家 / 足柄症/ レッスンのトピック: 「等差数列の最初の n 項の和を求める式。等差数列を見つけるにはどうすればよいですか? 等差数列の例と解

レッスンのトピック: 「等差数列の最初の n 項の和を求める式。等差数列を見つけるにはどうすればよいですか? 等差数列の例と解

代数を勉強するとき、中等学校(9 年生) 重要なトピックの 1 つは、幾何学的および算術的な数列を含む数列の学習です。この記事では、等差数列と解決策を含む例を見ていきます。

等差数列とは何ですか?

これを理解するには、問題の数列を定義し、後で問題を解く際に使用する基本的な公式を提供する必要があります。

算術またはは、順序付けられた有理数のセットであり、その各メンバーは、前のメンバーとは一定の値だけ異なります。この値を差分と呼びます。つまり、順序付けられた一連の数値の任意の要素とその差がわかれば、等差数列全体を復元できます。

例を挙げてみましょう。次の一連の数値は等差数列になります: 4、8、12、16、...。この場合の差は 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12) であるためです。しかし、3、5、8、12、17 という数字のセットは、その差が定数値ではないため、考慮中の数列のタイプに起因するものではなくなります (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠) 17 - 12）。

重要な公式

等差数列を使用して問題を解くために必要な基本公式を示しましょう。 a n という記号で表しましょう第n期 n は整数であるシーケンス。私たちは違いを示しますラテン文字 d. この場合、次の式が有効になります。

n 番目の項の値を決定するには、次の式が適しています: a n = (n-1)*d+a 1 。
最初の n 項の合計を求めるには、S n = (a n +a 1)*n/2 とします。

中学 3 年生で解法を使った等差数列の例を理解するには、これら 2 つの公式を覚えておくだけで十分です。検討中の種類の問題はその使用法に基づいているからです。また、進行の差は次の式で求められることも覚えておいてください: d = a n - a n-1。

例 #1: 不明なメンバーの検索

等差数列の簡単な例と、それを解くために使用する必要がある公式を示しましょう。

シーケンス 10、8、6、4、... が与えられたとすると、その中で 5 つの項を見つける必要があります。

問題の条件から、最初の 4 つの項は既知であることがわかります。 5 番目は 2 つの方法で定義できます。

まずはその差を計算してみましょう。 d = 8 - 10 = -2 となります。同様に、隣り合った他の 2 人のメンバーを選択することもできます。たとえば、d = 4 - 6 = -2 となります。 d = a n - a n-1 であることがわかっているので、d = a 5 - a 4 となり、そこから a 5 = a 4 + d が得られます。代用しましょう既知の値: a 5 = 4 + (-2) = 2。
2 番目の方法でも、問題の進行の違いに関する知識が必要となるため、最初に上に示したようにそれを決定する必要があります (d = -2)。最初の項 a 1 = 10 がわかっているので、数列の n の数式を使用します。 a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n となります。最後の式に n = 5 を代入すると、a 5 = 12-2 * 5 = 2 が得られます。

ご覧のとおり、どちらのソリューションでも同じ結果が得られました。この例では、数列の差 d は次のとおりであることに注意してください。負の値。次の各項が前の項よりも小さいため、このようなシーケンスは減少と呼ばれます。

例 #2: 進行の違い

ここで、問題を少し複雑にして、等差数列の差を見つける方法の例を示します。

一部の代数数列では、第 1 項が 6 に等しく、第 7 項が 18 に等しいことが知られています。その差を見つけて、この数列を第 7 項に復元する必要があります。

公式を使用して未知の項を決定してみましょう: a n = (n - 1) * d + a 1 。条件からの既知のデータ、つまり数値 a 1 と a 7 を代入してみましょう。18 = 6 + 6 * d となります。この式から差を簡単に計算できます: d = (18 - 6) /6 = 2。これで、問題の最初の部分の答えが得られました。

数列を第 7 項に復元するには、代数数列の定義、つまり、a 2 = a 1 + d、a 3 = a 2 + d などを使用する必要があります。その結果、シーケンス全体が復元されます: a 1 = 6、a 2 = 6 + 2=8、a 3 = 8 + 2 = 10、a 4 = 10 + 2 = 12、a 5 = 12 + 2 = 14 、a 6 = 14 + 2 = 16、a 7 = 18。

例 3: 進行状況を作成する

問題をさらに複雑にしてみましょう。ここで、等差数列をどのように見つけるかという質問に答える必要があります。次の例が考えられます。たとえば、4 と 5 という 2 つの数値が与えられます。これらの間にさらに 3 つの項が配置されるように代数列を作成する必要があります。

この問題を解き始める前に、指定された数値が将来の進行においてどの位置を占めるかを理解する必要があります。それらの間にはさらに 3 つの項があるため、a 1 = -4、a 5 = 5 となります。これを確立したら、前の問題と同様の問題に進みます。繰り返しますが、n 番目の項については、次の式を使用します。a 5 = a 1 + 4 * d が得られます。より: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25。ここで得られるのは差の整数値ではありませんが、有理数, したがって、代数級数の公式は同じままです。

次に、見つかった差を 1 に加えて、数列の欠落している項を復元しましょう。次の結果が得られます: a 1 = - 4、a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75、a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5、a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75、a 5 = 2.75 + 2.25 = 5、これらは一致しました。問題の条件とともに。

例 4: 進行の最初の項

引き続き、解を伴う等差数列の例を示してみましょう。これまでの問題では、代数級数の最初の数がわかっていました。ここで、別のタイプの問題を考えてみましょう。15 = 50 と 43 = 37 という 2 つの数字が与えられたとします。この数列がどの数字で始まるかを見つける必要があります。

これまでに使用した式は、a 1 と d の知識を前提としています。問題文では、これらの数値については何もわかっていません。それにもかかわらず、情報が入手可能な各項の式を書き留めておきます: a 15 = a 1 + 14 * d および a 43 = a 1 + 42 * d。 2 つの未知の量 (a 1 と d) が存在する 2 つの方程式を受け取りました。これは、問題が連立一次方程式を解くことに帰着することを意味します。

この系を解く最も簡単な方法は、各方程式で 1 を表し、結果の式を比較することです。最初の方程式: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; 2 番目の方程式: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d。これらの式を等価すると、50 - 14 * d = 37 - 42 * d が得られ、差は d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (小数点以下 3 桁のみが表示されます) となります。

d がわかれば、1 に対して上記の 2 つの式のいずれかを使用できます。たとえば、最初: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496。

得られた結果に疑問がある場合は、たとえば、条件で指定されている進行の 43 番目の項を決定するなどして、それを確認できます。 a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008 が得られます。小さな誤差は、計算で 1000 分の 1 への四捨五入が使用されたためです。

例 5: 金額

次に、等差数列の和の解を含むいくつかの例を見てみましょう。

次の形式の数列が与えられるとします: 1、2、3、4、...、。これらの数値の 100 の合計を計算するにはどうすればよいでしょうか?

