مثال هایی از حل مشتق یک تابع مختلط. مشتقات پیچیده مشتق لگاریتمی مشتق تابع توان-نمایی

در کتاب‌های درسی «قدیمی» به آن قانون «زنجیره» نیز گفته می‌شود. بنابراین اگر y = f (u)، و u = φ (x)، به این معنا که

y = f (φ (x))

پیچیده - تابع ترکیبی (ترکیب توابع) سپس

جایی که ، پس از محاسبه در نظر گرفته می شود u = φ (x).

توجه داشته باشید که در اینجا ترکیبات "متفاوت" را از توابع یکسان گرفتیم و نتیجه تمایز طبیعتاً به ترتیب "اختلاط" بستگی دارد.

قانون زنجیره به طور طبیعی به ترکیبات سه یا چند عملکرد گسترش می یابد. در این حالت، سه یا چند "پیوند" در "زنجیره" وجود خواهد داشت که مشتق را تشکیل می دهد. در اینجا یک قیاس با ضرب است: "ما" جدول مشتقات. "آنجا" - جدول ضرب؛ "با ما" قانون زنجیره ای و "آنجا" قانون ضرب "ستون" است. هنگام محاسبه چنین مشتقات "پیچیده" ، البته هیچ آرگومان کمکی (u¸v و غیره) معرفی نمی شود ، اما با توجه به تعداد و دنباله توابع درگیر در ترکیب ، پیوندهای مربوطه "طبقه" می شوند. به ترتیب مشخص شده

. در اینجا، با "x" برای به دست آوردن مقدار "y"، پنج عملیات انجام می شود، یعنی ترکیبی از پنج تابع وجود دارد: "خارجی" (آخرین آنها) - نمایی - e  . بیشتر در به صورت برعکسآرام بخش (♦) 2 ; گناه مثلثاتی(); آرام بخش () 3 و در نهایت لگاریتمی ln.(). از همین رو

با مثال‌های زیر «با یک سنگ چند پرنده را می‌کشیم»: تمایز توابع پیچیده را تمرین می‌کنیم و به جدول مشتقات توابع ابتدایی اضافه می‌کنیم. بنابراین:

4. برای یک تابع توان - y = x α - بازنویسی آن با استفاده از "هویت لگاریتمی پایه" معروف - b=e ln b - به شکل x α = x α ln x به دست می آوریم.

5. به صورت رایگان تابع نماییبا استفاده از همان تکنیکی که خواهیم داشت

6. برای یک تابع لگاریتمی دلخواه، با استفاده از فرمول شناخته شده برای انتقال به یک پایه جدید، ما به طور مداوم به دست می آوریم

.

7. برای افتراق مماس (کتانژانت) از قانون افتراق ضرایب استفاده می کنیم:

برای بدست آوردن مشتقات توابع مثلثاتی معکوس، از رابطه ای استفاده می کنیم که توسط مشتقات دو تابع معکوس متقابل برآورده می شود، یعنی توابع φ (x) و f (x) مربوط به روابط:

این نسبت است

از این فرمول برای توابع معکوس متقابل است

و
,

در نهایت، اجازه دهید این و برخی از مشتقات دیگر را که به راحتی در جدول زیر به دست می‌آیند، خلاصه کنیم.

سطح اول

مشتق یک تابع راهنمای جامع (2019)

بیایید یک جاده مستقیم را تصور کنیم که از یک منطقه تپه ای عبور می کند. یعنی بالا و پایین می رود اما به راست و چپ نمی پیچد. اگر محور به صورت افقی در امتداد جاده و به صورت عمودی هدایت شود، خط جاده بسیار شبیه به نمودار یک تابع پیوسته خواهد بود:

محور سطح معینی از ارتفاع صفر است؛ در زندگی ما از سطح دریا به عنوان آن استفاده می کنیم.

همانطور که در طول چنین جاده ای به جلو حرکت می کنیم، به سمت بالا یا پایین نیز حرکت می کنیم. همچنین می‌توان گفت: وقتی آرگومان تغییر می‌کند (حرکت در امتداد محور آبسیسا)، مقدار تابع تغییر می‌کند (حرکت در امتداد محور مختصات). حالا بیایید در مورد چگونگی تعیین "شیب" جاده خود فکر کنیم؟ این چه نوع ارزشی می تواند باشد؟ خیلی ساده است: با حرکت به سمت جلو در یک مسافت مشخص، ارتفاع چقدر تغییر می کند. در واقع، در بخش‌های مختلف جاده، با حرکت به سمت جلو (در امتداد محور x) به اندازه یک کیلومتر، صعود یا سقوط خواهیم کرد. مقادیر مختلفمتر نسبت به سطح دریا (در امتداد محور اردینات).

بیایید پیشرفت را نشان دهیم («دلتا x» را بخوانید).

حرف یونانی (دلتا) معمولاً در ریاضیات به عنوان پیشوند به معنای "تغییر" استفاده می شود. یعنی - این یک تغییر در کمیت است - یک تغییر. پس آن چیست؟ درست است، یک تغییر در بزرگی.

مهم: یک عبارت یک کل واحد، یک متغیر است. هرگز "دلتا" را از "x" یا هر حرف دیگری جدا نکنید! یعنی مثلا .

بنابراین، ما به صورت افقی به جلو حرکت کرده ایم. اگر خط جاده را با نمودار تابع مقایسه کنیم، چگونه خیز را نشان می دهیم؟ قطعا، . یعنی هرچه جلو می رویم بالاتر می رویم.

محاسبه مقدار آسان است: اگر در ابتدا در یک ارتفاع بودیم و پس از حرکت خود را در ارتفاع یافتیم، پس. اگر نقطه پایان پایین تر از نقطه شروع باشد، منفی خواهد بود - این بدان معنی است که ما صعودی نیستیم، بلکه در حال نزول هستیم.

بیایید به "شیب" برگردیم: این مقداری است که نشان می دهد هنگام حرکت یک واحد فاصله به جلو، ارتفاع چقدر (تند) افزایش می یابد:

فرض کنید در بخشی از جاده، وقتی یک کیلومتر به جلو می روید، جاده یک کیلومتر بالا می رود. سپس شیب در این مکان برابر است. و اگر جاده در حالی که با متر جلو می رود، کیلومتر کاهش یافته است؟ سپس شیب برابر است.

حالا بیایید به بالای یک تپه نگاه کنیم. اگر ابتدای قطعه را نیم کیلومتر قبل از قله و انتهای آن را نیم کیلومتر بعد از آن طی کنید، می بینید که ارتفاع تقریباً یکسان است.

یعنی طبق منطق ما معلوم می شود که شیب اینجا تقریباً برابر با صفر است که به وضوح درست نیست. فقط در فاصله کیلومتری خیلی چیزها می توانند تغییر کنند. برای ارزیابی مناسب تر و دقیق تر از شیب، لازم است مناطق کوچکتری در نظر گرفته شود. به عنوان مثال، اگر تغییر ارتفاع را با یک متر حرکت اندازه گیری کنید، نتیجه بسیار دقیق تر خواهد بود. اما حتی این دقت ممکن است برای ما کافی نباشد - بالاخره اگر یک تیر در وسط جاده وجود داشته باشد، می توانیم به سادگی از آن عبور کنیم. آن وقت چه فاصله ای را انتخاب کنیم؟ سانتی متر؟ میلی متر؟ کمتر بهتر است!

