係数を伴う対数方程式、解の例。 対数方程式。 単純なものから複雑なものまで

対数方程式。 単純なものから複雑なものまで。

注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）

対数方程式とは何ですか?

これは対数を使った方程式です。 びっくりしましたよね？）それでは、はっきりさせておきます。 これは、未知数 (x) とそれを含む式を求める方程式です。 対数の内側。そしてそこだけ！ 大事です。

ここではいくつかの例を示します 対数方程式 :

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

まあ、わかります... )

注記！ X が付いた最も多様な表現が見つかります。 もっぱら対数内で。突然、方程式のどこかに X が現れた場合 外、 例えば：

log 2 x = 3+x、

これは方程式になります 混合タイプ。 このような方程式には、それを解くための明確なルールがありません。 今のところは考慮しません。 ちなみに、対数の中に次の方程式があります。 数字だけ。 例えば：

何と言えばいい？ これに出会えたらラッキー！ 数値の対数は ある数字。それだけです。 このような方程式を解くには、対数の性質を知っていれば十分です。 特別なルールに関する知識、解決に特化したテクニック 対数方程式、ここでは必要ありません。

それで、 対数方程式とは何ですか- 私たちはそれを理解しました。

対数方程式を解くにはどうすればよいですか?

解決 対数方程式- 事は実際にはそれほど単純ではありません。 したがって、私たちのセクションは 4 つです...あらゆる種類の関連トピックに関するかなりの量の知識が必要です。 さらに、これらの式には特別な特徴があります。 そして、この特徴は対数方程式を解く際の主要な問題と言っても差し支えないほど重要です。 この問題については、次のレッスンで詳しく扱います。

今のところは心配しないでください。 僕らは正しい道を行くよ 単純なものから複雑なものまで。の上 具体的な例。 重要なのは、単純なことを深く掘り下げ、リンクをたどることを怠らないことです。リンクをそこに置いたのには理由があります。そうすればすべてがうまくいきます。 必然的に。

最も基本的で最も単純な方程式から始めましょう。 それらを解決するには、対数の概念を理解することをお勧めしますが、それ以上のことはありません。 全く分からない 対数、決断を下す 対数方程式 - どういうわけかぎこちなくさえあります...非常に大胆だと思います)。

最も単純な対数方程式。

これらは次の形式の方程式です。

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

解決プロセス 任意の対数方程式対数を含む方程式から対数を持たない方程式への移行にあります。 最も単純な方程式では、この遷移は 1 ステップで実行されます。 そのため、これらが最も単純です。)

そして、このような対数方程式は驚くほど簡単に解けます。 自分で見て。

最初の例を解いてみましょう。

log 3 x = log 3 9

この例を解決するには、ほとんど何も知る必要はありません、はい...純粋に直感です!) 何が必要ですか 特にこの例が気に入らないですか？ なんというか…対数が嫌いなんです！ 右。 それでは、それらを取り除きましょう。 この例をよく見てみると、自然な欲求が湧き出てきます...実に魅力的です。 対数をすべて取得して捨てます。 そして何が良いかというと、 できるする！ 数学はそれを可能にします。 対数が消える答えは次のとおりです。

すごいですよね？ これはいつでも行うことができます (そしてそうすべきです)。 この方法で対数を消去することは、対数方程式と不等式を解く主な方法の 1 つです。 数学では、この操作はと呼ばれます 増強。もちろん、そのような清算に関する規則はありますが、それらはほとんどありません。 覚えて：

以下の場合、対数を恐れることなく消去できます。

a) 同じ数値基礎

c) 左から右への対数は純粋 (係数なし) で、見事に分離されています。

最後の点を明確にさせてください。 方程式で次のようにしましょう

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

対数は削除できません。 右側の2つはそれを許可しません。 係数ですね...例では

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

方程式を強化することも不可能です。 左側には孤立対数はありません。 そのうちの2つがあります。

つまり、方程式が次のようになり、次のようになった場合にのみ、対数を削除できます。

ログ a (....) = ログ a (....)

