Was bedeutet es, Intervalle der Monotonie einer Funktion zu finden? Grenzen monotoner Funktionen

Steigende, fallende und Extrema einer Funktion

Das Ermitteln der Anstiegs-, Abfall- und Extremaintervalle einer Funktion ist sowohl eine eigenständige Aufgabe als auch ein wesentlicher Bestandteil anderer Aufgaben, insbesondere Vollständige Funktionsstudie. Erste Informationen zu Anstieg, Abfall und Extrema der Funktion finden Sie in Theoretisches Kapitel zur Ableitung was ich wärmstens empfehlen kann vorbereitende Studie (oder Wiederholung)– auch aus dem Grund, dass das folgende Material auf genau diesem basiert im Wesentlichen abgeleitet, Dies ist eine harmonische Fortsetzung dieses Artikels. Wenn die Zeit jedoch knapp ist, ist auch ein rein formales Üben von Beispielen aus der heutigen Lektion möglich.

Und heute liegt eine Stimmung seltener Einmütigkeit in der Luft, und ich spüre direkt, dass alle Anwesenden vor Verlangen brennen Lernen Sie, eine Funktion mithilfe ihrer Ableitung zu untersuchen. Daher erscheint auf Ihren Bildschirmen sofort eine vernünftige, gute und ewige Terminologie.

Wofür? Einer der Gründe ist der praktischste: damit klar ist, was bei einer bestimmten Aufgabe generell von Ihnen verlangt wird!

Monotonie der Funktion. Extrempunkte und Extrema einer Funktion

Betrachten wir eine Funktion. Vereinfacht gesagt gehen wir davon aus, dass sie kontinuierlich auf dem gesamten Zahlenstrahl:

Lassen Sie uns für alle Fälle mögliche Illusionen sofort loswerden, insbesondere für diejenigen Leser, die sich erst kürzlich damit vertraut gemacht haben Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Funktion. Jetzt wir NICHT INTERESSIERT, wie sich der Graph der Funktion relativ zur Achse befindet (oben, unten, wo sich die Achse schneidet). Um zu überzeugen, löschen Sie im Geiste die Achsen und lassen Sie ein Diagramm übrig. Denn darin liegt das Interesse.

Funktion erhöht sich auf einem Intervall, wenn für zwei beliebige Punkte dieses Intervalls, durch Beziehung verbunden, die Ungleichung ist wahr. Das heißt, ein größerer Wert des Arguments entspricht einem größeren Wert der Funktion und ihr Diagramm verläuft „von unten nach oben“. Die Demonstrationsfunktion wächst über das Intervall.

Ebenso die Funktion nimmt ab auf einem Intervall, wenn für zwei beliebige Punkte eines gegebenen Intervalls, so dass die Ungleichung wahr ist. Das heißt, ein größerer Wert des Arguments entspricht einem kleineren Wert der Funktion und ihr Diagramm verläuft „von oben nach unten“. Unsere Funktion nimmt in Intervallen ab .

Wenn eine Funktion über ein Intervall zunimmt oder abnimmt, wird sie aufgerufen streng eintönig in diesem Intervall. Was ist Monotonie? Nehmen Sie es wörtlich: Monotonie.

Sie können auch definieren nicht abnehmend Funktion (entspannter Zustand in der ersten Definition) und nicht zunehmend Funktion (erweichter Zustand in der 2. Definition). Eine nicht abnehmende oder nicht steigende Funktion in einem Intervall wird als monotone Funktion in einem bestimmten Intervall bezeichnet (strenge Monotonie ist ein Sonderfall der „einfachen“ Monotonie).

Die Theorie berücksichtigt auch andere Ansätze zur Bestimmung der Zunahme/Abnahme einer Funktion, einschließlich halber Intervalle und Segmente, aber um Ihnen kein Öl-Öl-Öl auf den Kopf zu gießen, werden wir uns darauf einigen, mit offenen Intervallen mit kategorialen Definitionen zu arbeiten - Das ist klarer und zur Lösung vieler praktischer Probleme völlig ausreichend.

Auf diese Weise, In meinen Artikeln wird die Formulierung „Monotonie einer Funktion“ fast immer ausgeblendet Intervalle strenge Monotonie(streng steigende oder streng fallende Funktion).

