ev / yatak yaraları/ Fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri nasıl bulunur. İşlev uç noktaları

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri nasıl bulunur? İşlev uç noktaları

Bu hizmet ile şunları yapabilirsiniz: en büyüğünü bul ve en küçük değer fonksiyonlar Word'deki çözümün tasarımı ile bir değişken f(x). f(x,y) fonksiyonu verilmişse, bu nedenle, iki değişkenli fonksiyonun ekstremumunu bulmak gerekir. Ayrıca fonksiyonun artış ve azalma aralıklarını da bulabilirsiniz.

İşlev giriş kuralları:

Tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için gerekli bir koşul

f" 0 (x *) = 0 denklemi gerekli kondisyon tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu, yani. x* noktasında fonksiyonun birinci türevi yok olmalıdır. Fonksiyonun artmadığı veya azalmadığı sabit noktaları x c seçer.

Tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için yeterli koşul

f 0 (x), D kümesine ait x'e göre iki kez türevlenebilir olsun. x* noktasında şu koşul sağlanır:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

O zaman x* noktası, fonksiyonun yerel (küresel) minimumunun noktasıdır.

x* noktasında şu koşul sağlanır:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Bu x* noktası yerel (küresel) bir maksimumdur.

Örnek 1. Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun: segmentte .
Çözüm.

Kritik nokta bir x 1 = 2'dir (f'(x)=0). Bu nokta segmente aittir. (0∉ olduğundan x=0 noktası kritik değildir).
Segmentin uçlarında ve kritik noktada fonksiyonun değerlerini hesaplıyoruz.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Cevap: x=2 için f min = 5 / 2; f max =9 x=1'de

Örnek #2. Daha yüksek dereceli türevleri kullanarak, y=x-2sin(x) fonksiyonunun ekstremumunu bulun.
Çözüm.
Fonksiyonun türevini bulun: y'=1-2cos(x) . Kritik noktaları bulalım: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. y''=2sin(x) buluyoruz, hesaplıyoruz, yani x= π / 3 +2πk, k∈Z fonksiyonun minimum noktalarıdır; , yani x=- π / 3 +2πk, k∈Z fonksiyonun maksimum noktalarıdır.

Örnek #3. x=0 noktasının komşuluğunda ekstremum fonksiyonunu araştırın.
Çözüm. Burada fonksiyonun ekstremumunu bulmak gerekir. Ekstremum x=0 ise, türünü (minimum veya maksimum) bulun. Bulunan noktalar arasında x = 0 yoksa, f(x=0) fonksiyonunun değerini hesaplayın.
Belirli bir noktanın her iki tarafındaki türev işaretini değiştirmediğinde, türevlenebilir fonksiyonlar için bile olası durumlar tükenmez: x 0 noktasının bir tarafında keyfi olarak küçük bir komşuluk için veya her iki tarafta, türev işareti değiştirir. Bu noktalarda, fonksiyonları bir ekstremumda incelemek için başka yöntemler uygulamak gerekir.

Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri nasıl bulunur?

Bunun için iyi bilinen algoritmayı takip ediyoruz:

1 . Bulduk odz fonksiyonları.

2 . Bir fonksiyonun türevini bulma

3 . Türevi sıfıra eşitle

4 . Türevin işaretini koruduğu aralıkları buluyoruz ve onlardan fonksiyonun artış ve azalma aralıklarını belirliyoruz:

I aralığında 0 fonksiyonunun türevi ise title="(!LANG:f^(asal)(x)>0">, то функция !} bu aralıkta artar.

I aralığında fonksiyonun türevi varsa, o zaman fonksiyon bu aralıkta azalır.

5 . Bulduk fonksiyonun maksimum ve minimum noktaları.

AT maksimum nokta fonksiyonu, türev işareti "+"dan "-"ye değiştirir.

AT fonksiyonun minimum noktasıtürev değişiklikleri işareti "-"den "+"ya.