括弧内には省略記号があります。 あらゆる表現。シンプルなもの、超複雑なもの、あらゆる種類。 何でも。 重要なことは、対数を消去した後に残るのは、 より単純な方程式。もちろん、対数を使用しない一次方程式、二次方程式、分数方程式、指数方程式、その他の方程式を解く方法をすでに知っていることが前提となります。)

これで、2 番目の例を簡単に解決できます。

log 7 (2x-3) = log 7 x

実は心の中で決まっているんです。 私たちは強化し、次のことを実現します。

まあ、それは非常に難しいですか？） ご覧のとおり、 対数方程式の解の一部は 対数を消去する場合のみ...そして、それらを除いた残りの方程式の解が得られます。 些細な事だ。

3 番目の例を解いてみましょう。

log 7 (50x-1) = 2

左に対数があることがわかります。

この対数は、部分対数表現を得るために底を上げなければならない数 (つまり 7) であることを思い出してください。 (50x-1)。

しかし、この数は 2 です。 式によると、 あれは：

基本的にはこれですべてです。 対数 消えた、残るのは無害な方程式です。

この対数方程式を対数の意味のみに基づいて解きました。 対数を消去する方がまだ簡単ですか?) 私も同感です。 ちなみに、この例は2から対数をとれば消去法で解けます。 任意の数値を対数にすることができます。 さらに、私たちがそれを必要とする方法。 対数方程式と (特に!) 不等式を解く際に非常に役立つテクニックです。

数値から対数を求める方法がわかりません! 大丈夫です。 セクション 555 では、この手法について詳しく説明しています。 マスターして最大限に活用できます！ エラーの数が大幅に減少します。

4 番目の方程式は、(定義上) まったく同様の方法で解かれます。

それでおしまい。

この教訓を要約しましょう。 例を使用して、最も単純な対数方程式の解法を調べました。 それは非常に重要です。 そして、そのような方程式がテストや試験に出てくるからだけではありません。 事実は、最も邪悪で複雑な方程式でさえ、必然的に最も単純なものに還元されるということです。

実際には、最も単純な方程式が解決策の最終部分になります。 どれでも方程式。 そして、この最後の部分は厳密に理解する必要があります。 そしてさらに。 このページを必ず最後までお読みください。 そこには驚きが…）

今、私たちは自分たちで決めます。 言ってみれば、もっと良くなりましょう...）

方程式の根 (または根が複数ある場合はその和) を求めます。

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0.5x-1.5) = 0.25

log 0.2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

答え（もちろん混乱しています）：42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.

なんだ、すべてがうまくいくわけではないのか？ 起こります。 心配しないで！ セクション 555 では、これらすべての例に対する解決策が明確かつ詳細に説明されています。 間違いなくそこでわかります。 役立つ実践テクニックも学べます。

全てがうまくいきました！ 「残り 1 つ」のすべての例?) おめでとうございます!

苦い真実をあなたに明らかにする時が来ました。 これらの例を正しく解決しても、他のすべての対数方程式を正しく解くことが保証されるわけではありません。 このような最も単純なものでも。 ああ、ああ。

実際のところ、対数方程式 (最も基本的なものであっても) の解は次のもので構成されます。 2つの等しい部分。方程式を解き、ODZ を操作します。 私たちは方程式自体を解くという 1 つの部分をマスターしました。 そんなに難しくないよ右？

このレッスンでは、DL が解答にまったく影響を及ぼさない例を特別に選択しました。 でも、みんなが私みたいに優しいわけじゃないですよね…）

したがって、他の部分をマスターすることが不可欠です。 ODZ。 これは対数方程式を解く際の主な問題です。 難しいからではありません。この部分は最初の部分よりもさらに簡単です。 しかし、人々はODZのことを単に忘れているからです。 あるいは彼らは知りません。 または両方）。 そして彼らは突然降ってきます...

次のレッスンでは、この問題を扱います。 そうすれば自信を持って決断できる どれでも単純な対数方程式を使用し、非常に確実なタスクにアプローチします。

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ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)

例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。 即時検証によるテスト。 興味を持って学びましょう!)

関数と導関数について知ることができます。

主な特性.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x:y)。

同一の根拠

Log6 4 + log6 9。

では、タスクを少し複雑にしてみましょう。

対数を解く例

対数の底または引数が累乗の場合はどうなるでしょうか? 次に、次の規則に従って、対数の符号からこの次数の指数を取り出すことができます。

もちろん、対数の ODZ が観察される場合、これらすべての規則は意味を持ちます: a > 0、a ≠ 1、x >

タスク。 式の意味を調べます。

新しい基盤への移行

対数 logax を与えます。 次に、c > 0 および c ≠ 1 であるような任意の数値 c について、等式が真になります。

タスク。 式の意味を調べます。

以下も参照してください。

対数の基本的な性質

1.
2.
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10.
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指数は 2.718281828… です。 指数を覚えるために、法則を研究することができます。指数は 2.7 に等しく、レオ・ニコラエヴィチ・トルストイの誕生年の 2 倍です。

対数の基本的な性質

このルールを知れば、指数の正確な値とレフ・トルストイの生年月日の両方がわかります。

対数の例

対数式

例1.
A)。 x=10ac^2 (a>0、c>0)。

プロパティ 3.5 を使用して計算します

2.

3.

4. どこ .

