Logaritmayla basit bir denklem nasıl çözülür? Logaritmik denklemlerin çözümü. Tam Kılavuz (2019)

Logaritmik denklemler. Basitten karmaşığa.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Logaritmik denklem nedir?

Bu logaritmalı bir denklemdir. Şaşırdım, değil mi?) O zaman açıklığa kavuşturacağım. Bu bilinmeyenlerin (x'lerin) ve onlarla ifadelerin bulunduğu bir denklemdir Logaritmaların içinde. Ve sadece orada! Bu önemli.

İşte bazı örnekler logaritmik denklemler :

günlük 3 x = günlük 3 9

günlük 3 (x 2 -3) = günlük 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Peki, anlıyorsun... )

Not! X'li en çeşitli ifadeler bulunur yalnızca logaritmalar dahilinde. Eğer aniden denklemin bir yerinde bir X belirirse dıştan, Örneğin:

log 2 x = 3+x,

bu bir denklem olacak karışık tip. Bu tür denklemlerin çözümü için açık kurallar yoktur. Şimdilik bunları dikkate almayacağız. Bu arada, logaritmaların içinde olduğu denklemler var Sadece sayılar. Örneğin:

Ne söyleyebilirim? Bununla karşılaşırsan şanslısın! Sayılarla logaritma bir miktar. Bu kadar. Böyle bir denklemi çözmek için logaritmanın özelliklerini bilmek yeterlidir. Özel kurallar bilgisi ve özellikle çözüme uyarlanmış teknikler logaritmik denklemler, burada gerekli değil.

Bu yüzden, logaritmik denklem nedir- çözdük.

Logaritmik denklemler nasıl çözülür?

Çözüm logaritmik denklemler- olay aslında çok basit değil. Yani bölümümüz dört... İlgili her türlü konu hakkında yeterli miktarda bilgi gereklidir. Ayrıca bu denklemlerin bir özelliği daha var. Ve bu özellik o kadar önemlidir ki, logaritmik denklemlerin çözümünde güvenle ana problem olarak adlandırılabilir. Bir sonraki dersimizde bu sorunu ayrıntılı olarak ele alacağız.

Şimdilik endişelenmeyin. Doğru yola gideceğiz basitten karmaşığa. Açık spesifik örnekler. Önemli olan basit şeyleri araştırmak ve bağlantıları takip etmekte tembel olmayın, onları oraya koymamın bir nedeni var... Ve her şey sizin için yoluna girecek. Mutlaka.

En temel, en basit denklemlerle başlayalım. Bunları çözmek için logaritma hakkında bir fikre sahip olmanız tavsiye edilir, ancak daha fazlası değil. Hiçbir fikrim yok logaritma, bir karar almak logaritmik denklemler - bir şekilde garip bile... Çok cesur diyebilirim).

En basit logaritmik denklemler.

Bunlar formun denklemleridir:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Çözüm süreci herhangi bir logaritmik denklem logaritmalı bir denklemden logaritmasız bir denkleme geçişten oluşur. En basit denklemlerde bu geçiş tek adımda gerçekleştirilir. Bu yüzden en basitleridir.)

Ve bu tür logaritmik denklemlerin çözülmesi şaşırtıcı derecede kolaydır. Kendin için gör.

İlk örneği çözelim:

günlük 3 x = günlük 3 9

Bu örneği çözmek için neredeyse hiçbir şey bilmenize gerek yok, evet… Tamamen sezgi!) Neye ihtiyacımız var? özellikle bu örneği beğenmediniz mi? Ne-ne... Logaritmalardan hoşlanmıyorum! Sağ. Öyleyse onlardan kurtulalım. Örneğe yakından baktığımızda içimizde doğal bir istek doğuyor... Kesinlikle karşı konulmaz! Logaritmaları tamamen alın ve atın. Ve iyi olan şu ki Olabilmek Yapmak! Matematik izin verir. Logaritmalar kayboluyor cevap:

Harika, değil mi? Bu her zaman yapılabilir (ve yapılmalıdır). Logaritmaları bu şekilde ortadan kaldırmak, logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözmenin ana yollarından biridir. Matematikte bu işleme denir potansiyelizasyon. Elbette bu tür tasfiyelerin kuralları var ama sayıları az. Hatırlamak:

Aşağıdaki durumlarda logaritmaları korkmadan ortadan kaldırabilirsiniz:

a) aynı sayısal tabanlar

c) soldan sağa logaritmalar saftır (herhangi bir katsayı olmadan) ve muhteşem bir izolasyondadır.

Son noktaya açıklık getireyim. Denklemde diyelim ki

log 3 x = 2 log 3 (3x-1)

Logaritmalar kaldırılamaz. Sağdaki ikisi buna izin vermiyor. Katsayı, bilirsiniz... Örnekte

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

Denklemin kuvvetlendirilmesi de imkansızdır. Sol tarafta yalnız logaritma yoktur. İki tane var.

Kısacası denklem şu şekilde görünüyorsa ve yalnızca şu şekilde ise logaritmaları kaldırabilirsiniz:

log a (.....) = log a (.....)

Üç noktanın bulunduğu parantez içinde şunlar olabilir: herhangi bir ifade. Basit, süper karmaşık, her türden. Her neyse. Önemli olan logaritmaları ortadan kaldırdıktan sonra elimizde kalan şey daha basit bir denklem. Elbette doğrusal, ikinci dereceden, kesirli, üstel ve diğer denklemleri logaritma olmadan nasıl çözeceğinizi zaten bildiğiniz varsayılmaktadır.)

Artık ikinci örneği kolayca çözebilirsiniz:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Aslında akılda kararlaştırılmıştır. Potansiyelleştiririz, şunu elde ederiz:

Peki çok mu zor?) Gördüğünüz gibi, logaritmik Denklemin çözümünün bir kısmı sadece logaritmaların ortadan kaldırılmasında... Ve sonra onlarsız kalan denklemin çözümü geliyor. Önemsiz bir mesele.

Üçüncü örneği çözelim:

log 7 (50x-1) = 2

Sol tarafta bir logaritma olduğunu görüyoruz:

Bu logaritmanın, sublogaritmik bir ifade elde etmek için tabanının yükseltilmesi gereken (yani yedi) bir sayı olduğunu hatırlayalım; (50x-1).

Ama bu sayı iki! Denklem'e göre. Yani:

Temelde hepsi bu. Logaritma ortadan kayboldu, Geriye zararsız bir denklem kalıyor:

Bu logaritmik denklemi yalnızca logaritmanın anlamına dayanarak çözdük. Logaritmaları ortadan kaldırmak hala daha kolay mı?) Katılıyorum. Bu arada ikiden logaritma yaparsanız bu örneği yok etme yoluyla çözebilirsiniz. Herhangi bir sayı logaritmaya dönüştürülebilir. Üstelik ihtiyacımız olan şekilde. Logaritmik denklemlerin ve (özellikle!) eşitsizliklerin çözümünde çok faydalı bir teknik.

Bir sayıdan logaritmayı nasıl çıkaracağınızı bilmiyor musunuz? Önemli değil. Bölüm 555 bu tekniği ayrıntılı olarak açıklamaktadır. Bunda ustalaşabilir ve sonuna kadar kullanabilirsiniz! Hata sayısını büyük ölçüde azaltır.

Dördüncü denklem tamamen benzer bir şekilde çözülür (tanım gereği):

Bu kadar.

Bu dersi özetleyelim. Örnekleri kullanarak en basit logaritmik denklemlerin çözümüne baktık. Bu çok önemli. Ve sadece bu tür denklemler testlerde ve sınavlarda göründüğü için değil. Gerçek şu ki, en kötü ve karmaşık denklemler bile mutlaka en basitine indirgenir!