6 . Segmentin sonunda fonksiyonun değerini buluruz,

sonra, segmentin uçlarındaki ve maksimum noktalarındaki fonksiyonun değerini karşılaştırırız ve fonksiyonun en büyük değerini bulmanız gerekiyorsa en büyüğünü seçin
veya fonksiyonun değerini segmentin sonunda ve minimum noktalarda karşılaştırırız ve fonksiyonun en küçük değerini bulmanız gerekiyorsa en küçüğünü seçin

Ancak, fonksiyonun aralıkta nasıl davrandığına bağlı olarak, bu algoritma önemli ölçüde azaltılabilir.

işlevi düşünün . Bu fonksiyonun grafiği şöyle görünür:

Açık Görev Bankası'ndan birkaç problem çözme örneğini ele alalım.

bir . Görev B15 (#26695)

Kesimde.

1. Fonksiyon, x'in tüm gerçek değerleri için tanımlanır

Açıkçası, bu denklemin çözümü yoktur ve türev, x'in tüm değerleri için pozitiftir. Bu nedenle, fonksiyon artar ve aralığın sağ ucundaki en büyük değeri, yani x=0'da alır.

Cevap: 5.

2 . Görev B15 (No. 26702)

Bir fonksiyonun en büyük değerini bulun segment üzerinde.

1.ODZ işlevi title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

'de türev sıfırdır, ancak bu noktalarda işaret değiştirmez:

Bu nedenle, title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} artar ve aralığın sağ ucundaki en büyük değeri alır.

Türevin neden işaret değiştirmediğini açıklığa kavuşturmak için türevin ifadesini aşağıdaki gibi dönüştürüyoruz:

Title="(!LANG:y^(asal)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Cevap: 5.

3. Görev B15 (#26708)

Aralıktaki fonksiyonun en küçük değerini bulun.

1. ODZ işlevleri: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Bu denklemin köklerini trigonometrik bir daireye yerleştirelim.

Aralık iki sayı içerir: ve

İşaretleri koyalım. Bunu yapmak için türevin x=0 noktasındaki işaretini belirleriz: . Noktalardan geçerken ve türev işaret değiştirir.

Fonksiyonun türevinin işaretlerinin değişimini koordinat doğrusu üzerinde gösterelim:

Açıkçası, nokta bir minimum noktadır (türevin işareti "-" den "+" ye değiştirdiği yerde) ve fonksiyonun segmentteki en küçük değerini bulmak için, fonksiyon değerlerini karşılaştırmanız gerekir. minimum nokta ve segmentin sol ucunda, .

Pratik açıdan en ilginç olanı, bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulmak için türevin kullanılmasıdır. Neyle bağlantılı? Kârları maksimize etmek, maliyetleri minimize etmek, optimal ekipman yükünü belirlemek... Yani hayatın birçok alanında bazı parametreleri optimize etme problemini çözmek gerekiyor. Ve bu, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma problemidir.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerinin genellikle, fonksiyonun tüm etki alanı veya etki alanının bir parçası olan bazı X aralığında arandığı belirtilmelidir. X aralığının kendisi bir doğru parçası, açık bir aralık olabilir. , sonsuz bir aralık .

Bu yazımızda en büyük ve en küçük değerleri açık bir şekilde bulmaktan bahsedeceğiz. verilen fonksiyon bir değişken y=f(x) .

Sayfa gezintisi.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri - tanımlar, çizimler.

Kısaca ana tanımlar üzerinde duralım.

Fonksiyonun en büyük değeri , herhangi biri için eşitsizlik doğrudur.

Fonksiyonun en küçük değeri X aralığında y=f(x) böyle bir değer olarak adlandırılır. , herhangi biri için eşitsizlik doğrudur.

Bu tanımlar sezgiseldir: bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri, apsis ile incelenen aralıkta kabul edilen en büyük (en küçük) değerdir.

Sabit noktalar fonksiyonun türevinin kaybolduğu argümanın değerleridir.

En büyük ve en küçük değerleri bulurken neden durağan noktalara ihtiyacımız var? Bu sorunun cevabı Fermat teoremi ile verilmektedir. Bu teoremden türevlenebilir bir fonksiyonun bir noktada ekstremumu (yerel minimum veya yerel maksimum) varsa, bu noktanın durağan olduğu sonucu çıkar. Böylece, fonksiyon genellikle maksimum (en küçük) değerini X aralığında bu aralıktaki durağan noktalardan birinde alır.

