正比例と反比例の関係。 正比例とは何ですか

基本的な目標:

• 量の直接および反比例の依存性の概念を導入します。
• これらの依存関係を使用して問題を解決する方法を教えます。
• 問題解決スキルの開発を促進する。
• 比率を使用して方程式を解くスキルを強化します。
• 普通分数と小数を使用して手順を繰り返します。
• 開発する 論理的思考学生。

授業中

私。 活動の自己決定（開催時間）

- みんな！ 今日のレッスンでは、比率を使用して解決される問題について学びます。

II. 知識を更新し、活動における困難を記録する

2.1. 口頭での仕事 (3分)

– 式の意味を調べ、答えの中に暗号化された単語を見つけます。

14 – 秒。 0.1 – そして; 7 – 1; 0.2 – a; 17 – c; 25 – へ

– 結果として生まれる言葉は「強さ」です。 よくやった！
– 今日のレッスンのモットー: 力は知識の中にあります! 私は探しています - それは私が学んでいることを意味します!
– 得られた数値から比率を計算します。 (14:7 = 0.2:0.1 など)

2.2. 既知の量の関係を考えてみましょう (7分)

– 車が一定の速度で移動する距離とその移動時間: S = vt (速度（時間）が増加すると、距離は増加します）。
– 車の速度と移動に費やした時間: v=S:t(パスを移動する時間が増加するにつれて、速度は低下します)。
– ある価格で購入された商品の原価とその数量: C = a · n (価格の上昇(低下)に伴い、購入コストは増加(減少)します)。
– 製品の価格とその数量: a = C: n (数量が増加すると、価格は下がります)
– 長方形の面積とその長さ（幅）：S = a · b（長さ（幅）が増加すると、面積が増加します。
– 長方形の長さと幅: a = S: b (長さが増加すると幅は減少します。
– 同じ労働生産性で何らかの作業を実行する労働者の数と、この作業を完了するのにかかる時間: t = A: n (労働者の数が増加すると、作業の実行に費やされる時間は減少します) など。

ある量が数回増加すると、別の量がすぐに同じ量だけ増加する依存関係 (例を矢印で示します) と、ある量が数回増加すると 2 番目の量が減少する依存関係が得られました。同じ回数。
このような依存関係は、正比例および反比例と呼ばれます。
正比例依存性– 1 つの値が数回増加 (減少) すると、2 番目の値も同じ量だけ増加 (減少) する関係。
反比例の関係– 1 つの値が数回増加 (減少) すると、2 番目の値が同じ量だけ減少 (増加) する関係。

Ⅲ． 学習課題の設定

– 私たちが直面している問題は何ですか? (直接的な依存関係と逆の依存関係を区別することを学びます)
- これ - 目標私たちのレッスン。 今定式化してください トピックレッスン。 （正比例と反比例の関係）。
- よくやった！ レッスンのトピックをノートに書き留めます。 （先生は黒板にトピックを書きます。）

IV. 新しい知識の「発見」（10分）

問題No.199を見てみましょう。

1. プリンタは 4.5 分で 27 ページを印刷します。 300ページ印刷するにはどのくらい時間がかかりますか?

27 ページ – 4.5 分
300ページ - ×?

2. 箱には 250 g のお茶が 48 パック入っています。 このお茶は150gパック何パック入りますか？

48パック – 250g。
バツ？ – 150g。

3. 車は 25 リットルのガソリンを使用して 310 km 走行しました。 40Lのタンクを満タンにすると車はどのくらいの距離を走れるのでしょうか？

310km – 25リットル
バツ？ – 40リットル

4. クラッチ ギアの 1 つは歯数 32 で、もう 1 つは 40 です。最初のギアが 215 回転する間に、2 番目のギアは何回転しますか?

32 歯 - 315 回転
40 歯 – ×?

