Güç denklemleri ve ifadeleri. Üstel denklemlerin çözümü. Temel bilgiler

Ders: “Çözüm yöntemleri üstel denklemler».

1 . Üstel denklemler.

Üstellerde bilinmeyenler içeren denklemlere üstel denklemler denir. Bunlardan en basiti a > 0 ve a ≠ 1 olan ax = b denklemidir.

1) b'de< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0 için, fonksiyonun monotonluğu ve kök teoremi kullanıldığında denklemin tek bir kökü vardır. Bunu bulmak için b'nin b = aс, аx = bс ó x = c veya x = logab biçiminde temsil edilmesi gerekir.

Cebirsel dönüşümlerle elde edilen üstel denklemler, aşağıdaki yöntemler kullanılarak çözülen standart denklemlere yol açar:

1) bir baza indirgeme yöntemi;

2) değerlendirme yöntemi;

3) grafik yöntemi;

4) yeni değişkenleri tanıtma yöntemi;

5) çarpanlara ayırma yöntemi;

6) üstel – güç denklemleri;

7) bir parametreyle gösterici.

2 . Tek baza indirgeme yöntemi.

Yöntem, derecelerin aşağıdaki özelliğine dayanmaktadır: eğer iki derece eşitse ve tabanları eşitse, o zaman üsleri eşittir, yani denklemi forma indirgemeye çalışmak gerekir.

Örnekler. Denklemi çözün:

1 . 3x = 81;

Denklemin sağ tarafını 81 = 34 formunda temsil edelim ve orijinal 3 x = 34'ün eşdeğerini yazalım; x = 4. Cevap: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">ve 3x+1 = 3 – 5x; 8x = üsleri için denkleme geçelim 4; x = 0,5 Cevap: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" genişlik = "105" yükseklik = "47">

0,2, 0,04, √5 ve 25 sayılarının 5'in kuvvetlerini temsil ettiğini unutmayın. Bundan yararlanalım ve orijinal denklemi aşağıdaki gibi dönüştürelim:

, dolayısıyla 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, buradan x = -1 çözümünü buluyoruz. Cevap 1.

5. 3x = 5. Logaritmanın tanımına göre x = log35. Cevap: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Denklemi 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8 şeklinde yeniden yazalım, yani.png" width=181" height=49 src=> Dolayısıyla x – 4 =0, x = 4. Cevap: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Üslerin özelliklerini kullanarak denklemi 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, sonra 3∙3x = 9, 3x+1 şeklinde yazıyoruz. = 32, yani x+1 = 2, x =1. Cevap 1.

1 numaralı sorunlu banka.

Denklemi çözün:

1 numaralı test.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) kök yok
	1) 7;1 2) kök yok 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test No.2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) kök yok 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Evrim metodu.

Kök teoremi: f(x) fonksiyonu I aralığında artıyorsa (azalıyorsa), a sayısı f'nin bu aralıkta aldığı herhangi bir değer ise, f(x) = a denkleminin I aralığında tek bir kökü vardır.

Denklemleri tahmin yöntemiyle çözerken, bu teorem ve bir fonksiyonun monotonluk özellikleri kullanılır.

Örnekler. Denklemleri çözün: 1. 4x = 5 – x.

Çözüm. Denklemi 4x +x = 5 olarak yeniden yazalım.

1. eğer x = 1 ise 41+1 = 5, 5 = 5 doğrudur, bu da 1'in denklemin kökü olduğu anlamına gelir.

Fonksiyon f(x) = 4x – R üzerinde artar ve g(x) = x – R üzerinde artar => h(x)= f(x)+g(x) R üzerinde artar, artan fonksiyonların toplamı olarak, o zaman x = 1, 4x = 5 – x denkleminin tek köküdür. Cevap 1.

2.

Çözüm. Denklemi formda yeniden yazalım. .

1. eğer x = -1 ise, o zaman 3 = 3 doğrudur, yani x = -1 denklemin köküdür.

2. Onun tek olduğunu kanıtlayın.

3. Fonksiyon f(x) = - R üzerinde azalır ve g(x) = - x – R üzerinde azalır=> h(x) = f(x)+g(x) – R üzerinde azalır, şunun toplamı olarak: azalan fonksiyonlar Bu, kök teoremine göre denklemin tek kökü x = -1 olduğu anlamına gelir. Cevap 1.

Sorunlu banka No. 2. Denklemi çözün

a) 4x + 1 =6 – x;

B)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi.

Yöntem paragraf 2.1'de açıklanmıştır. Yeni bir değişkenin eklenmesi (ikame), genellikle denklem terimlerinin dönüştürülmesinden (basitleştirilmesinden) sonra gerçekleştirilir. Örneklere bakalım.

Örnekler. R Denklemi çözün: 1. .

Denklemi farklı bir şekilde yeniden yazalım: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width = "128" height = "48 src => i.e..png" width = "210" yükseklik = "45">

Çözüm. Denklemi farklı şekilde yeniden yazalım:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - uygun olmadığını belirleyelim.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" genişlik = "268" yükseklik = "51"> - irrasyonel denklem. şunu not ediyoruz

Denklemin çözümü x = 2,5 ≤ 4'tür, yani denklemin kökü 2,5'tur. Cevap: 2.5.

Çözüm. Denklemi formda yeniden yazalım ve her iki tarafı da 56x+6 ≠ 0'a bölelim. Denklemi elde ederiz.

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

İkinci dereceden denklemin kökleri t1 = 1 ve t2'dir<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Çözüm . Denklemi formda yeniden yazalım.

ve bunun ikinci dereceden homojen bir denklem olduğuna dikkat edin.

Denklemi 42x'e bölersek şunu elde ederiz:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> değerini değiştirelim.

Cevap: 0; 0,5.

Sorunlu banka No. 3. Denklemi çözün

B)

G)

Test No.3 cevap seçenekleriyle. Asgari seviye.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) kök yok 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) kök yok 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test No.4 cevap seçenekleriyle. Genel seviye.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) kök yok

5. Çarpanlara ayırma yöntemi.

1. Denklemi çözün: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , nereden

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Çözüm. Denklemin sol tarafına parantezlerin dışına 6x, sağ tarafına da 2x koyalım. 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x denklemini elde ederiz.

Tüm x'ler için 2x >0 olduğundan, çözümleri kaybetme korkusu olmadan bu denklemin her iki tarafını da 2x'e bölebiliriz. 3x = 1ó x = 0 elde ederiz.

3.

Çözüm. Denklemi çarpanlara ayırma yöntemini kullanarak çözelim.

Binomun karesini seçelim

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" genişlik = "500" yükseklik = "181">

x = -2 denklemin köküdür.

Denklem x + 1 = 0 " stil = "sınır-çöküşü:çöküş;kenarlık:yok">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0.x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test No.6 Genel seviye.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Üstel – güç denklemleri.

Üstel denklemlerin bitişiğinde üstel kuvvet denklemleri adı verilen denklemler bulunur; yani (f(x))g(x) = (f(x))h(x) formundaki denklemler.

Eğer f(x)>0 ve f(x) ≠ 1 olduğu biliniyorsa, bu durumda denklem, üstel denklem gibi, g(x) = f(x) üslerinin eşitlenmesiyle çözülür.

Eğer koşul f(x)=0 ve f(x)=1 olasılığını dışlamıyorsa, üstel bir denklemi çözerken bu durumları dikkate almamız gerekir.

1..png" genişlik = "182" yükseklik = "116 src = ">

2.

Çözüm. x2 +2x-8 – herhangi bir x için anlamlıdır, çünkü bu bir polinomdur, bu da denklemin bütünlüğe eşdeğer olduğu anlamına gelir

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" genişlik = "137" yükseklik = "35">

B)

7. Parametreli üstel denklemler.

1. p parametresinin hangi değerleri için denklem 4 (5 – 3)×2 +4p2–3p = 0 (1)'in benzersiz bir çözümü vardır?