Aslında en basit denklemler çözümün son kısmıdır herhangi denklemler. Ve bu son kısım kesinlikle anlaşılmalıdır! Ve ilerisi. Bu sayfayı sonuna kadar okuduğunuzdan emin olun. Orada bir sürpriz var...)

Artık kendimiz karar veriyoruz. Tabiri caizse iyileşelim...)

Denklemlerin kökünü (veya birden fazla varsa köklerin toplamını) bulun:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

günlük 2 (x 2 +32) = günlük 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

günlük 2 (14x) = günlük 2 7 + 2

Cevaplar (tabii ki darmadağın): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.

Ne, her şey yolunda gitmiyor mu? Olur. Merak etme! Bölüm 555, tüm bu örneklerin çözümünü açık ve ayrıntılı bir şekilde açıklamaktadır. Kesinlikle orada çözeceksin. Ayrıca faydalı pratik teknikleri de öğreneceksiniz.

Her şey yolunda gitti!? Tüm “bir tane kaldı” örnekleri?) Tebrikler!

Acı gerçeği size açıklamanın zamanı geldi. Bu örneklerin başarılı bir şekilde çözülmesi, diğer tüm logaritmik denklemlerin çözümünde başarıyı garanti etmez. Bunun gibi en basit olanları bile. Ne yazık ki.

Gerçek şu ki, herhangi bir logaritmik denklemin çözümü (en temel olanı bile!) aşağıdakilerden oluşur: iki eşit parça. Denklemin çözümü ve ODZ ile çalışma. Bir kısımda uzmanlaştık; denklemin çözümü. O kadar da zor değil Sağ?

Bu ders için DL'nin cevabı hiçbir şekilde etkilemediği örnekleri özel olarak seçtim. Ama herkes benim kadar nazik değil, değil mi?...)

Bu nedenle diğer kısma hakim olmak zorunludur. ODZ. Logaritmik denklemlerin çözümündeki temel problem budur. Ve zor olduğu için değil - bu kısım ilkinden bile daha kolay. Ama çünkü insanlar ODZ'yi unutuyorlar. Veya bilmiyorlar. Ya da her ikisi de). Ve birdenbire düşüyorlar...

Bir sonraki derste bu problemle ilgileneceğiz. O zaman güvenle karar verebilirsiniz herhangi basit logaritmik denklemler ve oldukça sağlam görevlere yaklaşma.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Logaritmik denklemlerin çözümüyle ilgili uzun ders serisinin son videoları. Bu sefer öncelikle logaritmanın ODZ'si ile çalışacağız - bu tür problemleri çözerken çoğu hatanın ortaya çıkmasının nedeni tam olarak tanım alanının yanlış değerlendirilmesinden (veya hatta göz ardı edilmesinden) kaynaklanmaktadır.

Bu kısa video dersinde logaritmalarda toplama ve çıkarma formüllerinin kullanımına bakacağız ve ayrıca birçok öğrencinin sorun yaşadığı kesirli rasyonel denklemleri de ele alacağız.

Ne hakkında konuşacağız? Anlamak istediğim ana formül şuna benzer:

log a (f g ) = log a f + log a g

Bu, çarpımdan logaritma toplamına ve geriye doğru standart bir geçiştir. Muhtemelen bu formülü logaritma çalışmaya başladığınızdan beri biliyorsunuzdur. Ancak bir aksaklık var.

a, f ve g değişkenleri sıradan sayılar olduğu sürece herhangi bir sorun ortaya çıkmaz. Bu formül harika çalışıyor.

Ancak f ve g yerine fonksiyonlar ortaya çıktığı anda, hangi yönde dönüşüm yapılacağına bağlı olarak tanım alanının genişletilmesi veya daraltılması sorunu ortaya çıkar. Kendiniz karar verin: Solda yazılı logaritmada tanım alanı aşağıdaki gibidir:

fg > 0

Ancak sağda yazılan miktarda tanım alanı zaten biraz farklıdır:

f > 0

g > 0

Bu gereksinimler dizisi orijinal gereksinimlerden daha katıdır. İlk durumda f seçeneğinden memnun olacağız.< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 yürütülür).

Yani sol yapıdan sağa doğru gidildiğinde tanım alanının daralması söz konusudur. İlk başta bir toplamımız olsaydı ve onu bir çarpım biçiminde yeniden yazarsak, o zaman tanım alanı genişler.

Başka bir deyişle, ilk durumda köklerimizi kaybedebilir, ikincisinde ise fazladan kök alabiliriz. Gerçek logaritmik denklemleri çözerken bu dikkate alınmalıdır.

Yani, ilk görev:

[Resmin başlığı]

Solda aynı tabanı kullanan logaritmaların toplamını görüyoruz. Bu nedenle bu logaritmalar toplanabilir:

[Resmin başlığı]

Gördüğünüz gibi sağdaki formülü kullanarak sıfırı değiştirdik:

a = log b b a

Denklemimizi biraz daha düzenleyelim:

günlük 4 (x - 5) 2 = günlük 4 1

Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var; log işaretinin üstünü çizebilir ve argümanları eşitleyebiliriz:

(x - 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

Lütfen dikkat: Modül nereden geldi? Tam karenin kökünün modüle eşit olduğunu hatırlatmama izin verin:

[Resmin başlığı]

Daha sonra modüllü klasik denklemi çözeriz:

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x2 = 5 + 1 = 6

İşte iki aday cevabı. Bunlar orijinal logaritmik denklemin çözümü mü? Mümkün değil!

Her şeyi böyle bırakıp cevabı yazmaya hakkımız yok. Logaritmaların toplamını argümanların çarpımının bir logaritması ile değiştirdiğimiz adıma bir göz atın. Sorun şu ki, orijinal ifadelerde fonksiyonlarımız var. Bu nedenle aşağıdakilere ihtiyacınız olmalıdır:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

Ürünü dönüştürüp tam bir kare elde ettiğimizde gereksinimler değişti:

(x - 5) 2 > 0

Bu gereksinim ne zaman karşılanır? Evet, neredeyse her zaman! x − 5 = 0 durumu hariç. Yani eşitsizlik tek bir delinmiş noktaya indirgenecek:

x - 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Gördüğünüz gibi tanımın kapsamı genişledi, dersin başında da bundan bahsetmiştik. Sonuç olarak, ekstra kökler görünebilir.

Bu ekstra köklerin ortaya çıkmasını nasıl önleyebilirsiniz? Çok basit: Elde ettiğimiz köklere bakıyoruz ve bunları orijinal denklemin tanım alanıyla karşılaştırıyoruz. Hadi sayalım:

x (x - 5) > 0

Aralık yöntemini kullanarak çözeceğiz:

x (x - 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Ortaya çıkan sayıları satırda işaretliyoruz. Eşitsizlik katı olduğundan tüm noktalar eksik. 5'ten büyük herhangi bir sayıyı alın ve yerine şunu koyun:

[Resmin başlığı]

(−∞; 0) ∪ (5; ∞) aralıklarıyla ilgileniyoruz. Köklerimizi doğru parçası üzerinde işaretlersek x = 4'ün bize uymadığını görürüz çünkü bu kök orijinal logaritmik denklemin tanım alanının dışında kalır.

Bütünlüğe dönüyoruz, x = 4 kökünün üzerini çiziyoruz ve cevabı yazıyoruz: x = 6. Bu, orijinal logaritmik denklemin son cevabıdır. İşte bu, sorun çözüldü.

İkinci logaritmik denkleme geçelim:

[Resmin başlığı]

Hadi çözelim. İlk terimin bir kesir olduğunu ve ikincisinin aynı kesir olduğunu ancak ters çevrildiğini unutmayın. lgx ifadesinden korkmayın - bu sadece ondalık bir logaritmadır, şunu yazabiliriz:

lgx = günlük 10 x

Tersine çevrilmiş iki kesirimiz olduğundan, yeni bir değişken eklemeyi öneriyorum:

[Resmin başlığı]

Bu nedenle denklemimiz şu şekilde yeniden yazılabilir:

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t - 1) 2 /t = 0.

