Ev / Yanık türleri/ Rasyonel sayıların karşılaştırılması. Sayıları karşılaştırma modulo

Rasyonel sayıların karşılaştırılması. Sayıları karşılaştırma modulo

PERVUSHKİN BORIS NIKOLAEVICH

Özel eğitim kurumu "St. Petersburg Okulu "Tete-a-Tete"

En Yüksek Kategori Matematik Öğretmeni

Sayıları karşılaştırma modulo

Tanım 1. İki sayı ise1 ) AVeBbölündüğündePaynı kalanı verR, bu tür sayılara eşit ana veya denirmodül açısından karşılaştırılabilir P.

İfade 1. İzin vermekPbazı pozitif sayılar. Daha sonra her sayıAher zaman ve üstelik tek şekilde şu biçimde temsil edilebilir:

a=sp+r,

(1)

NeredeS- sayı veR0,1, ..., sayılarından biriP−1.

1 ) Bu yazıda sayı kelimesi tamsayı olarak anlaşılacaktır.

Gerçekten mi. EğerS−∞ ile +∞ arasında bir değer alacak, ardından sayılarspkatları olan tüm sayıların koleksiyonunu temsil ederP. Aradaki sayılara bakalımspVe (s+1) p=sp+p. ÇünküPpozitif bir tamsayı, o zaman arasındaspVesp+psayılar var

Ancak bu sayılar ayarlanarak elde edilebilir.R0, 1, 2,...,'ye eşitP−1. Buradansp+r=amümkün olan tüm tamsayı değerlerini alacaktır.

Bu gösterimin benzersiz olduğunu gösterelim. Öyleymiş gibi yapalımPiki şekilde temsil edilebilira=sp+rVea=s1 P+ R1 . Daha sonra

veya

(2)

ÇünküR1 0,1, ..., sayılarından birini kabul ederP−1, o halde mutlak değer R1 − RazP. Fakat (2)'den şu sonuç çıkıyorR1 − RçokluP. BuradanR1 = RVeS1 = S.

SayıRismindeeksi sayılarAmoduloP(başka bir deyişle, sayıRbir sayının kalanını çağırmakAAçıkP).

İfade 2. İki sayı iseAVeBmodül açısından karşılaştırılabilirP, Oa−bbölüP.

Gerçekten mi. İki sayı iseAVeBmodül açısından karşılaştırılabilirP, sonra bölündüğündePaynı kalana sahip olmakP. Daha sonra

NeredeSVeS1 bazı tamsayılar.

Bu sayıların farkı

(3)

bölüP, Çünkü denklemin (3) sağ tarafı şuna bölünür:P.

İfade 3. İki sayının farkı bölünebiliyorsaP, o zaman bu sayılar modül olarak karşılaştırılabilirP.

Kanıt. ile belirtelimRVeR1 bölme kalanlarıAVeBAçıkP. Daha sonra

Neresi

Buna görea−bbölüP. BuradanR− R1 aynı zamanda bölünebilirP. Ama çünküRVeR1 sayılar 0,1,...,P−1, ardından mutlak değer |R− R1 |< P. Daha sonra,R− R1 bölüPkoşulun karşılanması gerekirR= R1 .

İfadeden, karşılaştırılabilir sayıların farkı modüle bölünebilen sayılar olduğu sonucu çıkar.

Bu sayıları yazmanız gerekiyorsaAVeBmodül açısından karşılaştırılabilirP, sonra (Gauss tarafından sunulan) gösterimi kullanırız:

a≡bmod(P)

Örnekler 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

İlk örnekten, 25'in 7'ye bölümünden 39 ile aynı kalanı verdiği sonucu çıkıyor. Aslında 25 = 3.7+4 (kalan 4). 39=3·7+4 (kalan 4). İkinci örneği ele alırken, kalanın modülden (yani 4) küçük, negatif olmayan bir sayı olması gerektiğini dikkate almanız gerekir. O halde şunu yazabiliriz: −18=−5·4+2 (kalan 2), 14=3·4+2 (kalan 2). Bu nedenle -18, 4'e bölündüğünde 2 kalanını, 14 ise 4'e bölündüğünde 2 kalanını verir.

Modulo karşılaştırmalarının özellikleri

Mülk 1. Herkes içinAVePHer zaman

a≡amod(P).

Mülk 2. İki sayı iseAVeCbir sayıyla karşılaştırılabilirBmoduloP, OAVeCaynı modüle göre birbirleriyle karşılaştırılabilir; Eğer

a≡bmod(P), b≡cmod(P).

a≡cmod(P).

