Beispiele für die Berechnung von Logarithmen. Natürlicher Logarithmus, Funktion ln x

Folgt aus seiner Definition. Und so der Logarithmus der Zahl B bezogen auf A ist definiert als der Exponent, auf den eine Zahl erhöht werden muss A um die Nummer zu bekommen B(Logarithmus existiert nur für positive Zahlen).

Aus dieser Formulierung folgt die Berechnung x=log a b, entspricht der Lösung der Gleichung a x =b. Zum Beispiel, log 2 8 = 3 weil 8 = 2 3 . Die Formulierung des Logarithmus ermöglicht es, das Wenn zu begründen b=a c, dann der Logarithmus der Zahl B bezogen auf A gleicht Mit. Es ist auch klar, dass das Thema Logarithmen eng mit dem Thema Potenzen einer Zahl verbunden ist.

Mit Logarithmen können Sie wie mit allen Zahlen umgehen Operationen der Addition, Subtraktion und auf jede erdenkliche Weise verwandeln. Da es sich bei Logarithmen jedoch nicht um ganz gewöhnliche Zahlen handelt, gelten hier eigene Sonderregeln, die man nennt Haupteigenschaften.

Logarithmen addieren und subtrahieren.

Nehmen wir zwei Logarithmen mit aus den gleichen Gründen: Log ein x Und log ein y. Dann ist es möglich, Additions- und Subtraktionsoperationen durchzuführen:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = Log ein x 1 + Log ein x 2 + Log ein x 3 + ... + log a x k.

Aus Logarithmus-Quotientensatz Eine weitere Eigenschaft des Logarithmus kann ermittelt werden. Es ist allgemein bekannt, dass log A 1= 0 also

Protokoll A 1 /B=log A 1 - Protokoll ein b= - Protokoll ein b.

Das heißt, es besteht eine Gleichheit:

log a 1 / b = - log a b.

Logarithmen zweier reziproker Zahlen aus dem gleichen Grund werden sich nur durch das Vorzeichen voneinander unterscheiden. Also:

Protokoll 3 9= - Protokoll 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Was ist ein Logarithmus?

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Was ist ein Logarithmus? Wie löst man Logarithmen? Diese Fragen verwirren viele Absolventen. Traditionell gilt das Thema Logarithmen als komplex, unverständlich und beängstigend. Besonders Gleichungen mit Logarithmen.

Das ist absolut nicht wahr. Absolut! Glauben Sie mir nicht? Bußgeld. Jetzt können Sie in nur 10 bis 20 Minuten:

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Wir studieren weiterhin Logarithmen. In diesem Artikel werden wir darüber sprechen Logarithmen berechnen, dieser Vorgang wird aufgerufen Logarithmus. Zunächst werden wir die Berechnung von Logarithmen per Definition verstehen. Schauen wir uns als Nächstes an, wie die Werte von Logarithmen mithilfe ihrer Eigenschaften ermittelt werden. Danach konzentrieren wir uns auf die Berechnung von Logarithmen anhand der ursprünglich angegebenen Werte anderer Logarithmen. Lassen Sie uns abschließend lernen, wie man Logarithmustabellen verwendet. Die gesamte Theorie wird mit Beispielen mit detaillierten Lösungen versehen.

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Logarithmen per Definition berechnen

In den einfachsten Fällen ist eine recht schnelle und unkomplizierte Durchführung möglich Finden des Logarithmus per Definition. Schauen wir uns genauer an, wie dieser Prozess abläuft.

Sein Wesen besteht darin, die Zahl b in der Form a c darzustellen, wobei nach der Definition eines Logarithmus die Zahl c der Wert des Logarithmus ist. Das heißt, per Definition entspricht die folgende Gleichungskette dem Finden des Logarithmus: log a b=log a a c =c.

Bei der Berechnung eines Logarithmus geht es also per Definition darum, eine Zahl c zu finden, für die a c = b gilt, und die Zahl c selbst ist der gewünschte Wert des Logarithmus.

Unter Berücksichtigung der Informationen in den vorherigen Absätzen können Sie, wenn die Zahl unter dem Logarithmuszeichen durch eine bestimmte Potenz der Logarithmusbasis gegeben ist, sofort angeben, was der Logarithmus ist – er ist gleich dem Exponenten. Lassen Sie uns Lösungen anhand von Beispielen zeigen.

Beispiel.

Finden Sie log 2 2 −3 und berechnen Sie auch den natürlichen Logarithmus der Zahl e 5,3.

Lösung.

Die Definition des Logarithmus erlaubt es uns sofort zu sagen, dass log 2 2 −3 =−3. Tatsächlich ist die Zahl unter dem Logarithmuszeichen gleich der Basis 2 hoch −3.

Ebenso finden wir den zweiten Logarithmus: lne 5,3 =5,3.

Antwort:

log 2 2 −3 =−3 und lne 5,3 =5,3.

Wenn die Zahl b unter dem Logarithmuszeichen nicht als Potenz der Basis des Logarithmus angegeben ist, müssen Sie sorgfältig prüfen, ob es möglich ist, eine Darstellung der Zahl b in der Form a c zu finden. Oft ist diese Darstellung ziemlich offensichtlich, insbesondere wenn die Zahl unter dem Logarithmuszeichen gleich der Basis hoch 1, oder 2, oder 3, ... ist.

Beispiel.

Berechnen Sie die Logarithmen log 5 25 , und .

Lösung.

Es ist leicht zu erkennen, dass 25=5 2 ist. Dadurch können Sie den ersten Logarithmus berechnen: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Fahren wir mit der Berechnung des zweiten Logarithmus fort. Die Zahl kann als Potenz von 7 dargestellt werden: (siehe ggf.). Somit, .

Schreiben wir den dritten Logarithmus in der folgenden Form um. Jetzt können Sie das sehen , woraus wir schließen . Daher nach der Definition des Logarithmus .

Kurz gesagt könnte die Lösung wie folgt geschrieben werden: .

Antwort:

log 5 25=2 , Und .

Wenn unter dem Logarithmuszeichen eine ausreichend große natürliche Zahl steht, kann es nicht schaden, diese in Primfaktoren zu zerlegen. Es hilft oft, eine solche Zahl als eine Potenz der Basis des Logarithmus darzustellen und diesen Logarithmus daher per Definition zu berechnen.

Beispiel.

Finden Sie den Wert des Logarithmus.

Lösung.

Einige Eigenschaften von Logarithmen ermöglichen es Ihnen, den Wert von Logarithmen sofort anzugeben. Zu diesen Eigenschaften gehören die Eigenschaft des Logarithmus von Eins und die Eigenschaft des Logarithmus einer Zahl gleich der Basis: log 1 1=log a a 0 =0 und log a a=log a a 1 =1. Das heißt, wenn unter dem Vorzeichen des Logarithmus eine Zahl 1 oder eine Zahl a gleich der Basis des Logarithmus steht, dann sind die Logarithmen in diesen Fällen gleich 0 bzw. 1.

Beispiel.

