b に匹敵する場合、数値 a n 数値bで比較可能 n 法 m(m>0; a,b,m-整数; n-自然数)。

問題の例とその解決策。

1. 数字の 3 の最後の桁を見つけます。 999 .

解決：

なぜなら 数値の最後の桁は 10 で割った余りです。

3 999 =3 3 *3 996 =3 3 *(3 4 ) 249 =7*81 249 7(mod 10)

(なぜなら 34=81 1(mod 10);81 n 1(mod10) (プロパティによる))

答え: 7.

2.2 4n であることを証明する -1 は余りなしで 15 で割り切れます。 (Phystech2012)

解決：

なぜなら 16 1(mod 15)、その後

16n-1 0(mod 15) (プロパティによる); 16n= (2 4) ん

2 4n -1 0(mod 15)

3.それを証明してください 12 2n+1 +11n+2 133 で割り切れます。余りはありません。

解決：

12 2n+1 =12*144 n 12*11 n (mod 133) (プロパティによる)

12 2n+1 +11 n+2 =12*11 n +11 n *121=11 n *(12+121) =11 n *133

番号 (11 n *133)剰余なしで 133 で割ります。したがって、(12) 2n+1 +11n+2 ) は余りなしで 133 で割り切れます。

4. 数値 2 を 15 で割った余りを求めます。 2015 .

解決：

16 1(mod 15) なので、

2 2015 8(mod 15)

答え:8.

5.17番目の数2で割った余りを求めます 2015年。 (Phystech2015)

解決：

2 2015 =2 3 *2 2012 =8*16 503

16 -1(mod 17) なので、

2015年2月 -8(mod 15)

8 9(mod 17)

答え:9。

6.その数が11であることを証明してください 100 -1 は余りなしで 100 で割り切れます。 (Phystech2015)

解決：

11 100 =121 50

121 50 21 50 (mod 100) (プロパティによる)

21 50 =441 25

441 25 41 25 (mod 100) (プロパティによる)

41 25 =41*1681 12

1681 12 (-19) 12 (mod 100) (プロパティによる)

41*(-19) 12 =41*361 6

361 6 (-39) 6 (mod 100)(プロパティによる)

41*(-39) 6 =41*1521 3

1521 3 21 3 (mod100) (プロパティによる)

41*21 3 =41*21*441

441 41(mod 100) (プロパティによる)

21*41 2 =21*1681

1681 -19(mod 100) (プロパティによる)

21*(-19)=-399

399 1(mod 100) (プロパティによる)

つまり 11 100 1(mod 100)

11 100 -1 0(mod 100) (プロパティによる)

7. 3 つの数字が与えられます: 1771、1935、2222。 与えられた 3 つの数値の余りが等しくなるような数値を求めます。 (HSE2016)

解決：

未知の数を a とすると、

2222 1935(mod a); 1935 1771(mod a); 2222 1771(mod a)

2222-1935 0(モーダ) (プロパティによる); 1935 ～ 1771 年0(モーダ) (プロパティによる); 2222-17710(モーダ) (プロパティによる)

287 0(mod a); 164 0(mod a); 451 0(mod a)

287-164 0(モーダ) (プロパティによる); 451-2870(モード)(プロパティによる)

123 0(mod a); 164 0(mod a)

164-123 0(mod a) (プロパティによる)

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HSE オリンピック 2016