Menü
Ücretsiz
Kayıt
Ev  /  Papillomlar/ Fraktal liste. Fraktallar ve algoritmaları hakkında. Çalışmanın temel sorusu

Fraktal liste. Fraktallar ve algoritmaları hakkında. Çalışmanın temel sorusu

Matematik,
eğer doğru bakarsanız,
yalnızca gerçeği yansıtmaz,
ama aynı zamanda eşsiz bir güzellik.
Bertrand Russell.

Elbette fraktalları duymuşsunuzdur. Bryce3d'ün gerçekliğin kendisinden daha gerçek olan bu nefes kesici resimlerini mutlaka görmüşsünüzdür. Dağlar, bulutlar, ağaç kabuğu - bunların hepsi alışılagelmiş Öklid geometrisinin ötesine geçiyor. Bir kayayı ya da bir adanın sınırlarını düz çizgilerle, dairelerle, üçgenlerle anlatamayız. Ve burada fraktallar yardımımıza koşuyor. Bu tanıdık yabancılar neler? Ne zaman ortaya çıktılar?

Görünüş tarihi.

Fraktal geometrinin ilk fikirleri 19. yüzyılda ortaya çıktı. Cantor, basit bir özyinelemeli (tekrarlayan) prosedür kullanarak çizgiyi bağlantısız noktalardan oluşan bir koleksiyona (Cantor Tozu olarak adlandırılan) dönüştürdü. Bir çizgi alıp ortadaki üçte birlik kısmı kaldırıyor ve ardından aynı şeyi geri kalan bölümlerle tekrarlıyordu. Peano özel bir çizgi çizdi (Şekil No. 1). Peano bunu çizmek için aşağıdaki algoritmayı kullandı.

İlk adımda düz bir çizgi aldı ve onu orijinal çizginin uzunluğundan 3 kat daha kısa olan 9 parçayla değiştirdi (Şekil 1'in 1. ve 2. Kısmı). Daha sonra ortaya çıkan çizginin her bölümü için aynısını yaptı. Ve bu sonsuza kadar devam edecek. Benzersizliği tüm düzlemi doldurmasıdır. Düzlemdeki her nokta için Peano çizgisine ait bir noktanın bulunabileceği kanıtlanmıştır. Peano'nun eğrisi ve Cantor'un tozu sıradan geometrik nesnelerin ötesine geçti. Net bir boyutları yoktu. Cantor'un tozu tek boyutlu bir düz çizgi temelinde inşa edilmiş gibi görünüyordu, ancak noktalardan (boyut 0) oluşuyordu. Ve Peano eğrisi tek boyutlu bir çizgiye dayanarak oluşturuldu ve sonuç bir düzlemdi. Bilimin diğer birçok alanında, çözümleri yukarıda açıklananlara benzer garip sonuçlara (Brown hareketi, hisse senedi fiyatları) yol açan sorunlar ortaya çıktı.

Fraktalların Babası

20. yüzyıla kadar bu tür tuhaf nesnelere ilişkin veriler, onları sistemleştirmeye yönelik herhangi bir girişimde bulunulmadan biriktiriliyordu. Ta ki modern fraktal geometrinin ve fraktal kelimesinin babası Benoit Mandelbrot bunları ele alana kadar. IBM'de matematik analisti olarak çalışırken gürültü üzerine çalıştı. elektronik devreler istatistikler kullanılarak tanımlanamayan. Gerçekleri yavaş yavaş karşılaştırarak matematikte yeni bir yön olan fraktal geometriyi keşfetti.

Fraktal nedir? Mandelbrot, fraktal kelimesini Latince parçalanmış (parçalara bölünmüş) anlamına gelen fractus kelimesinden türetmiştir. Fraktalın tanımlarından biri de parçalardan oluşan ve her biri bütünün daha küçük bir kopyasını (en azından yaklaşık olarak) temsil edecek parçalara bölünebilen geometrik bir şekildir.

Bir fraktalı daha net hayal etmek için, B. Mandelbrot'un klasik hale gelen "Doğanın Fraktal Geometrisi" kitabında verilen bir örneği ele alalım - "Britanya kıyılarının uzunluğu nedir?" Bu sorunun cevabı göründüğü kadar basit değil. Her şey kullanacağımız aletin uzunluğuna bağlıdır. Kıyıyı bir kilometre cetveli kullanarak ölçerek bir miktar uzunluk elde ederiz. Ancak bizim hattımızdan çok daha küçük birçok küçük koy ve yarımadayı özleyeceğiz. Cetvelin boyutunu örneğin 1 metreye düşürerek manzaranın bu detaylarını dikkate alacağız ve buna göre sahilin uzunluğu artacak. Daha ileri gidelim ve milimetre cetvel kullanarak kıyı uzunluğunu ölçelim, milimetreden büyük detayları dikkate alacağız, uzunluk daha da büyük olacaktır. Sonuç olarak, bu kadar basit görünen bir sorunun cevabı herkesi şaşırtabilir - Britanya kıyılarının uzunluğu sonsuzdur.

Boyutlar hakkında biraz.

onun içinde Gündelik Yaşam sürekli boyutlarla karşılaşırız. Yolun uzunluğunu (250 m) tahmin ediyoruz, dairenin alanını (78 m2) buluyoruz ve etiketteki bira şişesinin hacmini (0,33 dm3) arıyoruz. Bu kavram oldukça sezgiseldir ve görünüşe göre açıklama gerektirmemektedir. Doğrunun boyutu 1'dir. Bu, bir referans noktası seçerek bu doğru üzerindeki herhangi bir noktayı 1 sayı kullanarak - pozitif veya negatif - tanımlayabileceğimiz anlamına gelir. Üstelik bu, tüm çizgiler için geçerlidir - daire, kare, parabol vb.

Boyut 2, herhangi bir noktayı iki sayıyla benzersiz şekilde tanımlayabileceğimiz anlamına gelir. İki boyutluluğun düz anlamına geldiğini düşünmeyin. Kürenin yüzeyi de iki boyutludur (genişlik ve boylam gibi açılar olmak üzere iki değer kullanılarak tanımlanabilir).

Matematiksel açıdan bakarsak, boyut şu şekilde belirlenir: tek boyutlu nesneler için, doğrusal boyutlarının iki katına çıkarılması, boyutta (bu durumda uzunlukta) iki kat artışa yol açar (2) ^1).

İki boyutlu nesneler için doğrusal boyutların iki katına çıkarılması, boyutta (örneğin bir dikdörtgenin alanında) dört kat (2^2) artışa neden olur.

3 boyutlu nesneler için doğrusal boyutların iki katına çıkarılması hacimde (2^3) sekiz kat artışa yol açar ve bu böyle devam eder.

Böylece D boyutu, S nesnesinin “boyutunun” artmasının L doğrusal boyutlarındaki artışa bağlı olması temel alınarak hesaplanabilir. D=log(S)/log(L). D=log(2)/log(2)=1 satırı için. D=log(4)/log(2)=2 düzlemi için. Hacim için D=log(8)/log(2)=3. Biraz kafa karıştırıcı olabilir ama genel olarak karmaşık ve anlaşılır değildir.

Bütün bunları neden anlatıyorum? Ve fraktalların örneğin sosislerden nasıl ayrılacağını anlamak için. Peano eğrisinin boyutunu hesaplamaya çalışalım. Böylece, X uzunluğunda üç parçadan oluşan orijinal çizginin yerini üç kat daha kısa 9 parça aldı. Böylece minimum parça 3 kat arttığında tüm doğrunun uzunluğu 9 kat artar ve D=log(9)/log(3)=2 iki boyutlu bir nesnedir!!!

Yani bazı basit nesnelerden (parçalardan) elde edilen bir şeklin boyutu bu nesnelerin boyutundan büyük olduğunda bir fraktalla karşı karşıyayız demektir.

Fraktallar gruplara ayrılır. En büyük gruplar şunlardır:

Geometrik fraktallar.

Fraktalların tarihi burada başladı. Bu tür fraktal basit geometrik yapılarla elde edilir. Genellikle, bu fraktalları oluştururken şunu yaparlar: Fraktalın inşa edileceği temel alınarak bir "tohum" - bir aksiyom - bir dizi bölüm alırlar. Daha sonra bu “tohum”a, onu bir tür geometrik şekle dönüştüren bir dizi kural uygulanır. Daha sonra bu şeklin her bir parçasına aynı kurallar dizisi tekrar uygulanır. Her adımda şekil giderek daha karmaşık hale gelecek ve (en azından zihnimizde) sonsuz sayıda dönüşüm gerçekleştirirsek geometrik bir fraktal elde edeceğiz.

Yukarıda tartışılan Peano eğrisi geometrik bir fraktaldır. Aşağıdaki şekil geometrik fraktalların diğer örneklerini göstermektedir (soldan sağa Koch'un Kar Tanesi, Liszt, Sierpinski Üçgeni).



Kar Tanesi Koch


Çarşaf


Sierpinski üçgeni

Bu geometrik fraktallardan ilki olan Koch kar tanesi oldukça ilginç ve oldukça ünlüdür. Eşkenar üçgen temelinde inşa edilmiştir. ___'nin her biri orijinal _/\_ uzunluğunun 1/3'ü kadar 4 satırla değiştirilen her satır. Böylece her yinelemede eğrinin uzunluğu üçte bir oranında artar. Ve eğer sonsuz sayıda yineleme yaparsak, bir fraktal elde ederiz - sonsuz uzunlukta bir Koch kar tanesi. Sonsuz eğrimizin sınırlı bir alanı kapsadığı ortaya çıktı. Öklid geometrisindeki yöntemleri ve rakamları kullanarak aynısını yapmaya çalışın.

Koch kar tanesinin boyutu (Kar tanesi 3 kat arttığında uzunluğu 4 kat artar) D=log(4)/log(3)=1.2619...

