نحوه حل مثال با لگاریتم مسئله B7 - تبدیل عبارات لگاریتمی و نمایی

یکی از عناصر جبر سطح ابتدایی لگاریتم است. این نام از زبان یونانی از کلمه "عدد" یا "قدرت" گرفته شده است و به معنای قدرتی است که برای یافتن عدد نهایی، عدد در پایه باید به آن افزایش یابد.

انواع لگاریتم

• log a b – لگاریتم عدد b به پایه a (a > 0، a ≠ 1، b > 0).
• log b - لگاریتم اعشاری (لگاریتم به پایه 10، a = 10).
• ln b - لگاریتم طبیعی(لگاریتم به پایه e، a = e).

چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟

لگاریتم b به پایه a یک توان است که باید b را به پایه a برسانیم. نتیجه به دست آمده به این صورت تلفظ می شود: "لگاریتم b به پایه a". راه حل مسائل لگاریتمی این است که شما باید توان داده شده را در اعداد از اعداد مشخص شده تعیین کنید. قوانین اساسی برای تعیین یا حل لگاریتم و همچنین تبدیل خود نماد وجود دارد. با استفاده از آنها معادلات لگاریتمی حل می شوند، مشتقات پیدا می شوند، انتگرال ها حل می شوند و بسیاری از عملیات های دیگر انجام می شوند. اساساً راه حل خود لگاریتم نماد ساده شده آن است. در زیر فرمول ها و خواص اصلی آورده شده است:

برای هر یک ; a > 0; a ≠ 1 و برای هر x ; y > 0.

• a log a b = b – هویت لگاریتمی پایه
• ثبت یک = 0
• لوگا a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x، برای k≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – فرمول انتقال به یک پایه جدید
• log a x = 1/log x a

نحوه حل لگاریتم - دستورالعمل های گام به گام برای حل

• ابتدا معادله مورد نیاز را یادداشت کنید.

لطفاً توجه داشته باشید: اگر لگاریتم پایه 10 باشد، ورودی کوتاه شده و منجر به لگاریتم اعشاری می شود. اگه ارزش داره عدد طبیعی e، سپس آن را یادداشت می کنیم و به لگاریتم طبیعی تقلیل می دهیم. این بدان معنی است که نتیجه تمام لگاریتم ها توانی است که عدد پایه به آن افزایش می یابد تا عدد b به دست آید.

به طور مستقیم، راه حل در محاسبه این درجه نهفته است. قبل از حل یک عبارت با لگاریتم، باید طبق قاعده، یعنی با استفاده از فرمول، آن را ساده کرد. با کمی برگشت در مقاله می توانید هویت های اصلی را پیدا کنید.

هنگام جمع و تفریق لگاریتمی با دو عدد متفاوت اما با پایه های یکسان، به ترتیب حاصل ضرب یا تقسیم اعداد b و c را با یک لگاریتم جایگزین کنید. در این مورد، می توانید فرمول انتقال به پایه دیگر را اعمال کنید (به بالا مراجعه کنید).

اگر از عبارات برای ساده کردن لگاریتم استفاده می کنید، محدودیت هایی وجود دارد که باید در نظر بگیرید. و آن این است: پایه لگاریتم a فقط یک عدد مثبت است، اما نه برابر با یک. عدد b نیز مانند a باید بزرگتر از صفر باشد.

مواردی وجود دارد که با ساده کردن یک عبارت، نمی توانید لگاریتم را به صورت عددی محاسبه کنید. اتفاق می افتد که چنین عبارتی معنی ندارد، زیرا بسیاری از قدرت ها اعداد غیر منطقی هستند. در این شرایط، توان عدد را به عنوان لگاریتم بگذارید.

لگاریتم ها، مانند هر اعداد، از هر نظر قابل جمع، تفریق و تبدیل هستند. اما از آنجایی که لگاریتم ها دقیقاً اعداد معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که نامیده می شوند خواص اصلی.