比率を計算するには、矢印の一方向が必要です。このため、反比例では、1 つの比率が逆数に置き換えられます。

黒板で生徒は量の意味を見つけ、その場で生徒は自分で選んだ 1 つの問題を解きます。

– 正比例および反比例の依存関係を持つ問題を解決するためのルールを定式化します。

ボード上に表が表示されます。

V. 対外的な発言における一次統合（10分）

ワークシートの割り当て:

1. 21kgの綿実から5.1kgの油が得られました。 7kgの綿実からどれくらいの油が得られるでしょうか？
2. スタジアムを建設するために、5 台のブルドーザーが 210 分かけて敷地を撤去しました。 この場所を撤去するのに 7 台のブルドーザーでどれくらい時間がかかりますか?

VI. 独立した仕事標準に対するセルフテスト付き（5分）

2人の生徒が隠れたボードでタスクNo.225を独立して完了し、残りはノートで完了します。 次に、アルゴリズムの動作をチェックし、ボード上のソリューションと比較します。 エラーは修正され、その原因が特定されます。 タスクが正しく完了した場合、生徒は自分の隣に「+」記号を付けます。
独立した仕事で間違いを犯した学生は、コンサルタントを利用できます。

VII. 知識体系への組み込みと反復№ 271, № 270.

理事会では6人が働いています。 3 ～ 4 分後、理事会で働く生徒が解決策を発表し、残りの生徒は課題を確認してディスカッションに参加します。

Ⅷ. 活動の振り返り（授業のまとめ）

– レッスンで新しく学んだことは何ですか？
-彼らは何を繰り返しましたか？
– 比例問題を解くアルゴリズムは何ですか?
– 目標は達成できましたか?
–自分の作品をどのように評価していますか？

2 つの量は次のように呼ばれます。 正比例します、一方が数倍に増加したときに、もう一方も同じ量だけ増加した場合。 したがって、一方が数倍に減少すると、もう一方も同じ量だけ減少します。

このような量間の関係は正比例の関係になります。 直接比例依存の例:

1) 一定の速度で移動した場合、移動距離は時間に正比例します。

2) 正方形の周囲とその辺は直接比例する量です。

3) ある価格で購入される製品のコストは、その数量に直接比例します。

正比例関係と反比例関係を区別するには、「森の奥に行くほど、薪が多くなる」ということわざを使用できます。

比例を使用すると、直接比例する量が関係する問題を解決するのに便利です。

1) 10 個の部品を作るには、3.5 kg の金属が必要です。 これらの部品を 12 個作るのにどれくらいの金属が使われるでしょうか?

(次のように推論します:

1. 塗りつぶされた列に、からの方向に矢印を配置します。 もっとそれ以下に。

2. 部品が多いほど、その製造に必要な金属も多くなります。 これは正比例の関係にあることを意味します。

12 個の部品を作るのに x kg の金属が必要だとします。 (矢印の始点から終点までの方向) の比率を計算します。

12:10=x:3.5

を求めるには、極値項の積を既知の中間項で割る必要があります。

これは、4.2 kg の金属が必要になることを意味します。

答え: 4.2kg。

2) 15 メートルの生地に対して、彼らは 1680 ルーブルを支払いました。 このような生地12メートルの価格はいくらですか?

(1. 塗りつぶされた列に、最大値から最小値の方向に矢印を置きます。

2. 購入する生地の量が少ないほど、支払う必要がある生地の量も少なくなります。 これは正比例の関係にあることを意味します。

3. したがって、2 番目の矢印は最初の矢印と同じ方向になります。

x ルーブルが 12 メートルの生地の値段だとします。 (矢印の始点から終点まで) の比率を作成します。

15:12=1680:x

比率の未知の極値項を見つけるには、中間項の積を比率の既知の極値項で割ります。

これは、12メートルの価格が1344ルーブルであることを意味します。

答え: 1344 ルーブル。

例

1.6 / 2 = 0.8; 4 / 5 = 0.8; 5.6 / 7 = 0.8 など

比例係数

比例量の一定の関係は次のように呼ばれます。 比例係数。 比例係数は、ある量の単位が別の量の単位ごとに何単位であるかを示します。

正比例

正比例- 関数依存性。ある量が別の量に依存し、その比率が一定に保たれる状態です。 言い換えれば、これらの変数は変化します 比例してつまり、引数がいずれかの方向に 2 回変更されると、関数も同じ方向に 2 回変更されます。