Was sind Logarithmen und log10 gleich?

Lösung.

Da folgt aus der Definition des Logarithmus .

Im zweiten Beispiel stimmt die Zahl 10 unter dem Logarithmuszeichen mit ihrer Basis überein, also dem dezimalen Logarithmus von zehn gleich eins, also log10=lg10 1 =1.

Antwort:

UND lg10=1 .

Beachten Sie, dass die Berechnung von Logarithmen per Definition (die wir im vorherigen Absatz besprochen haben) die Verwendung der Gleichheit log a a p =p impliziert, was eine der Eigenschaften von Logarithmen ist.

In der Praxis ist es sehr praktisch, die Formel zu verwenden, wenn eine Zahl unter dem Logarithmuszeichen und die Basis des Logarithmus leicht als Potenz einer bestimmten Zahl dargestellt werden können , was einer der Eigenschaften von Logarithmen entspricht. Schauen wir uns ein Beispiel zum Finden eines Logarithmus an, das die Verwendung dieser Formel veranschaulicht.

Beispiel.

Berechnen Sie den Logarithmus.

Lösung.

Antwort:

.

Auch Eigenschaften von Logarithmen, die oben nicht erwähnt wurden, werden in Berechnungen verwendet, wir werden jedoch in den folgenden Abschnitten darüber sprechen.

Finden von Logarithmen anhand anderer bekannter Logarithmen

Die Informationen in diesem Absatz führen das Thema der Nutzung der Eigenschaften von Logarithmen bei deren Berechnung fort. Der Hauptunterschied besteht jedoch darin, dass die Eigenschaften von Logarithmen verwendet werden, um den ursprünglichen Logarithmus durch einen anderen Logarithmus auszudrücken, dessen Wert bekannt ist. Lassen Sie uns zur Verdeutlichung ein Beispiel geben. Nehmen wir an, wir wissen, dass log 2 3≈1,584963, dann können wir beispielsweise log 2 6 finden, indem wir eine kleine Transformation unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus durchführen: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Im obigen Beispiel hat es uns gereicht, die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts zu nutzen. Allerdings ist es viel häufiger notwendig, ein breiteres Arsenal an Eigenschaften von Logarithmen zu verwenden, um den ursprünglichen Logarithmus anhand der gegebenen zu berechnen.

Beispiel.

Berechnen Sie den Logarithmus von 27 zur Basis 60, wenn Sie wissen, dass log 60 2=a und log 60 5=b.

Lösung.

Wir müssen also log 60 27 finden. Es ist leicht zu erkennen, dass 27 = 3 3 und der ursprüngliche Logarithmus aufgrund der Eigenschaft des Logarithmus der Potenz als 3·log 60 3 umgeschrieben werden kann.

Sehen wir uns nun an, wie man log 60 3 durch bekannte Logarithmen ausdrückt. Die Eigenschaft des Logarithmus einer Zahl gleich der Basis ermöglicht es uns, die Gleichheit log 60 60=1 zu schreiben. Andererseits ist log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Auf diese Weise, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Somit, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Abschließend berechnen wir den ursprünglichen Logarithmus: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Antwort:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Unabhängig davon ist die Bedeutung der Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus der Form zu erwähnen . Es ermöglicht Ihnen, von Logarithmen mit beliebiger Basis zu Logarithmen mit einer bestimmten Basis zu wechseln, deren Werte bekannt sind oder deren Werte ermittelt werden können. Normalerweise gehen sie vom ursprünglichen Logarithmus mithilfe der Übergangsformel zu Logarithmen in einer der Basen 2, e oder 10 über, da es für diese Basen Logarithmentabellen gibt, mit denen ihre Werte mit einem bestimmten Grad berechnet werden können Genauigkeit. Im nächsten Absatz zeigen wir, wie das geht.

Logarithmentabellen und ihre Verwendung

Zur näherungsweisen Berechnung können Logarithmuswerte verwendet werden Logarithmustabellen. Die am häufigsten verwendete Logarithmustabelle zur Basis 2 ist die Tabelle natürliche Logarithmen und eine Tabelle mit dezimalen Logarithmen. Wenn Sie im dezimalen Zahlensystem arbeiten, ist es praktisch, eine Logarithmentabelle zur Basis zehn zu verwenden. Mit seiner Hilfe lernen wir, die Werte von Logarithmen zu ermitteln.

Mit der vorgestellten Tabelle können Sie die Werte der Dezimallogarithmen von Zahlen von 1.000 bis 9.999 (mit drei Dezimalstellen) mit einer Genauigkeit von einem Zehntausendstel ermitteln. Wir werden das Prinzip analysieren, den Wert eines Logarithmus mithilfe einer Tabelle mit Dezimallogarithmen zu ermitteln konkretes Beispiel– so ist es klarer. Suchen wir log1.256.

In der linken Spalte der Tabelle der Dezimallogarithmen finden wir die ersten beiden Ziffern der Zahl 1,256, also 1,2 (diese Zahl ist der Übersichtlichkeit halber blau eingekreist). Die dritte Ziffer der Zahl 1.256 (Ziffer 5) steht in der ersten bzw. letzten Zeile links von der Doppelzeile (diese Zahl ist rot umkreist). Die vierte Ziffer der ursprünglichen Zahl 1.256 (Ziffer 6) befindet sich in der ersten oder letzten Zeile rechts von der Doppellinie (diese Zahl ist mit einer grünen Linie umkreist). Nun finden wir die Zahlen in den Zellen der Logarithmentabelle am Schnittpunkt der markierten Zeile und der markierten Spalten (diese Zahlen sind hervorgehoben). orange). Die Summe der markierten Zahlen ergibt den gewünschten Wert des dezimalen Logarithmus mit einer Genauigkeit auf die vierte Dezimalstelle, d. h. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Ist es möglich, anhand der obigen Tabelle die Werte von Dezimallogarithmen von Zahlen zu ermitteln, die mehr als drei Nachkommastellen haben, sowie solche, die über den Bereich von 1 bis 9,999 hinausgehen? Ja, du kannst. Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie das geht.

Berechnen wir lg102.76332. Zuerst müssen Sie aufschreiben Zahl in Standardform : 102,76332=1,0276332·10 2. Danach sollte die Mantisse auf die dritte Dezimalstelle gerundet werden, wir haben 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, während der ursprüngliche Dezimallogarithmus ungefähr dem Logarithmus der resultierenden Zahl entspricht, das heißt, wir nehmen log102,76332≈lg1,028·10 2. Nun wenden wir die Eigenschaften des Logarithmus an: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Schließlich finden wir den Wert des Logarithmus lg1,028 aus der Tabelle der dezimalen Logarithmen lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Infolgedessen sieht der gesamte Prozess der Berechnung des Logarithmus wie folgt aus: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Zusammenfassend ist festzuhalten, dass Sie mithilfe einer Tabelle mit Dezimallogarithmen den ungefähren Wert jedes Logarithmus berechnen können. Dazu genügt es, mit der Übergangsformel zu Dezimallogarithmen zu gelangen, deren Werte in der Tabelle zu finden und die restlichen Berechnungen durchzuführen.