L-Sistemleri geometrik fraktallar oluşturmak için çok uygundur. Bu sistemlerin özü, her biri belirli bir eylemi ve bir dizi sembol dönüştürme kuralını ifade eden belirli bir sistem sembolleri setinin bulunmasıdır. Örneğin Fractint programında L-Systems kullanılarak Koch'un kar tanesinin açıklaması

; Mandelbrot'un Doğanın Fraktal Geometrisi kitabından Adrian Mariano Koç1 ( ;dönme açısını 360/6=60 derece olarak ayarlayın Açı 6 ; İnşaat için ilk çizim Aksiyom F--F--F ; Karakter Dönüşüm Kuralı F=F+F--F+F )

Bu açıklamada sembollerin geometrik anlamları şu şekildedir:

F, bir çizgi çizin + saat yönünde çevirin - saat yönünün tersine çevirin anlamına gelir

Fraktalların ikinci özelliği kendine benzerliktir. Örneğin Sierpinski üçgenini ele alalım. Bunu oluşturmak için eşkenar üçgenin merkezinden bir üçgen "keseriz". Aynı işlemi oluşan üç üçgen için (merkezi olan hariç) tekrarlayalım ve bu şekilde sonsuza kadar devam edelim. Şimdi ortaya çıkan üçgenlerden herhangi birini alıp büyütürsek, bütünün tam bir kopyasını elde edeceğiz. Bu durumda tam bir kendine benzerlikle karşı karşıyayız.

Hemen şunu belirteyim ki bu yazıdaki fraktal çizimlerin büyük bir kısmı Fractint programı kullanılarak elde edilmiştir. Fraktallarla ilgileniyorsanız, bu sizin için mutlaka sahip olunması gereken bir programdır. Onun yardımıyla yüzlerce farklı fraktal oluşturabilir, bunlar hakkında kapsamlı bilgi edinebilir ve hatta fraktalların nasıl ses çıkardığını dinleyebilirsiniz;).

Programın iyi olduğunu söylemek hiçbir şey söylememektir. Harika biri, tek bir şey dışında - En son sürüm 20.0 yalnızca DOS sürümünde mevcuttur:(. Bu programı (en son sürüm 20.0) http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html adresinde bulabilirsiniz.

yorum Yap

Yorumlar

Peki, bir atıştırmalık için ilginç örnek Microsoft Excel A2 ve B2 hücreleri 0 ile 1 arasında aynı değerlere sahiptir. 0,5 değerinin hiçbir etkisi yoktur.

Fratal resim kullanarak program yapmayı başaran herkese merhaba. 2800 mH'lik bir taş üzerinde 100.000 dt yinelemeli 3d max destekli fraktal eğrelti otlarından oluşan bir açıklık oluşturmak için hangi döngü yönteminin benim için en iyi olduğunu kim söyleyebilir?

Yine bir fraktal olan Dragon eğrisini çizmek için bir program içeren bir kaynak kodu var.

Makale harika. Ve Excel muhtemelen bir yardımcı işlemci hatasıdır (son düşük sıradaki basamaklarda)

Fraktal örnek

"Fraktal", matematikçiler tarafından yarım asırdan daha kısa bir süre önce kullanılmaya başlandı ve çok geçmeden, sinerji ve çekiciyle birlikte, genç Deterministik Kaos Teorisinin "üç sütunundan" biri haline geldi ve bugün şimdiden en iyilerden biri olarak kabul ediliyor. Evrenin yapısının temel unsurları.

İLE Latince fractus kelimesi tercüme edilmiştir"kırık" olarak modern Latin dilleri ona "yırtık" anlamını vermiştir. Fraktal, parçası olduğu bütünün aynısı/daha büyüğü olan ve aynı zamanda kendisinin her birini kopyalayan bir şeydir. bileşen. Dolayısıyla “fraktallık”, “her şeyin” bileşenlerine olan sonsuz benzerliğidir, yani her düzeyde kendine benzerliktir. Fraktal dalın her seviyesine "yineleme" adı verilir; tanımlanan veya grafiksel olarak gösterilen sistem ne kadar gelişmişse, gözlemci o kadar fazla fraktal yineleme görür. Bu durumda, bölünmenin meydana geldiği noktaya (örneğin, bir gövdenin dallara ayrılması, bir nehrin iki akıntıya ayrılması vb.) çatallanma noktası denir.

Fraktus terimi açıklamak için 1975 yılında matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından seçilmiştir. Bilimsel keşif ve birkaç yıl sonra - Doğanın Fraktal Geometrisi adlı kitabında konuyu daha geniş bir kitleye yönelik geliştirdikten sonra popüler oldu.

Günümüzde fraktal, yaygın olarak "fraktal sanat" olarak adlandırılan fantastik desenlerin yarattığı fantastik desenler olarak bilinmektedir. bilgisayar programları. Ancak bir bilgisayarın yardımıyla yalnızca güzel soyut resimler değil, aynı zamanda çok inandırıcı doğal manzaralar da (dağlar, nehirler, ormanlar) oluşturabilirsiniz. Aslında bilimin bilime geçiş noktası da burasıdır. gerçek hayat veya tam tersi, eğer bunları ayırmanın genellikle mümkün olduğunu varsayarsak.

Gerçek şu ki fraktal prensibi yalnızca kesin bilimlerdeki keşifleri tanımlamak için uygun değildir. Bu, her şeyden önce doğanın yapısının ve gelişiminin ilkesidir. Çevremizdeki her şey fraktaldır! En belirgin örnek grubu, kolları olan nehirler, kılcal damarlı toplardamar sistemi, yıldırımlar, don desenleri, ağaçlar... Son zamanlarda bilim insanları, testler fraktal teori, deneysel olarak bir ağacın diyagramından bile şu sonuçlara varmanın mümkün olduğuna ikna olduk: orman alanı bu ağaçların yetiştiği yer. Fraktal grupların diğer örnekleri: atom - molekül - gezegen sistemi - Güneş Sistemi- galaksiler - evren... Dakika - saat - gün - hafta - ay - yıl - yüzyıl... Hatta insan topluluğu bile kendisini fraktallık ilkelerine göre düzenler: Ben - aile - klan - milliyet - milliyetler - ırklar.. Bireysel - grup - parti - devlet. Çalışan - departman - departman - işletme - endişe... Farklı dinlerin ilahi panteonları bile, Hıristiyanlık da dahil olmak üzere aynı prensip üzerine inşa edilmiştir: Baba Tanrı - Üçlü - azizler - kilise - inananlar, ilahi panteonların organizasyonundan bahsetmeye bile gerek yok. pagan dinleri.

Hikaye kendine benzer kümelerin ilk kez 19. yüzyılda Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff gibi bilim adamlarının çalışmalarında fark edildiğini belirtiyor, ancak gerçek şu ki pagan Slavlar bize insanların bireysel varoluşu küçük bir ayrıntı olarak anladıklarına dair kanıt bıraktılar. evrenin sonsuzluğunda. Bu, Belarus ve Ukrayna sanat tarihçileri tarafından incelenen, "örümcek" adı verilen bir halk kültürü nesnesidir. Modern "mobil" tarzdaki bir heykelin bir tür prototipidir (parçalar mevcuttur) sürekli hareket birbirlerine göre). "Örümcek" genellikle samandan yapılır, aynı şekle sahip küçük, orta ve büyük elemanlardan oluşur, birbirlerinden asılır, böylece her küçük parça daha büyük olanı ve bir bütün olarak tüm yapıyı tam olarak tekrarlar. Bu tasarım, sanki kişinin evini tüm dünyanın bir unsuru olarak ifade ediyormuşçasına evin ana köşesine asıldı.

Fraktallık teorisi bugün felsefe de dahil olmak üzere her yerde işe yarar; bu teori, her yaşamda ve bir bütün olarak tüm yaşamın fraktal olduğunu, daha fazla olduğunda "çatallanma noktalarının" meydana geldiğini söyler. yüksek seviyeler Gelişim farklı yollar izleyebilir ve insanın “kendini bir seçimle karşı karşıya bulduğu” an, hayatının fraktallarındaki gerçek “çatallanma noktası”dır.

Deterministik Kaos teorisi, her fraktalın gelişiminin sonsuz olmadığını söylüyor. Bilim adamları, belirli bir anda, yinelemelerin büyümesinin durduğu ve fraktalın "daralmaya" başladığı, yavaş yavaş orijinal birim ölçüsüne ulaştığı ve ardından sürecin tekrar bir daire içine girdiğine - nefes alma ve nefes vermeye benzer şekilde - bir sınır geldiğine inanıyor. Doğada sabah ve gecenin, kış ve yazın değişimleri.

Fraktal özellikler bir heves ya da matematikçilerin boş hayal gücünün bir ürünü değildir. Bunları inceleyerek, çevremizdeki nesnelerin ve olayların önemli özelliklerini ayırt etmeyi ve tahmin etmeyi öğreniriz; bunlar daha önce tamamen göz ardı edilmese de, daha sonra gözle yaklaşık olarak niteliksel olarak değerlendirilmiştir. Örneğin, doktorlar karmaşık sinyallerin, ensefalogramların veya kalp üfürümlerinin fraktal boyutlarını karşılaştırarak bazı teşhisleri koyabilirler. ciddi hastalıklar hastaya hala yardım edilebildiği erken bir aşamada. Ayrıca bir analist, modelin başlangıcında önceki fiyat davranışını karşılaştırarak modelin daha sonraki gelişimini öngörebilir ve böylece tahminde büyük hatalardan kaçınabilir.

Fraktalların düzensizliği

Fraktalların ilk özelliği düzensizlikleridir. Bir fraktal bir fonksiyonla tanımlanıyorsa, matematiksel terimlerle düzensizlik özelliği, böyle bir fonksiyonun türevlenebilir olmadığı, yani hiçbir noktada düzgün olmadığı anlamına gelecektir. Aslında bunun piyasayla en doğrudan ilişkisi var. Fiyat dalgalanmaları bazen o kadar değişken ve değişkendir ki birçok yatırımcının kafasını karıştırır. Bizim görevimiz tüm bu kaosu çözmek ve düzene koymak.

Bunu biliyor musun: bu kadar geniş bir çeşitlilik yatırım fırsatları Alpari'nin sağladığı, başka hiçbir Forex brokerinin övünemeyeceği bir özellik.

Fraktalların kendine benzerliği

İkinci özellik, bir fraktalın kendine benzerlik özelliğine sahip bir nesne olduğunu belirtir. Bu, her bir parçası, gelişiminde tüm modelin gelişimini bir bütün olarak tekrarlayan ve gözle görülür değişiklikler olmadan çeşitli ölçeklerde yeniden üretilen yinelemeli bir modeldir. Ancak nesneye ilişkin algımızı önemli ölçüde etkileyebilecek değişiklikler meydana gelir.