Gördüğünüz gibi kesrin payı tam karedir. Bir kesrin payı sıfıra eşit olduğunda sıfıra eşit ve payda sıfırdan farklıdır:

(t - 1) 2 = 0; t ≠ 0

İlk denklemi çözelim:

t - 1 = 0;

t = 1.

Bu değer ikinci şartı karşılamaktadır. Dolayısıyla denklemimizi tamamen çözdüğümüzü söyleyebiliriz, ancak yalnızca t değişkenine göre. Şimdi t’nin ne olduğunu hatırlayalım:

[Resmin başlığı]

Oranı bulduk:

logx = 2 logx + 1

2 logx − logx = −1

logx = −1

Bu denklemi kanonik formuna getiriyoruz:

logx = log 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

Sonuç olarak, teoride orijinal denklemin çözümü olan tek bir kök elde ettik. Ancak yine de işi riske atalım ve orijinal denklemin tanım tanım kümesini yazalım:

[Resmin başlığı]

Bu nedenle kökümüz tüm gereksinimleri karşılıyor. Orijinal logaritmik denklemin çözümünü bulduk. Cevap: x = 0,1. Problem çözüldü.

Bugünkü dersimizde tek bir kilit nokta var: Bir çarpımdan toplama ve geriye doğru geçiş formülünü kullanırken, geçişin hangi yöne yapıldığına bağlı olarak tanımın kapsamının daraltılabileceğini veya genişleyebileceğini mutlaka dikkate alın.

Ne olduğunu nasıl anlayabilirim: daralma mı yoksa genişleme mi? Çok basit. Daha önce işlevler bir aradaysa ve şimdi ayrıysa, tanımın kapsamı daralmıştır (çünkü daha fazla gereksinim vardır). Başlangıçta işlevler ayrı ayrı duruyorsa ve şimdi bir aradaysa, o zaman tanım alanı genişletilir (ürüne bireysel faktörlere göre daha az gereksinim dayatılır).

Bu açıklamayı dikkate alarak, ikinci logaritmik denklemin bu dönüşümleri hiç gerektirmediğini, yani argümanları hiçbir yere eklemediğimizi veya çarpmadığımızı belirtmek isterim. Ancak burada, çözümü önemli ölçüde basitleştirebilecek başka bir harika tekniğe dikkatinizi çekmek istiyorum. Bir değişkenin değiştirilmesiyle ilgilidir.

Ancak hiçbir ikamenin bizi tanımın kapsamından kurtarmadığını unutmayın. Bu nedenle tüm kökler bulunduktan sonra tembel olmadık ve ODZ'sini bulmak için orijinal denkleme geri döndük.

Çoğu zaman bir değişkeni değiştirirken öğrenciler t değerini bulup çözümün tamamlandığını düşündüklerinde can sıkıcı bir hata ortaya çıkar. Mümkün değil!

T'nin değerini bulduktan sonra orijinal denkleme dönüp bu harfle tam olarak ne demek istediğimizi görmeniz gerekir. Sonuç olarak, orijinalinden çok daha basit olacak bir denklemi daha çözmemiz gerekiyor.

Yeni bir değişkenin tanıtılmasının amacı tam olarak budur. Orijinal denklemi, her birinin çok daha basit bir çözümü olan iki ara denkleme ayırdık.

"İç içe geçmiş" logaritmik denklemler nasıl çözülür?

Bugün logaritmik denklemleri incelemeye devam edeceğiz ve bir logaritmanın başka bir logaritmanın işareti altında olduğu durumları analiz edeceğiz. Her iki denklemi de kanonik formu kullanarak çözeceğiz.

Bugün logaritmik denklemleri incelemeye devam ediyoruz ve bir logaritmanın diğerinin işareti altında olduğu durumları analiz edeceğiz. Her iki denklemi de kanonik formu kullanarak çözeceğiz. Log a f (x) = b formundaki en basit logaritmik denklemimiz varsa, böyle bir denklemi çözmek için aşağıdaki adımları uyguladığımızı hatırlatmama izin verin. Öncelikle b sayısını değiştirmemiz gerekiyor:

b = log a a b

Not: a b bir argümandır. Benzer şekilde orijinal denklemde argüman f(x) fonksiyonudur. Sonra denklemi yeniden yazar ve şu yapıyı elde ederiz:

log a f (x) = log a a b

Daha sonra üçüncü adımı gerçekleştirebiliriz - logaritma işaretinden kurtulun ve basitçe şunu yazın:

f(x) = a b

Sonuç olarak yeni bir denklem elde ederiz. Bu durumda f(x) fonksiyonuna herhangi bir kısıtlama getirilmemektedir. Mesela onun yerine de olabilir logaritmik fonksiyon. Ve sonra yine logaritmik bir denklem elde edeceğiz ve bunu yine en basit haline indirip kanonik form aracılığıyla çözeceğiz.

Ancak şarkı sözleri yeterli. Asıl sorunu çözelim. Yani, görev numarası 1:

günlük 2 (1 + 3 günlük 2 x ) = 2

Gördüğünüz gibi basit bir logaritmik denklemimiz var. F (x)'in rolü 1 + 3 log 2 x yapısıdır ve b sayısının rolü 2 sayısıdır (a'nın rolü de iki tarafından oynanır). Bu ikisini şu şekilde yeniden yazalım:

İlk iki ikinin bize logaritmanın tabanından geldiğini anlamak önemlidir, yani orijinal denklemde 5 olsaydı, o zaman 2 = log 5 5 2 elde ederdik. Genel olarak taban yalnızca problemde başlangıçta verilen logaritmaya bağlıdır. Ve bizim durumumuzda bu 2 sayısıdır.

Sağdaki ikisinin de aslında bir logaritma olduğunu dikkate alarak logaritmik denklemimizi yeniden yazıyoruz. Şunu elde ederiz:

günlük 2 (1 + 3 günlük 2 x ) = günlük 2 4

Planımızın son adımına geçelim - kanonik formdan kurtulmak. Basitçe kütük işaretlerinin üzerini çizdiğimizi söyleyebilirsiniz. Bununla birlikte, matematiksel açıdan bakıldığında, "günlüğün üzerini çizmek" imkansızdır - argümanları basitçe eşitlediğimizi söylemek daha doğru olacaktır:

1 + 3 log 2 x = 4

Buradan 3 log 2 x'i kolaylıkla bulabiliriz:

3 log 2 x = 3

günlük 2 x = 1

Yine en basit logaritmik denklemi elde ettik, tekrar kanonik forma getirelim. Bunu yapmak için aşağıdaki değişiklikleri yapmamız gerekiyor:

1 = günlük 2 2 1 = günlük 2 2

Üssünde neden iki tane var? Çünkü soldaki kanonik denklemimizde tam olarak 2 tabanına göre bir logaritma var. Bu gerçeği dikkate alarak problemi yeniden yazıyoruz:

günlük 2 x = günlük 2 2

Yine logaritma işaretinden kurtuluyoruz, yani basitçe argümanları eşitliyoruz. Tabanlar aynı olduğundan ve sağda veya solda başka hiçbir ek eylem gerçekleştirilmediğinden bunu yapma hakkımız var:

Bu kadar! Problem çözüldü. Logaritmik denklemin çözümünü bulduk.

Not! Her ne kadar argümanda x değişkeni görünse de (yani tanım alanı için gereklilikler mevcutsa), herhangi bir ek gereklilik yapmayacağız.

