Multiplions chaque terme entre parenthèses. Support en degré naturel. Qu'appelle-t-on des parenthèses ouvrantes ?

Dans cette vidéo, nous analyserons tout un ensemble d'équations linéaires résolues à l'aide du même algorithme - c'est pourquoi elles sont appelées les plus simples.

Tout d'abord, définissons : qu'est-ce qu'une équation linéaire et laquelle est dite la plus simple ?

Une équation linéaire est une équation dans laquelle il n’y a qu’une seule variable, et seulement au premier degré.

L'équation la plus simple signifie la construction :

Toutes les autres équations linéaires sont réduites au plus simple à l'aide de l'algorithme :

1. Développez les parenthèses, le cas échéant ;
2. Déplacez les termes contenant une variable d’un côté du signe égal et les termes sans variable de l’autre ;
3. Donnez des termes similaires à gauche et à droite du signe égal ;
4. Divisez l'équation résultante par le coefficient de la variable $x$.

Bien entendu, cet algorithme n’aide pas toujours. Le fait est que parfois après toutes ces machinations le coefficient de la variable $x$ s'avère être égal à zéro. Dans ce cas, deux options sont possibles :

1. L’équation n’a aucune solution. Par exemple, quand quelque chose comme $0\cdot x=8$ s'avère, c'est-à-dire à gauche se trouve zéro et à droite un nombre autre que zéro. Dans la vidéo ci-dessous, nous examinerons plusieurs raisons pour lesquelles cette situation est possible.
2. La solution réside dans tous les chiffres. Le seul cas où cela est possible est lorsque l'équation a été réduite à la construction $0\cdot x=0$. Il est tout à fait logique que peu importe ce que $x$ nous substituons, il s'avérera toujours « zéro est égal à zéro », c'est-à-dire corriger l'égalité numérique.

Voyons maintenant comment tout cela fonctionne à l'aide d'exemples concrets.

Exemples de résolution d'équations

Aujourd'hui, nous traitons d'équations linéaires, et uniquement des plus simples. En général, une équation linéaire désigne toute égalité contenant exactement une variable, et cela ne va qu'au premier degré.

De telles constructions sont résolues à peu près de la même manière :

1. Tout d'abord, vous devez développer les parenthèses, s'il y en a (comme dans notre dernier exemple) ;
2. Puis combinez similaire
3. Enfin, isolez la variable, c'est-à-dire déplacez d'un côté tout ce qui est lié à la variable, les termes dans lesquels elle est contenue, et déplacez de l'autre tout ce qui reste sans elle.

Ensuite, en règle générale, vous devez en amener des similaires de chaque côté de l'égalité résultante, et après cela, il ne reste plus qu'à diviser par le coefficient "x", et nous obtiendrons la réponse finale.

En théorie, cela semble beau et simple, mais en pratique, même les lycéens expérimentés peuvent commettre des erreurs offensantes de manière assez simple. équations linéaires. En règle générale, des erreurs sont commises soit lors de l'ouverture des parenthèses, soit lors du calcul des « plus » et des « moins ».

De plus, il arrive qu'une équation linéaire n'ait aucune solution, ou que la solution soit la droite numérique entière, c'est-à-dire n'importe quel chiffre. Nous examinerons ces subtilités dans la leçon d'aujourd'hui. Mais nous commencerons, comme vous l'avez déjà compris, par le tâches simples.

Schéma de résolution d'équations linéaires simples

Tout d'abord, permettez-moi d'écrire à nouveau l'intégralité du schéma de résolution des équations linéaires les plus simples :

1. Développez les parenthèses, le cas échéant.
2. Nous isolons les variables, c'est-à-dire Nous déplaçons tout ce qui contient des « X » d’un côté, et tout ce qui ne contient pas de « X » de l’autre.
3. Nous présentons des termes similaires.
4. On divise le tout par le coefficient de « x ».

Bien sûr, ce schéma ne fonctionne pas toujours, il comporte certaines subtilités et astuces, et nous allons maintenant les connaître.

Résoudre des exemples réels d'équations linéaires simples

Tâche n°1

La première étape nous oblige à ouvrir les parenthèses. Mais ils ne figurent pas dans cet exemple, nous sautons donc cette étape. Dans la deuxième étape, nous devons isoler les variables. Note: nous parlons de uniquement sur des termes individuels. Écrivons-le :

Nous présentons des termes similaires à gauche et à droite, mais cela a déjà été fait ici. Passons donc à quatrième étape: divisé par le coefficient :

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Nous avons donc eu la réponse.

Tâche n°2

Nous pouvons voir les parenthèses dans ce problème, alors développons-les :

À gauche et à droite, nous voyons à peu près le même design, mais agissons selon l'algorithme, c'est-à-dire séparer les variables :

En voici quelques similaires :

À quelles racines cela fonctionne-t-il ? Réponse : pour n'importe lequel. Par conséquent, nous pouvons écrire que $x$ est n’importe quel nombre.

Tâche n°3

La troisième équation linéaire est plus intéressante :

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Il y a plusieurs parenthèses, mais elles ne sont multipliées par rien, elles sont simplement précédées de divers signes. Décomposons-les :

Nous effectuons la deuxième étape déjà connue de nous :

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Faisons le calcul :

Nous effectuons la dernière étape - divisons le tout par le coefficient « x » :

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Choses à retenir lors de la résolution d'équations linéaires

Si l'on ignore les tâches trop simples, je voudrais dire ceci :

• Comme je l'ai dit plus haut, toutes les équations linéaires n'ont pas de solution - parfois il n'y a tout simplement pas de racines ;
• Même s’il y a des racines, il peut n’y en avoir aucune – il n’y a rien de mal à cela.

Zéro est le même nombre que les autres ; vous ne devez en aucun cas le discriminer ou supposer que si vous obtenez zéro, vous avez fait quelque chose de mal.

Une autre fonctionnalité est liée à l’ouverture des parenthèses. Attention : lorsqu'il y a un « moins » devant eux, nous le supprimons, mais entre parenthèses nous changeons les signes en opposé. Et puis nous pourrons l'ouvrir à l'aide d'algorithmes standards : nous obtiendrons ce que nous avons vu dans les calculs ci-dessus.

Comprendre ce simple fait vous aidera à éviter de commettre des erreurs stupides et blessantes au lycée, alors que de telles choses sont considérées comme allant de soi.

Résolution d'équations linéaires complexes

Passons à plus équations complexes. Maintenant, les constructions deviendront plus complexes et lors de diverses transformations, une fonction quadratique apparaîtra. Cependant, il ne faut pas avoir peur de cela, car si, selon le plan de l'auteur, nous résolvons une équation linéaire, alors pendant le processus de transformation, tous les monômes contenant une fonction quadratique s'annuleront certainement.