شما قطعاً باید این قوانین را بدانید - بدون آنها نمی توان یک مشکل جدی را حل کرد. مسئله لگاریتمی. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - می توانید همه چیز را در یک روز یاد بگیرید. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم با پایه های یکسان را در نظر بگیرید: log آ ایکسو وارد شوید آ y. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

1. ورود به سیستم آ ایکس+ ثبت نام آ y= ثبت نام آ (ایکس · y);
2. ورود به سیستم آ ایکس- ورود آ y= ثبت نام آ (ایکس : y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن برابر لگاریتم ضریب است. توجه داشته باشید: لحظه کلیدیاینجا - زمینه های یکسان. اگر دلایل متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول‌ها به شما کمک می‌کنند یک عبارت لگاریتمی را حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شوند محاسبه کنید (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

Log 6 4 + Log 6 9.

از آنجایی که لگاریتم ها پایه های یکسانی دارند، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 2 48 − log 2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 3 135 − log 3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه محاسبه نمی شوند. اما پس از تبدیل ها اعداد کاملا نرمال به دست می آید. بسیاری بر این واقعیت بنا شده اند اوراق تست. بله، عبارات شبیه به آزمون با جدیت تمام (گاهی اوقات تقریباً بدون تغییر) در آزمون یکپارچه دولت ارائه می شود.

استخراج توان از لگاریتم

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر پایه یا آرگومان لگاریتم یک توان باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

به راحتی می توان متوجه آن شد آخرین قانوندو مورد اول را دنبال می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، اگر ODZ لگاریتم رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: آ > 0, آ ≠ 1, ایکس> 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید، یعنی. می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید. این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

وظیفه. مقدار عبارت log 7 49 6 را بیابید.

بیایید با استفاده از فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

[کپشن عکس]

توجه داشته باشید که مخرج شامل یک لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. ما داریم:

[کپشن عکس]

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه ما فقط با مخرج کار می کنیم. ما پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به شکل توان ارائه کردیم و توان ها را خارج کردیم - کسری "سه طبقه" به دست آوردیم.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج دارای یک عدد هستند: log 2 7. از آنجایی که log 2 7 ≠ 0، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد، کاری که انجام شد. نتیجه این شد: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر دلایل متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به کمک می آیند. اجازه دهید آنها را در قالب یک قضیه فرموله کنیم:

اجازه دهید لاگ لگاریتمی داده شود آ ایکس. سپس برای هر عددی جبه طوری که ج> 0 و ج≠ 1، برابری درست است:

[کپشن عکس]

به ویژه اگر قرار دهیم ج = ایکس، ما گرفتیم:

[کپشن عکس]

از فرمول دوم برمی‌آید که پایه و آرگومان لگاریتم را می‌توان عوض کرد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج ظاهر می شود.

این فرمول ها به ندرت در معمولی یافت می شوند عبارات عددی. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، مشکلاتی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید به چند مورد از این موارد نگاه کنیم:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 5 16 log 2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم دارای توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را "معکوس" کنیم:

[کپشن عکس]

از آنجایی که حاصلضرب هنگام تنظیم مجدد فاکتورها تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس با لگاریتم ها برخورد کردیم.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 9 100 lg 3.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید این را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

[کپشن عکس]

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

[کپشن عکس]

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول های زیر به ما کمک می کند:

در مورد اول، شماره nنشانگر درجه ایستاده در استدلال می شود. عدد nمی تواند کاملاً هر چیزی باشد، زیرا فقط یک مقدار لگاریتمی است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. این همان چیزی است که به آن می گویند: هویت لگاریتمی اساسی.

در واقع، چه اتفاقی خواهد افتاد اگر تعداد ببه چنان قدرتی برسانید که عدد ببه این توان عدد را می دهد آ? درست است: شما همین عدد را دریافت می کنید آ. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم در آن گیر می کنند.

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید، هویت لگاریتمی پایه گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

[کپشن عکس]

توجه داشته باشید که log 25 64 = log 5 8 - به سادگی مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم گرفت. در نظر گرفتن قوانین ضرب توان با همان مبنای، ما گرفتیم:

[کپشن عکس]

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون دولتی واحد بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه آنها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات ظاهر می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

1. ورود به سیستم آ آ= 1 یک واحد لگاریتمی است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه آاز همین پایه برابر با یک است.
2. ورود به سیستم آ 1 = 0 صفر لگاریتمی است. پایه آمی تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان شامل یک باشد - لگاریتم برابر با صفر! زیرا آ 0 = 1 نتیجه مستقیم تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.

