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等差数列上の合計の公式。 Ⅲ．問題を解決します。等差数列の和

理論情報

理論情報

	等差数列	幾何級数
意味	等差数列あ、ん 2 番目から始まる各メンバーが、同じ番号に前のメンバーを加算したものと等しいシーケンスです。 d (d- 進行度の差)	幾何級数 bnゼロ以外の数値のシーケンスであり、2 番目から始まる各項は、前の項に同じ数値を乗算したものと等しくなります。 q (q- 進行の分母)
漸化式	あらゆるナチュラルに n a n + 1 = a n + d	あらゆるナチュラルに n b n + 1 = b n ∙ q、b n ≠ 0
式n項	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1、b n ≠ 0
特徴的な性質
最初の n 項の合計

コメント付きタスクの例

演習 1

で等差数列 (あ、ん) 1 = -6, 2

n番目の項の式によれば、次のようになります。

22 = 1+ d (22 - 1) = 1+ 21日

条件別:

1= -6 の場合 22= -6 + 21 d 。

進行の違いを見つける必要があります。

d = 2 – 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

答え： 22 = -48.

タスク 2

等比数列の 5 番目の項を見つけます: -3; 6;....

第1の方法（n項公式を使用）

等比数列の n 項の公式によると、次のようになります。

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

なぜなら b1 = -3,

2番目の方法（漸化式を使用）

数列の分母は -2 (q = -2) なので、次のようになります。

b3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b5 = 24 ∙ (-2) = -48.

答え： b5 = -48.

タスク 3

等差数列では ( a n ) a 74 = 34; 76= 156. この数列の 75 番目の項を見つけます。

等差数列の場合、特性プロパティは次の形式になります。 .

したがって：

データを式に代入してみましょう。

答え：95。

タスク 4

等差数列では ( a n ) a n= 3n - 4. 最初の 17 項の合計を求めます。

等差数列の最初の n 項の合計を求めるには、2 つの公式が使用されます。

この場合、どちらを使用するのがより便利ですか?

条件によって、元の数列の n 番目の項の公式がわかります ( あ、ん) あ、ん= 3n - 4. すぐに見つけることができ、 1、そして 16ｄが見つからずに。したがって、最初の式を使用します。

答え：368。

タスク5

等差数列では( あ、ん) 1 = -6; 2= -8。進行の第 22 項を見つけます。

n番目の項の式によれば、次のようになります。

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = 1+21日。

条件によっては、 1= -6 の場合 22= -6 + 21d 。進行の違いを見つける必要があります。

d = 2 – 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

答え： 22 = -48.

タスク6

等比数列のいくつかの連続した項が書かれます。

x というラベルが付いた数列の項を見つけます。

解くときはn次項の公式を使います。 b n = b 1 ∙ q n - 1等比数列の場合。進行の第一期。数列 q の分母を見つけるには、数列の指定された項のいずれかを取得し、前の項で割る必要があります。この例では、を取得して除算できます。 q = 3 が得られます。与えられた等比数列の 3 番目の項を見つける必要があるため、式では n の代わりに 3 を代入します。

見つかった値を式に代入すると、次のようになります。

答え：。

タスク 7

第n項の式で与えられる等差数列のうち、条件を満たすものを選択する 27 > 9:

与えられた条件は数列の 27 番目の項で満たされる必要があるため、4 つの数列のそれぞれで n の代わりに 27 を代入します。 4 番目の進行では次のようになります。

答え: 4.

タスク8

等差数列で 1= 3、d = -1.5。特定最高値不等式が成り立つ n あ、ん > -6.

または、算術は順序付けられた数値列の一種であり、その性質は学校の代数コースで学習されます。この記事では、等差数列の和を求める方法について詳しく説明します。

これはどのような進行ですか?

質問 (等差数列の和を求める方法) に進む前に、私たちが何について話しているのかを理解しておく価値があります。

前の各数値から何らかの値を加算 (減算) することによって得られる実数のシーケンスは、代数 (算術) 数列と呼ばれます。この定義を数学的な言語に翻訳すると、次のような形式になります。

ここで私は - シリアルナンバーシリーズ a i の要素。したがって、開始番号を 1 つだけ知っていれば、シリーズ全体を簡単に復元できます。式中のパラメータ d は累進差と呼ばれます。

考慮している一連の数値について、次の等式が成り立つことは簡単にわかります。

a n = a 1 + d * (n - 1)。

つまり、n 番目の要素の値を順番に求めるには、最初の要素 a 1 に差 d を n-1 回加算する必要があります。

等差数列の和は何ですか: 公式

示された量の式を与える前に、簡単な特殊なケースを検討する価値があります。進行状況が与えられます自然数 1 から 10 まで、それらの合計を見つける必要があります。数列 (10) には項がほとんどないため、問題を正面から解く、つまりすべての要素を順番に合計することが可能です。