Exemple n°1

Évidemment, la première étape consiste à ouvrir les parenthèses. Faisons-le très soigneusement :

Jetons maintenant un coup d'œil à la confidentialité :

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

En voici quelques similaires :

Évidemment, cette équation n’a pas de solutions, nous écrirons donc ceci dans la réponse :

\[\varrien\]

ou il n'y a pas de racines.

Exemple n°2

Nous effectuons les mêmes actions. Premier pas:

Déplaçons tout avec une variable vers la gauche, et sans elle - vers la droite :

En voici quelques similaires :

Évidemment, cette équation linéaire n’a pas de solution, nous l’écrirons donc ainsi :

\[\varrien\],

ou il n'y a pas de racines.

Nuances de la solution

Les deux équations sont complètement résolues. En utilisant ces deux expressions comme exemple, nous étions une fois de plus convaincus que même dans les équations linéaires les plus simples, tout n'est peut-être pas si simple : il peut y en avoir une, ou aucune, ou une infinité de racines. Dans notre cas, nous avons considéré deux équations, toutes deux n’ayant tout simplement pas de racines.

Mais je voudrais attirer votre attention sur un autre fait : comment travailler avec les parenthèses et comment les ouvrir s'il y a un signe moins devant elles. Considérons cette expression :

Avant d'ouvrir, il faut tout multiplier par « X ». Attention : se multiplie chaque terme individuel. À l'intérieur, il y a deux termes - respectivement, deux termes et multipliés.

Et ce n'est qu'après avoir effectué ces transformations apparemment élémentaires, mais très importantes et dangereuses, que vous pourrez ouvrir le support du point de vue du fait qu'il y a un signe moins après. Oui, oui : seulement maintenant, lorsque les transformations sont terminées, on se souvient qu'il y a un signe moins devant les parenthèses, ce qui signifie que tout en dessous change simplement de signe. Dans le même temps, les parenthèses elles-mêmes disparaissent et, surtout, le « moins » avant disparaît également.

On fait de même avec la deuxième équation :

Ce n’est pas par hasard que je prête attention à ces petits faits apparemment insignifiants. Parce que la résolution d'équations est toujours une séquence de transformations élémentaires, où l'incapacité d'effectuer des actions simples de manière claire et compétente conduit au fait que des lycéens viennent me voir et réapprennent à résoudre des équations aussi simples.

Bien sûr, le jour viendra où vous perfectionnerez ces compétences jusqu’à devenir automatiques. Vous n'aurez plus à effectuer autant de transformations à chaque fois, vous écrirez tout sur une seule ligne. Mais pendant que vous apprenez, vous devez écrire chaque action séparément.

Résoudre des équations linéaires encore plus complexes

Ce que nous allons résoudre maintenant peut difficilement être qualifié de tâche la plus simple, mais le sens reste le même.

Tâche n°1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Multiplions tous les éléments de la première partie :

Faisons un peu d'intimité :

En voici quelques similaires :

Terminons la dernière étape :

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Voici notre réponse finale. Et, malgré le fait que lors du processus de résolution, nous avions des coefficients avec une fonction quadratique, ils s'annulaient, ce qui rend l'équation linéaire et non quadratique.

Tâche n°2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Effectuons soigneusement la première étape : multipliez chaque élément de la première parenthèse par chaque élément de la seconde. Il devrait y avoir un total de quatre nouveaux termes après les transformations :

Effectuons maintenant soigneusement la multiplication dans chaque terme :

Déplaçons les termes avec « X » vers la gauche, et ceux sans - vers la droite :

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Voici des termes similaires :

Une fois de plus, nous avons reçu la réponse définitive.

Nuances de la solution

La remarque la plus importante concernant ces deux équations est la suivante : dès que l'on commence à multiplier des parenthèses qui contiennent plus d'un terme, cela se fait selon la règle suivante : on prend le premier terme du premier et on multiplie avec chaque élément de la deuxième; puis nous prenons le deuxième élément du premier et multiplions de la même manière avec chaque élément du second. En conséquence, nous aurons quatre mandats.

À propos de la somme algébrique

Avec ce dernier exemple, je voudrais rappeler aux étudiants ce qu'est une somme algébrique. En mathématiques classiques, par $1-7$, nous entendons une construction simple : soustraire sept de un. En algèbre, on entend par là ceci : au nombre « un », on ajoute un autre nombre, à savoir « moins sept ». C'est en quoi une somme algébrique diffère d'une somme arithmétique ordinaire.

Dès que, lors de l'exécution de toutes les transformations, de chaque addition et multiplication, vous commencerez à voir des constructions similaires à celles décrites ci-dessus, vous n'aurez tout simplement aucun problème en algèbre lorsque vous travaillerez avec des polynômes et des équations.

Enfin, examinons quelques autres exemples qui seront encore plus complexes que ceux que nous venons d'examiner, et pour les résoudre, nous devrons légèrement étendre notre algorithme standard.

Résoudre des équations avec des fractions

Pour résoudre de telles tâches, nous devrons ajouter une étape supplémentaire à notre algorithme. Mais d’abord, permettez-moi de vous rappeler notre algorithme :

1. Ouvrez les supports.
2. Variables séparées.
3. Apportez-en des similaires.
4. Divisez par le rapport.

Hélas, ce merveilleux algorithme, malgré toute son efficacité, s'avère pas tout à fait approprié lorsque nous avons des fractions devant nous. Et dans ce que nous verrons ci-dessous, nous avons une fraction à gauche et à droite dans les deux équations.

Comment travailler dans ce cas ? Oui, c'est très simple ! Pour ce faire, vous devez ajouter une étape supplémentaire à l'algorithme, qui peut être effectuée avant et après la première action, à savoir se débarrasser des fractions. L'algorithme sera donc le suivant :

1. Débarrassez-vous des fractions.
2. Ouvrez les supports.
3. Variables séparées.
4. Apportez-en des similaires.
5. Divisez par le rapport.

Que signifie « se débarrasser des fractions » ? Et pourquoi cela peut-il être fait à la fois après et avant la première étape standard ? En fait, dans notre cas, toutes les fractions sont numériques dans leur dénominateur, c'est-à-dire Partout, le dénominateur n’est qu’un nombre. Par conséquent, si nous multiplions les deux côtés de l’équation par ce nombre, nous nous débarrasserons des fractions.

Exemple n°1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Débarrassons-nous des fractions de cette équation :

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Attention : tout est multiplié par « quatre » une fois, c'est-à-dire ce n’est pas parce que vous avez deux parenthèses que vous devez multiplier chacune par « quatre ». Écrivons :

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Développons maintenant :

On isole la variable :

Nous effectuons la réduction de termes similaires :

\[-4x=-1\gauche| :\gauche(-4 \droite) \droite.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Nous avons reçu la solution finale, passons à la deuxième équation.