دستورالعمل ها

عبارت لگاریتمی داده شده را بنویسید. اگر عبارت از لگاریتم 10 استفاده کند، نماد آن کوتاه شده و به صورت زیر است: lg b لگاریتم اعشاری است. اگر لگاریتم دارای عدد e به عنوان پایه باشد، عبارت: ln b – لگاریتم طبیعی را بنویسید. قابل درک است که نتیجه هر توانی است که عدد پایه باید به آن افزایش یابد تا عدد b به دست آید.

هنگام یافتن مجموع دو تابع، فقط باید آنها را یکی یکی از هم متمایز کنید و نتایج را اضافه کنید: (u+v)" = u"+v";

هنگام یافتن مشتق حاصلضرب دو تابع، لازم است مشتق تابع اول را در تابع دوم ضرب کنیم و مشتق تابع دوم را ضرب در تابع اول اضافه کنیم: (u*v)" = u"*v. +v"*u;

برای یافتن مشتق ضریب دو تابع، باید از حاصل ضرب مشتق سود تقسیم در تابع مقسوم علیه، حاصل ضرب مشتق مقسوم بر تابع سود تقسیمی را کم کرد و تقسیم کرد. همه اینها توسط تابع مقسوم علیه مربع. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

اگر داده شود تابع پیچیده، سپس باید مشتق را ضرب کرد عملکرد داخلیو مشتق خارجی. بگذارید y=u(v(x))، سپس y"(x)=y"(u)*v"(x).

با استفاده از نتایج به دست آمده در بالا، می توانید تقریباً هر تابعی را متمایز کنید. پس بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

y=x^4، y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6)، y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *ایکس))؛
همچنین مشکلات مربوط به محاسبه مشتق در یک نقطه وجود دارد. اجازه دهید تابع y=e^(x^2+6x+5) داده شود، باید مقدار تابع را در نقطه x=1 پیدا کنید.
1) مشتق تابع را بیابید: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) مقدار تابع در را محاسبه کنید نقطه داده شده y"(1)=8*e^0=8

ویدیو در مورد موضوع

مشاوره مفید

جدول مشتقات ابتدایی را یاد بگیرید. این به میزان قابل توجهی در زمان صرفه جویی می کند.

منابع:

• مشتق از یک ثابت

بنابراین، چه تفاوتی بین آنها وجود دارد معادله منطقیاز منطقی؟ اگر متغیر مجهول زیر علامت باشد ریشه دوم، سپس معادله غیر منطقی در نظر گرفته می شود.

دستورالعمل ها

روش اصلی برای حل این گونه معادلات، روش ساخت هر دو طرف است معادلاتبه یک مربع با این حال. این طبیعی است، اولین کاری که باید انجام دهید این است که از شر علامت خلاص شوید. این روش از نظر فنی دشوار نیست، اما گاهی اوقات ممکن است منجر به مشکل شود. برای مثال، معادله v(2x-5)=v(4x-7) است. با مجذور کردن دو طرف، 2x-5=4x-7 به دست می آید. حل چنین معادله ای دشوار نیست. x=1. اما عدد 1 داده نخواهد شد معادلات. چرا؟ به جای مقدار x یکی را در معادله جایگزین کنید. و سمت راست و چپ شامل عباراتی هستند که معنی ندارند، یعنی. این مقدار برای یک جذر معتبر نیست. بنابراین، 1 یک ریشه خارجی است و بنابراین این معادله ریشه ندارد.

بنابراین، معادله غیر منطقیبا استفاده از روش مربع کردن هر دو قسمت آن حل می شود. و پس از حل معادله، باید ریشه های اضافی را قطع کرد. برای انجام این کار، ریشه های یافت شده را جایگزین معادله اصلی کنید.