コンピュータ技術の発展のおかげで、この問題を解決することが可能になりました。つまり、すべての数字を順番に加算することです。これは、人が Enter キーを押すとすぐにコンピュータが実行します。ただし、提示された一連の数値が代数級数であり、その差が 1 に等しいことに注意すれば、この問題は頭の中で解決できます。和の公式を適用すると、次のようになります。 S n = n * (a 1 + n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050。

興味深いことに、この問題が「ガウス」と呼ばれているのは、18 世紀初頭に、まだ 10 歳だった有名なドイツ人が頭の中で数秒でこの問題を解くことができたためです。その少年は代数列の和の公式を知りませんでしたが、数列の末尾の数字をペアで加算すると、常に同じ結果が得られる、つまり 1 + 100 = 2 + 99 になることに気づきました。 = 3 + 98 = ...、これらの合計はちょうど 50 (100 / 2) になるため、正しい答えを得るには、50 に 101 を掛けるだけで十分です。

例 No. 6: n から m までの項の和

等差数列の合計のもう 1 つの典型的な例は次のとおりです。3、7、11、15 などの一連の数値が与えられた場合、8 から 14 までの項の合計が何に等しくなるかを見つける必要があります。。

この問題は 2 つの方法で解決されます。 1 つ目は、8 から 14 までの未知の項を見つけて、それらを順番に合計することです。用語が少ないため、この方法はそれほど労力がかかりません。それにもかかわらず、より普遍的な 2 番目の方法を使用してこの問題を解決することが提案されています。

考え方は、項 m と n の間の代数級数の和の式を取得することです (n > m は整数)。どちらの場合も、合計を求める 2 つの式を作成します。

S m = m * (a m + a 1) / 2。
S n = n * (a n + a 1) / 2。

n > m であるため、2 番目の合計に最初の合計が含まれていることは明らかです。最後の結論は、これらの合計の差を取り、それに項 a m を追加すると (差を取る場合、合計 S n から減算されます)、問題に対する必要な答えが得られることを意味します。 S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2)。この式に a n と a m の式を代入する必要があります。 S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2。

結果として得られる式はやや複雑ですが、合計 S mn は n、m、a 1、および d のみに依存します。この例では、a 1 = 3、d = 4、n = 14、m = 8 です。これらの数値を代入すると、S mn = 301 となります。

上記の解決策からわかるように、すべての問題は、n 番目の項の式と最初の項のセットの合計の公式の知識に基づいています。これらの問題の解決を開始する前に、条件を注意深く読み、何を見つける必要があるかを明確に理解してから、解決策に進むことをお勧めします。

もう 1 つのヒントは、単純さを追求することです。つまり、複雑な数学的計算を使用せずに質問に答えることができる場合は、単純にする必要があります。この場合、間違いを犯す可能性は低いからです。たとえば、解決策 No. 6 の等差数列の例では、式 S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m で停止できます。問題全体を個別のサブタスクに分割します (この場合、最初に項 a n と a m を見つけます)。

得られた結果に疑問がある場合は、示されている例のいくつかで行われたように、確認することをお勧めします。私たちは等差数列を見つける方法を見つけました。それがわかれば、それほど難しいことではありません。

数列の概念は、それぞれの自然数が何らかの実数値に対応することを意味します。このような一連の数値は、任意の場合もあれば、特定の特性 (数列) を持つ場合もあります。後者の場合、シーケンスの後続の各要素 (メンバー) は、前の要素 (メンバー) を使用して計算できます。

等差数列– 隣接するメンバーが同じ数だけ互いに異なる数値のシーケンス (2 番目から始まるシリーズのすべての要素は同様の特性を持ちます)。この数値 (前の項と後の項の差) は一定であり、進行差と呼ばれます。

進行の違い: 定義

j 個の値からなるシーケンス A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j) を考えます。j は自然数 N の集合に属します。その定義によれば、数列は a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – というシーケンスです。 a(j-1) = d。値 d は、この数列の望ましい差です。

d = a(j) – a(j-1)。

ハイライト:

増加する進行。この場合、d > 0。例: 4、8、12、16、20、...
進行を減少させ、その後 d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

差分進行とその任意要素

数列の任意の 2 つの項 (i 番目、k 番目) がわかっている場合、特定のシーケンスの差は次の関係に基づいて決定できます。

a(i) = a(k) + (i – k)*d、つまり d = (a(i) – a(k))/(i-k) を意味します。

進行の違いとその前期

この式は、シーケンス要素の数がわかっている場合にのみ、未知の値を決定するのに役立ちます。

進行の差とその合計

数列の合計は、その項の合計です。最初の j 要素の合計値を計算するには、適切な式を使用します。

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j ただし、 a(j) = a(1) + d(j – 1) の場合、S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(- 1))/2)*j。

はい、はい: 等差数列はあなたにとっておもちゃではありません :)

さて、友人の皆さん、もしあなたがこの文章を読んでいるなら、内部のキャップ証拠は、あなたが等差数列が何であるかをまだ知らないが、本当に（いや、そのように：すっごい！）知りたいと思っていることを示しています。したがって、長い前置きであなたを苦しめるつもりはなく、すぐに本題に入ります。

まず、いくつかの例を示します。いくつかの数値セットを見てみましょう。

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

これらすべてのセットに共通するものは何でしょうか? 一見すると何もありません。しかし、実際には何かがあります。つまり: 次の各要素は前の要素と同じ番号だけ異なります.