Berechnen wir zum Beispiel log 2 3 . Gemäß der Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus haben wir . Aus der Tabelle der dezimalen Logarithmen finden wir log3≈0,4771 und log2≈0,3010. Auf diese Weise, .

Referenzliste.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere. Algebra und die Anfänge der Analysis: Lehrbuch für die Klassen 10 - 11 allgemeinbildender Bildungseinrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Berufsanfänger).

Aufgaben, deren Lösung ist Transformation logarithmische Ausdrücke , sind bei der Einheitlichen Staatsprüfung durchaus üblich.

Um sie mit minimalem Zeitaufwand erfolgreich zu bewältigen, müssen Sie neben den grundlegenden logarithmischen Identitäten noch einige weitere Formeln kennen und richtig anwenden.

Dies ist: a log a b = b, wobei a, b > 0, a ≠ 1 (Es folgt direkt aus der Definition des Logarithmus).

log a b = log c b / log c a oder log a b = 1/log b a
wobei a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
wobei a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
wobei a, b, c > 0 und a, b, c ≠ 1

Um die Gültigkeit der vierten Gleichung zu zeigen, nehmen wir den Logarithmus der linken und rechten Seite zur Basis von a. Wir erhalten log a (a log mit b) = log a (b log mit a) oder log mit b = log mit a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); log mit b = log mit b.

Wir haben die Gleichheit der Logarithmen bewiesen, was bedeutet, dass auch die Ausdrücke unter den Logarithmen gleich sind. Die Formel 4 hat sich bewährt.

Beispiel 1.

Berechnen Sie 81 log 27 5 log 5 4 .

Lösung.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Daher gilt:

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Dann ist 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Sie können die folgende Aufgabe selbst erledigen.

Berechnen Sie (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.

Als Hinweis: 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0,2 5 = -1.

Antwort: 5.

Beispiel 2.

Berechnen Sie (√11) Protokoll √3 9- Protokoll 121 81 .

Lösung.

Ändern wir die Ausdrücke: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (Formel 3 wurde verwendet).

Dann ist (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

Beispiel 3.

Berechnen Sie log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Lösung.

Wir ersetzen die im Beispiel enthaltenen Logarithmen durch Logarithmen zur Basis 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Dann log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

Nachdem wir die Klammern geöffnet und ähnliche Begriffe eingegeben haben, erhalten wir die Zahl 3. (Beim Vereinfachen des Ausdrucks können wir log 2 3 mit n bezeichnen und den Ausdruck vereinfachen

(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Antwort: 3.

Sie können die folgende Aufgabe selbst erledigen:

Berechnen Sie (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Hier ist es notwendig, auf Logarithmen zur Basis 3 und die Faktorisierung großer Zahlen in Primfaktoren umzusteigen.

Antwort: 1/2

Beispiel 4.

Gegeben seien drei Zahlen A = 1/(log 3 0,5), B = 1/(log 0,5 3), C = log 0,5 12 – log 0,5 3. Ordne sie in aufsteigender Reihenfolge an.

Lösung.

Lassen Sie uns die Zahlen A = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.

Vergleichen wir sie

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 und log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Oder 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Antwort. Daher ist die Reihenfolge der Platzierung der Zahlen: C; A; IN.

Beispiel 5.

Wie viele ganze Zahlen sind im Intervall (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Lösung.

Bestimmen wir, zwischen welchen Potenzen der Zahl 3 die Zahl 1/16 liegt. Wir bekommen 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Da die Funktion y = log 3 x zunimmt, ist log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Vergleichen wir Log 6 (4/3) und 1/5. Und dazu vergleichen wir die Zahlen 4/3 und 6 1/5. Erhöhen wir beide Zahlen auf die 5. Potenz. Wir erhalten (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 · 52 / 243< 6. Следовательно,

Protokoll 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Daher umfasst das Intervall (log 3 1 / 16 ; log 6 48) das Intervall [-2; 4] und die ganzen Zahlen -2 werden darauf platziert; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Antwort: 7 ganze Zahlen.

Beispiel 6.

Berechnen Sie 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

Lösung.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Dann 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.

Antwort 1.

Beispiel 7.

Es ist bekannt, dass log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Finden Sie log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).

Lösung.

Zahlen (√3 + 1) und (√3 – 1); (√6 – 2) und (√6 + 2) sind konjugiert.

Führen wir die folgende Transformation von Ausdrücken durch

√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

Dann log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.

Antwort: 2 – A.

Beispiel 8.

Vereinfachen Sie und ermitteln Sie den ungefähren Wert des Ausdrucks (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Lösung.

Reduzieren wir alle Logarithmen auf eine gemeinsame Basis 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (Der ungefähre Wert von lg 2 kann mit einer Tabelle, einem Rechenschieber oder einem Taschenrechner ermittelt werden).

Antwort: 0,3010.

Beispiel 9.

Berechnen Sie log a 2 b 3 √(a 11 b -3), wenn log √ a b 3 = 1. (In diesem Beispiel ist a 2 b 3 die Basis des Logarithmus).

Lösung.

Wenn log √ a b 3 = 1, dann 3/(0,5 log a b = 1. Und log a b = 1/6.

Dann log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass log a b = 1/ 6 erhalten wir (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1.

Antwort: 2.1.

Sie können die folgende Aufgabe selbst erledigen:

Berechnen Sie log √3 6 √2,1, wenn log 0,7 27 = a.

Antwort: (3 + a) / (3a).

Beispiel 10.

Berechnen Sie 6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.

Lösung.

6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 ​​​​log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (Formel 4))

Wir erhalten 9 + 6 = 15.

Antwort: 15.

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Bei der Konvertierung von Ausdrücken mit Logarithmen werden die aufgeführten Gleichungen sowohl von rechts nach links als auch von links nach rechts verwendet.

Es ist erwähnenswert, dass es nicht notwendig ist, sich die Konsequenzen der Eigenschaften zu merken: Bei der Durchführung von Transformationen kann man mit den grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen und anderen Fakten auskommen (z. B. der Tatsache, dass für b≥0), woraus die entsprechenden Konsequenzen folgen. " Nebenwirkung„Dieser Ansatz äußert sich nur darin, dass die Lösung etwas länger dauern wird.“ Zum Beispiel, um auf die Konsequenz zu verzichten, die durch die Formel ausgedrückt wird , und nur ausgehend von den Grundeigenschaften von Logarithmen müssen Sie eine Kette von Transformationen der folgenden Form durchführen: .

Das Gleiche gilt für die letzte Eigenschaft aus der obigen Liste, die durch die Formel beantwortet wird , da es sich auch aus den Grundeigenschaften von Logarithmen ergibt. Das Wichtigste ist, dass es immer möglich ist, dass die Potenz einer positiven Zahl mit einem Logarithmus im Exponenten die Basis der Potenz und der Zahl unter dem Logarithmuszeichen vertauscht. Fairerweise muss man sagen, dass Beispiele, die die Umsetzung solcher Transformationen implizieren, in der Praxis selten sind. Nachfolgend im Text werden wir einige Beispiele nennen.