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55。

興味深い点が 1 つ考慮される価値があります。各項は次の項と同じ値 d = 1 だけ異なるため、最初の項と 10 番目の項、2 番目の項と 9 番目の項などをペアごとに合計すると、同じ結果が得られます。本当に：

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

ご覧のとおり、これらの合計は 5 つだけです。つまり、系列の要素数のちょうど 2 倍少ないことになります。次に、合計の数 (5) と各合計の結果 (11) を乗算すると、最初の例で得られた結果が得られます。

これらの引数を一般化すると、次の式を書くことができます。

S n = n * (a 1 + a n) / 2。

この式は、行内のすべての要素を合計する必要はまったくなく、最初の a 1 と最後の a n の値、および項の総数 n がわかれば十分であることを示しています。

ガウスが最初にこの等式を思いついたのは、学校の先生から与えられた最初の 100 個の整数の合計という問題の解決策を探していたときと考えられています。

m から n までの要素の合計: 式

前の段落で示した公式は、等差数列 (最初の要素) の合計を求める方法という質問に答えますが、多くの場合、問題では数列の途中で一連の数値を合計する必要があります。どうやってするの？

この質問に答える最も簡単な方法は、次の例を考慮することです。m 番目から n 番目までの項の合計を見つける必要があるとします。この問題を解決するには、進行の m から n までの指定されたセグメントを新しいセグメントとして表す必要があります。数列。そのような中で m番目の表現項 a m が最初になり、n には n-(m-1) の番号が付けられます。この場合、合計の標準公式を適用すると、次の式が得られます。

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2。

数式の使用例

等差数列の和を求める方法を理解したら、上記の式を使用する簡単な例を検討する価値があります。

以下は数値シーケンスです。5 番目から始まり 12 番目で終わる項の合計を見つける必要があります。

指定された数値は、差 d が 3 に等しいことを示します。n 番目の要素の式を使用すると、数列の 5 番目と 12 番目の項の値を見つけることができます。それが判明：

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29。

考慮中の代数級数の終端の数値の値がわかれば、またそれらの数値が級数内でどの数値を占めるかがわかれば、前の段落で得た合計の公式を使用できます。次のことがわかります。

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148。

この値は別の方法で取得できることに注意してください。最初に標準の式を使用して最初の 12 要素の合計を求め、次に同じ式を使用して最初の 4 要素の合計を計算し、次に最初の合計から 2 番目の要素を減算します。

数列

それでは、座って数字を書き始めましょう。例えば：
任意の数字を書くことができ、好きなだけ数字を書くことができます (この場合は数字があります)。どれだけ数字を書いても、どれが 1 番目でどれが 2 番目というように最後まで言うことができ、つまり番号を付けることができます。これは数値シーケンスの例です。

数列
たとえば、私たちのシーケンスの場合:

割り当てられた番号は、シーケンス内の 1 つの番号にのみ固有です。言い換えれば、シーケンス内に 3 番目の数字は存在しません。 2 番目の数字 (th 番目の数字など) は常に同じです。
数字の付いた数を数列の第項と呼びます。

通常、シーケンス全体を何らかの文字 (たとえば、) で呼びます。このシーケンスの各メンバーは、このメンバーの番号に等しいインデックスを持つ同じ文字です: 。

私たちの場合には：

隣接する数字の差が同じで等しい数列があるとします。
例えば：

等
この数列を等差数列といいます。
「進歩」という用語は、6 世紀にローマの作家ボエティウスによって導入され、無限の数列として広い意味で理解されました。「算術」という名前は、古代ギリシャ人によって研究された連続比例の理論から移されました。

これは数値シーケンスであり、その各メンバーは、同じ数値に追加された前のメンバーと等しくなります。この数を等差数列の差といい、指定します。

どの数列が等差数列であり、どの数列が等差数列ではないのかを判断してください。

a)
b)
c)
d)

わかった？答えを比較してみましょう。
は等差数列 - b、c。
ではありません等差数列 - a、d。

与えられた数列 () に戻り、その第 3 項の値を見つけてみましょう。存在する二それを見つける方法。

1.方法

数列の第項に到達するまで、前の値に数列番号を加算できます。要約する必要があまりなく、3 つの値のみであるのは良いことです。

したがって、記述された等差数列の第 3 項はと等しくなります。

2.方法

数列の第 3 項の値を求める必要がある場合はどうすればよいでしょうか? 合計には1時間以上かかりますし、数字の足し算を間違えないわけではありません。
もちろん、数学者は等差数列の差を前の値に加算する必要がない方法を考え出しました。描かれた絵をよく見てください...あなたはすでに特定のパターンに気づいているはずです。

たとえば、この等差数列の第 3 項の値が何で構成されているかを見てみましょう。

言い換えると：

この方法で、指定された等差数列のメンバーの値を自分で見つけてみてください。

計算しましたか？メモと答えを比較してください。

等差数列の項を前の値に順次追加したとき、前の方法とまったく同じ数値が得られたことに注意してください。
この式を「非個人化」してみましょう。一般的な形式にすると次のようになります。