که در زندگی واقعیاندازه گیری فاصله تا نزدیکترین میلی متر بیش از حد کافی است. اما ریاضیدانان همیشه برای کمال تلاش می کنند. بنابراین، این مفهوم ابداع شد بی نهایت کوچکیعنی قدر مطلق از هر عددی که بتوانیم نام ببریم کمتر است. مثلا می گویید: یک تریلیونم! چقدر کمتر؟ و این عدد را تقسیم بر - و حتی کمتر خواهد شد. و غیره. اگر بخواهیم بنویسیم که یک کمیت بی نهایت کوچک است، به این صورت می نویسیم: (می خوانیم x تمایل به صفر دارد). درک آن بسیار مهم است که این عدد صفر نیست!ولی خیلی بهش نزدیکه این به این معنی است که شما می توانید بر آن تقسیم کنید.

مفهوم مخالف بینهایت کوچک بی نهایت بزرگ است (). احتمالاً زمانی که روی نابرابری‌ها کار می‌کردید با آن برخورد کرده‌اید: این عدد مدول‌هایی بزرگ‌تر از هر عددی است که فکرش را بکنید. اگر به بزرگترین عدد ممکن رسیدید، کافی است آن را در دو ضرب کنید و یک عدد حتی بزرگتر به دست خواهید آورد. و بی نهایت هنوز علاوه بر اینچه اتفاقی خواهد افتاد. در واقع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک معکوس یکدیگر هستند یعنی at و بالعکس: در.

حالا بیایید به جاده خود برگردیم. شیب محاسبه‌شده ایده‌آل، شیبی است که برای یک بخش بی‌نهایت کوچک از مسیر محاسبه می‌شود، یعنی:

توجه می کنم که با جابجایی بینهایت کوچک، تغییر ارتفاع نیز بی نهایت کوچک خواهد بود. اما اجازه دهید یادآوری کنم که بی نهایت به این معنا نیست برابر با صفر. اگر اعداد بینهایت کوچک را بر یکدیگر تقسیم کنید، می توانید یک عدد کاملا معمولی به دست آورید، به عنوان مثال، . یعنی یک مقدار کوچک می تواند دقیقاً چند برابر بزرگتر از مقدار دیگر باشد.

این همه برای چیست؟ جاده، شیب زیاد... ما در رالی اتومبیلرانی نمی رویم، اما در حال آموزش ریاضیات هستیم. و در ریاضیات همه چیز دقیقاً یکسان است، فقط متفاوت نامیده می شود.

مفهوم مشتق

مشتق تابع نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان برای افزایش بی نهایت کوچک آرگومان است.

به صورت فزایندهدر ریاضیات به آن تغییر می گویند. میزان تغییر آرگومان () در حین حرکت در امتداد محور نامیده می شود افزایش آرگومانچقدر تابع (ارتفاع) هنگام حرکت به سمت جلو در امتداد محور با فاصله تغییر کرده است. افزایش تابعو تعیین شده است.

بنابراین، مشتق یک تابع نسبت به زمانی است. مشتق را با همان حرف تابع، فقط با علامت اول در بالا سمت راست نشان می دهیم: یا به سادگی. بنابراین، بیایید فرمول مشتق را با استفاده از این نمادها بنویسیم:

همانطور که در قیاس با جاده، در اینجا وقتی تابع افزایش می یابد، مشتق مثبت است و زمانی که کاهش می یابد، منفی است.

آیا مشتق برابر با صفر است؟ قطعا. به عنوان مثال، اگر در یک جاده افقی صاف رانندگی کنیم، شیب صفر است. و درست است، ارتفاع به هیچ وجه تغییر نمی کند. در مورد مشتق نیز همینطور است: مشتق تابع ثابت (ثابت) برابر با صفر است:

زیرا افزایش چنین تابعی برابر با صفر برای هر کدام است.

بیایید مثال بالای تپه را به یاد بیاوریم. معلوم شد که می توان انتهای بخش را در طرفین مخالف راس به گونه ای مرتب کرد که ارتفاع در انتها یکسان شود، یعنی قطعه موازی با محور باشد:

اما بخش های بزرگ نشانه ای از اندازه گیری نادرست است. قطعه خود را به موازات خودش بالا می بریم، سپس طول آن کاهش می یابد.

در نهایت، زمانی که ما بی نهایت به بالا نزدیک می شویم، طول قطعه بی نهایت کوچک می شود. اما در عین حال موازی با محور باقی مانده است، یعنی اختلاف ارتفاع در انتهای آن برابر با صفر است (به سمت آن تمایل ندارد، بلکه برابر است). پس مشتق

این را می‌توان به این صورت درک کرد: وقتی در بالاترین نقطه ایستاده‌ایم، یک جابجایی کوچک به چپ یا راست قد ما را به طرز چشمگیری تغییر می‌دهد.

یک توضیح کاملاً جبری نیز وجود دارد: در سمت چپ راس تابع افزایش می یابد و در سمت راست کاهش می یابد. همانطور که قبلا متوجه شدیم، هنگامی که یک تابع افزایش می یابد، مشتق مثبت است و زمانی که کاهش می یابد، منفی است. اما به آرامی و بدون پرش تغییر می کند (زیرا جاده در هیچ کجا شیب خود را به شدت تغییر نمی دهد). بنابراین بین منفی و ارزش های مثبتقطعا باید وجود داشته باشد جایی خواهد بود که تابع نه افزایش می یابد و نه کاهش می یابد - در نقطه راس.

همین امر در مورد فرود نیز صادق است (ناحیه ای که تابع سمت چپ کاهش می یابد و در سمت راست افزایش می یابد):

کمی بیشتر در مورد افزایش.

بنابراین استدلال را به قدر تغییر می دهیم. از چه مقداری تغییر می کنیم؟ اکنون (برهان) چه شده است؟ ما می‌توانیم هر نقطه‌ای را انتخاب کنیم، و حالا از آن می‌رقصیم.

نقطه ای را با مختصات در نظر بگیرید. مقدار تابع در آن برابر است. سپس همان افزایش را انجام می دهیم: مختصات را افزایش می دهیم. حالا بحث چیست؟ بسیار آسان: . حالا ارزش تابع چقدر است؟ جایی که آرگومان می رود، تابع: . در مورد افزایش تابع چطور؟ چیز جدیدی نیست: این مقداری است که تابع تغییر کرده است:

تمرین یافتن افزایش ها:

1. افزایش تابع را در نقطه ای پیدا کنید که افزایش آرگومان برابر است.
2. همین امر در مورد تابع در یک نقطه نیز صدق می کند.

راه حل ها:

در نقاط مختلف با افزایش آرگومان یکسان، افزایش تابع متفاوت خواهد بود. این بدان معنی است که مشتق در هر نقطه متفاوت است (ما در همان ابتدا در مورد آن بحث کردیم - شیب جاده در نقاط مختلف متفاوت است). بنابراین، وقتی مشتق می نویسیم، باید مشخص کنیم که در چه نقطه ای:

تابع توان.

تابع قدرت تابعی است که در آن آرگومان تا حدی است (منطقی، درست است؟).

علاوه بر این - به هر میزان: .

ساده ترین حالت زمانی است که توان به صورت زیر باشد:

بیایید مشتق آن را در یک نقطه پیدا کنیم. بیایید تعریف مشتق را به یاد بیاوریم:

بنابراین استدلال از به تغییر می کند. افزایش تابع چقدر است؟

افزایش این است. اما یک تابع در هر نقطه با آرگومان آن برابر است. از همین رو:

مشتق برابر است با:

مشتق برابر است با:

ب) اکنون در نظر بگیرید تابع درجه دوم (): .