Yukarıda söylediğim gibi, değişken yalnızca bir logaritmanın yalnızca bir argümanında görünüyorsa bu kontrol gereksizdir. Bizim durumumuzda x gerçekten yalnızca argümanda ve yalnızca bir log işareti altında görünüyor. Bu nedenle ek kontrollere gerek yoktur.

Ancak bu yönteme güvenmiyorsanız x = 2'nin gerçekten bir kök olduğunu kolayca doğrulayabilirsiniz. Bu sayıyı orijinal denklemde değiştirmek yeterlidir.

Şimdi ikinci denkleme geçelim, biraz daha ilginç:

log 2 (log 1/2 (2x - 1) + log 2 4) = 1

Büyük logaritmanın içindeki ifadeyi f(x) fonksiyonuyla gösterirsek, bugünkü video dersimize başladığımız en basit logaritmik denklemi elde ederiz. Bu nedenle, birimi log 2 2 1 = log 2 2 biçiminde temsil etmemiz gereken kanonik formu uygulayabiliriz.

Büyük denklemimizi yeniden yazalım:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Argümanları eşitleyerek logaritmanın işaretinden uzaklaşalım. Bunu yapmaya hakkımız var çünkü hem solda hem de sağda tabanlar aynı. Ayrıca log 2 4 = 2'ye dikkat edin:

log 1/2 (2x - 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x - 1) = 0

Önümüzde yine log a f (x) = b formunun en basit logaritmik denklemi var. Kanonik forma geçelim yani sıfırı log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1 formunda temsil ediyoruz.

Denklemimizi yeniden yazıyoruz ve argümanları eşitleyerek log işaretinden kurtuluyoruz:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x - 1 = 1

Yine hemen yanıt aldık. Orijinal denklemde yalnızca bir logaritma fonksiyonu bağımsız değişken olarak içerdiğinden ek kontrollere gerek yoktur.

Bu nedenle ek kontrollere gerek yoktur. Bu denklemin tek kökünün x = 1 olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz.

Ancak ikinci logaritmada dört yerine x'in bir fonksiyonu varsa (veya 2x argümanda değil tabandaysa), o zaman tanım alanını kontrol etmek gerekli olacaktır. Aksi takdirde fazladan köklerle karşılaşma ihtimaliniz yüksektir.

Bu ekstra kökler nereden geliyor? Bu noktanın çok iyi anlaşılması gerekiyor. Orijinal denklemlere bir göz atın: x fonksiyonu her yerde logaritma işaretinin altındadır. Sonuç olarak, log 2 x'i yazdığımız için, gereksinimi otomatik olarak x > 0 olarak belirledik. Aksi takdirde, bu girişin hiçbir anlamı yoktur.

Ancak logaritmik denklemi çözdükçe tüm log işaretlerinden kurtulur ve basit yapılar elde ederiz. Artık burada herhangi bir kısıtlama yoktur, çünkü doğrusal fonksiyon x'in herhangi bir değeri için tanımlanır.

Son fonksiyonun her yerde ve her zaman tanımlandığı, ancak orijinal fonksiyonun her yerde ve her zaman tanımlanmadığı bu problem, logaritmik denklemlerin çözümünde sıklıkla ekstra köklerin ortaya çıkmasının nedenidir.

Ancak bir kez daha tekrar ediyorum: Bu yalnızca fonksiyonun birden fazla logaritmada veya bunlardan birinin tabanında olması durumunda gerçekleşir. Bugün ele aldığımız problemlerde prensip olarak tanım alanının genişletilmesinde herhangi bir sorun yoktur.

Farklı gerekçelerle davalar

Bu ders daha karmaşık tasarımlara ayrılmıştır. Günümüz denklemlerindeki logaritmalar artık hemen çözülmeyecek; önce bazı dönüşümlerin yapılması gerekecek.

Birbirinin tam kuvvetleri olmayan tamamen farklı tabanlara sahip logaritmik denklemleri çözmeye başlıyoruz. Bu tür sorunların sizi korkutmasına izin vermeyin; çözülmesi en zor olanlardan daha zor değil basit tasarımlar yukarıda tartıştığımız şey.

Ancak doğrudan sorunlara geçmeden önce, size en basit logaritmik denklemleri kanonik formu kullanarak çözme formülünü hatırlatmama izin verin. Bunun gibi bir sorunu düşünün:

loga f(x) = b

f(x) fonksiyonunun sadece bir fonksiyon olması ve a ve b sayılarının rolünün (herhangi bir x değişkeni olmadan) sayılar olması önemlidir. Elbette, kelimenin tam anlamıyla bir dakika içinde a ve b değişkenleri yerine fonksiyonların olduğu bu tür durumlara bakacağız, ancak bu şimdi bununla ilgili değil.

Hatırladığımız gibi, b sayısının, soldaki aynı a tabanına göre bir logaritma ile değiştirilmesi gerekir. Bu çok basit bir şekilde yapılır:

b = log a a b

Elbette “herhangi bir sayı b” ve “herhangi bir sayı a” kelimeleri tanım kapsamını karşılayan değerler anlamına gelir. Özellikle bu denklemde Hakkında konuşuyoruz yalnızca a > 0 ve a ≠ 1 tabanı.

Bununla birlikte, bu gereklilik otomatik olarak yerine getirilir, çünkü orijinal problem zaten a tabanına göre bir logaritma içerir - bu kesinlikle 0'dan büyük olacaktır ve 1'e eşit olmayacaktır. Bu nedenle logaritmik denklemi çözmeye devam ediyoruz:

log a f (x) = log a a b

Böyle bir gösterime kanonik form denir. Kolaylığı, argümanları eşitleyerek log işaretinden hemen kurtulabilmemizde yatmaktadır:

f(x) = a b

Şimdi değişken tabanlı logaritmik denklemleri çözmek için kullanacağımız teknik budur. O zaman hadi gidelim!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Sıradaki ne? Birisi şimdi doğru logaritmayı hesaplamanız veya bunları aynı tabana indirmeniz veya başka bir şeye ihtiyacınız olduğunu söyleyecektir. Ve aslında, şimdi her iki tabanı da aynı forma getirmemiz gerekiyor - ya 2 ya da 0,5. Ama gelin şu kuralı kesin olarak öğrenelim:

Logaritmik bir denklem şunları içeriyorsa ondalık sayılar, bu kesirleri ondalık gösterimden sıradan olanlara dönüştürdüğünüzden emin olun. Bu dönüşüm çözümü büyük ölçüde basitleştirebilir.

Böyle bir geçiş, herhangi bir eylem veya dönüşüm gerçekleştirilmeden önce bile hemen gerçekleştirilmelidir. Bir göz atalım:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1/2 1/8

Böyle bir kayıt bize ne verir? 1/2 ve 1/8'i negatif üslü kuvvetler olarak temsil edebiliriz:

[Resmin başlığı]

Önümüzde kanonik form var. Argümanları eşitliyoruz ve klasiği elde ediyoruz ikinci dereceden denklem:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Önümüzde Vieta formülleri kullanılarak kolayca çözülebilecek aşağıdaki ikinci dereceden denklem var. Lisede benzer görüntüleri kelimenin tam anlamıyla sözlü olarak görmelisiniz:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Bu kadar! Orijinal logaritmik denklem çözüldü. İki kökümüz var.

Bu durumda tanım kümesini belirlemeye gerek olmadığını hatırlatmama izin verin, çünkü x değişkenli fonksiyon yalnızca bir argümanda mevcuttur. Bu nedenle tanım kapsamı otomatik olarak gerçekleştirilir.