Konvertieren numerischer Ausdrücke mit Logarithmen

Wir haben uns an die Eigenschaften von Logarithmen erinnert, jetzt ist es an der Zeit zu lernen, wie man sie in der Praxis zur Transformation von Ausdrücken anwendet. Es ist naheliegend, mit der Konvertierung numerischer Ausdrücke statt mit Variablenausdrücken zu beginnen, da diese bequemer sind und das Erlernen der Grundlagen einfacher ist. Das ist, was wir tun werden, und wir beginnen mit einem sehr einfache Beispiele, um zu lernen, wie man die gewünschte Eigenschaft des Logarithmus wählt, aber wir werden die Beispiele nach und nach komplizieren, bis zu dem Punkt, an dem es für das Endergebnis notwendig sein wird, mehrere Eigenschaften hintereinander anzuwenden.

Auswahl der gewünschten Eigenschaft von Logarithmen

Es gibt viele Eigenschaften von Logarithmen, und es ist klar, dass Sie in der Lage sein müssen, daraus die geeignete auszuwählen, die in diesem speziellen Fall zum gewünschten Ergebnis führt. Normalerweise ist dies nicht schwierig, indem man die Art des umgewandelten Logarithmus oder Ausdrucks mit der Art des linken und rechten Teils von Formeln vergleicht, die die Eigenschaften von Logarithmen ausdrücken. Wenn die linke oder rechte Seite einer der Formeln mit einem bestimmten Logarithmus oder Ausdruck übereinstimmt, sollte höchstwahrscheinlich diese Eigenschaft bei der Transformation verwendet werden. Die folgenden Beispiele zeigen dies deutlich.

Beginnen wir mit Beispielen für die Transformation von Ausdrücken mithilfe der Definition eines Logarithmus, der der Formel a log a b =b, a>0, a≠1, b>0 entspricht.

Beispiel.

Berechnen Sie, wenn möglich: a) 5 log 5 4, b) 10 log(1+2·π), c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Lösung.

Im Beispiel unter dem Buchstaben a) ist die Struktur a log a b deutlich zu erkennen, wobei a=5, b=4. Diese Zahlen erfüllen die Bedingungen a>0, a≠1, b>0, sodass Sie sicher die Gleichung a log a b =b verwenden können. Wir haben 5 log 5 4=4 .

b) Hier ist a=10, b=1+2·π, die Bedingungen a>0, a≠1, b>0 sind erfüllt. In diesem Fall gilt die Gleichheit 10 log(1+2·π) =1+2·π.

c) Und in diesem Beispiel haben wir es mit einem Grad der Form a log a b zu tun, wobei und b=ln15. Also .

Obwohl er zum gleichen Typ a log a b gehört (hier a=2, b=−7), kann der Ausdruck unter dem Buchstaben g) nicht mit der Formel a log a b =b umgewandelt werden. Der Grund dafür ist, dass es bedeutungslos ist, weil es eine negative Zahl unter dem Logarithmuszeichen enthält. Darüber hinaus erfüllt die Zahl b=−7 nicht die Bedingung b>0, was es unmöglich macht, auf die Formel a log a b =b zurückzugreifen, da sie die Erfüllung der Bedingungen a>0, a≠1, b> erfordert 0. Wir können also nicht über die Berechnung des Wertes von 2 log 2 (−7) sprechen. In diesem Fall wäre das Schreiben von 2 log 2 (−7) =−7 ein Fehler.

Ebenso ist es im Beispiel unter Buchstabe e) unmöglich, eine Lösung der Form anzugeben , da der ursprüngliche Ausdruck keinen Sinn ergibt.

Antwort:

a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2·π) =1+2·π, c) , d), e) Ausdrücke ergeben keinen Sinn.

Es ist oft sinnvoll, sich in welche umzuwandeln positive Zahl wird als Potenz einer positiven und nicht einsigen Zahl mit einem Logarithmus im Exponenten dargestellt. Es basiert auf der gleichen Definition des Logarithmus a log a b =b, a>0, a≠1, b>0, aber die Formel wird von rechts nach links angewendet, also in der Form b=a log a b . Beispiel: 3=e ln3 oder 5=5 log 5 5 .

Fahren wir mit der Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen zur Transformation von Ausdrücken fort.

Beispiel.

Finden Sie den Wert des Ausdrucks: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Lösung.

In den Beispielen unter den Buchstaben a), b) und c) werden die Ausdrücke log −2 1, log 1 1, log 0 1 angegeben, die keinen Sinn ergeben, da die Basis des Logarithmus keine negative Zahl enthalten sollte, Null oder Eins, weil wir den Logarithmus nur für eine Basis definiert haben, die positiv und von Eins verschieden ist. Daher kann es in den Beispielen a) - c) nicht darum gehen, die Bedeutung des Ausdrucks zu finden.

Bei allen anderen Aufgaben enthalten die Basen der Logarithmen offensichtlich positive und ungleiche Zahlen 7, e, 10, 3,75 bzw. 5·π 7, und unter den Vorzeichen der Logarithmen gibt es überall Einheiten. Und wir kennen die Eigenschaft des Logarithmus der Einheit: log a 1=0 für jedes a>0, a≠1. Somit sind die Werte der Ausdrücke b) – e) gleich Null.

Antwort:

a), b), c) Ausdrücke ergeben keinen Sinn, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0 .

Beispiel.

Berechnen Sie: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Lösung.

Es ist klar, dass wir die Eigenschaft des Logarithmus der Basis nutzen müssen, die der Formel log a a=1 für a>0, a≠1 entspricht. Tatsächlich stimmt bei den Aufgaben zu allen Buchstaben die Zahl unter dem Logarithmuszeichen mit seiner Basis überein. Daher möchte ich sofort sagen, dass der Wert jedes der angegebenen Ausdrücke 1 ist. Sie sollten jedoch keine voreiligen Schlüsse ziehen: Bei den Aufgaben unter den Buchstaben a) - d) sind die Werte der Ausdrücke wirklich gleich eins, und bei den Aufgaben e) und f) ergeben die ursprünglichen Ausdrücke keinen Sinn, also ist es so Man kann nicht sagen, dass die Werte dieser Ausdrücke gleich 1 sind.

Antwort:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) Ausdrücke ergeben keinen Sinn.

Beispiel.

Finden Sie den Wert: a) log 3 3 11, b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Lösung.

Offensichtlich gibt es unter den Vorzeichen des Logarithmus einige Potenzen der Basis. Auf dieser Grundlage verstehen wir, dass wir hier die Eigenschaft des Grades der Basis benötigen: log a a p =p, wobei a>0, a≠1 und p eine beliebige reelle Zahl ist. Unter Berücksichtigung dessen erhalten wir folgende Ergebnisse: a) log 3 3 11 =11, b) , V) . Ist es möglich, eine ähnliche Gleichung für das Beispiel unter dem Buchstaben d) der Form log −10 (−10) 6 =6 zu schreiben? Nein, das ist nicht möglich, da der Ausdruck log −10 (−10) 6 keinen Sinn ergibt.