例 2. 次の場合に x を求める

例 3. 対数値を与えてみましょう

次の場合に log(x) を計算します。

対数の基本的な性質

対数は、他の数値と同様、あらゆる方法で加算、減算、変換できます。 しかし、対数はまったく普通の数ではないため、ここには次のような規則があります。 主な特性.

これらのルールを必ず知っておく必要があります。これらのルールがなければ、深刻な問題は何一つ解決できません。 対数問題。 さらに、それらの数は非常に少なく、1日ですべてを学ぶことができます。 それでは始めましょう。

対数の加算と減算

同じ底を持つ 2 つの対数、logax と logay を考えてみましょう。 その後、それらを加算および減算し、次の操作を行うことができます。

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x:y)。

したがって、対数の合計は積の対数に等しく、差は商の対数に等しくなります。 注記： 重要な瞬間ここ - 同一の根拠。 理由が異なる場合、これらのルールは機能しません。

これらの公式は計算に役立ちます 対数表現個々の部分が数えられない場合でも (「対数とは」のレッスンを参照)。 例を見て、次のことを確認してください。

対数の底は同じなので、合計の公式を使用します。
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2。

タスク。 式の値を見つけます: log2 48 − log2 3。

ベースは同じなので、差分の式を使用します。
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4。

タスク。 式の値を見つけます: log3 135 − log3 5。

ここでもベースは同じなので、次のようになります。
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3。

ご覧のとおり、元の式は「悪い」対数で構成されており、個別に計算されていません。 しかし、変換後は完全に正規の数値が得られます。 多くはこの事実に基づいて構築されています 試験用紙。 はい、統一国家試験では、テストのような表現が真剣に (場合によってはほとんど変更なしで) 提供されます。

対数から指数を抽出する

それに気づくのは簡単です 最後のルール最初の 2 つに続きます。 ただし、とにかく覚えておいたほうがよいでしょう。場合によっては、計算量が大幅に削減されます。

もちろん、対数の ODZ (a > 0、a ≠ 1、x > 0) が観察されていれば、これらすべてのルールは意味を持ちます。そしてもう 1 つ、すべての式を左から右へだけでなく、その逆にも適用することを学びましょう。 、つまり 対数記号の前の数値を対数そのものに入力できます。 これが最も頻繁に必要となるものです。

タスク。 式の値を見つけます: log7 496。

最初の式を使用して、引数内の次数を取り除きましょう。
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

タスク。 式の意味を調べます。

分母には​​対数が含まれており、その底と引数は正確な累乗であることに注意してください: 16 = 24; 49 = 72。次のようになります。

最後の例については、もう少し説明が必要だと思います。 対数はどこへ行ったのでしょうか? 最後の瞬間まで、私たちは分母だけを扱います。

対数の公式。 対数の例の解決策。

そこに立っている対数の底と引数をべき乗の形で提示し、指数を取り除きました。「3 階建て」の分数が得られました。

次に、主要部分を見てみましょう。 分子と分母には同じ数値が含まれます: log2 7。log2 7 ≠ 0 なので、分数を減らすことができます。分母には 2/4 が残ります。 算術の規則によれば、4 を分子に移すことができ、それが行われたのです。 結果は、答えは「２」でした。

新しい基盤への移行

対数の加算と減算のルールについて、これらは同じ底を使用した場合にのみ機能することを特に強調しました。 理由が違っていたらどうなるでしょうか？ それらが同じ数の正確なべき乗ではない場合はどうなるでしょうか?

新しい財団への移行のための公式が役に立ちます。 それらを定理の形で定式化してみましょう。

対数 logax を与えます。 次に、c > 0 および c ≠ 1 であるような任意の数値 c について、等式が真になります。

特に、c = x と設定すると、次のようになります。

2 番目の式から、対数の底と引数を交換できることがわかりますが、この場合、式全体が「ひっくり返る」ことになります。 対数が分母に表示されます。

これらの式は従来のものではほとんど見られません。 数値表現。 対数方程式や不等式を解く場合にのみ、その利便性を評価できます。

しかし、新たな基盤に移行する以外には全く解決できない問題もある。 いくつか見てみましょう:

タスク。 式の値を見つけます: log5 16 log2 25。

両方の対数の引数には正確な累乗が含まれることに注意してください。 指標を取り出してみましょう: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