等差数列方程式。

等差数列は増加または減少する可能性があります。

増加中- 項の後続の各値が前の値よりも大きくなる進行。
例えば：

降順- 後続の各項の値が前の値よりも小さくなる進行。
例えば：

導出された式は、等差数列の増加項と減少項の両方の項の計算に使用されます。
実際にこれを確認してみましょう。
次の数値で構成される等差数列が与えられています。この等差数列を計算するために数式を使用した場合、その数列の番目の数が何になるかを確認してみましょう。

それ以来：

したがって、この式は減少および増加の両方の等差数列で機能すると確信しています。
この等差数列の第 3 項と第 3 項を自分で見つけてみてください。

結果を比較してみましょう。

等差数列プロパティ

問題を複雑にしてみましょう。等差数列の性質を導き出します。
次の条件が与えられたとします。
- 等差数列、値を見つけます。
「簡単だよ」と言って、すでに知っている公式に従って数え始めます。

ああ、それでは次のようにしましょう。

絶対的に正しい。最初に検索し、それを最初の数値に加算して、探しているものを取得することがわかりました。進行状況が小さな値で表される場合は、何も複雑なことはありませんが、条件に数値が指定されている場合はどうなるでしょうか。同意します、計算に間違いがある可能性があります。
ここで、何らかの公式を使用してこの問題を 1 ステップで解決できるかどうか考えてみましょう。もちろん、その通りです。それが私たちがこれから明らかにしようとしているものです。

等差数列の必要な項を次のように表します。それを見つけるための公式は既知です。これは、最初に導いた公式と同じです。
、それから：

進行の前の項は次のとおりです。
進行の次の項は次のとおりです。

進行の前後の項を要約してみましょう。

数列の前後の項の合計は、それらの間にある数列項の 2 倍の値であることがわかります。つまり、既知の前後の値を持つ累進項の値を求めるには、それらを加算して除算する必要があります。

そうです、同じ番号でした。材料を確保しましょう。進行度の値を自分で計算することは、まったく難しいことではありません。

よくやった！あなたは進歩についてほぼすべてを知っています! 伝説によると、史上最も偉大な数学者の一人、「数学者の王」カールガウスによって簡単に導き出された公式は 1 つだけです。

カールガウスが 9 歳のとき、ある教師は他のクラスの生徒の作業をチェックするのに忙しく、クラスで次のタスクを割り当てました。「（他の情報源によると）からまでのすべての自然数の合計を計算する（他の情報源によると、～を含む）」。 1分後、生徒の一人（これはカール・ガウスでした）がその課題に正しい答えを出したときの教師の驚きを想像してみてください。一方、命知らずのクラスメートのほとんどは、長い計算の末、間違った結果を受け取りました...

若きカールガウスは、あなたも簡単に気づくことができる特定のパターンに気づきました。
- 番目の項で構成される等差数列があるとします。等差数列のこれらの項の合計を見つける必要があります。もちろん、すべての値を手動で合計することもできますが、ガウスが探していたように、タスクで項の合計を求める必要がある場合はどうなるでしょうか?

私たちに与えられた進歩を描きましょう。ハイライト表示された数値をよく見て、それらを使ってさまざまな数学的演算を実行してみてください。

試してみましたか？何に気づきましたか? 右！それらの合計は等しい

さて、教えてください、私たちに与えられた進行の中で、そのようなペアは合計で何組ありますか? もちろん、それはすべての数字のちょうど半分です。
等差数列の 2 つの項の合計が等しく、類似したペアが等しいという事実に基づいて、合計は次と等しいことがわかります。
.
したがって、等差数列の最初の項の和の公式は次のようになります。

問題によっては第 3 項が分からない場合もありますが、進行の違いは分かります。第 3 項の式を和の式に代入してみます。
何を手に入れましたか？

よくやった！さて、カールガウスに出題された問題に戻りましょう。 th から始まる数値の合計が何に等しいか、および th から始まる数値の合計を自分で計算してください。

いくらもらいましたか？
ガウスは、項の合計が等しいこと、および項の合計が等しいことを発見しました。それはあなたが決めたことですか？

実際、等差数列の項の和の公式は、3 世紀に古代ギリシャの科学者ディオファントスによって証明され、この時代を通じて、機知に富んだ人々が等差数列の特性を最大限に活用していました。
たとえば、想像してみてください古代エジプトそして最も大規模工事その時 - ピラミッドの建設... 写真はその一面を示しています。

ここでの進歩はどこにあると思いますか？注意深く見て、ピラミッドの壁の各列にある砂ブロックの数のパターンを見つけてください。

なぜ等差数列ではないのでしょうか? 基礎にブロックレンガを配置した場合、1つの壁を構築するのに必要なブロックの数を計算します。モニター上で指を動かしながら数を数えないことを祈りますが、最後の公式と等差数列について話したすべてを覚えていますか?