Çözüm. 2x = t, t > 0 yerine koymayı tanıtalım, o zaman denklem (1) t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 formunu alacaktır. (2)

Denklem (2)'nin diskriminantı D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Denklem (2)'nin bir pozitif kökü varsa, Denklem (1)'in benzersiz bir çözümü vardır. Bu aşağıdaki durumlarda mümkündür.

1. Eğer D = 0, yani p = 1 ise denklem (2) t2 – 2t + 1 = 0 formunu alacaktır, dolayısıyla t = 1, dolayısıyla denklem (1)'in tek çözümü x = 0 olacaktır.

2. Eğer p1 ise 9(p – 1)2 > 0 ise denklem (2)'nin iki farklı kökü vardır t1 = p, t2 = 4p – 3. Problemin koşulları bir dizi sistem tarafından karşılanmaktadır.

Sistemlerde t1 ve t2'yi yerine koyarsak,

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Çözüm. İzin vermek bu durumda denklem (3) t2 – 6t – a = 0 formunu alacaktır. (4)

Denklemin (4) en az bir kökünün t > 0 koşulunu sağladığı a parametresinin değerlerini bulalım.

f(t) = t2 – 6t – a fonksiyonunu tanıtalım. Aşağıdaki durumlar mümkündür.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} ikinci dereceden üç terimli f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Durum 2. Denklem (4)'ün tek bir pozitif çözümü vardır:

D = 0, eğer a = – 9 ise denklem (4) (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1 formunu alacaktır.

Durum 3. Denklemin (4) iki kökü vardır, ancak bunlardan biri t > 0 eşitsizliğini sağlamaz. Bu şu şekilde mümkündür:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Dolayısıyla a 0 için denklem (4)'ün tek bir pozitif kökü vardır. . O halde denklem (3)'ün benzersiz bir çözümü vardır

Zaman< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

Eğer bir< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
a = – 9 ise x = – 1;

eğer a 0 ise, o zaman

Denklem (1) ve (3)'ü çözme yöntemlerini karşılaştıralım. Denklem (1)'i çözerken, diskriminantının tam kare olduğu ikinci dereceden bir denkleme indirgendiğine dikkat edin; Böylece ikinci dereceden bir denklemin kökleri formülü kullanılarak denklem (2)'nin kökleri hemen hesaplandı ve ardından bu köklere ilişkin sonuçlar çıkarıldı. Denklem (3), diskriminantı mükemmel bir kare olmayan ikinci dereceden bir denkleme (4) indirgenmiştir, bu nedenle, denklem (3)'ü çözerken, ikinci dereceden bir üç terimlinin köklerinin konumuna ilişkin teoremlerin kullanılması tavsiye edilir. ve bir grafik modeli. Denklemin (4) Vieta teoremi kullanılarak çözülebileceğini unutmayın.

Daha fazlasını çözelim karmaşık denklemler.

Problem 3: Denklemi çözün

Çözüm. ODZ: x1, x2.

Bir yedek sunalım. 2x = t, t > 0 olsun, dönüşümler sonucunda denklem t2 + 2t – 13 – a = 0 formunu alacaktır. (*) En az bir kökü olan a değerlerini bulalım. denklem (*) t > 0 koşulunu karşılar.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Cevap: a > – 13, a  11, a  5 ise, a – 13 ise,

a = 11, a = 5 ise kök yoktur.

Kaynakça.

1. Guzeev eğitim teknolojisinin temelleri.

2. Guzeev teknolojisi: resepsiyondan felsefeye.

M. “Okul Müdürü” Sayı 4, 1996

3. Guzeev ve örgütsel eğitim biçimleri.

4. Guzeev ve bütünleşik eğitim teknolojisinin uygulanması.

M. " Halk eğitim", 2001

5. Ders - seminer formlarından Guzeev.

Okulda matematik No. 2, 1987 s. 9 – 11.

6.Seleuko eğitim teknolojileri.

M. “Halk Eğitimi”, 1998

7. Episheva'nın okul çocukları matematik eğitimi alacak.

M. "Aydınlanma", 1990

8. Ivanova dersler - atölye çalışmaları hazırlıyor.

Okulda matematik No. 6, 1990 s. 37 – 40.

9. Smirnov'un matematik öğretim modeli.

1 numaralı okulda matematik, 1997 s. 32 – 36.

10. Tarasenko'nun pratik çalışmaları organize etme yolları.

1 numaralı okulda matematik, 1993 s. 27 – 28.

11. Bireysel çalışma türlerinden biri hakkında.

Okulda matematik No. 2, 1994, s. 63 – 64.

12. Hazankin Yaratıcı beceriler okul çocukları.

2 numaralı okulda matematik, 1989 s. 10.

13. Scanavi. Yayıncı, 1997

14. ve diğerleri Cebir ve analizin başlangıcı. için didaktik materyaller

15. Krivonogov'un matematikteki görevleri.

M. “1 Eylül”, 2002

16. Çerkasov. Lise öğrencileri için el kitabı ve

üniversitelere giriyor. “A S T - basın okulu”, 2002

17. Üniversitelere girenler için Zhevnyak.

Minsk ve Rusya Federasyonu “İnceleme”, 1996

18. Yazılı D. Matematik sınavına hazırlanıyoruz. M. Rolf, 1999

19. vb. Denklem ve eşitsizlikleri çözmeyi öğrenmek.

M. "Akıl - Merkez", 2003

20. vb. EGE'ye hazırlık için eğitim ve öğretim materyalleri.

M. "İstihbarat - Merkez", 2003 ve 2004.

21 ve diğerleri CMM seçenekleri. Rusya Federasyonu Savunma Bakanlığı Test Merkezi, 2002, 2003.

22. Goldberg denklemleri. "Kuantum" Sayı 3, 1971

23. Volovich M. Matematik nasıl başarılı bir şekilde öğretilir.

Matematik, 1997 Sayı 3.

24 Okunev derse çocuklar! M.Eğitim, 1988

25. Okulda Yakimanskaya odaklı öğrenme.

26. Sınırlar sınıfta çalışır. M.Bilgi, 1975

Üstel denklemlerin çözümü. Örnekler.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Ne oldu üstel denklem? Bu, bilinmeyenlerin (x'ler) ve onlarla ifadelerin yer aldığı bir denklemdir. göstergeler bazı dereceler. Ve sadece orada! Bu önemli.

İşte buradasın üstel denklem örnekleri:

3 x 2 x = 8 x+3

Not! Derece bazında (aşağıda) - Sadece sayılar. İÇİNDE göstergeler derece (yukarıda) - X'li çok çeşitli ifadeler. Aniden denklemde gösterge dışında bir yerde bir X belirirse, örneğin:

bu bir denklem olacak karışık tip. Bu tür denklemlerin çözümü için açık kurallar yoktur. Şimdilik bunları dikkate almayacağız. Burada ilgileneceğiz üstel denklemleri çözme en saf haliyle.

Aslında saf üstel denklemler bile her zaman net bir şekilde çözülmeyebilir. Ancak çözülebilecek ve çözülmesi gereken belirli türde üstel denklemler vardır. Bunlar ele alacağımız türler.

Basit üstel denklemlerin çözümü.

Öncelikle çok basit bir şeyi çözelim. Örneğin:

Herhangi bir teori olmadan bile basit seçimle x = 2 olduğu açıktır. Başka bir şey yok, değil mi? X'in başka hiçbir değeri işe yaramaz. Şimdi bu zorlu üstel denklemin çözümüne bakalım:

Ne yaptık? Aslında biz aynı üsleri (üçlüleri) attık. Tamamen dışarı atıldı. Ve iyi haber şu ki, çiviyi kafamıza vurduk!

Aslında üstel bir denklemde sol ve sağ varsa aynısı Herhangi bir kuvvetteki sayılar, bu sayılar kaldırılabilir ve üsler eşitlenebilir. Matematik izin verir. Geriye çok daha basit bir denklemi çözmek kalıyor. Harika, değil mi?)

Ancak şunu kesin olarak hatırlayalım: Bazları ancak soldaki ve sağdaki baz numaraları muhteşem bir izolasyonda olduğunda kaldırabilirsiniz! Herhangi bir komşu ve katsayı olmadan. Denklemlerde şunu söyleyelim:

2 x +2 x+1 = 2 3 veya

ikili kaldırılamaz!