次に、2 番目の対数を「反転」してみましょう。

因数を並べ替えても積は変わらないので、落ち着いて4と2を掛けてから対数を扱いました。

タスク。 式の値を見つけます: log9 100 lg 3。

最初の対数の底と引数は正確な累乗です。 これを書き留めてインジケーターを取り除きましょう。

次に、新しい底に移動して 10 進対数を取り除きましょう。

基本対数恒等式

多くの場合、解法プロセスでは、数値を特定の底の対数として表す必要があります。 この場合、次の公式が役に立ちます。

最初のケースでは、数値 n が引数の指数になります。 n は単なる対数値であるため、数値 n は何でも構いません。

2 番目の式は実際には定義を言い換えたものです。 それは次のように呼ばれています。

実際、数値 b を、数値 b の累乗が数値 a になるように累乗するとどうなるでしょうか? そうです。結果は同じ数値 a です。 この段落をもう一度注意深く読んでください。多くの人がここで行き詰まってしまいます。

新しい底に移動するための公式と同様に、基本的な対数恒等式が唯一可能な解決策である場合があります。

タスク。 式の意味を調べます。

log25 64 = log5 8 - 単に対数の底と引数から 2 乗を取っただけであることに注意してください。 同じ基数でべき乗を乗算するルールを考慮すると、次のようになります。

知らない人もいるかもしれませんが、これは統一国家試験の実際の課題でした :)

対数単位と対数ゼロ

結論として、プロパティとは言い難い 2 つの恒等式を示します。むしろ、それらは対数の定義の結果です。 それらは常に問題に登場し、驚くべきことに「上級」の生徒でも問題を引き起こします。

1. logaa = 1 です。 必ず覚えておいてください。底 a の底に対する対数自体は 1 に等しいということです。
2. loga 1 = 0 です。 底 a は何でも構いませんが、引数に対数が含まれる場合は、 ゼロに等しい！ a0 = 1 は定義の直接的な結果であるためです。

それがすべてのプロパティです。 ぜひ実践してみてください！ レッスンの初めにカンニングペーパーをダウンロードして印刷し、問題を解いてください。

以下も参照してください。

a を底とする b の対数は式を表します。 対数を計算するとは、等式が満たされるときのべき乗 x () を見つけることを意味します。

対数の基本的な性質

対数に関連するほとんどすべての問題と例はそれらに基づいて解決されるため、上記の特性を知っておく必要があります。 残りのエキゾチックな特性は、次の式を使用した数学的操作を通じて導き出すことができます。

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対数の和と差の公式 (3.4) を計算するときに、よく出てきます。 残りはやや複雑ですが、多くのタスクでは、複雑な式を簡略化し、その値を計算するために不可欠です。

対数の一般的なケース

常用対数の中には、底が 10 であったり、指数関数または 2 であるものもあります。
10 を底とする対数は通常 10 進対数と呼ばれ、単に lg(x) と表されます。

基本的なことが録音に書かれていないのは録音を見れば明らかです。 例えば

自然対数は、底が指数である対数です (ln(x) で示されます)。

指数は 2.718281828… です。 指数を覚えるために、法則を研究することができます。指数は 2.7 に等しく、レオ・ニコラエヴィチ・トルストイの誕生年の 2 倍です。 このルールを知れば、指数の正確な値とレフ・トルストイの生年月日の両方がわかります。

そして、底 2 に対するもう 1 つの重要な対数は、次のように表されます。

関数の対数の導関数は、変数で割ったものに等しい

積分または逆微分対数は、次の関係によって決定されます。

与えられた資料は、対数と対数に関連する幅広いクラスの問題を解決するのに十分です。 内容を理解しやすくするために、学校のカリキュラムや大学の一般的な例をいくつか挙げます。

対数の例

対数式

例1.
A)。 x=10ac^2 (a>0、c>0)。

プロパティ 3.5 を使用して計算します

2.
対数の差の性質により、次のようになります。

3.
プロパティ 3.5 を使用すると、次のことがわかります。

4. どこ .

一見複雑な式は、いくつかのルールを使用して簡略化されて形成されます

対数値を求める

例 2. 次の場合に x を求める

解決。 計算にあたっては、前期の5物件と13物件に適用します。

私たちはそれを記録に残して悼みます

基数が等しいので、式を同等とみなします。

対数。 最初のレベル。

対数の値を与えてみましょう

次の場合に log(x) を計算します。

解決策: 変数の対数をとり、その項の合計で対数を書きましょう

これは対数とその特性についての始まりにすぎません。 計算を練習し、実践的なスキルを強化します。対数方程式を解くために得た知識はすぐに必要になります。 このような方程式を解くための基本的な方法を学習したら、もう 1 つの同様に重要なトピックである対数不等式に知識を広げていきます。

対数の基本的な性質

対数は、他の数値と同様、あらゆる方法で加算、減算、変換できます。 しかし、対数はまったく普通の数ではないため、ここには次のような規則があります。 主な特性.