Kendine benzerlik, nesnenin karakteristik bir ölçeğe sahip olmadığı anlamına gelir: eğer böyle bir ölçeğe sahip olsaydı, parçanın büyütülmüş bir kopyasını orijinal fotoğraftan hemen ayırt ederdiniz. Kendine benzeyen nesnelerin her zevke uygun sonsuz sayıda ölçeği vardır. Kendine benzerliğin özü aşağıdaki örnekle açıklanabilir. Önünüzde Euclid'in tanımladığı gibi "genişlik olmadan uzunluk" olan "gerçek" bir geometrik çizginin fotoğrafı olduğunu ve bir arkadaşınızla eğlendiğinizi, onun size orijinal fotoğrafı gösterip göstermediğini tahmin etmeye çalıştığınızı hayal edin ( orijinal) veya düz bir çizginin herhangi bir parçasının gerekli sayıda büyütülmüş fotoğrafı. Ne kadar çabalarsanız çabalayın, orijinali parçanın büyütülmüş kopyasından hiçbir zaman ayırt edemeyeceksiniz; düz çizgi her yerinde aynı yapıdadır, kendine benzer, ancak bu olağanüstü özelliği biraz düz çizginin basit yapısı, "doğruluğu" ile gizlenmiştir (Şekil 7).

Aynı şekilde, bir nesnenin fotoğrafını, onun herhangi bir parçasının uygun şekilde büyütülmüş fotoğrafından ayırt edemiyorsanız, o zaman karşınızda kendine benzeyen bir nesne var demektir. En azından bir miktar simetriye sahip olan tüm fraktallar kendine benzerdir. Bu, yapılarının bazı parçalarının belirli uzaysal aralıklarla kesinlikle tekrarlandığı anlamına gelir. Bu nesnelerin herhangi bir nitelikte olabileceği ve görünümleri ve şekillerinin ölçeği ne olursa olsun değişmeden kaldığı açıktır. Kendine benzer bir fraktal örneği:

Finansta bu kavram temelsiz bir soyutlama değil, pratik bir piyasa özdeyişinin teorik olarak yeniden ifade edilmesidir; yani bir hisse senedi veya para biriminin hareketleri, zaman ölçeği ve fiyattan bağımsız olarak yüzeysel olarak benzerdir. Gözlemci söyleyemez dış görünüş Verilerin haftalık, günlük veya saatlik değişikliklerle ilgili olup olmadığını gösteren grafik.

Tabii ki, tüm fraktallar, matematikçilerin ve sanatçıların hayal gücünden doğan, geleceğin fraktal sanat müzesinin harika sergileri kadar düzenli, sonsuzca tekrarlanan bir yapıya sahip değildir. Doğada bulunan birçok fraktal (kayaların ve metallerin fay yüzeyleri, bulutlar, döviz kurları, türbülanslı akışlar, köpük, jeller, kurum parçacıklarının konturları vb.) geometrik benzerlikten yoksundur, ancak her parçada inatla bütünün istatistiksel özelliklerini yeniden üretir. Doğrusal olmayan bir gelişim biçimine sahip fraktallara Mandelbrot tarafından multifraktallar adı verildi. Multifraktal, değişken fraktal boyuta sahip yarı fraktal bir nesnedir. Doğal olarak gerçek nesneler ve süreçler multifraktallar tarafından çok daha iyi tanımlanıyor.

Bu istatistiksel kendi kendine benzerlik veya ortalama olarak kendi kendine benzerlik, fraktalları çeşitli doğal nesnelerden ayırır.

Döviz piyasasındaki kendine benzerliğin bir örneğini ele alalım:

Bu şekillerde, Şekil 2'de farklı bir zaman ölçeğine sahip olmalarına rağmen benzer olduklarını görüyoruz. ve 15 dakikalık ölçek, Şekil 2'de. b haftalık fiyat ölçeği. Gördüğünüz gibi bu alıntılar birbirini mükemmel şekilde tekrarlama özelliğine sahip değil ancak benzer olarak kabul edebiliriz.

En basit fraktallar bile (geometrik olarak kendine benzeyen fraktallar) sıra dışı özelliklere sahiptir. Örneğin, bir von Koch kar tanesinin çevresi sonlu olmasına rağmen sonsuz uzunluktadır (Şekil 9). Ayrıca o kadar dikenlidir ki, konturun herhangi bir noktasında ona teğet çizmek imkansızdır (bir matematikçi, von Koch kar tanesinin hiçbir yerde türevlenebilir olmadığını, yani hiçbir noktada pürüzsüz olmadığını söyleyebilir).

Mandelbrot, kesirli ölçüm sonuçlarının, nesnenin artan düzensizliğinin farklı dereceleri için sabit kaldığını buldu. Yani her düzensizliğin bir düzenliliği (düzenliliği, düzenliliği) vardır. Bir şeye rastgele olmuş gibi davrandığımızda bu, bu rastgeleliğin doğasını anlamadığımızı gösterir. Piyasa açısından bu, aynı tipik oluşumların oluşumunun farklı zaman dilimlerinde gerçekleşmesi gerektiği anlamına gelir. Bir dakikalık grafik, fraktal oluşumunu aylık grafikle aynı şekilde açıklayacaktır. Emtia ve finans piyasalarının grafiklerinde bulunan bu tür “kendi kendine benzerlik”, piyasa eylemlerinin ekonomik, temel analiz davranışından ziyade “doğa” davranışı paradigmasına daha yakın olduğunun tüm işaretlerini göstermektedir.

Bu şekillerde yukarıdakilerin onayını bulabilirsiniz. Solda dakika ölçeğinde bir grafik, sağda ise haftalık ölçekte bir grafik var. İşte farklı fiyat skalalarına sahip Dolar/Yen (Şekil 9 (a)) ve Euro/Dolar (Şekil 9 (b)) döviz çiftleri. JPY/USD döviz çifti, EUR/USD ile karşılaştırıldığında farklı bir volatiliteye sahip olsa da aynı fiyat hareketi yapısını gözlemleyebiliyoruz.

Fraktal boyut

Fraktalların üçüncü özelliği, fraktal nesnelerin Öklid'den farklı bir boyuta (başka bir deyişle topolojik boyuta) sahip olmasıdır. Fraktal boyut, eğrinin karmaşıklığının bir göstergesidir. Farklı fraktal boyutlara sahip alanların değişimini ve sistemin dış ve iç faktörlerden nasıl etkilendiğini analiz ederek sistemin davranışını tahmin etmeyi öğrenebilirsiniz. Ve en önemlisi kararsız koşulları teşhis edin ve tahmin edin.

Mandelbrot, modern matematiğin cephaneliğinde nesnelerin kusurluluğunun uygun bir niceliksel ölçüsünü buldu - konturun kıvrımlılığı, yüzeyin kırışması, hacmin kırılması ve gözenekliliği. İki matematikçi Felix Hausdorff (1868-1942) ve Abram Samoilovich Besikovich (1891-1970) tarafından önerildi. Günümüzde yaratıcılarının (Hausdorff – Besicovich boyutu) – Hausdorff – Besicovitch boyutundaki şanlı isimlerini hak ettiği şekilde taşımaktadır. Boyut nedir ve finansal piyasaların analiziyle ilgili olarak buna neden ihtiyacımız var? Bundan önce yalnızca tek bir boyut türünü biliyorduk - topolojik (Şekil 11). Boyut kelimesinin kendisi bir nesnenin kaç boyutlu olduğunu gösterir. Bir parça veya düz bir çizgi için 1'e eşittir, yani. elimizde tek bir boyut var, o da bir parçanın ya da düz çizginin uzunluğu. Bir düzlem için boyut 2 olacaktır, çünkü iki boyutlu bir boyuta, uzunluğa ve genişliğe sahibiz. Uzay veya hacimsel nesneler için boyut 3'tür: uzunluk, genişlik ve yükseklik.

Şununla bir örneğe bakalım bilgisayar oyunları. Oyun 3D grafiklerle yapılmışsa, mekansal ve üç boyutludur, 2D grafiklerde ise grafikler bir düzlemde tasvir edilmiştir (Şekil 10).

Hausdorff-Besicovitch boyutuyla ilgili en sıra dışı (olağandışı demek daha doğru olur) topolojik boyut gibi yalnızca tamsayı değerleri değil aynı zamanda kesirli değerleri de alabilmesiydi. Düz bir çizgi için bire eşit olan (sonsuz, yarı sonsuz veya sonlu parça), Hausdorff-Besicovitch boyutu kıvrımlılık arttıkça artarken, topolojik boyut çizgide meydana gelen tüm değişiklikleri inatla görmezden gelir.

Boyut, bir setin (örneğin bir çizgi) karmaşıklığını karakterize eder. Eğer bu, topolojik boyutu 1'e (düz çizgi) eşit olan bir eğri ise, o zaman eğri, fraktal boyutu ikiye yaklaşacak kadar sonsuz sayıda bükülme ve dallanma ile karmaşık hale getirilebilir; neredeyse tüm düzlemi dolduracak (Şek. 12)

Değerini artıran Hausdorff-Besicovitch boyutu, topolojik boyutun "kendi yerinde" yapacağı gibi, doğrudan 1'den 2'ye geçerek onu aniden değiştirmez. Hausdorff-Besicovitch boyutu - ve bu ilk bakışta alışılmadık ve şaşırtıcı görünebilir. - kesirli değerler alır: düz bir çizgi için bire eşit, hafif kavisli bir çizgi için 1,15'e, daha kavisli bir çizgi için 1,2'ye, çok kavisli bir çizgi için 1,5'e vb.

Mandelbrot, tam da Hausdorff-Besicovitch boyutunun kesirli, tamsayı olmayan değerler alma yeteneğini özellikle vurgulamak için kendi neolojizmini ortaya attı ve buna fraktal boyut adını verdi. Yani fraktal boyut (yalnızca Hausdorff-Besicovitch değil, diğer herhangi bir boyut), mutlaka tamsayı değerleri değil, aynı zamanda kesirli değerleri de alabilen bir boyuttur.