En önemli konuda ustalaştık. Kötülükten nasıl uzaklaşılır açıklayıcı ifadeler daha basit denklemlere.

"Bu zamanlar!" - diyorsun. “Testler ve sınavlarla ilgili bu kadar ilkel bir dersi kim verir ki!?”

Katılıyorum. Kimse yapmaz. Ancak artık zorlu örnekleri çözerken nereye nişan almanız gerektiğini biliyorsunuz. Sağda ve solda aynı taban numarasının olacağı forma getirilmesi gerekmektedir. O zaman her şey daha kolay olacak. Aslında bu bir matematik klasiğidir. Orjinal örneği alıp istenilen şekle dönüştürüyoruz biz akıl. Elbette matematik kurallarına göre.

En basitine indirgemek için biraz daha çaba gerektiren örneklere bakalım. Onları arayalım basit üstel denklemler.

Basit üstel denklemlerin çözümü. Örnekler.

Üstel denklemleri çözerken ana kurallar şunlardır: dereceleri olan eylemler. Bu eylemlerin bilgisi olmadan hiçbir şey işe yaramaz.

Dereceli eylemlere kişisel gözlem ve yaratıcılık eklenmelidir. Aynı taban sayılarına mı ihtiyacımız var? Bu yüzden bunları örnekte açık veya şifreli biçimde arıyoruz.

Bakalım bu pratikte nasıl yapılıyor?

Bir örnek verelim:

2 2x - 8x+1 = 0

İlk keskin bakış gerekçesiyle. Onlar... Onlar farklı! İki ve sekiz. Ama cesaretinizi kırmak için henüz çok erken. Bunu hatırlamanın zamanı geldi

İki ile sekiz derece bakımından akrabadır.) Şöyle yazmak pekâlâ mümkündür:

8 x+1 = (2 3) x+1

Formülü dereceli işlemlerden hatırlarsak:

(bir n) m = bir nm,

bu harika sonuç veriyor:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Orijinal örnek şöyle görünmeye başladı:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Transfer ediyoruz 2 3 (x+1) sağda (hiç kimse matematiğin temel işlemlerini iptal etmedi!), şunu elde ederiz:

2 2x = 2 3(x+1)

Neredeyse hepsi bu. Bazların çıkarılması:

Bu canavarı çözeriz ve alırız

Bu doğru cevap.

Bu örnekte ikinin kuvvetlerini bilmek bize yardımcı oldu. Biz tanımlanmış sekizde şifrelenmiş iki tane var. Bu teknik (ortak zeminlerin şifrelenmesi) farklı sayılar) üstel denklemlerde çok popüler bir tekniktir! Evet, logaritmalarda da. Sayılardaki diğer sayıların kuvvetlerini tanıyabilmeniz gerekir. Üstel denklemlerin çözümü için bu son derece önemlidir.

Gerçek şu ki, herhangi bir sayıyı herhangi bir kuvvete yükseltmek sorun değil. Kağıt üzerinde bile çoğaltın, hepsi bu. Örneğin herkes 3'ün beşinci kuvvetine ulaşabilir. Çarpım tablosunu biliyorsanız 243 işe yarayacaktır.) Ancak üstel denklemlerde çoğu zaman bir kuvvete ulaşmak gerekli değildir, tam tersi... Öğrenin hangi sayı ne dereceye kadar 243 veya 343 sayısının arkasında gizlidir... Burada hiçbir hesap makinesi size yardımcı olamaz.

Bazı sayıların kuvvetlerini görerek bilmeniz gerekir değil mi... Hadi pratik yapalım mı?

Sayıların hangi güçlere ve hangi sayılara sahip olduğunu belirleyin:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Cevaplar (elbette bir karmaşa içinde!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Yakından bakarsanız görebilirsiniz garip gerçek. Görevlerden çok daha fazla cevap var! Öyle oluyor... Örneğin, 2 6, 4 3, 8 2 - hepsi 64.

Sayılarla ilgili bilgileri not aldığınızı varsayalım.) Üstel denklemleri çözmek için kullandığımızı da hatırlatayım. Tümü matematiksel bilgi birikimi. Orta ve orta sınıftan olanlar da dahil. Doğrudan liseye gitmedin, değil mi?)

Örneğin, üstel denklemleri çözerken, ortak çarpanı parantez dışında bırakmak çoğu zaman yardımcı olur (7. sınıfa merhaba!). Bir örneğe bakalım:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Ve yine ilk bakış temellerde! Derecelerin tabanları farklıdır... Üç ve dokuz. Ama biz onların aynı olmasını istiyoruz. Peki, bu durumda arzu tamamen yerine getirildi!) Çünkü:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Derecelerle ilgilenirken aynı kuralları kullanmak:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Bu harika, yazabilirsiniz:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Aynı nedenlerle bir örnek verdik. Peki sırada ne var? Üçlü atamazsın... Çıkmaz sokak mı?

Hiç de bile. En evrensel ve güçlü karar kuralını hatırlayın herkes matematik görevleri:

Neye ihtiyacınız olduğunu bilmiyorsanız elinizden geleni yapın!

Bak, her şey yoluna girecek).

Bu üstel denklemde ne var? Olabilmek Yapmak? Evet, sol tarafta parantezlerin dışına çıkmak için yalvarıyor! 3 2x'lik genel çarpan bunu açıkça ima ediyor. Deneyelim, sonra göreceğiz:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Örnek giderek daha iyi hale geliyor!

Temelleri ortadan kaldırmak için herhangi bir katsayı olmaksızın saf bir dereceye ihtiyacımız olduğunu hatırlıyoruz. 70 sayısı bizi rahatsız ediyor. Denklemin her iki tarafını da 70'e bölersek şunu elde ederiz:

Hata! Her şey daha iyi oldu!

Bu son cevaptır.

Ancak aynı temelde taksilemenin de sağlandığı ancak bunların ortadan kaldırılmasının mümkün olmadığı durumlar da vardır. Bu, diğer üstel denklem türlerinde de olur. Bu türe hakim olalım.

Üstel denklemlerin çözümünde bir değişkenin değiştirilmesi. Örnekler.

Denklemi çözelim:

4 x - 3 2 x +2 = 0

İlk olarak - her zamanki gibi. Bir üsse geçelim. Bir ikiliye.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Denklemi elde ederiz:

2 2x - 3 2x +2 = 0

Ve burası da takıldığımız yer. Nasıl bakarsanız bakın, önceki teknikler işe yaramayacaktır. Cephaneliğimizden başka bir güçlü ve evrensel yöntem çıkarmamız gerekecek. Buna denir değişken değiştirme.

Yöntemin özü şaşırtıcı derecede basittir. Bir karmaşık simge yerine (bizim durumumuzda - 2 x), daha basit bir tane daha yazıyoruz (örneğin - t). Görünüşte anlamsız bir değişim harika sonuçlara yol açıyor!) Her şey netleşiyor ve anlaşılır hale geliyor!

Öyleyse izin ver

O zaman 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Denklemimizde tüm kuvvetleri x ve t ile değiştiriyoruz:

Peki, aklına geldi mi?) İkinci dereceden denklemleri henüz unuttun mu? Diskriminant yoluyla çözerek şunu elde ederiz:

Burada asıl önemli olan durmamak, olduğu gibi... Henüz cevap bu değil, x'e ihtiyacımız var, t'ye değil. X'lere dönelim, yani. ters değiştirme yapıyoruz. İlk olarak t 1 için:

Yani,

Bir kök bulundu. T 2'den ikincisini arıyoruz:

Hm... 2 x solda, 1 x sağda... Sorun mu var? Hiç de bile! Bir birimin (güçlü operasyonlardan, evet...) hatırlanması yeterlidir. herhangi sayının sıfır kuvveti. Herhangi. Ne gerekiyorsa onu yerleştireceğiz. İkiye ihtiyacımız var. Araç:

Artık bu kadar. 2 kökümüz var:

Cevap bu.