Nachbarschaft eines Punktes. Worte, nach denen die Schüler davonlaufen, wo immer sie können, und sich entsetzt in den Ecken verstecken. ...Allerdings nach dem Beitrag Cauchy-Grenzen Sie verstecken sich wahrscheinlich nicht mehr, sondern zittern nur noch leicht =) Keine Sorge, es wird jetzt keine Beweise für Theoreme geben mathematische Analyse– Ich brauchte die Umgebung, um Definitionen strenger zu formulieren Extrempunkte. Lass uns erinnern:

Nachbarschaft eines Punktes Ein Intervall, das einen bestimmten Punkt enthält, wird aufgerufen, und der Einfachheit halber wird das Intervall oft als symmetrisch angenommen. Zum Beispiel ein Punkt und seine Standardumgebung:

Eigentlich sind die Definitionen:

Der Punkt heißt strenger Höchstpunkt, Wenn existiert ihre Nachbarschaft, für alle Werte, deren Ungleichheit bis auf den Punkt selbst gilt. In unserem konkretes Beispiel das ist der Punkt.

Der Punkt heißt strenge Mindestpunktzahl, Wenn existiert ihre Nachbarschaft, für alle Werte, deren Ungleichheit bis auf den Punkt selbst gilt. In der Zeichnung gibt es Punkt „a“.

Notiz : Das Erfordernis der Nachbarschaftssymmetrie ist überhaupt nicht notwendig. Darüber hinaus ist es wichtig die Tatsache der Existenz Nachbarschaft (ob winzig oder mikroskopisch), die die angegebenen Bedingungen erfüllt

Die Punkte werden aufgerufen streng Extremumpunkte oder einfach Extrempunkte Funktionen. Das heißt, es handelt sich um einen verallgemeinerten Begriff für Höchstpunktzahl und Mindestpunktzahl.

Wie verstehen wir das Wort „extrem“? Ja, genauso direkt wie die Monotonie. Extrempunkte von Achterbahnen.

Wie im Fall der Monotonie gibt es lose Postulate, die in der Theorie sogar noch häufiger vorkommen (worunter natürlich die betrachteten strengen Fälle fallen!):

Der Punkt heißt Maximalpunkt, Wenn existiert seine Umgebung ist so für alle
Der Punkt heißt Mindestpunktzahl, Wenn existiert seine Umgebung ist so für alle Werte dieser Nachbarschaft gilt die Ungleichung.

Beachten Sie, dass gemäß den letzten beiden Definitionen jeder Punkt einer konstanten Funktion (oder ein „flacher Abschnitt“ einer Funktion) sowohl als Maximal- als auch als Minimalpunkt betrachtet wird! Die Funktion ist übrigens sowohl nicht steigend als auch nicht fallend, also monoton. Wir überlassen diese Überlegungen jedoch den Theoretikern, da wir in der Praxis fast immer über traditionelle „Hügel“ und „Mulden“ (siehe Zeichnung) mit einem einzigartigen „König des Hügels“ oder einer „Prinzessin des Sumpfes“ nachdenken. Als Varietät kommt sie vor Tipp, nach oben oder unten gerichtet, zum Beispiel das Minimum der Funktion an dem Punkt.

Ja, übrigens, oh Königtum:
– die Bedeutung heißt maximal Funktionen;
– die Bedeutung heißt Minimum Funktionen.

Gemeinsamen Namen - Extreme Funktionen.

Bitte seien Sie vorsichtig mit Ihren Worten!

Extremumpunkte– das sind „X“-Werte.
Extreme– „Spiel“-Bedeutungen.

! Notiz : Manchmal beziehen sich die aufgeführten Begriffe auf die „X-Y“-Punkte, die direkt auf dem GRAPH DER Funktion SELBST liegen.

Wie viele Extrema kann eine Funktion haben?

Keine, 1, 2, 3, ... usw. zur Unendlichkeit. Beispielsweise hat der Sinus unendlich viele Minima und Maxima.

