指数方程式を同じ次数で解きます。 指数方程式を解く。 基本

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まず、べき乗の基本公式とその性質を覚えましょう。

数値の積 あるそれ自体が n 回発生する場合、この式は a a … a=a n と書くことができます。

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

べき乗方程式または指数方程式– これらは、変数が累乗 (または指数) で表され、底が数値である方程式です。

指数方程式の例:

この例では、数字の 6 が基数であり、常に一番下にあり、変数は バツ程度または指標。

指数方程式の例をさらに挙げてみましょう。
2×*5=10
16×-4×-6=0

では、指数方程式がどのように解かれるかを見てみましょう。

簡単な方程式を考えてみましょう。

2 x = 2 3

この例は頭の中でも解けます。 x=3であることがわかります。 結局のところ、左辺と右辺を等しくするには、x の代わりに数字 3 を入れる必要があります。
では、この決定を正式に行う方法を見てみましょう。

2 x = 2 3
x = 3

このような方程式を解くために、 同一の根拠(つまり 2) 残ったものを書き留めます。これらは度です。 探していた答えが得られました。

それでは、私たちの決定を要約しましょう。

指数方程式を解くアルゴリズム:
1. 確認が必要です 同じ方程式の右と左に底があるかどうか。 理由が同じでない場合は、この例を解決するためのオプションを探します。
2. ベースが同じになった後、 同等にする度を計算し、結果として得られる新しい方程式を解きます。

次に、いくつかの例を見てみましょう。

簡単なことから始めましょう。

左側と右側の塩基は数字の 2 に等しいので、塩基を捨ててパワーを等しくできることを意味します。

x+2=4 最も単純な式が得られます。
x=4 – 2
x=2
答え: x=2

次の例では、基数が 3 と 9 で異なることがわかります。

3 3x - 9 x+8 = 0

まず、9 を右側に移動すると、次のようになります。

次に、同じベースを作成する必要があります。 9=3 2 であることがわかります。 べき乗の公式 (a n) m = a nm を使用しましょう。

3 3x = (3 2) x+8

9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 が得られます。

3 3x = 3 2x+16 これで、左側と右側の基数が同じで 3 に等しいことは明らかです。つまり、基数を破棄して次数を等しくできることを意味します。

3x=2x+16 最も単純な方程式が得られます
3x - 2x=16
x=16
答え: x=16。

次の例を見てみましょう。

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

まず最初に、ベース 2 とベース 4 を見ていきます。 そして、それらが同じである必要があります。 式 (a n) m = a nm を使用して 4 つを変換します。

4 x = (2 2) x = 2 2x

また、次の式 a n a m = a n + m も使用します。

2 2x+4 = 2 2x 2 4

方程式に次を追加します。

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

同じ理由で例を挙げました。 しかし、他の数字 10 と 24 が気になります。 よく見ると、左側に 2 2x が繰り返されていることがわかります。答えは次のとおりです。2 2x を括弧の外に置くことができます。

2 2x (2 4 - 10) = 24

括弧内の式を計算してみましょう。

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

方程式全体を 6 で割ります。

4=2 2 を想像してみましょう:

2 2x = 2 2 の基数は同じなので、それらを破棄して次数を等しくします。
2x = 2 は最も単純な方程式です。 それを 2 で割ると次のようになります
x = 1
答え: x = 1。

方程式を解いてみましょう:

9 x – 12*3 x +27= 0

変換しましょう:
9 x = (3 2) x = 3 2x

次の方程式が得られます。
3 2x - 12 3 x +27 = 0

この例では、最初の 3 つの次数が 2 番目 (ちょうど x) の 2 倍 (2x) であることがわかります。 この場合、解決できるのは、 交換方法。 数値を最小次数に置き換えます。

すると、3 2x = (3 x) 2 = t 2 となります。

方程式内のすべての x 乗を t に置き換えます。

t 2 - 12t+27 = 0
二次方程式が得られます。 判別式を使って解くと、次のようになります。
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

変数に戻る バツ.

t 1 を考えてみましょう:
t 1 = 9 = 3 x

あれは、

3 x = 9
3 x = 3 2
× 1 = 2

根が１本見つかりました。 t 2 から 2 番目のものを探しています。
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
× 2 = 1
答え: x 1 = 2; × 2 = 1。

ウェブサイトの「HELP DECIDE」セクションでご質問いただければ、必ずお答えいたします。

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装置：

• コンピューター、
• マルチメディア プロジェクター,
• 画面、
• 付録 1（パワーポイントスライドプレゼンテーション）「指数方程式を解く方法」
• 付録 2（Wordで「3つの異なるべき乗の基数」のような方程式を解く）
• 付録 3(Word での配布資料 実務).
• 付録 4(宿題用に Word で作成したプリント)。

授業中

1. 組織段階

• レッスンテーマのメッセージ（板書）、
• 10 年生から 11 年生までの一般授業の必要性:

生徒をアクティブラーニングに向けて準備する段階

繰り返し

意味。

指数方程式は、指数を持つ変数を含む方程式です (生徒の回答)。

先生のメモ。 指数方程式は超越方程式のクラスに属します。 この発音しにくい名前は、一般的に言えば、そのような方程式は数式の形では解くことができないことを示唆しています。

それらはコンピュータ上の数値的手法によってのみ近似的に解決できます。 しかし、試験課題についてはどうでしょうか? 重要なのは、試験官が分析的な解決策を可能にするような方法で問題を組み立てることです。 言い換えれば、次のことを行うことができます (そしてそうすべきです!) アイデンティティ変換、この指数方程式を最も単純な指数方程式に還元します。 この最も単純な方程式は次のように呼ばれます。 最も単純な指数方程式。 解決されつつある 対数で。

指数方程式を解く状況は、問題の作成者が特別に発明した迷路を旅することを思い出させます。 これらの非常に一般的な議論から、非常に具体的な推奨事項が導き出されます。

指数方程式を正しく解くには、次のことを行う必要があります。

1. すべての指数恒等式を積極的に知るだけでなく、これらの恒等式が定義されている変数値のセットも見つけます。これにより、これらの恒等式を使用するときに不必要な根を取得せず、さらに解を失わないようにすることができます。方程式に。

2. すべての指数関数的な恒等式を積極的に認識します。

3. 明らかに、詳細に、エラーなく、方程式の数学的変換を実行します（方程式のある部分から別の部分に項を変換し、符号を変更することを忘れずに、分数を共通の分母に戻すなど）。 これを数学的文化といいます。 同時に、計算​​自体は手作業で自動的に行われ、頭は解決策の全体的な指針について考える必要があります。 変換はできるだけ慎重かつ詳細に行う必要があります。 これだけで、間違いのない正確な決定が保証されます。 そして、覚えておいてください。小さな算術エラーによって、原理的には解析的に解くことができない超越方程式が単純に作成される可能性があります。 道に迷って迷宮の壁にぶつかってしまったことが分かりました。

4. 問題を解決する方法を知っています (つまり、解決の迷路を通るすべての道を知っています)。 各段階で正しくナビゲートするには、(意識的にまたは直感的に!) 以下を行う必要があります。

• 定義する 方程式の種類;
• 対応する型を覚えておいてください 解決方法タスク。

研究内容の一般化と体系化の段階。

教師は、コンピュータを使用して生徒と一緒に、あらゆる種類の指数方程式とその解法を検討し、まとめます。 一般的なスキーム。 (使用したトレーニング コンピュータープログラム L.Ya. Borevsky「数学コース - 2000」、PowerPoint プレゼンテーションの著者は T.N. です。 クプツォワ。）

米。 1.この図は、あらゆるタイプの指数方程式の一般的な図を示しています。

この図からわかるように、指数方程式を解く戦略は、まず、与えられた指数方程式を方程式に還元することです。 同じ度数の基底を持つ 、そしてそれから – そして 同じ程度のインジケーターを使用します。

同じ基数と指数を持つ方程式を受け取ったら、この指数を新しい変数に置き換えて、この新しい変数に関する単純な代数方程式 (通常は分数有理数または二次方程式) を取得します。

この方程式を解き、逆の代入を行うと、次のように解くことができる一連の単純な指数方程式が得られます。 一般的な見解対数を使用します。

（部分）べき乗の積のみが求められる方程式が目立ちます。 指数関数恒等式を使用すると、これらの方程式をすぐに 1 つの基底に、特に最も単純な指数方程式に還元することができます。

3 つの異なる基数を使用して指数方程式を解く方法を見てみましょう。

(教師が L.Ya. ボレフスキーによる教育用コンピューター プログラム「数学コース - 2000」を持っている場合は、当然ディスクを使用して作業しますが、そうでない場合は、そこからこのタイプの方程式のプリントアウトを各机に作成できます。以下に示します。）

米。 2.方程式を解く計画を立てます。

米。 3.方程式を解き始めます

米。 4.方程式を解き終えます。

実践的な仕事をする

方程式の種類を決定し、それを解きます。

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

レッスンのまとめ

レッスンの採点。

レッスン終了

先生のために

解答スキームを練習します。

エクササイズ：方程式のリストから、指定したタイプの方程式を選択します (表に回答番号を入力します)。

1. 3 つの異なる度数ベース
2. 2 つの異なる基数 - 異なる指数
3. 累乗の基底 - 1 つの数値のべき乗
4. 同じ基数 – 異なる指数
5. 同じ度の基底 - 同じ度の指標
6. べき乗の積
7. 2 つの異なる度数ベース - 同じ指標
8. 最も単純な指数方程式

1. (べき乗の積)

2. (同じ基数 – 異なる指数)

例:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

指数方程式の解き方

指数方程式を解くときは、それを \(a^(f(x))=a^(g(x))\) の形にするよう努めてから、指数が等しくなるように移行します。

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

例えば：\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

重要！ 同じロジックから、このような移行には 2 つの要件が続きます。
- の数 左右は同じでなければなりません。
- 左右の度数は「純粋」でなければなりませんつまり、乗算や除算などはあってはならないのです。