Gerçekten mi. Mülk 2'nin durumundan şu sonuç çıkıyora−bVeb-cbölünmüştürP. Daha sonra bunların toplamıa−b+(b−c)=a−cayrıca bölünmüşP.

Mülk 3. Eğer

a≡bmod(P) Vem≡nmod(P),

a+m≡b+nmod(P) Vea−m≡b−nmod(P).

Gerçekten mi. Çünküa−bVem−nbölünmüştürP, O

( a−b)+ ( m−n)=( a+m)−( b+n) ,

( a−b)−( m−n)=( sabah-öğle)−( b−n)

ayrıca bölünmüşP.

Bu özellik aynı modüle sahip herhangi bir sayıda karşılaştırmaya genişletilebilir.

Mülk 4. Eğer

a≡bmod(P) Vem≡nmod(P),

Daha ötem−nbölüP, buradanb(m−n)=bm−bnayrıca bölünmüşP, Araç

bm≡bnmod(P).

Yani iki sayıbenVemilyarmodül olarak aynı sayıyla karşılaştırılabilirBM, bu nedenle birbirleriyle karşılaştırılabilirler (özellik 2).

Mülk 5. Eğer

a≡bmod(P).

Ak≡bkmod(P).

Neredeknegatif olmayan bazı tamsayılar.

Gerçekten mi. Sahibiza≡bmod(P). Özellik 4'ten şu şekilde

.................

Ak≡bkmod(P).

1-5 arasındaki tüm özellikleri aşağıdaki ifadede gösterin:

İfade 4. İzin vermekF( X1 , X2 , X3 , ...) tamsayı katsayılı tam bir rasyonel fonksiyondur ve

A1 ≡ B1 , A2 ≡ B2 , A3 ≡ B3 , ... mod (P).

Daha sonra

F( A1 , A2 , A3 , ...)≡ F( B1 , B2 , B3 , ...) mod (P).

Bölünme ile her şey farklıdır. Karşılaştırmadan

İfade 5. İzin vermek

Neredeλ Buen büyük ortak bölenisayılarMVeP.

Kanıt. İzin vermekλ sayıların en büyük ortak böleniMVeP. Daha sonra

Çünküm(a−b)bölük, O

sıfır kalana sahiptir, yaniM1 ( a−b) bölük1 . Ama sayılarM1 Vek1 sayılar göreceli olarak asaldır. Buradana−bbölük1 = k/λve daha sonra,p,q,s.

Gerçekten mi. Farka≡bbir katı olmalıp,q,s.ve bu nedenle bir kat olmalıdırH.

Özel durumda, eğer modüllerp,q,seş asal sayılar, o zaman

a≡bmod(H),

Neredeh=pqs.

Negatif modüllere dayalı karşılaştırmalara izin verebileceğimizi unutmayın; karşılaştırmaka≡bmod(P) bu durumda farkın olduğu anlamına gelira−bbölüP. Negatif modüller için karşılaştırmaların tüm özellikleri yürürlükte kalır.

Tanım 1. İki sayı 1 ise) A Ve B bölündüğünde P aynı kalanı ver R, bu tür sayılara eşit ana veya denir modül açısından karşılaştırılabilir P.

İfade 1. İzin vermek P bazı pozitif sayılar. Daha sonra her sayı A her zaman ve üstelik tek şekilde şu şekilde temsil edilebilir:

Ancak bu sayılar ayarlanarak elde edilebilir. R 0, 1, 2,...,'ye eşit P−1. Buradan sp+r=a mümkün olan tüm tamsayı değerlerini alacaktır.

Bu gösterimin benzersiz olduğunu gösterelim. Öyleymiş gibi yapalım P iki şekilde temsil edilebilir a=sp+r Ve a=s 1 P+R 1. Daha sonra

(2)

Çünkü R 1, 0,1, ..., sayılarından birini kabul eder P−1, ardından mutlak değer R 1 −R az P. Fakat (2)'den şu sonuç çıkıyor R 1 −Rçoklu P. Buradan R 1 =R Ve S 1 =S.

Sayı R isminde eksi sayılar A modulo P(başka bir deyişle, sayı R bir sayının kalanını çağırmak A Açık P).

İfade 2. İki sayı ise A Ve B modül açısından karşılaştırılabilir P, O a−b bölü P.