WICHTIG! Der Begriff „Maximum der Funktion“ Nicht identisch der Begriff " Maximalwert Funktionen.“ Es ist leicht zu erkennen, dass der Wert nur in einer lokalen Nachbarschaft maximal ist und oben links „coolere Kameraden“ stehen. Ebenso ist „Minimum einer Funktion“ nicht dasselbe wie „Minimalwert einer Funktion“, und in der Zeichnung sehen wir, dass der Wert nur in einem bestimmten Bereich minimal ist. In diesem Zusammenhang werden auch Extrempunkte genannt lokale Extrempunkte, und die Extrema – lokale Extreme. Sie gehen und wandern in der Nähe und global Brüder. Jede Parabel hat also an ihrem Scheitelpunkt globales Minimum oder globales Maximum. Darüber hinaus werde ich nicht zwischen Arten von Extremen unterscheiden, und die Erklärung wird eher für allgemeine Bildungszwecke geäußert – die zusätzlichen Adjektive „lokal“/„global“ sollten Sie nicht überraschen.

Fassen wir unsere zusammen kleiner Ausflug mit einem Testschuss in die Theorie: Was bedeutet die Aufgabe „Finde die Monotonieintervalle und Extrempunkte der Funktion“?

Der Wortlaut ermutigt Sie, Folgendes zu finden:

– Intervalle mit zunehmender/abfallender Funktion (nicht abnehmend, nicht zunehmend erscheint viel seltener);

– Höchst- und/oder Mindestpunktzahl (falls vorhanden). Nun, um Fehler zu vermeiden, ist es besser, die Mindest-/Höchstwerte selbst zu ermitteln ;-)

Wie kann man das alles feststellen? Verwendung der Ableitungsfunktion!

So finden Sie Intervalle mit zunehmender, abnehmender,
Extrempunkte und Extrema der Funktion?

Tatsächlich sind viele Regeln bereits bekannt und werden von ihnen verstanden Lektion über die Bedeutung einer Ableitung.

Tangentenableitung bringt die erfreuliche Nachricht, dass die Funktion überall zunimmt Definitionsbereich.

Mit Kotangens und seiner Ableitung die Situation ist genau das Gegenteil.

Der Arkussinus nimmt über das Intervall zu – die Ableitung ist hier positiv: .
Wenn die Funktion definiert, aber nicht differenzierbar ist. Am kritischen Punkt gibt es jedoch eine rechtsgängige Ableitung und eine rechtsgängige Tangente, und am anderen Rand gibt es deren linksgängige Gegenstücke.

Ich denke, es wird Ihnen nicht allzu schwer fallen, ähnliche Überlegungen für den Arkuskosinus und seine Ableitung anzustellen.

Alle oben genannten Fälle, viele davon tabellarische Ableitungen Ich erinnere Sie daran, folgen Sie direkt von Ableitungsdefinitionen.

Warum eine Funktion mithilfe ihrer Ableitung untersuchen?

Um besser zu verstehen, wie der Graph dieser Funktion aussieht: wo es „von unten nach oben“ geht, wo „von oben nach unten“, wo es Minima und Maxima erreicht (wenn es überhaupt erreicht). Nicht alle Funktionen sind so einfach – in den meisten Fällen haben wir überhaupt keine Ahnung vom Graphen einer bestimmten Funktion.

Es ist an der Zeit, zu aussagekräftigeren Beispielen überzugehen und nachzudenken Algorithmus zum Finden von Intervallen der Monotonie und Extrema einer Funktion:

Beispiel 1

Finden Sie Anstiegs-/Abfallintervalle und Extrema der Funktion

Lösung:

1) Der erste Schritt besteht darin, zu finden Domäne einer Funktion, und notieren Sie sich auch die Haltepunkte (falls vorhanden). In diesem Fall ist die Funktion auf der gesamten Zahlengeraden stetig und diese Aktion ist gewissermaßen formal. Aber in einigen Fällen flammen hier ernsthafte Leidenschaften auf, also behandeln wir den Absatz ohne Verachtung.

2) Der zweite Punkt des Algorithmus ist darauf zurückzuführen

eine notwendige Bedingung für ein Extremum:

Wenn es an einem Punkt ein Extremum gibt, dann existiert der Wert entweder nicht.

Verwirrt durch das Ende? Extremum der Funktion „Modul x“. .

Die Bedingung ist notwendig, aber nicht genug, und das Gegenteil ist nicht immer der Fall. Aus der Gleichheit folgt also noch nicht, dass die Funktion im Punkt ein Maximum oder Minimum erreicht. Ein klassisches Beispiel wurde oben bereits hervorgehoben – dies ist eine kubische Parabel und ihr kritischer Punkt.