自分で判断してください。最初のセットは単純に連続した番号で、次の各セットは前のセットより 1 つ大きくなります。 2 番目のケースでは、隣接する数値の差はすでに 5 ですが、この差は依然として一定です。 3 番目のケースでは、根が完全に存在します。ただし、$2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ および $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$、つまりこの場合、次の各要素は単に $\sqrt(2)$ ずつ増加します (この数値が非合理的であることを恐れないでください)。

したがって、このようなシーケンスはすべて等差数列と呼ばれます。厳密な定義を与えてみましょう。

意味。次の各数値が前の数値とまったく同じ量だけ異なる一連の数値を等差数列と呼びます。数値が異なるまさにその量は進行差と呼ばれ、ほとんどの場合、文字 $d$ で示されます。

表記法: $\left(((a)_(n)) \right)$ は進行そのもの、$d$ はその差分です。

そして、重要な注意事項がいくつかあります。まず、進行のみが考慮されます 順序付けられました数値のシーケンス: 書き込まれた順序で厳密に読み取ることが許可されており、それ以外は許可されません。番号を並べ替えたり交換したりすることはできません。

第二に、シーケンス自体は有限または無限のいずれかになります。たとえば、集合 (1; 2; 3) は明らかに有限の等差数列です。しかし、精神の中で何かを書き留める場合（1; 2; 3; 4; ...） - これはすでに終わりのない進歩。 4 の後の省略記号は、さらに多くの数字が来ることを示唆しているようです。たとえば、無限にたくさんあります。:)

また、進行状況が増加または減少する可能性があることにも注意してください。増加するもの、つまり同じセット (1; 2; 3; 4; ...) がすでに見られました。減少進行の例を次に示します。

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

わかりました、わかりました。最後の例は複雑すぎるように思えるかもしれません。しかし、残りの部分は、あなたも理解していると思います。したがって、新しい定義を導入します。

意味。等差数列は次のように呼ばれます。

次の各要素が前の要素より大きい場合は増加します。

逆に、後続の各要素が前の要素よりも小さい場合は減少します。

さらに、いわゆる「静止」シーケンスがあり、それらは同じ繰り返し番号で構成されます。たとえば、(3; 3; 3; ...)。

残る疑問は 1 つだけです。増加の進行と減少の進行をどのように区別するかです。幸いなことに、ここでのすべては数値 $d$ の符号のみに依存します。進行の違い:

$d \gt 0$ の場合、進行度は増加します。
$d \lt 0$ の場合、進行度は明らかに減少しています。
最後に、$d=0$ の場合があります。この場合、数列全体は、(1; 1; 1; 1; ...) などの同じ数字の静止したシーケンスに縮小されます。

上記の 3 つの減少数の差 $d$ を計算してみましょう。これを行うには、隣接する 2 つの要素 (たとえば、1 番目と 2 番目) を取得し、右側の数値から左側の数値を減算するだけで十分です。次のようになります。

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$。

ご覧のとおり、3 つのケースすべてで、その差は実際にはマイナスであることが判明しました。定義がほぼわかったので、今度は進行がどのように記述され、どのような特性があるかを理解します。

進行項と漸化式

シーケンスの要素は交換できないため、番号を付けることができます。

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) ））、... \右\）\]

このセットの個々の要素は、進行のメンバーと呼ばれます。これらは、最初のメンバー、2 番目のメンバーなどの番号で示されます。

さらに、すでにご存知のとおり、数列の隣接する項は次の式で関連付けられます。

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

つまり、数列の $n$ 番目の項を見つけるには、 $n-1$ 番目の項とその差 $d$ を知る必要があります。この式はリカレントと呼ばれます。この式を使用すると、前の番号 (実際には前のすべての番号) を知っているだけで任意の番号を見つけることができるからです。これは非常に不便なので、計算を最初の項と差に換算する、より巧妙な公式があります。

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

おそらく、あなたはすでにこの公式に出会ったことがあるでしょう。彼らはあらゆる種類の参考書やソリューションブックでそれを与えることを好みます。そして、賢明な数学の教科書の中で、これは最初のものの1つです。

ただし、少し練習することをお勧めします。

タスクその1。 $((a)_(1))=8,d=-5$ の場合、等差数列 $\left(((a)_(n)) \right)$ の最初の 3 項を書き留めます。

解決。したがって、最初の項 $((a)_(1))=8$ と数列の差 $d=-5$ がわかります。先ほど与えた式を使用して、$n=1$、$n=2$、$n=3$ を代入してみましょう。

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \終了(整列)\]

答え: (8; 3; −2)

それだけです！注意してください: 私たちの進歩は減少しています。

もちろん、$n=1$ を代入することはできません。最初の項はすでにわかっています。しかし、unity を代用することで、最初の項でも式が機能することを確信しました。他のケースでは、すべてが平凡な算術に終わった。

タスクその2。等差数列の第 7 項が -40 に等しく、第 17 項が -50 に等しい場合、その最初の 3 つの項を書き留めます。

解決。問題の状況を馴染みのある言葉で書いてみましょう。

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \右。\]

これらの要件を同時に満たす必要があるため、システム記号を付けました。ここで、2 番目の方程式から最初の式を引くと (システムがあるので、これを行う権利があります)、次の結果が得られることに注意してください。

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1。 \\ \終了(整列)\]

これで、進行度の違いを見つけるのがとても簡単になります。残っているのは、見つかった数値をシステムの方程式のいずれかに代入することだけです。たとえば、最初の例では次のようになります。

\[\begin(行列) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \下矢印 \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34。 \\ \エンド(行列)\]

最初の項と違いがわかったので、残りは 2 番目と 3 番目の項を見つけることです。

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36。 \\ \終了(整列)\]

準備ができて！問題は解決された。

答え: (−34; −35; −36)

私たちが発見した数列の興味深い特性に注目してください。$n$th と $m$th の項を取り、それらを相互に減算すると、数列の差に $n-m$ の数を乗算した値が得られます。

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

シンプルだけどとても有用な特性、これは必ず知っておく必要があります。その助けを借りて、多くの進行上の問題の解決を大幅にスピードアップできます。これの明確な例を次に示します。

タスクその3。等差数列の第 5 項は 8.4、第 10 項は 14.4 です。この数列の第 15 項を求めます。

解決。 $((a)_(5))=8.4$、$((a)_(10))=14.4$ であり、$((a)_(15))$ を見つける必要があるため、次の点に注意します。

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d。 \\ \終了(整列)\]

しかし、条件 $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ により、$5d=6$ となり、次のようになります。