数学的には、正比例は次の式で表されます。

f(バツ) = あるバツ,ある = cああnst

反比例

反比例- これは関数の依存関係であり、独立した値 (引数) が増加すると、依存する値 (関数) も比例して減少します。

数学的に 反比例は式として書かれます:

関数のプロパティ:

情報源

ウィキメディア財団。 2010年。

他の辞書で「直接比例」が何であるかを確認してください。

正比例- - [A.S. ゴールドバーグ。 英語-ロシア語のエネルギー辞書。 2006] エネルギートピック全般 EN 直接比率 ... 技術翻訳者向けガイド

正比例- T sritis fizika atitikmenys のステータスを報告する: engl. 正比例ヴォク。 直接比例、frus。 正比例、f プランク。 比例指令、f … フィジコスの終結

- (ラテン語の比例、比例から)。 比例性。 ロシア語に含まれる外来語の辞典。 Chudinov A.N.、1910年。比例性緯度。 比例、比例。 比例性。 説明 25000…… ロシア語外来語辞典

比例、比例、複数形。 いいえ、女性です （本）。 1. 要約 名詞 比例に。 パーツの比例性。 体の比例性。 2. 量が比例する場合のそのような関係 (比例を参照) 辞書ウシャコワ

2 つの相互に依存する量は、それらの値の比率が変化しない場合、比例と呼ばれます。 目次 1 例 2 比例係数 ... Wikipedia

比例性、そして女性。 1. 比例を参照。 2. 数学において、一方の増加が他方の変化を同量だけ伴う量間の関係。 直線（数値が1つ増えるカットあり……） オジェゴフの解説辞典

そして; そして。 1. 比例 (1 つの値); 比例性。 P.パーツ。 P.体格。 P. 議会での代表。 2. 数学。 比例的に変化する量間の依存性。 比例係数。 直通回線（その中で... ... 百科事典

完成者: チェプカソフ・ロディオン

6年生

MBOU「中等学校No.53」

バルナウル

責任者: Bulykina OG

数学の先生

MBOU「中等学校No.53」

バルナウル

導入。 1

関係性と比率。 3

正比例と反比例の関係。 4

正比例と反比例の適用 6

さまざまな問題を解決するときの依存関係。

結論。 十一

文学。 12

導入。

プロポーションという言葉はラテン語のプロポーションに由来しており、一般に比例性、部品の配置（部品間の一定の比率）を意味します。 古代、ピタゴラス派は比例の教義を高く評価していました。 彼らは、自然界の秩序と美しさ、音楽の子音和音、宇宙の調和についての考えを比率に関連付けました。 彼らはある種の比率を音楽的または調和的と呼びました。

古代においてさえ、人類は、自然界のすべての現象が互いに関連しており、すべてが継続的に動き、変化しており、数字で表現すると驚くべきパターンを明らかにすることを発見しました。

ピタゴラス派とその信奉者は世界のあらゆるものを求めた 数値式。 彼らは発見した; 音楽の根底にある数学的比率（弦の長さとピッチの比率、音程間の関係、和音を構成する音の比率）。 ピタゴラス派は世界の統一という考えを数学的に実証しようとし、宇宙の基礎は対称的な幾何学的形状であると主張しました。 ピタゴラス派は美しさの数学的根拠を求めました。

ピタゴラス学派に倣い、中世の科学者アウグスティヌスは美を「数値的平等」と呼びました。 スコラ哲学者ボナヴェントゥラは、「比例性がなければ美も喜びもありません。比例性は主に数の中に存在します。すべてのものは数えられることが必要です。」と書いています。 レオナルド・ダ・ヴィンチは、絵画に関する論文の中で、芸術における比率の使用について次のように書いています。「科学者が数値法則の形で知っている自然界に隠された同じパターンを、画家は比率の形で体現する。」