Antwort:

a) log 3 3 11 =11, b) , V) , d) der Ausdruck ergibt keinen Sinn.

Beispiel.

Stellen Sie den Ausdruck als Summe oder Differenz von Logarithmen dar, die dieselbe Basis verwenden: a) , b) , c) log((−5)·(−12)) .

Lösung.

a) Unter dem Vorzeichen des Logarithmus gibt es ein Produkt, und wir kennen die Eigenschaft des Logarithmus des Produkts log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , y>0. In unserem Fall sind die Zahl in der Basis des Logarithmus und die Zahlen im Produkt positiv, das heißt, sie erfüllen die Bedingungen der ausgewählten Eigenschaft, daher können wir sie sicher anwenden: .

b) Hier nutzen wir die Eigenschaft des Quotientenlogarithmus, wobei a>0, a≠1, x>0, y>0. In unserem Fall ist die Basis des Logarithmus eine positive Zahl e, Zähler und Nenner π sind positiv, was bedeutet, dass sie die Bedingungen der Eigenschaft erfüllen, daher haben wir das Recht, die gewählte Formel zu verwenden: .

c) Beachten Sie zunächst, dass der Ausdruck log((−5)·(−12)) sinnvoll ist. Aber gleichzeitig haben wir dafür nicht das Recht, die Formel für den Logarithmus des Produkts log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y anzuwenden >0, da die Zahlen −5 und −12 – negativ sind und die Bedingungen x>0, y>0 nicht erfüllen. Das heißt, Sie können eine solche Transformation nicht durchführen: log((−5)·(−12))=log(−5)+log(−12). Also, was sollten wir tun? In solchen Fällen muss der ursprüngliche Ausdruck vorab transformiert werden, um negative Zahlen zu vermeiden. Wir werden in einem der Artikel ausführlich über ähnliche Fälle der Transformation von Ausdrücken mit negativen Zahlen unter dem Logarithmuszeichen sprechen, aber vorerst werden wir eine Lösung für dieses Beispiel geben, die im Voraus und ohne Erklärung klar ist: log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.

Antwort:

A) , B) , c) log((−5)·(−12))=log5+lg12.

Beispiel.

Vereinfachen Sie den Ausdruck: a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5, b) .

Lösung.

Hier helfen uns alle gleichen Eigenschaften des Logarithmus des Produkts und des Logarithmus des Quotienten, die wir in den vorherigen Beispielen verwendet haben, nur werden wir sie jetzt von rechts nach links anwenden. Das heißt, wir transformieren die Summe der Logarithmen in den Logarithmus des Produkts und die Differenz der Logarithmen in den Logarithmus des Quotienten. Wir haben
A) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25 16 0,5)=log 3 2.
B) .

Antwort:

A) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, B) .

Beispiel.

Beseitigen Sie den Grad unter dem Logarithmuszeichen: a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (−5) 6 .

Lösung.

Es ist leicht zu erkennen, dass es sich um Ausdrücke der Form log a b p handelt. Die entsprechende Eigenschaft des Logarithmus hat die Form log a b p =p·log a b, wobei a>0, a≠1, b>0, p eine beliebige reelle Zahl ist. Das heißt, wenn die Bedingungen a>0, a≠1, b>0 erfüllt sind, können wir vom Logarithmus der Potenz log a b p zum Produkt p·log a b übergehen. Führen wir diese Transformation mit den angegebenen Ausdrücken durch.

a) In diesem Fall ist a=0,7, b=5 und p=11. Also log 0,7 5 11 =11·log 0,7 5.

b) Hier sind die Bedingungen a>0, a≠1, b>0 erfüllt. Deshalb

c) Der Ausdruck log 3 (−5) 6 hat die gleiche Struktur log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Für b ist jedoch die Bedingung b>0 nicht erfüllt, was die Verwendung der Formel log a b p =p·log a b unmöglich macht. Na und, Sie können die Aufgabe nicht bewältigen? Es ist möglich, es ist jedoch eine vorläufige Transformation des Ausdrucks erforderlich, auf die wir weiter unten im Absatz unter der Überschrift ausführlich eingehen werden. Die Lösung wird so aussehen: log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

Antwort:

a) log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 ,
B)
c) log 3 (−5) 6 =6·log 3 5.

Nicht selten muss bei der Durchführung von Transformationen die Formel für den Logarithmus einer Potenz von rechts nach links in der Form p·log a b=log a b p angewendet werden (für a, b und p müssen die gleichen Bedingungen erfüllt sein). Beispiel: 3·ln5=ln5 3 und log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

Beispiel.

a) Berechnen Sie den Wert von log 2 5, wenn bekannt ist, dass log2≈0,3010 und log5≈0,6990. b) Drücken Sie den Bruch als Logarithmus zur Basis 3 aus.

Lösung.

a) Die Formel für den Übergang zu einer neuen Logarithmusbasis ermöglicht es uns, diesen Logarithmus als Verhältnis dezimaler Logarithmen darzustellen, deren Werte uns bekannt sind: . Jetzt müssen nur noch die Berechnungen durchgeführt werden, die uns vorliegen .

b) Hier reicht es aus, die Formel für den Übergang zu einer neuen Basis zu verwenden und sie von rechts nach links, also in der Form, anzuwenden . Wir bekommen .

Antwort:

a) log 2 5≈2,3223, b) .

Zu diesem Zeitpunkt haben wir die Transformation der meisten sehr sorgfältig überlegt einfache Ausdrücke Verwendung der grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen und der Definition eines Logarithmus. In diesen Beispielen mussten wir eine Eigenschaft anwenden und nicht mehr. Jetzt können Sie guten Gewissens zu Beispielen übergehen, deren Transformation die Verwendung mehrerer Eigenschaften von Logarithmen und anderen zusätzlichen Transformationen erfordert. Auf sie gehen wir im nächsten Absatz ein. Doch zuvor wollen wir uns kurz Beispiele für die Anwendung von Konsequenzen aus den Grundeigenschaften von Logarithmen ansehen.

Beispiel.

a) Entfernen Sie die Wurzel unter dem Logarithmuszeichen. b) Wandeln Sie den Bruch in einen Logarithmus zur Basis 5 um. c) Befreien Sie sich von Kräften im Zeichen des Logarithmus und in seiner Basis. d) Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks . e) Ersetzen Sie den Ausdruck durch eine Potenz zur Basis 3.

Lösung.

a) Erinnern wir uns an das Korollar aus der Eigenschaft des Logarithmus des Grades , dann können Sie sofort die Antwort geben: .

b) Hier verwenden wir die Formel von rechts nach links haben wir .

c) In diesem Fall führt die Formel zum Ergebnis . Wir bekommen .

d) Und hier genügt es, das Korollar anzuwenden, dem die Formel entspricht . Also .

e) Eigenschaft des Logarithmus ermöglicht es uns, etwas zu erreichen erwünschtes Ergebnis: .