Gerçekten mi. İki sayı ise A Ve B modül açısından karşılaştırılabilir P, sonra bölündüğünde P aynı kalana sahip olmak P. Daha sonra

bölü P, Çünkü denklemin (3) sağ tarafı şuna bölünür: P.

İfade 3. İki sayının farkı bölünebiliyorsa P, o zaman bu sayılar modül olarak karşılaştırılabilir P.

Kanıt. ile belirtelim R Ve R 1 bölme kalan A Ve B Açık P. Daha sonra

Örnekler 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

Modulo karşılaştırmalarının özellikleri

Mülk 1. Herkes için A Ve P Her zaman

her zaman bir karşılaştırma olmaz

Nerede λ sayıların en büyük ortak böleni M Ve P.

Kanıt. İzin vermek λ sayıların en büyük ortak böleni M Ve P. Daha sonra

Çünkü m(a−b) bölü k, O

Buradan

Ve M sayının bölenlerinden biridir P, O

Nerede h=pqs.

Negatif modüllere dayalı karşılaştırmalara izin verebileceğimizi unutmayın; karşılaştırmak a≡b mod( P) bu durumda farkın olduğu anlamına gelir a−b bölü P. Negatif modüller için karşılaştırmaların tüm özellikleri yürürlükte kalır.

Rasyonel sayıları incelemeye devam ediyoruz. Bu derste bunları nasıl karşılaştıracağımızı öğreneceğiz.

Önceki derslerden, bir sayının koordinat doğrusu üzerinde ne kadar sağda yer aldığını öğrendikse o kadar büyük olur. Buna göre, sayı koordinat çizgisi üzerinde ne kadar sola yerleştirilirse o kadar küçüktür.

Örneğin 4 ile 1 rakamlarını karşılaştırırsanız hemen 4'ün 1'den büyük olduğu cevabını verebilirsiniz. Bu tamamen mantıklı bir ifadedir ve herkes buna katılacaktır.

Kanıt olarak koordinat çizgisini gösterebiliriz. Bu dördünün birin sağında olduğunu gösteriyor

Bu durumda istenirse kullanılabilecek bir kural da vardır. Şuna benziyor:

İki pozitif sayıdan modülü büyük olan sayı daha büyüktür.

Hangi sayı daha büyük, hangisi daha küçük sorusuna cevap verebilmek için öncelikle bu sayıların modüllerini bulmanız, bu modülleri karşılaştırmanız ve ardından soruyu cevaplamanız gerekiyor.

Örneğin, yukarıdaki kuralı uygulayarak aynı sayıları 4 ve 1'i karşılaştırın.

Sayıların modüllerini bulma:

|4| = 4

|1| = 1

Bulunan modülleri karşılaştıralım:

4 > 1

Sorunun cevabını veriyoruz:

4 > 1

İçin negatif sayılar Başka bir kural daha var, şöyle görünüyor:

İki negatif sayıdan modülü küçük olan sayı daha büyüktür.

Örneğin, −3 ve −1 sayılarını karşılaştırın

Sayıların modüllerini bulma

|−3| = 3

|−1| = 1

Bulunan modülleri karşılaştıralım:

3 > 1

Sorunun cevabını veriyoruz:

−3 < −1

Bir sayının modülü sayının kendisiyle karıştırılmamalıdır. Birçok yeni başlayanın yaptığı yaygın bir hata. Örneğin, −3'ün modülü −1'in modülünden büyükse bu, −3'ün −1'den büyük olduğu anlamına gelmez.

−3 sayısı −1 sayısından küçüktür. Koordinat doğrusunu kullanırsak bunu anlayabiliriz.

−3 sayısının −1'den daha solda olduğu görülebilir. Ve biliyoruz ki ne kadar sola doğru o kadar az.

Negatif bir sayıyı pozitif bir sayıyla karşılaştırırsanız yanıt kendiliğinden ortaya çıkacaktır. Herhangi bir negatif sayı herhangi bir pozitif sayıdan daha küçük olacaktır. Örneğin, −4 2'den küçüktür

-4'ün 2'den daha solda olduğu görülüyor. Ve "ne kadar sola doğru o kadar az" olduğunu biliyoruz.

Burada öncelikle sayıların işaretlerine bakmanız gerekiyor. Bir sayının önündeki eksi işareti o sayının negatif olduğunu gösterir. Sayı işareti eksikse sayı pozitiftir, ancak netlik sağlamak için bunu yazabilirsiniz. Bunun bir artı işareti olduğunu unutmayın

Örnek olarak −4, −3 −1, 2 formundaki tam sayılara baktık. Bu tür sayıları karşılaştırmak ve bunları bir koordinat çizgisi üzerinde göstermek zor değildir.