比率を使用して解決しました さまざまなタスク古代でも中世でも。 特定の種類の問題は、比率を使用して簡単かつ迅速に解決できるようになりました。 比例と比例は、数学だけでなく、建築や芸術でも使用されてきましたし、現在も使用されています。 建築と芸術における比率とは、サイズ間の一定の関係を維持することを意味します 異なる部分建物、人物、彫刻、その他の芸術作品。 このような場合の比例性は、正しく美しい構成と描写の条件です。

私の仕事では、さまざまな分野での正比例関係と反比例関係の使用を検討しようとしました。 周囲の生活、との接触を追跡します 学問タスクを通じて。

関係と比率.

2 つの数値の商は次のように呼ばれます。 態度これら 数字.

態度が示す、最初の数字の何倍か 2回目以上または最初の数字が 2 番目の数字のどの部分に当たるのか。

タスク。

梨２．４トン、リンゴ３．６トンが店に持ち込まれた。 持ち込まれた果物のうち梨はどのくらいの割合ですか？

解決 。 彼らがもたらした果物の量を調べてみましょう: 2.4+3.6=6(t)。 運ばれてきた果物のどの部分が梨であるかを調べるには、比率を 2.4:6= にします。 答えは次の形式で書くこともできます 10進数またはパーセンテージとして: = 0.4 = 40%。

相互に反転呼ばれた 数字、その積は 1 に等しい。 この関係は、その逆関係と呼ばれます。

2 つの等しい比率、4.5:3 と 6:4 を考えてみましょう。 それらの間に等号を入れて、比率を取得しましょう: 4.5:3=6:4。

割合 2 つの関係が等しい: a : b =c :d または = 、ここで、a と d は 極端な比例条件、c、b – 平均的なメンバー(比率のすべての項はゼロとは異なります)。

比例の基本性質:

正しい比率では、極項の積は中間項の積と等しくなります。

乗算の可換性を適用すると、正しい比率で極項または中間項を交換できることがわかります。 結果の比率も正確になります。

比例の基本特性を使用すると、他のすべての項がわかっていれば、その未知の項を見つけることができます。

比率の未知の極値項を見つけるには、平均項を乗算し、既知の極値項で割る必要があります。 x : b = c : d 、x =

比率の未知の中間項を見つけるには、極値の項を乗算し、既知の中間項で割る必要があります。 a : b =x : d 、x = .

正比例と反比例の関係。

2 つの異なる量の値は相互に依存する可能性があります。 したがって、正方形の面積はその辺の長さに依存し、逆も同様です - 正方形の辺の長さはその面積に依存します。

2 つの量は、増加すると比例すると言われます。

一方は数回（減少）、もう一方は同じ回数だけ増加（減少）します。

2 つの量が正比例する場合、これらの量の対応する値の比率は等しくなります。

例 正比例依存性 .

ガソリンスタンドでガソリン2リットルの重さは1.6kgです。 重さはどれくらいですかガソリン5リットルくらい？

解決：

灯油の重さは体積に比例します。

2リットル - 1.6kg

5リットル～×kg

2:5=1.6:x、

x=5*1.6 x=4

答え: 4kgです。

ここで、重量対体積比は変化しません。

2 つの量の一方が数回増加 (減少) したときに、他方が同じ量だけ減少 (増加) する場合、その量は反比例と呼ばれます。

量が反比例する場合、ある量の値の比は、別の量の対応する値の逆比に等しくなります。

P 例反比例の関係。

2 つの長方形の面積は同じです。 最初の長方形の長さは 3.6 m、幅は 2.4 m、2 番目の長方形の長さは 4.8 m です。2 番目の長方形の幅を求めます。