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4。 \\ \終了(整列)\]

答え: 20.4

それだけです！連立方程式を作成したり、最初の項と差を計算したりする必要はなく、すべてがわずか数行で解決されました。

次に、別の種類の問題、つまり進行の否定的な項と肯定的な項の検索を見てみましょう。進行が増加し、その最初の項が否定的な場合、遅かれ早かれ肯定的な項がその中に現れることは周知の事実です。そしてその逆も同様です。減少進行の条件は遅かれ早かれマイナスになります。

同時に、要素を順番に通過して、この瞬間を「正面から」見つけることが常に可能であるとは限りません。多くの場合、問題は、公式を知らなければ計算に数枚の紙が必要になるような方法で書かれており、答えを見つけるまでにただ眠ってしまうだけです。したがって、これらの問題をより迅速に解決できるようにしてみましょう。

タスクその4。等差数列 -38.5 には負の項がいくつありますか。 -35.8; ...?

解決。したがって、$((a)_(1))=-38.5$、$((a)_(2))=-35.8$ となり、ここから違いがすぐにわかります。

差が正であるため、進行度が増加することに注意してください。最初の項は負であるため、実際、ある時点で正の数に遭遇するでしょう。唯一の問題は、それがいつ起こるかということです。

項の負性がどのくらいの期間 (つまり、自然数 $n$ まで) 残るかを調べてみましょう。

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \そうです。 \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15。 \\ \終了(整列)\]

最後の行については説明が必要です。したがって、$n \lt 15\frac(7)(27)$ であることがわかります。一方、数値の整数値のみ (さらに $n\in \mathbb(N)$) で満足するため、許容される最大の数値は正確に $n=15$ となり、決して 16 ではありません。。

タスクNo.5。等差数列では $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$ となります。この数列の最初の正の項の数を求めます。

これは前の問題とまったく同じ問題になりますが、$((a)_(1))$ はわかりません。しかし、隣接する項 $((a)_(5))$ と $((a)_(6))$ は既知であるため、進行の違いを簡単に見つけることができます。

さらに、標準的な公式を使用して、第 5 項から第 1 項までとその差を表現してみましょう。

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162。 \\ \終了(整列)\]

ここで、前のタスクと同様に作業を進めます。シーケンスのどの時点で正の数が現れるかを調べてみましょう。

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56。 \\ \終了(整列)\]

この不等式の最小整数解は 56 です。

注意してください: 最後のタスクでは、すべてが厳密な不等式に帰着したため、オプション $n=55$ は適していません。

単純な問題を解決する方法を学んだので、より複雑な問題に移りましょう。しかしその前に、等差数列のもう 1 つの非常に便利な特性を勉強しましょう。これにより、将来的に多くの時間を節約し、不等セルを節約できるようになります。:)

算術平均と等しいインデント

増加する等差数列 $\left(((a)_(n)) \right)$ のいくつかの連続する項を考えてみましょう。それらを数直線上にマークしてみましょう。

数直線上の等差数列の項

$((a)_(1)) ,\ ではなく、任意の用語 $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ を特にマークしました。 ((a)_(2))、\ ((a)_(3))$ などなぜなら、これから説明するルールはどの「セグメント」にも同じように機能するからです。

そしてルールはとても簡単です。漸化式を覚えて、マークされたすべての用語について書き留めてみましょう。

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \終了(整列)\]

ただし、これらの等式は別の方法で書き直すことができます。

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \終了(整列)\]

さて、それで何ですか？そして、項 $((a)_(n-1))$ と $((a)_(n+1))$ が $((a)_(n)) $ から同じ距離にあるという事実。そして、この距離は $d$ に等しくなります。 $((a)_(n-2))$ と $((a)_(n+2))$ という項についても同じことが言えます - これらは $((a)_(n) からも削除されます)$ は $2d$ に等しい同じ距離にあります。私たちは無限に続けることができますが、その意味は絵によってよく示されています

進行の条件は中心から同じ距離にあります

これは私たちにとって何を意味するのでしょうか? これは、隣接する数値がわかっていれば $((a)_(n))$ を見つけることができることを意味します。

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

私たちは、等差数列のすべての項が、隣接する項の算術平均に等しいという素晴らしいステートメントを導き出しました。さらに: $((a)_(n))$ から 1 ステップではなく、$k$ ステップずつ左右に後退することができます。その場合でも、式は正しいままです。

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

それらの。 $((a)_(100))$ と $((a)_(200))$ がわかっていれば、いくつかの $((a)_(150))$ を簡単に見つけることができます。 (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$。一見すると、この事実は何の役にも立たないように思えるかもしれません。ただし、実際には、多くの問題は算術平均を使用するように特別に調整されています。ご覧ください:

タスクその6。数値 $-6((x)^(2))$、$x+1$、および $14+4((x)^(2))$ が連続する項である $x$ の値をすべて検索します。等差数列 (示された順序で)。

解決。これらの数値は数列のメンバーであるため、算術平均条件が満たされます。中心要素 $x+1$ は、隣接する要素に関して表現できます。

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \終了(整列)\]

クラシックになりました二次方程式。その根、$x=2$ と $x=-3$ が答えです。

答え: -3; 2.

タスクNo.7。数値 $-1;4-3;(()^(2))+1$ が等差数列を形成する $$ の値を (この順序で) 見つけます。

解決。再び、隣接する項の算術平均を通じて中間項を表現してみましょう。

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \右。; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \終了(整列)\]

またまた二次方程式。ここでも、$x=6$ と $x=1$ という 2 つのルートがあります。

答え: 1; 6.