例えば：

方程式を \(a^(f(x))=a^(g(x))\) の形式に変換するために使用されます。

例 。 指数方程式 \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) を解きます。
解決：

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		\(27 = 3^3\) であることがわかっています。 これを考慮して方程式を変形してみます。
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		ルート \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) の性質により、 \(\sqrt(3^3)=((3^3) が得られます。 )^( \frac(1)(2))\)。 次に、次数の性質 \((a^b)^c=a^(bc)\) を使用して、 \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ を取得します。 (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2)\)。
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		\(a^b·a^c=a^(b+c)\) であることもわかっています。 これを左辺に適用すると、 \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= となります。 3^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\)。
\(3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		\(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) ということを思い出してください。 この式は次のような場合にも使用できます。 裏: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\)。 すると \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\) となります。
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)		プロパティ \((a^b)^c=a^(bc)\) を右辺に適用すると、次のようになります: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\)。
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)		これで、基数が等しくなり、干渉する係数などはなくなりました。 したがって、移行を行うことができます。
		例 。 指数方程式 \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) を解きます。 解決： \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) ここでも、反対方向のべき乗特性 \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) を使用します。 \(4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0\) ここで \(4=2^2\) を思い出してください。 \((2^2)^x・(2^2)^(0.5)-5・2^x+2=0\) 度の特性を使用して、次のように変換します。 \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\) \(2・(2^x)^2-5・2^x+2=0\) 方程式を注意深く見てみると、置換 \(t=2^x\) がそれ自体を示唆していることがわかります。 \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) ただし、 \(t\) の値が見つかったので、 \(x\) が必要になります。 X に戻り、逆の置換を行います。 \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) 負の累乗特性を使用して 2 番目の方程式を変形しましょう... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...答えが出るまで決めます。 \(x_1=1\) \(x_2=-1\) 答え : \(-1; 1\). 疑問は残ります - どの方法をいつ使用するかをどのように理解するか? これには経験が伴います。 手に入るまで使ってください 一般的な推奨事項複雑な問題を解決するには、「何をすればよいかわからない場合は、できることをしてください。」 つまり、原理的に方程式を変換する方法を探し、それを実行してみてください。何が起こったらどうなるでしょうか? 重要なことは、数学に基づいた変換のみを行うことです。 解のない指数方程式 学生がよく混乱するもう 2 つの状況を見てみましょう。 - 正の数値の累乗はゼロに等しくなります (例: \(2^x=0\))。 - 正の数は負の数の累乗に等しい (例: \(2^x=-4\))。 力技で解決してみましょう。 x が正の数の場合、x が大きくなるにつれて、全体のべき乗 \(2^x\) は増加するだけです。 \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\)。 \(x=0\); \(2^0=1\) また、によって。 マイナスの X が残ります。 プロパティ \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) を思い出して、次のことを確認します。 \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) ステップを進めるごとに数値は小さくなりますが、ゼロになることはありません。 したがって、マイナスの程度は私たちを救いませんでした。 次のような論理的な結論に達します。 正の数は、どの程度であっても正の数のままです。 したがって、上記の両方の方程式には解がありません。 基数が異なる指数方程式 実際には、互いに還元できない異なる基数を持ち、同時に同じ指数をもつ指数方程式に遭遇することがあります。 これらは次のようになります: \(a^(f(x))=b^(f(x))\)、ここで \(a\) と \(b\) は正の数です。 例えば： \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) このような方程式は、方程式のいずれかの辺で割ることによって簡単に解くことができます (通常は右辺、つまり \(b^(f(x))\ で割ります)。この方法で割ることができるのは、正の数であるためです。は任意のべき乗に対して正です (つまり、ゼロで除算しません)。次のようになります。 \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) 例 。 指数方程式 \(5^(x+7)=3^(x+7)\) を解きます。 解決： \(5^(x+7)=3^(x+7)\) ここでは、5 を 3 に、またはその逆に変換することはできません (少なくとも を使用しない限り)。 これは、 \(a^(f(x))=a^(g(x))\) という形式に到達できないことを意味します。 ただし、指標は同じです。 方程式を右側、つまり \(3^(x+7)\) で割ってみましょう (これができるのは、3 がどの程度でも 0 にならないことがわかっているからです)。 \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) ここで、プロパティ \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) を思い出し、左から逆方向に使用します。 右側では、単純に分数を減らします。 \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) 事態はこれ以上好転していないようだ。 ただし、べき乗のもう 1 つの性質を覚えておいてください。\(a^0=1\)、言い換えれば、「あらゆる数値のゼロ乗は \(1\) に等しい」ということです。 逆もまた真です。「1 は、ゼロ乗の任意の数として表すことができます。」 これを利用して、右側のベースを左側と同じにしてみましょう。 \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) 出来上がり！ 基地を撤去しましょう。 返答を書いております。 答え : \(-7\). 指数の「同一性」が明らかでない場合もありますが、指数の特性をうまく利用することでこの問題は解決されます。 例 。 指数方程式 \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) を解きます。 解決： \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) この方程式は非常に悲しいものに見えます... 基数が同じ数に減らないだけでなく (7 が \(\frac(1)(3)\) に等しくなることは決してありません)、指数も異なります。 .. ただし、左の指数デュースを使用しましょう。 \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) プロパティ \((a^b)^c=a^(b·c)\) を思い出して、左から変換します。 \(7^(2(x-2))=7^(2・(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\)。 \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) ここで、負の次数 \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) の性質を思い出して、右から変換します。 \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) ハレルヤ！ インジケーターも同じです！ すでによく知られているスキームに従って行動し、答えの前に解決します。 答え : \(2\).