Şu tarihte: üstel denklemleri çözme sonunda bazen tuhaf bir ifadeyle karşılaşıyorsunuz. Tip:

Yedi, basit bir kuvvetle ikiye dönüştürülemez. Akraba değiller... Nasıl olabiliriz? Birisinin kafası karışmış olabilir... Ama bu sitede "Logaritma nedir?" konusunu okuyan kişi. , sadece idareli bir şekilde gülümsüyor ve kararlı bir el ile kesinlikle doğru cevabı yazıyor:

Birleşik Devlet Sınavında “B” görevlerinde böyle bir cevap olamaz. Orada belirli bir sayı gerekiyor. Ancak “C” görevlerinde bu kolaydır.

Bu ders en yaygın üstel denklemlerin çözümüne ilişkin örnekler sağlar. Ana noktaları vurgulayalım.

Pratik ipuçları:

1. Öncelikle şuna bakıyoruz: zemin derece. Bunları yapmanın mümkün olup olmadığını merak ediyoruz birebir aynı. Bunu aktif olarak kullanarak yapmaya çalışalım. dereceleri olan eylemler. X'siz sayıların da üssüne dönüştürülebileceğini unutmayın!

2. Üstel denklemi solda ve sağda iken forma getirmeye çalışıyoruz. aynısı herhangi bir kuvvetteki sayılar. Kullanırız dereceli eylemler Ve çarpanlara ayırma. Sayılarla sayılabilenleri sayarız.

3. İkinci ipucu işe yaramazsa değişken değiştirmeyi deneyin. Sonuç kolayca çözülebilecek bir denklem olabilir. Çoğu zaman - kare. Veya kesirli, bu da kareye indirgenir.

4. Üstel denklemleri başarılı bir şekilde çözmek için bazı sayıların kuvvetlerini görsel olarak bilmeniz gerekir.

Her zamanki gibi dersin sonunda biraz karar vermeye davetlisiniz.) Kendi başınıza. Basitten karmaşığa.

Üstel denklemleri çözün:

Daha zor:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Köklerin çarpımını bulun:

2 3'ler + 2 x = 9

Olmuş?

İyi o zaman en karmaşık örnek(Ancak, aklımda karar verdim...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Daha ilginç olan ne? O zaman işte sana kötü örnek. Artan zorluk açısından oldukça cazip. Bu örnekte sizi kurtaracak şeyin yaratıcılık ve tüm matematik problemlerini çözmenin en evrensel kuralı olduğunu belirteyim.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Rahatlamak için daha basit bir örnek):

9 2 x - 4 3 x = 0

Tatlı olarak da. Denklemin köklerinin toplamını bulun:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Evet evet! Bu karma tipte bir denklemdir! Bu derste bunu dikkate almadık. Neden bunları düşünelim, çözülmeleri gerekiyor!) Bu ders denklemi çözmek için oldukça yeterli. Peki, yaratıcılığa ihtiyacın var... Ve yedinci sınıf sana yardım etsin (bu bir ipucu!).

Cevaplar (dağınık, noktalı virgülle ayrılmış):

1; 2; 3; 4; hiçbir çözüm yok; 2; -2; -5; 4; 0.

Her şey başarılı mı? Harika.

Bir problem var? Sorun değil! Özel Bölüm 555'te tüm bu üstel denklemler şu şekilde çözülür: detaylı açıklamalar. Ne, neden ve neden. Ve elbette her türlü üstel denklemle çalışmaya ilişkin değerli ek bilgiler de var. Sadece bunlar değil.)

Düşünülmesi gereken son eğlenceli soru. Bu dersimizde üstel denklemlerle çalıştık. Neden burada ODZ hakkında tek kelime etmedim? Denklemlerde bu çok önemli bir şey bu arada...

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Teçhizat:

• bilgisayar,
• multimedya projektörü,
• ekran,
• Ek 1(PowerPoint slayt sunumu) “Üstel denklemleri çözme yöntemleri”
• Ek 2(“Üç” gibi bir denklemin çözülmesi farklı üsler Dereceler” Word’de)
• Ek 3(Word için bildiri pratik iş).
• Ek 4(ev ödevi olarak Word'de dağıtılan not).

Dersler sırasında

1. Organizasyon aşaması

• Ders konusunun mesajı (tahtaya yazılır),
• 10-11. Sınıflarda genel bir derse duyulan ihtiyaç:

Öğrencileri aktif öğrenmeye hazırlama aşaması

Tekrarlama

Tanım.

Üstel denklem, üssü olan bir değişken içeren bir denklemdir (öğrenci cevapları).

Öğretmenin notu. Üstel denklemler aşkın denklemler sınıfına aittir. Bu telaffuz edilemeyen isim, genel olarak konuşursak, bu tür denklemlerin formüller biçiminde çözülemeyeceğini göstermektedir.

Bilgisayarlarda ancak sayısal yöntemlerle yaklaşık olarak çözülebilirler. Peki ya sınav görevleri? İşin püf noktası, incelemecinin sorunu analitik bir çözüme olanak sağlayacak şekilde çerçevelemesidir. Başka bir deyişle, bu üstel denklemi en basit üstel denkleme indirgeyen özdeş dönüşümleri gerçekleştirebilirsiniz (ve yapmalısınız!). Bu en basit denklem şöyle adlandırılır: en basit üstel denklem. Çözülüyor logaritma ile.

Üstel bir denklemin çözülmesindeki durum, problemin yazarı tarafından özel olarak icat edilen bir labirentte seyahat etmeyi anımsatıyor. Bu çok genel argümanlardan çok özel öneriler geliyor.

Üstel denklemleri başarıyla çözmek için şunları yapmalısınız:

1. Yalnızca tüm üstel kimlikleri aktif olarak bilmekle kalmayın, aynı zamanda bu kimliklerin tanımlandığı değişken değer kümelerini de bulun, böylece bu kimlikleri kullanırken gereksiz kökler elde etmezsiniz ve hatta çözümleri kaybetmezsiniz denklem.

2. Tüm üstel kimlikleri aktif olarak bilin.

3. Denklemlerin matematiksel dönüşümlerini açıkça, ayrıntılı ve hatasız olarak gerçekleştirin (terimleri denklemin bir kısmından diğerine aktarın, işareti değiştirmeyi unutmadan, kesirleri ortak bir paydaya getirin, vb.). Buna matematik kültürü denir. Aynı zamanda, hesaplamalar otomatik olarak elle yapılmalı ve kafa, çözümün genel yol gösterici konusunu düşünmelidir. Dönüşümler mümkün olduğunca dikkatli ve ayrıntılı olarak yapılmalıdır. Yalnızca bu, doğru ve hatasız bir kararı garanti edecektir. Ve unutmayın: Küçük bir aritmetik hata, prensipte analitik olarak çözülemeyen aşkın bir denklem yaratabilir. Görünüşe göre yolunuzu kaybetmişsiniz ve labirentin duvarına çarpmışsınız.

4. Sorunları çözme yöntemlerini bilin (yani çözüm labirentindeki tüm yolları bilin). Her aşamada doğru şekilde gezinmek için şunları yapmanız gerekir (bilinçli veya sezgisel olarak!):

• tanımlamak denklem türü;
• karşılık gelen türü hatırla çözüm yöntemi görevler.

Çalışılan materyalin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi aşaması.

Öğretmen, bilgisayar kullanan öğrencilerle birlikte her türlü üstel denklemi ve bunları çözme yöntemlerini gözden geçirir, derler. genel şema. (Kullanılmış eğitim bilgisayar programı L.Ya. Borevsky "Matematik Kursu - 2000", PowerPoint sunumunun yazarı T.N. Kuptsova.)

Pirinç. 1.Şekilde her türlü üstel denklemin genel bir diyagramı gösterilmektedir.

Bu şemadan da görülebileceği gibi üstel denklemleri çözme stratejisi, verilen üstel denklemi denkleme indirgemektir, öncelikle, aynı derece tabanlarına sahip , ve sonra – ve aynı derece göstergeleri ile.