حالا بیایید آن را به خاطر بسپاریم. این بدان معنی است که ارزش افزایش را می توان نادیده گرفت، زیرا بی نهایت کوچک است، و بنابراین در پس زمینه اصطلاح دیگر ناچیز است:

بنابراین، ما به یک قانون دیگر رسیدیم:

ج) سری منطقی را ادامه می دهیم: .

این عبارت را می توان به روش های مختلفی ساده کرد: اولین براکت را با استفاده از فرمول ضرب اختصاری مکعب حاصل از مجموع باز کنید یا کل عبارت را با استفاده از فرمول تفاوت مکعب ها فاکتور کنید. سعی کنید خودتان این کار را با استفاده از هر یک از روش های پیشنهادی انجام دهید.

بنابراین، من موارد زیر را دریافت کردم:

و دوباره این را به خاطر بسپاریم. این بدان معنی است که ما می توانیم از تمام اصطلاحات حاوی:

ما گرفتیم: .

د) قوانین مشابهی را می توان برای قدرت های بزرگ به دست آورد:

ه) معلوم می شود که این قانون را می توان برای یک تابع توان با یک توان دلخواه تعمیم داد، نه حتی یک عدد صحیح:

(2)

این قاعده را می توان اینگونه فرموله کرد: "درجه به عنوان یک ضریب به جلو آورده می شود و سپس کاهش می یابد."

این قاعده را بعداً (تقریباً در پایان) اثبات خواهیم کرد. حال بیایید به چند نمونه نگاه کنیم. مشتق توابع را پیدا کنید:

1. (به دو صورت: با فرمول و با استفاده از تعریف مشتق - با محاسبه افزایش تابع).

1. . باور کنید یا نه، این یک تابع قدرت است. اگر سوالی دارید مانند "این چطور است؟ مدرک کجاست؟»، موضوع «» را به خاطر بسپارید!
   بله، بله، ریشه هم درجه است، فقط کسری: .
   پس مال ما ریشه دوم- این فقط یک درجه با یک نشانگر است:
   .
   با استفاده از فرمول اخیراً آموخته شده به دنبال مشتق می گردیم:

   اگر در این مرحله دوباره نامشخص شد، موضوع "" را تکرار کنید!!! (در مورد یک درجه با توان منفی)

2. . حال توان:

   و اکنون از طریق تعریف (آیا هنوز فراموش کرده اید؟):
   ;
   .
   اکنون، طبق معمول، از اصطلاحی که شامل:
   .

3. . ترکیب موارد قبلی: .

توابع مثلثاتی

در اینجا ما از یک واقعیت از ریاضیات عالی استفاده خواهیم کرد:

با بیان.

شما مدرک را در سال اول موسسه یاد خواهید گرفت (و برای رسیدن به آنجا، باید آزمون یکپارچه دولتی را به خوبی پشت سر بگذارید). حالا من فقط آن را به صورت گرافیکی نشان می دهم:

می بینیم که وقتی تابع وجود ندارد - نقطه روی نمودار قطع می شود. اما هرچه به مقدار نزدیکتر باشد، تابع به آن نزدیکتر است. این همان چیزی است که "هدف" دارد.

علاوه بر این، می توانید این قانون را با استفاده از یک ماشین حساب بررسی کنید. بله، بله، خجالتی نباشید، یک ماشین حساب بگیرید، ما هنوز در آزمون یکپارچه دولتی نیستیم.

بنابراین، بیایید سعی کنیم: ;

فراموش نکنید که ماشین حساب خود را به حالت Radians تغییر دهید!

و غیره. می بینیم که هر چه کوچکتر باشد، مقدار نسبت به آن نزدیکتر است.

الف) تابع را در نظر بگیرید. طبق معمول، بیایید افزایش آن را پیدا کنیم:

بیایید اختلاف سینوس ها را به محصول تبدیل کنیم. برای این کار از فرمول استفاده می کنیم (موضوع “” را به خاطر بسپارید): .

حال مشتق:

بیایید جایگزین کنیم: . سپس برای بینهایت کوچک نیز بی نهایت کوچک است: . عبارت for به شکل زیر است:

و اکنون ما آن را با بیان به یاد می آوریم. و همچنین، اگر بتوان یک کمیت بی نهایت کوچک را در مجموع (یعنی در) نادیده گرفت چه می شود.

بنابراین، قانون زیر را دریافت می کنیم: مشتق سینوس برابر با کسینوس است:

اینها مشتقات اساسی ("جدولی") هستند. در اینجا آنها در یک لیست قرار دارند:

بعداً چند مورد دیگر را به آنها اضافه خواهیم کرد، اما اینها مهمترین آنها هستند، زیرا بیشتر مورد استفاده قرار می گیرند.

تمرین:

1. مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.
2. مشتق تابع را بیابید.

راه حل ها:

1. ابتدا بیایید مشتق در را پیدا کنیم نمای کلیو سپس مقدار آن را جایگزین کنید:
   ;
   .
2. در اینجا ما چیزی شبیه به تابع توان. بیایید سعی کنیم او را به خود بیاوریم
   نمای عادی:
   .
   عالی، حالا می توانید از فرمول استفاده کنید:
   .
   .
3. . اییییییی….. این چیه؟؟؟؟

خوب، حق با شماست، ما هنوز نمی دانیم چگونه چنین مشتقاتی را پیدا کنیم. در اینجا ما ترکیبی از چندین نوع توابع را داریم. برای کار با آنها، باید چند قانون دیگر را یاد بگیرید:

توان و لگاریتم طبیعی.

تابعی در ریاضیات وجود دارد که مشتق آن برای هر مقدار با مقدار خود تابع در همان زمان برابر است. به آن "نما" می گویند و یک تابع نمایی است

اساس این تابع یک ثابت است - بی نهایت است اعشاری، یعنی عدد غیر منطقی (مانند). به آن "عدد اویلر" می گویند، به همین دلیل است که با یک حرف نشان داده می شود.

بنابراین، قانون:

خیلی راحت به خاطر سپردن

خوب، بیایید دور نرویم، بیایید فوراً به آن نگاه کنیم تابع معکوس. کدام تابع معکوس تابع نمایی است؟ لگاریتم:

در مورد ما، پایه عدد است:

چنین لگاریتمی (یعنی لگاریتمی با پایه) "طبیعی" نامیده می شود و ما از نماد خاصی برای آن استفاده می کنیم: به جای آن می نویسیم.

با چه چیزی برابر است؟ البته، .

مشتق لگاریتم طبیعی نیز بسیار ساده است:

مثال ها:

1. مشتق تابع را بیابید.
2. مشتق تابع چیست؟

پاسخ ها: غرفه دار و لگاریتم طبیعی- توابع از نظر مشتقات به طور منحصر به فردی ساده هستند. توابع نمایی و لگاریتمی با هر پایه دیگری مشتق متفاوتی خواهند داشت که بعد از مرور قوانین تمایز آن را تحلیل خواهیم کرد.

قوانین تمایز

قوانین چی؟ بازم یه ترم جدید دیگه؟!...

تفکیکفرآیند یافتن مشتق است.

همین. این فرآیند را در یک کلمه چه چیز دیگری می‌توان نامید؟ نه مشتق... ریاضیدانان دیفرانسیل را همان افزایش یک تابع در می نامند. این اصطلاح از دیفرانسیل لاتین - تفاوت می آید. اینجا.