この場合、進行は次のようになります。
等差数列の違い。
等差数列の項の数。
データを最後の式に代入してみましょう (ブロック数を 2 つの方法で計算します)。

方法1.

方法2。

そして今、モニター上で計算することができます。得られた値をピラミッド内のブロックの数と比較します。わかった？よくやった、等差数列の n 番目の項の和をマスターしました。
もちろん、基礎部分のブロックからピラミッドを構築することはできません。この条件で壁を建てるのに必要な砂レンガの数を計算してみてください。
あなたは管理しましたか？
正解はブロックです。

トレーニング

タスク:

マーシャは夏に向けて体調を整えています。彼女は毎日スクワットの回数を増やしています。最初のトレーニングセッションでスクワットを行った場合、マーシャは週に何回スクワットを行うことになりますか?
に含まれるすべての奇数の合計は何ですか。
ログを保存するとき、ロガーは各最上位層に含まれるログが前の層より 1 つ少なくなるようにログをスタックします。石積みの基礎が丸太である場合、1 つの石積みには何本の丸太が入っていますか?

答え:

等差数列のパラメータを定義しましょう。この場合
(週 = 日)。
答え： 2週間以内に、マーシャは1日1回スクワットをする必要があります。
初め奇数、最後の番号。
等差数列の違い。
ただし、の奇数の数は半分ですが、等差数列の第項を求める公式を使用してこの事実を確認してみましょう。
数字には奇数が含まれます。
利用可能なデータを式に代入してみましょう。
答え：に含まれるすべての奇数の合計は等しい。
ピラミッドに関する問題を思い出してみましょう。私たちのケースでは、各最上位層が 1 つのログだけ削減されるため、合計で多数の層が存在します。
データを式に代入してみましょう。
答え：石積みの中に丸太があります。

要約しましょう

- 隣接する数字の差が同じで等しい数字列。増加することも減少することもあります。
計算式を求める等差数列の第 3 項は、式 - で記述されます。ここで、は数列内の数値の数です。
等差数列のメンバーのプロパティ- - ここで、は進行中の数字の数です。
等差数列の項の合計は 2 つの方法で見つけることができます。

, ここで、は値の数です。

算術累進。平均レベル

数列

座って数字を書き始めましょう。例えば：

任意の数字を書くことができ、好きなだけ数字を書くことができます。しかし、どれが 1 番目でどれが 2 番目であるかなどをいつでも言うことができ、それらに番号を付けることができます。これは数列の例です。

数列は一連の番号であり、それぞれに一意の番号を割り当てることができます。

言い換えれば、各数値は特定の自然数、および一意の自然数に関連付けることができます。そして、この番号をこのセットの他の番号に割り当てることはありません。

番号が付いた番号は、シーケンスの番目のメンバーと呼ばれます。

数列の第 3 項を何らかの式で指定できると非常に便利です。たとえば、次の式は

シーケンスを設定します。

そして、式は次の順序になります。

たとえば、等差数列は数列です (ここでは最初の項が等しく、差がです)。または（、違い）。

n項式

この式をリカレントと呼びます。この式では、番目の項を見つけるために、前またはいくつか前の項を知る必要があります。

たとえば、この式を使用して数列の第 3 項を見つけるには、前の 9 項を計算する必要があります。たとえば、そうしましょう。それから：

さて、その公式が何であるかは明らかですか?

各行で、何らかの数値を加算したり、乗算したりします。どれ？非常に単純です。これは現在のメンバーの番号から次の値を引いたものです。

ますます便利になりましたね。私たちは以下をチェックします:

自分で決めてください:

等差数列で、n 番目の項の式を求め、100 番目の項を求めます。

解決：

最初の項は等しいです。違いはなんですか？内容は次のとおりです。

(数列の連続する項の差に等しいため、差と呼ばれます)。

したがって、式は次のようになります。

この場合、100 番目の項は次と等しくなります。

からまでのすべての自然数の合計は何ですか?

伝説によると、偉大な数学者カールガウスは 9 歳の少年で、この金額を数分で計算しました。彼は、最初と最後の数字の合計が等しい、2 番目と最後から 2 番目の数字の合計が同じ、最後から 3 番目と 3 番目の数字の合計が同じであることに気づきました。このようなペアは合計で何組ありますか? そう、ちょうど全数字の半分です。それで、

等差数列の最初の項の和の一般式は次のようになります。

例：
すべての合計を求めます二桁の数字、倍数。

解決：

その最初の数字はこれです。後続の各数値は、前の数値に加算することによって取得されます。したがって、関心のある数値は、最初の項とその差で等差数列を形成します。

この数列の第 3 項の式:

すべて 2 桁でなければならない場合、数列にはいくつの項がありますか?