Exemple n°2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Ici, nous effectuons toutes les mêmes actions :

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Le problème est résolu.

C’est en fait tout ce que je voulais vous dire aujourd’hui.

Points clés

Les principales conclusions sont les suivantes :

• Connaître l'algorithme de résolution d'équations linéaires.
• Possibilité d'ouvrir les parenthèses.
• Ne vous inquiétez pas si vous voyez fonctions quadratiques, très probablement, au cours de transformations ultérieures, ils diminueront.
• Il existe trois types de racines dans les équations linéaires, même les plus simples : une seule racine, la droite numérique entière est une racine et aucune racine du tout.

J'espère que cette leçon vous aidera à maîtriser un sujet simple mais très important pour une meilleure compréhension de toutes les mathématiques. Si quelque chose n'est pas clair, allez sur le site et résolvez les exemples qui y sont présentés. Restez à l'écoute, bien d'autres choses intéressantes vous attendent !

L'expansion des parenthèses est un type de transformation d'expression. Dans cette section, nous décrirons les règles d'ouverture des parenthèses et examinerons également les exemples de problèmes les plus courants.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Qu’est-ce que les parenthèses ouvrantes ?

Les parenthèses sont utilisées pour indiquer l'ordre dans lequel les actions sont effectuées dans les expressions numériques, littérales et variables. Il est pratique de passer d’une expression entre parenthèses à une expression identique égal à l'expression sans parenthèses. Par exemple, remplacez l'expression 2 · (3 + 4) par une expression de la forme 2 3 + 2 4 sans parenthèses. Cette technique est appelée ouverture des parenthèses.

Définition 1

L'expansion des parenthèses fait référence à des techniques permettant de se débarrasser des parenthèses et est généralement considérée en relation avec des expressions pouvant contenir :

• les signes « + » ou « - » avant les parenthèses contenant des sommes ou des différences ;
• le produit d'un nombre, d'une lettre ou de plusieurs lettres et d'une somme ou d'une différence, placé entre parenthèses.

C’est ainsi que nous avons l’habitude d’envisager le processus d’ouverture des parenthèses dans le programme scolaire. Cependant, personne ne nous empêche d’envisager cette action de manière plus large. On peut appeler parenthèse ouvrir la transition d'une expression qui contient des nombres négatifs entre parenthèses à une expression qui n'a pas de parenthèses. Par exemple, on peut passer de 5 + (− 3) − (− 7) à 5 − 3 + 7. En fait, c’est aussi une ouverture de parenthèses.

De la même manière, on peut remplacer le produit d'expressions entre parenthèses de la forme (a + b) · (c + d) par la somme a · c + a · d + b · c + b · d. Cette technique ne contredit pas non plus le sens des parenthèses ouvrantes.

Voici un autre exemple. Nous pouvons supposer que n'importe quelle expression peut être utilisée à la place des nombres et des variables dans les expressions. Par exemple, l'expression x 2 · 1 a - x + sin (b) correspondra à une expression sans parenthèses de la forme x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).

Un autre point mérite une attention particulière, qui concerne les particularités de l'enregistrement des décisions lors de l'ouverture des parenthèses. On peut écrire l'expression initiale entre parenthèses et le résultat obtenu après ouverture des parenthèses comme une égalité. Par exemple, après avoir développé les parenthèses au lieu de l'expression 3 − (5 − 7) nous obtenons l'expression 3 − 5 + 7 . Nous pouvons écrire ces deux expressions sous la forme de l’égalité 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7.

Réaliser des actions avec des expressions lourdes peut nécessiter l’enregistrement de résultats intermédiaires. La solution aura alors la forme d’une chaîne d’égalités. Par exemple, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 ou 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Règles d'ouverture des parenthèses, exemples

Commençons par examiner les règles d'ouverture des parenthèses.

Pour les nombres simples entre parenthèses

Les nombres négatifs entre parenthèses se retrouvent souvent dans les expressions. Par exemple, (− 4) et 3 + (− 4) . Les nombres positifs entre parenthèses ont également leur place.

Formulons une règle pour ouvrir des parenthèses contenant des nombres positifs uniques. Supposons que a soit un nombre positif. On peut alors remplacer (a) par a, + (a) par + a, - (a) par – a. Si au lieu de a nous prenons un nombre spécifique, alors selon la règle : le nombre (5) s'écrira comme 5 , l'expression 3 + (5) sans parenthèses prendra la forme 3 + 5 , puisque + (5) est remplacé par + 5 , et l'expression 3 + (− 5) est équivalente à l'expression 3 − 5 , parce que + (− 5) est remplacé par − 5 .

Les nombres positifs sont généralement écrits sans parenthèses, car les parenthèses ne sont pas nécessaires dans ce cas.

Considérons maintenant la règle d'ouverture des parenthèses contenant un seul un nombre négatif. + (− une) nous remplaçons par − un, − (− a) est remplacé par + a. Si l'expression commence par un nombre négatif (−une), qui est écrit entre parenthèses, alors les parenthèses sont omises et à la place (−une) restes − un.

Voici quelques exemples: (− 5) peut s'écrire − 5, (− 3) + 0, 5 devient − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) devient 4 − 3 , et − (− 4) − (− 3) après ouverture des parenthèses prend la forme 4 + 3, puisque − (− 4) et − (− 3) est remplacé par + 4 et + 3 .

Il faut comprendre que l'expression 3 · (− 5) ne peut pas s'écrire 3 · − 5. Ceci sera discuté dans les paragraphes suivants.

Voyons sur quoi sont basées les règles d'ouverture des parenthèses.

Selon la règle, la différence a − b est égale à a + (− b) . Sur la base des propriétés des actions avec des nombres, nous pouvons créer une chaîne d'égalités (une + (− b)) + b = une + ((− b) + b) = une + 0 = une ce qui sera juste. Cette chaîne d'égalités, en vertu du sens de la soustraction, prouve que l'expression a + (− b) est la différence une - b.

Sur la base des propriétés des nombres opposés et des règles de soustraction des nombres négatifs, nous pouvons affirmer que − (− a) = a, a − (− b) = a + b.

Il existe des expressions composées d’un nombre, de signes moins et de plusieurs paires de parenthèses. L'utilisation des règles ci-dessus vous permet de vous débarrasser séquentiellement des parenthèses, en passant des parenthèses intérieures aux parenthèses extérieures ou dans la direction opposée. Un exemple d’une telle expression serait − (− ((− (5)))) . Ouvrons les parenthèses, en passant de l'intérieur vers l'extérieur : − (− ((− (− 5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Cet exemple peut également être analysé dans le sens inverse : − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Sous un et b peuvent être compris non seulement comme des nombres, mais aussi comme des expressions numériques ou alphabétiques arbitraires précédées d'un signe "+" qui ne sont ni des sommes ni des différences. Dans tous ces cas, vous pouvez appliquer les règles de la même manière que nous l’avons fait pour les nombres simples entre parenthèses.