講義：「指数方程式の解法」

1 . 指数方程式.

指数に未知数を含む方程式は指数方程式と呼ばれます。 最も単純なものは方程式 ax = b (a > 0、a ≠ 1) です。

1) b で< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 指数関数、解決策はありません。

2) b > 0 の場合、関数の単調性と根定理を使用すると、方程式には一意の根があります。 これを求めるには、b を b = aс、аx = bс ó x = c または x = logab の形式で表す必要があります。

代数変換による指数方程式は標準方程式につながり、これは次の方法を使用して解かれます。

１）１塩基に還元する方法。

２）評価方法。

3）グラフィック手法。

4) 新しい変数を導入する方法。

5）因数分解法。

6) 示唆的 – 電力方程式;

7) パラメーターを使用した実証。

2 . 1塩基に減らす方法。

この方法は、度数の次の特性に基づいています。2 つの度数が等しく、それらの基数が等しい場合、それらの指数は等しい、つまり、方程式を次の形式に縮小する必要があります。

例。 方程式を解きます。

1 。 3x = 81;

方程式の右辺を 81 = 34 の形で表し、元の 3 x = 34 と等価な方程式を書きましょう。 x = 4。答え: 4。

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">そして、指数 3x+1 = 3 – 5x; 8x = の式に移りましょう。 4; x = 0.5 答え: 0.5。

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

数値 0.2、0.04、√5、および 25 は 5 のべき乗を表すことに注意してください。これを利用して、元の式を次のように変形してみましょう。

, ここで 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2 となり、そこから解 x = -1 が得られます。 答え: -1。

5. 3x = 5。対数の定義により、x = log35 となります。 答え: log35。

6. 62x+4 = 33x。 2倍+8。

この方程式を 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8 の形式に書き直してみましょう。つまり、png" width="181" height="49 src="> したがって、x – 4 =0、x = 4 となります。 答え: 4.

7 。 2・3x+1 - 6・3x-2 - 3x = 9。累乗の性質を使用して、6・3x - 2・3x – 3x = 9、その後 3・3x = 9、3x+1 の形式で方程式を書きます。 = 32、つまり、x+1 = 2、x =1。 答え: 1.

問題バンクNo.1。

方程式を解きます。

テストその1。

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32×-8 = √3です。	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) ルートなし
	1) 7;1 2) 根がない 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

テストNo.2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) 根がない 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 評価方法。

根定理: 関数 f(x) が区間 I で増加 (減少) する場合、数値 a はこの区間で f がとる任意の値となり、方程式 f(x) = a は区間 I で単一の根を持ちます。

推定法を使用して方程式を解く場合、この定理と関数の単調性の性質が使用されます。

例。 方程式を解く： 1. 4x = 5 – x。

解決。 方程式を 4x +x = 5 として書き直してみましょう。

1. x = 1 の場合、41+1 = 5、5 = 5 が真になります。これは、1 が方程式の根であることを意味します。

関数 f(x) = 4x – R で増加し、g(x) = x – R で増加 => h(x)= f(x)+g(x) は、増加する関数の合計として R で増加します。この場合、x = 1 は方程式 4x = 5 – x の唯一の根です。 答え: 1.

2.

解決。 という形で方程式を書き直してみましょう。 .

1. x = -1 の場合、 , 3 = 3 は true、つまり x = -1 が方程式の根です。

2. 彼が唯一の人であることを証明します。

3. 関数 f(x) = - R で減少し、g(x) = - x – R で減少=> h(x) = f(x)+g(x) – R で減少、次の合計として機能の低下。 これは、根定理によれば、x = -1 が方程式の唯一の根であることを意味します。 答え: -1。

問題バンクNo.2。 方程式を解く

a) 4x + 1 =6 – x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. 新しい変数を導入する方法。

この方法については 2.1 項で説明します。 新しい変数の導入 (置換) は、通常、方程式の項の変換 (単純化) の後に実行されます。 例を見てみましょう。

例。 R方程式を解きます。 1. .