非常に簡単：。

進行の最後の項は等しくなります。次に合計:

答え：。

さあ、自分で決めてください。

毎日、アスリートは前日よりも多くのメートルを走ります。初日にkm m走った場合、1週間で合計何km走ることになりますか?
自転車に乗る人は毎日、前日よりも多くのキロメートルを移動します。初日、彼は数キロ移動しました。彼は1キロメートルを移動するのに何日かかるでしょうか? 彼は旅の最終日で何キロ進むでしょうか?
店頭の冷蔵庫の価格は毎年同じ金額ずつ下がります。ルーブルで売りに出された冷蔵庫が 6 年後にルーブルで売られた場合、その冷蔵庫の価格が毎年いくら下がったかを調べてください。

答え:

ここで最も重要なことは、等差数列を認識し、そのパラメータを決定することです。この場合、(週 = 日) となります。この数列の最初の項の合計を決定する必要があります。
.
答え：
ここでは次のように与えられます: が見つかる必要があります。
明らかに、前の問題と同じ合計の公式を使用する必要があります。
.
値を代入します。
ルートが明らかに合わないので、答えは次のとおりです。
第 3 項の式を使用して、最後の 1 日に移動した経路を計算してみましょう。
(km)。
答え：
与えられた: 。探す：。
これ以上に簡単なことはありません。
（こする）。
答え：

算術累進。主なものについて簡単に説明

これは、隣接する数字の差が同じで等しい数列です。

等差数列は増加 () または減少 () することができます。

例えば：

等差数列の n 項を求める公式

は次の式で記述されます。ここで、は進行中の数字の数です。

等差数列のメンバーのプロパティ

これにより、隣接する用語がわかっている場合、数列の用語を簡単に見つけることができます (数列内の数値の数はどこにあるのか)。

等差数列の項の和

金額を確認するには次の 2 つの方法があります。

ここで、は値の数です。

さて、この話題は終わりました。これらの行を読んでいる場合、それはあなたがとてもクールであることを意味します。

なぜなら、独力で何かを習得できる人はわずか5％だからです。最後まで読んでいただければ、あなたもこの 5% に入っています！

さて、最も重要なことです。

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しかし、これは主要なことではありません。

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このトピックに関する問題を解決して、手を獲得してください。

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私たちのタスク (オプション) を使用することもできます。もちろん、それをお勧めします。

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結論は...

私たちの仕事が気に入らない場合は、他の仕事を見つけてください。理論だけにとどまらないでください。

「わかる」と「解ける」は全く別のスキルです。両方必要です。

問題を見つけて解決しましょう！

数列の概念は、それぞれの自然数が何らかの実数値に対応することを意味します。このような一連の数値は、任意の場合もあれば、特定の特性 (数列) を持つ場合もあります。後者の場合、シーケンスの後続の各要素 (メンバー) は、前の要素 (メンバー) を使用して計算できます。

等差数列は、隣接するメンバーが同じ数だけ互いに異なる数値のシーケンスです (2 番目から始まる系列のすべての要素は同様の特性を持ちます)。この数値 (前の項と後の項の差) は一定であり、進行差と呼ばれます。

進行の違い: 定義

j 個の値からなるシーケンス A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j) を考えます。j は自然数 N の集合に属します。その定義によれば、数列は a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – というシーケンスです。 a(j-1) = d。値 d は、この数列の望ましい差です。

d = a(j) – a(j-1)。

ハイライト:

増加する進行。この場合、d > 0。例: 4、8、12、16、20、...
進行を減少させ、その後 d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

差分進行とその任意要素

数列の任意の 2 つの項 (i 番目、k 番目) がわかっている場合、特定のシーケンスの差は次の関係に基づいて決定できます。

a(i) = a(k) + (i – k)*d、つまり d = (a(i) – a(k))/(i-k) を意味します。

進行の違いとその前期

この式は、シーケンス要素の数がわかっている場合にのみ、未知の値を決定するのに役立ちます。

進行の差とその合計

数列の合計は、その項の合計です。最初の j 要素の合計値を計算するには、適切な式を使用します。

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j ただし、 a(j) = a(1) + d(j – 1) の場合、S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(- 1))/2)*j。

注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）

等差数列とは、各数値が前の数値よりも同じ量だけ大きい (または小さい) 一連の数値です。

このトピックは複雑で理解できないように思えることがよくあります。文字インデックス第n期数列、数列の違い - これはすべてどういうわけか混乱しています、はい...等差数列の意味を理解しましょう。そうすればすべてがすぐに良くなります。)

等差数列の概念。

等差数列は非常に単純かつ明確な概念です。何か疑問はありますか？無駄です。) 自分の目で確かめてください。

未完成の一連の数字を書きます。

1, 2, 3, 4, 5, ...