Doğrusal geometrik fraktallar için boyut, onların kendine benzerliğini karakterize eder. Şekil 2'ye bakalım. Şekil 17 (A), doğru her birinin uzunluğu r = 1/3 olan N=4 parçadan oluşur. Sonuç olarak şu oranı elde ederiz:

D = logN/log(1/r)

Multifraktallardan (doğrusal olmayan) bahsettiğimizde durum tamamen farklıdır. Burada boyut, bir nesnenin benzerliğinin tanımı olarak anlamını yitirir ve kendine benzeyen nesnelerin benzersiz boyutundan çok daha az doğal olan çeşitli genellemelerle tanımlanır.

Döviz piyasasında boyut, fiyat tekliflerinin oynaklığını karakterize edebilir. Her döviz çiftinin fiyat ölçeğinde kendi davranışı vardır. Pound/Dolar çifti için (Şekil 13(a)) durum, Euro/Dolar çiftinden (Şekil 13(b)) daha sakindir. En ilginç olanı, bu para birimlerinin fiyat seviyelerine aynı yapıyla hareket etmesi, ancak boyutlarının farklı olması, bu da gün içi ticareti ve eğitimsiz gözlerden kaçan kalıp değişikliklerini etkileyebiliyor.

İncirde. Şekil 14, bu terimin anlamını daha derinlemesine anlayabilmeniz için boyutu matematiksel modele göre göstermektedir. Her üç resmin de bir döngüyü gösterdiğine dikkat edin. İncirde. ve boyut Şekil 1'de 1.2'dir. b boyutu 1,5'tir ve Şekil 2'de. 1.9'da. Boyut arttıkça nesnenin algılanmasının daha karmaşık hale geldiği ve titreşim genliğinin arttığı görülmektedir.

Finansal piyasalarda boyutluluk, yalnızca fiyat oynaklığının kalitesinde değil, aynı zamanda döngü ayrıntılarının (dalgalar) kalitesinde de yansıtılır. Bu sayede bir dalganın belirli bir zaman ölçeğine ait olup olmadığını ayırt edebileceğiz. İncirde. Şekil 15, Euro/Dolar çiftini günlük fiyat ölçeğinde göstermektedir. Lütfen oluşan döngünün ve yeni, daha büyük bir döngünün başlangıcının açıkça görülebildiğini unutmayın. Saatlik ölçeğe geçip döngülerden birini büyüterek, daha küçük döngüleri ve büyük döngünün bir kısmının D1'de bulunduğunu fark edebiliriz (Şekil 16). Döngülerin detaylandırılması, ör. boyutları, başlangıçtaki koşullardan yola çıkarak durumun gelecekte nasıl gelişebileceğini belirlememize olanak tanır. Şunu söyleyebiliriz: Fraktal boyut, söz konusu kümenin ölçek değişmezliği özelliğini yansıtır.

Değişmezlik kavramı Mandelbrot tarafından “sızdırmazlık maddesi” - ölçeklenebilir, yani Bir nesne değişmezlik özelliğine sahip olduğunda farklı görüntü ölçeklerine sahiptir.

İncirde. Şekil 16'da, A dairesi bir mini döngüyü (ayrıntılı dalga) vurguluyor, B dairesi ise daha büyük bir döngünün dalgasını vurguluyor. Tam olarak boyuttan dolayı TÜM döngüleri her zaman aynı fiyat ölçeğinde belirleyemiyoruz.

Periyodik olmayan döngülerin tanımlanmasındaki sorunlara ve gelişim özelliklerine “Döviz piyasasında döngüler” bölümünde değineceğiz; artık bizim için asıl önemli olan finansal piyasalarda boyutun nasıl ve nerede kendini gösterdiğini anlamaktı.

Dolayısıyla gerçek bir nesnenin klasik modeller şeklinde temsil edilemediği durumlarda model olarak fraktalların kullanıldığını söyleyebiliriz. Bu, doğrusal olmayan ilişkilerle ve verilerin deterministik olmayan (rastgele) doğasıyla uğraştığımız anlamına gelir. İdeolojik anlamda doğrusal olmama, çok değişkenli gelişim yolları, alternatif yollardan seçim yapma olanağı ve belirli bir evrim hızının yanı sıra, evrimsel süreçlerin geri döndürülemezliği anlamına gelir. Matematiksel anlamda doğrusal olmama, ortamın özelliklerine bağlı olarak birden büyük güçlerde veya katsayılarda istenilen miktarları içeren belirli bir tür matematiksel denklem (doğrusal olmayan diferansiyel denklemler) anlamına gelir. Doğrusal olmayan dinamik sistemin basit bir örneği:

Johnny yılda 2 inç büyüyor. Bu sistem Johnny'nin boyunun zamanla nasıl değiştiğini açıklıyor. Johnny'nin bu seneki boyu x(n) olsun. Gelecek yılki büyümesi x(n+1) olarak yazılsın. Daha sonra dinamik sistemi denklem formunda yazabiliriz:

x(n+1) = x(n) + 2.

Görüyor musun? Bu sadece basit bir matematik değil mi? Johnny'nin bugünkü boyunu x(n) = 38 inç olarak girersek, denklemin sağ tarafında Johnny'nin gelecek yılki boyunu x(n+1) = 40 inç olarak elde ederiz:

x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

Denklemde sağdan sola doğru olan harekete iterasyon (tekrarlama) denir. Johnny'nin yeni yüksekliği olan 40 inç'i denklemin doğru tarafına yerleştirerek denklemi tekrar tekrarlayabiliriz (yani x(n) = 40) ve x(n+1) = 42 elde ederiz. Denklemi 3 kere çözersek, 38 inçten başlayarak 3 yıl sonra Johnny'nin boyunu yani 44 inç'i elde ederiz.

Bu deterministik dinamik bir sistemdir. Eğer bunu deterministik olmayan (stokastik) yapmak isteseydik, şöyle bir model yapabilirdik: Johnny yılda yaklaşık 2 inç büyüyor ve denklemi şu şekilde yazabiliriz:

x(n+1) = x(n) + 2 + e

burada e küçük bir hatadır (2'ye göre küçük), bir olasılık dağılımını temsil eder.

Orijinal deterministik denkleme geri dönelim. Orijinal denklem x(n+1) = x(n) + 2 doğrusaldır. Doğrusal, değişkenleri veya sabitleri eklediğiniz veya değişkenleri sabitlerle çarptığınız anlamına gelir. Örneğin, denklem

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

doğrusaldır. Ancak değişkenleri çarparsanız veya birden büyük bir güce yükseltirseniz denklem (sistem) doğrusal olmayacak. Örneğin, denklem

x(n+1) = x(n) 2

doğrusal değildir çünkü x(n) karedir. Denklem

doğrusal değildir çünkü iki değişken x ve y çarpılır.

Klasik modelleri (örneğin trend, regresyon vb.) uyguladığımızda nesnenin geleceğinin benzersiz bir şekilde belirlendiğini söyleriz. tamamen bağlıdır başlangıç ​​koşulları ve açıkça tahmin edilebilir. Bu modellerden birini Excel'de kendiniz çalıştırabilirsiniz. Klasik bir model örneği, sürekli azalan veya artan bir trend olarak gösterilebilir. Ve nesnenin geçmişini (modelleme için başlangıç ​​verileri) bilerek davranışını tahmin edebiliriz. Ve fraktallar, bir nesnenin çeşitli geliştirme seçeneklerine sahip olduğu ve sistemin durumunun, bulunduğu konuma göre belirlendiği durumlarda kullanılır. şu an. Yani kaotik gelişimi simüle etmeye çalışıyoruz. Bankalararası döviz piyasası tam olarak böyle bir sistemdir.

Şimdi, doğal özellikleriyle fraktal dediğimiz şeyi düz bir çizgiden nasıl elde edebileceğinize bakalım.

İncirde. Şekil 17 (A) Koch eğrisini göstermektedir. Uzunluğu = 1 olan bir doğru parçası alalım. hala topolojik bir boyuttur. Şimdi onu üç parçaya böleceğiz (her biri uzunluğun 1 / 3'ü) ve ortadaki üçte birini çıkaracağız. Ancak ortadaki üçte birlik kısmı, eşkenar üçgenin iki tarafı olarak düşünülebilecek iki parçayla (her biri uzunluğun 1/3'ü) değiştireceğiz. Bu ikinci aşama (b) tasarımı Şekil 2'de gösterilmektedir. 17(A). Bu noktada her biri uzunluğun 1/3'ü olan 4 küçük parçamız var, yani tüm uzunluk 4(1/3) = 4/3 olur. Daha sonra bu işlemi 4 küçük satır payının her biri için tekrarlıyoruz. Bu üçüncü aşamadır (c). Bu bize her biri uzunluğun 1/9'u olan 16 daha küçük çizgi payı verecektir. Yani tüm uzunluk artık 16/9 veya (4/3) 2 olur. Sonuç olarak kesirli bir boyut elde ettik. Ancak ortaya çıkan yapıyı düz bir yapıdan ayıran tek şey bu değil. Kendine benzer hale gelmiştir ve herhangi bir noktasına teğet çizmek imkansızdır (Şekil 17 (B)).

İçerik

Matematikte alışılmadık özelliklere sahip kendine benzer kümeler

19. yüzyılın sonlarından itibaren matematikte klasik analiz açısından patolojik özelliklere sahip kendine benzer nesnelerin örnekleri ortaya çıkmıştır. Bunlar aşağıdakileri içerir:

  • Cantor kümesi hiçbir yerde yoğun sayılamayan mükemmel bir kümedir. Prosedürü değiştirerek, hiçbir yerde yoğun olmayan bir pozitif uzunluk kümesi elde edilebilir;
  • Sierpinski üçgeni (“masa örtüsü”) ve Sierpinski halısı, düzlemde yer alan Cantor'un analoglarıdır;
  • Menger'in süngeri, Cantor'un üç boyutlu uzaydaki setinin bir benzeridir;
  • Weierstrass ve van der Waerden'in hiçbir yerde türevlenemeyen sürekli fonksiyon örnekleri;
  • Koch eğrisi, herhangi bir noktada teğeti olmayan, kendisiyle kesişmeyen, sonsuz uzunlukta sürekli bir eğridir;
  • Peano eğrisi - karenin tüm noktalarından geçen sürekli bir eğri;
  • Bir Brown parçacığının yörüngesi de hiçbir yerde 1 olasılıkla türevlenemez. Hausdorff boyutu iki [ ] .