Par exemple, après avoir ouvert les parenthèses, l'expression − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2 : z) prendra la forme 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2 : z . Comment avons-nous fait ça? Nous savons que − (− 2 x) est + 2 x, et puisque cette expression vient en premier, alors + 2 x peut s'écrire 2 x, − (x2) = −x2, + (− 1 x) = − 1 x et − (2 x y 2 : z) = − 2 x y 2 : z.

En produits de deux nombres

Commençons par la règle d'ouverture des parenthèses dans le produit de deux nombres.

Faisons comme si un et b sont deux nombres positifs. Dans ce cas, le produit de deux nombres négatifs − un et − b de la forme (− a) · (− b) nous pouvons remplacer par (a · b) , et les produits de deux nombres de signes opposés de la forme (− a) · b et a · (− b) peut être remplacé par (− un b). Multiplier un moins par un moins donne un plus, et multiplier un moins par un plus, comme multiplier un plus par un moins donne un moins.

L'exactitude de la première partie de la règle écrite est confirmée par la règle de multiplication des nombres négatifs. Pour confirmer la deuxième partie de la règle, on peut utiliser les règles de multiplication des nombres avec différents signes.

Regardons quelques exemples.

Exemple 1

Considérons un algorithme d'ouverture de parenthèses dans le produit de deux nombres négatifs - 4 3 5 et - 2, de la forme (- 2) · - 4 3 5. Pour ce faire, remplacez l'expression originale par 2 · 4 3 5 . Ouvrons les parenthèses et obtenons 2 · 4 3 5 .

Et si l'on prend le quotient des nombres négatifs (− 4) : (− 2), alors l'entrée après ouverture des parenthèses ressemblera à 4 : 2

Au lieu de nombres négatifs − un et − b peut être n'importe quelle expression précédée d'un signe moins qui n'est ni une somme ni une différence. Il peut s'agir par exemple de produits, de quotients, de fractions, de puissances, de racines, de logarithmes, fonctions trigonométriques et ainsi de suite.

Ouvrons les parenthèses dans l'expression - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . D'après la règle, on peut faire les transformations suivantes : - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.

Expression (− 3) 2 peut être converti en l'expression (− 3 2) . Après cela, vous pouvez étendre les parenthèses : − 3 2.

2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5

La division de nombres par des signes différents peut également nécessiter un développement préalable des parenthèses : (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 et 2 3 4 : (- 3, 5) = - 2 3 4 : 3, 5 = - 2 3 4 : 3, 5.

La règle peut être utilisée pour effectuer des multiplications et des divisions d'expressions avec des signes différents. Donnons deux exemples.

1 x + 1 : x - 3 = - 1 x + 1 : x - 3 = - 1 x + 1 : x - 3

péché (x) (- x 2) = (- péché (x) x 2) = - péché (x) x 2

En produits de trois nombres ou plus

Passons aux produits et aux quotients, qui contiennent un plus grand nombre de nombres. Pour ouvrir les parenthèses, la règle suivante s’appliquera ici. S’il existe un nombre pair de nombres négatifs, vous pouvez omettre les parenthèses et remplacer les nombres par leurs opposés. Après cela, vous devez mettre l'expression résultante entre de nouvelles parenthèses. S’il y a un nombre impair de nombres négatifs, omettez les parenthèses et remplacez les nombres par leurs opposés. Après cela, l'expression résultante doit être placée entre de nouvelles parenthèses et un signe moins doit être placé devant elle.

Exemple 2

Par exemple, prenons l'expression 5 · (− 3) · (− 2) , qui est le produit de trois nombres. Il existe deux nombres négatifs, nous pouvons donc écrire l’expression sous la forme (5 · 3 · 2) puis enfin ouvrez les parenthèses, obtenant l'expression 5 · 3 · 2.

Dans le produit (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4 : (− 1, 25) : (− 1) cinq nombres sont négatifs. donc (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4 : (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3 : 2 · 4 : 1, 25 : 1) . Ayant enfin ouvert les parenthèses, on obtient −2,5 3:2 4:1,25:1.

La règle ci-dessus peut être justifiée comme suit. Premièrement, nous pouvons réécrire de telles expressions sous forme de produit, en remplaçant la division par la multiplication par le nombre réciproque. Nous représentons chaque nombre négatif comme le produit d'un nombre multiplicateur et - 1 ou - 1 est remplacé par (− 1) une.

En utilisant la propriété commutative de multiplication, nous échangeons les facteurs et transférons tous les facteurs égaux à − 1 , au début de l'expression. Le produit d'un nombre pair moins un est égal à 1 et le produit d'un nombre impair est égal à − 1 , ce qui nous permet d'utiliser le signe moins.

Si nous n'utilisions pas la règle, alors la chaîne d'actions pour ouvrir les parenthèses dans l'expression - 2 3 : (- 2) · 4 : - 6 7 ressemblerait à ceci :

2 3 : (- 2) 4 : - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

La règle ci-dessus peut être utilisée lors de l'ouverture de parenthèses dans des expressions qui représentent des produits et des quotients avec un signe moins qui ne sont ni des sommes ni des différences. Prenons par exemple l'expression

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3 : 2 .

Il peut être réduit à l'expression sans parenthèses x 2 · x : 1 x · x - 3 : 2.

Parenthèses extensibles précédées d'un signe +

Considérons une règle qui peut être appliquée pour développer les parenthèses précédées d'un signe plus, et le « contenu » de ces parenthèses n'est ni multiplié ni divisé par un nombre ou une expression.

Selon la règle, les parenthèses, ainsi que le signe qui les précède, sont omis, tandis que les signes de tous les termes entre parenthèses sont conservés. S'il n'y a pas de signe avant le premier terme entre parenthèses, alors vous devez mettre un signe plus.

Exemple 3

Par exemple, nous donnons l'expression (12 − 3 , 5) − 7 . En omettant les parenthèses, on garde les signes des termes entre parenthèses et on met un signe plus devant le premier terme. L'entrée ressemblera à (12 − 3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7. Dans l’exemple donné, il n’est pas nécessaire de placer un signe devant le premier terme, puisque + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.

Exemple 4

Regardons un autre exemple. Prenons l'expression x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x et effectuons les actions avec elle x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 une - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Voici un autre exemple d'extension de parenthèses :

Exemple 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2

Comment les parenthèses précédées d’un signe moins sont-elles développées ?