یکی دیگر را در نظر بگیرید.
2х+vх-3=0
البته این معادله را می توان با استفاده از معادله قبلی حل کرد. حرکت ترکیبات معادلات، که ریشه مربع ندارند به سمت راست رفته و سپس از روش مربع کردن استفاده کنید. معادله و ریشه های منطقی حاصل را حل کنید. اما همچنین یکی دیگر، ظریف تر. یک متغیر جدید وارد کنید؛ vх=y. بر این اساس معادله ای به شکل 2y2+y-3=0 دریافت خواهید کرد. یعنی معمولی معادله درجه دوم. ریشه های آن را پیدا کنید؛ y1=1 و y2=-3/2. بعد، دو را حل کنید معادلات vх=1; vх=-3/2. معادله دوم ریشه ندارد، از معادله اول دریافتیم که x=1 است. فراموش نکنید که ریشه ها را بررسی کنید.

حل هویت بسیار ساده است. برای انجام این کار باید انجام دهید تحولات هویتیتا رسیدن به هدف بنابراین، با کمک ساده ترین عملیات حسابیکار در دست حل خواهد شد

شما نیاز خواهید داشت

• - کاغذ؛
• - خودکار.

دستورالعمل ها

ساده‌ترین این تبدیل‌ها ضرب‌های اختصاری جبری هستند (مانند مجذور مجموع (تفاوت)، اختلاف مربع‌ها، مجموع (تفاوت)، مکعب مجموع (تفاوت)). علاوه بر این، بسیاری از و فرمول های مثلثاتی، که در اصل همان هویت ها هستند.

در واقع، مجذور مجموع دو جمله برابر است با مجذور اولی به اضافه دو برابر حاصلضرب اولی در دوم و به اضافه مجذور دومی، یعنی (a+b)^2= (a+ ب)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

هر دو را ساده کنید

اصول کلی راه حل

طبق کتاب درسی تکرار کنید تجزیه و تحلیل ریاضییا ریاضیات بالاتر، که یک انتگرال معین است. همانطور که مشخص است راه حل یک انتگرال معین تابعی است که مشتق آن یک انتگرال می دهد. این تابعآنتی مشتق نامیده می شود. بر اساس این اصل، انتگرال های اصلی ساخته می شوند.
با نوع انتگرال مشخص کنید که کدام یک از انتگرال های جدول در این مورد مناسب است. همیشه نمی توان فوراً این را تعیین کرد. اغلب، شکل جدولی تنها پس از چندین تغییر برای ساده سازی انتگرال قابل توجه می شود.

روش جایگزینی متغیر

اگر تابع انتگرال باشد تابع مثلثاتی، که آرگومان آن حاوی چند جمله ای است، سپس از روش جایگزینی متغیر استفاده کنید. برای انجام این کار، چند جمله ای را در آرگومان انتگرال با یک متغیر جدید جایگزین کنید. بر اساس رابطه بین متغیرهای جدید و قدیمی، حدود جدید ادغام را تعیین کنید. با متمایز کردن این عبارت، دیفرانسیل جدید را در . بنابراین شما دریافت خواهید کرد نوع جدیداز انتگرال قبلی، نزدیک یا حتی مربوط به هر جدولی.

حل انتگرال های نوع دوم

اگر انتگرال یک انتگرال از نوع دوم است، یک شکل برداری از انتگرال، پس باید از قوانین انتقال از این انتگرال ها به انتگرال های اسکالر استفاده کنید. یکی از این قوانین رابطه استروگرادسکی-گاوس است. این قانون به ما اجازه می دهد تا از شار روتور یک تابع برداری خاص به انتگرال سه گانه بر روی واگرایی یک میدان برداری معین حرکت کنیم.