Fraktal eğriler elde etmek için yinelemeli prosedür

Sıkıştırma eşlemelerinin sabit noktaları olarak fraktallar

Kendine benzerlik özelliği matematiksel olarak tam olarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir. Düzlemin daralmalı haritalamaları olsun. Düzlemin tüm kompakt (kapalı ve sınırlı) alt kümelerinin kümesi üzerinde aşağıdaki eşlemeyi göz önünde bulundurun: Ψ : K ↦ ∪ ben = 1 n ψ ben (K) (\displaystyle \Psi \iki nokta üst üste K\mapsto \cup _(i=1)^(n)\psi _(i)(K))

Haritalamanın olduğu gösterilebilir Ψ (\displaystyle \Psi ) Hausdorff metriği ile kompakta kümesindeki bir daralma haritasıdır. Dolayısıyla Banach teoremine göre bu eşlemenin tek bir sabit noktası vardır. Bu sabit nokta bizim fraktalımız olacak.

Yukarıda açıklanan fraktal eğrilerin elde edilmesine yönelik yinelemeli prosedür, bu yapının özel bir durumudur. Tüm ekranları içerir ψ ben , ben = 1 , … , n (\displaystyle \psi _(i),\,i=1,\dots ,n)- benzerlik gösterimleri ve n (\displaystyle n)- jeneratör bağlantılarının sayısı.

Karşılık gelen dinamik sistemlerin davranışına bağlı olarak düzlem noktalarını renklendirerek karmaşık dinamiklere dayalı güzel grafik görüntüler oluşturmak popülerdir. Örneğin Mandelbrot setini tamamlamak için noktaları aspirasyon hızına göre renklendirebilirsiniz. z n (\displaystyle z_(n)) sonsuza kadar (örneğin en küçük sayı olarak tanımlanır) n (\displaystyle n), hangi | z n | (\displaystyle |z_(n)|) sabit bir büyük değeri aşacak bir (\displaystyle A)).

Biyomorflar karmaşık dinamikler üzerine inşa edilmiş ve canlı organizmaları anımsatan fraktallardır.

Stokastik fraktallar

Doğal nesneler genellikle fraktal bir şekle sahiptir. Stokastik (rastgele) fraktallar bunları modellemek için kullanılabilir. Stokastik fraktal örnekleri:

  • düzlemde ve uzayda Brown hareketinin yörüngesi;
  • Bir düzlemde Brown hareketinin yörüngesinin sınırı. 2001 yılında Lawler, Schramm ve Werner, Mandelbrot'un boyutunun 4/3 olduğu hipotezini kanıtladılar.
  • Schramm-Löwner evrimleri, Ising modeli ve süzülme gibi istatistiksel mekaniğin kritik iki boyutlu modellerinde ortaya çıkan uyumlu olarak değişmez fraktal eğrilerdir.
  • Farklı türde rastgeleleştirilmiş fraktallar, yani her adımda rastgele bir parametrenin dahil edildiği yinelemeli bir prosedür kullanılarak elde edilen fraktallar. Plazma, böyle bir fraktalın bilgisayar grafiklerinde kullanılmasına bir örnektir.

Fraktal özelliklere sahip doğal nesneler

Doğal nesneler ( yarı fraktallar) yapının tekrarlarının eksikliği ve yanlışlığı bakımından ideal soyut fraktallardan farklıdır. Doğada bulunan fraktal benzeri yapıların çoğu (bulut sınırları, kıyı şeritleri, ağaçlar, bitki yaprakları, mercanlar, ...) yarı fraktallardır çünkü küçük ölçekte fraktal yapı kaybolur. Canlı bir hücrenin boyutunun ve sonuçta moleküllerin boyutunun getirdiği sınırlamalar nedeniyle doğal yapılar mükemmel fraktallar olamaz.

  • Yaban hayatında:
    • Deniz yıldızı ve kestaneler
    • Çiçekler ve bitkiler (brokoli, lahana)
    • Ağaç taçları ve bitki yaprakları
    • Meyve (ananas)
    • İnsan ve hayvanların dolaşım sistemi ve bronşları
  • Cansız doğada:
    • Coğrafi nesnelerin sınırları (ülkeler, bölgeler, şehirler)
    • Pencere camındaki buzlu desenler
    • Sarkıtlar, dikitler, helisitler.

Başvuru

Doğa Bilimleri

Fizikte fraktallar, türbülanslı sıvı akışı, karmaşık difüzyon-adsorpsiyon süreçleri, alevler, bulutlar ve benzeri gibi doğrusal olmayan süreçleri modellerken doğal olarak ortaya çıkar. Fraktallar, petrokimya gibi gözenekli malzemelerin modellenmesinde kullanılır. Biyolojide popülasyonları modellemek ve sistemleri tanımlamak için kullanılırlar. iç organlar(kan damarları sistemi). Koch eğrisinin oluşturulmasından sonra kapsamı hesaplanırken kullanılması önerildi. kıyı şeridi.

Radyo mühendisliği

Fraktal antenler

Fraktal geometrinin tasarımda kullanılması

70'li yılların sonlarında ortaya çıkan fraktal ve fraktal geometri kavramları, 80'li yılların ortalarından itibaren matematikçiler ve programcılar arasında sağlam bir şekilde yerleşmiştir. Fraktal kelimesi Latince fraktus kelimesinden türemiştir ve parçalardan oluşan anlamına gelir. Benoit Mandelbrot tarafından 1975 yılında ilgilendiği düzensiz fakat kendine benzeyen yapılara atıfta bulunulması önerilmiştir. Fraktal geometrinin doğuşu genellikle Mandelbrot'un 1977'de "Doğanın Fraktal Geometrisi" kitabının yayınlanmasıyla ilişkilendirilir. Çalışmalarında 1875-1925 döneminde aynı alanda çalışan diğer bilim adamlarının bilimsel sonuçlarını kullanmıştır (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Ancak onların çalışmalarını tek bir sistemde birleştirmek ancak bizim zamanımızda mümkün oldu.
Fraktalların günümüzde bilgisayar grafiklerindeki rolü oldukça büyüktür. Örneğin, çok karmaşık şekillerin çizgilerini ve yüzeylerini tanımlamak için birkaç katsayı kullanarak gerektiğinde kurtarmaya gelirler. Bilgisayar grafikleri açısından bakıldığında, yapay bulutlar, dağlar ve deniz yüzeyleri oluşturulurken fraktal geometri vazgeçilmezdir. Aslında görüntüleri doğal olanlara çok benzeyen, Öklidyen olmayan karmaşık nesneleri kolayca temsil etmenin bir yolu bulundu.
Fraktalların temel özelliklerinden biri kendine benzerliktir. En basit durumda, bir fraktalın küçük bir kısmı, tüm fraktal hakkında bilgi içerir. Mandelbrot'un fraktal tanımı şöyledir: "Fraktal, bir anlamda bütüne benzeyen parçalardan oluşan bir yapıdır."

Var Büyük sayı fraktallar adı verilen matematiksel nesneler (Sierpinski üçgeni, Koch kar tanesi, Peano eğrisi, Mandelbrot kümesi ve Lorentz çekicileri). Fraktallar, gerçek dünyanın birçok fiziksel olayını ve oluşumunu büyük bir doğrulukla tanımlar: dağlar, bulutlar, türbülanslı (girdap) akışlar, ağaçların kökleri, dalları ve yaprakları, basit olanlara karşılık gelmekten uzak kan damarları geometrik şekiller. Benoit Mandelbrot ilk kez çığır açan çalışması "Doğanın Fraktal Geometrisi"nde dünyamızın fraktal doğasından bahsetti.
Fraktal terimi, Benoit Mandelbrot tarafından 1977 yılında Fraktallar, Form, Kaos ve Boyut adlı temel çalışmasıyla tanıtıldı. Mandelbrot'a göre fraktal kelimesi, bir fraktalın özünü "kırık", düzensiz bir küme olarak yansıtan Latince fractus - kesirli ve frangere - kırılma kelimelerinden gelir.

Fraktalların sınıflandırılması.

Fraktalların tüm çeşitliliğini sunmak için genel kabul görmüş sınıflandırmalarına başvurmak uygundur. Fraktalların üç sınıfı vardır.

1. Geometrik fraktallar.

Bu sınıfın fraktalları en görsel olanlardır. İki boyutlu durumda, jeneratör adı verilen kesikli bir çizgi (veya üç boyutlu durumda yüzey) kullanılarak elde edilirler. Algoritmanın bir adımında sürekli çizgiyi oluşturan bölümlerin her biri, uygun ölçekte bir jeneratör sürekli çizgisiyle değiştirilir. Bu işlemin sonsuz tekrarı sonucunda geometrik bir fraktal elde edilir.

Bu fraktal nesnelerden birinin örneğini ele alalım: Triadik Koch eğrisi.

Üçlü Koch eğrisinin yapısı.

Uzunluğu 1 olan bir doğru parçası alalım. tohum. Çekirdeği 1/3 uzunluğunda üç eşit parçaya bölelim, orta kısmı atalım ve yerine 1/3 uzunluğunda iki bakladan oluşan kesikli bir çizgi koyalım.

Toplam uzunluğu 4/3 olan 4 bağlantıdan oluşan kırık bir çizgi elde edeceğiz - sözde birinci nesil.

Koch eğrisinin bir sonraki nesline geçmek için her bağlantının orta kısmının atılıp değiştirilmesi gerekir. Buna göre ikinci neslin uzunluğu 16/9, üçüncü neslin uzunluğu ise 64/27 olacaktır. eğer bu süreci sonsuza kadar sürdürürsek sonuç üçlü bir Koch eğrisi olur.

Şimdi üçlü Koch eğrisinin özelliklerini ele alalım ve fraktallara neden “canavar” dendiğini öğrenelim.

Birincisi, bu eğrinin uzunluğu yoktur; gördüğümüz gibi, nesil sayısı arttıkça uzunluğu sonsuza doğru gider.