Böylece ilk denklem çözülür. Gelelim ikincisine:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

Şimdi birinci logaritmanın argümanının negatif üssü olan bir kuvvet olarak da yazılabileceğine dikkat edin: 1/2 = 2 −1. Daha sonra denklemin her iki tarafındaki kuvvetleri çıkarıp her şeyi -1'e bölebilirsiniz:

[Resmin başlığı]

Ve şimdi çok şey başardık önemli adım Logaritmik bir denklemin çözümünde. Belki birisi bir şeyi fark etmemiştir o yüzden açıklamama izin verin.

Denklemimize bakın: hem solda hem de sağda bir log işareti var, ancak solda 2 tabanına göre bir logaritma var ve sağda 3 tabanına göre bir logaritma var. Üç, bir tamsayı kuvveti değildir. iki ve tam tersine 2'nin 3 olduğunu tamsayı derece olarak yazamazsınız.

Sonuç olarak bunlar, yalnızca kuvvetlerin eklenmesiyle birbirine indirgenemeyen, farklı tabanlara sahip logaritmalardır. Bu tür problemleri çözmenin tek yolu bu logaritmaların birinden kurtulmaktır. Bu durumda, hala oldukça düşündüğümüz için basit görevler, sağdaki logaritma basitçe hesaplandı ve en basit denklemi elde ettik - tam da bugünkü dersin başında bahsettiğimiz denklemin aynısı.

Sağdaki 2 sayısını log 2 2 2 = log 2 4 olarak temsil edelim. Sonra logaritma işaretinden kurtuluruz ve elimizde ikinci dereceden bir denklem kalır:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x - 2 = 0

Önümüzde sıradan bir ikinci dereceden denklem var, ancak x 2'nin katsayısı birden farklı olduğu için indirgenmiyor. Bu nedenle bunu diskriminant kullanarak çözeceğiz:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

Bu kadar! Her iki kökü de bulduk, bu da orijinal logaritmik denklemin çözümünü elde ettiğimiz anlamına geliyor. Aslında orijinal problemde x değişkenli fonksiyon yalnızca bir argümanda mevcuttur. Sonuç olarak, tanım alanı üzerinde hiçbir ek kontrole gerek yoktur; bulduğumuz her iki kök de kesinlikle tüm olası kısıtlamaları karşılamaktadır.

Bu, bugünkü video dersinin sonu olabilir, ancak sonuç olarak tekrar söylemek isterim: Logaritmik denklemleri çözerken tüm ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürdüğünüzden emin olun. Çoğu durumda bu, çözümlerini büyük ölçüde basitleştirir.

Nadiren, çok nadiren, ondalık kesirlerden kurtulmanın yalnızca hesaplamaları zorlaştırdığı sorunlarla karşılaşırsınız. Ancak bu tür denklemlerde kural olarak ondalık kesirlerden kurtulmaya gerek olmadığı başlangıçta açıktır.

Diğer birçok durumda (özellikle logaritmik denklemleri çözmeye yeni başlıyorsanız), ondalık sayılardan kurtulmaktan ve bunları sıradan sayılara dönüştürmekten çekinmeyin. Çünkü uygulama, bu şekilde sonraki çözümü ve hesaplamaları önemli ölçüde basitleştireceğinizi gösteriyor.

Çözümün incelikleri ve püf noktaları

Bugün daha karmaşık problemlere geçiyoruz ve sayıya değil fonksiyona dayanan logaritmik bir denklemi çözeceğiz.

Ve bu fonksiyon doğrusal olsa bile, çözüm şemasında küçük değişiklikler yapılması gerekecektir; bunun anlamı, logaritmanın tanım alanına dayatılan ek gerekliliklere indirgenmektedir.

Karmaşık görevler

Bu eğitim oldukça uzun olacak. İçinde birçok öğrencinin hata yaptığı, oldukça ciddi iki logaritmik denklemi analiz edeceğiz. Matematik öğretmeni olarak çalışmalarım sırasında sürekli olarak iki tür hatayla karşılaştım:

1. Logaritmanın tanım alanının genişlemesi nedeniyle ekstra köklerin ortaya çıkması. Bu tür rahatsız edici hatalardan kaçınmak için her dönüşümü dikkatle izleyin;
2. Öğrencinin bazı "ince" durumları dikkate almayı unutması nedeniyle kök kaybı - bugün odaklanacağımız durumlar bunlardır.

Bu son ders, logaritmik denklemlere adanmıştır. Uzun olacak, karmaşık logaritmik denklemleri analiz edeceğiz. Rahat olun, kendinize bir çay yapın ve başlayalım.

İlk denklem oldukça standart görünüyor:

log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)

Her iki logaritmanın da birbirinin ters kopyaları olduğunu hemen belirtelim. Harika formülü hatırlayalım:

log a b = 1/log b a

Bununla birlikte, bu formülün a ve b sayıları yerine x değişkeninin fonksiyonları olması durumunda ortaya çıkan bir takım sınırlamaları vardır:

b > 0

1 ≠ a > 0

Bu gereksinimler logaritmanın tabanı için geçerlidir. Öte yandan, bir kesirde 1 ≠ a > 0 olması gerekir, çünkü yalnızca a değişkeni logaritmanın argümanında yer almakla kalmaz (dolayısıyla a > 0), logaritmanın kendisi de kesirin paydasındadır. . Ancak log b 1 = 0 ve paydanın sıfırdan farklı olması gerekir, yani a ≠ 1.

Yani a değişkeni üzerindeki kısıtlamalar devam ediyor. Peki b değişkenine ne olur? Bir yandan taban b > 0'ı, diğer yandan b ≠ 1 değişkenini ima eder, çünkü logaritmanın tabanı 1'den farklı olmalıdır. Toplamda, formülün sağ tarafından 1 ≠ sonucu çıkar. b > 0.

Ancak sorun şu: Sol logaritmayla ilgili olan birinci eşitsizlikte ikinci koşul (b ≠ 1) eksik. Başka bir deyişle, bu dönüşümü gerçekleştirirken yapmamız gerekenler ayrı ayrı kontrol edin, b argümanının birden farklı olduğunu!

Öyleyse kontrol edelim. Formülümüzü uygulayalım:

[Resmin başlığı]

1 ≠ x - 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Yani orijinal logaritmik denklemden, hem a'nın hem de b'nin 0'dan büyük olması ve 1'e eşit olmaması gerektiğini zaten anladık. Bu, logaritmik denklemi kolayca tersine çevirebileceğimiz anlamına gelir:

Yeni bir değişken tanıtmayı öneriyorum:

log x + 1 (x - 0,5) = t

Bu durumda inşaatımız şu şekilde yeniden yazılacaktır:

(t 2 - 1)/t = 0

Payda kareler farkına sahip olduğumuzu unutmayın. Kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak karelerin farkını ortaya çıkarıyoruz:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Bir kesrin payı sıfır ve paydası sıfırdan farklı olduğunda kesir sıfıra eşittir. Ancak pay bir çarpım içerdiğinden her faktörü sıfıra eşitliyoruz:

t1 = 1;

t2 = −1;

t ≠ 0.

Görüldüğü gibi t değişkeninin her iki değeri de bize uygundur. Ancak çözüm burada bitmiyor çünkü t'yi değil x'in değerini bulmamız gerekiyor. Logaritmaya dönersek şunu elde ederiz:

log x + 1 (x - 0,5) = 1;

log x + 1 (x − 0,5) = −1.

Bu denklemlerin her birini kanonik forma koyalım:

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

İlk durumda logaritma işaretinden kurtuluruz ve argümanları eşitleriz:

x - 0,5 = x + 1;

x - x = 1 + 0,5;

Böyle bir denklemin kökleri yoktur, dolayısıyla ilk logaritmik denklemin de kökleri yoktur. Ancak ikinci denklemde her şey çok daha ilginç:

(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Orantıyı çözersek şunu elde ederiz:

(x − 0,5)(x + 1) = 1

Logaritmik denklemleri çözerken tüm ondalık kesirleri sıradan kesirler olarak kullanmanın çok daha uygun olduğunu hatırlatmama izin verin, o yüzden denklemimizi şu şekilde yeniden yazalım:

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

Önümüzde aşağıdaki ikinci dereceden denklem var, Vieta formülleri kullanılarak kolayca çözülebilir:

(x + 3/2) (x - 1) = 0;

x 1 = −1,5;

x 2 = 1.