جایگزینی محدودیت های یکپارچه سازی

پس از یافتن پاد مشتق، لازم است حدود ادغام جایگزین شود. ابتدا مقدار حد بالایی را با عبارت ضد مشتق جایگزین کنید. تعدادی عدد دریافت خواهید کرد. سپس، عدد دیگری را که از حد پایین به دست می‌آید، از عدد به دست آمده کم کنید تا به پاد مشتق تبدیل شود. اگر یکی از محدودیت های ادغام بی نهایت باشد، در هنگام جایگزینی آن به عملکرد ضد مشتقلازم است به مرز برویم و آنچه را که عبارت در تلاش است پیدا کنیم.
اگر انتگرال دو بعدی یا سه بعدی است، برای درک نحوه ارزیابی انتگرال باید محدودیت های انتگرال را به صورت هندسی نشان دهید. در واقع، مثلاً در مورد یک انتگرال سه بعدی، حدود ادغام می تواند سطوح کاملی باشد که حجم ادغام شده را محدود می کند.

مسئله B7 بیانی می دهد که باید ساده شود. نتیجه باید یک عدد منظم باشد که بتوان آن را در برگه پاسخنامه شما یادداشت کرد. تمام عبارات به طور معمول به سه نوع تقسیم می شوند:

1. لگاریتمی،
2. نشان دهنده،
3. ترکیب شده.

عبارات نمایی و لگاریتمی در شکل خالص خود عملاً هرگز یافت نمی شوند. با این حال، دانستن نحوه محاسبه آنها کاملاً ضروری است.

به طور کلی، مشکل B7 کاملاً ساده حل می شود و کاملاً در حد توانایی های یک فارغ التحصیل متوسط ​​است. فقدان الگوریتم های واضح با استانداردسازی و یکنواختی آن جبران می شود. شما می توانید به سادگی حل چنین مشکلاتی را یاد بگیرید مقدار زیادآموزش.

عبارات لگاریتمی

اکثریت قریب به اتفاق مسائل B7 شامل لگاریتم در یک شکل یا شکل دیگر است. این موضوع به طور سنتی دشوار در نظر گرفته می شود، زیرا مطالعه آن معمولاً در کلاس یازدهم رخ می دهد - عصر آمادگی انبوه برای امتحانات نهایی. در نتیجه، بسیاری از فارغ التحصیلان درک بسیار مبهمی از لگاریتم دارند.

اما در این کار هیچ کس به عمق نیاز ندارد دانش نظری. ما فقط بیشتر ملاقات خواهیم کرد عبارات ساده، که نیاز به استدلال ساده دارند و به راحتی می توان به طور مستقل بر آنها مسلط شد. در زیر فرمول های اساسی وجود دارد که برای مقابله با لگاریتم ها باید بدانید:

علاوه بر این، شما باید بتوانید ریشه ها و کسرها را با توانی با توان گویا جایگزین کنید، در غیر این صورت در برخی عبارات به سادگی چیزی برای خارج کردن از زیر علامت لگاریتم وجود نخواهد داشت. فرمول های جایگزین:

وظیفه. معنی عبارات را بیابید:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

دو عبارت اول به عنوان تفاضل لگاریتم تبدیل می شوند:
log 6 270 − log 6 7.5 = log 6 (270: 7.5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6.2 = log 5 (775: 6.2) = log 5 125 = 3.

برای محاسبه عبارت سوم، باید قدرت ها را جدا کنید - هم در پایه و هم در استدلال. ابتدا بیایید لگاریتم داخلی را پیدا کنیم:

سپس - خارجی:

ساختارهای فرم log a log b x برای بسیاری پیچیده و اشتباه به نظر می رسد. در همین حال، این فقط یک لگاریتم لگاریتم است، یعنی. log a (log b x ). ابتدا لگاریتم داخلی محاسبه می شود (log b x = c) و سپس خارجی: log a c.

عبارات نمایشی

ما یک عبارت نمایی را به هر ساختی از شکل k می‌گوییم، که در آن اعداد a و k ثابت دلخواه هستند و a > 0. روش‌های کار با چنین عباراتی بسیار ساده هستند و در درس‌های جبر کلاس هشتم مورد بحث قرار می‌گیرند.

در زیر فرمول های اساسی وجود دارد که قطعاً باید بدانید. استفاده از این فرمول ها در عمل، به عنوان یک قاعده، مشکلی ایجاد نمی کند.

1. a n · a m = a n + m ;
2. a n / a m = a n − m ;
3. (a n) m = a n · m ;
4. (a · b ) n = a n · b n ;
5. (a : b ) n = a n : b n .