هنگام استخراج همه این قوانین، از دو تابع به عنوان مثال و. ما همچنین به فرمول هایی برای افزایش آنها نیاز خواهیم داشت:

در کل 5 قانون وجود دارد.

ثابت از علامت مشتق خارج می شود.

اگر - یک عدد ثابت (ثابت)، پس.

بدیهی است که این قانون برای تفاوت نیز کار می کند: .

بیایید آن را ثابت کنیم. بگذارید باشد یا ساده تر.

مثال ها.

مشتقات توابع را پیدا کنید:

1. در یک نقطه؛
2. در یک نقطه؛
3. در یک نقطه؛
4. در نقطه

راه حل ها:

1. (مشتق در همه نقاط یکسان است، زیرا این تابع خطی، یاد آوردن؟)؛

مشتق محصول

همه چیز در اینجا مشابه است: بیایید یک تابع جدید معرفی کنیم و افزایش آن را پیدا کنیم:

مشتق:

مثال ها:

1. مشتقات توابع را پیدا کنید و
2. مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.

راه حل ها:

مشتق تابع نمایی

اکنون دانش شما کافی است تا بیاموزید چگونه مشتق هر تابع نمایی را بیابید، و نه فقط نماها (آیا هنوز فراموش کرده اید که چیست؟).

بنابراین، برخی از شماره ها کجاست.

ما قبلاً مشتق تابع را می دانیم، بنابراین بیایید سعی کنیم تابع خود را به یک پایه جدید کاهش دهیم:

برای این ما استفاده خواهیم کرد قانون ساده: . سپس:

خوب، کار کرد. حالا سعی کنید مشتق را پیدا کنید و فراموش نکنید که این تابع پیچیده است.

اتفاق افتاد؟

در اینجا، خود را بررسی کنید:

فرمول بسیار شبیه به مشتق یک توان است: همانطور که بود، ثابت می ماند، فقط یک عامل ظاهر شد که فقط یک عدد است، اما یک متغیر نیست.

مثال ها:
مشتقات توابع را پیدا کنید:

پاسخ ها:

این فقط یک عدد است که بدون ماشین حساب نمی توان آن را محاسبه کرد، یعنی دیگر نمی توان آن را یادداشت کرد. به شکل ساده. لذا در جواب به این شکل می گذاریم.

مشتق تابع لگاریتمی

در اینجا مشابه است: شما قبلاً مشتق لگاریتم طبیعی را می دانید:

بنابراین، برای پیدا کردن یک لگاریتم دلخواه با پایه متفاوت، به عنوان مثال:

باید این لگاریتم را به پایه کاهش دهیم. چگونه پایه لگاریتم را تغییر می دهید؟ امیدوارم این فرمول را به خاطر داشته باشید:

فقط اکنون به جای آن می نویسیم:

مخرج به سادگی یک ثابت است (عددی ثابت، بدون متغیر). مشتق بسیار ساده به دست می آید:

مشتقات نمایی و توابع لگاریتمیتقریباً هرگز در آزمون یکپارچه ایالت ظاهر نمی شوند، اما دانستن آنها ضرری ندارد.

مشتق تابع مختلط

"تابع پیچیده" چیست؟ نه، این یک لگاریتم نیست، و نه یک تانژانت. درک این توابع ممکن است دشوار باشد (البته اگر لگاریتم برای شما دشوار است، مبحث "لگاریتم" را بخوانید و خوب خواهید شد)، اما از نظر ریاضی، کلمه "پیچیده" به معنای "دشوار" نیست.

یک تسمه نقاله کوچک را تصور کنید: دو نفر نشسته اند و با برخی از اشیا کارهایی را انجام می دهند. به عنوان مثال، اولی یک تخته شکلات را در یک بسته بندی می پیچد و دومی آن را با یک روبان می بندد. نتیجه یک شی ترکیبی است: یک شکلات که با روبان بسته شده و بسته شده است. برای خوردن یک شکلات تخته ای، باید مراحل معکوس را به ترتیب معکوس انجام دهید.

بیایید یک خط لوله ریاضی مشابه ایجاد کنیم: ابتدا کسینوس یک عدد را پیدا می کنیم و سپس عدد حاصل را مربع می کنیم. بنابراین، یک عدد (شکلاتی) به ما داده می شود، من کسینوس آن را پیدا می کنم (لفاف بندی)، و سپس شما آنچه را که به دست آوردم مربع می کنید (آن را با یک روبان ببندید). چی شد؟ تابع. این یک نمونه است تابع پیچیده: وقتی برای یافتن مقدار آن، اولین عمل را مستقیماً با متغیر انجام می دهیم و سپس یک عمل دوم را با آنچه که از اولی حاصل می شود انجام می دهیم.

ما به راحتی می‌توانیم همان مراحل را به ترتیب معکوس انجام دهیم: ابتدا آن را مربع می‌کنید و من به دنبال کسینوس عدد حاصل می‌گردم: . به راحتی می توان حدس زد که نتیجه تقریباً همیشه متفاوت خواهد بود. یک ویژگی مهم توابع پیچیده: وقتی ترتیب اعمال تغییر می کند، تابع تغییر می کند.

به عبارت دیگر، تابع پیچیده تابعی است که آرگومان آن تابع دیگری است: .

برای مثال اول، .

مثال دوم: (همان چیز). .

اقدامی که آخرین بار انجام می دهیم نامیده می شود عملکرد "خارجی".، و عمل انجام شد - بر این اساس عملکرد "داخلی".(این اسامی غیر رسمی هستند، من از آنها فقط برای توضیح مطالب به زبان ساده استفاده می کنم).

سعی کنید خودتان تعیین کنید کدام تابع خارجی و کدام داخلی است:

پاسخ ها:جداسازی توابع داخلی و خارجی بسیار شبیه به تغییر متغیرها است: به عنوان مثال، در یک تابع

1. ابتدا چه اقدامی را انجام خواهیم داد؟ ابتدا بیایید سینوس را محاسبه کنیم و فقط آن را مکعب کنیم. این بدان معنی است که یک عملکرد داخلی است، اما یک عملکرد خارجی.
   و کارکرد اصلی ترکیب آنهاست: .
2. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
3. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
4. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
5. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .

متغیرها را تغییر می دهیم و تابع می گیریم.

خوب، حالا شکلات‌مان را استخراج می‌کنیم و به دنبال مشتق آن می‌گردیم. روال همیشه برعکس است: ابتدا مشتق تابع بیرونی را جستجو می کنیم، سپس نتیجه را در مشتق تابع درونی ضرب می کنیم. در رابطه با نمونه اصلی، به این صورت است:

مثالی دیگر:

بنابراین، اجازه دهید در نهایت قانون رسمی را فرموله کنیم:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

ساده به نظر می رسد، درست است؟

بیایید با مثال ها بررسی کنیم:

راه حل ها:

1) داخلی:

خارجی: ;

2) داخلی:

(فقط سعی نکنید تا الان آن را قطع کنید! چیزی از زیر کسینوس بیرون نمی آید، یادتان هست؟)

3) داخلی:

خارجی: ;

بلافاصله مشخص است که این یک تابع پیچیده سه سطحی است: از این گذشته، این به خودی خود یک تابع پیچیده است و ما ریشه را نیز از آن استخراج می کنیم، یعنی عمل سوم را انجام می دهیم (شکلات را در یک بسته بندی و با یک روبان در کیف). اما دلیلی برای ترس وجود ندارد: ما همچنان این عملکرد را به همان ترتیب معمول "باز کردن" خواهیم کرد: از پایان.