Considérons les cas où il y a un signe moins devant les parenthèses et qui ne sont multipliés (ou divisés) par aucun nombre ou expression. Selon la règle d'ouverture des parenthèses précédées d'un signe « - », les parenthèses avec le signe « - » sont omises et les signes de tous les termes à l'intérieur des parenthèses sont inversés.

Exemple 6

Par exemple:

1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2

Les expressions avec des variables peuvent être converties en utilisant la même règle :

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

nous obtenons x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .

Parenthèses ouvrantes lors de la multiplication d'un nombre par une parenthèse, expressions par une parenthèse

Ici, nous examinerons les cas où vous devez développer des parenthèses multipliées ou divisées par un nombre ou une expression. Formules de la forme (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) ou b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), Où une 1 , une 2 , … , une n et b sont des nombres ou des expressions.

Exemple 7

Par exemple, développons les parenthèses dans l'expression (3-7) 2. D'après la règle, on peut effectuer les transformations suivantes : (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . On obtient 3 · 2 − 7 · 2 .

En ouvrant les parenthèses dans l'expression 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, on obtient 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

Multiplier une parenthèse par parenthèse

Considérons le produit de deux parenthèses de la forme (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Cela nous aidera à obtenir une règle pour ouvrir les parenthèses lors de la multiplication par parenthèse.

Afin de résoudre l'exemple donné, nous notons l'expression (b 1 + b 2) comme B. Cela nous permettra d'utiliser la règle de multiplication d'une parenthèse par une expression. Nous obtenons (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. En effectuant un remplacement inversé b par (b 1 + b 2), appliquez à nouveau la règle de multiplication d'une expression par une parenthèse : a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

Grâce à un certain nombre de techniques simples, on peut arriver à la somme des produits de chacun des termes de la première tranche par chacun des termes de la deuxième tranche. La règle peut être étendue à n’importe quel nombre de termes entre parenthèses.

Formulons les règles de multiplication parenthèses par parenthèses : pour multiplier deux sommes ensemble, il faut multiplier chacun des termes de la première somme par chacun des termes de la deuxième somme et additionner les résultats.

La formule ressemblera à :

(une 1 + une 2 + . . . + une m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = une 1 b 1 + une 1 b 2 + . . . + une 1 b n + + une 2 b 1 + une 2 b 2 + . . . + une 2 b n + + . . . + + une m b 1 + une m b 1 + . . . un m b n

Développons les parenthèses dans l'expression (1 + x) · (x 2 + x + 6) C'est le produit de deux sommes. Écrivons la solution : (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Il convient de mentionner séparément les cas où il y a un signe moins entre parenthèses avec des signes plus. Par exemple, prenons l'expression (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Tout d'abord, présentons les expressions entre parenthèses sous forme de sommes : (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Nous pouvons maintenant appliquer la règle : (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

Ouvrons les parenthèses : 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Expansion des parenthèses dans les produits de plusieurs parenthèses et expressions

S'il y a trois expressions ou plus entre parenthèses dans une expression, les parenthèses doivent être ouvertes séquentiellement. Vous devez commencer la transformation en mettant les deux premiers facteurs entre parenthèses. À l’intérieur de ces parenthèses, nous pouvons effectuer des transformations selon les règles évoquées ci-dessus. Par exemple, les parenthèses dans l'expression (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .

L'expression contient trois facteurs à la fois (2 + 4) , 3 et (5 + 7 8) . Nous ouvrirons les parenthèses séquentiellement. Plaçons les deux premiers facteurs dans une autre parenthèse, que nous rendrons en rouge pour plus de clarté : (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

Conformément à la règle de multiplication d'une parenthèse par un nombre, on peut effectuer les actions suivantes : ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .

Multiplier parenthèse par parenthèse : (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

Support en nature

Les degrés dont les bases sont des expressions écrites entre parenthèses, avec des exposants naturels peuvent être considérés comme le produit de plusieurs parenthèses. De plus, selon les règles des deux paragraphes précédents, ils peuvent être écrits sans ces parenthèses.

Considérez le processus de transformation de l'expression (une + b + c) 2 . Il peut s'écrire comme le produit de deux parenthèses (une + b + c) · (une + b + c). Multiplions parenthèse par parenthèse et obtenons a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.

Regardons un autre exemple :

Exemple 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2

Division des parenthèses par nombre et des parenthèses par parenthèses

Pour diviser une parenthèse par un nombre, il faut que tous les termes entre parenthèses soient divisés par le nombre. Par exemple, (x 2 - x) : 4 = x 2 : 4 - x : 4 .

La division peut d'abord être remplacée par une multiplication, après quoi vous pouvez utiliser la règle appropriée pour ouvrir les parenthèses dans un produit. La même règle s'applique lors de la division d'une parenthèse par une parenthèse.

Par exemple, nous devons ouvrir les parenthèses dans l'expression (x + 2) : 2 3 . Pour ce faire, remplacez d'abord la division en multipliant par le nombre réciproque (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3. Multipliez la parenthèse par le nombre (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .

Voici un autre exemple de division par parenthèses :

Exemple 9

1 x + x + 1 : (x + 2) .

Remplaçons la division par la multiplication : 1 x + x + 1 · 1 x + 2.

Faisons la multiplication : 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Ordre des parenthèses d'ouverture

Considérons maintenant l'ordre d'application des règles évoquées ci-dessus dans les expressions vue générale, c'est à dire. dans les expressions contenant des sommes avec des différences, des produits avec des quotients, des parenthèses entre diplôme naturel.

Procédure:

• la première étape consiste à élever les supports à une puissance naturelle ;
• dans un deuxième temps, l'ouverture des parenthèses en travaux et quotients est réalisée ;
• La dernière étape consiste à ouvrir les parenthèses dans les sommes et les différences.

Considérons l'ordre des actions en utilisant l'exemple de l'expression (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Transformons à partir des expressions 3 · (− 2) : (− 4) et 6 · (− 7) , qui devraient prendre la forme (3 2:4) et (− 6 · 7) . En remplaçant les résultats obtenus dans l'expression originale, nous obtenons : (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2 : 4) − (−6 · 7) . Ouvrez les parenthèses : − 5 + 3 · 2 : 4 + 6 · 7.

Lorsqu'il s'agit d'expressions contenant des parenthèses entre parenthèses, il est pratique d'effectuer des transformations en travaillant de l'intérieur vers l'extérieur.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée

La fonction principale des parenthèses est de modifier l'ordre des actions lors du calcul des valeurs. Par exemple, V numériquement\(5·3+7\) la multiplication sera calculée en premier, puis l'addition : \(5·3+7 =15+7=22\). Mais dans l'expression \(5·(3+7)\) l'addition entre parenthèses sera calculée en premier, et ensuite seulement la multiplication : \(5·(3+7)=5·10=50\).