このシリーズを拡張してもらえますか？ 5 の次に来る数字は何ですか? 皆さん…えーっと、つまり、次は６、７、８、９…という数字が来るということは皆さんわかります。

タスクを複雑にしてみましょう。未完成の一連の数字をあげます。

2, 5, 8, 11, 14, ...

パターンを把握し、シリーズを拡張し、名前を付けることができるようになります 7番目行番号?

この数字が 20 であることがわかった方は、おめでとうございます。感じただけでなく、 キーポイント等差数列、ビジネスでもうまく活用できました！よく分からない場合は、読み続けてください。

では、感覚から得た重要なポイントを数学に変換してみましょう。）

最初のキーポイント。

等差数列は一連の数値を扱います。これは最初は混乱します。私たちは方程式を解いたり、グラフを描いたりすることに慣れています...しかしここでは級数を拡張し、級数の数を求めます...

大丈夫です。ただ、数列は数学の新しい分野に初めて出会うものです。このセクションは「シリーズ」と呼ばれ、特に一連の数値と式を処理します。それに慣れる。）

2 番目の重要なポイント。

等差数列では、どの数値も前の数値とは異なります 同額で。

最初の例では、この違いは 1 です。どの数字を選んでも、前の数字より 1 つ増えます。 2番目から3番目。どの数字も前の数字より 3 つ大きくなります。実際、この瞬間こそがパターンを把握し、その後の数字を計算する機会を与えてくれます。

3つ目のキーポイント。

この瞬間は、驚くべきものではありません、そうです...しかし、それは非常に非常に重要です。彼はこうです。 各進行番号はその場所にあります。最初の番号、7 番目の番号、45 番目の番号などがあります。ランダムに混ぜると模様が消えてしまいます。等差数列も消えてしまいます。残っているのは単なる数字の羅列です。

それが要点です。

もちろん、新しい話題新しい用語と名称が表示されます。それらを知る必要があります。そうしないと、そのタスクを理解できなくなります。たとえば、次のようなことを決定する必要があります。

a 2 = 5、d = -2.5 の場合、等差数列 (a n) の最初の 6 項を書き留めます。

インスピレーションを与えてくれますか?) 手紙、いくつかのインデックス...ちなみに、その作業はこれ以上に簡単なものではありません。用語と名称の意味を理解する必要があるだけです。さて、この問題をマスターして、タスクに戻ります。

用語と名称。

等差数列それぞれの数字が前の数字とは異なる一連の数字です 同額で。

この量はと呼ばれます。この概念をさらに詳しく見てみましょう。

等差数列の違い。

等差数列の違い任意の累進数の量です。 もっと前回のもの。

1つ大事なポイント。という言葉に注目してください "もっと"。数学的には、これは各数列数が次のとおりであることを意味します。 追加することで前の数値との等差数列の差。

計算するには、次のようにします。 2番シリーズの番号を指定する必要があります。初め番号追加まさにこの等差数列の違いです。計算用 5番目- 違いは必要です追加に 第4、まあ、など

等差数列の違い多分 ポジティブ、そうすれば、シリーズ内の各数字は実数であることがわかります 前作よりも。この進行はと呼ばれます 増加しています。例えば：

8; 13; 18; 23; 28; .....

ここで各数値が得られます 追加することで 正数, 前回に+5。

違いは次のとおりです。 ネガティブ、この場合、系列内の各数値は次のようになります。 前回よりも少ないです。この進行は (信じられないでしょう!) と呼ばれます。 減少しています。

例えば：

8; 3; -2; -7; -12; .....

ここでも各数値を取得します 追加することで前の値に戻りますが、すでに負の数 -5 になっています。

ちなみに、進行状況を扱う場合、その性質、つまり増加しているのか減少しているのかを即座に判断するのは非常に便利です。これは、決断を下し、手遅れになる前に間違いを見つけて修正するのに非常に役立ちます。

等差数列の違い通常は文字で表されます d.

見つけ方 d? とてもシンプルです。系列内の任意の数値から減算する必要があります前の番号。引き算します。ちなみに引き算した結果を「差分」といいます。）

たとえば、次のように定義しましょう。 d等差数列を増やす場合:

2, 5, 8, 11, 14, ...

たとえば 11 など、系列内の任意の数値を取得します。そこから減算します。 前の番号それらの。 8:

これが正解です。この等差数列では、その差は 3 です。

あなたはそれを取ることができます 任意の進行番号、なぜなら特定の進行のために d-いつも同じ。少なくとも行の先頭のどこか、少なくとも真ん中、少なくともどこか。一番最初の番号だけを取得することはできません。単純に最初の数字だから 以前のものはありません。)

ちなみに、それを知ると、 d=3, この数列の 7 番目の数字を見つけるのは非常に簡単です。 5 番目の数字に 3 を足してみましょう - 6 番目の数字が得られ、それは 17 になります。 6 番目の数字に 3 を足すと、7 番目の数字 - 20 が得られます。

定義しましょう d降順等差数列の場合:

8; 3; -2; -7; -12; .....