یعنی ابتدا ریشه و بعد کسینوس و فقط بعد عبارت داخل پرانتز را متمایز می کنیم. و سپس همه را ضرب می کنیم.

در چنین مواردی، شماره گذاری اقدامات راحت است. یعنی آنچه را که می دانیم تصور کنیم. به چه ترتیبی اقداماتی را برای محاسبه مقدار این عبارت انجام خواهیم داد؟ بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

هرچه این عمل دیرتر انجام شود، عملکرد مربوطه "خارجی" تر خواهد بود. توالی اقدامات مانند قبل است:

در اینجا لانه سازی به طور کلی 4 سطح است. بیایید مسیر عمل را مشخص کنیم.

1. بیان رادیکال. .

2. ریشه. .

3. سینوس. .

4. مربع. .

5. کنار هم گذاشتن همه:

مشتق. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

مشتق از یک تابع- نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان برای افزایش بی نهایت کوچک آرگومان:

مشتقات پایه:

قوانین تمایز:

ثابت از علامت مشتق خارج می شود:

مشتق جمع:

مشتقات محصول:

مشتق ضریب:

مشتق تابع مختلط:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

1. ما تابع "داخلی" را تعریف کرده و مشتق آن را پیدا می کنیم.
2. ما تابع "خارجی" را تعریف می کنیم و مشتق آن را پیدا می کنیم.
3. نتایج نقطه اول و دوم را ضرب می کنیم.

پس از آماده سازی اولیه توپخانه، نمونه هایی با 3-4-5 تودرتو عملکرد کمتر ترسناک خواهند بود. دو مثال زیر ممکن است برای برخی پیچیده به نظر برسد، اما اگر آنها را درک کنید (کسی رنج خواهد برد)، تقریباً هر چیز دیگری در حساب دیفرانسیل شبیه شوخی کودکانه به نظر می رسد.

مثال 2

مشتق یک تابع را پیدا کنید

همانطور که قبلا ذکر شد، هنگام پیدا کردن مشتق یک تابع پیچیده، اول از همه، ضروری است درستسرمایه گذاری های خود را درک کنید در مواردی که شک و تردید وجود دارد، یک تکنیک مفید را به شما یادآوری می کنم: برای مثال، مقدار آزمایشی "x" را در نظر می گیریم و سعی می کنیم (به صورت ذهنی یا در پیش نویس) این مقدار را با "عبارت وحشتناک" جایگزین کنیم.

1) ابتدا باید عبارت را محاسبه کنیم، به این معنی که مجموع عمیق ترین جاسازی است.

2) سپس باید لگاریتم را محاسبه کنید:

4) سپس کسینوس را مکعب کنید:

5) در مرحله پنجم تفاوت:

6) و در نهایت بیرونی ترین تابع جذر است:

فرمول تمایز یک تابع پیچیده به ترتیب معکوس، از بیرونی ترین تابع به درونی ترین اعمال می شوند. ما تصمیم گرفتیم:

بدون خطا به نظر می رسد:

1) مشتق جذر را بگیرید.

2) مشتق تفاوت را با استفاده از قانون بگیرید

3) مشتق ثلاث صفر است. در جمله دوم مشتق درجه (مکعب) را می گیریم.

4) مشتق کسینوس را بگیرید.

6) و در نهایت مشتق عمیق ترین تعبیه را می گیریم.

شاید خیلی سخت به نظر برسد، اما این وحشیانه ترین نمونه نیست. به عنوان مثال، مجموعه کوزنتسوف را در نظر بگیرید و از زیبایی و سادگی مشتق تحلیل شده قدردانی خواهید کرد. متوجه شدم که آنها دوست دارند چیزی مشابه در یک امتحان بدهند تا بررسی کنند که آیا دانش آموز می داند چگونه مشتق یک تابع پیچیده را پیدا کند یا نمی فهمد.

مثال زیر برای شما قابل حل است.

مثال 3

مشتق یک تابع را پیدا کنید

نکته: ابتدا قوانین خطی و قانون تمایز محصول را اعمال می کنیم

حل کامل و پاسخ در پایان درس.

وقت آن است که به سراغ چیزهای کوچکتر و زیباتر بروید.
غیر معمول نیست که یک مثال حاصل ضرب نه دو، بلکه سه تابع را نشان دهد. چگونه مشتق حاصلضرب سه عامل را پیدا کنیم؟

مثال 4

مشتق یک تابع را پیدا کنید

ابتدا نگاه می کنیم، آیا می توان حاصل ضرب سه تابع را به حاصل ضرب دو تابع تبدیل کرد؟ به عنوان مثال، اگر ما دو چند جمله ای در حاصلضرب داشتیم، می توانیم براکت ها را باز کنیم. اما در مثال مورد بررسی، همه توابع متفاوت هستند: درجه، توان و لگاریتم.

در چنین مواردی لازم است به صورت متوالیقانون تمایز محصول را اعمال کنید دو برابر

ترفند این است که با "y" حاصلضرب دو تابع را نشان می دهیم: و با "ve" لگاریتم را نشان می دهیم: . چرا می توان این کار را انجام داد؟ آیا واقعا - این حاصل دو عامل نیست و قانون کار نمی کند؟! هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد:

اکنون باقی مانده است که قانون را برای بار دوم اعمال کنیم به پرانتز:

شما همچنین می توانید پیچ ​​خورده و چیزی را خارج از پرانتز قرار دهید، اما در این مورد بهتر است پاسخ را دقیقاً به این شکل بگذارید - بررسی آن آسان تر خواهد بود.

مثال مورد نظر را می توان به روش دوم حل کرد:

هر دو راه حل کاملاً معادل هستند.

مثال 5

مشتق یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است؛ در نمونه با استفاده از روش اول حل می شود.

در نظر بگیریم نمونه های مشابهبا کسری

مثال 6

مشتق یک تابع را پیدا کنید

چندین راه وجود دارد که می توانید به اینجا بروید:

یا مثل این:

اما اگر ابتدا از قانون تمایز ضریب استفاده کنیم، راه حل فشرده تر نوشته می شود ، در نظر گرفتن کل صورتگر:

در اصل مثال حل می شود و اگر به حال خود رها شود خطا نخواهد بود. اما اگر وقت دارید، همیشه توصیه می‌شود پیش‌نویس را بررسی کنید تا ببینید آیا می‌توان پاسخ را ساده کرد؟

بیایید بیان عدد را به یک مخرج مشترک کاهش دهیم و از ساختار سه طبقه کسری خلاص شویم.:

عیب ساده‌سازی‌های اضافی این است که نه در هنگام یافتن مشتق، بلکه در طول تحولات پیش پا افتاده مدرسه، خطر خطا وجود دارد. از سوی دیگر، معلمان اغلب تکلیف را رد می‌کنند و می‌خواهند مشتق را «به ذهن بیاورند».

یک مثال ساده تر برای حل به تنهایی:

مثال 7

مشتق یک تابع را پیدا کنید

ما به تسلط بر روش های یافتن مشتق ادامه می دهیم و اکنون یک مورد معمولی را در نظر می گیریم که لگاریتم "وحشتناک" برای تمایز پیشنهاد شود.