これらのルールを必ず知っておく必要があります。ルールがなければ、深刻な対数問題は 1 つも解決できません。 さらに、それらの数は非常に少なく、1日ですべてを学ぶことができます。 それでは始めましょう。

対数の加算と減算

同じ底を持つ 2 つの対数、logax と logay を考えてみましょう。 その後、それらを加算および減算し、次の操作を行うことができます。

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x:y)。

したがって、対数の合計は積の対数に等しく、差は商の対数に等しくなります。 注意してください: ここでの重要なポイントは次のとおりです 同一の根拠。 理由が異なる場合、これらのルールは機能しません。

これらの公式は、個々の部分が考慮されていない場合でも、対数式を計算するのに役立ちます (レッスン「対数とは」を参照)。 例を見て、次のことを確認してください。

タスク。 式の値を見つけます: log6 4 + log6 9。

対数の底は同じなので、合計の公式を使用します。
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2。

タスク。 式の値を見つけます: log2 48 − log2 3。

ベースは同じなので、差分の式を使用します。
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4。

タスク。 式の値を見つけます: log3 135 − log3 5。

ここでもベースは同じなので、次のようになります。
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3。

ご覧のとおり、元の式は「悪い」対数で構成されており、個別に計算されていません。 しかし、変換後は完全に正規の数値が得られます。 多くのテストはこの事実に基づいています。 はい、統一国家試験では、テストのような表現が真剣に (場合によってはほとんど変更なしで) 提供されます。

対数から指数を抽出する

では、タスクを少し複雑にしてみましょう。 対数の底または引数が累乗の場合はどうなるでしょうか? 次に、次の規則に従って、対数の符号からこの次数の指数を取り出すことができます。

最後のルールが最初の 2 つのルールに従っていることは簡単にわかります。 ただし、とにかく覚えておいたほうがよいでしょう。場合によっては、計算量が大幅に削減されます。

もちろん、対数の ODZ (a > 0、a ≠ 1、x > 0) が観察されていれば、これらすべてのルールは意味を持ちます。そしてもう 1 つ、すべての式を左から右へだけでなく、その逆にも適用することを学びましょう。 、つまり 対数記号の前の数値を対数そのものに入力できます。

対数の解き方

これが最も頻繁に必要となるものです。

タスク。 式の値を見つけます: log7 496。

最初の式を使用して、引数内の次数を取り除きましょう。
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

タスク。 式の意味を調べます。

分母には​​対数が含まれており、その底と引数は正確な累乗であることに注意してください: 16 = 24; 49 = 72。次のようになります。

最後の例については、もう少し説明が必要だと思います。 対数はどこへ行ったのでしょうか? 最後の瞬間まで、私たちは分母だけを扱います。 そこに立っている対数の底と引数をべき乗の形で提示し、指数を取り除きました。「3 階建て」の分数が得られました。

次に、主要部分を見てみましょう。 分子と分母には同じ数値が含まれます: log2 7。log2 7 ≠ 0 なので、分数を減らすことができます。分母には 2/4 が残ります。 算術の規則によれば、4 を分子に移すことができ、それが行われたのです。 結果は、答えは「２」でした。

新しい基盤への移行

対数の加算と減算のルールについて、これらは同じ底を使用した場合にのみ機能することを特に強調しました。 理由が違っていたらどうなるでしょうか？ それらが同じ数の正確なべき乗ではない場合はどうなるでしょうか?

新しい財団への移行のための公式が役に立ちます。 それらを定理の形で定式化してみましょう。

対数 logax を与えます。 次に、c > 0 および c ≠ 1 であるような任意の数値 c について、等式が真になります。

特に、c = x と設定すると、次のようになります。

2 番目の式から、対数の底と引数を交換できることがわかりますが、この場合、式全体が「ひっくり返る」ことになります。 対数が分母に表示されます。

これらの式は、通常の数値式ではほとんど見られません。 対数方程式や不等式を解く場合にのみ、その利便性を評価できます。

しかし、新たな基盤に移行する以外には全く解決できない問題もある。 いくつか見てみましょう:

タスク。 式の値を見つけます: log5 16 log2 25。

両方の対数の引数には正確な累乗が含まれることに注意してください。 指標を取り出してみましょう: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

次に、2 番目の対数を「反転」してみましょう。

因数を並べ替えても積は変わらないので、落ち着いて4と2を掛けてから対数を扱いました。

タスク。 式の値を見つけます: log9 100 lg 3。

最初の対数の底と引数は正確な累乗です。 これを書き留めてインジケーターを取り除きましょう。

次に、新しい底に移動して 10 進対数を取り除きましょう。

基本対数恒等式

多くの場合、解法プロセスでは、数値を特定の底の対数として表す必要があります。 この場合、次の公式が役に立ちます。

最初のケースでは、数値 n が引数の指数になります。 n は単なる対数値であるため、数値 n は何でも構いません。

2 番目の式は実際には定義を言い換えたものです。 それは次のように呼ばれています。

実際、数値 b を、数値 b の累乗が数値 a になるように累乗するとどうなるでしょうか? そうです。結果は同じ数値 a です。 この段落をもう一度注意深く読んでください。多くの人がここで行き詰まってしまいます。