İkincisi, bu eğriye bir teğet oluşturmak imkansızdır - noktalarının her biri, türevin bulunmadığı bir bükülme noktasıdır - bu eğri düzgün değildir.

Uzunluk ve düzgünlük, hem Öklid geometrisi hem de Lobaçevski ve Riemann geometrisi tarafından incelenen eğrilerin temel özellikleridir. Geleneksel geometrik analiz yöntemlerinin üçlü Koch eğrisine uygulanamadığı ortaya çıktı, bu nedenle Koch eğrisinin bir canavar olduğu ortaya çıktı - geleneksel geometrilerin pürüzsüz sakinleri arasında bir "canavar".

Harter-Haithaway "ejderhasının" inşası.

Başka bir fraktal nesne elde etmek için yapım kurallarını değiştirmeniz gerekir. Şekillendirme elemanının dik açılarla birbirine bağlanmış iki eşit parça olmasına izin verin. Sıfırıncı nesilde birim parçayı bu üretici elemanla açı üstte olacak şekilde değiştiriyoruz. Böyle bir değişiklikle bağlantının ortasının yer değiştirmesi olduğunu söyleyebiliriz. Sonraki nesilleri inşa ederken kural izlenir: soldaki ilk bağlantı, bağlantının ortasının hareket yönünün soluna kaydırılması için bir şekillendirme elemanı ile değiştirilir ve sonraki bağlantıları değiştirirken, bağlantıların yönleri segmentlerin ortalarının yer değiştirmesi değişmeli. Şekil, yukarıda açıklanan prensibe göre oluşturulan eğrinin ilk birkaç neslini ve 11. neslini göstermektedir. N'nin sonsuza doğru yöneldiği eğriye Harter-Haithaway ejderi denir.
Bilgisayar grafiklerinde ağaç ve çalı görüntüleri elde edilirken geometrik fraktalların kullanılması gereklidir. İki boyutlu geometrik fraktallar, üç boyutlu dokular (bir nesnenin yüzeyindeki desenler) oluşturmak için kullanılır.

2. Cebirsel fraktallar

Bu en büyük fraktal grubudur. N boyutlu uzaylarda doğrusal olmayan işlemler kullanılarak elde edilirler. İki boyutlu süreçler en çok çalışılanlardır. Doğrusal olmayan yinelemeli bir süreci ayrı bir dinamik sistem olarak yorumlarken, bu sistemlerin teorisinin terminolojisi kullanılabilir: faz portresi, kararlı durum süreci, çekici vb.
Doğrusal olmayan dinamik sistemlerin birçok kararlı duruma sahip olduğu bilinmektedir. Belirli sayıda yinelemeden sonra dinamik sistemin kendini bulduğu durum, başlangıç ​​durumuna bağlıdır. Bu nedenle, her kararlı durum (veya dedikleri gibi çekici), sistemin mutlaka söz konusu son durumlara düşeceği belirli bir başlangıç ​​durumları bölgesine sahiptir. Böylece sistemin faz uzayı çekicilerin çekim alanlarına bölünmüş olur. Faz uzayı iki boyutlu bir uzay ise, çekim alanları farklı renklerle renklendirilerek bu sistemin renkli faz portresi elde edilebilir (yinelemeli süreç). Renk seçim algoritmasını değiştirerek tuhaf çok renkli desenlere sahip karmaşık fraktal desenler elde edebilirsiniz. Matematikçiler için bir sürpriz, ilkel algoritmalar kullanarak çok karmaşık, önemsiz olmayan yapılar üretme yeteneğiydi.


Mandelbrot kümesi.

Örnek olarak Mandelbrot kümesini ele alalım. Yapım algoritması oldukça basittir ve basit bir yinelemeli ifadeye dayanmaktadır: Z = Z[i] * Z[i] + C, Nerede Zi Ve C- karmaşık değişkenler. Karmaşık düzlemin bir alt kümesi olan dikdörtgen veya kare bölgeden her başlangıç ​​noktası için yinelemeler gerçekleştirilir. Yinelemeli süreç şu ana kadar devam eder: Z[i] merkezi (0,0) noktasında bulunan 2 yarıçaplı dairenin ötesine geçmeyecek (bu, dinamik sistemin çekicisinin sonsuzda olduğu anlamına gelir) veya yeterince fazla sayıda yinelemeden sonra (örneğin, , 200-500) Z[i]çember üzerinde bir noktada birleşecek. Tekrarlama sayısına bağlı olarak Z[i] dairenin içinde kaldıysanız noktanın rengini ayarlayabilirsiniz C(Eğer Z[i] oldukça uzun bir süre dairenin içinde kalır büyük miktar yinelemeler, yineleme süreci durur ve bu tarama noktası siyaha boyanır).

3. Stokastik fraktallar

Fraktalların iyi bilinen bir başka sınıfı da stokastik fraktallardır; bunlar, bazı parametrelerinin yinelemeli bir süreçte rastgele değiştirilmesi durumunda elde edilir. Bu durumda, ortaya çıkan nesneler doğal olanlara çok benzer - asimetrik ağaçlar, engebeli kıyı şeritleri vb. Arazi ve deniz yüzeylerinin modellenmesinde iki boyutlu stokastik fraktallar kullanılır.
Fraktalların başka sınıflandırmaları da vardır; örneğin, fraktalları deterministik (cebirsel ve geometrik) ve deterministik olmayan (stokastik) olarak ayırmak.

Fraktalların kullanımı hakkında

Her şeyden önce fraktallar, en basit formüller ve algoritmaların yardımıyla olağanüstü güzellikte ve karmaşıklıkta resimler elde edildiğinde inanılmaz bir matematik sanatı alanıdır! Oluşturulan görüntülerin dış hatlarında genellikle yapraklar, ağaçlar ve çiçekler görülmektedir.

Fraktalların en güçlü uygulamalarından bazıları bilgisayar grafiklerinde yatmaktadır. Birincisi, bu görüntülerin fraktal olarak sıkıştırılması ve ikincisi manzaraların, ağaçların, bitkilerin oluşturulması ve fraktal dokuların oluşturulmasıdır. Modern fizik ve mekanik, fraktal nesnelerin davranışını incelemeye yeni başlıyor. Ve elbette fraktallar doğrudan matematiğin kendisinde kullanılır.
Fraktal görüntü sıkıştırma algoritmalarının avantajları, paketlenmiş dosyanın çok küçük boyutu ve kısa görüntü kurtarma süresidir. Fraktal paketlenmiş görüntüler pikselleşmeye neden olmadan ölçeklenebilir. Ancak sıkıştırma işlemi uzun zaman ve bazen saatlerce sürüyor. Fraktal kayıplı paketleme algoritması, jpeg formatına benzer şekilde sıkıştırma düzeyini ayarlamanıza olanak tanır. Algoritma, görüntünün bazı küçük parçalara benzeyen büyük parçalarını aramaya dayanmaktadır. Ve çıktı dosyasına yalnızca hangi parçanın benzer olduğu yazılır. Sıkıştırma sırasında genellikle kare bir ızgara kullanılır (parçalar karedir), bu da görüntüyü geri yüklerken hafif bir açısallığa yol açar; altıgen ızgaranın bu dezavantajı yoktur.
Iterated, fraktal ve "dalga" (jpeg gibi) kayıpsız sıkıştırmayı birleştiren yeni bir görüntü formatı olan "Sting" geliştirdi. Yeni format, daha sonra yüksek kaliteli ölçeklendirme olanağı sunan görüntüler oluşturmanıza olanak tanır ve grafik dosyalarının hacmi, sıkıştırılmamış görüntülerin hacminin% 15-20'sidir.
Fraktalların dağlara, çiçeklere ve ağaçlara benzeme eğilimi bazı grafik editörleri tarafından istismar edilmektedir; örneğin, 3D studio MAX'tan fraktal bulutlar, World Builder'daki fraktal dağlar. Fraktal ağaçlar, dağlar ve tüm manzaralar basit formüllerle tanımlanır, programlanması kolaydır ve yaklaşıldığında ayrı üçgenlere ve küplere bölünmez.
Fraktalların matematikte kullanımı göz ardı edilemez. Küme teorisinde, Cantor kümesi hiçbir yerde yoğun olmayan mükemmel kümelerin varlığını kanıtlar; ölçü teorisinde, kendine afin fonksiyon "Cantor'un Merdiveni" tekil bir ölçünün dağılım fonksiyonuna iyi bir örnektir.
Mekanik ve fizikte fraktallar, birçok doğal nesnenin ana hatlarını tekrarlayan benzersiz özelliklerinden dolayı kullanılır. Fraktallar, segment veya çokgen kümelerini (aynı miktarda depolanan veriyle) kullanan yaklaşımlardan daha yüksek doğrulukla ağaçlara, dağ yüzeylerine ve çatlaklara yaklaşık olarak yaklaşmanıza olanak tanır. Fraktal modellerin de doğal nesneler gibi bir “pürüzlülüğü” vardır ve modelin büyütülmesi ne kadar büyük olursa olsun bu özellik korunur. Fraktallar üzerinde tekdüze bir ölçümün varlığı, entegrasyonun, potansiyel teorinin uygulanmasına ve önceden çalışılmış denklemlerde standart nesneler yerine bunların kullanılmasına olanak tanır.
Fraktal yaklaşımla kaos, mavi düzensizlik olmaktan çıkıp ince bir yapıya kavuşuyor. Fraktal bilimi hala çok genç ve önünde büyük bir gelecek var. Fraktalların güzelliği tükenmekten çok uzak ve bize hala birçok başyapıt verecek - hem göze hoş gelen hem de zihne gerçek zevk verenler.

Fraktalların oluşturulması hakkında

Ardışık yaklaşım yöntemi

Bu resme bakıldığında kendine benzeyen bir fraktalı (bu durumda Sierpinski piramidi) nasıl oluşturabileceğinizi anlamak zor değil. Düzenli bir piramit (tetrahedron) almalı, sonra ortasını (oktahedron) kesip dört küçük piramit elde etmeliyiz. Her biriyle aynı işlemi vb. gerçekleştiriyoruz. Bu biraz naif ama net bir açıklama.