اگر از تعریف پیروی کنید، مشتق یک تابع در یک نقطه حد نسبت افزایش تابع Δ است. yبه آرگومان افزایش Δ ایکس:

به نظر می رسد همه چیز روشن است. اما سعی کنید از این فرمول برای محاسبه مشتق تابع استفاده کنید f(ایکس) = ایکس 2 + (2ایکس+ 3) · ه ایکسگناه ایکس. اگر همه کارها را طبق تعریف انجام دهید، پس از چند صفحه محاسبات به سادگی می خوابید. بنابراین، راه های ساده تر و موثرتری وجود دارد.

برای شروع، ما توجه می کنیم که از کل توابع مختلف می توانیم به اصطلاح توابع ابتدایی را تشخیص دهیم. نسبی است عبارات ساده، که مشتقات آن مدت هاست محاسبه و در جدول آمده است. یادآوری چنین توابعی بسیار آسان است - همراه با مشتقات آنها.

مشتقات توابع ابتدایی

توابع ابتدایی همه آنهایی هستند که در زیر لیست شده اند. مشتقات این توابع را باید از روی قلب دانست. علاوه بر این ، به خاطر سپردن آنها اصلاً دشوار نیست - به همین دلیل آنها ابتدایی هستند.

بنابراین، مشتقات توابع ابتدایی:

نام	تابع	مشتق
ثابت	f(ایکس) = سی, سی ∈ آر	0 (بله، صفر!)
قدرت با توان منطقی	f(ایکس) = ایکس n	n · ایکس n − 1
سینوسی	f(ایکس) = گناه ایکس	cos ایکس
کسینوس	f(ایکس) = cos ایکس	-گناه ایکس(منهای سینوس)
مماس	f(ایکس) = tg ایکس	1/cos 2 ایکس
کوتانژانت	f(ایکس) = ctg ایکس	− 1/گناه 2 ایکس
لگاریتم طبیعی	f(ایکس) = ورود ایکس	1/ایکس
لگاریتم دلخواه	f(ایکس) = ورود آ ایکس	1/(ایکسلوگاریتم آ)
تابع نمایی	f(ایکس) = ه ایکس	ه ایکس(هیچ چیز تغییر نکرد)

اگر یک تابع ابتدایی در یک ثابت دلخواه ضرب شود، مشتق تابع جدید نیز به راحتی محاسبه می شود:

(سی · f)’ = سی · f ’.

به طور کلی، ثابت ها را می توان از علامت مشتق خارج کرد. مثلا:

(2ایکس 3)' = 2 · ( ایکس 3) = 2 3 ایکس 2 = 6ایکس 2 .

بدیهی است که توابع ابتدایی را می توان به یکدیگر اضافه کرد، ضرب کرد، تقسیم کرد - و موارد دیگر. به این ترتیب توابع جدید ظاهر می شوند، نه به ویژه ابتدایی، بلکه طبق قوانین خاصی متمایز می شوند. این قوانین در زیر مورد بحث قرار می گیرند.

مشتق جمع و تفاوت

اجازه دهید توابع داده شوند f(ایکس) و g(ایکس) که مشتقات آن برای ما معلوم است. به عنوان مثال، می توانید توابع ابتدایی مورد بحث در بالا را انتخاب کنید. سپس می توانید مشتق حاصل از مجموع و تفاضل این توابع را پیدا کنید:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

پس مشتق مجموع (تفاوت) دو تابع برابر با مجموع (تفاوت) مشتقات است. ممکن است شرایط بیشتری وجود داشته باشد. مثلا، ( f + g + ساعت)’ = f ’ + g ’ + ساعت ’.

به بیان دقیق، هیچ مفهومی از "تفریق" در جبر وجود ندارد. مفهوم "عنصر منفی" وجود دارد. بنابراین تفاوت f − gرا می توان به صورت جمع بازنویسی کرد f+ (-1) g، و سپس فقط یک فرمول باقی می ماند - مشتق جمع.

f(ایکس) = ایکس 2 + گناه x; g(ایکس) = ایکس 4 + 2ایکس 2 − 3.

تابع f(ایکس) مجموع دو تابع ابتدایی است، بنابراین:

f ’(ایکس) = (ایکس 2 + گناه ایکس)’ = (ایکس 2)’ + (گناه ایکس)’ = 2ایکس+ cos x;

ما به طور مشابه برای تابع استدلال می کنیم g(ایکس). فقط سه اصطلاح وجود دارد (از نظر جبر):

g ’(ایکس) = (ایکس 4 + 2ایکس 2 − 3)’ = (ایکس 4 + 2ایکس 2 + (−3))’ = (ایکس 4)’ + (2ایکس 2)’ + (−3)’ = 4ایکس 3 + 4ایکس + 0 = 4ایکس · ( ایکس 2 + 1).

پاسخ:
f ’(ایکس) = 2ایکس+ cos x;
g ’(ایکس) = 4ایکس · ( ایکس 2 + 1).

مشتق محصول

ریاضیات یک علم منطقی است، بنابراین بسیاری از مردم معتقدند که اگر مشتق یک مجموع برابر با مجموع مشتقات باشد، پس مشتق حاصلضرب ضربه">برابر حاصلضرب مشتقات است. اما شما را خراب کنید! مشتق یک محصول با استفاده از یک فرمول کاملاً متفاوت محاسبه می شود. یعنی:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

فرمول ساده است، اما اغلب فراموش می شود. و نه تنها دانش آموزان، بلکه دانش آموزان نیز. نتیجه مشکلات حل نادرست است.

وظیفه. مشتقات توابع را پیدا کنید: f(ایکس) = ایکس 3 cos x; g(ایکس) = (ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ه ایکس .

تابع f(ایکس) حاصل دو تابع ابتدایی است، بنابراین همه چیز ساده است:

f ’(ایکس) = (ایکس 3 cos ایکس)’ = (ایکس 3)” cos ایکس + ایکس 3 (Cos ایکس)’ = 3ایکس 2 cos ایکس + ایکس 3 (- گناه ایکس) = ایکس 2 (3cos ایکس − ایکسگناه ایکس)

تابع g(ایکس) عامل اول کمی پیچیده تر است، اما طرح کلیاین تغییر نمی کند بدیهی است که اولین عامل تابع g(ایکس) چند جمله ای است و مشتق آن مشتق جمع است. ما داریم:

g ’(ایکس) = ((ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ه ایکس)’ = (ایکس 2 + 7ایکس− 7)» · ه ایکس + (ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ( ه ایکس)’ = (2ایکس+ 7) · ه ایکس + (ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ه ایکس = ه ایکس· (2 ایکس + 7 + ایکس 2 + 7ایکس −7) = (ایکس 2 + 9ایکس) · ه ایکس = ایکس(ایکس+ 9) · ه ایکس .

پاسخ:
f ’(ایکس) = ایکس 2 (3cos ایکس − ایکسگناه ایکس);
g ’(ایکس) = ایکس(ایکس+ 9) · ه ایکس .

لطفا توجه داشته باشید که در مرحله آخر مشتق فاکتور می شود. به طور رسمی، این کار نیازی به انجام ندارد، اما بیشتر مشتقات به تنهایی محاسبه نمی شوند، بلکه برای بررسی تابع محاسبه می شوند. این بدان معنی است که در ادامه مشتق برابر با صفر می شود، علائم آن مشخص می شود و غیره. برای چنین موردی بهتر است یک عبارت فاکتوریزه شود.

اگر دو عملکرد وجود دارد f(ایکس) و g(ایکس) و g(ایکس) ≠ 0 در مجموعه ای که به آن علاقه داریم، می توانیم یک تابع جدید تعریف کنیم ساعت(ایکس) = f(ایکس)/g(ایکس). برای چنین تابعی می توانید مشتق را نیز پیدا کنید:

ضعیف نیست، نه؟ منفی از کجا آمد؟ چرا g 2 و مثل این! این یکی از بیشترین است فرمول های پیچیده- بدون بطری نمی توانید آن را بفهمید. بنابراین، بهتر است آن را در نمونه های خاص.