Exemple. Développez la parenthèse : \(-(4m+3)\).
Solution : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Exemple. Ouvrez la parenthèse et donnez des termes similaires \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Solution : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Exemple. Développez les parenthèses \(5(3-x)\).
Solution : Dans la parenthèse nous avons \(3\) et \(-x\), et avant la parenthèse il y a un cinq. Cela signifie que chaque membre de la parenthèse est multiplié par \(5\) - je vous rappelle que Le signe de multiplication entre un nombre et une parenthèse n'est pas écrit en mathématiques pour réduire la taille des entrées.

Exemple. Développez les parenthèses \(-2(-3x+5)\).
Solution : Comme dans l'exemple précédent, les \(-3x\) et \(5\) entre parenthèses sont multipliés par \(-2\).

Exemple. Simplifiez l'expression : \(5(x+y)-2(x-y)\).
Solution : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Reste à considérer la dernière situation.

Lors de la multiplication d'une parenthèse par une parenthèse, chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde :

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Exemple. Développez les parenthèses \((2-x)(3x-1)\).
Solution : Nous avons un produit de parenthèses et il peut être développé immédiatement en utilisant la formule ci-dessus. Mais pour ne pas nous tromper, procédons étape par étape.
Étape 1. Supprimez la première parenthèse - multipliez chacun de ses termes par la deuxième parenthèse :

Étape 2. Développez les produits des parenthèses et du facteur comme décrit ci-dessus :
- Tout d'abord...

Puis la seconde.

Étape 3. Maintenant, nous multiplions et présentons des termes similaires :

Il n'est pas nécessaire de décrire toutes les transformations avec autant de détails, vous pouvez les multiplier tout de suite. Mais si vous apprenez simplement à ouvrir des parenthèses et à écrire en détail, il y aura moins de risques de faire des erreurs.

Note à toute la section. En fait, vous n'avez pas besoin de vous souvenir des quatre règles, vous n'avez besoin de vous en souvenir qu'une seule, celle-ci : \(c(a-b)=ca-cb\) . Pourquoi? Parce que si vous en remplacez un au lieu de c, vous obtenez la règle \((a-b)=a-b\) . Et si nous substituons moins un, nous obtenons la règle \(-(a-b)=-a+b\) . Eh bien, si vous remplacez c par une autre parenthèse, vous pouvez obtenir la dernière règle.

Parenthèse dans une parenthèse

Parfois, dans la pratique, des problèmes surviennent avec des parenthèses imbriquées dans d’autres parenthèses. Voici un exemple d'une telle tâche : simplifiez l'expression \(7x+2(5-(3x+y))\).

Pour résoudre avec succès de telles tâches, vous avez besoin de :
- bien comprendre l'imbrication des parenthèses - laquelle se trouve dans laquelle ;
- ouvrir les crochets séquentiellement, en commençant par exemple par le plus intérieur.

Il est important lors de l'ouverture de l'un des supports ne touche pas au reste de l'expression, je le réécris tel quel.
Regardons la tâche écrite ci-dessus à titre d'exemple.

Exemple. Ouvrez les parenthèses et donnez des termes similaires \(7x+2(5-(3x+y))\).
Solution:

Exemple. Ouvrez les parenthèses et donnez des termes similaires \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Solution :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Il y a ici une triple imbrication de parenthèses. Commençons par le plus intérieur (surligné en vert). Il y a un plus devant le support, donc il se détache simplement.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Vous devez maintenant ouvrir le deuxième support, celui intermédiaire. Mais avant cela, nous allons simplifier l’expression des termes fantomatiques dans cette deuxième parenthèse.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Maintenant, nous ouvrons le deuxième support (surligné en bleu). Avant la parenthèse se trouve un facteur - donc chaque terme de la parenthèse est multiplié par celui-ci.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Et ouvrez le dernier support. Il y a un signe moins devant le support, donc tous les signes sont inversés.

Développer des parenthèses est une compétence de base en mathématiques. Sans cette compétence, il est impossible d’avoir une note supérieure à C en 8e et 9e années. Par conséquent, je vous recommande de bien comprendre ce sujet.

« Parenthèses ouvrantes » - Manuel de mathématiques, 6e année (Vilenkin)

Brève description:

Dans cette section, vous apprendrez comment développer les parenthèses dans des exemples. Pourquoi est-ce? Tout est pour la même chose qu'avant : pour que vous puissiez compter plus facilement et plus simplement, pour faire moins d'erreurs, et idéalement (le rêve de votre professeur de mathématiques) pour tout résoudre sans erreur.
Vous savez déjà que les parenthèses sont placées en notation mathématique s'il y en a deux à la suite signe mathématique, si l'on veut montrer la combinaison de nombres, leur regroupement. Développer les parenthèses signifie se débarrasser des caractères inutiles. Par exemple : (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. Vous souvenez-vous de la propriété distributive de la multiplication par rapport à l'addition ? En effet, dans cet exemple, nous avons également supprimé les parenthèses pour simplifier les calculs. La propriété nommée de multiplication peut également être appliquée à quatre, trois, cinq termes ou plus. Par exemple : 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. Avez-vous remarqué que lorsque vous ouvrez les parenthèses, les nombres qu'elles contiennent ne changent pas de signe si le nombre devant les parenthèses est positif ? Après tout, quinze est un nombre positif. Et si vous résolvez cet exemple : -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. Nous avions un nombre négatif moins quinze devant les parenthèses, lorsque nous avons ouvert les parenthèses, tous les nombres ont commencé à changer de signe en un autre - le contraire - du plus au moins.
Sur la base des exemples ci-dessus, deux règles de base pour l'ouverture des parenthèses peuvent être énoncées :
1. Si vous avez un nombre positif devant les parenthèses, alors après avoir ouvert les parenthèses, tous les signes des nombres entre parenthèses ne changent pas, mais restent exactement les mêmes qu'avant.
2. Si vous avez un nombre négatif devant les parenthèses, après avoir ouvert les parenthèses, le signe moins n'est plus écrit et les signes de tous les nombres absolus entre parenthèses changent soudainement à l'opposé.
Par exemple : (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22 ; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. Compliquons un peu nos exemples : (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. Vous avez remarqué qu'en ouvrant la deuxième parenthèse, nous avons multiplié par 2, mais les signes sont restés les mêmes. Voici un exemple : (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, dans cet exemple le chiffre deux est négatif, il est avant le les parenthèses portent un signe moins, donc en les ouvrant, nous avons changé les signes des nombres en signes opposés (neuf était avec un plus, est devenu un moins, huit était avec un moins, est devenu un plus).