Kesirler gibi diğer sayı türlerini karşılaştırmak çok daha zordur. karışık sayılar ve bazıları negatif olan ondalık sayılar. Burada temel olarak kuralları uygulamanız gerekecek, çünkü bu tür sayıları bir koordinat çizgisi üzerinde doğru bir şekilde göstermek her zaman mümkün değildir. Bazı durumlarda karşılaştırmayı ve anlamayı kolaylaştırmak için bir sayıya ihtiyaç duyulacaktır.

Örnek 1. Rasyonel sayıları karşılaştırın

Bu nedenle negatif bir sayıyı pozitif bir sayıyla karşılaştırmanız gerekir. Herhangi bir negatif sayı herhangi bir pozitif sayıdan küçüktür. Bu nedenle vakit kaybetmeden daha az olduğunu cevaplıyoruz.

Örnek 2.

İki negatif sayıyı karşılaştırmanız gerekir. İki negatif sayıdan büyüklüğü küçük olan daha büyüktür.

Sayıların modüllerini bulma:

Bulunan modülleri karşılaştıralım:

Örnek 3. 2.34 sayılarını karşılaştırın ve

Pozitif bir sayıyı negatif bir sayıyla karşılaştırmanız gerekir. Herhangi bir pozitif sayı, herhangi bir negatif sayıdan büyüktür. Bu nedenle zaman kaybetmeden 2,34'ün daha fazla olduğunu cevaplıyoruz.

Örnek 4. Rasyonel sayıları karşılaştırın ve

Sayıların modüllerini bulma:

Bulunan modülleri karşılaştırıyoruz. Ama önce karşılaştırmayı kolaylaştırmak için bunları net bir forma getirelim, yani bileşik kesirlere dönüştürüp ortak paydada buluşturalım.

Kurala göre iki negatif sayıdan modülü küçük olan sayı büyüktür. Bu, rasyonelin 'den büyük olduğu anlamına gelir, çünkü sayının modülü sayının modülünden küçüktür.

Örnek 5.

Sıfırı negatif bir sayıyla karşılaştırmanız gerekir. Sıfır herhangi bir negatif sayıdan büyüktür, dolayısıyla zaman kaybetmeden 0'ın büyüktür cevabını veririz.

Örnek 6. 0 ve rasyonel sayıları karşılaştırın

Sıfırı pozitif bir sayıyla karşılaştırmanız gerekir. Sıfır herhangi bir pozitif sayıdan küçüktür, bu nedenle zaman kaybetmeden 0'ın küçük olduğunu söyleyebiliriz.

Örnek 7. 4.53 ve 4.403 rasyonel sayılarını karşılaştırın

İki pozitif sayıyı karşılaştırmanız gerekir. İki pozitif sayıdan modülü büyük olan sayı daha büyüktür.

Her iki kesirde de virgülden sonraki basamak sayısını aynı yapalım. Bunu yapmak için 4.53 kesirinin sonuna bir sıfır ekliyoruz

Sayıların modüllerini bulma

Bulunan modülleri karşılaştıralım:

Kurala göre iki pozitif sayıdan mutlak değeri büyük olan sayı daha büyüktür. Bu, 4,53 rasyonel sayısının 4,403'ten büyük olduğu anlamına gelir çünkü 4,53'ün modülü 4,403'ün modülünden büyüktür.

Örnek 8. Rasyonel sayıları karşılaştırın ve

İki negatif sayıyı karşılaştırmanız gerekir. İki negatif sayıdan modülü küçük olan sayı daha büyüktür.

Sayıların modüllerini bulma:

Bulunan modülleri karşılaştırıyoruz. Ama önce karşılaştırmayı kolaylaştırmak için bunları net bir forma getirelim, yani karışık sayıyı bileşik kesire dönüştüreceğiz, sonra her iki kesri de ortak bir paydaya getireceğiz:

Kurala göre iki negatif sayıdan modülü küçük olan sayı büyüktür. Bu, rasyonelin 'den büyük olduğu anlamına gelir, çünkü sayının modülü sayının modülünden küçüktür.