Aynı taban ve üslere sahip bir denklem elde ettiğinizde, bu üssü yeni bir değişkenle değiştirirsiniz ve bu yeni değişkene göre basit bir cebirsel denklem (genellikle kesirli-rasyonel veya ikinci dereceden) elde edersiniz.

Bu denklemi çözdükten ve ters ikameyi yaptıktan sonra, şu şekilde çözülebilecek bir dizi basit üstel denklem elde edersiniz: Genel görünüm logaritma kullanarak.

Sadece (kısmi) kuvvetlerin çarpımlarının bulunduğu denklemler göze çarpmaktadır. Üstel özdeşlikleri kullanarak bu denklemleri hemen tek bir tabana, özellikle de en basit üstel denkleme indirgemek mümkündür.

Üç farklı tabanlı üstel bir denklemin nasıl çözüleceğine bakalım.

(Öğretmen L.Ya. Borevsky'nin “Matematik Dersi - 2000” eğitim bilgisayar programına sahipse, o zaman doğal olarak diskle çalışırız, yoksa, her masa için bu tür bir denklemin çıktısını alabilirsiniz, aşağıda sunulmuştur.)

Pirinç. 2. Denklemin çözümü için plan yapın.

Pirinç. 3. Denklemi çözmeye başlayın

Pirinç. 4. Denklemi çözmeyi bitirin.

Pratik çalışmalar yapmak

Denklemin türünü belirleyin ve çözün.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Dersi özetlemek

Ders için notlandırma.

Ders sonu

Öğretmen için

Cevap şemasını uygulayın.

Egzersiz yapmak: Denklem listesinden belirtilen türdeki denklemleri seçin (cevap numarasını tabloya girin):

1. Üç farklı derece tabanı
2. İki farklı taban – farklı üsler
3. Kuvvet esasları - bir sayının kuvvetleri
4. Aynı tabanlar – farklı üsler
5. Aynı derece tabanları - aynı derece göstergeleri
6. Güçlerin çarpımı
7. İki farklı derece bazı – aynı göstergeler
8. En basit üstel denklemler

1. (güçlerin ürünü)

2. (aynı tabanlar – farklı üsler)

Üstel denklem nedir? Örnekler.

Yani, üstel bir denklem... Çok çeşitli denklemlerden oluşan genel sergimizde yeni ve benzersiz bir sergi!) Neredeyse her zaman olduğu gibi, herhangi bir yeni matematik teriminin anahtar kelimesi, onu karakterize eden karşılık gelen sıfattır. İşte burada. “Üstel denklem” terimindeki anahtar kelime, "gösterge". Bu ne anlama geliyor? Bu kelime bilinmeyenin (x) bulunduğu anlamına gelir. herhangi bir derece açısından. Ve sadece orada! Bu son derece önemlidir.

Örneğin, şu basit denklemler:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Veya şu canavarlar bile:

2 günah x = 0,5

Lütfen hemen önemli bir şeye dikkat edin: sebepler derece (alt) – Sadece sayılar. Ama içinde göstergeler derece (yukarıda) - X'li çok çeşitli ifadeler. Kesinlikle herhangi biri.) Her şey belirli bir denkleme bağlıdır. Göstergeye ek olarak birdenbire denklemin başka bir yerinde x belirirse (örneğin, 3 x = 18 + x 2), o zaman böyle bir denklem zaten bir denklem olacaktır. karışık tip. Bu tür denklemlerin çözümü için açık kurallar yoktur. Bu nedenle bu derste bunları ele almayacağız. Öğrencilerin hoşuna gidecek şekilde.) Burada yalnızca üstel denklemleri "saf" formlarında ele alacağız.

Genel olarak konuşursak, saf üstel denklemlerin tümü ve hatta her zaman bile net bir şekilde çözülemez. Ancak üstel denklemlerin tüm zengin çeşitliliği arasında çözülebilen ve çözülmesi gereken belirli türler vardır. Bu tür denklemleri ele alacağız. Ve mutlaka örnekleri çözeceğiz.) O halde rahatlayalım ve yola çıkalım! Bilgisayar oyunlarında olduğu gibi yolculuğumuz seviyeler üzerinden gerçekleşecek.) Temelden basite, basitten orta seviyeye ve orta seviyeden karmaşığa. Yol boyunca sizi gizli bir seviye de bekliyor olacak - standart olmayan örnekleri çözme teknikleri ve yöntemleri. Çoğu okul kitabında okumayacağınız şeyler... Eh, sonunda elbette ödev şeklinde son patron sizi bekliyor.)

Seviye 0. En basit üstel denklem nedir? Basit üstel denklemlerin çözümü.

İlk olarak, bazı açık ve temel konulara bakalım. Bir yerden başlamak lazım değil mi? Örneğin, bu denklem:

2 x = 2 2

Herhangi bir teori olmadan bile, basit mantığa göre ve sağduyu x = 2 olduğu açık. Başka yolu yok değil mi? X'in başka hiçbir anlamı uygun değil... Şimdi dikkatimizi şuna çevirelim: karar kaydı bu harika üstel denklem:

2 x = 2 2

X = 2

Bize ne oldu? Ve aşağıdakiler oldu. Aslında onu aldık ve... aynı üsleri (ikili) attık! Tamamen dışarı atıldı. Ve iyi haber şu ki, hedef tahtasına ulaştık!

Evet, eğer üstel bir denklemde sol ve sağ varsa aynısı sayıların herhangi bir kuvvette olması durumunda bu sayılar atılabilir ve basitçe üsler eşitlenebilir. Matematik izin verir.) Ve sonra göstergelerle ayrı ayrı çalışabilir ve çok daha basit bir denklemi çözebilirsiniz. Harika, değil mi?

Herhangi bir (evet, kesinlikle herhangi bir!) üstel denklemi çözmenin temel fikri: kullanarak kimlik dönüşümleri denklemde sol ve sağın eşit olmasını sağlamak gerekir aynısı çeşitli güçlerdeki taban sayıları. Daha sonra aynı tabanları güvenle kaldırabilir ve üsleri eşitleyebilirsiniz. Ve daha basit bir denklemle çalışın.

Şimdi demir kuralı hatırlayalım: aynı tabanları kaldırmak ancak ve ancak denklemin solunda ve sağındaki sayıların taban sayıları olması durumunda mümkündür gururlu bir yalnızlık içinde.

Muhteşem izolasyonda ne anlama geliyor? Bu, komşuların ve katsayıların olmadığı anlamına gelir. Açıklamama izin ver.

Örneğin, Denklem.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Üçler kaldırılamaz! Neden? Çünkü solda sadece derece derece yalnız bir üçlük değil, aynı zamanda iş 3.3x-5 . Fazladan üç tanesi müdahale ediyor: katsayı, anlıyorsunuz.)

Aynı şey denklem için de söylenebilir

5 3 x = 5 2 x +5 x

Burada da tüm üsler aynı - beş. Ancak sağda beşin tek bir kuvveti yok: kuvvetlerin toplamı var!

Kısacası üstel denklemimiz ancak ve ancak şu şekilde göründüğünde aynı tabanları çıkarma hakkına sahibiz:

AF (X) = bir g (X)

Bu tür üstel denklemlere denir en basit. Veya bilimsel olarak kanonik . Ve önümüzde hangi karmaşık denklem olursa olsun, öyle ya da böyle onu tam olarak bu en basit (kanonik) forma indirgeyeceğiz. Veya bazı durumlarda bütünlük Bu tür denklemler. O zaman en basit denklemimiz genel formda şu şekilde yeniden yazılabilir:

F(x) = g(x)

Bu kadar. Bu eşdeğer bir dönüşüm olacaktır. Bu durumda f(x) ve g(x) kesinlikle x içeren herhangi bir ifade olabilir. Her neyse.