Yöntemin özünü daha sıkı bir şekilde ele alalım. Bir miktar IFS sistemi olsun, yani. sıkıştırma haritalama sistemi S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (örneğin, piramidimiz için eşlemeler S i (x)=1/2*x+o i biçimindedir, burada o i şöyledir: tetrahedronun köşeleri, i=1,..,4). Daha sonra Rn'de bir A1 kompakt kümesi seçiyoruz (bizim durumumuzda bir tetrahedron seçiyoruz). Ve A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k) kümelerinin dizisini tümevarımla tanımlarız. Artan k ile A k kümelerinin sistemin istenen çekicisine giderek daha iyi yaklaştığı bilinmektedir. S.

Bu yinelemelerin her birinin bir çekici olduğunu unutmayın. yinelenen yinelenen işlevler sistemi (İngilizce terimi Digraf IFS, RIFS ve ayrıca Grafik yönelimli IFS) ve bu nedenle programımızı kullanarak bunları oluşturmak kolaydır.

Noktadan noktaya veya olasılıksal yöntem

Bu, bilgisayarda uygulanması en kolay yöntemdir. Basit olması açısından düz kendine afin küme durumunu ele alıyoruz. O halde (S

) - bazı afin kasılma sistemi. Ekran S

şu şekilde temsil edilebilir: S

Sabit matris boyutu 2x2 ve o

İki boyutlu vektör sütunu.

  • İlk eşleme S 1'in sabit noktasını başlangıç ​​noktası olarak alalım:
    x:= o1;
    Burada S 1 ,..,Sm sıkıştırmasının tüm sabit noktalarının fraktala ait olması gerçeğinin avantajından yararlanıyoruz. Başlangıç ​​noktası olarak rastgele bir nokta seçebilirsiniz ve bu nokta tarafından oluşturulan noktaların sırası bir fraktal olarak çizilecektir, ancak daha sonra ekranda birkaç ekstra nokta görünecektir.
  • Ekranda geçerli noktayı x=(x 1 ,x 2) olarak işaretleyelim:
    putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
  • 1'den m'ye kadar rastgele bir j sayısı seçelim ve x noktasının koordinatlarını yeniden hesaplayalım:
    j:=Rastgele(m)+1;
    x:=Sj(x);
  • 2. adıma geçiyoruz veya yeterince fazla sayıda yineleme yaptıysak duruyoruz.

Not. Si eşlemelerinin sıkıştırma oranları farklıysa, fraktal eşit olmayan noktalarla doldurulacaktır. Eğer eşlemeler Si benzerse, algoritmayı biraz karmaşıklaştırarak bu durum önlenebilir. Bunu yapmak için, algoritmanın 3. adımında, 1'den m'ye kadar j sayısı p 1 =r 1 s,..,p m =r m s olasılıklarıyla seçilmelidir; burada r i, Si eşlemelerinin sıkıştırma katsayılarını belirtir ve s sayısı (benzerlik boyutu olarak adlandırılır) r 1 s +...+r m s =1 denkleminden bulunur. Bu denklemin çözümü örneğin Newton yöntemiyle bulunabilir.

Fraktallar ve algoritmaları hakkında

Fraktal, Latince "fractus" sıfatından gelir ve çeviride parçalardan oluşan anlamına gelir ve buna karşılık gelen Latince "frangere" fiili, kırmak, yani düzensiz parçalar oluşturmak anlamına gelir. 70'li yılların sonlarında ortaya çıkan fraktal ve fraktal geometri kavramları, 80'li yılların ortalarından itibaren matematikçiler ve programcılar arasında sağlam bir şekilde yerleşmiştir. Bu terim 1975 yılında Benoit Mandelbrot tarafından ilgilendiği düzensiz fakat kendine benzeyen yapılara atıfta bulunmak için icat edildi. Fraktal geometrinin doğuşu genellikle Mandelbrot'un 1977'de "Doğanın Fraktal Geometrisi" kitabının yayınlanmasıyla ilişkilendirilir. Eserlerinde 1875-1925 yılları arasında aynı alanda çalışan diğer bilim adamlarının (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff) bilimsel sonuçlarından yararlanılmıştır.

Ayarlamalar

H.-O.'nun kitabında önerdiği algoritmalarda bazı ayarlamalar yapayım. Peitgen ve P.H. Richter "Fraktalların Güzelliği" M. 1993, tamamen yazım hatalarını ortadan kaldırmak ve süreçlerin anlaşılmasını kolaylaştırmak için, çünkü bunları inceledikten sonra çoğu şey benim için bir sır olarak kaldı. Ne yazık ki bu “anlaşılabilir” ve “basit” algoritmalar sallantılı bir yaşam tarzına öncülük ediyor.

Fraktalların yapısı, z => z 2 +c geri beslemeli karmaşık bir sürecin belirli bir doğrusal olmayan fonksiyonuna dayanmaktadır, çünkü z ve c karmaşık sayılardır, bu durumda z = x + iy, c = p + iq'nin ayrıştırılması gerekir daha gerçekçi hale gelmek için x ve y'ye sıradan adam uçak:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Tüm (x,y) çiftlerinden oluşan bir düzlem sanki sabit değerlermiş gibi düşünülebilir. p ve q ve dinamik olanlarla. İlk durumda, düzlemin tüm (x, y) noktalarının kanuna göre geçilmesi ve yinelemeli süreçten çıkmak için gerekli fonksiyonun tekrar sayısına bağlı olarak renklendirilmesi veya renklendirilmemesi (siyah renk) izin verilen maksimum tekrar sayısı aşıldığında Julia setinin bir görüntüsünü elde edeceğiz. Aksine, başlangıç ​​​​değer çiftini (x, y) belirlersek ve p ve q parametrelerinin dinamik olarak değişen değerleriyle renksel kaderini izlersek, o zaman Mandelbrot kümeleri adı verilen görüntüler elde ederiz.

Fraktalların renklendirilmesine yönelik algoritmalar sorusu üzerine.

Genellikle setin gövdesi siyah bir alan olarak temsil edilir, ancak siyah rengin başka herhangi bir renkle değiştirilebileceği açıktır, ancak bu da biraz ilginç bir sonuçtur. Bir kümenin tüm renklerde renklendirilmiş görüntüsünü elde etmek döngüsel işlemler kullanılarak çözülemeyen bir görevdir çünkü gövdeyi oluşturan kümelerin yineleme sayısı mümkün olan maksimum sayıya eşittir ve her zaman aynıdır. Döngü çıkış koşulunun (z_magnitude) veya buna benzer bir şeyin kontrol edilmesi sonucunu, ancak diğer matematiksel işlemlerle renk numarası olarak kullanarak bir seti farklı renklerde renklendirmek mümkündür.

"Fraktal mikroskop" uygulaması

sınır olayını göstermek.

Çekiciler düzlemde hakimiyet mücadelesine öncülük eden merkezlerdir. Çekiciler arasında gösterişli bir modeli temsil eden bir sınır belirir. Kümenin sınırları içindeki değerlendirme ölçeğini artırarak, doğal dünyada yaygın bir fenomen olan deterministik kaos durumunu yansıtan önemsiz olmayan modeller elde edilebilir.

Coğrafyacılar tarafından incelenen nesneler, sınırları çok karmaşık bir şekilde düzenlenmiş bir sistem oluşturur ve bu nedenle bunların tanımlanması basit bir pratik iş haline gelmez. Doğal kompleksler, bölge uzaklaştıkça üzerindeki etkilerini kaybeden çekiciler olarak hareket eden tipiklik çekirdeklerine sahiptir.

Mandelbrot ve Julia kümeleri için bir fraktal mikroskop kullanarak, değerlendirme ölçeğinden bağımsız olarak eşit derecede karmaşık olan sınır süreçleri ve fenomenler hakkında bir fikir oluşturulabilir ve böylece uzmanın algısını dinamikle buluşmaya hazırlayabilir ve ilk bakışta , uzay ve zamanda kaotik doğal nesne, doğanın fraktal geometrisini anlamak. Rengarenk renkler ve fraktal müzik kesinlikle öğrencilerin zihninde derin bir iz bırakacaktır.

Fraktallara binlerce yayın ve geniş İnternet kaynağı ayrılmıştır, ancak bilgisayar biliminden uzak birçok uzman için bu terim tamamen yeni görünmektedir. Çeşitli bilgi alanlarındaki uzmanların ilgisini çeken fraktallar, bilgisayar bilimleri derslerinde uygun bir yer almalıdır.

Örnekler

SIEPINSKI IZGARA

Bu, Mandelbrot'un fraktal boyutlar ve yineleme kavramlarını geliştirirken denediği fraktallardan biridir. Daha büyük bir üçgenin orta noktaları birleştirilerek oluşturulan üçgenler ana üçgenden kesilerek daha fazla deliği olan bir üçgen oluşturulur. Bu durumda başlatıcı büyük üçgen, şablon ise büyük olana benzer üçgenlerin kesilmesi işlemidir. Sıradan bir tetrahedron kullanarak ve küçük tetrahedronları keserek de bir üçgenin üç boyutlu versiyonunu elde edebilirsiniz. Böyle bir fraktalın boyutu ln3/ln2 = 1,584962501'dir.