解決：

1 長方形 3.6 m 2.4 m

2 長方形 4.8 m x m

3.6m×m

4.8m 2.4m

x = 3.6*2.4 = 1.8 メートル

答え: 1.8メートル。

ご覧のとおり、比例量に関する問題は比例を使用して解決できます。

2 つの量がすべて正比例または反比例するわけではありません。 たとえば、子供の身長は年齢が上がるにつれて増加しますが、年齢が 2 倍になっても子供の身長は 2 倍にはならないため、これらの値は比例しません。

実用正比例依存と反比例依存。

タスクNo.1

学校図書館には数学の教科書が 210 冊あり、これは図書館の全コレクションの 15% に相当します。 図書館の蔵書には何冊ありますか?

解決：

教科書の合計 - ? - 100%

数学者 - 210 -15%

15% 210 学術。

X = 100* 210 = 1400 教科書

100% × アカウント。 15

答え：教科書は1400冊。

問題その2

自転車に乗る人は 75 km を 3 時間で移動します。 自転車に乗る人が同じ速度で 125 km 移動するにはどれくらい時間がかかりますか?

解決：

3時間 – 75km

高度 – 125 km

時間と距離は正比例する量なので、

3：×＝75：125、

x=
,

x=5。

答え: 5時間以内です。

問題その3

8 本の同一のパイプが 25 分でプールを満たします。 このようなパイプを 10 本使用してプールを満たすには何分かかりますか?

解決：

パイプ8本 – 25分

パイプ10本 - ? 分

パイプの数は時間に反比例するので、

8:10 = x:25、

x =

x = 20

答え: 20 分以内です。

問題その4

8 人の作業員からなるチームが 15 日間でこの作業を完了します。 同じ生産性で働きながら、10 日間でタスクを完了できる労働者は何人いますか?

解決：

8営業日～15日

労働者 - 10 日間

労働者の数は日数に反比例するので、

×：8＝15：10、

x=
,

x=12。

答え: 従業員は 12 名です。

問題その5

5.6kgのトマトから2リットルのソースが得られます。 54kgのトマトから何リットルのソースができるでしょうか？

解決：

5.6kg – 2リットル

54kg - ? 私

トマトのキログラム数は、得られるソースの量に直接比例します。

5.6:54 = 2:x、

x =
,

x = 19。

答え: 19リットル。

問題その6

校舎を暖房するために、石炭は消費率で 180 日間保管されました。

1日あたり0.6トンの石炭。 1日あたり0.5トンを消費すると、この供給は何日続くでしょうか？

解決：

日数

消費率

日数は石炭の消費率に反比例するため、

180: x = 0.5: 0.6、

x = 180*0.6:0.5、

x = 216。

答え: 216 日です。

問題その7

で 鉄鉱石鉄が 7 部の場合、不純物は 3 部存在します。 73.5トンの鉄を含む鉱石には何トンの不純物が含まれていますか?

解決：

部品点数

重さ

鉄

73,5

不純物

部品点数は質量に比例するので、

7：73.5＝3：×。

x = 73.5 * 3:7、

x = 31.5。

答え：31.5t

問題その8

車は35リットルのガソリンを使用して500km走行した。 420km走行するには何リットルのガソリンが必要ですか?

解決：

距離、km

ガソリン、l

距離はガソリン消費量に比例するので、

500:35 = 420:x、

x = 35*420:500、

x = 29.4。

答え: 29.4リットル

問題その9

2時間で12匹のフナを釣りました。 3時間で何匹のフナが釣れるでしょうか？

解決：

フナの数は時間に依存しません。 これらの量は正比例も反比例もありません。

答え: 答えはありません。

問題その10

鉱山企業は、1 台あたり 12,000 ルーブルの一定の金額で新しい機械を 5 台購入する必要があります。 1台のマシンの価格が15,000ルーブルになった場合、企業はこれらのマシンを何台購入できるでしょうか?