問題を解決する過程で、ひどい数字が出てきた場合、または見つかった答えの正しさについて完全に確信が持てない場合は、問題を正しく解決できたかどうかを確認できる素晴らしいテクニックがあります。

問題番号 6 で、答え 3 と 2 を受け取ったとします。これらの答えが正しいことをどのように確認できるでしょうか。それらを元の状態に接続して、何が起こるか見てみましょう。 3 つの数値 ($-6(()^(2))$、$+1$、$14+4(()^(2))$) があることを思い出してください。これらは等差数列を形成する必要があります。 $x=-3$ を代入してみましょう。

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50。 \終了(整列)\]

−54という数字が得られました。 −2; 50 と 52 の差は間違いなく等差数列です。 $x=2$ についても同じことが起こります。

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30。 \終了(整列)\]

再び進行しますが、差は 27 です。したがって、問題は正しく解決されました。 2 番目の問題をご自身で確認したい場合は、すぐに言っておきますが、そこもすべて正しいです。

一般に、最後の問題を解決しているときに、別の問題に遭遇しました。興味深い事実これも覚えておく必要があります。

3 つの数値が 2 番目の数値が最初と最後の数値の算術平均である場合、これらの数値は等差数列を形成します。

将来的には、このステートメントを理解することで、問題の状況に基づいて必要な展開を文字通り「構築」できるようになります。しかし、そのような「構築」に取り組む前に、すでに議論したことから直接派生するもう1つの事実に注意を払う必要があります。

要素のグループ化と合計

もう一度数値軸に戻りましょう。おそらくその間に、進行の何人かのメンバーがいることに注目してみましょう。他のメンバーにとっても価値があります:

数直線上にマークされた要素が 6 つあります

$((a)_(n))$ と $d$ で「左のしっぽ」を、$((a)_(k))$ と $d$ で「右のしっぽ」を表現してみます。それはとても簡単です:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d。 \\ \終了(整列)\]

ここで、次の金額が等しいことに注意してください。

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \終了(整列)\]

簡単に言うと、進行の 2 つの要素 (合計で $S$ に等しい) を開始点として考え、次にこれらの要素から反対方向 (互いに近づくか、逆に遠ざかる) にステップを開始すると、次のようになります。それから 私たちがつまずくであろう要素の合計も等しいでしょう$S$。これは、次の図で最も明確に表すことができます。

等しいインデントは同じ量を与えます

理解この事実より根本的に問題を解決できるようになります上級上で検討したものよりも困難な場合があります。たとえば、次のようなものがあります。

タスクNo.8。最初の項が 66 で、2 番目と 12 番目の項の積が可能な限り最小となる等差数列の差を求めます。

解決。知っていることをすべて書き留めてみましょう。

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min 。 \終了(整列)\]

したがって、進行の差 $d$ はわかりません。実際には、積 $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ は次のように書き換えることができるため、ソリューション全体はその違いを中心に構築されます。

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)。 \終了(整列)\]

タンク内の人々へ: 私は 2 番目の括弧から合計乗数 11 を取り出しました。したがって、目的の積は、変数 $d$ に関する二次関数になります。したがって、関数 $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ を考えます。そのグラフは上に枝がある放物線になります。括弧を展開すると、次のようになります。

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

ご覧のとおり、最高項の係数は 11 です。これは正数したがって、実際には枝が上にある放物線を扱っていることになります。

スケジュール二次関数- 放物線
注意してください: この放物線は、横軸 $((d)_(0))$ の頂点で最小値をとります。もちろん、この横軸は次のように計算できます。標準スキーム(式 $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ がありますが、目的の頂点が対称軸上にあることに注意する方がはるかに合理的です。放物線なので、点 $((d) _(0))$ は方程式 $f\left(d \right)=0$ の根から等距離になります。

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6。 \\ \終了(整列)\]

だからこそ、私はブラケットを開くことを特に急いでいませんでした。元の形では、ルートは非常に簡単に見つけることができました。したがって、横軸は平均値に等しい算術数字-66 および -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

発見された数字は何をもたらすのでしょうか? それにより、必要な製品がかかります最小値(ちなみに、 $((y)_(\min ))$ を計算したことはありません。これは必須ではありません。) 同時に、この数値は元の進行との差です。私たちは答えを見つけました。:)

答え: −36

タスクNo.9。数値 $-\frac(1)(2)$ と $-\frac(1)(6)$ の間に 3 つの数値を挿入して、これらの数値と一緒に等差数列を形成します。

解決。基本的に、最初と最後の数字がすでにわかっている 5 つの数字のシーケンスを作成する必要があります。欠落している数値を変数 $x$、$y$、$z$ で表しましょう。

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

数値 $y$ は数列の「中間」であることに注意してください。数値 $x$ と $z$、および数値 $-\frac(1)(2)$ と $-\frac から等距離にあります。 (1)(6)$。そして、$x$ と $z$ という数字からすると、この瞬間$y$ を取得できない場合、進行の終わりでは状況が異なります。算術平均を思い出してみましょう。

$y$ がわかったので、残りの数値を求めます。 $x$ は数値 $-\frac(1)(2)$ と先ほど見つけた $y=-\frac(1)(3)$ の間にあることに注意してください。それが理由です

同様の推論を使用して、残りの数を求めます。

準備ができて！ 3 つの数字がすべて見つかりました。元の数字の間に入れる順番で答えに書きましょう。

答え: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

タスクNo.10。挿入された数字の最初、2 番目、最後の数字の合計が 56 であることがわかっている場合、数字 2 と 42 の間にいくつかの数字を挿入し、これらの数字と一緒に等差数列を形成します。

解決。さらに複雑な問題ですが、これは前述のものと同じスキームに従って、算術平均によって解決されます。問題は、正確にいくつの数値を挿入する必要があるかがわからないことです。したがって、すべてを挿入した後は正確に $n$ の数値が存在し、それらの最初の数値は 2、最後の数値は 42 であると確実に仮定しましょう。この場合、必要な等差数列は次の形式で表すことができます。

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

ただし、数値 $((a)_(2))$ と $((a)_(n-1))$ は、端の数値 2 と 42 から互いに 1 ステップずつ取得されることに注意してください。つまり。シーケンスの中心に移動します。そして、これが意味するのは、

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

ただし、上に書いた式は次のように書き換えることができます。

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \終了(整列)\]

$((a)_(3))$ と $((a)_(1))$ がわかれば、進行の違いを簡単に見つけることができます。

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\右矢印 d=5。 \\ \終了(整列)\]

残っているのは、残りの項を見つけることだけです。

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \終了(整列)\]

したがって、すでに 9 番目のステップで、シーケンスの左端、つまり数値 42 に到達します。合計で、挿入する必要がある数値は 7 つだけです。 12; 17; 22; 27; 32; 37.