Ondalık sayıları karşılaştırmak, kesirleri ve karışık sayıları karşılaştırmaktan çok daha kolaydır. Bazı durumlarda böyle bir kesrin tam kısmına bakarak hangi kesrin daha büyük, hangisinin daha küçük olduğu sorusuna hemen cevap verebilirsiniz.

Bunu yapmak için tüm parçaların modüllerini karşılaştırmanız gerekir. Bu, görevdeki soruyu hızlı bir şekilde cevaplamanıza olanak sağlayacaktır. Sonuçta, bildiğiniz gibi, tüm parçalar ondalık sayılar kesirli olanlardan daha fazla ağırlığa sahiptir.

Örnek 9. 15.4 ve 2.1256 rasyonel sayılarını karşılaştırın

Kesirin tüm kısmının modülü, kesirin tüm kısmının modülünden 15,4 daha büyüktür 2,1256

dolayısıyla 15.4 kesri 2.1256 kesirinden daha büyüktür

15,4 > 2,1256

Yani 15,4 kesrine sıfır ekleyerek ve elde edilen kesirleri sıradan sayılar gibi karşılaştırarak zaman kaybetmemize gerek kalmadı.

154000 > 21256

Karşılaştırma kuralları aynı kalır. Bizim durumumuzda pozitif sayıları karşılaştırdık.

Örnek 10.−15,2 ve −0,152 rasyonel sayılarını karşılaştırın

İki negatif sayıyı karşılaştırmanız gerekir. İki negatif sayıdan modülü küçük olan sayı daha büyüktür. Ancak yalnızca tamsayı parçaların modüllerini karşılaştıracağız

Kesirin tüm kısmının modülünün, kesirin tüm kısmının modülünden -0,152 -15,2 daha büyük olduğunu görüyoruz.

Bu, rasyonel −0,152'nin −15,2'den büyük olduğu anlamına gelir çünkü −0,152 sayısının tamsayı kısmının modülü, −15,2 sayısının tamsayı kısmının modülünden küçüktür.

−0,152 > −15,2

Örnek 11.−3,4 ve −3,7 rasyonel sayılarını karşılaştırın

İki negatif sayıyı karşılaştırmanız gerekir. İki negatif sayıdan modülü küçük olan sayı daha büyüktür. Ancak biz sadece tamsayı parçaların modüllerini karşılaştıracağız. Ancak sorun tamsayıların modüllerinin eşit olmasıdır:

Bu durumda eski yöntemi kullanmanız gerekecek: modülleri bul rasyonel sayılar ve bu modülleri karşılaştırın

Bulunan modülleri karşılaştıralım:

Kurala göre iki negatif sayıdan modülü küçük olan sayı büyüktür. Bu, rasyonel −3,4'ün −3,7'den büyük olduğu anlamına gelir çünkü −3,4 sayısının modülü, −3,7 sayısının modülünden küçüktür.

−3,4 > −3,7

Örnek 12. 0,(3) ve rasyonel sayılarını karşılaştırın

İki pozitif sayıyı karşılaştırmanız gerekir. Ayrıca periyodik bir kesri basit bir kesirle karşılaştırın.

Periyodik kesir 0,(3)'ü şuna dönüştürelim: ortak kesir ve onu bir kesirle karşılaştırın. Periyodik kesir 0,(3)'ü sıradan kesir haline dönüştürdükten sonra kesir haline gelir

Sayıların modüllerini bulma:

Bulunan modülleri karşılaştırıyoruz. Ama önce karşılaştırmayı kolaylaştırmak için anlaşılır bir forma kavuşturalım, yani ortak bir paydada buluşturalım:

Kurala göre iki pozitif sayıdan mutlak değeri büyük olan sayı daha büyüktür. Bu, bir rasyonel sayının 0'dan büyük olduğu anlamına gelir,(3) çünkü sayının modülü, 0,(3) sayısının modülünden büyüktür.

Dersi beğendin mi?
Yeni VKontakte grubumuza katılın ve yeni derslerle ilgili bildirimler almaya başlayın

İki tam sayı için X Ve en eğer farkları eşitse, paritede karşılaştırılabilirlik ilişkisini tanıtalım çift sayı. Daha önce tanıtılan üç eşdeğerlik koşulunun da karşılandığını kontrol etmek kolaydır. Bu şekilde ortaya konan eşdeğerlik ilişkisi, tam sayılar kümesinin tamamını iki ayrı alt kümeye böler: çift sayıların alt kümesi ve tek sayıların alt kümesi.