Belki özellikle meraklı bir öğrenci şunu merak edecektir: Neden soldaki ve sağdaki aynı tabanları bu kadar kolay ve basit bir şekilde atıp üsleri eşitliyoruz? Sezgi sezgidir, peki ya bazı denklemlerde ve herhangi bir nedenle bu yaklaşımın yanlış olduğu ortaya çıkarsa? Aynı gerekçeleri ortaya atmak her zaman yasal mıdır? Ne yazık ki, buna kesin bir matematiksel cevap için faiz Sor oldukça derin ve ciddi bir şekilde dalmanız gerekir genel teori cihaz ve fonksiyon davranışı. Ve biraz daha spesifik olarak - fenomende katı monotonluk.Özellikle katı monotonluk üstel fonksiyonsen= bir x. Üstel denklemlerin çözümünün altında yatan üstel fonksiyon ve onun özellikleri olduğundan, evet.) Bu soruya ayrıntılı bir cevap, farklı fonksiyonların monotonluğunu kullanarak karmaşık standart dışı denklemleri çözmeye ayrılmış ayrı bir özel derste verilecektir.)

Bu noktayı şimdi ayrıntılı olarak açıklamak, ortalama bir öğrencinin aklını başından alacak ve onu kuru ve ağır bir teoriyle vaktinden önce korkutup kaçıracaktır. Bunu yapmayacağım.) Çünkü bizim ana şu an görev - Üstel denklemleri çözmeyi öğrenin! En basitleri! Bu nedenle, henüz endişelenmeyelim ve aynı nedenleri cesurca bir kenara atalım. Bu Olabilmek, sözüme güvenin!) Ve sonra f(x) = g(x) eşdeğer denklemini çözüyoruz. Kural olarak, orijinal üstelden daha basittir.

Elbette insanların en azından üslü denklemleri ve x'siz denklemleri nasıl çözeceklerini zaten bildikleri varsayılmaktadır.) Hala nasıl yapılacağını bilmeyenler için bu sayfayı kapatmaktan çekinmeyin, ilgili bağlantıları takip edin ve doldurun. eski boşluklar. Yoksa işiniz çok zor olur evet...

Temellerin ortadan kaldırılması sürecinde de ortaya çıkabilecek irrasyonel, trigonometrik ve diğer acımasız denklemlerden bahsetmiyorum. Ancak paniğe kapılmayın, şimdilik doğrudan zulmü derece açısından değerlendirmeyeceğiz: henüz çok erken. Yalnızca en basit denklemler üzerinde eğitim alacağız.)

Şimdi en basitine indirgemek için biraz daha çaba gerektiren denklemlere bakalım. Ayrım yapmak adına onlara şöyle diyelim basit üstel denklemler. Öyleyse bir sonraki seviyeye geçelim!

Seviye 1. Basit üstel denklemler. Dereceleri tanıyalım! Doğal göstergeler.

Herhangi bir üstel denklemin çözümünde temel kurallar şunlardır: derecelerle ilgili kurallar. Bu bilgi ve beceri olmadan hiçbir şey işe yaramaz. Ne yazık ki. Yani, eğer derecelerle ilgili bir sorun varsa, o zaman öncelikle hoş geldiniz. Ayrıca ihtiyacımız da olacak. Bu dönüşümler (ikisi!) genel olarak tüm matematiksel denklemlerin çözülmesinin temelini oluşturur. Ve sadece kanıtlayıcı olanlar değil. O halde kim unutursa, şu bağlantıya da bir baksın: Ben onları oraya öylece koymuyorum.

Ancak yetkilerle yapılan operasyonlar ve kimlik dönüşümleri tek başına yeterli değil. Kişisel gözlem ve yaratıcılık da gereklidir. Aynı nedenlere ihtiyacımız var, değil mi? Bu yüzden örneği inceliyoruz ve onları açık veya gizli bir biçimde arıyoruz!

Örneğin, bu denklem:

3 2 x – 27 x +2 = 0

İlk bakış zemin. Onlar farklı! Üç ve yirmi yedi. Ancak paniğe kapılmak ve umutsuzluğa kapılmak için henüz çok erken. Bunu hatırlamanın zamanı geldi

27 = 3 3

3 ve 27 sayıları derece bakımından akrabadır! Ve yakın olanlar.) Bu nedenle şunu yazmaya hakkımız var:

27 x +2 = (3 3) x+2

Şimdi bilgilerimizi birleştirelim dereceli eylemler(ve seni uyarmıştım!). Orada çok kullanışlı bir formül var:

(bir m) n = bir mn

Şimdi bunu uygulamaya koyarsanız harika sonuç verir:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Orijinal örnek artık şuna benziyor:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Harika, derecelerin tabanları düzleşti. Biz de bunu istedik. Savaşın yarısı tamamlandı.) Şimdi temel kimlik dönüşümünü başlatıyoruz - 3 3(x +2)'yi sağa hareket ettirin. Hiç kimse matematiğin temel işlemlerini iptal etmedi, evet.) Şunu anlıyoruz:

3 2 x = 3 3(x +2)

Bu tür bir denklem bize ne verir? Ve şimdi denklemimizin azaldığı gerçeği kanonik forma: solda ve sağda güçlerde aynı sayılar (üçler) vardır. Üstelik her üçü de muhteşem bir izolasyon içinde. Üçlüleri çıkarmaktan çekinmeyin ve şunları elde edin:

2x = 3(x+2)

Bunu çözüyoruz ve şunu elde ediyoruz:

X = -6

Bu kadar. Bu doğru cevap.)

Şimdi çözümü düşünelim. Bu örnekte bizi ne kurtardı? Üçün güçlerini bilmek bizi kurtardı. Tam olarak nasıl? Biz tanımlanmış 27 numarada şifrelenmiş bir üçlü var! Bu numara (aynı tabanı farklı sayılar altında kodlamak) üstel denklemlerde en popüler numaralardan biridir! En popüleri olmadığı sürece. Evet, bu arada, aynı şekilde. Üstel denklemlerde gözlem ve sayılardaki diğer sayıların kuvvetlerini tanıma yeteneğinin bu kadar önemli olmasının nedeni budur!

Pratik tavsiye:

Popüler sayıların güçlerini bilmeniz gerekir. Yüzünde!

Elbette herkes ikinin yedinci kuvvetine veya üçün beşinci kuvvetine yükseltebilir. Aklımda değil ama en azından taslakta. Ancak üstel denklemlerde, çoğu zaman bir kuvvete yükseltmek gerekli değildir, bunun yerine, örneğin 128 veya 243 gibi bir sayının arkasında hangi sayının ve hangi kuvvetin saklı olduğunu bulmak gerekir. Ve bu, basit bir yükseltmeden daha karmaşıktır, kabul edeceksin. Dedikleri gibi farkı hissedin!

Dereceleri şahsen tanıma yeteneği sadece bu seviyede değil, sonraki seviyelerde de faydalı olacağından, işte size küçük bir görev:

Sayıların hangi güçlere ve hangi sayılara sahip olduğunu belirleyin:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Cevaplar (elbette rastgele):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Evet evet! Görevlerden çok yanıtların olmasına şaşırmayın. Örneğin 2 8, 4 4 ve 16 2'nin hepsi 256'dır.

Seviye 2. Basit üstel denklemler. Dereceleri tanıyalım! Negatif ve kesirli göstergeler.

Bu seviyede zaten derece bilgimizi sonuna kadar kullanıyoruz. Yani bu büyüleyici sürece negatif ve kesirli göstergeleri dahil ediyoruz! Evet evet! Gücümüzü arttırmamız lazım değil mi?

Örneğin şu korkunç denklem:

Yine ilk bakış temellere oluyor. Nedenleri farklı! Ve bu sefer birbirlerine uzaktan bile benzemiyorlar! 5 ve 0.04... Ve üsleri ortadan kaldırmak için aynı olanlara ihtiyaç var... Ne yapmalı?

Önemli değil! Aslında her şey aynı, sadece beş ile 0,04 arasındaki bağlantı görsel olarak zayıf görünüyor. Nasıl dışarı çıkabiliriz? Sıradan bir kesir olarak 0,04 sayısına geçelim! Ve sonra görüyorsunuz, her şey yoluna girecek.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Vay! 0,04'ün 1/25 olduğu ortaya çıktı! Peki, kimin aklına gelirdi!)