Au Ve siècle avant JC philosophe grec ancien Zénon d'Élée a formulé ses célèbres apories, dont la plus célèbre est l'aporie « Achille et la tortue ». Voici à quoi cela ressemble :

Disons qu'Achille court dix fois plus vite que la tortue et se trouve mille pas derrière elle. Pendant le temps qu'il faudra à Achille pour parcourir cette distance, la tortue fera cent pas dans la même direction. Quand Achille fait cent pas, la tortue rampe encore dix pas, et ainsi de suite. Le processus se poursuivra à l'infini, Achille ne rattrapera jamais la tortue.

Ce raisonnement est devenu un choc logique pour toutes les générations suivantes. Aristote, Diogène, Kant, Hegel, Hilbert... Tous ont considéré, d'une manière ou d'une autre, l'aporie de Zénon. Le choc a été si fort que " ...les discussions se poursuivent à ce jour, la communauté scientifique n'a pas encore réussi à se mettre d'accord sur l'essence des paradoxes...ont été impliqués dans l'étude de la question analyse mathematique, théorie des ensembles, nouvelles approches physiques et philosophiques ; aucun d'entre eux n'est devenu une solution généralement acceptée au problème..."[Wikipédia, "L'aporie de Zeno". Tout le monde comprend qu'il se fait berner, mais personne ne comprend en quoi consiste la tromperie.

D'un point de vue mathématique, Zénon dans son aporie a clairement démontré le passage de la quantité à . Cette transition implique des applications plutôt que des applications permanentes. Autant que je sache, l'appareil mathématique d'application unités variables soit la mesure n'a pas encore été développée, soit elle n'a pas été appliquée à l'aporie de Zénon. Appliquer notre logique habituelle nous conduit dans un piège. En raison de l'inertie de la pensée, nous appliquons des unités de temps constantes à la valeur réciproque. AVEC point physique D'un point de vue, on dirait que le temps ralentit jusqu'à s'arrêter complètement au moment où Achille rattrape la tortue. Si le temps s'arrête, Achille ne peut plus distancer la tortue.

Si l’on renverse notre logique habituelle, tout se met en place. Achille court à une vitesse constante. Chaque segment suivant de son chemin est dix fois plus court que le précédent. Ainsi, le temps consacré à le surmonter est dix fois inférieur au précédent. Si nous appliquons le concept « d'infini » dans cette situation, alors il serait correct de dire « Achille rattrapera la tortue infiniment rapidement ».

Comment éviter ce piège logique ? Restez en unités de temps constantes et ne passez pas aux unités réciproques. Dans la langue de Zeno, cela ressemble à ceci :

Le temps qu'il faut à Achille pour faire mille pas, la tortue rampera cent pas dans la même direction. Au cours du prochain intervalle de temps égal au premier, Achille fera encore mille pas et la tortue rampera cent pas. Achille a désormais huit cents longueurs d'avance sur la tortue.

Cette approche décrit adéquatement la réalité sans aucun paradoxe logique. Mais ce n'est pas solution complète Problèmes. La déclaration d’Einstein sur l’irrésistibilité de la vitesse de la lumière est très similaire à l’aporie de Zénon « Achille et la tortue ». Nous devons encore étudier, repenser et résoudre ce problème. Et la solution ne doit pas être recherchée en nombres infiniment grands, mais en unités de mesure.

Une autre aporie intéressante de Zénon parle d'une flèche volante :

Une flèche volante est immobile, puisqu'à tout instant elle est au repos, et puisqu'elle est au repos à tout instant, elle est toujours au repos.

Dans cette aporie, le paradoxe logique est surmonté très simplement - il suffit de préciser qu'à chaque instant une flèche volante est au repos en différents points de l'espace, ce qui, en fait, est un mouvement. Un autre point doit être souligné ici. À partir d'une photographie d'une voiture sur la route, il est impossible de déterminer ni le fait de son mouvement ni la distance qui la sépare. Pour déterminer si une voiture bouge, vous avez besoin de deux photographies prises du même point à des moments différents, mais vous ne pouvez pas déterminer la distance qui les sépare. Pour déterminer la distance jusqu'à une voiture, vous avez besoin de deux photographies prises à partir de différents points de l'espace à un moment donné, mais à partir d'elles, vous ne pouvez pas déterminer le fait du mouvement (bien sûr, vous avez toujours besoin de données supplémentaires pour les calculs, la trigonométrie vous aidera ). Ce que je veux souligner Attention particulière, c'est que deux points dans le temps et deux points dans l'espace sont des choses différentes qu'il ne faut pas confondre, car ils offrent des opportunités de recherche différentes.

mercredi 4 juillet 2018

Les différences entre set et multiset sont très bien décrites sur Wikipédia. Voyons.

Comme vous pouvez le voir, « il ne peut pas y avoir deux éléments identiques dans un ensemble », mais s'il y a des éléments identiques dans un ensemble, un tel ensemble est appelé « multiensemble ». Les êtres raisonnables ne comprendront jamais une logique aussi absurde. C'est le niveau des perroquets parlants et des singes dressés, qui n'ont aucune intelligence du mot « complètement ». Les mathématiciens agissent comme de simples formateurs, nous prêchant leurs idées absurdes.

Il était une fois, les ingénieurs qui ont construit le pont se trouvaient dans un bateau sous le pont pendant qu'ils testaient le pont. Si le pont s'effondrait, l'ingénieur médiocre mourait sous les décombres de sa création. Si le pont pouvait résister à la charge, le talentueux ingénieur construisait d'autres ponts.

Peu importe la manière dont les mathématiciens se cachent derrière l’expression « attention, je suis à la maison » ou plutôt « les mathématiques étudient les concepts abstraits », il existe un cordon ombilical qui les relie inextricablement à la réalité. Ce cordon ombilical, c'est de l'argent. Appliquons la théorie mathématique des ensembles aux mathématiciens eux-mêmes.

Nous avons très bien étudié les mathématiques et maintenant nous sommes assis à la caisse et distribuons les salaires. Alors un mathématicien vient nous voir pour son argent. Nous lui comptons le montant total et le disposons sur notre table en différentes piles, dans lesquelles nous mettons des billets de même valeur. Ensuite, nous prenons une facture de chaque pile et donnons au mathématicien son « salaire mathématique ». Expliquons au mathématicien qu'il ne recevra les factures restantes que lorsqu'il prouvera qu'un ensemble sans éléments identiques n'est pas égal à un ensemble avec des éléments identiques. C'est là que le plaisir commence.