Bu durumu genelleştirirsek, aralarında sabit bir doğal sayının katı kadar fark olan iki tam sayının eşdeğer olduğunu söyleyeceğiz. Bu, Gauss tarafından ortaya atılan modulo karşılaştırılabilirlik kavramının temelidir.

Sayı A, karşılaştırılabilir B modulo M eğer farkları sabit bir sayıya bölünebiliyorsa doğal sayı M, yani a - b bölü M. Sembolik olarak bu şu şekilde yazılır:

a ≡ b(mod m),

ve şöyle okunur: A karşılaştırılabilir B modulo M.

Bu şekilde ortaya konulan ilişki, karşılaştırmalar ve eşitlikler arasındaki derin benzetme sayesinde, sayıların katları kadar farklı olduğu hesaplamaları basitleştirir. M, aslında farklı değildir (çünkü karşılaştırma, m'nin bazı katlarına kadar eşitliktir).

Örneğin, 7 ve 19 sayıları modülo 4 ile karşılaştırılabilir, ancak modülo 5 ile karşılaştırılamaz, çünkü 19-7=12 sayısı 4'e bölünür, 5'e bölünmez.

Ayrıca sayının da olduğu söylenebilir. X modulo M bir tamsayıya bölündüğünde kalana eşit X Açık M, Çünkü

x=km+r, r = 0, 1, 2, ... , m-1.

Belirli bir modüle göre sayıların karşılaştırılabilirliğinin tüm eşdeğerlik özelliklerine sahip olduğunu kontrol etmek kolaydır. Bu nedenle, tamsayılar kümesi modül açısından karşılaştırılabilir sayı sınıflarına bölünür. M. Bu tür sınıfların sayısı eşittir M ve aynı sınıfa ait tüm sayılar bölündüğünde M aynı kalanı verin. Örneğin, eğer M= 3 ise üç sınıf elde ederiz: 3'ün katı olan sayılar sınıfı (3'e bölündüğünde 0 kalanını veren), 3'e bölündüğünde 1 kalanını veren sayılar sınıfı ve 3'e bölündüğünde 1 kalanını veren sayılar sınıfı ve 3'e bölündüğünde 1 kalanını veren sayılar sınıfı 3'e bölündüğünde kalan 2 olur.

Karşılaştırmaların kullanımına ilişkin örnekler, iyi bilinen bölünebilirlik kriterleri tarafından sağlanmaktadır. Ortak sayı gösterimi N Ondalık sayı sistemindeki sayılar şu şekildedir:

n = c10 2 + b10 1 + a10 0,

Nerede a, b, c,- sayının sağdan sola yazılan rakamları, yani A- birim sayısı, B-onlarca sayı vb. 10.000'den beri ≡ Herhangi bir k≥0 için 1(mod9) ise, yazılanlardan şu sonuç çıkar:

n ≡ c + b + bir(mod9),

9'a bölünebilme testi bundan sonra gelir: N 9'a bölünebilmesi ancak ve ancak rakamlarının toplamı 9'a bölünebilirse mümkündür. Bu mantık, 9'u 3 ile değiştirirken de geçerlidir.

11'e bölünebilme testini elde ediyoruz. Karşılaştırmalar şöyle:

10≡- 1(mod11), 10 2 ≡ 1(mod11) 10 3 ≡- 1(mod11) vb. Bu yüzden n ≡ c - b + a - ….(mod11).

Buradan, N 11'e bölünebilir ancak ve ancak a - b + c -... rakamlarının alternatif toplamı 11'e bölünebilirse.

Örneğin 9581 sayısının rakamlarının dönüşümlü toplamı 1 - 8 + 5 - 9 = -11 olur, 11'e bölünür yani 9581 sayısı 11'e bölünür.

Karşılaştırmalar varsa: , eşitliklerde olduğu gibi bunlar eklenebilir, çıkarılabilir ve terim terim çarpılabilir:

Bir karşılaştırma her zaman bir tamsayı ile çarpılabilir:

eğer öyleyse

Ancak bir karşılaştırmayı herhangi bir faktöre göre azaltmak her zaman mümkün değildir, örneğin 42 ve 12 sayıları için 6 ortak faktörüne göre azaltmak imkansızdır; böyle bir azalma yanlış sonuca yol açar, çünkü .

Karşılaştırılabilirlik modülünün tanımından, eğer bu faktör modül ile eş asal ise, bir faktör kadar azaltıma izin verilebileceği sonucu çıkar.