Antwort:

A) . B) . V) . G) . D) .

Aufeinanderfolgende Anwendung mehrerer Eigenschaften

Echte Aufgaben zur Transformation von Ausdrücken mithilfe der Eigenschaften von Logarithmen sind normalerweise komplizierter als die, die wir im vorherigen Absatz behandelt haben. Bei ihnen wird das Ergebnis in der Regel nicht in einem Schritt erreicht, sondern die Lösung besteht bereits in der sequentiellen Anwendung einer Eigenschaft nach der anderen, zusammen mit zusätzlichen identischen Transformationen, wie etwa das Öffnen von Klammern, das Einbringen ähnlicher Begriffe, das Kürzen von Brüchen usw . Schauen wir uns also solche Beispiele näher an. Daran ist nichts Kompliziertes, die Hauptsache ist, sorgfältig und konsequent zu handeln und die Reihenfolge der Handlungen einzuhalten.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert eines Ausdrucks (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Lösung.

Die Differenz zwischen den Logarithmen in Klammern kann entsprechend der Eigenschaft des Quotientenlogarithmus durch den Logarithmus log 3 (15:5) ersetzt werden und dann seinen Wert log 3 (15:5)=log 3 3=1 berechnen. Und der Wert des Ausdrucks 7 log 7 5 ist per Definition eines Logarithmus gleich 5. Wenn wir diese Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck einsetzen, erhalten wir (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Hier ist eine Lösung ohne Erklärung:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=log 3 3·5=1·5=5 .

Antwort:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Beispiel.

Welchen Wert hat der numerische Ausdruck log 3 log 2 2 3 −1?

Lösung.

Wir transformieren zunächst den Logarithmus unter das Logarithmuszeichen mit der Formel für den Logarithmus der Potenz: log 2 2 3 =3. Somit ist log 3 log 2 2 3 =log 3 3 und dann log 3 3=1. Also log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Antwort:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Beispiel.

Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung.

Die Formel für den Übergang zu einer neuen Logarithmusbasis ermöglicht die Darstellung des Verhältnisses von Logarithmen zu einer Basis als log 3 5. In diesem Fall nimmt der ursprüngliche Ausdruck die Form an. Nach Definition des Logarithmus 3 log 3 5 =5, das heißt , und der Wert des resultierenden Ausdrucks ist aufgrund derselben Definition des Logarithmus gleich zwei.

Hier ist eine kurze Version der Lösung, die normalerweise gegeben wird: .

Antwort:

.

Um einen reibungslosen Übergang zu den Informationen im nächsten Absatz zu ermöglichen, werfen wir einen Blick auf die Ausdrücke 5 2+log 5 3 und log0,01. Ihre Struktur passt zu keiner der Eigenschaften von Logarithmen. Was passiert also, dass sie nicht mit den Eigenschaften von Logarithmen umgerechnet werden können? Dies ist möglich, wenn Sie Vortransformationen durchführen, die diese Ausdrücke für die Anwendung der Eigenschaften von Logarithmen vorbereiten. Also 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, und log0,01=log10 −2 =−2. Als nächstes werden wir uns im Detail ansehen, wie eine solche Ausdrucksvorbereitung durchgeführt wird.

Vorbereiten von Ausdrücken zur Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen im umzuwandelnden Ausdruck unterscheiden sich sehr oft in der Struktur der Notation vom linken und rechten Teil der Formeln entsprechend den Eigenschaften von Logarithmen. Aber nicht seltener beinhaltet die Transformation dieser Ausdrücke die Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen: Ihre Verwendung erfordert nur eine vorbereitende Vorbereitung. Und diese Vorbereitung besteht darin, bestimmte Dinge auszuführen Identitätstransformationen, wodurch Logarithmen in eine für die Anwendung der Eigenschaften geeignete Form gebracht werden.

Fairerweise stellen wir fest, dass fast jede Transformation von Ausdrücken als vorläufige Transformation fungieren kann, von der banalen Reduktion ähnlicher Begriffe bis hin zur Anwendung trigonometrische Formeln. Dies ist verständlich, da die umzuwandelnden Ausdrücke beliebige mathematische Objekte enthalten können: Klammern, Module, Brüche, Wurzeln, Potenzen usw. Daher muss man bereit sein, jede notwendige Transformation durchzuführen, um die Eigenschaften von Logarithmen weiter nutzen zu können.

Lassen Sie uns gleich sagen, dass wir uns an dieser Stelle nicht die Aufgabe stellen, alle denkbaren Vortransformationen zu klassifizieren und zu analysieren, die es uns ermöglichen würden, die Eigenschaften von Logarithmen oder die Definition eines Logarithmus später anzuwenden. Hier konzentrieren wir uns auf nur vier davon, die am typischsten sind und in der Praxis am häufigsten anzutreffen sind.

Und nun zu jedem von ihnen im Detail, danach bleibt im Rahmen unseres Themas nur noch die Transformation von Ausdrücken mit Variablen unter den Vorzeichen von Logarithmen zu verstehen.

Identifizierung von Potenzen unter dem Logarithmuszeichen und an seiner Basis

Beginnen wir gleich mit einem Beispiel. Lassen Sie uns einen Logarithmus erstellen. Offensichtlich ist seine Struktur in dieser Form nicht für die Nutzung der Eigenschaften von Logarithmen geeignet. Ist es möglich, diesen Ausdruck irgendwie umzuwandeln, um ihn zu vereinfachen und seinen Wert noch besser zu berechnen? Um diese Frage zu beantworten, schauen wir uns die Zahlen 81 und 1/9 im Kontext unseres Beispiels genauer an. Hier ist leicht zu erkennen, dass diese Zahlen als Potenz von 3 dargestellt werden können, nämlich 81 = 3 4 und 1/9 = 3 −2. In diesem Fall wird der ursprüngliche Logarithmus in der Form dargestellt und es wird möglich, die Formel anzuwenden . Also, .

Die Analyse des analysierten Beispiels führt zu folgendem Gedanken: Wenn möglich, können Sie versuchen, den Grad unter dem Vorzeichen des Logarithmus und in seiner Basis zu isolieren, um die Eigenschaft des Logarithmus des Grades oder seiner Konsequenzen anzuwenden. Es bleibt nur noch herauszufinden, wie man diese Grade unterscheiden kann. Lassen Sie uns einige Empfehlungen zu diesem Thema geben.