Ayrıca bir fonksiyon genellikle bu fonksiyonun birinci türevinin olmadığı ve fonksiyonun kendisinin tanımlandığı noktalarda en büyük ve en küçük değerleri alabilir.

Bu konuyla ilgili en sık sorulan sorulardan birini hemen cevaplayalım: "Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini belirlemek her zaman mümkün müdür?" Hayır her zaman değil. Bazen X aralığının sınırları, fonksiyonun tanım kümesinin sınırlarıyla çakışır veya X aralığı sonsuzdur. Ve sonsuzdaki ve tanım alanının sınırlarındaki bazı fonksiyonlar hem sonsuz büyük hem de sonsuz küçük değerler alabilir. Bu durumlarda, fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri hakkında hiçbir şey söylenemez.

Netlik için grafik bir örnek veriyoruz. Resimlere bakın - ve çok şey netleşecek.

segmentte

İlk şekilde fonksiyon, segment [-6;6] içindeki durağan noktalarda en büyük (max y ) ve en küçük (min y ) değerleri almaktadır.

İkinci şekilde gösterilen durumu düşünün. Segmenti olarak değiştirin. Bu örnekte, fonksiyonun en küçük değeri durağan bir noktada ve en büyüğü - aralığın sağ sınırına karşılık gelen bir apsisi olan bir noktada elde edilir.

Şekil No. 3'te, [-3; 2] segmentinin sınır noktaları, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerine karşılık gelen noktaların apsisleridir.

açık aralıkta

Dördüncü şekilde, fonksiyon açık aralık (-6;6) içindeki durağan noktalarda en büyük (max y ) ve en küçük (min y ) değerleri almaktadır.

Aralıkta, en büyük değer hakkında hiçbir sonuç çıkarılamaz.

sonsuzda

Yedinci şekilde gösterilen örnekte, fonksiyon apsisi x=1 olan durağan bir noktada en büyük değeri (max y ) alır ve en küçük değere (min y ) aralığın sağ sınırında ulaşılır. Eksi sonsuzda, fonksiyonun değerleri asimptotik olarak yaklaşır y=3 .

Aralıkta, işlev en küçük veya en büyük değere ulaşmaz. x=2 sağa doğru meylettiği için fonksiyon değerleri eksi sonsuz olma eğilimindedir (düz çizgi x=2 dikey bir asimptottur) ve apsis artı sonsuz olma eğiliminde olduğu için fonksiyon değerleri asimptotik olarak y=3'e yaklaşır. . Bu örneğin grafik bir gösterimi Şekil 8'de gösterilmektedir.

Segment üzerindeki sürekli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için algoritma.

Bir segment üzerindeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulmamızı sağlayan bir algoritma yazıyoruz.

Fonksiyonun etki alanını buluyoruz ve tüm segmenti içerip içermediğini kontrol ediyoruz.
Birinci türevin bulunmadığı ve segmentte yer alan tüm noktaları buluruz (genellikle bu tür noktalar, modül işaretinin altındaki bir argümana sahip fonksiyonlarda ve güç fonksiyonları kesirli bir rasyonel üs ile). Böyle bir nokta yoksa, bir sonraki noktaya gidin.
Segmente giren tüm durağan noktaları belirliyoruz. Bunu yapmak için sıfıra eşitliyoruz, ortaya çıkan denklemi çözüyoruz ve uygun kökleri seçiyoruz. Sabit nokta yoksa veya hiçbiri segmente girmiyorsa, bir sonraki adıma geçin.
Fonksiyonun değerlerini seçilen durağan noktalarda (varsa), birinci türevin olmadığı noktalarda (varsa) ve ayrıca x=a ve x=b'de hesaplıyoruz.
Fonksiyonun elde edilen değerlerinden en büyük ve en küçüğü seçiyoruz - sırasıyla fonksiyonun istenen maksimum ve en küçük değerleri olacaklar.

Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için bir örnek çözerken algoritmayı analiz edelim.

Örnek.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulun

segmentte;
[-4;-1] aralığında.

Çözüm.

Fonksiyonun alanı, sıfır hariç, yani . Her iki segment de tanım alanına girer.

Fonksiyonun türevini şuna göre buluruz:

Açıkçası, fonksiyonun türevi segmentlerin tüm noktalarında bulunur ve [-4;-1] .