İki kökümüz var - bunlar orijinal logaritmik denklemi çözmeye adaylar. Aslında cevaba hangi köklerin gireceğini anlamak için asıl soruna dönelim. Şimdi her bir kökümüzün tanım alanına uyup uymadığını kontrol edeceğiz:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.

Bu gereksinimler çifte eşitsizliğe eşdeğerdir:

1 ≠ x > 0,5

Buradan x = −1,5 kökünün bize uymadığını, ancak x = 1'in oldukça uyduğunu hemen görüyoruz. Bu nedenle x = 1 logaritmik denklemin son çözümüdür.

Gelelim ikinci göreve:

günlük x 25 + günlük 125 x 5 = günlük 25 x 625

İlk bakışta tüm logaritmalar öyle görünebilir farklı sebepler ve farklı argümanlar. Bu tür yapılarla ne yapmalı? Öncelikle 25, 5 ve 625 sayılarının 5'in kuvvetleri olduğuna dikkat edin:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Şimdi logaritmanın harika özelliğinden yararlanalım. Önemli olan, bir argümandan güçleri faktörler biçiminde çıkarabilmenizdir:

log a b n = n ∙ log a b

Bu dönüşüm, b'nin bir fonksiyonla değiştirilmesi durumunda da kısıtlamalara tabidir. Ancak bizim için b yalnızca bir sayıdır ve hiçbir ek kısıtlama ortaya çıkmaz. Denklemimizi yeniden yazalım:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

Log işaretini içeren üç terimli bir denklem elde ettik. Ayrıca her üç logaritmanın argümanları eşittir.

Logaritmaları ters çevirerek aynı tabana (5) getirmenin zamanı geldi. b değişkeni bir sabit olduğundan tanım alanında herhangi bir değişiklik meydana gelmez. Hemen yeniden yazıyoruz:

[Resmin başlığı]

Beklendiği gibi paydada da aynı logaritmalar ortaya çıktı. Değişkeni değiştirmenizi öneririm:

log 5 x = t

Bu durumda denklemimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:

Payı yazıp parantezleri açalım:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Kesirimize dönelim. Pay sıfır olmalıdır:

[Resmin başlığı]

Ve payda sıfırdan farklıdır:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Son gereksinimler otomatik olarak yerine getirilir çünkü bunların tümü tam sayılara "bağlıdır" ve tüm yanıtlar irrasyoneldir.

Bu yüzden, kesirli rasyonel denklemçözüldükten sonra t değişkeninin değerleri bulunur. Logaritmik denklemi çözmeye dönelim ve t'nin ne olduğunu hatırlayalım:

[Resmin başlığı]

Bu denklemi kanonik forma indirgeyerek derecesi irrasyonel olan bir sayı elde ederiz. Bunun kafanızı karıştırmasına izin vermeyin; bu tür argümanlar bile eşitlenebilir:

[Resmin başlığı]

İki kökümüz var. Daha doğrusu, adayların iki yanıtı var; bunların tanım alanına uygunluğu açısından kontrol edelim. Logaritmanın tabanı x değişkeni olduğundan aşağıdakilere ihtiyacımız var:

1 ≠ x > 0;

Aynı başarıyla x ≠ 1/125 olduğunu iddia ediyoruz, aksi takdirde ikinci logaritmanın tabanı birliğe dönecektir. Son olarak üçüncü logaritma için x ≠ 1/25.

Toplamda dört kısıtlama aldık:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Şimdi soru şu: Köklerimiz bu gereksinimleri karşılıyor mu? Tabii ki tatmin ediyorlar! Çünkü 5'in herhangi bir kuvveti sıfırdan büyük olacaktır ve x > 0 gereksinimi otomatik olarak karşılanır.

Öte yandan, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3 yani köklerimiz için bu kısıtlamalar (ki bunun üssünde irrasyonel bir sayı olduğunu hatırlatayım) da tatmin olmuşlardır ve her iki cevap da sorunun çözümüdür.

Yani son cevabımız var. Anahtar noktaları Bu problemde iki tane var:

1. Argüman ve taban yer değiştirdiğinde logaritmayı çevirirken dikkatli olun. Bu tür dönüşümler tanımın kapsamına gereksiz kısıtlamalar getirmektedir.
2. Logaritmaları dönüştürmekten korkmayın: bunlar yalnızca tersine çevrilmekle kalmaz, aynı zamanda toplam formülü kullanılarak genişletilebilir ve genellikle logaritmik ifadeleri çözerken üzerinde çalıştığınız formüller kullanılarak değiştirilebilir. Ancak şunu asla unutmayın: Bazı dönüşümler tanımın kapsamını genişletir, bazıları ise daraltır.

Bildiğiniz gibi ifadeleri kuvvetlerle çarparken üsleri daima toplanır (a b *a c = a b+c). Bu matematik kanunu Arşimed tarafından türetildi ve daha sonra 8. yüzyılda matematikçi Virasen tamsayı üslerinden oluşan bir tablo oluşturdu. Logaritmanın daha fazla keşfedilmesine hizmet edenler onlardı. Bu işlevin kullanımına ilişkin örnekler, zahmetli çarpma işlemlerini basit toplama yoluyla basitleştirmeniz gereken hemen hemen her yerde bulunabilir. Bu makaleyi okumaya 10 dakikanızı ayırırsanız size logaritmanın ne olduğunu ve onlarla nasıl çalışılacağını açıklayacağız. Basit ve erişilebilir bir dille.

Matematikte tanım

Logaritma aşağıdaki formun bir ifadesidir: log a b=c, yani negatif olmayan herhangi bir sayının (yani herhangi bir pozitif) “b”nin “a” tabanına göre logaritması, “c” kuvveti olarak kabul edilir. ” sonuçta "b" değerini elde etmek için "a" tabanının yükseltilmesi gerekir. Logaritmayı örneklerle inceleyelim, diyelim ki log 2 8 ifadesi var. Cevap nasıl bulunur? Çok basit, öyle bir güç bulmanız gerekiyor ki 2'den gerekli güce 8 ulaşacaksınız. Kafanızda bazı hesaplamalar yaptıktan sonra 3 sayısını elde ediyoruz! Ve bu doğru çünkü 2 üssü 3 cevabı 8 olarak veriyor.

Logaritma türleri

Pek çok öğrenci ve öğrenci için bu konu karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor, ancak aslında logaritmalar o kadar da korkutucu değil, asıl önemli olan genel anlamlarını anlamak ve özelliklerini ve bazı kurallarını hatırlamaktır. Üç vardır bireysel türler logaritmik ifadeler:

1. Doğal logaritma ln a, burada taban Euler sayısıdır (e = 2,7).
2. Tabanı 10 olan ondalık a.
3. Herhangi bir b sayısının a>1 tabanına göre logaritması.

Bunların her biri, logaritmik teoremler kullanılarak basitleştirme, indirgeme ve ardından tek bir logaritmaya indirgeme dahil olmak üzere standart bir şekilde çözülür. Logaritmaların doğru değerlerini elde etmek için, bunları çözerken özelliklerini ve eylem sırasını hatırlamanız gerekir.