وظیفه. مشتقات توابع را پیدا کنید:

صورت و مخرج هر کسر حاوی توابع ابتدایی است، بنابراین تنها چیزی که ما نیاز داریم فرمول مشتق ضریب است:

طبق سنت، بیایید شمارنده را فاکتورسازی کنیم - این پاسخ را بسیار ساده می کند:

یک تابع پیچیده لزوماً یک فرمول به طول نیم کیلومتر نیست. برای مثال کافی است تابع را بگیرید f(ایکس) = گناه ایکسو متغیر را جایگزین کنید ایکس، بگو ، در ایکس 2 + ln ایکس. نتیجه خواهد داد f(ایکس) = گناه ( ایکس 2 + ln ایکس) - این یک تابع پیچیده است. یک مشتق نیز دارد، اما یافتن آن با استفاده از قوانینی که در بالا توضیح داده شد ممکن نخواهد بود.

باید چکار کنم؟ در چنین مواردی، جایگزینی یک متغیر و فرمول برای مشتق یک تابع مختلط کمک می کند:

f ’(ایکس) = f ’(تی) · تی'، اگر ایکسجایگزین می شود تی(ایکس).

به عنوان یک قاعده، وضعیت درک این فرمول حتی غم انگیزتر از مشتق ضریب است. بنابراین بهتر است آن را نیز با مثال های مشخص، با توصیف همراه با جزئیاتهر قدم.

وظیفه. مشتقات توابع را پیدا کنید: f(ایکس) = ه 2ایکس + 3 ; g(ایکس) = گناه ( ایکس 2 + ln ایکس)

توجه داشته باشید که اگر در تابع f(ایکس) به جای عبارت 2 ایکس+ 3 آسان خواهد بود ایکس، سپس یک تابع ابتدایی دریافت می کنیم f(ایکس) = ه ایکس. بنابراین، ما یک جایگزین می کنیم: اجازه دهید 2 ایکس + 3 = تی, f(ایکس) = f(تی) = ه تی. ما مشتق یک تابع مختلط را با استفاده از فرمول جستجو می کنیم:

f ’(ایکس) = f ’(تی) · تی ’ = (ه تی)’ · تی ’ = ه تی · تی ’

و اکنون - توجه! ما جایگزینی معکوس را انجام می دهیم: تی = 2ایکس+ 3. دریافت می کنیم:

f ’(ایکس) = ه تی · تی ’ = ه 2ایکس+ 3 (2 ایکس + 3)’ = ه 2ایکس+ 3 2 = 2 ه 2ایکس + 3

حالا بیایید به تابع نگاه کنیم g(ایکس). بدیهی است که باید تعویض شود ایکس 2 + ln ایکس = تی. ما داریم:

g ’(ایکس) = g ’(تی) · تی= (گناه تی)’ · تی= cos تی · تی ’

تعویض معکوس: تی = ایکس 2 + ln ایکس. سپس:

g ’(ایکس) = cos ( ایکس 2 + ln ایکس) · ( ایکس 2 + ln ایکس)’ = cos ( ایکس 2 + ln ایکس) · (2 ایکس + 1/ایکس).

همین! همانطور که از عبارت آخر مشاهده می شود، کل مسئله به محاسبه مجموع مشتق تقلیل یافته است.

پاسخ:
f ’(ایکس) = 2 · ه 2ایکس + 3 ;
g ’(ایکس) = (2ایکس + 1/ایکس) cos ( ایکس 2 + ln ایکس).

اغلب در درس‌هایم، به جای اصطلاح «مشتق»، از کلمه «اول» استفاده می‌کنم. به عنوان مثال، یک اول از مقدار برابر با مجموعسکته های مغزی این واضح تر است؟ خوب، این خوب است.

بنابراین، محاسبه مشتق به خلاص شدن از شر همین سکته ها طبق قوانینی که در بالا توضیح داده شد، ختم می شود. به عنوان مثال آخر، اجازه دهید به توان مشتق با توان گویا برگردیم:

(ایکس n)’ = n · ایکس n − 1

تعداد کمی از مردم آن را در نقش می دانند nممکن است به خوبی عمل کند یک عدد کسری. به عنوان مثال، ریشه است ایکس 0.5. اگر چیزی فانتزی زیر ریشه باشد چه؟ باز هم، نتیجه یک عملکرد پیچیده خواهد بود - آنها دوست دارند چنین ساختارهایی را به آنها بدهند تست هاآه و امتحانات

وظیفه. مشتق تابع را پیدا کنید:

ابتدا، بیایید ریشه را به عنوان یک توان با توان گویا بازنویسی کنیم:

f(ایکس) = (ایکس 2 + 8ایکس − 7) 0,5 .

حالا ما جایگزین می کنیم: اجازه دهید ایکس 2 + 8ایکس − 7 = تی. ما مشتق را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم:

f ’(ایکس) = f ’(تی) · تی ’ = (تی 0.5) · تی' = 0.5 · تی−0.5 · تی ’.

بیایید جایگزینی معکوس را انجام دهیم: تی = ایکس 2 + 8ایکس− 7. داریم:

f ’(ایکس) = 0.5 · ( ایکس 2 + 8ایکس− 7) −0.5 · ( ایکس 2 + 8ایکس− 7) = 0.5 · (2 ایکس+ 8) ( ایکس 2 + 8ایکس − 7) −0,5 .

در نهایت، به ریشه ها بازگردیم:

و قضیه مشتق تابع مختلط که فرمول آن به صورت زیر است:

اجازه دهید 1) تابع $u=\varphi (x)$ در نقطه ای از $x_0$ مشتق $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ باشد، 2) تابع $y=f(u)$ در نقطه مربوطه در نقطه $u_0=\varphi (x_0)$ مشتق $y_(u)"=f"(u)$ باشد. سپس تابع مختلط $y=f\left(\varphi (x) \right)$ در نقطه مذکور نیز مشتقی برابر حاصلضرب مشتقات توابع $f(u)$ و $\varphi خواهد داشت. x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

یا به صورت کوتاه تر: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

در مثال‌های این بخش، همه توابع به شکل $y=f(x)$ هستند (یعنی فقط توابع یک متغیر $x$ را در نظر می‌گیریم). بر این اساس، در همه مثال‌ها مشتق $y"$ با توجه به متغیر $x$ گرفته شده است. برای تاکید بر اینکه مشتق با توجه به متغیر $x$ گرفته شده است، $y"_x$ اغلب به جای $y نوشته می‌شود. "$.

مثال های شماره 1، شماره 2 و شماره 3 روند دقیق برای یافتن مشتق توابع پیچیده را تشریح می کنند. مثال شماره 4 برای درک کاملتر جدول مشتق در نظر گرفته شده است و منطقی است که با آن آشنا شوید.

توصیه می شود پس از مطالعه مطالب در مثال های شماره 1-3 به سراغ آن بروید تصمیم مستقلنمونه های شماره 5، شماره 6 و شماره 7. نمونه های شماره 5، شماره 6 و شماره 7 شامل راه حل کوتاهتا خواننده صحت نتیجه خود را بررسی کند.

مثال شماره 1

مشتق تابع $y=e^(\cos x)$ را بیابید.