Durağan noktalar denklemden belirlenir. Tek gerçek kök x=2'dir. Bu durağan nokta ilk segmente girer.

İlk durumda, fonksiyonun değerlerini segmentin uçlarında ve durağan bir noktada hesaplıyoruz, yani x=1 , x=2 ve x=4 için:

Bu nedenle, fonksiyonun en büyük değeri x=1'de ulaşılır ve en küçük değer – x=2'de.

İkinci durumda, işlevin değerlerini yalnızca [-4;-1] segmentinin uçlarında hesaplıyoruz (çünkü tek bir sabit nokta içermediğinden):

Bir segment üzerindeki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulma işlemi, bir helikopterde bir cismin (bir fonksiyonun grafiği) etrafında, belirli noktalarda uzun menzilli bir toptan ateş ederek ve aralarından seçim yaparak büyüleyici bir uçuşu andırır. bu noktalar kontrol atışları için çok özel noktalardır. Puanlar belirli bir şekilde ve belirli kurallara göre seçilir. Hangi kurallara göre? Bunun hakkında daha fazla konuşacağız.

eğer fonksiyon y = f(x) segmentte sürekli [ a, b], sonra bu segmente ulaşır en az ve en yüksek değerler . Bu ya içinde olabilir uç noktalar veya segmentin sonunda. Bu nedenle, bulmak en az ve fonksiyonun en büyük değerleri , aralıkta sürekli [ a, b], tüm değerlerini hesaplamanız gerekir. kritik noktalar ve segmentin uçlarında ve ardından en küçüğünü ve en büyüğünü seçin.

Örneğin, fonksiyonun maksimum değerini belirlemek için gerekli olsun. f(x) segmentinde [ a, b] . Bunu yapmak için, üzerinde yatan tüm kritik noktalarını bulun [ a, b] .

kritik nokta olduğu nokta denir fonksiyon tanımlı, ve onun türev ya sıfırdır ya da yoktur. Daha sonra kritik noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplamanız gerekir. Ve son olarak, fonksiyonun değerleri kritik noktalarda ve segmentin sonunda karşılaştırılmalıdır ( f(a) ve f(b) ). Bu sayıların en büyüğü segmentteki fonksiyonun en büyük değeri [a, b] .

bulma sorunu fonksiyonun en küçük değerleri .

Fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini birlikte arıyoruz

Örnek 1. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte [-1, 2] .

Çözüm. Bu fonksiyonun türevini buluyoruz. Türevi sıfıra () eşitleyin ve iki kritik nokta elde edin: ve . Belirli bir segment üzerinde bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için, segmentin uçlarında ve noktasındaki değerlerini hesaplamak yeterlidir, çünkü nokta segmente ait değildir [-1, 2]. Bu fonksiyon değerleri şunlardır: , , . Bunu takip ediyor en küçük fonksiyon değeri(aşağıdaki grafikte kırmızı ile işaretlenmiştir), -7'ye eşit, segmentin sağ ucunda - noktasında ulaşılır ve En büyük(grafikte de kırmızı), kritik noktada 9'a eşittir.

Eğer fonksiyon belirli bir aralıkta sürekli ise ve bu aralık bir segment değilse (ancak örneğin bir aralık ise; bir aralık ile bir segment arasındaki fark: aralığın sınır noktaları aralığa dahil edilmez, ancak segmentin sınır noktaları segmente dahil edilir), daha sonra fonksiyonun değerleri arasında en küçük ve en büyük olmayabilir. Dolayısıyla, örneğin aşağıdaki şekilde gösterilen fonksiyon ]-∞, +∞[ üzerinde süreklidir ve en büyük değere sahip değildir.

Ancak, herhangi bir aralık için (kapalı, açık veya sonsuz), sürekli fonksiyonların aşağıdaki özelliği geçerlidir.

Örnek 4. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte [-1, 3] .

Çözüm. Bu fonksiyonun türevini bölümün türevi olarak buluruz:

Türevi sıfıra eşitleriz, bu bize bir kritik nokta verir: . [-1, 3] aralığına aittir. Belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için, değerlerini segmentin uçlarında ve bulunan kritik noktada buluruz:

Bu değerleri karşılaştıralım. Sonuç: noktada -5/13'e eşit ve en büyük değer noktada 1'e eşittir.

Fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini birlikte aramaya devam ediyoruz.

Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulma konusunda, öğrencilere az önce düşünülenlerden daha karmaşık örnekler vermeyen, yani fonksiyonun bir polinom veya bir kesir olduğu, payın olduğu öğretmenler var. ve paydası polinom olan. Ancak kendimizi bu tür örneklerle sınırlamayacağız, çünkü öğretmenler arasında öğrencileri tam olarak düşündürmeyi sevenler var (türevler tablosu). Bu nedenle logaritma ve trigonometrik fonksiyon kullanılacaktır.

Örnek 6. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte .

Çözüm. Bu fonksiyonun türevini şu şekilde buluruz: ürünün türevi :

Türevi sıfıra eşitleriz, bu da bir kritik nokta verir: . Segmentine aittir. Belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için, değerlerini segmentin uçlarında ve bulunan kritik noktada buluruz:

Tüm eylemlerin sonucu: fonksiyon minimum değerine ulaşır, 0'a eşit, bir noktada ve bir noktada ve en büyük değer eşittir e² , noktada .

Örnek 7. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte .

Çözüm. Bu fonksiyonun türevini buluruz:

Türevi sıfıra eşitleyin:

Tek kritik nokta segmente aittir. Belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için, değerlerini segmentin uçlarında ve bulunan kritik noktada buluruz:

Çözüm: fonksiyon minimum değerine ulaşır, eşit , noktasında ve en büyük değer, eşit , noktasında .

Uygulamalı ekstrem problemlerde en küçük (en büyük) fonksiyon değerlerini bulmak kural olarak minimum (maksimum) bulmaya indirgenir. Ancak, pratik açıdan daha fazla ilgi çeken minimumlar veya maksimumlar değil, elde edildikleri argümanın değerleridir. Uygulanan problemleri çözerken, ek bir zorluk ortaya çıkar - söz konusu fenomeni veya süreci tanımlayan fonksiyonların derlenmesi.

Örnek 8 Kare tabanlı ve üstü açık paralel boru şeklinde 4 kapasiteli bir tank kalaylanmalıdır. Tankı en az malzeme ile kaplamak için boyutları ne olmalıdır?

Çözüm. İzin vermek x- taban tarafı h- tank yüksekliği, S- örtüsüz yüzey alanı, V- hacmi. Tankın yüzey alanı formülle ifade edilir, yani. iki değişkenli bir fonksiyondur. İfade etmek S bir değişkenin fonksiyonu olarak, , nereden olduğu gerçeğini kullanırız. Bulunan ifadeyi yerine koymak h formülün içine S:

Bu fonksiyonu bir ekstremum için inceleyelim. ]0, +∞[ , ve her yerde tanımlanır ve türevlenebilir.

Türevi sıfıra () eşitliyoruz ve kritik noktayı buluyoruz. Ek olarak, 'de türev yoktur, ancak bu değer tanım alanına dahil değildir ve bu nedenle bir uç nokta olamaz. Yani, - tek kritik nokta. İkinciyi kullanarak bir ekstremumun varlığını kontrol edelim. yeterli işaret. İkinci türevi bulalım. İkinci türev sıfırdan büyük olduğunda (). Bunun anlamı, fonksiyon minimuma ulaştığında . Çünkü bu minimum - bu fonksiyonun tek ekstremumu, en küçük değeridir. Bu nedenle, tankın tabanının kenarı 2 m'ye ve yüksekliğine eşit olmalıdır.

Örnek 9 Paragraftan A, demiryolu hattı üzerinde bulunan noktaya İTİBAREN, ondan uzakta ben, mallar taşınmalıdır. Birim mesafe başına bir ağırlık birimini demiryolu ile taşımanın maliyeti eşittir ve karayolu ile eşittir. hangi noktaya Mçizgiler demiryolu malların taşınması için bir otoyol inşa edilmelidir. ANCAK içinde İTİBAREN en ekonomik olanıydı AB demiryolunun düz olduğu varsayılır)?

fonksiyon olsun y=f(X) segmentte sürekli [ bir, b]. Bilindiği gibi böyle bir fonksiyon maksimum ve minimum değerlerine bu aralıkta ulaşır. Fonksiyon bu değerleri ya segmentin bir iç noktasında alabilir [ bir, b] veya segmentin sınırında.