Tout d’abord, la logique des députés fonctionnera : « Cela peut s’appliquer aux autres, mais pas à moi ! Ensuite, ils commenceront à nous rassurer sur le fait que les billets de même valeur ont des numéros de billets différents, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas être considérés comme les mêmes éléments. D'accord, comptons les salaires en pièces - il n'y a pas de chiffres sur les pièces. Ici, le mathématicien commencera à se souvenir frénétiquement de la physique : sur différentes pièces il y a différentes quantités la saleté, la structure cristalline et la disposition atomique de chaque pièce sont uniques...

Et maintenant j'ai le plus intérêt Demander: où est la ligne au-delà de laquelle les éléments d'un multiset se transforment en éléments d'un ensemble et vice versa ? Une telle ligne n'existe pas - tout est décidé par les chamanes, la science n'est même pas près de mentir ici.

Regardez ici. Nous sélectionnons stades de football avec la même superficie de terrain. Les zones des champs sont les mêmes, ce qui signifie que nous avons un multiset. Mais si on regarde les noms de ces mêmes stades, on en trouve beaucoup, car les noms sont différents. Comme vous pouvez le constater, le même ensemble d’éléments est à la fois un ensemble et un multiensemble. Qui est correct? Et ici, le mathématicien-chaman-aiguiseur sort un as d'atout de sa manche et commence à nous parler soit d'un ensemble, soit d'un multiensemble. En tout cas, il nous convaincra qu’il a raison.

Pour comprendre comment les chamanes modernes opèrent avec la théorie des ensembles, en la liant à la réalité, il suffit de répondre à une question : en quoi les éléments d'un ensemble diffèrent-ils des éléments d'un autre ensemble ? Je vais vous le montrer, sans aucun « concevable comme un tout unique » ou « non concevable comme un tout unique ».

dimanche 18 mars 2018

La somme des chiffres d’un nombre est une danse de chamanes avec un tambourin, qui n’a rien à voir avec les mathématiques. Oui, dans les cours de mathématiques, on nous apprend à trouver la somme des chiffres d’un nombre et à l’utiliser, mais c’est pourquoi ils sont chamanes, pour enseigner à leurs descendants leurs compétences et leur sagesse, sinon les chamanes disparaîtront tout simplement.

Avez-vous besoin d'une preuve ? Ouvrez Wikipédia et essayez de trouver la page "Somme des chiffres d'un nombre". Elle n'existe pas. Il n’existe aucune formule mathématique permettant de calculer la somme des chiffres d’un nombre quelconque. Après tout, les nombres sont des symboles graphiques avec lesquels nous écrivons des nombres, et dans le langage mathématique, la tâche ressemble à ceci : « Trouvez la somme des symboles graphiques représentant n'importe quel nombre ». Les mathématiciens ne peuvent pas résoudre ce problème, mais les chamanes peuvent le faire facilement.

Voyons quoi et comment nous faisons pour trouver la somme des chiffres d'un nombre donné. Et donc, ayons le nombre 12345. Que faut-il faire pour trouver la somme des chiffres de ce nombre ? Considérons toutes les étapes dans l'ordre.

1. Notez le numéro sur une feuille de papier. Qu'avons-nous fait? Nous avons converti le nombre en un symbole numérique graphique. Ce n'est pas une opération mathématique.

2. Nous découpons une image résultante en plusieurs images contenant des numéros individuels. Découper une image n’est pas une opération mathématique.

3. Convertissez des symboles graphiques individuels en nombres. Ce n'est pas une opération mathématique.

4. Ajoutez les nombres résultants. Maintenant, ce sont des mathématiques.

La somme des chiffres du nombre 12345 est 15. Ce sont les « cours de coupe et de couture » dispensés par les chamanes et utilisés par les mathématiciens. Mais ce n'est pas tout.

D'un point de vue mathématique, peu importe dans quel système numérique nous écrivons un nombre. Alors, dans différents systèmes En calcul, la somme des chiffres d’un même nombre sera différente. En mathématiques, le système numérique est indiqué en indice à droite du nombre. AVEC un grand nombre 12345 Je ne veux pas me tromper, regardons le numéro 26 de l'article sur . Écrivons ce nombre dans les systèmes numériques binaires, octaux, décimaux et hexadécimaux. Nous n’examinerons pas chaque étape au microscope, nous l’avons déjà fait. Regardons le résultat.

Comme vous pouvez le constater, dans différents systèmes numériques, la somme des chiffres d'un même nombre est différente. Ce résultat n'a rien à voir avec les mathématiques. C’est comme si vous déterminiez l’aire d’un rectangle en mètres et en centimètres, vous obtiendriez des résultats complètement différents.

Le zéro se ressemble dans tous les systèmes numériques et n’a pas de somme de chiffres. C'est un autre argument en faveur du fait que. Question pour les mathématiciens : comment désigne-t-on en mathématiques quelque chose qui n'est pas un nombre ? Quoi, pour les mathématiciens, rien n’existe à part les nombres ? Je peux autoriser cela pour les chamanes, mais pas pour les scientifiques. La réalité n’est pas qu’une question de chiffres.

Le résultat obtenu doit être considéré comme la preuve que les systèmes numériques sont des unités de mesure des nombres. Après tout, nous ne pouvons pas comparer des nombres avec des unités de mesure différentes. Si les mêmes actions avec différentes unités de mesure de la même quantité conduisent à résultats différents après les avoir comparés, cela signifie que cela n'a rien à voir avec les mathématiques.

Que sont les vraies mathématiques ? C'est alors que le résultat d'une opération mathématique ne dépend pas de la taille du nombre, de l'unité de mesure utilisée et de la personne qui effectue cette action.

Inscrivez-vous sur la porte Il ouvre la porte et dit :

Oh! Ce n'est pas les toilettes des femmes ?
- Jeune femme! Il s'agit d'un laboratoire pour l'étude de la sainteté indéphilique des âmes lors de leur ascension au ciel ! Halo en haut et flèche vers le haut. Quelles autres toilettes ?

Femelle... Le halo en haut et la flèche vers le bas sont masculins.

Si une telle œuvre d'art du design clignote devant vos yeux plusieurs fois par jour,

Il n’est alors pas surprenant que vous trouviez soudainement une étrange icône dans votre voiture :

Personnellement, je m'efforce de voir moins quatre degrés chez une personne qui fait caca (une image) (une composition de plusieurs images : un signe moins, le chiffre quatre, une désignation de degrés). Et je ne pense pas que cette fille soit une idiote qui ne connaît pas la physique. Elle a juste un fort stéréotype de perception des images graphiques. Et les mathématiciens nous l’enseignent tout le temps. Voici un exemple.

1A n’est pas « moins quatre degrés » ou « un a ». Il s’agit de « l’homme qui fait caca » ou du nombre « vingt-six » en notation hexadécimale. Les personnes qui travaillent constamment dans ce système numérique perçoivent automatiquement un chiffre et une lettre comme un seul symbole graphique.