ما باید مشتق یک تابع مختلط $y"$ را پیدا کنیم. از آنجایی که $y=e^(\cos x)$، سپس $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. به مشتق $ \left(e^(\cos x)\right)"$ را پیدا کنید ما از فرمول شماره 6 از جدول مشتقات استفاده می کنیم. برای استفاده از فرمول شماره 6، باید این را در نظر بگیریم که در مورد ما $u=\cos x$. راه حل دیگر عبارت است از جایگزین کردن عبارت $\cos x$ به جای $u$ در فرمول شماره 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \راست)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \برچسب (1.1)$$

اکنون باید مقدار عبارت $(\cos x)"$ را پیدا کنیم. دوباره به جدول مشتقات می رویم و فرمول شماره 10 را از آن انتخاب می کنیم. با جایگزینی $u=x$ به فرمول شماره 10، داریم : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. حالا بیایید برابری (1.1) را ادامه دهیم و آن را با نتیجه یافت شده تکمیل کنیم:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \برچسب (1.2) $$

از آنجایی که $x"=1$، برابری (1.2) را ادامه می دهیم:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \برچسب (1.3) $$

بنابراین، از برابری (1.3) داریم: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. طبیعتاً از توضیحات و برابری های میانی معمولاً صرف نظر می شود و یافته های مشتق را در یک خط یادداشت می کنیم. همانطور که در برابری (1.3) بنابراین، مشتق یک تابع مختلط پیدا شده است، تنها چیزی که باقی می ماند نوشتن پاسخ است.

پاسخ: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

مثال شماره 2

مشتق تابع $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ را بیابید.

ما باید مشتق $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ را محاسبه کنیم. برای شروع، توجه می کنیم که ثابت (یعنی عدد 9) را می توان از علامت مشتق خارج کرد:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

حال به عبارت $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ می‌پردازیم. برای سهولت در انتخاب فرمول مورد نظر از جدول مشتقات، عبارت را ارائه می‌کنم. سوال به این شکل: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. اکنون مشخص است که باید از فرمول شماره 2 استفاده کرد، i.e. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. بیایید $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ و $\alpha=12$ را در این فرمول جایگزین کنیم:

با تکمیل برابری (2.1) با نتیجه به دست آمده، داریم:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \برچسب (2.2) $$

در این شرایط، زمانی که حل کننده در مرحله اول، فرمول $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ را به جای فرمول انتخاب می کند، اغلب اشتباه می شود. $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. نکته این است که مشتق تابع خارجی باید اول باشد. برای درک اینکه کدام تابع خارج از عبارت $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ خواهد بود، تصور کنید که مقدار عبارت $\arctg^(12)(4\cdot 5^) را محاسبه می کنید. x)$ با مقداری $x$. ابتدا مقدار $5^x$ را محاسبه می کنید، سپس نتیجه را در 4 ضرب می کنید و $4\cdot 5^x$ را بدست می آورید. حالا تانژانت را از این نتیجه می گیریم و $\arctg(4\cdot 5^x)$ را به دست می آوریم. سپس عدد حاصل را به توان دوازدهم می‌رسانیم و $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ را می‌گیریم. آخرین عمل، یعنی. افزایش به توان 12 یک تابع خارجی خواهد بود. و از اینجاست که باید شروع به یافتن مشتق کنیم که در برابری انجام شد (2.2).

اکنون باید $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ را پیدا کنیم. از فرمول شماره 19 جدول مشتقات استفاده می کنیم و $u=4\cdot \ln x$ را جایگزین آن می کنیم:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

بیایید با در نظر گرفتن $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$، عبارت حاصل را کمی ساده کنیم.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

برابری (2.2) اکنون تبدیل خواهد شد:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \راست)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \ برچسب (2.3) $$

باقی مانده است که $(4\cdot \ln x)"$ را پیدا کنیم. بیایید ثابت (یعنی 4) را از علامت مشتق خارج کنیم: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. برای برای پیدا کردن $(\ln x)"$ از فرمول شماره 8 استفاده می کنیم و $u=x$ را جایگزین آن می کنیم: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. از آنجایی که $x"=1$، پس $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ با جایگزینی نتیجه به دست آمده به فرمول (2.3)، به دست می آوریم:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \راست)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \راست)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

اجازه دهید به شما یادآوری کنم که مشتق یک تابع مختلط اغلب در یک خط یافت می شود، همانطور که در آخرین برابری نوشته شده است. بنابراین، هنگام تهیه محاسبات استاندارد یا کارهای کنترلی، اصلاً نیازی به توصیف راه حل با چنین جزئیاتی نیست.

پاسخ: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

مثال شماره 3

$y"$ تابع $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ را پیدا کنید.

ابتدا، اجازه دهید کمی تابع $y$ را تبدیل کنیم و رادیکال (ریشه) را به عنوان یک توان بیان کنیم: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \راست)^(\frac(3)(7))$. حالا بیایید شروع به یافتن مشتق کنیم. از آنجایی که $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$، پس:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \برچسب (3.1) $$

بیایید از فرمول شماره 2 از جدول مشتقات استفاده کنیم و $u=\sin(5\cdot 9^x)$ و $\alpha=\frac(3)(7)$ را جایگزین آن کنیم:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

اجازه دهید برابری (3.1) را با استفاده از نتیجه به دست آمده ادامه دهیم:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \برچسب (3.2) $$

اکنون باید $(\sin(5\cdot 9^x))"$ را پیدا کنیم. برای این کار از فرمول شماره 9 از جدول مشتقات استفاده می کنیم و $u=5\cdot 9^x$ را جایگزین آن می کنیم:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

با تکمیل برابری (3.2) با نتیجه به دست آمده، داریم:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \برچسب (3.3) $$

باقی مانده است که $(5\cdot 9^x)"$ را پیدا کنیم. ابتدا ثابت (عدد $5$) را خارج از علامت مشتق بگیریم، یعنی $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. برای پیدا کردن مشتق $(9^x)"$، فرمول شماره 5 جدول مشتقات را اعمال کنید و $a=9$ و $u=x$ را جایگزین آن کنید: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. از آنجایی که $x"=1$، سپس $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. اکنون می‌توانیم برابری (3.3) را ادامه دهیم:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

می‌توانیم دوباره از قدرت‌ها به رادیکال‌ها (یعنی ریشه‌ها) برگردیم و $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ را به شکل $\ بنویسیم. frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. سپس مشتق به این شکل نوشته می شود:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

پاسخ: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

مثال شماره 4

نشان دهید که فرمول های شماره 3 و شماره 4 جدول مشتقات مورد خاصی از فرمول شماره 2 این جدول هستند.

فرمول شماره 2 جدول مشتقات مشتق تابع $u^\alpha$ است. با جایگزینی $\alpha=-1$ به فرمول شماره 2، دریافت می کنیم:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

از آنجایی که $u^(-1)=\frac(1)(u)$ و $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$، پس برابری (4.1) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. این فرمول شماره 3 جدول مشتقات است.

اجازه دهید دوباره به فرمول شماره 2 جدول مشتقات بپردازیم. بیایید $\alpha=\frac(1)(2)$ را در آن جایگزین کنیم:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

از آنجایی که $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ و $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$، سپس برابری (4.2) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

برابری حاصل $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ فرمول شماره 4 جدول مشتقات است. همانطور که مشاهده می کنید فرمول های شماره 3 و شماره 4 جدول مشتق از فرمول شماره 2 با جایگزینی مقدار $\alpha$ مربوطه به دست می آیند.