方程式を別の方法で書き直してみましょう: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> つまり..png" width="210" height = 「45」

解決。 方程式を別の方法で書き直してみましょう。

https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> を指定しましょう - 不適切です。

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - 無理数方程式。 留意すべき点は、

方程式の解は x = 2.5 ≤ 4 です。これは、2.5 が方程式の根であることを意味します。 答え: 2.5。

解決。 方程式を次の形式に書き直し、両辺を 56x+6 ≠ 0 で割ってみましょう。方程式が得られます。

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

二次方程式の根は t1 = 1 と t2 です。<0, т. е..png" width="200" height="24">.

解決 . という形で方程式を書き直してみましょう。

これは 2 次の等次方程式であることに注意してください。

方程式を 42x で割ると、次のようになります。

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> を置き換えてみましょう。

答え: 0; 0.5。

問題バンクNo.3。 方程式を解く

b)

G)

テストNo.3 答えの選択肢付き。 最低レベル。

A1	1) -0.2;2 2) log52 3) -log52 4) 2
A2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0。	1) 2;1 2) -1;0 3) ルートなし 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0。	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) 根がない 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

テストNo.4 答えの選択肢付き。 一般レベル。

A1	1) 2;1 2) 1/2;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) 根がありません

5. 因数分解法。

1. 方程式を解きます: 5x+1 - 5x-1 = 24。

Solution..png" width="169" height="69"> 、どこから

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2。

解決。 方程式の左側の括弧の外に 6x を、右側に 2x を入れてみましょう。 方程式 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x が得られます。

すべての x について 2x >0 であるため、解を失うことを恐れることなく、この方程式の両辺を 2x で割ることができます。 3x = 1ó x = 0 が得られます。

3.

解決。 因数分解法を使って方程式を解いてみましょう。

二項式の二乗を選択しましょう

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 は方程式の根です。

方程式 x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19。

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270。

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0.x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

テストNo.6 一般レベル。

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7。	1) 1/2 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2です。	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. 指数関数 – べき乗方程式。

指数方程式の隣には、いわゆる指数乗方程式、つまり (f(x))g(x) = (f(x))h(x) の形式の方程式があります。

f(x)>0 かつ f(x) ≠ 1 であることがわかっている場合、方程式は指数方程式と同様に、指数 g(x) = f(x) と等しくすることによって解決されます。

条件が f(x)=0 および f(x)=1 の可能性を排除しない場合、指数方程式を解くときにこれらのケースを考慮する必要があります。

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

解決。 x2 +2x-8 – これは多項式であるため、任意の x に対して意味があり、方程式が全体と同等であることを意味します。

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. パラメーターを含む指数方程式。

1. パラメータ p のどの値に対して、方程式 4 (5 – 3)·2 +4p2 – 3p = 0 (1) は一意の解を持ちますか?

解決。 置換 2x = t、t > 0 を導入すると、式 (1) は t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 の形式になります。 (2)

式(2)の判別式 D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2。

方程式 (2) に 1 つの正の根がある場合、方程式 (1) は一意の解を持ちます。 以下のような場合に可能です。

1. D = 0、つまり p = 1 の場合、方程式 (2) の形式は t2 – 2t + 1 = 0 となり、したがって t = 1 となり、方程式 (1) には一意の解 x = 0 が存在します。

2. p1 の場合、9(p – 1)2 > 0 となり、方程式 (2) には 2 つの異なる根 t1 = p、t2 = 4p – 3. 問題の条件は一連のシステムによって満たされます。

t1 と t2 をシステムに代入すると、次のようになります。

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

解決。 させて この場合、式 (3) は t2 – 6t – a = 0 の形式になります。 (4)

式 (4) の少なくとも 1 つの根が条件 t > 0 を満たすパラメータ a の値を見つけてみましょう。

関数 f(t) = t2 – 6t – a を導入しましょう。 以下のようなケースが考えられます。

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} 二次三項式 f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

ケース 2. 式 (4) は次の場合に固有の正の解を持ちます。

D = 0、a = – 9 の場合、式 (4) は (t – 3)2 = 0、t = 3、x = – 1 の形式になります。

ケース 3. 方程式 (4) には 2 つの根がありますが、そのうちの 1 つが不等式 t > 0 を満たしていません。これは、次の場合に可能です。

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

したがって、a 0 の場合、方程式 (4) は単一の正の根を持ちます。 。 この場合、方程式 (3) には一意の解が得られます。

とき< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

もし< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
a = – 9 の場合、x = – 1。

 0 の場合、

方程式 (1) と (3) を解く方法を比較してみましょう。 方程式 (1) を解くと、判別式が完全二乗となる二次方程式に変換されることに注意してください。 したがって、方程式 (2) の根は、二次方程式の根の公式を使用して直ちに計算され、その後、これらの根に関して結論が導かれました。 方程式 (3) は 2 次方程式 (4) に簡略化されており、その判別式は完全な 2 乗ではないため、方程式 (3) を解くときは、2 次三項式の根の位置に関する定理を使用することをお勧めします。そしてグラフィカルモデル。 式 (4) は Vieta の定理を使用して解くことができることに注意してください。