兆候に関係なく、決定する必要があることを思い出してください。 d何からでも必要です 前のを取り除きます。任意のプログレッション番号 (-7 など) を選択します。彼の以前の番号は -2 です。それから：

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

等差数列の差は、整数、分数、無理数など、任意の数にすることができます。

その他の用語および指定。

系列の各番号は次のように呼ばれます。 等差数列のメンバー。

進行の各メンバー 独自の番号を持っています。数字は厳密に順序どおりに並べられており、トリックはありません。 1 番目、2 番目、3 番目、4 番目など。たとえば、数列 2、5、8、11、14、... では、2 が最初の項、5 が 2 番目、11 が 4 番目の項です、まあ、わかります...) はっきりと理解してください - 数字そのもの全体、分数、負など何でも構いませんが、 数字の番号付け- 厳密に順序通りに！

進行状況の書き方一般的な見解? 問題ない！一連の数字はそれぞれ文字として書かれます。等差数列を表すには、通常、文字が使用されます。ある。会員番号は右下のインデックスで表示されます。次のように用語をカンマ (またはセミコロン) で区切って記述します。

1、2、3、4、5、....

1- これは最初の数字です、 3- 3番目など何も派手なことはありません。このシリーズは次のように簡単に書くことができます。 (a n).

進歩が起こる 有限と無限。

究極のプログレッションにはメンバーの数が限られています。 5人でも38人でも何でも。しかし、それは有限な数です。

無限 progression - ご想像のとおり、メンバーの数は無限です。)

次のような一連のすべての用語と最後にドットを使用して、最終的な進行を書くことができます。

1、2、3、4、5。

または、メンバーが多い場合は次のようになります。

1、2、... 14、15。

短いエントリでは、メンバーの数を追加で指定する必要があります。たとえば (20 人のメンバーの場合)、次のようになります。

(a n)、n = 20

このレッスンの例のように、無限進行は行の最後にある省略記号によって認識できます。

これでタスクを解決できるようになりました。タスクは単純で、純粋に等差数列の意味を理解するためのものです。

等差数列に関するタスクの例。

上記のタスクを詳しく見てみましょう。

1. a 2 = 5、d = -2.5 の場合、等差数列 (a n) の最初の 6 項を書き出します。

私たちはタスクをわかりやすい言語に翻訳します。無限等差数列が与えられます。この数列の 2 番目の数は既知です。 a 2 = 5。進行の違いは次のとおりです。 d = -2.5。この数列の第 1 項、第 3 項、第 4 項、第 5 項、および第 6 項を見つける必要があります。

わかりやすくするために、問題の条件に応じてシリーズを書き留めます。最初の 6 つの項 (2 番目の項は 5 つ):

1、5、3、4、5、6、...

3 = 2 + d

式に代入 a 2 = 5そして d = -2.5。マイナスも忘れずに！

3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

第 3 項は第 2 項よりも小さいことが判明しました。すべてが論理的です。数値が前の数値より大きい場合 ネガティブこれは、数値自体が前の数値よりも小さくなるということを意味します。進行度は減少しています。さて、それを考慮に入れてみましょう。) シリーズの 4 番目の項を数えます。

4 = 3 + d

4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = 4 + d

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + d

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

そこで、第 3 項から第 6 項までを計算しました。結果は次のシリーズになります。

a 1、5、2.5、0、-2.5、-5、...。

最初の項を見つけることが残っています 1による有名な二番目。これは反対方向、つまり左へのステップです。) つまり、等差数列の違いは次のとおりです。 dに追加すべきではありません 2、A 取り除く：

1 = 2 - d

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

それでおしまい。課題の答え:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

ついでに、このタスクを解決したことを記しておきます。 再発する方法。この恐ろしい言葉は、進行中のメンバーを探すことだけを意味します 前の（隣接する）番号に応じて。以下では、進行を処理する他の方法を見ていきます。

この単純なタスクから 1 つの重要な結論を導き出すことができます。

覚えて：

少なくとも 1 つの項と等差数列の違いがわかっていれば、この数列の任意の項を見つけることができます。

覚えていますか？この単純な結論により、このトピックに関する学校のコースの問題のほとんどを解決できます。すべてのタスクは次のことを中心に展開しますメインの3つパラメーター： 等差数列のメンバー、数列の差、数列のメンバーの数。全て。

もちろん、それまでの代数がすべてキャンセルされるわけではありません。）不等式、方程式、その他のものは数列に付加されます。しかし 進行そのものに従って- すべては 3 つのパラメータを中心に展開します。