Kurallar ve bazı kısıtlamalar

Matematikte aksiyom olarak kabul edilen, yani tartışmaya konu olmayan ve gerçek olan birçok kural-kısıtlama vardır. Örneğin sayıları sıfıra bölmek mümkün olmadığı gibi, sayılardan çift kök çıkarmak da imkansızdır. negatif sayılar. Logaritmaların da kendi kuralları vardır; bunları takip ederek uzun ve kapsamlı logaritmik ifadelerle bile çalışmayı kolayca öğrenebilirsiniz:

• "a" tabanı her zaman sıfırdan büyük olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır, aksi takdirde ifade anlamını kaybeder, çünkü "1" ve "0" herhangi bir dereceye kadar her zaman değerlerine eşittir;
• a > 0 ise a b >0 ise "c"nin de sıfırdan büyük olması gerektiği ortaya çıkar.

Logaritmalar nasıl çözülür?

Örneğin 10 x = 100 denkleminin cevabını bulma görevi veriliyor. Bu çok kolay, on sayısını artırarak 100'e ulaşacağımız bir kuvvet seçmeniz gerekiyor. Bu elbette 10 2 = 100.

Şimdi bu ifadeyi logaritmik formda gösterelim. Log 10 100 = 2 elde ederiz. Logaritmaları çözerken, belirli bir sayıyı elde etmek için logaritmanın tabanına girmenin gerekli olduğu gücü bulmak için tüm eylemler pratik olarak birleşir.

Bilinmeyen bir derecenin değerini doğru bir şekilde belirlemek için derece tablosuyla nasıl çalışılacağını öğrenmeniz gerekir. Şuna benziyor:

Gördüğünüz gibi, eğer teknik bir aklınız ve çarpım tablosu bilginiz varsa, bazı üsler sezgisel olarak tahmin edilebilir. Ancak için büyük değerler bir derece tablosuna ihtiyacınız olacak. Karmaşık matematik konuları hakkında hiçbir şey bilmeyen kişiler tarafından bile kullanılabilir. Sol sütun sayıları içerir (a tabanı), sayıların üst satırı a sayısının yükseltildiği c kuvvetinin değeridir. Kesişme noktasında hücreler cevap olan sayı değerlerini içerir (a c =b). Mesela 10 rakamının olduğu ilk hücreyi alıp karesini alalım, iki hücremizin kesişiminde gösterilen 100 değerini elde ederiz. Her şey o kadar basit ve kolaydır ki en gerçek hümanist bile anlayacaktır!

Denklemler ve eşitsizlikler

Belirli koşullar altında üssün logaritma olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle herhangi bir matematiksel sayısal ifade logaritmik eşitlik olarak yazılabilir. Örneğin 3 4 =81, 81'in 3 tabanlı logaritması dörde eşit (log 3 81 = 4) olarak yazılabilir. Negatif kuvvetler için kurallar aynıdır: 2 -5 = 1/32 logaritma olarak yazarsak log 2 (1/32) = -5 elde ederiz. Matematiğin en büyüleyici bölümlerinden biri “logaritmalar” konusudur. Özelliklerini inceledikten hemen sonra aşağıdaki denklem örneklerine ve çözümlerine bakacağız. Şimdi eşitsizliklerin neye benzediğine ve onları denklemlerden nasıl ayıracağımıza bakalım.

Aşağıdaki biçimde bir ifade verildiğinde: log 2 (x-1) > 3 - bu logaritmik eşitsizlikÇünkü bilinmeyen değer "x" logaritmanın işareti altındadır. Ayrıca ifadede iki nicelik karşılaştırılır: İstenilen sayının iki tabanına göre logaritması üç sayısından büyüktür.

Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler arasındaki en önemli fark, logaritmalı denklemlerin (örnek - logaritma 2 x = √9) cevapta bir veya daha fazla spesifik sayısal değeri ima etmesi, eşitsizlikleri çözerken ise bölge olarak tanımlanmasıdır. kabul edilebilir değerler ve bu fonksiyonun kesme noktaları. Sonuç olarak cevap, bir denklemin cevabında olduğu gibi basit bir bireysel sayılar dizisi değil, sürekli bir dizi veya sayı dizisidir.

Logaritmalarla ilgili temel teoremler

Logaritmanın değerlerini bulma gibi ilkel görevleri çözerken özellikleri bilinmeyebilir. Ancak konu logaritmik denklemler veya eşitsizlikler olduğunda öncelikle logaritmanın tüm temel özelliklerini net bir şekilde anlamak ve pratikte uygulamak gerekir. Daha sonra denklem örneklerine bakacağız; önce her özelliğe daha ayrıntılı olarak bakalım.

1. Ana kimlik şuna benzer: a logaB =B. Bu yalnızca a'nın 0'dan büyük olması, bire eşit olmaması ve B'nin sıfırdan büyük olması durumunda geçerlidir.
2. Çarpımın logaritması şu formülle temsil edilebilir: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu durumda zorunlu koşul şudur: d, s 1 ve s 2 > 0; a≠1. Bu logaritmik formülün ispatını örneklerle ve çözümle yapabilirsiniz. Log a s 1 = f 1 ve log a s 2 = f 2 olsun, sonra a f1 = s 1, a f2 = s 2 olsun. s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 sonucunu elde ederiz (özellikleri derece ) ve ardından tanım gereği: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, bunun kanıtlanması gerekiyordu.
3. Bölümün logaritması şuna benzer: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Formül biçimindeki teorem şu biçimi alır: log a q b n = n/q log a b.

Bu formüle “logaritma derecesinin özelliği” denir. Sıradan derecelerin özelliklerine benzer ve bu şaşırtıcı değildir çünkü tüm matematik doğal önermelere dayanmaktadır. Kanıta bakalım.

Log a b = t olsun, a t =b olur. Her iki parçayı da m kuvvetine çıkarırsak: a tn = b n ;

ancak a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan, log a q b n = (n*t)/t olduğundan, log a q b n = n/q log a b olur. Teorem kanıtlandı.

Sorun ve eşitsizlik örnekleri

Logaritmalarla ilgili en yaygın problem türleri denklem ve eşitsizlik örnekleridir. Neredeyse tüm problem kitaplarında bulunurlar ve aynı zamanda matematik sınavlarının da zorunlu bir parçasıdırlar. Bir üniversiteye girmek veya matematikte giriş sınavlarını geçmek için bu tür görevleri nasıl doğru bir şekilde çözeceğinizi bilmeniz gerekir.

Ne yazık ki, logaritmanın bilinmeyen değerini çözmek ve belirlemek için tek bir plan veya şema yoktur, ancak her matematiksel eşitsizliğe veya logaritmik denkleme belirli kurallar uygulanabilir. Her şeyden önce, ifadenin basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini veya sonuçlanabileceğini öğrenmelisiniz. Genel görünüm. Uzun olanları basitleştirin logaritmik ifadelerözelliklerini doğru kullanırsanız mümkündür. Onları hızlıca tanıyalım.

Logaritmik denklemleri çözerken, ne tür bir logaritmaya sahip olduğumuzu belirlememiz gerekir: örnek bir ifade, doğal bir logaritma veya ondalık bir logaritma içerebilir.

İşte ln100, ln1026 örnekleri. Çözümleri, 10 tabanının sırasıyla 100 ve 1026'ya eşit olacağı gücü belirlemeleri gerektiği gerçeğine dayanıyor. Çözümler için doğal logaritmalar logaritmik kimlikleri veya özelliklerini uygulamanız gerekir. Çözüme örneklerle bakalım logaritmik problemler farklı şekiller.

Logaritma Formülleri Nasıl Kullanılır: Örnekler ve Çözümlerle

Şimdi logaritmalarla ilgili temel teoremlerin kullanımına ilişkin örneklere bakalım.