もっと複雑な方程式を解いてみましょう。

問題 3: 方程式を解きます

解決。 ODZ: x1、x2。

代替品を紹介しましょう。 2x = t、t > 0 とすると、変換の結果、方程式は t2 + 2t – 13 – a = 0 の形式になります。 (*) 少なくとも 1 つの根が成り立つ a の値を見つけてみましょう。式 (*) は t > 0 の条件を満たします。

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

答え: a > – 13、a  11、a  5 の場合、a – 13 の場合、

a = 11、a = 5 の場合、根はありません。

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このレッスンは、指数方程式を学び始めたばかりの人を対象としています。 いつものように、定義と簡単な例から始めましょう。

このレッスンを読んでいるということは、最も単純な方程式である 1 次方程式と 2 次方程式についてはすでに最低限の理解があると思います。 $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ など。 このような構造を解決できることは、これから説明するトピックで「行き詰まり」にならないようにするために絶対に必要です。

ということで、指数方程式。 いくつか例を挙げてみましょう。

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

それらの中には、より複雑に見えるものもあれば、逆に単純すぎるものもあります。 しかし、それらにはすべて共通点があります 重要な兆候: 彼らの表記には指数関数 $f\left(x \right)=((a)^(x))$ が含まれています。 したがって、定義を導入しましょう。

指数方程式とは、指数関数を含む方程式です。 $((a)^(x))$ という形式の式。 示された関数に加えて、そのような方程式には、多項式、根、三角法、対数などの他の代数構造を含めることができます。

はい、それでは。 定義を整理しました。 さて問題は、このくだらないことをどうやって解決するかということだ。 答えは単純でもあり、複雑でもあります。

良いニュースから始めましょう。多くの生徒を教えてきた私の経験から言えますが、ほとんどの生徒は指数方程式が同じ対数よりもはるかに簡単で、三角関数よりもはるかに簡単であると感じています。

しかし、悪いニュースがあります。時々、あらゆる種類の教科書や試験の問題を書いている人が「霊感」に襲われ、薬物で炎症を起こした脳が非常に残酷な方程式を作り始め、それを解くのが生徒だけでなく、多くの教師にとっても困難になることがあります。そういった問題に行き詰まってしまいます。

ただし、悲しいことは話さないようにしましょう。 そして、物語の冒頭で与えられた 3 つの方程式に戻りましょう。 それぞれを解決してみましょう。

最初の方程式: $((2)^(x))=4$。 さて、数字 4 を得るには、数字 2 を何乗する必要がありますか? おそらく二番目でしょうか？ 結局のところ、 $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - そして正しい数値的等価性が得られました。 確かに$x=2$です。 ありがとう、キャップ、でもこの方程式はとても簡単だったので、うちの猫でも解けました。:)

次の方程式を見てみましょう。

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

しかし、ここではもう少し複雑です。 多くの生徒は、$((5)^(2))=25$ が九九であることを知っています。 $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ は本質的に負の累乗の定義であると疑う人もいます (式 $((a)^(-n))= \ と同様ですfrac(1)(((a)^(n)))$)。

最後に、これらの事実を組み合わせると次のような結果が得られることを認識しているのは、ごく少数の選ばれた人だけです。

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

したがって、元の式は次のように書き換えられます。

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

しかし、これはすでに完全に解決可能です。 方程式の左側には指数関数があり、方程式の右側には指数関数があり、それら以外には何も存在しません。 したがって、基底を「破棄」して、愚かにも指標を同一視することができます。

私たちは、どんな学生でもたった数行で解ける最も単純な一次方程式を取得しました。 4 行で説明します。

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

最後の 4 行で何が起こっているのか理解できない場合は、必ずトピックに戻ってください。 一次方程式」と繰り返します。 なぜなら、このトピックを明確に理解していなければ、指数方程式に取り組むのは時期尚早だからです。

\[((9)^(x))=-3\]

では、どうすればこれを解決できるでしょうか? 最初に考えたのは $9=3\cdot 3=((3)^(2))$ なので、元の方程式は次のように書き換えることができます。

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

次に、べき乗を累乗するときに指数が乗算されることを思い出します。

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

そして、そのような決定に対して、私たちは正直に値する2つを受け取ります。 ポケモンのような冷静さで、私たちは 3 つの前にあるマイナス記号をこの 3 乗で送信したからです。 しかし、それはできません。 だからこそ。 3 つの異なる力を見てみましょう。

\[\begin(行列) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(行列)\]

このタブレットを編集するとき、私はできる限り倒錯しませんでした。正の度数、負の度数、さらには分数の度数も考慮しました...そうですね、少なくとも 1 度はどこにありますか? 負の数? 彼は行ってしまった！ そして、それはあり得ません。なぜなら、指数関数 $y=((a)^(x))$ は、第一に、常に次の値しか取りません。 正の値(どれだけ 1 を掛けても、2 で割っても、それは正の数です。) そして第 2 に、そのような関数の底である数値 $a$ は、定義上正の数です。