اگر با یک عبارت پیچیده با قدرت مواجه شدید و نحوه برخورد با آن مشخص نیست، از یک تکنیک جهانی استفاده کنید - تجزیه به عوامل ساده. در نتیجه اعداد بزرگدر پایه درجه ها با عناصر ساده و قابل فهم جایگزین می شوند. سپس تنها چیزی که باقی می ماند این است که فرمول های فوق را اعمال کنید - و مشکل حل خواهد شد.

وظیفه. مقادیر عبارات را بیابید: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

راه حل. بیایید همه پایه های قدرت ها را به عوامل ساده تجزیه کنیم:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

وظایف ترکیبی

اگر فرمول ها را بدانید، پس تمام عبارات نمایی و لگاریتمی را می توان به معنای واقعی کلمه در یک خط حل کرد. با این حال، در مسئله B7 توان ها و لگاریتم ها را می توان با هم ترکیب کرد تا ترکیبات کاملاً قوی ایجاد کند.

امروز در مورد آن صحبت خواهیم کرد فرمول های لگاریتمیو ما نشان خواهیم داد نمونه های راه حل.

آنها خود الگوهای حل را با توجه به ویژگی های اصلی لگاریتم ها دلالت می کنند. قبل از استفاده از فرمول های لگاریتمی برای حل، اجازه دهید تمام ویژگی های زیر را به شما یادآوری کنیم:

حال بر اساس این فرمول ها (خواص) نشان خواهیم داد نمونه هایی از حل لگاریتم.

نمونه هایی از حل لگاریتم بر اساس فرمول.

لگاریتم عدد مثبت b به پایه a (که با log a b نشان داده می شود) توانی است که برای بدست آوردن b باید a را به آن افزایش داد، با b > 0، a > 0 و 1.

طبق تعریف، log a b = x، که معادل x = b است، بنابراین log a a x = x.

لگاریتم ها، مثال ها:

log 2 8 = 3، زیرا 2 3 = 8

log 7 49 = 2، زیرا 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1، زیرا 5 -1 = 1/5

لگاریتم اعشاری- این یک لگاریتم معمولی است که پایه آن 10 است. با lg نشان داده می شود.

log 10 100 = 2، زیرا 10 2 = 100

لگاریتم طبیعی- همچنین یک لگاریتم معمولی، یک لگاریتم، اما با پایه e (e = 2.71828 ... - یک عدد غیر منطقی). با ln مشخص می شود.

توصیه می شود فرمول ها یا خواص لگاریتم ها را به خاطر بسپارید، زیرا بعداً هنگام حل لگاریتم، معادلات لگاریتمی و نامساوی به آنها نیاز خواهیم داشت. بیایید هر فرمول را دوباره با مثال ها بررسی کنیم.

• هویت لگاریتمی پایه
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• لگاریتم محصول برابر با مجموعلگاریتم ها
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• لگاریتم ضریب برابر است با اختلاف لگاریتم ها
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 / 9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• ویژگی های توان یک عدد لگاریتمی و پایه لگاریتم

  نماگر عدد لگاریتمی log a b m = mlog a b

  نماگر پایه لگاریتم log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  اگر m = n، log a n b n = log a b دریافت می کنیم

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• انتقال به یک پایه جدید
  log a b = log c b/log c a,

  اگر c = b، log b b = 1 را دریافت می کنیم

  سپس log a b = 1/log b a

  log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

همانطور که می بینید، فرمول های لگاریتم آنقدرها که به نظر می رسد پیچیده نیستند. حال با نگاهی به نمونه هایی از حل لگاریتم می توانیم به سراغ معادلات لگاریتمی برویم. نمونه هایی از حل معادلات لگاریتمی را با جزئیات بیشتری در مقاله بررسی خواهیم کرد: "". از دست نده!

اگر هنوز سؤالی در مورد راه حل دارید، آنها را در نظرات مقاله بنویسید.

توجه: ما تصمیم گرفتیم که یک کلاس آموزشی متفاوت داشته باشیم و به عنوان یک گزینه در خارج از کشور تحصیل کنیم.