Aber wie dem auch sei, notwendige Bedingung Extremum schreibt die Notwendigkeit vor, verdächtige Punkte zu finden. Finden Sie dazu die Ableitung und lösen Sie die Gleichung:

Am Anfang des ersten Artikels über Funktionsgraphen Wie man schnell eine Parabel baut, habe ich dir anhand eines Beispiels erklärt : „...wir nehmen die erste Ableitung und setzen sie mit Null gleich: ...Also die Lösung unserer Gleichung: - An diesem Punkt liegt der Scheitelpunkt der Parabel ...“. Jetzt, denke ich, versteht jeder, warum der Scheitelpunkt der Parabel genau an diesem Punkt liegt =) Im Allgemeinen sollten wir hier mit einem ähnlichen Beispiel beginnen, aber es ist zu einfach (selbst für eine Teekanne). Darüber hinaus gibt es ganz am Ende der Lektion ein Analogon zum Thema Ableitung einer Funktion. Erhöhen wir daher den Grad:

Beispiel 2

Finden Sie Intervalle der Monotonie und Extrema der Funktion

Dies ist ein Beispiel dafür unabhängige Entscheidung. Komplette Lösung und ein ungefähres Abschlussbeispiel der Aufgabe am Ende der Lektion.

Der lang erwartete Moment der Begegnung mit gebrochenrationalen Funktionen ist gekommen:

Beispiel 3

Untersuchen Sie eine Funktion mit der ersten Ableitung

Achten Sie darauf, wie variabel ein und dieselbe Aufgabe umformuliert werden kann.

Lösung:

1) Die Funktion weist an Punkten unendliche Diskontinuitäten auf.

2) Wir erkennen kritische Punkte. Finden wir die erste Ableitung und setzen sie mit Null gleich:

Lassen Sie uns die Gleichung lösen. Ein Bruch ist gleich Null, wenn sein Zähler vorhanden ist gleich Null:

Somit erhalten wir drei kritische Punkte:

3) Wir zeichnen ALLE erkannten Punkte auf der Zahlenlinie auf und Intervallmethode Wir definieren die Zeichen des Derivats:

Ich erinnere Sie daran, dass Sie einen Punkt im Intervall nehmen und den Wert der Ableitung an diesem Punkt berechnen müssen und bestimmen Sie sein Vorzeichen. Es ist profitabler, nicht einmal zu zählen, sondern mündlich zu „schätzen“. Nehmen wir zum Beispiel einen zum Intervall gehörenden Punkt und führen die Ersetzung durch: .

Zwei „Plus“ und ein „Minus“ ergeben also ein „Minus“, was bedeutet, dass die Ableitung über das gesamte Intervall negativ ist.

Wie Sie wissen, muss die Aktion für jedes der sechs Intervalle ausgeführt werden. Beachten Sie übrigens, dass Zählerfaktor und Nenner für jeden Punkt in jedem Intervall streng positiv sind, was die Aufgabe erheblich vereinfacht.

Die Ableitung sagte uns also, dass die FUNKTION SELBST um wächst und verringert sich um . Es ist praktisch, Intervalle desselben Typs mit dem Verbindungssymbol zu verbinden.

An dem Punkt erreicht die Funktion ihr Maximum:
An dem Punkt erreicht die Funktion ein Minimum:

Überlegen Sie, warum Sie den zweiten Wert nicht neu berechnen müssen ;-)

Beim Durchlaufen eines Punktes ändert die Ableitung das Vorzeichen nicht, daher hat die Funktion dort KEIN EXTREMUM – sie nahm ab und blieb absteigend.

! Wiederholen wir es wichtiger Punkt : Punkte gelten nicht als kritisch – sie enthalten eine Funktion unentschlossen. Dementsprechend hier Grundsätzlich kann es keine Extreme geben(auch wenn die Ableitung das Vorzeichen ändert).

Antwort: Funktion erhöht sich um und verringert sich um: An dem Punkt, an dem das Maximum der Funktion erreicht ist: , und an der Stelle – das Minimum: .

Kenntnisse über Monotonieintervalle und Extrema, gepaart mit etablierten Asymptoten gibt schon eine sehr gute Vorstellung davon Aussehen Funktionsgrafiken. Eine durchschnittlich geschulte Person kann verbal feststellen, dass der Graph einer Funktion zwei vertikale Asymptoten und eine schräge Asymptote hat. Hier ist unser Held:

Versuchen Sie noch einmal, die Ergebnisse der Studie mit dem Diagramm dieser Funktion zu korrelieren.
Am kritischen Punkt gibt es kein Extremum, aber es gibt eins Graphenbeugung(was in der Regel in ähnlichen Fällen der Fall ist).