Herhangi bir tam sayının karşılaştırılabilir mod olduğu yukarıda zaten belirtilmişti. Mşu sayılardan biriyle: 0, 1, 2,... , m-1.

Bu serinin yanı sıra aynı özelliğe sahip başka sayı serileri de vardır; yani örneğin herhangi bir sayı mod 5 ile şu sayılardan biriyle karşılaştırılabilir: 0, 1, 2, 3, 4, ama aynı zamanda şu sayılardan biriyle de karşılaştırılabilir: 0, -4, -3, -2, - 1 veya 0, 1, -1, 2, -2. Bu tür herhangi bir sayı dizisine modulo 5'in tam bir artıklar sistemi denir.

Böylece, artıkların tam sistemi mod M herhangi bir dizi M hiçbiri birbiriyle karşılaştırılamayacak rakamlar. Genellikle sayılardan oluşan eksiksiz bir kesinti sistemi kullanılır: 0, 1, 2, ..., M-1. Sayıyı çıkarma N modulo M bölümün geri kalanıdır N Açık M temsilinden çıkan sonuç n = km + r, 0<R<M- 1.

Sayıları karşılaştırma modulo

Hazırlayan: Irina Zutikova

MAOU "Lise No. 6"

Sınıf: 10 "a"

Bilimsel danışman: Zheltova Olga Nikolaevna

Tambov

2016

Sorun
Projenin amacı
Hipotez
Proje hedefleri ve bunlara ulaşmak için plan
Karşılaştırmalar ve özellikleri
Sorun örnekleri ve çözümleri
Kullanılan siteler ve literatür

Sorun:

Çoğu öğrenci, standart olmayan ve olimpiyat görevlerini çözmek için sayıların modülo karşılaştırmasını nadiren kullanır.

Projenin amacı:

Sayıları modülo olarak karşılaştırarak standart dışı ve olimpiyat görevlerini nasıl çözebileceğinizi gösterin.

Hipotez:

“Sayıları modülo olarak karşılaştırma” konusunun daha derinlemesine incelenmesi, öğrencilerin bazı standart dışı ve olimpiyat görevlerini çözmelerine yardımcı olacaktır.

Proje hedefleri ve bunlara ulaşma planı:

1. “Sayıların karşılaştırılması modulo” konusunu ayrıntılı olarak inceleyin.

2. Sayıların modülo karşılaştırmasını kullanarak standart dışı ve olimpiyat görevlerini çözün.

3.Öğrenciler için “Sayıları modülo olarak karşılaştırma” konulu bir not oluşturun.

4. 10a sınıfında “Sayıların modülo olarak karşılaştırılması” konulu bir ders yapın.

5. “Modüllere Göre Karşılaştırma” konulu sınıf ödevini verin.

6. "Modüllere Göre Karşılaştırma" konusunu çalışmadan önce ve sonra görevi tamamlama sürelerini karşılaştırın.

7.Sonuçları çıkarın.

“Sayıları modülo olarak karşılaştırma” konusunu ayrıntılı olarak incelemeye başlamadan önce, bunun çeşitli ders kitaplarında nasıl sunulduğunu karşılaştırmaya karar verdim.

Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. İleri düzey. 10. sınıf (Yu.M. Kolyagin ve diğerleri)
Matematik: cebir, fonksiyonlar, veri analizi. 7. sınıf (L.G. Peterson ve diğerleri)
Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. Profil seviyesi. 10. sınıf (E.P. Nelin ve diğerleri)
Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. Profil seviyesi. 10. sınıf (G.K. Muravin ve diğerleri)

Öğrendiğime göre bazı ders kitapları ileri seviyeye rağmen bu konuya değinmiyor bile. Ve konu L.G. Peterson'un ders kitabında en açık ve erişilebilir şekilde sunulmuştur (Bölüm: Bölünebilirlik teorisine giriş), bu yüzden bu ders kitabındaki teoriye dayanarak "Sayıların modülo karşılaştırılması" nı anlamaya çalışalım.

Karşılaştırmalar ve özellikleri.

Tanım: Eğer iki a ve b tamsayısı bir m tamsayısına (m>0) bölündüğünde aynı kalanlara sahipse, o zaman şunu söylerler:a ve b karşılaştırılabilir modülo m'dir, ve yaz:

Teorem: ancak ve ancak a ve b'nin farkı m'ye bölünebilirse.