例として、このトピックに関する人気のあるタスクをいくつか見てみましょう。

2. n=5、d = 0.4、および a 1 = 3.6 の場合、有限等差数列を級数として書きます。

ここではすべてがシンプルです。すべてはすでに与えられています。等差数列のメンバーがどのように数えられるかを覚えて、数えて、書き留める必要があります。タスク条件の「最終」と「」という単語を見逃さないことをお勧めします。 n=5"。顔が完全に青くなるまで数えないようにしてください。) この進行にはメンバーが 5 人しかいません:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

4 = 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

5 = 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

答えを書き留める必要があります。

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

別のタスク:

3. 数値 7 が等差数列 (a n) のメンバーになるかどうかを判断します。 a 1 = 4.1; d = 1.2。

うーん...誰にも分かりません。何かをどうやって判断するのでしょうか？

どうやって... 進行状況をシリーズ形式で書き留めて、そこに 7 があるかどうかを確認してください。数えます：

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

4 = 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

今では私たちがまだ7歳であることがはっきりとわかります すり抜けた 6.5と7.7の間です！ 7 は一連の数字に当てはまらないため、7 は指定された数列のメンバーにはなりません。

答え: いいえ。

そして、これは GIA の実際のバージョンに基づいた問題です。

4. 等差数列のいくつかの連続した項が書き出されます。

...; 15; バツ; 9; 6; ...

これは終わりも始まりもなく書かれたシリーズです。会員番号なしでも違いはありません d。大丈夫です。この問題を解くには、等差数列の意味を理解するだけで十分です。何が可能なのか見てみましょう 知ることこのシリーズから？ 3 つの主なパラメータは何ですか?

会員番号？ここには単一の数字はありません。

ただし、数字が 3 つあり、注意してください。 - 言葉 "一貫性のある"状態で。これは、数値が厳密に順序通りであり、隙間がないことを意味します。この列には2つありますか？隣の既知の数字？はい、あります！これらは 9 と 6 です。したがって、等差数列の差を計算できます。 6から引く前の番号、つまり九：

ほんの些細なことが残っています。 X の前の番号は何になりますか? 15。これは、X が単純な足し算で簡単に見つかることを意味します。等差数列の差を 15 に加算します。

それだけです。答え： x=12

以下の問題を私たち自身で解決します。注: これらの問題は公式に基づいていません。純粋に等差数列の意味を理解するためです。) 一連の数字と文字を書き留めて、見て理解するだけです。

5. a 5 = -3 の場合、等差数列の最初の正の項を見つけます。 d = 1.1。

6. 数字 5.5 は等差数列 (a n) のメンバーであることが知られています。ここで、a 1 = 1.6。 d = 1.3。このメンバーの番号 n を決定します。

7. 等差数列では、a 2 = 4 であることが知られています。 a 5 = 15.1。 3 を見つけます。

8. 等差数列のいくつかの連続した項が書き出されます。

...; 15.6; バツ; 3.4; ...

文字 x で示される数列の項を見つけます。

9. 列車は駅から動き始め、毎分 30 メートルずつ速度を均一に上げました。 5分後の電車の速度はいくらになりますか? 答えをkm/時単位で答えてください。

10. 等差数列では、a 2 = 5 であることが知られています。 a 6 = -5。 1 を見つける.

回答 (混乱中): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

すべてうまくいきましたか？すばらしい！等差数列をさらにマスターできます上級、次のレッスンで説明します。

すべてがうまくいきませんでしたか？問題ない。特別セクション 555 では、これらすべての問題が少しずつ整理されています。) そしてもちろん、そのようなタスクの解決策を一目で明確に、明確に強調表示する簡単な実践的なテクニックが説明されています。

ところで、電車パズルにはつまずきやすい問題が2つあります。 1 つは純粋に進行に関するもので、2 つ目は数学や物理の問題全般に適用されます。これは、ある次元から別の次元への変換です。これらの問題をどのように解決すべきかを示します。

このレッスンでは、等差数列の基本的な意味とその主なパラメータを見ていきました。これで、このトピックに関するほとんどすべての問題を解決できます。追加 d数字に合わせて、シリーズを書けば、すべてが解決します。

このレッスンの例のように、フィンガーソリューションは行の非常に短い部分に適しています。シリーズが長くなると、計算はより複雑になります。たとえば、質問の問題 9 で次のように置き換える場合、 "五分"の上 「35分」問題は大幅に悪化するでしょう。)

また、本質的には単純ですが、計算という点では不合理なタスクもあります。たとえば、次のとおりです。

等差数列 (a n) が与えられます。 a 1 =3 および d=1/6 の場合、121 を求めます。

それで、何回も 1/6 を追加するのですか?! 自殺してもいいの!?

できます。) このようなタスクを 1 分で解決できる簡単な公式を知らない場合。この式は次のレッスンで説明します。そしてこの問題はそこで解決されます。すぐに。）

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ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)

例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。即時検証によるテスト。興味を持って学びましょう!)

関数と導関数について知ることができます。

等差数列上の合計の公式。 Ⅲ． 問題を解決します。 等差数列の和