新しい底に移動するための公式と同様に、基本的な対数恒等式が唯一可能な解決策である場合があります。

タスク。 式の意味を調べます。

log25 64 = log5 8 - 単に対数の底と引数から 2 乗を取っただけであることに注意してください。 同じ基数でべき乗を乗算するルールを考慮すると、次のようになります。

知らない人もいるかもしれませんが、これは統一国家試験の実際の課題でした :)

対数単位と対数ゼロ

結論として、プロパティとは言い難い 2 つの恒等式を示します。むしろ、それらは対数の定義の結果です。 それらは常に問題に登場し、驚くべきことに「上級」の生徒でも問題を引き起こします。

1. logaa = 1 です。 必ず覚えておいてください。底 a の底に対する対数自体は 1 に等しいということです。
2. loga 1 = 0 です。 基数 a は何でも構いませんが、引数に 1 が含まれている場合、対数は 0 に等しくなります。 a0 = 1 は定義の直接的な結果であるためです。

それがすべてのプロパティです。 ぜひ実践してみてください！ レッスンの初めにカンニングペーパーをダウンロードして印刷し、問題を解いてください。

導入

対数は、計算を高速化して簡素化するために発明されました。 対数の考え方、つまり数値を同じ底の累乗として表現する考え方は、ミハイル シュティーフェルに属します。 しかしシュティーフェルの時代には数学はそれほど発達しておらず、対数の考え方も発達していませんでした。 対数はその後、スコットランドの科学者ジョン ネイピア (1550-1617) とスイスのヨブスト ブルギ (1552-1632) によって同時にかつ互いに独立して発明され、ネイピアは 1614 年にこの研究を初めて発表しました。 「説明」と題した 素晴らしいテーブル対数」では、ネーピアの対数理論がかなり完全なボリュームで提供され、対数の計算方法が最も単純なものとして提供されたため、対数の発明におけるネーピアの功績はビュルギの功績よりも大きかった。 ビュルギはネイピアと同時にテーブルで働いていたが、 長い間彼らはそれらを秘密にし、1620年にのみ出版しました。 ネイピアは 1594 年頃に対数の概念を習得しました。 ただし、表は 20 年後に出版されました。 最初、彼は自分の対数を「人工数」と呼んでいたが、その後になって初めて、これらの「人工数」を一言で「対数」と呼ぶことを提案した。これはギリシャ語から翻訳されたもので「相関数」を意味し、一方は等差数列から、もう一方は等差数列から取られたものである。そのために特別に選ばれた等比数列。 ロシア語の最初の表は 1703 年に出版されました。 18世紀の素晴らしい教師の参加のもとに。 L.F.マグニツキー。 対数理論の発展において 非常に重要サンクトペテルブルクの学者レオンハルト・オイラーの作品がありました。 彼は、対数を累乗の逆数とみなした最初の人物であり、「対数の底」と「仮数」という用語を導入しました。ブリッグスは、底が 10 の対数の表を作成しました。実際の使用には 10 進数の表の方が便利であり、その理論は次のとおりです。ネイピアの対数より単純です。 それが理由です 10 進対数ブリッグと呼ばれることもあります。 「特性化」という用語はブリッグスによって導入されました。

賢者たちが初めて未知の量を含む等式について考え始めた遠い時代には、おそらくコインや財布は存在しませんでした。 しかし、そこには、未知の数のアイテムを保管できる保管庫の役割に最適な、山盛りのほか、ポットやバスケットもありました。 メソポタミア、インド、中国、ギリシャの古代の数学の問題では、庭のクジャクの数、群れの雄牛の数、財産を分割するときに考慮されるものの全体を未知の数量で表していました。 会計学の十分な訓練を受けた筆記者、役人、修練者 秘密の知識司祭たちはそのような任務に非常にうまく対処しました。

私たちに届いた情報源は、古代の科学者がいくつかの物を所有していたことを示しています。 一般的なテクニック未知の量の問題を解決します。 しかし、パピルスや粘土板にはこれらの技術についての記述は一枚もありません。 著者らは、数値計算に対して、「見てください!」、「こうしてください!」、「正しい計算結果が見つかりました」などの軽率なコメントを添えて提供することしかありませんでした。 この意味で、例外は、ギリシャの数学者アレクサンドリアのディオファントス (3 世紀) の「算術」です。これは、方程式を構成するための、解の体系的な提示を伴う問題のコレクションです。