Beispiel 4

Finden Sie die Extrema der Funktion

Beispiel 5

Finden Sie Monotonieintervalle, Maxima und Minima der Funktion

…es ist heute fast wie eine Art „X im Würfel“-Feiertag....
Soooo, wer in der Galerie hat dafür einen Drink angeboten? =)

Jede Aufgabe hat ihre eigenen inhaltlichen Nuancen und technischen Feinheiten, die am Ende der Lektion kommentiert werden.

Was das Vorzeichen nicht ändert, also entweder immer nicht negativ oder immer nicht positiv ist. Ist außerdem das Inkrement ungleich Null, wird die Funktion aufgerufen streng eintönig. Eine monotone Funktion ist eine Funktion, die sich in die gleiche Richtung ändert.

Die Funktion erhöht sich, wenn höherer Wert Das Argument entspricht dem größeren Wert der Funktion. Eine Funktion nimmt ab, wenn ein größerer Wert des Arguments einem kleineren Wert der Funktion entspricht.

Definitionen

Die Funktion sei gegeben. Dann

. . . .

Eine (streng) steigende oder fallende Funktion heißt (streng) monoton.

Andere Terminologie

Manchmal werden steigende Funktionen aufgerufen nicht abnehmend und abnehmende Funktionen nicht zunehmend. Streng steigende Funktionen heißen dann einfach steigend, streng fallende Funktionen einfach fallend.

Eigenschaften monotoner Funktionen

Bedingungen dafür, dass eine Funktion monoton ist

Das Gegenteil ist im Allgemeinen nicht der Fall. Die Ableitung einer streng monotonen Funktion kann verschwinden. Allerdings muss die Menge der Punkte, bei denen die Ableitung ungleich Null ist, auf dem Intervall dicht sein. Genauer gesagt ist dies der Fall

In ähnlicher Weise nimmt ein Intervall genau dann strikt ab, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

Beispiele

siehe auch

Wikimedia-Stiftung. 2010.

• Speichel
• Gorki-Eisenbahn

Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was eine „monotone Funktion“ ist:

Monotone Funktion- ist eine Funktion f(x), die entweder über ein bestimmtes Intervall ansteigend (d. h. je größer ein Wert des Arguments in diesem Intervall, desto größer der Wert der Funktion) oder abnehmend (im umgekehrten Fall) sein kann. .... ...

MONOTONE-FUNKTION- eine Funktion, die, wenn das Argument zunimmt, entweder immer zunimmt (oder zumindest nicht abnimmt) oder immer abnimmt (nicht zunimmt) ... Großes enzyklopädisches Wörterbuch

MONOTONE-FUNKTION- (Monotonie-Funktion) Eine Funktion, bei der sich der Wert der Funktion immer in die gleiche Richtung ändert, wenn der Wert des Arguments zunimmt. Wenn also y=f(x), dann ist entweder dy/dx 0 für alle Werte von x, in diesem Fall nimmt y zu... ... Wirtschaftswörterbuch

Monotone Funktion- (aus dem Griechischen monoótonos monochromatisch) eine Funktion, deren Inkremente Δf(x) = f(x') f(x) für Δx = x' x > 0 das Vorzeichen nicht ändern, d. h. sie sind entweder immer nicht negativ oder immer nicht positiv. Um es nicht ganz präzise auszudrücken: M. f. Das sind Funktionen, die sich ändern in... ... Große sowjetische Enzyklopädie

monotone Funktion- eine Funktion, die, wenn das Argument zunimmt, entweder immer zunimmt (oder zumindest nicht abnimmt) oder immer abnimmt (nicht zunimmt). * * * MONOTONE FUNKTION MONOTONE FUNKTION, eine Funktion, die, wenn das Argument zunimmt, entweder immer zunimmt (oder... ... Enzyklopädisches Wörterbuch

MONOTONE-FUNKTION– eine Funktion einer Variablen, die für eine bestimmte Teilmenge reeller Zahlen definiert ist; das Inkrement der Zahl ändert das Vorzeichen nicht, d. h. es ist entweder immer nicht negativ oder immer nicht positiv. Wenn strikt größer (kleiner als) Null, dann ist M.f. angerufen... ... Mathematische Enzyklopädie