Özellikler:

Karşılaştırmaların yansıması.Herhangi bir a sayısı, modülo m ile karşılaştırılabilir (m>0; a,m tam sayılardır).
Simetrik karşılaştırmalar.Eğer a sayısı, b modulo m sayısıyla karşılaştırılabilirse, o zaman b sayısı, a modulo sayısıyla karşılaştırılabilir (m>0; a,b,m tamsayılardır).
Karşılaştırmaların geçişliliği.A sayısı, b modulo m sayısıyla karşılaştırılabilirse ve b sayısı, aynı modulo c sayısıyla karşılaştırılabilirse, o zaman a sayısı, c modulo m sayısıyla karşılaştırılabilir (m>0; a,b,c) ,m tamsayılardır).
A sayısı b modulo m sayısıyla karşılaştırılabilirse, o zaman a sayısı N b numarasıyla karşılaştırılabilir N modulo m(m>0; a,b,m-tamsayılar; n-doğal sayı).

Sorun örnekleri ve çözümleri.

1. 3 sayısının son rakamını bulun 999 .

Çözüm:

Çünkü Sayının son rakamı 10'a bölündüğünde kalan sayıdır.

3 999 =3 3 *3 996 =3 3 *(3 4 ) 249 =7*81 249 7(mod 10)

(Çünkü 34=81 1(mod 10);81 n 1(mod10) (özelliğe göre))

Cevap: 7.

2.2 4n olduğunu kanıtlayın -1, 15'e kalansız bölünür. (Phystech2012)

Çözüm:

Çünkü 16 1(mod 15), ardından

16n-1 0(mod 15) (özelliğe göre); 16n= (2 4)n

2 4n -1 0(mod 15)

3. 12 olduğunu kanıtlayın 2n+1 +11n+2 133'e kalansız bölünür.

Çözüm:

12 2n+1 =12*144n 12*11n (mod 133) (özelliğe göre)

12 2n+1 +11 n+2 =12*11 n +11 n *121=11 n *(12+121) =11 n *133

Sayı (11n *133)133'e kalansız bölünür, dolayısıyla (12) 2n+1 +11n+2 ) 133'e kalansız bölünebilir.

4. 2 sayısının 15'e bölümünden kalanını bulun 2015 .

Çözüm:

16 1'den (mod 15) beri, o zaman

2 2015 8(mod 15)

Cevap: 8.

5. 17. sayı olan 2'ye bölümün kalanını bulun 2015. (Fizik2015)

Çözüm:

2 2015 =2 3 *2 2012 =8*16 503

16 -1'den (mod 17) beri, o zaman

2 2015 -8(mod 15)

8 9(mod 17)

Cevap:9.

6.Sayının 11 olduğunu kanıtlayın 100 -1, 100'e kalansız bölünür. (Fizik2015)

Çözüm:

11 100 =121 50

121 50 21 50 (mod 100) (özelliğe göre)

21 50 =441 25

441 25 41 25 (mod 100) (özelliğe göre)

41 25 =41*1681 12

1681 12 (-19) 12 (mod 100) (özelliğe göre)

41*(-19) 12 =41*361 6

361 6 (-39) 6 (mod 100)(özelliğe göre)

41*(-39) 6 =41*1521 3

1521 3 21 3 (mod100) (özelliğe göre)

41*21 3 =41*21*441

441 41(mod 100) (özelliğe göre)

21*41 2 =21*1681

1681 -19(mod 100) (özelliğe göre)

21*(-19)=-399

399 1(mod 100) (özelliğe göre)

Yani 11 100 1(mod 100)

11 100 -1 0(mod 100) (özelliğe göre)

7. Üç sayı verilmiştir: 1771,1935,2222. Bölündüğünde verilen üç sayıdan kalanlar eşit olacak bir sayı bulun. (SEÇ2016)

Çözüm:

Bilinmeyen sayı a'ya eşit olsun, o zaman

2222 1935(mod a); 1935 1771(mod a); 2222 1771(mod a)

2222-1935 0(moda) (özelliğe göre); 1935-17710(moda) (özelliğe göre); 2222-17710(moda) (özelliğe göre)

287 0(mod a); 164 0(mod a); 451 0(mod a)

287-164 0(moda) (özelliğe göre); 451-2870(moda)(özelliğe göre)

123 0(mod a); 164 0(mod a)

164-123 0(mod a) (özelliğe göre)

SEÇ Olimpiyatı 2016

Rasyonel sayıların karşılaştırılması. Sayıları karşılaştırma modulo

Modulo karşılaştırmalarının özellikleri

Şifre kurtarma