答え: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

進行を伴う文章の問題

結論として、比較的いくつかのことを検討したいと思います。単純な作業。そうですね、とても単純なことです。学校で数学を勉強していて、上に書かれていることを読んでいないほとんどの生徒にとって、これらの問題は難しいように思えるかもしれません。ただし、これらは OGE や数学の統一州試験で出題されるタイプの問題なので、よく理解しておくことをお勧めします。

タスクNo.11。チームは 1 月に 62 個の部品を製造し、その後の各月では前月よりも 14 個多くの部品を製造しました。チームは 11 月に何個のパーツを作成しましたか?

解決。明らかに、月ごとにリストされる部品の数は等差数列の増加を表します。さらに：

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

11 月は年の 11 番目の月なので、$((a)_(11))$ を見つける必要があります。

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

したがって、11月に202個の部品が生産されることになります。

タスクNo.12。製本ワークショップでは、1月に216冊の本を製本し、その後の各月では前月よりも4冊多く製本しました。 12月のワークショップで何冊製本しましたか？

解決。全く同じです:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

12 月は 1 年の最後の 12 月であるため、$((a)_(12))$ を探しています。

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

これが答えです。12 月には 260 冊の本が製本されます。

さて、ここまで読んでいただいた方には、急いでお祝いを申し上げたいと思います。あなたは等差数列における「若手戦士のコース」を無事に完了しました。次のレッスンに進んでいただいても問題ありません。そこでは、進行の合計の公式と、そこから得られる重要で非常に役立つ結果について学びます。

最初のレベル

算術級数。詳細な理論例付き (2019)

数列

それでは、座って数字を書き始めましょう。例えば：
任意の数字を書くことができ、好きなだけ数字を書くことができます (この場合は数字があります)。どれだけ数字を書いても、どれが 1 番目でどれが 2 番目というように最後まで言うことができ、つまり番号を付けることができます。これは数値シーケンスの例です。

数列
たとえば、私たちのシーケンスの場合:

割り当てられた番号は、シーケンス内の 1 つの番号にのみ固有です。言い換えれば、シーケンス内に 3 番目の数字は存在しません。 2 番目の数字 (th 番目の数字など) は常に同じです。
数字の付いた数を数列の第項と呼びます。

通常、シーケンス全体を何らかの文字 (たとえば、) で呼びます。このシーケンスの各メンバーは、このメンバーの番号に等しいインデックスを持つ同じ文字です: 。

私たちの場合には：

隣接する数字の差が同じで等しい数列があるとします。
例えば：

等
この数列を等差数列といいます。
「進歩」という用語は、6 世紀にローマの作家ボエティウスによって導入され、無限の数列として広い意味で理解されました。「算術」という名前は、古代ギリシャ人によって研究された連続比例の理論から移されました。

これは数値シーケンスであり、その各メンバーは、同じ数値に追加された前のメンバーと等しくなります。この数を等差数列の差といい、指定します。

どの数列が等差数列であり、どの数列が等差数列ではないのかを判断してください。

a)
b)
c)
d)

わかった？答えを比較してみましょう。
は等差数列 - b、c。
ではありません等差数列 - a、d。

与えられた数列 () に戻り、その第 3 項の値を見つけてみましょう。存在する二それを見つける方法。

1.方法

数列の第項に到達するまで、前の値に数列番号を加算できます。要約する必要があまりなく、3 つの値のみであるのは良いことです。

したがって、記述された等差数列の第 3 項はと等しくなります。

2.方法

数列の第 3 項の値を求める必要がある場合はどうすればよいでしょうか? 合計には1時間以上かかりますし、数字の足し算を間違えないわけではありません。
もちろん、数学者は等差数列の差を前の値に加算する必要がない方法を考え出しました。描かれた絵をよく見てください...あなたはすでに特定のパターンに気づいているはずです。

たとえば、この等差数列の第 3 項の値が何で構成されているかを見てみましょう。

言い換えると：

この方法で、指定された等差数列のメンバーの値を自分で見つけてみてください。

計算しましたか？メモと答えを比較してください。

等差数列の項を前の値に順次追加したとき、前の方法とまったく同じ数値が得られたことに注意してください。
この公式を「非個人化」してみましょう。一般的な形式そして次のようになります:

等差数列方程式。

等差数列は増加または減少する可能性があります。

増加中- 項の後続の各値が前の値よりも大きくなる進行。
例えば：

降順- 後続の各項の値が前の値よりも小さくなる進行。
例えば：

導出された式は、等差数列の増加項と減少項の両方の項の計算に使用されます。
実際にこれを確認してみましょう。
次の数値で構成される等差数列が与えられています。この等差数列を計算するために数式を使用した場合、その数列の番目の数が何になるかを確認してみましょう。

それ以来：

したがって、この式は減少および増加の両方の等差数列で機能すると確信しています。
この等差数列の第 3 項と第 3 項を自分で見つけてみてください。

結果を比較してみましょう。

等差数列プロパティ

問題を複雑にしてみましょう。等差数列の性質を導き出します。
次の条件が与えられたとします。
- 等差数列、値を見つけます。
「簡単だよ」と言って、すでに知っている公式に従って数え始めます。

ああ、それでは次のようにしましょう。

絶対的に正しい。最初に検索し、それを最初の数値に加算して、探しているものを取得することがわかりました。進行状況が小さな値で表される場合は、何も複雑なことはありませんが、条件に数値が指定されている場合はどうなるでしょうか。同意します、計算に間違いがある可能性があります。
ここで、何らかの公式を使用してこの問題を 1 ステップで解決できるかどうか考えてみましょう。もちろん、その通りです。それが私たちがこれから明らかにしようとしているものです。

等差数列の必要な項を次のように表します。それを見つけるための公式は既知です。これは、最初に導いた公式と同じです。
、それから：

進行の前の項は次のとおりです。
進行の次の項は次のとおりです。

進行の前後の項を要約してみましょう。

数列の前後の項の合計は、それらの間にある数列項の 2 倍の値であることがわかります。つまり、既知の前後の値を持つ累進項の値を求めるには、それらを加算して除算する必要があります。

そうです、同じ番号でした。材料を確保しましょう。進行度の値を自分で計算することは、まったく難しいことではありません。

よくやった！あなたは進歩についてほぼすべてを知っています! 伝説によると、史上最も偉大な数学者の一人、「数学者の王」カールガウスによって簡単に導き出された公式は 1 つだけです。

カールガウスが 9 歳のとき、ある教師は他のクラスの生徒の作業をチェックするのに忙しく、クラスで次のタスクを割り当てました。「（他の情報源によると）からまでのすべての自然数の合計を計算する（他の情報源によると、～を含む）」。 1分後、生徒の一人（これはカール・ガウスでした）がその課題に正しい答えを出したときの教師の驚きを想像してみてください。一方、命知らずのクラスメートのほとんどは、長い計算の末、間違った結果を受け取りました...