MONOTONE-FUNKTION- eine Funktion, die, wenn das Argument zunimmt, entweder immer zunimmt (oder zumindest nicht abnimmt) oder immer abnimmt (nicht zunimmt) ... Naturwissenschaft. Enzyklopädisches Wörterbuch

Monotone Folge ist eine Folge, deren Elemente mit zunehmender Zahl nicht abnehmen oder umgekehrt nicht zunehmen. Solche Sequenzen sind in der Forschung häufig anzutreffen und haben eine Reihe von Unterscheidungsmerkmale und zusätzliche Eigenschaften.... ... Wikipedia

Funktion– Ein Team oder eine Gruppe von Personen und die Werkzeuge oder anderen Ressourcen, die sie zur Durchführung eines oder mehrerer Prozesse oder Aktivitäten verwenden. Zum Beispiel Kundensupport. Dieser Begriff hat auch eine andere Bedeutung: ... ... Leitfaden für technische Übersetzer

Funktion- 1. Abhängige Variable; 2. Korrespondenz y=f(x) zwischen variablen Größen, aufgrund derer jeder betrachtete Wert einer Größe x (Argument oder unabhängige Variable) einem bestimmten Wert entspricht... ... Wirtschaftsmathematisches Wörterbuch

Funktion y=f(x) angerufen zunehmend auf dem Intervall (a;b), wenn überhaupt x 1 Und x 2 x 1 , gerecht f(x 1) Zum Beispiel Funktionen y=a x, y=Log-Axt bei a>1, y=arctg x, y=arcsin x,(nОN) nehmen im gesamten Definitionsbereich zu.

Graph einer steigenden Funktion

· Funktion y = f(x) angerufen abnehmend auf dem Intervall (a;b), falls vorhanden x 1 Und x 2 aus diesem Intervall so, dass x 1 , gerecht f(x 1)>f(x 2). Zum Beispiel Funktionen y=a x, y=Log-Axt bei 0<A<1, y=arcctg x, y=arccos x nehmen im gesamten Definitionsbereich ab.

Diagramm einer abnehmenden Funktion

Abnehmende und steigende Funktionen bilden zusammen eine Klasse eintönig Funktionen. Monotone Funktionen haben eine Reihe besonderer Eigenschaften.

Funktion f(x), monoton im Intervall [ a,b], auf dieses Segment beschränkt;

· die Summe der steigenden (abfallenden) Funktionen ist eine steigende (abfallende) Funktion;

· if-Funktion F erhöht (verringert) und N– eine ungerade Zahl, sie nimmt auch zu (ab);

· Wenn f"(x)>0 für alle xО(a,b), dann die Funktion y=f(x) nimmt im Intervall zu (a,b);

· Wenn f"(x)<0 für alle xО(a,b), dann die Funktion y=f(x) nimmt im Intervall ab (a,b);

· Wenn f(x) – kontinuierliche und monotone Funktion am Set X, dann die Gleichung f(x)=C, Wo MIT– diese Konstante kann haben X nicht mehr als eine Lösung;

· wenn im Definitionsbereich der Gleichung f(x)=g(x) Funktion f(x) erhöht sich, und die Funktion g(x) abnimmt, kann die Gleichung nicht mehr als eine Lösung haben.

Satz. (eine hinreichende Bedingung für die Monotonie einer Funktion). Wenn kontinuierlich auf dem Segment [ a, b]-Funktion y = f(X) an jedem Punkt des Intervalls ( a, b) eine positive (negative) Ableitung hat, dann nimmt diese Funktion im Intervall [ a, b].

Nachweisen. Sei >0 für alle xО(a,b). Betrachten Sie zwei beliebige Werte x 2 > x 1 , zugehörig [ a, b]. Nach der Formel von Lagrange x 1<с < х 2 . (Mit) > 0 Und x 2 – x 1 > 0, deshalb > 0, woher > , das heißt, die Funktion f(x) wächst im Intervall [ a, b]. Der zweite Teil des Satzes wird auf ähnliche Weise bewiesen.

Satz 3. (ein notwendiges Zeichen für die Existenz eines Extremums einer Funktion). Wenn die Funktion am Punkt c differenzierbar ist bei=F(X) hat an diesem Punkt ein Extremum, dann .