解決：

車両数、台

価格、千ルーブル

車の台数はコストに反比例するので、

5：×＝15：12、

x=5*12:15、

x=4。

答え: 車は4台です。

問題No.11

市内で P 広場の N にある店は、オーナーが非常に厳格で、遅刻すると 1 日 1 回の遅刻で給料から 70 ルーブル差し引かれるほどです。 ユリアとナターシャという 2 人の女の子が 1 つの部門で働いています。 彼らの 賃金稼働日数により異なります。 ユリアさんは20日で4,100ルーブルを受け取り、ナターシャさんは21日でさらに受け取るはずだったが、3日連続で遅刻した。 ナターシャは何ルーブルを受け取りますか？

解決：

勤務日

給料、こする。

ジュリア

4100

ナターシャ

給料は勤務日数に比例するので、

20:21 = 4100:x、

x=4305。

4305こする。 ナターシャはそれを受け取るべきだった。

4305 – 3 * 70 = 4095 (摩擦)

答え: ナターシャは 4095 ルーブルを受け取ります。

問題No.12

地図上の 2 つの都市間の距離は 6 cm です。地図縮尺が 1:250000 の場合、地上でこれらの都市間の距離を求めます。

解決：

地上の都市間の距離を x (センチメートル単位) で表し、地図上のセグメントの長さと地上の距離の比率を求めます。これは地図の縮尺に等しくなります: 6: x = 1 ：250000、

x = 6*250000、

x = 1500000。

1500000 cm = 15 km

答え：15キロです。

問題No.13

4000 g の溶液には 80 g の塩が含まれます。 この溶液中の塩の濃度はどれくらいですか?

解決：

重量、g

集中、 ％

解決

4000

塩

4000: 80 = 100: ×、

x =
,

x = 2。

答え: 塩分濃度は2%です。

問題No.14

銀行は年率 10% で融資を行います。 あなたは50,000ルーブルの融資を受けました。 1年にいくら銀行に返すべきですか?

解決：

50,000摩擦。

100%

×こする。

50000: x = 100: 10、

x= 50000*10:100、

x=5000。

5000こする。 は10％です。

50,000 + 5000=55,000 (摩擦)

答え: 1 年以内に銀行は 55,000 ルーブルを取り戻します。

結論。

与えられた例からわかるように、正比例関係と反比例関係は生活のさまざまな分野に適用できます。

経済、

貿易、

生産や産業においては、

学校生活,

料理、

建設と建築。

スポーツ、

畜産、

地形学、

物理学者、

化学など

ロシア語には、直接的な関係を確立することわざやことわざもあります。 逆関係:

戻ってくると、それに反応します。

切り株が高くなるほど、影も高くなります。

人が増えれば増えるほど酸素は少なくなります。

準備はできていますが、愚かです。

数学は最も古い科学の 1 つであり、人類のニーズと欲求に基づいて生まれました。 以来の結成の歴史を経て、 古代ギリシャ、それは依然として関連性があり、必要とされています。 日常生活誰でも。 正比例と反比例の概念は古代から知られており、彫刻の建設や制作の際に建築家を動機付けたのは比例の法則であったからです。

プロポーションに関する知識は、人間の生活と活動のあらゆる分野で広く使用されています。絵画（風景、静物、肖像画など）を描くときにプロポーションなしではできません。また、建築家やエンジニアの間でも広く普及しています。一般に、プロポーションを理解するのは困難です。比率やその関係についての知識を使用せずに何かを作成することを想像してみてください。

文学。

数学-6、N.Ya。 ビレンキンら。

代数 -7、G.V. ドロフェエフなど。

Mathematics-9、GIA-9、F.F. 編集 ルイセンコ、S.Yu。 クラブホワ

数学-6、教材、PV チュルコフ、A.B. ウエディノフ

4～5 年生の数学の問題、I.V. Baranova et al.、M. "Prosveshchenie" 1988

数学グレード 5 ～ 6 の問題と例のコレクション、N.A. テレシン

T.N. テレシナ・M.「水族館」1997