Manchmal ist es ziemlich offensichtlich, dass die Zahl unter dem Logarithmuszeichen und/oder in seiner Basis eine ganzzahlige Potenz darstellt, wie im oben diskutierten Beispiel. Fast ständig haben wir es mit Zweierpotenzen zu tun, die wohlbekannt sind: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512= 2 9, 1024=2 10. Das Gleiche gilt für die Dreierpotenzen: 9 = 3 · 2, 27 = 3 · 3, 81 = 3 · 4, 243 = 3 · 5, ... Generell kann es nicht schaden, wenn man sie vor Augen hat Gradtabelle natürliche Zahlen innerhalb eines Dutzends. Es ist auch nicht schwierig, mit ganzzahligen Potenzen von zehn, hundert, tausend usw. zu arbeiten.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert oder vereinfachen Sie den Ausdruck: a) log 6 216, b) , c) log 0,000001 0,001.

Lösung.

a) Offensichtlich ist 216=6 3, also log 6 216=log 6 6 3 =3.

b) Mit der Potenztabelle der natürlichen Zahlen können Sie die Zahlen 343 und 1/243 als Potenzen 7 3 bzw. 3 −4 darstellen. Daher ist die folgende Transformation eines gegebenen Logarithmus möglich:

c) Da 0,000001=10 −6 und 0,001=10 −3, dann log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

Antwort:

a) log 6 216=3, b) , c) log 0,000001 0,001=1/2.

In komplexeren Fällen muss man zur Isolierung von Zahlenpotenzen darauf zurückgreifen.

Beispiel.

Wandeln Sie den Ausdruck in „mehr“ um einfache Ansicht Protokoll 3 648 Protokoll 2 3 .

Lösung.

Schauen wir uns an, wie die Faktorisierung von 648 aussieht:

Das heißt, 648=2 3 ·3 4. Auf diese Weise, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Nun wandeln wir den Logarithmus des Produkts in die Summe der Logarithmen um und wenden anschließend die Eigenschaften des Logarithmus der Potenz an:
log 3 (2 3 3 4)log 2 3=(log 3 2 3 +log 3 3 4)log 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .

Aufgrund einer Folgerung aus der Eigenschaft des Logarithmus der Potenz, die der Formel entspricht , das Produkt log32·log23 ist das Produkt von und bekanntlich gleich eins. Wenn wir dies berücksichtigen, erhalten wir 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

Antwort:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Sehr oft stellen Ausdrücke unter dem Vorzeichen des Logarithmus und in seiner Basis Produkte oder Verhältnisse der Wurzeln und/oder Potenzen einiger Zahlen dar, zum Beispiel , . Solche Ausdrücke können als Potenzen ausgedrückt werden. Dazu wird von Wurzeln zu Potenzen übergegangen und und verwendet. Diese Transformationen ermöglichen es, die Potenzen unter dem Vorzeichen des Logarithmus und in seiner Basis zu isolieren und dann die Eigenschaften von Logarithmen anzuwenden.

Beispiel.

Berechnen Sie: a) , B) .

Lösung.

a) Der Ausdruck in der Basis des Logarithmus ist das Produkt von Potenzen mit den gleichen Basen; durch die entsprechende Eigenschaft der Potenzen haben wir 5 2 ·5 −0,5 ·5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Nun wandeln wir den Bruch unter dem Vorzeichen des Logarithmus um: Wir gehen von der Wurzel zur Potenz über und nutzen anschließend die Eigenschaft des Verhältnisses von Potenzen mit gleichen Basen: .

Es bleibt übrig, die erhaltenen Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck einzusetzen und die Formel zu verwenden und beende die Transformation:

b) Da 729 = 3 6 und 1/9 = 3 −2, kann der ursprüngliche Ausdruck als umgeschrieben werden.

Als nächstes wenden wir die Eigenschaft der Wurzel einer Potenz an, bewegen uns von der Wurzel zur Potenz und nutzen die Eigenschaft des Potenzverhältnisses, um die Basis des Logarithmus in eine Potenz umzuwandeln: .

Angesichts letztes Ergebnis, wir haben .

Antwort:

A) , B) .

Es ist klar, dass im allgemeinen Fall verschiedene Transformationen verschiedener Ausdrücke erforderlich sein können, um Potenzen unter dem Vorzeichen des Logarithmus und in seiner Basis zu erhalten. Lassen Sie uns ein paar Beispiele nennen.

Beispiel.

Was bedeutet der Ausdruck: a) , B) .

Lösung.

Wir beachten weiterhin, dass der gegebene Ausdruck die Form log A B p hat, wobei A=2, B=x+1 und p=4. Numerische Ausdrücke Wir haben diesen Typ gemäß der Eigenschaft des Logarithmus der Potenz log a b p =p·log a b transformiert, daher möchte ich mit dem gegebenen Ausdruck dasselbe tun und von log 2 (x+1) 4 nach 4·log gehen 2 (x+1) . Berechnen wir nun den Wert des ursprünglichen Ausdrucks und des Ausdrucks, der nach der Transformation erhalten wird, beispielsweise wenn x=−2. Wir haben log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , und 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- ein bedeutungsloser Ausdruck. Dies wirft eine logische Frage auf: „Was haben wir falsch gemacht?“

Und der Grund ist folgender: Wir haben die Transformation log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) basierend auf der Formel log a b p =p·log a b durchgeführt, aber wir haben das Recht, diese Formel anzuwenden nur wenn die Bedingungen a >0, a≠1, b>0, p – jede reelle Zahl. Das heißt, die von uns durchgeführte Transformation findet statt, wenn x+1>0, was dasselbe ist wie x>−1 (für A und p sind die Bedingungen erfüllt). In unserem Fall besteht die ODZ der Variablen x für den ursprünglichen Ausdruck jedoch nicht nur aus dem Intervall x>−1, sondern auch aus dem Intervall x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Die Notwendigkeit, DL zu berücksichtigen

Lassen Sie uns weiterhin die Transformation des von uns gewählten Ausdrucks log 2 (x+1) 4 analysieren und nun sehen, was mit der ODZ passiert, wenn wir zum Ausdruck 4 · log 2 (x+1) wechseln. Im vorherigen Absatz haben wir die ODZ des ursprünglichen Ausdrucks gefunden – dies ist die Menge (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Lassen Sie uns nun den Bereich akzeptabler Werte der Variablen x für den Ausdruck 4·log 2 (x+1) ermitteln. Sie wird durch die Bedingung x+1>0 bestimmt, die der Menge (−1, +∞) entspricht. Es ist offensichtlich, dass beim Übergang von log 2 (x+1) 4 zu 4·log 2 (x+1) der Bereich der zulässigen Werte kleiner wird. Und wir haben uns darauf geeinigt, Transformationen zu vermeiden, die zu einer Einengung des DL führen, da dies verschiedene negative Folgen haben kann.

Hier ist es erwähnenswert, dass es sinnvoll ist, den OA bei jedem Schritt der Transformation zu kontrollieren und seine Einengung zu verhindern. Und wenn es in irgendeinem Stadium der Transformation plötzlich zu einer Verengung des DL kam, dann lohnt es sich, sehr genau zu prüfen, ob diese Transformation zulässig ist und ob wir das Recht hatten, sie durchzuführen.