Nachweisen. Lassen Sie zum Beispiel die Funktion bei= F(X) hat ein Maximum im Punkt c. Dies bedeutet, dass es eine punktierte Umgebung des Punktes c gibt, so dass für alle Punkte gilt X Diese Nachbarschaft ist zufrieden F(X) < f (C), also F(C) ist der größte Wert der Funktion in dieser Umgebung. Dann nach dem Satz von Fermat.

Der Fall eines Minimums am Punkt c wird auf ähnliche Weise bewiesen.

Kommentar. Eine Funktion kann an einem Punkt ein Extremum haben, an dem ihre Ableitung nicht existiert. Beispielsweise hat eine Funktion am Punkt x ein Minimum = 0, obwohl es nicht existiert. Die Punkte, an denen die Ableitung einer Funktion Null ist oder nicht existiert, werden kritische Punkte der Funktion genannt. Allerdings weist die Funktion nicht an allen kritischen Punkten ein Extremum auf. Zum Beispiel die Funktion y = x 3 hat keine Extrema, obwohl es eine Ableitung ist =0.

Satz 4. ( ausreichender Hinweis Existenz eines Extremums). Wenn eine kontinuierliche Funktion y = f(X) hat eine Ableitung an allen Punkten eines bestimmten Intervalls, das den kritischen Punkt C enthält (außer vielleicht für diesen Punkt selbst), und wenn die Ableitung, wenn das Argument von links nach rechts durch den kritischen Punkt C geht, das Vorzeichen von Plus ändert auf Minus, dann hat die Funktion am Punkt C das Maximum, und wenn das Vorzeichen von Minus auf Plus wechselt, das Minimum.

Nachweisen. Sei c ein kritischer Punkt und wenn das Argument beispielsweise den Punkt durchläuft, ändert c das Vorzeichen von Plus nach Minus. Dies bedeutet, dass in einem bestimmten Intervall (c–e; c) die Funktion nimmt zu, und zwar im Intervall (c; c+e)– nimmt ab (bei e>0). Daher hat die Funktion im Punkt c ein Maximum. Der Fall eines Minimums wird auf ähnliche Weise bewiesen.

Kommentar. Wenn die Ableitung das Vorzeichen nicht ändert, wenn das Argument den kritischen Punkt durchläuft, hat die Funktion an diesem Punkt kein Extremum.

Da die Definitionen von Grenzwert und Stetigkeit für eine Funktion mehrerer Variablen praktisch mit den entsprechenden Definitionen für eine Funktion einer Variablen übereinstimmen, bleiben für Funktionen mehrerer Variablen alle Eigenschaften von Grenzwerten und stetigen Funktionen erhalten

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Erstellungsdatum der Seite: 12.02.2016

Wir trafen uns zum ersten Mal in einem Algebrakurs der 7. Klasse. Beim Betrachten des Diagramms der Funktion haben wir die entsprechenden Informationen notiert: Wenn wir uns bei der Bewegung entlang des Diagramms von links nach rechts gleichzeitig von unten nach oben bewegen (als würden wir einen Hügel erklimmen), dann haben wir die Funktion als deklariert zunehmen (Abb. 124); Wenn wir uns von oben nach unten bewegen (einen Hügel hinuntergehen), dann haben wir die Funktion als abnehmend deklariert (Abb. 125).

Allerdings mögen Mathematiker diese Methode zur Untersuchung der Eigenschaften einer Funktion nicht besonders. Sie glauben, dass Definitionen von Konzepten nicht auf einer Zeichnung basieren sollten – die Zeichnung sollte nur die eine oder andere Eigenschaft einer Funktion darauf veranschaulichen Grafik. Lassen Sie uns die Konzepte der zunehmenden und abnehmenden Funktionen streng definieren.

Definition 1. Die Funktion y = f(x) soll auf dem Intervall X wachsen, wenn ausgehend von der Ungleichung x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Definition 2. Man sagt, dass die Funktion y = f(x) im Intervall X abnimmt, wenn die Ungleichung x 1 ist< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует Ungleichheit f(x 1) > f(x 2).