Nasıl? 5 ile 1/25 sayıları arasındaki bağlantıyı görmek artık daha kolay mı? Bu kadar...

Ve şimdi dereceli eylem kurallarına göre negatif gösterge Sabit bir elle yazabilirsiniz:

Bu harika. Böylece aynı üsse ulaştık - beş. Şimdi denklemdeki uygunsuz sayı olan 0,04'ü 5 -2 ile değiştiririz ve şunu elde ederiz:

Yine dereceli işlem kurallarına göre artık şunu yazabiliriz:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Her ihtimale karşı, (eğer bilmeyen varsa) diplomalarla ilgili temel kuralların aşağıdakiler için geçerli olduğunu hatırlatırım: herhangi göstergeler! Negatif olanlar dahil.) Bu nedenle, (-2) ve (x-1) göstergelerini uygun kurala göre alıp çarpmaktan çekinmeyin. Denklemimiz giderek daha iyi hale geliyor:

Tüm! Sol ve sağdaki güçlerde yalnız beşliler dışında başka hiçbir şey yok. Denklem kanonik forma indirgenir. Ve sonra - tırtıklı yol boyunca. Beşleri kaldırıyoruz ve göstergeleri eşitliyoruz:

X 2 –6 X+5=-2(X-1)

Örnek neredeyse çözüldü. Geriye kalan tek şey ilkokul ortaokul matematiği - parantezleri açın (doğru şekilde!) ve soldaki her şeyi toplayın:

X 2 –6 X+5 = -2 X+2

X 2 –4 X+3 = 0

Bunu çözüyoruz ve iki kök alıyoruz:

X 1 = 1; X 2 = 3

Bu kadar.)

Şimdi tekrar düşünelim. Bu örnekte yine aynı sayıyı farklı derecelerde tanımak zorunda kaldık! Yani 0,04 sayısında şifreli bir beş görmek. Ve bu sefer - negatif derece! Bunu nasıl yaptık? Hemen - mümkün değil. Ama geçişten sonra ondalık 0,04 üzeri 1/25 ortak kesri ve bu kadar! Ve sonra tüm karar saat gibi ilerledi.)

Bu nedenle, başka bir yeşil pratik tavsiye.

Üstel bir denklem ondalık kesirler içeriyorsa, ondalık kesirlerden sıradan kesirlere geçeriz. İÇİNDE sıradan kesirler Birçok popüler sayının kuvvetlerini tanımak çok daha kolay! Tanıdıktan sonra kesirlerden negatif üslü kuvvetlere geçiyoruz.

Bu hilenin üstel denklemlerde çok çok sık meydana geldiğini unutmayın! Ancak kişi konunun içinde değil. Mesela 32 ve 0,125 sayılarına bakıyor ve üzülüyor. Onun haberi olmadan bu bir ve aynı ikidir, yalnızca farklı derecelerde... Ama siz zaten biliyorsunuz!)

Denklemi çözün:

İçinde! Sessiz bir korkuya benziyor... Ancak görünüş aldatıcıdır. Bu, göz korkutucu olmasına rağmen en basit üstel denklemdir. dış görünüş. Şimdi size göstereceğim.)

Öncelikle tabanlardaki ve katsayılardaki tüm sayılara bakalım. Elbette farklılar, evet. Ama yine de risk alacağız ve bunları yapmaya çalışacağız birebir aynı! Ulaşmaya çalışalım farklı güçlerde aynı sayı. Ayrıca sayıların mümkün olduğu kadar küçük olması tercih edilir. O halde kod çözmeye başlayalım!

Dörtlüyle her şey hemen anlaşılıyor - 2 2. Tamam, bu zaten bir şey.)

0,25'lik bir oran ile hala belirsiz. Kontrol etmem gerekiyor. Pratik tavsiyelerden yararlanalım - ondalık kesirden sıradan kesire geçin:

0,25 = 25/100 = 1/4

Zaten çok daha iyi. Çünkü artık 1/4'ün 2-2 olduğu açıkça görülüyor. Harika ve 0,25 sayısı da ikiye benziyor.)

Şimdiye kadar, çok iyi. Ama geriye en kötü sayı kaldı - ikinin karekökü! Bu biberle ne yapmalı? Aynı zamanda ikinin kuvveti olarak da temsil edilebilir mi? Ve kim bilir...

Peki, derecelerle ilgili bilgi hazinemize tekrar dalalım! Bu sefer bilgimizi ek olarak birleştiriyoruz kökler hakkında. 9. sınıf dersinden itibaren sen ve ben, istenirse herhangi bir kökün her zaman dereceye dönüştürülebileceğini öğrenmeliydik. kesirli bir gösterge ile.

Bunun gibi:

Bizim durumumuzda:

Vay! İkinin karekökünün 2 1/2 olduğu ortaya çıktı. Bu kadar!

Bu iyi! Tüm uygunsuz numaralarımızın aslında şifrelenmiş bir iki olduğu ortaya çıktı.) Tartışmıyorum, bir yerde çok karmaşık bir şekilde şifrelenmiş. Ancak aynı zamanda bu tür şifreleri çözme konusundaki profesyonelliğimizi de geliştiriyoruz! Ve sonra her şey zaten açık. Denklemimizde 4, 0,25 sayılarını ve ikinin kökünü ikinin kuvvetleriyle değiştiriyoruz:

Tüm! Örnekteki tüm derecelerin tabanları aynı oldu - iki. Artık dereceli standart eylemler kullanılıyor:

bir mBİR = bir m + N

a m:a n = a m-n

(bir m) n = bir mn

Sol taraf için şunları elde edersiniz:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Sağ taraf için şöyle olacaktır:

Ve şimdi şeytani denklemimiz şöyle görünüyor:

Bu denklemin tam olarak nasıl ortaya çıktığını çözemeyenler için buradaki soru üstel denklemlerle ilgili değil. Soru dereceli eylemlerle ilgilidir. Sorun yaşayanlara acil tekrarlamanızı rica ettim!

İşte bitiş çizgisi! Üstel denklemin kanonik formu elde edildi! Nasıl? Seni her şeyin o kadar da korkutucu olmadığına ikna ettim mi? ;) İkileri kaldırıyoruz ve göstergeleri eşitliyoruz:

Geriye kalan tek şey çözmek Doğrusal Denklem. Nasıl? Elbette aynı dönüşümlerin yardımıyla.) Neler olduğuna karar verin! Her iki tarafı da ikiyle çarpın (3/2 kesirini çıkarmak için), X'li terimleri sola, X'siz sağa taşıyın, benzerlerini getirin, sayın - ve mutlu olacaksınız!

Her şey güzelce ortaya çıkmalı:

X=4

Şimdi çözümü tekrar düşünelim. Bu örnekte, geçiş bize yardımcı oldu. kare kök İle 1/2 üslü derece. Üstelik yalnızca böyle kurnaz bir dönüşüm her yerde aynı üsse (iki) ulaşmamıza yardımcı oldu ve bu da durumu kurtardı! Ve eğer olmasaydı, sonsuza kadar donma şansımız olurdu ve bu örnekle asla başa çıkamazdık, evet...

Bu nedenle bir sonraki pratik tavsiyeyi ihmal etmiyoruz:

Üstel bir denklemin kökleri varsa, o zaman köklerden kesirli üslü kuvvetlere doğru hareket ederiz. Çoğu zaman yalnızca böyle bir dönüşüm ilerideki durumu açıklığa kavuşturur.

Elbette negatif ve kesirli kuvvetler çok daha karmaşıktır. doğal dereceler. En azından görsel algı ve özellikle sağdan sola tanıma açısından!

Örneğin ikinin -3 üssünü veya dördünün -3/2 üssünü doğrudan yükseltmenin o kadar da büyük bir sorun olmadığı açıktır. Bilenler için.)

Ama git mesela hemen şunu anla

0,125 = 2 -3

Veya

Burada sadece pratik ve zengin deneyim hakimdir, evet. Ve tabii ki net bir fikir, Negatif ve kesirli derece nedir? Ve - pratik tavsiye! Evet evet aynı olanlar yeşil.) Umarım, çeşitli derecelerin tamamında daha iyi gezinmenize ve başarı şansınızı önemli ölçüde artırmanıza yardımcı olurlar! O yüzden onları ihmal etmeyelim. boşuna değilim yeşil Bazen yazarım.)