Nehmen wir fairerweise an, dass wir in der Praxis meist mit Ausdrücken arbeiten müssen, bei denen der Variablenwert von Variablen so ist, dass wir bei der Durchführung von Transformationen die Eigenschaften von Logarithmen ohne Einschränkungen in der uns bereits bekannten Form nutzen können, beides von links nach rechts und von rechts nach links. Man gewöhnt sich schnell daran und beginnt, Transformationen mechanisch durchzuführen, ohne darüber nachzudenken, ob dies möglich ist. Und in solchen Momenten rutschen, wie es der Zufall so will, komplexere Beispiele durch, in denen eine nachlässige Anwendung der Eigenschaften von Logarithmen zu Fehlern führt. Sie müssen also immer auf der Hut sein und sicherstellen, dass es zu keiner Einengung der ODZ kommt.

Es würde nicht schaden, die wichtigsten Transformationen basierend auf den Eigenschaften von Logarithmen gesondert hervorzuheben, die sehr sorgfältig durchgeführt werden müssen, was zu einer Einengung des OD und damit zu Fehlern führen kann:

Einige Transformationen von Ausdrücken, die auf den Eigenschaften von Logarithmen basieren, können auch zum Gegenteil führen – der Erweiterung der ODZ. Beispielsweise erweitert der Übergang von 4·log 2 (x+1) zu log 2 (x+1) 4 die ODZ von der Menge (−1, +∞) auf (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Solche Transformationen finden statt, wenn wir im Rahmen der ODZ für den ursprünglichen Ausdruck bleiben. Die eben erwähnte Transformation 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 findet also auf der ODZ der Variablen x für den ursprünglichen Ausdruck 4·log 2 (x+1) statt, also für x+1> 0, was dasselbe ist wie (−1, +∞).

Nachdem wir nun die Nuancen besprochen haben, auf die Sie bei der Transformation von Ausdrücken mit Variablen mithilfe der Eigenschaften von Logarithmen achten müssen, müssen wir noch herausfinden, wie diese Transformationen korrekt durchgeführt werden.

X+2>0 . Funktioniert es in unserem Fall? Um diese Frage zu beantworten, werfen wir einen Blick auf die ODZ der Variablen x. Es wird durch das System der Ungleichungen bestimmt , was der Bedingung x+2>0 entspricht (siehe ggf. den Artikel Lösung von Ungleichheitssystemen). Somit können wir die Eigenschaft des Logarithmus der Potenz sicher anwenden.

Wir haben
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

Sie können auch anders vorgehen, da Ihnen die ODZ dies ermöglicht, zum Beispiel so:

Antwort:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Was aber tun, wenn die Bedingungen für die Eigenschaften von Logarithmen im ODZ nicht erfüllt sind? Wir werden dies anhand von Beispielen verstehen.

Lassen Sie uns den Ausdruck log(x+2) 4 − log(x+2) 2 vereinfachen. Die Transformation dieses Ausdrucks erlaubt im Gegensatz zum Ausdruck aus dem vorherigen Beispiel keine freie Nutzung der Eigenschaft des Logarithmus der Potenz. Warum? Die ODZ der Variablen x ist in diesem Fall die Vereinigung zweier Intervalle x>−2 und x<−2 . При x>−2 können wir die Eigenschaft des Logarithmus einer Potenz leicht anwenden und wie im obigen Beispiel vorgehen: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Aber die ODZ enthält noch ein weiteres Intervall x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 und weiter aufgrund der Eigenschaften des Grades k lg|x+2| 4 −lg|x+2| 2. Der resultierende Ausdruck kann mithilfe der Eigenschaft des Logarithmus einer Potenz transformiert werden, da |x+2|>0 für jeden Wert der Variablen gilt. Wir haben log|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Jetzt können Sie sich vom Modul befreien, da es seine Aufgabe erfüllt hat. Da wir die Transformation bei x+2 durchführen<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Schauen wir uns noch ein Beispiel an, damit die Arbeit mit Modulen vertraut wird. Lassen Sie uns aus dem Ausdruck begreifen Gehen Sie zur Summe und Differenz der Logarithmen der linearen Binome x−1, x−2 und x−3. Zuerst finden wir die ODZ:

Auf dem Intervall (3, +∞) sind die Werte der Ausdrücke x−1, x−2 und x−3 positiv, sodass wir die Eigenschaften des Logarithmus von Summe und Differenz leicht anwenden können:

Und im Intervall (1, 2) sind die Werte des Ausdrucks x−1 positiv und die Werte der Ausdrücke x−2 und x−3 negativ. Daher stellen wir im betrachteten Intervall x−2 und x−3 dar, indem wir den Modul als −|x−2| verwenden und −|x−3| jeweils. Dabei

Jetzt können wir die Eigenschaften des Logarithmus des Produkts und des Quotienten anwenden, da auf dem betrachteten Intervall (1, 2) die Werte der Ausdrücke x−1 , |x−2| und |x−3| - positiv.

Wir haben

Die erhaltenen Ergebnisse können kombiniert werden:

Im Allgemeinen ermöglicht eine ähnliche Argumentation, basierend auf den Formeln für den Logarithmus des Produkts, des Verhältnisses und des Grades, drei praktisch nützliche Ergebnisse zu erhalten, die recht praktisch zu verwenden sind:

• Der Logarithmus des Produkts zweier beliebiger Ausdrücke X und Y der Form log a (X·Y) kann durch die Summe der Logarithmen log a |X|+log a |Y| ersetzt werden , a>0 , a≠1 .
• Der Logarithmus der bestimmten Form log a (X:Y) kann durch die Differenz der Logarithmen log a |X|−log a |Y| ersetzt werden , a>0, a≠1, X und Y sind beliebige Ausdrücke.
• Vom Logarithmus eines Ausdrucks B zu einer geraden Potenz p der Form log a B p können wir zum Ausdruck p·log a |B| gelangen , wobei a>0, a≠1, p eine gerade Zahl und B ein beliebiger Ausdruck ist.

Ähnliche Ergebnisse finden sich beispielsweise in der Anleitung zur Lösung exponentieller und logarithmischer Gleichungen in der Aufgabensammlung der Mathematik für Studienanfänger, herausgegeben von M. I. Skanavi.

Beispiel.

Den Ausdruck vereinfachen .

Lösung.

Es wäre gut, die Eigenschaften des Logarithmus von Potenz, Summe und Differenz anzuwenden. Aber können wir das hier tun? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir die DZ kennen.

Definieren wir es:

Es ist ganz offensichtlich, dass die Ausdrücke x+4, x−2 und (x+4) 13 im Bereich der zulässigen Werte der Variablen x sowohl positive als auch negative Werte annehmen können. Daher müssen wir über Module agieren.

Mit den Moduleigenschaften können Sie es so umschreiben

Außerdem hindert Sie nichts daran, die Eigenschaft des Logarithmus einer Potenz zu verwenden und dann ähnliche Begriffe zu verwenden:

Eine weitere Folge von Transformationen führt zum gleichen Ergebnis:

und da auf der ODZ der Ausdruck x−2 sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, dann bei Verwendung eines geraden Exponenten 14