In der Praxis ist es bequemer, die folgenden Formulierungen zu verwenden:

eine Funktion erhöht sich, wenn ein größerer Wert des Arguments einem größeren Wert der Funktion entspricht;
Eine Funktion nimmt ab, wenn ein größerer Wert des Arguments einem kleineren Wert der Funktion entspricht.

Unter Verwendung dieser Definitionen und der in § 33 festgelegten Eigenschaften numerische Ungleichungen, werden wir in der Lage sein, Schlussfolgerungen über die Zunahme oder Abnahme zuvor untersuchter Funktionen zu begründen.

1. Lineare Funktion y = kx +m

Wenn k > 0, dann nimmt die Funktion durchgehend zu (Abb. 126); wenn k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Nachweisen. Sei f(x) = kx +m. Wenn x 1< х 2 и k >Ach ja, gemäß der Eigenschaft von 3 numerischen Ungleichungen (siehe § 33) ist kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Also aus der Ungleichung x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. linear Funktionen y = kx+ m.

Wenn x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , und gemäß Eigenschaft 2 folgt aus kx 1 > kx 2, dass kx 1 + m> kx 2 + d.h.

Also aus der Ungleichung x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2). Dies bedeutet eine Abnahme der Funktion y = f(x), d.h. lineare Funktion y = kx + m.

Wenn eine Funktion über ihren gesamten Definitionsbereich zunimmt (abnimmt), kann sie ohne Angabe des Intervalls als zunehmend (abnehmend) bezeichnet werden. Über die Funktion y = 2x - 3 können wir beispielsweise sagen, dass sie entlang des gesamten Zahlenstrahls zunimmt, wir können es aber auch kürzer sagen: y = 2x - 3 - steigend
Funktion.

2. Funktion y = x2

1. Betrachten Sie die Funktion y = x 2 auf dem Strahl. Nehmen wir zwei nicht positive Zahlen x 1 und x 2, so dass x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. Da die Zahlen - x 1 und - x 2 nicht negativ sind, erhalten wir durch Quadrieren beider Seiten der letzten Ungleichung eine Ungleichung mit der gleichen Bedeutung (-x 1) 2 > (-x 2) 2, d.h. Das bedeutet, dass f(x 1) > f(x 2).

Also aus der Ungleichung x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2).

Daher nimmt die Funktion y = x 2 auf dem Strahl (- 00, 0] ab (Abb. 128).

1. Betrachten Sie eine Funktion im Intervall (0, + 00).
Sei x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).

Also aus der Ungleichung x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). Dies bedeutet, dass die Funktion auf dem offenen Strahl (0, + 00) abnimmt (Abb. 129).

2. Betrachten Sie eine Funktion im Intervall (-oo, 0). Sei x 1< х 2 , х 1 и х 2 - negative Zahlen. Dann ist - x 1 > - x 2, und beide Seiten der letzten Ungleichung sind positive Zahlen, und daher (wir haben wieder die in Beispiel 1 aus § 33 bewiesene Ungleichung verwendet). Als nächstes erfahren wir, woher wir kommen.

Also aus der Ungleichung x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) d.h. Funktion nimmt auf dem offenen Strahl ab (- 00 , 0)

Üblicherweise werden die Begriffe „zunehmende Funktion“ und „abfallende Funktion“ kombiniert gemeinsamen Namen monotone Funktion, und die Untersuchung einer Funktion zum Zunehmen und Abnehmen wird als Untersuchung einer Funktion zur Monotonie bezeichnet.

Lösung.

1) Zeichnen wir die Funktion y = 2x2 und nehmen den Ast dieser Parabel bei x< 0 (рис. 130).

2) Konstruieren und wählen Sie seinen Teil auf dem Segment aus (Abb. 131).

3) Konstruieren wir eine Hyperbel und wählen ihren Teil auf dem offenen Strahl (4, + 00) aus (Abb. 132).
4) Stellen wir alle drei „Teile“ in einem Koordinatensystem dar – das ist der Graph der Funktion y = f(x) (Abb. 133).

Lesen wir den Graphen der Funktion y = f(x).

1. Der Definitionsbereich der Funktion ist der gesamte Zahlenstrahl.

2. y = 0 bei x = 0; y > 0 für x > 0.

3. Die Funktion nimmt auf dem Strahl ab (-oo, 0], nimmt auf dem Segment zu, nimmt auf dem Strahl ab, ist auf dem Segment konvex nach oben, auf dem Strahl konvex nach unten)