しかし、広く知られるようになった最初の問題解決マニュアルは、9 世紀のバグダッドの科学者の著作でした。 ムハンマド・ビン・ムーサ・アル・フワリズミー。 この論文のアラビア語名「Kitab al-jaber wal-mukabala」（「回復と反対の書」）に由来する「al-jabr」という言葉は、時が経つにつれてよく知られる「代数」という言葉に変わりました。フワリズミの研究自体は、方程式を解く科学の発展における出発点となりました。

対数方程式と不等式

1. 対数方程式

対数符号の下または底に未知数を含む方程式を対数方程式と呼びます。

最も単純な対数方程式は次の形式の方程式です。

ログ ある バツ = b . (1)

ステートメント 1. If ある > 0, ある≠ 1、任意の実数に対する式 (1) b独自のソリューションを持っています バツ = ab .

例 1. 方程式を解きます。

a)ログ2 バツ= 3、b) log 3 バツ= -1、c)

解決。 ステートメント 1 を使用すると、次の結果が得られます。 バツ= 2 3 または バツ= 8; b) バツ= 3 -1 または バツ= 1 / 3 ; c)

または バツ = 1.

対数の基本的な性質を示しましょう。

P1. 基本的な対数恒等式:

どこ ある > 0, ある≠ 1 および b > 0.

P2。 正の係数の積の対数 合計に等しいこれらの係数の対数:

ログ ある N 1・ N 2 = ログ ある N 1 + ログ ある N 2 (ある > 0, ある ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

コメント。 もし N 1・ N 2 > 0 の場合、プロパティ P2 は次の形式になります。

ログ ある N 1・ N 2 = ログ ある |N 1 | +ログ ある |N 2 | (ある > 0, ある ≠ 1, N 1・ N 2 > 0).

P3. 2 つの正の数の商の対数は、被除数と除数の対数の差に等しい

(ある > 0, ある ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

コメント。 もし

, (これは同等です N 1 N 2 > 0) の場合、プロパティ P3 は次の形式になります。 (ある > 0, ある ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. 正の数の累乗の対数は、指数とこの数値の対数の積に等しくなります。

ログ ある N k = kログ ある N (ある > 0, ある ≠ 1, N > 0).

コメント。 もし k - 偶数 (k = 2s）、 それ

ログ ある N 2s = 2sログ ある |N | (ある > 0, ある ≠ 1, N ≠ 0).

P5. 別の拠点に移動するための計算式:

(ある > 0, ある ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

特に場合 N = b、 我々が得る

(ある > 0, ある ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

プロパティ P4 と P5 を使用すると、次のプロパティを簡単に取得できます。

(ある > 0, ある ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (ある > 0, ある ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4) (ある > 0, ある ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

そして、(5) の場合 c- 偶数 ( c = 2n)、発生します

(b > 0, ある ≠ 0, |ある | ≠ 1). (6)

主な物件を列挙します 対数関数 f (バツ) = ログ ある バツ :

1. 対数関数の定義範囲は正の数の集合です。

2. 対数関数の値の範囲は実数の集合です。

3. いつ ある> 1 対数関数は厳密に増加しています (0< バツ 1 < バツ 2ログ ある バツ 1 < logある バツ 2)、0で< ある < 1, - строго убывает (0 < バツ 1 < バツ 2ログ ある バツ 1 > ログ ある バツ 2).

4.ログ ある 1 = 0 とログ ある ある = 1 (ある > 0, ある ≠ 1).

5. もし ある> 1 の場合、次の場合、対数関数は負になります。 バツ(0;1) で正の値 バツ(1;+∞)、0 の場合< ある < 1, то логарифмическая функция положительна при バツ (0;1) および負の値 バツ (1;+∞).

6. もし ある> 1 の場合、対数関数は上に凸であり、次の場合 ある(0;1) - 下に凸。

次のステートメント (例を参照) は、対数方程式を解くときに使用されます。

対数方程式を解く。 パート1。

対数方程式は、対数の符号の下 (特に対数の底) に未知数が含まれる方程式です。

もっとも単純な 対数方程式の形式は次のとおりです。

対数方程式を解く対数から対数の符号の下の式への移行が含まれます。 ただし、このアクションにより範囲が拡大されます 許容可能な値方程式が崩れ、無関係なルートが出現する可能性があります。 外来根の出現を避けるため、次の 3 つの方法のいずれかを実行できます。

1. 同等の遷移を行う元の方程式から以下を含む系へ

どちらの不等式かより単純かに応じて。

方程式の対数の底に未知数が含まれる場合:

次にシステムに移動します。

2. 方程式の許容可能な値の範囲を別途見つけます、方程式を解き、見つかった解が方程式を満たすかどうかを確認します。

3. 方程式を解いてから、 チェック：見つかった解を元の方程式に代入し、正しい等式が得られるかどうかを確認します。

いかなる複雑さのレベルの対数方程式も、最終的には常に最も単純な対数方程式に帰着します。

すべての対数方程式は 4 つのタイプに分類できます。

1 。 対数の 1 乗のみを含む方程式。 変形と使用の助けを借りて、それらは形になります。

例。 方程式を解いてみましょう:

対数記号の下の式を等価にしてみましょう。

方程式の根が次を満たすかどうかを確認してみましょう。

はい、満足です。

答え: x=5

2 。 1 以外の累乗の対数を含む方程式 (特に分数の分母)。 このような方程式は次のように解くことができます。 変数の変更を導入する.

例。方程式を解いてみましょう:

ODZ 方程式を見つけてみましょう。

方程式には対数の二乗が含まれているため、変数を変更することで解くことができます。

重要！ 置換を導入する前に、対数の特性を使用して、方程式の一部である対数を「ブリック」に「分解」する必要があります。

対数を「分解」するときは、対数の特性を注意深く使用することが重要です。

さらに、ここにはもう 1 つの微妙な点があります。よくある間違いを避けるために、中間の等式を使用します。対数の次数を次の形式で書きます。

同じく、

結果の式を元の式に代入してみましょう。 我々が得る：

ここで、未知数が の一部として方程式に含まれていることがわかります。 代替品を紹介しましょう: 。 任意の実数値を取ることができるため、変数には制限を課しません。

このレッスンでは、対数に関する基本的な理論的事実を確認し、最も単純な対数方程式を解くことを検討します。

中心となる定義、つまり対数の定義を思い出してみましょう。 それは決断に関係する 指数方程式。 この方程式には根が 1 つあり、a を底とする b の対数と呼ばれます。

意味：

底 a に対する b の対数は、b を得るために底 a を累乗する必要がある指数です。

思い出させてみましょう 基本対数恒等式.

式（式１）は式（式２）の根となる。 x の代わりに式 1 の値 x を式 2 に代入し、主対数恒等式を取得します。

したがって、それぞれの値が値に関連付けられていることがわかります。 b を x()、c を y で表すと、対数関数が得られます。

例えば：

対数関数の基本的な性質を思い出してみましょう。

ここでもう一度注意してください。対数の下では、対数の底として厳密に正の式が存在する可能性があります。

米。 1. 底が異なる対数関数のグラフ

関数のグラフは黒で表示されます。 米。 1. 引数がゼロから無限大に増加すると、関数はマイナスからプラスの無限大に増加します。

関数のグラフは赤色で表示されます。 米。 1.

この関数のプロパティ:

ドメイン: ;

値の範囲: ;

この関数は、その定義領域全体にわたって単調です。 単調に（厳密に）増加すると、 より高い値引数は関数の大きい方の値に対応します。 単調に (厳密に) 減少する場合、引数のより大きな値は関数のより小さな値に対応します。

対数関数の性質は、さまざまな対数方程式を解く鍵となります。

最も単純な対数方程式を考えてみましょう。他のすべての対数方程式は、原則として、この形式に変換されます。

対数の底と対数自体が等しいので、対数の下の関数も等しくなりますが、定義の領域を見逃してはなりません。 対数は立つことしかできない 正数、 我々は持っています：

関数 f と g が等しいことがわかりました。そのため、ODZ に準拠するには、いずれか 1 つの不等式を選択するだけで十分です。

したがって、方程式と不等式が存在する混合システムが得られます。

原則として、不等式を解く必要はなく、方程式を解き、見つかった根を不等式に代入してチェックを実行するだけで十分です。

最も単純な対数方程式を解く方法を定式化してみましょう。

対数の底を等しくします。

部分対数関数を等価します。

チェックを実行します。

具体的な例を見てみましょう。

例 1 - 方程式を解きます。

対数の底は最初は等しいので、部分対数式を等価にする権利があります。ODZ を忘れないでください。不等式を構成する最初の対数を選択します。

例 2 - 方程式を解きます。

この式は、対数の底が次の点で前の式と異なります。 1未満ただし、これはソリューションにはまったく影響しません。

根を見つけて不等式に代入してみましょう。

間違った不等式を受け取りました。これは、見つかったルートが ODZ を満たしていないことを意味します。

例 3 - 方程式を解きます。

対数の底は最初は等しいので、部分対数式を等価にする権利があります。ODZ を忘れないでください。不等式を構成するために 2 番目の対数を選択します。

根を見つけて不等式に代入してみましょう。

明らかに、ODZ を満たすのは最初のルートだけです。