1. Bir ürünün logaritmasının özelliği, genişletilmesi gereken görevlerde kullanılabilir. büyük önem b sayılarını daha basit çarpanlara ayırın. Örneğin, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cevap 9'dur.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - görebileceğiniz gibi, logaritmanın kuvvetinin dördüncü özelliğini kullanarak, görünüşte karmaşık ve çözülemez bir ifadeyi çözmeyi başardık. Tabanı çarpanlara ayırmanız ve ardından üs değerlerini logaritmanın işaretinden çıkarmanız yeterlidir.

Birleşik Devlet Sınavından Ödevler

Logaritmalara genellikle giriş sınavlarında, özellikle de Birleşik Devlet Sınavında (tüm okul mezunları için devlet sınavı) birçok logaritmik problemle karşılaşılır. Genellikle bu görevler yalnızca A bölümünde mevcut değildir (en kolayı) test bölümü sınav), ancak aynı zamanda C bölümünde (en karmaşık ve hacimli görevler). Sınav, “Doğal logaritmalar” konusunda doğru ve mükemmel bilgi gerektirir.

Sorunlara ilişkin örnekler ve çözümler resmi kaynaklardan alınmıştır. Birleşik Devlet Sınavı seçenekleri. Bu tür görevlerin nasıl çözüldüğünü görelim.

Log 2 (2x-1) = 4 verildiğinde. Çözüm:
ifadeyi biraz basitleştirerek yeniden yazalım log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmanın tanımından 2x-1 = 2 4, dolayısıyla 2x = 17 elde ederiz; x = 8,5.

• Çözümün hantal ve kafa karıştırıcı olmaması için tüm logaritmaların aynı tabana indirilmesi en iyisidir.
• Logaritmanın işaretinin altındaki tüm ifadeler pozitif olarak gösterilir, dolayısıyla logaritmanın işaretinin altında olan bir ifadenin tabanı çarpan olarak üssü çıkarıldığında logaritmanın altında kalan ifadenin pozitif olması gerekir.

Matematik final sınavına hazırlık önemli bir bölüm olan “Logaritamalar”ı içerir. Bu konudaki görevler mutlaka Birleşik Devlet Sınavında yer almaktadır. Geçmiş yıllardan edinilen deneyimler, logaritmik denklemlerin birçok okul çocuğu için zorluklara neden olduğunu göstermektedir. Bu nedenle, farklı eğitim seviyelerine sahip öğrencilerin doğru cevabı nasıl bulacaklarını anlamaları ve bunlarla hızlı bir şekilde başa çıkmaları gerekir.

Shkolkovo eğitim portalını kullanarak sertifika testini başarıyla geçin!

Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken lise mezunları, test problemlerini başarıyla çözmek için en eksiksiz ve doğru bilgileri sağlayan güvenilir bir kaynağa ihtiyaç duyarlar. Ancak bir ders kitabı her zaman elinizin altında olmayabilir ve gerekli kuralları ve formülleri internette aramak çoğu zaman zaman alır.

Shkolkovo eğitim portalı, Birleşik Devlet Sınavına istediğiniz zaman istediğiniz yerde hazırlanmanıza olanak tanır. Web sitemiz, logaritmaların yanı sıra bir ve daha fazla bilinmeyene ilişkin büyük miktarda bilginin tekrarlanması ve özümsenmesi için en uygun yaklaşımı sunmaktadır. Kolay denklemlerle başlayın. Onlarla zorluk çekmeden başa çıkabiliyorsanız, daha karmaşık olanlara geçin. Belirli bir eşitsizliği çözmede sorun yaşıyorsanız, daha sonra geri dönebilmek için onu Favorilerinize ekleyebilirsiniz.

Görevi tamamlamak için gerekli formülleri, tekrarlanan özel durumları ve standart bir logaritmik denklemin kökünü hesaplama yöntemlerini “Teorik Yardım” bölümüne bakarak bulabilirsiniz. Shkolkovo öğretmenleri başarılı geçiş için gerekli tüm materyalleri en basit ve anlaşılır biçimde topladı, sistemleştirdi ve sundu.

Her türlü karmaşıklıktaki görevlerle kolayca başa çıkabilmek için portalımızda bazı standart logaritmik denklemlerin çözümüne aşina olabilirsiniz. Bunu yapmak için “Kataloglar” bölümüne gidin. Sunuyoruz çok sayıda denklemler dahil örnekler profil düzeyi Matematikte Birleşik Devlet Sınavı.

Rusya genelindeki okullardan öğrenciler portalımızı kullanabilirler. Derslere başlamak için sisteme kayıt olmanız ve denklem çözmeye başlamanız yeterli. Sonuçları pekiştirmek için her gün Shkolkovo web sitesine dönmenizi tavsiye ederiz.

Örnekler:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Logaritmik denklemler nasıl çözülür:

Logaritmik bir denklemi çözerken, onu \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) biçimine dönüştürmeye çalışmalı ve ardından \(f(x)'e geçiş yapmalısınız. )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Örnek:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Çözüm: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Muayene:\(10>2\) - DL için uygun Cevap:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Çok önemli! Bu geçiş yalnızca aşağıdaki durumlarda yapılabilir:

Orijinal denklemi yazdınız ve sonunda bulunanların ODZ'ye dahil olup olmadığını kontrol edeceksiniz. Bu yapılmazsa fazladan kökler ortaya çıkabilir, bu da yanlış karar anlamına gelir.

Soldaki ve sağdaki sayı (veya ifade) aynıdır;

Sol ve sağdaki logaritmalar “saftır” yani çarpma, bölme vb. olmamalıdır. – Eşittir işaretinin her iki tarafında yalnızca tek logaritmalar.

Örneğin:

Denklem 3 ve 4'ün logaritmanın gerekli özelliklerini uygulayarak kolayca çözülebileceğini unutmayın.

Örnek . \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) denklemini çözün

Çözüm :

		ODZ'yi yazalım: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Logaritmanın önünde solda katsayı, sağda logaritmanın toplamı bulunur. Bu bizi rahatsız ediyor. Şu özelliğe göre ikisini \(x\) üssüne taşıyalım: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Logaritmaların toplamını şu özelliğe göre bir logaritma olarak temsil edelim: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Denklemi \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) formuna indirdik ve ODZ'yi yazdık, bu da \(f(x) formuna geçebileceğimiz anlamına geliyor =g(x)\ ).
		Olmuş . Bunu çözüyoruz ve köklerini alıyoruz.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Köklerin ODZ'ye uygun olup olmadığını kontrol ediyoruz. Bunu yapmak için, \(x>0\) yerine \(x\) yerine \(5\) ve \(-5\) koyarız. Bu işlem ağızdan yapılabilir.
\(5>0\), \(-5>0\)		İlk eşitsizlik doğru, ikincisi değil. Bu, \(5\)'in denklemin kökü olduğu, ancak \(-5\)'nin olmadığı anlamına gelir. Cevabını yazıyoruz.

Cevap : \(5\)

Örnek : \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) denklemini çözün

Çözüm :

		ODZ'yi yazalım: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		kullanılarak çözülen tipik bir denklem. \(\log_2⁡x\) öğesini \(t\) ile değiştirin.
\(t=\log_2⁡x\)
		Her zamanki gibi aldık. Köklerini arıyoruz.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Ters değiştirme yapma
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Sağ tarafları logaritma olarak temsil ederek dönüştürüyoruz: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) ve \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Artık denklemlerimiz \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) olur ve \(f(x)=g(x)\)'e geçiş yapabiliriz.
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		ODZ'nin köklerinin yazışmalarını kontrol ediyoruz. Bunu yapmak için, \(x\) yerine \(x>0\) eşitsizliğinde \(4\) ve \(2\)'yi değiştirin.
\(4>0\) \(2>0\)		Her iki eşitsizlik de doğrudur. Bu, hem \(4\) hem de \(2\)'nin denklemin kökleri olduğu anlamına gelir.

Cevap : \(4\); \(2\).