Segment üzerindeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için [ bir, b] gerekli:

1) aralıktaki fonksiyonun kritik noktalarını bulun ( bir, b);

2) bulunan kritik noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayın;

3) segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayın, yani x=a ve x = b;

4) fonksiyonun tüm hesaplanmış değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.

Örnek. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun

segmentte.

Kritik noktaları bulma:

Bu noktalar segmentin içinde yer alır; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

noktada x= 3 ve noktada x= 0.

Dışbükeylik ve bükülme noktası için bir fonksiyonun incelenmesi.

İşlev y = f (x) aranan dışbükey arasında (a, b) , grafiği bu aralığın herhangi bir noktasında çizilen bir teğetin altındaysa ve dışbükey aşağı (içbükey) grafiği teğetin üzerindeyse.

Dışbükeyliğin içbükeylikle değiştirildiği veya bunun tersi olduğu geçiş noktasına denir. dönüm noktası.

Dışbükeylik ve bükülme noktası için çalışma algoritması:

1. İkinci türden kritik noktaları, yani ikinci türevin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktaları bulun.

2. Kritik noktaları sayı doğrusuna aralıklara bölerek koyun. Her aralıkta ikinci türevin işaretini bulun; eğer , o zaman fonksiyon yukarı doğru dışbükey ise, o zaman fonksiyon aşağı doğru dışbükeydir.

3. İkinci tür kritik bir noktadan geçerken işaret değiştirirse ve bu noktada ikinci türev sıfıra eşitse, bu nokta büküm noktasının apsisidir. Ordinatını bulun.

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları. Asimptotlarda bir fonksiyonun incelenmesi.

Tanım. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotu denir. dümdüz Grafiğin herhangi bir noktasından bu çizgiye olan mesafenin, grafik noktasının orijinden sınırsız bir şekilde çıkarılmasıyla sıfıra eğilim gösterme özelliğine sahiptir.

Üç tür asimptot vardır: dikey, yatay ve eğimli.

Tanım. Doğrudan aradı dikey asimptot fonksiyon grafiği y = f(x), fonksiyonun bu noktadaki tek taraflı limitlerinden en az biri sonsuza eşitse, yani

fonksiyonun süreksizlik noktası nerededir, yani tanım alanına ait değildir.

Örnek.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - kırılma noktası.

Tanım. Düz y=A aranan Yatay asimptot fonksiyon grafiği y = f(x) eğer

Örnek.

x
y

Tanım. Düz y=kx +b (k≠ 0) denir eğik asimptot fonksiyon grafiği y = f(x) nerede

Fonksiyonların ve çizimin incelenmesi için genel şema.

Fonksiyon araştırma algoritmasıy = f(x) :

1. Fonksiyonun tanım alanını bulun D (y).

2. Grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını (mümkünse) bulun (ile x= 0 ve y = 0).

3. Çift ve tek fonksiyonları araştırın ( y (‒ x) = y (x) ‒ parite; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ garip).

4. Fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun.

5. Fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulun.

6. Fonksiyonun ekstremumunu bulun.

7. Fonksiyon grafiğinin dışbükeylik (içbükeylik) ve büküm noktalarının aralıklarını bulun.

8. Yapılan araştırmaya dayanarak, fonksiyonun bir grafiğini oluşturun.

Örnek. Fonksiyonu araştırın ve grafiğini çizin.

1) D (y) =

x= 4 - kırılma noktası.

2) Ne zaman x = 0,

(0; – 5) – ile kesişme noktası oy.

saat y = 0,

3) y(‒ x)= işlev Genel görünüm(ne çift ne de tek).

4) Asimptotları araştırıyoruz.

a) dikey

b) yatay

c) eğik asimptotları bulun

‒eğik asimptot denklemi

5) Bu denklemde fonksiyonun monotonluk aralıklarının bulunmasına gerek yoktur.

Bu kritik noktalar, fonksiyonun tüm alanını (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ve (10; +∞) aralıklarında böler. Elde edilen sonuçları aşağıdaki tablo şeklinde sunmakta yarar vardır.