では、方程式 $((9)^(x))=-3$ をどのように解くのでしょうか? しかし、そんなことはありません。根がありません。 この意味で、指数方程式は二次方程式に非常に似ており、根がない場合もあります。 しかし、もし入っているなら 二次方程式根の数は判別式によって決まります (正の判別式 - 2 根、負 - 根なし)。指数関数ではすべてが等号の右側に依存します。

したがって、重要な結論を定式化しましょう。$((a)^(x))=b$ という形式の最も単純な指数方程式は、$b>0$ の場合にのみ根を持ちます。 この単純な事実を知れば、提案された方程式に根があるかどうかを簡単に判断できます。 それらの。 そもそもそれを解決する価値があるのか​​、それとも根が無いことをすぐに書き留める価値があるのか​​。

この知識は、より複雑な問題を解決する必要がある場合に何度も役立ちます。 とりあえず、歌詞はこれくらいにして、指数方程式を解くための基本的なアルゴリズムを勉強しましょう。

指数方程式の解き方

それでは、問題を定式化してみましょう。 次の指数方程式を解く必要があります。

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

前に使用した「単純な」アルゴリズムによれば、数値 $b$ を数値 $a$ のべき乗として表す必要があります。

さらに、変数 $x$ の代わりに式がある場合、すでに解くことができる新しい方程式が得られます。 例えば：

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2)。 \\\終了(整列)\]

そして奇妙なことに、このスキームは約 90% のケースで機能します。 では、残りの10％はどうなるのでしょうか？ 残りの 10% は、次の形式のわずかに「統合失調症的な」指数方程式です。

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

さて、3 を得るには 2 を何乗する必要がありますか? 初め？ しかし、いいえ、$((2)^(1))=2$ では十分ではありません。 2番目？ どちらもいいえ: $((2)^(2))=4$ は多すぎます。 ではどれでしょうか？

知識のある学生はおそらくすでに推測しているでしょう。このような場合、「美しく」解決できない場合、「重砲」、つまり対数が登場します。 対数を使用すると、任意の正の数は他の正の数 (1 つを除く) の累乗として表すことができることを思い出してください。

この公式を覚えていますか? 私が生徒に対数について話すとき、私はいつも警告します。この公式 (これは基本的な対数の恒等式、あるいは対数の定義でもあります) は非常に長い間頭につきまといますし、最も頻繁に「現れる」ことになります。予想外の場所。 さて、彼女は浮上しました。 方程式とこの式を見てみましょう。

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

$a=3$ が右辺の元の数値であり、$b=2$ が右辺を削減する指数関数のまさに底であると仮定すると、次のようになります。

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\終了(整列)\]

$x=((\log )_(2))3$ という少し奇妙な答えが返されました。 他のタスクでは、多くの人がそのような答えに疑問を抱き、解決策を再確認し始めるでしょう。どこかにエラーが忍び込んでいたらどうなるでしょうか? 急いで言っておきますが、ここに間違いはありません。指数方程式の根の対数はまったく典型的な状況です。 だからそれに慣れてください。:)

次に、残りの 2 つの方程式を類推して解いてみましょう。

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\終了(整列)\]

それだけです！ ちなみに、最後の答えは別の方法で書くこともできます。

対数の引数に乗数を導入しました。 しかし、この要素をベースに追加することを誰も止めません。

さらに、3 つのオプションはすべて正しいです。簡単です。 さまざまな形同じ番号のレコード。 この解決策にどれを選択して書き留めるかは、あなたが決めることです。

したがって、$((a)^(x))=b$ という形式の指数方程式を解く方法を学びました。ここで、数値 $a$ と $b$ は厳密に正です。 しかし 厳しい現実私たちの世界はとても似ています 単純な作業非常にまれに会うでしょう。 多くの場合、次のようなことに遭遇するでしょう。

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09。 \\\終了(整列)\]

では、どうすればこれを解決できるでしょうか? これはまったく解決できますか？ もしそうなら、どのようにして？

慌てないで。 これらすべての方程式は、すぐに簡単に、すでに検討した単純な式に帰着します。 代数コースで学んだいくつかのトリックを覚えておく必要があります。 そしてもちろん、学位を扱うためのルールはありません。 これについては今からお話します。:)

指数方程式の変換

最初に覚えておくべきことは、指数方程式は、それがどれほど複雑であっても、何らかの形で最も単純な方程式、つまりすでに検討済みで、解き方がわかっている方程式に還元する必要があるということです。 言い換えれば、指数方程式を解くスキームは次のようになります。

1. 元の式を書き留めます。 例: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. 何か変なことをしてください。 あるいは「方程式を変換する」というくだらないことさえあります。
3. 出力では、$((4)^(x))=4$ などの形式の最も単純な式を取得します。 さらに、1 つの初期方程式から、そのような式を一度に複数与えることができます。

最初の点ではすべてが明らかです。うちの猫でも方程式を紙に書くことができます。 3 番目の点も、多かれ少なかれ明らかになったようです。私たちはすでに上記のような方程式を大量に解いています。