Elde etmek üzere Sierpinski halısı, bir kare alın, onu dokuz kareye bölün ve ortadakini kesin. Geri kalan daha küçük kareler için de aynısını yapacağız. Sonunda alanı olmayan ancak sonsuz bağlantılara sahip düz bir fraktal ızgara oluşur. Sierpinski süngeri, mekânsal biçiminde, her bir uçtan uca öğenin sürekli olarak kendi türüyle değiştirildiği, uçtan uca formlardan oluşan bir sisteme dönüştürülür. Bu yapı kemik dokusunun bir bölümüne çok benzer. Bir gün bu tür tekrarlanan yapılar bina yapılarının bir unsuru haline gelecektir. Mandelbrot bunların statik ve dinamiklerinin yakından incelenmeyi hak ettiğine inanıyor.
KOCH EĞRİSİ

Koch eğrisi en tipik deterministik fraktallardan biridir. On dokuzuncu yüzyılda, Georg Kontor ve Karl Weierstrasse'nin çalışmalarını incelerken alışılmadık davranışlara sahip bazı garip eğrilerin tanımlarıyla karşılaşan Helge von Koch adlı bir Alman matematikçi tarafından icat edildi. Başlatıcı düz bir çizgidir. Jeneratör, kenarları daha büyük bölümün uzunluğunun üçte birine eşit olan bir eşkenar üçgendir. Bu üçgenler her parçanın ortasına tekrar tekrar eklenir. Mandelbrot, araştırmasında Koch eğrileriyle kapsamlı deneyler yaptı ve bir tetrahedron kullanarak ve her bir yüzüne daha küçük tetrahedronlar ekleyerek Koch Adaları, Koch Haçları, Koch Kar Taneleri gibi şekiller ve hatta Koch eğrisinin üç boyutlu temsillerini üretti. Koch eğrisinin boyutu ln4/ln3 = 1,261859507'dir.
MANDELBROT FRAKTAL

Bu oldukça sık gördüğünüz Mandelbrot kümesi DEĞİLDİR. Mandelbrot kümesi doğrusal olmayan denklemlere dayanır ve karmaşık bir fraktaldır. Bu nesne ona benzemese de, bu aynı zamanda Koch eğrisinin bir çeşididir. Başlatıcı ve oluşturucu da Koch eğrisi ilkesine dayalı fraktallar oluşturmak için kullanılanlardan farklıdır, ancak fikir aynı kalır. Katılmak yerine eşkenar üçgenler Bir eğri parçasına kareler kareye eklenir. Bu fraktalın her yinelemede ayrılan alanın tam olarak yarısını kaplaması nedeniyle basit fraktal boyutu 3/2 = 1,5'tir.
DARER PENTAGON

Bir fraktal, birbirine sıkıştırılmış bir grup beşgen gibi görünür. Aslında başlatıcı olarak bir beşgen ve jeneratör olarak büyük tarafın küçük tarafa oranının altın orana (1.618033989 veya 1/(2cos72)) tam olarak eşit olduğu ikizkenar üçgenler kullanılarak oluşturulur. . Bu üçgenler her bir beşgenin ortasından kesilerek, bir büyük beşgene yapıştırılmış 5 küçük beşgen gibi görünen bir şekil elde edilir.

Bu fraktalın bir çeşidi, başlatıcı olarak bir altıgen kullanılarak elde edilebilir. Bu fraktal Davut Yıldızı olarak adlandırılıyor ve Koch Kar Tanesi'nin altıgen versiyonuna oldukça benziyor. Darer beşgeninin fraktal boyutu ln6/ln(1+g)'dir; burada g, üçgenin büyük kenarının uzunluğunun küçük kenarının uzunluğuna oranıdır. Bu durumda g Altın Oran yani fraktal boyut yaklaşık 1,86171596'dır. Davut Yıldızı'nın fraktal boyutu ln6/ln3 veya 1.630929754.

Karmaşık fraktallar

Aslında herhangi bir karmaşık fraktalın küçük bir alanını büyütürseniz ve daha sonra aynı işlemi o alanın küçük bir alanıyla yaparsanız, iki büyütme birbirinden önemli ölçüde farklı olacaktır. İki görüntü detay olarak birbirine çok benzeyecek ancak tamamen aynı olmayacak.

Şekil 1. Mandelbrot kümesi yaklaşımı

Örneğin burada gösterilen Mandelbrot kümesinin resimlerini karşılaştırın, bunlardan biri diğerinin belirli bir alanının büyütülmesiyle elde edilmiştir. Gördüğünüz gibi, kesinlikle aynı değiller, ancak her ikisinde de alevli dokunaçların farklı yönlere uzandığı siyah bir daire görüyoruz. Bu elemanlar Mandelbrot kümesinde azalan oranlarda süresiz olarak tekrarlanır.

Deterministik fraktallar doğrusaldır, oysa karmaşık fraktallar doğrusal değildir. Doğrusal olmayan bu fraktallar, Mandelbrot'un doğrusal olmayan dediği şey tarafından üretilir. cebirsel denklemler. İyi örnek ikinci dereceden Mandelbrot ve Julia kümesini oluşturmak için kullanılan denklem olan Zn+1=ZnІ + C sürecidir. Bu matematiksel denklemleri çözmek karmaşık ve sanal sayıları içerir. Denklem karmaşık düzlemde grafiksel olarak yorumlandığında, sonuç, düz çizgilerin eğrilere dönüştüğü ve çeşitli ölçek düzeylerinde deformasyonsuz olmasa da kendine benzerlik etkilerinin ortaya çıktığı garip bir şekildir. Aynı zamanda, bir bütün olarak resmin tamamı öngörülemez ve çok kaotik.

Resimlere baktığınızda da görebileceğiniz gibi, karmaşık fraktallar gerçekten çok karmaşıktır ve bilgisayar yardımı olmadan oluşturulamaz. Renkli sonuçlar elde etmek için bu bilgisayarın güçlü bir matematiksel işlemciye ve yüksek çözünürlüklü bir monitöre sahip olması gerekir. Deterministik fraktalların aksine karmaşık fraktallar 5-10 tekrarda hesaplanmaz. Bilgisayar ekranındaki hemen hemen her nokta ayrı bir fraktal gibidir. Matematiksel işlem sırasında her nokta ayrı bir çizim olarak ele alınır. Her nokta belirli bir değere karşılık gelir. Denklem her nokta için yerleşiktir ve örneğin 1000 yinelemede gerçekleştirilir. Ev bilgisayarları için kabul edilebilir bir zaman diliminde nispeten bozulmamış bir görüntü elde etmek için bir nokta için 250 yinelemenin gerçekleştirilmesi mümkündür.

Bugün gördüğümüz fraktalların çoğu güzel renklidir. Belki de fraktal görüntüler, tam da renk şemaları nedeniyle bu kadar büyük bir estetik önem kazanıyor. Denklem hesaplandıktan sonra bilgisayar sonuçları analiz eder. Sonuçlar sabit kalırsa veya belirli bir değer etrafında dalgalanırsa nokta genellikle siyaha döner. Bir adımdaki değer sonsuza doğru gidiyorsa nokta farklı bir renge, belki mavi veya kırmızıya boyanır. Bu işlem sırasında bilgisayar tüm hareket hızlarına renk atar.

Tipik olarak hızlı hareket eden noktalar kırmızı renkte, daha yavaş olanlar ise sarı renktedir ve bu şekilde devam eder. Karanlık noktalar muhtemelen en kararlı olanlardır.

Karmaşık fraktallar, sonsuz derecede karmaşık olmaları bakımından deterministik fraktallardan farklıdır, ancak yine de çok basit bir formülle oluşturulabilirler. Deterministik fraktallar formül veya denklem gerektirmez. Sadece biraz çizim kağıdı alın ve herhangi bir zorluk yaşamadan 3 veya 4 tekrara kadar bir Sierpinski eleği oluşturabilirsiniz. Bunu bir sürü Julia ile deneyin! İngiltere'nin kıyı şeridinin uzunluğunu ölçmek artık daha kolay!

MANDELBROT SETİ

Şekil 2. Mandelbrot seti

Mandelbrot ve Julia kümeleri muhtemelen karmaşık fraktallar arasında en yaygın olanlardır. Pek çok bilimsel dergide, kitap kapağında, kartpostalda ve bilgisayar ekran koruyucularında bulunabilirler. Benoit Mandelbrot tarafından oluşturulan Mandelbrot kümesi muhtemelen insanların fraktal kelimesini duyduklarında aklına gelen ilk çağrışımdır. Üzerinde yanan ağaç benzeri ve dairesel alanların eklendiği bir tarama makinesini andıran bu fraktal, Zn+1=Zna+C basit formülüyle üretiliyor; burada Z ve C karmaşık sayılar, a ise pozitif bir sayıdır.

En sık görülen Mandelbrot kümesi 2. dereceden Mandelbrot kümesidir yani a = 2'dir. Mandelbrot kümesinin yalnızca Zn+1=ZnІ+C değil aynı zamanda formüldeki üssü herhangi bir sayı olabilen bir fraktal olması pozitif sayı birçok kişiyi yanılttı. Bu sayfada Mandelbrot kümesinin bir örneğini görüyorsunuz. Farklı anlamlar gösterge a.
Şekil 3. a=3.5 noktasında kabarcıkların görünümü

Z=Z*tg(Z+C) süreci de popülerdir. Teğet fonksiyonu dahil edildiğinde sonuç, elmaya benzeyen bir alanla çevrelenmiş bir Mandelbrot kümesidir. Kosinüs fonksiyonu kullanıldığında hava kabarcığı etkileri elde edilir. Kısacası, Mandelbrot setini farklı güzel resimler üretecek şekilde yapılandırmanın sonsuz sayıda yolu vardır.

BİR ÇOK JULIA

Şaşırtıcı bir şekilde Julia kümeleri Mandelbrot kümesiyle aynı formüle göre oluşturulmuştur. Julia kümesi, Fransız matematikçi Gaston Julia tarafından icat edildi ve kümeye adı verildi. Mandelbrot ve Julia kümelerini görsel olarak tanıdıktan sonra ortaya çıkan ilk soru şudur: "Eğer her iki fraktal da aynı formüle göre üretiliyorsa, neden bu kadar farklılar?" İlk önce Julia setinin resimlerine bakın. İşin garibi, Julia setlerinin farklı türleri var. Farklı başlangıç ​​noktaları kullanarak bir fraktal çizerken (yineleme sürecini başlatmak için), farklı görüntüler oluşturulur. Bu yalnızca Julia seti için geçerlidir.

Şekil 4. Julia seti

Resimde görülmese de Mandelbrot fraktalı aslında birçok Julia fraktalının birbirine bağlanmasıdır. Mandelbrot kümesinin her noktası (veya koordinatı) bir Julia fraktalına karşılık gelir. Julia kümeleri, Z=ZI+C denkleminde bu noktalar başlangıç ​​değerleri olarak kullanılarak oluşturulabilir. Ancak bu, Mandelbrot fraktalında bir nokta seçip onu büyütürseniz Julia fraktalını elde edebileceğiniz anlamına gelmez. Bu iki nokta aynıdır, ancak yalnızca matematiksel anlamda. Bu noktayı alıp bu formülü kullanarak hesaplarsanız, Mandelbrot fraktalının belirli bir noktasına karşılık gelen bir Julia fraktalı elde edebilirsiniz.