若きカールガウスは、あなたも簡単に気づくことができる特定のパターンに気づきました。
- 番目の項で構成される等差数列があるとします。等差数列のこれらの項の合計を見つける必要があります。もちろん、すべての値を手動で合計することもできますが、ガウスが探していたように、タスクで項の合計を求める必要がある場合はどうなるでしょうか?

私たちに与えられた進歩を描きましょう。ハイライト表示された数値をよく見て、それらを使ってさまざまな数学的演算を実行してみてください。

試してみましたか？何に気づきましたか? 右！それらの合計は等しい

さて、教えてください、私たちに与えられた進行の中で、そのようなペアは合計で何組ありますか? もちろん、それはすべての数字のちょうど半分です。
等差数列の 2 つの項の合計が等しく、類似したペアが等しいという事実に基づいて、合計は次と等しいことがわかります。
.
したがって、等差数列の最初の項の和の公式は次のようになります。

問題によっては第 3 項が分からない場合もありますが、進行の違いは分かります。第 3 項の式を和の式に代入してみます。
何を手に入れましたか？

よくやった！さて、カールガウスに出題された問題に戻りましょう。 th から始まる数値の合計が何に等しいか、および th から始まる数値の合計を自分で計算してください。

いくらもらいましたか？
ガウスは、項の合計が等しいこと、および項の合計が等しいことを発見しました。それはあなたが決めたことですか？

実際、等差数列の項の和の公式は、3 世紀に古代ギリシャの科学者ディオファントスによって証明され、この時代を通じて、機知に富んだ人々が等差数列の特性を最大限に活用していました。
たとえば、想像してみてください古代エジプトそして最も大規模工事その時 - ピラミッドの建設... 写真はその一面を示しています。

ここでの進歩はどこにあると思いますか？注意深く見て、ピラミッドの壁の各列にある砂ブロックの数のパターンを見つけてください。

なぜ等差数列ではないのでしょうか? 基礎にブロックレンガを配置した場合、1つの壁を構築するのに必要なブロックの数を計算します。モニター上で指を動かしながら数を数えないことを祈りますが、最後の公式と等差数列について話したすべてを覚えていますか?

この場合、進行は次のようになります。
等差数列の違い。
等差数列の項の数。
データを最後の式に代入してみましょう (ブロック数を 2 つの方法で計算します)。

方法1.

方法2。

そして今、モニター上で計算することができます。得られた値をピラミッド内のブロックの数と比較します。わかった？よくやった、等差数列の n 番目の項の和をマスターしました。
もちろん、基礎部分のブロックからピラミッドを構築することはできません。この条件で壁を建てるのに必要な砂レンガの数を計算してみてください。
あなたは管理しましたか？
正解はブロックです。

トレーニング

タスク:

マーシャは夏に向けて体調を整えています。彼女は毎日スクワットの回数を増やしています。最初のトレーニングセッションでスクワットを行った場合、マーシャは週に何回スクワットを行うことになりますか?
に含まれるすべての奇数の合計は何ですか。
ログを保存するとき、ロガーは各最上位層に含まれるログが前の層より 1 つ少なくなるようにログをスタックします。石積みの基礎が丸太である場合、1 つの石積みには何本の丸太が入っていますか?

答え:

等差数列のパラメータを定義しましょう。この場合
(週 = 日)。
答え： 2週間以内に、マーシャは1日1回スクワットをする必要があります。
初め奇数、最後の番号。
等差数列の違い。
ただし、の奇数の数は半分ですが、等差数列の第項を求める公式を使用してこの事実を確認してみましょう。
数字には奇数が含まれます。
利用可能なデータを式に代入してみましょう。
答え：に含まれるすべての奇数の合計は等しい。
ピラミッドに関する問題を思い出してみましょう。私たちのケースでは、各最上位層が 1 つのログだけ削減されるため、合計で多数の層が存在します。
データを式に代入してみましょう。
答え：石積みの中に丸太があります。

要約しましょう

- 隣接する数字の差が同じで等しい数字列。増加することも減少することもあります。
計算式を求める等差数列の第 3 項は、式 - で記述されます。ここで、は数列内の数値の数です。
等差数列のメンバーのプロパティ- - ここで、は進行中の数字の数です。
等差数列の項の合計は 2 つの方法で見つけることができます。

, ここで、は値の数です。

算術累進。平均レベル

数列

座って数字を書き始めましょう。例えば：

任意の数字を書くことができ、好きなだけ数字を書くことができます。しかし、どれが 1 番目でどれが 2 番目であるかなどをいつでも言うことができ、それらに番号を付けることができます。これは数列の例です。

数列は一連の番号であり、それぞれに一意の番号を割り当てることができます。

言い換えれば、各数値は特定の自然数、および一意の自然数に関連付けることができます。そして、この番号をこのセットの他の番号に割り当てることはありません。

番号が付いた番号は、シーケンスの番目のメンバーと呼ばれます。

数列の第 3 項を何らかの式で指定できると非常に便利です。たとえば、次の式は

シーケンスを設定します。

そして、式は次の順序になります。

たとえば、等差数列は数列です (ここでは最初の項が等しく、差がです)。または（、違い）。

n項式

この式をリカレントと呼びます。この式では、番目の項を見つけるために、前またはいくつか前の項を知る必要があります。

たとえば、この式を使用して数列の第 3 項を見つけるには、前の 9 項を計算する必要があります。たとえば、そうしましょう。それから：

さて、その公式が何であるかは明らかですか?

各行で、何らかの数値を加算したり、乗算したりします。どれ？非常に単純です。これは現在のメンバーの番号から次の値を引いたものです。

今はもっと便利ですよね？私たちは以下をチェックします:

自分で決めてください:

等差数列で、n 番目の項の式を求め、100 番目の項を求めます。

解決：

最初の項は等しいです。違いはなんですか？内容は次のとおりです。

(数列の連続する項の差に等しいため、差と呼ばれます)。

したがって、式は次のようになります。

この場合、100 番目の項は次と等しくなります。

からまでのすべての自然数の和は何ですか?