Ancak negatif ve kesirli güçler gibi egzotik güçlerle bile birbirinizi tanırsanız, o zaman üstel denklemleri çözme yetenekleriniz büyük ölçüde artacak ve hemen hemen her tür üstel denklemi çözebileceksiniz. Eğer yoksa, o zaman tüm üstel denklemlerin yüzde 80'i - elbette! Evet evet şaka yapmıyorum!

Böylece üstel denklemlere girişimizin ilk kısmı mantıksal sonucuna ulaştı. Ve bir ara egzersiz olarak, geleneksel olarak biraz öz değerlendirme yapmanızı öneririm.)

1. Egzersiz.

Böylece negatifin şifresini çözmekle ilgili sözlerim ve kesirli kuvvetler boşuna değil, oynamanızı öneririm küçük bir oyun!

Sayıları ikinin kuvvetleri olarak ifade edin:

Cevaplar (karışıklık içinde):

Olmuş? Harika! Sonra bir savaş görevi yapıyoruz - en basit ve en basit üstel denklemleri çözüyoruz!

Görev 2.

Denklemleri çözün (tüm cevaplar karmakarışık!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Yanıtlar:

x = 16

X 1 = -1; X 2 = 2

X = 5

Olmuş? Aslında çok daha basit!

Sonra bir sonraki oyunu çözüyoruz:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

Yanıtlar:

X 1 = -2; X 2 = 2

X = 0,5

X 1 = 3; X 2 = 5

Peki bu örneklerden bir tane mi kaldı? Harika! Büyüyorsun! O zaman işte atıştırabileceğiniz birkaç örnek daha:

Yanıtlar:

X = 6

X = 13/31

X = -0,75

X 1 = 1; X 2 = 8/3

Peki buna karar verildi mi? Peki, saygı duy! Şapkamı çıkarıyorum.) Yani ders boşuna değildi ve İlk seviyeÜstel denklemlerin çözümünde başarılı bir şekilde ustalaşmış sayılabilir. Sonraki seviyeler ve daha karmaşık denklemler önümüzde! Ve yeni teknikler ve yaklaşımlar. Ve standart olmayan örnekler. Ve yeni sürprizler.) Bütün bunlar bir sonraki derste!

Bir şeyler ters mi gitti? Bu, sorunların büyük olasılıkla . Veya . Veya her ikisi de aynı anda. Burada güçsüzüm. girebilirim Bir kez daha Sadece tek bir şey önerebilirim; tembel olmayın ve bağlantıları takip edin.)

Devam edecek.)

Tüm yeni video derslerinden haberdar olmak için web sitemizin youtube kanalına gidin.

Öncelikle kuvvetlerin temel formüllerini ve özelliklerini hatırlayalım.

Bir sayının çarpımı A kendi kendine n defa meydana geliyorsa, bu ifadeyi a a … a=a n olarak yazabiliriz.

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (bir n) m = bir nm

5. a n b n = (ab) n

7. bir n / bir m = bir n - m

Güç veya üstel denklemler– bunlar, değişkenlerin kuvvet (veya üs) cinsinden olduğu ve tabanın bir sayı olduğu denklemlerdir.

Üstel denklem örnekleri:

Bu örnekte 6 sayısı tabandır; her zaman en alttadır ve değişken X derece veya gösterge.

Üstel denklemlere daha fazla örnek verelim.
2x*5=10
16 x - 4 x - 6=0

Şimdi üstel denklemlerin nasıl çözüldüğüne bakalım?

Basit bir denklem ele alalım:

2 x = 2 3

Bu örnek kafanızda bile çözülebilir. x=3 olduğu görülmektedir. Sonuçta sol ve sağ tarafların eşit olması için x yerine 3 sayısını koymanız gerekiyor.
Şimdi bu kararın nasıl resmileştirileceğini görelim:

2 x = 2 3
x = 3

Böyle bir denklemi çözmek için kaldırdık aynı gerekçeler(yani ikili) ve kalanları yazdık, bunlar dereceler. Aradığımız cevabı bulduk.

Şimdi kararımızı özetleyelim.

Üstel denklemi çözmek için algoritma:
1. Kontrol etmeniz gerekiyor aynısı Denklemin sağda ve solda tabanları olup olmadığı. Sebepler aynı değilse bu örneği çözecek seçenekler arıyoruz.
2. Tabanlar aynı hale geldikten sonra, kıyaslanmak derece ve ortaya çıkan yeni denklemi çözün.

Şimdi birkaç örneğe bakalım:

Basit bir şeyle başlayalım.

Sol ve sağ taraftaki tabanlar 2 sayısına eşittir, yani tabanı atıp derecelerini eşitleyebiliriz.

x+2=4 En basit denklem elde edilir.
x=4 – 2
x=2
Cevap: x=2

Aşağıdaki örnekte tabanların farklı olduğunu görebilirsiniz: 3 ve 9.

3 3x - 9x+8 = 0

İlk önce dokuzu sağ tarafa hareket ettirin, şunu elde ederiz:

Şimdi aynı temelleri yapmanız gerekiyor. 9=3 2 olduğunu biliyoruz. (a n) m = a nm güç formülünü kullanalım.

3 3x = (3 2) x+8

9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 elde ederiz

3 3x = 3 2x+16 Artık sol ve sağ tarafta tabanların aynı ve üçe eşit olduğu açık, bu da onları bir kenara bırakıp dereceleri eşitleyebileceğimiz anlamına geliyor.

3x=2x+16 en basit denklemi elde ederiz
3x - 2x=16
x=16
Cevap:x=16.

Aşağıdaki örneğe bakalım:

2 2x+4 - 10 4x = 2 4

Öncelikle tabanlara, ikinci ve dördüncü tabanlara bakıyoruz. Ve onların aynı olmasına ihtiyacımız var. Dördünü (a n) m = a nm formülünü kullanarak dönüştürüyoruz.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Ayrıca a n a m = a n + m formülünü de kullanıyoruz:

2 2x+4 = 2 2x2 4

Denkleme ekleyin:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Aynı nedenlerle bir örnek verdik. Ama diğer 10 ve 24 sayıları bizi rahatsız ediyor, onlarla ne yapacağız? Yakından bakarsanız sol tarafta 2 2x'in tekrarlandığını görebilirsiniz, işte cevap: 2 2x'i parantezlerin dışına koyabiliriz:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Parantez içindeki ifadeyi hesaplayalım:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Denklemin tamamını 6'ya bölüyoruz:

4=2 2 olduğunu varsayalım:

2 2x = 2 2 tabanlar aynı, bunları atıp dereceleri eşitliyoruz.
2x = 2 en basit denklemdir. 2'ye böleriz ve elde ederiz
x = 1
Cevap: x = 1.

Denklemi çözelim:

9 x – 12*3 x +27= 0

Hadi dönüştürelim:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Denklemi elde ederiz:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Tabanlarımız aynı, üçe eşit.Bu örnekte ilk üçün, ikincinin (sadece x) iki katı (2x) dereceye sahip olduğunu görüyorsunuz. Bu durumda çözebilirsiniz değiştirme yöntemi. Sayıyı en küçük dereceyle değiştiriyoruz:

O halde 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Denklemdeki tüm x kuvvetlerini t ile değiştiririz:

t2 - 12t+27 = 0
Aldık ikinci dereceden denklem. Diskriminant yoluyla çözerek şunu elde ederiz:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Değişkene geri dönelim X.

t 1'i alın:
t1 = 9 = 3x

Yani,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Bir kök bulundu. T 2'den ikincisini arıyoruz:
t2 = 3 = 3x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Cevap: x 1 = 2; x2 = 1.

Web sitesinde YARDIM KARAR bölümünden aklınıza takılan her türlü soruyu sorabilirsiniz, size mutlaka cevap vereceğiz.

Gruba katıl