伝説によると、偉大な数学者カールガウスは 9 歳の少年で、この金額を数分で計算しました。彼は、最初と最後の数字の合計が同じであること、2 番目と最後から 2 番目の数字の合計が同じであること、最後から 3 番目と 3 番目の数字の合計が同じであることに気づきました。このようなペアは合計で何組ありますか? そう、ちょうど全数字の半分です。それで、

等差数列の最初の項の和の一般式は次のようになります。

例：
すべての合計を求めます二桁の数字、倍数。

解決：

その最初の番号はこれです。後続の各数値は、前の数値に加算することによって取得されます。したがって、関心のある数値は、最初の項とその差で等差数列を形成します。

この数列の第 3 項の式:

すべて 2 桁でなければならない場合、数列にはいくつの項がありますか?

非常に簡単：。

進行の最後の項は等しくなります。次に合計:

答え：。

さあ、自分で決めてください。

毎日、アスリートは前日よりも多くのメートルを走ります。初日にkm m走った場合、1週間で合計何km走ることになりますか?
自転車に乗る人は毎日、前日よりも多くのキロメートルを移動します。初日、彼は数キロ移動しました。彼は1キロメートルを移動するのに何日かかるでしょうか? 彼は旅の最終日で何キロ進むでしょうか?
店頭の冷蔵庫の価格は毎年同じ金額ずつ下がります。ルーブルで売りに出された冷蔵庫が 6 年後にルーブルで売られた場合、その冷蔵庫の価格が毎年いくら下がったかを調べてください。

答え:

ここで最も重要なことは、等差数列を認識し、そのパラメータを決定することです。この場合、(週 = 日) となります。この数列の最初の項の合計を決定する必要があります。
.
答え：
ここでは次のように与えられます: が見つかる必要があります。
明らかに、前の問題と同じ合計の公式を使用する必要があります。
.
値を代入します。
ルートが明らかに合わないので、答えは次のとおりです。
第 3 項の式を使用して、最後の 1 日に移動した経路を計算してみましょう。
(km)。
答え：
与えられた: 。探す：。
これ以上に簡単なことはありません。
（こする）。
答え：

算術累進。主な内容について簡単に説明

これは、隣接する数字の差が同じで等しい数列です。

等差数列は増加 () または減少 () することができます。

例えば：

等差数列の n 項を求める公式

は次の式で記述されます。ここで、は進行中の数字の数です。

等差数列のメンバーのプロパティ

これにより、隣接する用語がわかっている場合、数列の用語を簡単に見つけることができます (数列内の数値の数はどこにあるのか)。

等差数列の項の和

金額を確認するには次の 2 つの方法があります。

ここで、は値の数です。

私たちのレッスンのモットーは、ロシアの数学者V.P.の言葉です。エルマコワ: 「数学では公式ではなく思考プロセスを覚えるべきです。」

授業中

問題の定式化

ボードにはガウスの肖像画が描かれています。事前にメッセージを準備するという課題を与えられた教師または生徒は、ガウスが学校にいたとき、教師は生徒にすべてを合計するように頼んだと述べています。整数 1 から 100 まで。リトルガウスはこの問題を 1 分で解決しました。

質問。ガウスはどのようにして答えを得たのでしょうか?

解決策を見つける

生徒は自分の仮定を表現し、合計が 1 + 100、2 + 99 などであることに気づき、要約します。が等しい場合、ガウスは 101 に 50、つまりそのような合計の数を掛けます。言い換えれば、彼は等差数列に固有のパターンに気づきました。

和の公式の導出 n等差数列の最初の項

レッスンのテーマを黒板やノートに書き留めます。生徒は教師と一緒に式の結論を書き留めます。

させてある 1 ; ある 2 ; ある 3 ; ある 4 ; ...; あ、ん – 2 ; あ、ん – 1 ; あ、ん- 等差数列。

一次連結

1. 式 (1) を使用して、ガウス問題を解きます。

2. 式 (1) を使用して、口頭で問題を解決します (条件はボードまたはプラスのコードに書かれます)。 あ、ん) - 等差数列:

A) ある 1 = 2, ある 10 = 20. S 10 - ?

b) ある 1 = –5, ある 7 = 1. S 7 - ? [–14]

V) ある 1 = –2, ある 6 = –17. S 6 - ? [–57]

G) ある 1 = –5, ある 11 = 5. S 11 - ?

3. タスクを完了します。

与えられた: ( あ、ん) - 等差数列;

ある 1 = 3, ある 60 = 57.

探す: S 60 .

解決。和の公式を使ってみましょう n等差数列の最初の項

答え: 1800.

追加の質問です。この公式を使用して、何種類のさまざまな問題を解決できますか?

答え。 4 種類のタスク:

金額を調べる Sn;

等差数列の最初の項を見つけるある 1 ;

探す n等差数列の第項 あ、ん;

等差数列の項の数を求めます。

4. タスク No. 369(b) を完了します。

等差数列の最初の 60 項の合計を求めます ( あ、ん）、もしある 1 = –10,5, ある 60 = 51,5.

解決.

答え: 1230.

追加の質問。式を書き留めます n等差数列の第項。

答え: あ、ん = ある 1 + d(n – 1).

5. 等差数列の最初の 9 項の式を計算します ( bn),
もし b 1 = –17, d = 6.

数式を使ってすぐに計算することは可能でしょうか？

いや、9期は不明だから。

どうやって見つけますか？

式によると n等差数列の第項。

解決. b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;

答え: 63.

質問. 数列の第 9 項を計算せずに和を求めることはできますか?

問題の定式化

問題: 合計の公式を取得する n等差数列の最初の項、その最初の項とその違いを知る d.

(学生が黒板で公式を導き出す。)

第371号(a)については決定いたします。新しい式 (2):

式 (2) を口頭で確立しましょう ( タスクの条件はボードに書かれています).

(あ、ん

1. ある 1 = 3, d = 4. S 4 - ?

2. ある 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]

どのような質問が不明瞭であるかを生徒から聞き出します。

独立した仕事

オプション1

与えられた: (あ、ん) - 等差数列。

1。ある 1 = –3, ある 6 = 21. S 6 - ?

2。ある 1 = 6, d = –3. S 4 - ?

オプション 2