しかし、2 番目の点はどうでしょうか? どのような変化ですか？ 何を何に変換しますか？ そしてどうやって？

さて、調べてみましょう。 まず、以下の点に注意していただきたいと思います。 すべての指数方程式は 2 つのタイプに分類されます。

1. 方程式は同じ底を持つ指数関数で構成されます。 例: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. 数式には、基数が異なる指数関数が含まれています。 例: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ および $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0.09。

最初のタイプの方程式から始めましょう。これらは最も簡単に解くことができます。 そして、それらを解決する際には、安定した表現を強調表示するなどのテクニックが役立ちます。

安定した式の分離

この方程式をもう一度見てみましょう。

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

何が見えますか？ 4 つは異なる程度に引き上げられます。 ただし、これらの累乗はすべて、変数 $x$ と他の数値の単純な合計です。 したがって、学位を扱うためのルールを覚えておく必要があります。

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y)))。 \\\終了(整列)\]

簡単に言うと、足し算はべき乗に変換でき、引き算は割り算に簡単に変換できます。 これらの式を方程式の度数に適用してみましょう。

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\終了(整列)\]

この事実を考慮して元の方程式を書き直して、左側のすべての項を集めてみましょう。

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -十一; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0。 \\\終了(整列)\]

最初の 4 つの項には要素 $((4)^(x))$ が含まれています。これを括弧から外してみましょう。

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11。 \\\終了(整列)\]

方程式の両辺を分数 $-\frac(11)(4)$ で割る必要があります。つまり、 基本的には、逆分数 $-\frac(4)(11)$ を掛けます。 我々が得る：

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1。 \\\終了(整列)\]

それだけです！ 元の方程式を最も単純な形に縮小し、最終的な答えを得ました。

同時に、解く過程で共通因数 $((4)^(x))$ を発見しました (さらに括弧から外しました)。これは安定した式です。 新しい変数として指定することも、単に慎重に表現して答えを取得することもできます。 いずれの場合も、解決策の重要な原則は次のとおりです。

元の方程式の中で、すべての指数関数から簡単に区別できる変数を含む安定した式を見つけます。

幸いなことに、ほぼすべての指数方程式でこのような安定した式を分離できるということです。

しかし、悪いニュースは、これらの表現は非常に扱いにくく、識別するのが非常に難しい場合があるということです。 そこで、もう 1 つ問題を見てみましょう。

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

おそらく誰かが今、「パシャ、あなたは石に投げられたのですか？」と質問するでしょう。 ここには異なる基数があります – 5 と 0.2 です。」 ただし、累乗を底 0.2 に変換してみましょう。 たとえば、小数部を通常の小数部に換算して削除してみましょう。

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

ご覧のとおり、分母にはありますが、5 という数字がまだ表示されています。 同時に指標はマイナスに書き換えられた。 そして今、そのうちの1つを思い出してみましょう 最も重要なルール度を扱う:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ 】

もちろん、ここで私は少し嘘をついていました。 完全に理解するには、ネガティブな指標を取り除くための式を次のように書く必要があるからです。

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \右))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

一方で、分数だけを扱うことを妨げるものは何もありませんでした。

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ right))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

ただし、この場合、累乗を別の累乗にできる必要があります (念のために言っておきますが、この場合、インジケーターは一緒に加算されます)。 しかし、分数を「逆にする」必要はありませんでした - おそらく、これは人によっては簡単かもしれません。:)

いずれの場合も、元の指数方程式は次のように書き換えられます。

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1。 \\\終了(整列)\]

したがって、元の方程式は、以前に検討した方程式よりもさらに簡単に解くことができることがわかります。ここでは、安定した式を選択する必要さえありません。すべてが自動的に削減されています。 $1=((5)^(0))$ ということを覚えておくだけで済み、そこから次のことが得られます。

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2。 \\\終了(整列)\]

それが解決策です！ 最終的な答えは $x=-2$ でした。 同時に、すべての計算を大幅に簡素化した 1 つのテクニックにも注目したいと思います。

指数方程式では、必ず次の式を取り除きます。 小数、通常のものに変換します。 これにより、同じ度数の基底を確認できるようになり、解決策が大幅に簡素化されます。

さあ、もっと先に進みましょう 複雑な方程式、次数を使用して互いにまったく還元できない異なる基底が存在します。

Degree プロパティの使用

特に厳しい方程式が 2 つあることを思い出してください。

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09。 \\\終了(整列)\]

ここでの主な問題は、何を根拠に与えるかが明確ではないことです。 安定した表現はどこにありますか? 同じ根拠はどこにありますか？ これはどれもありません。

しかし、別の道を進んでみましょう。 準備が整っていない場合 同一の根拠、既存の塩基を因数分解することでそれらを見つけることができます。

最初の方程式から始めましょう。

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x))。 \\\終了(整列)\]

しかし、その逆、つまり 7 と 3 から 21 を作ることもできます。これは、両方の度数の指標が同じであるため、左側で特に簡単に行うことができます。

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3。 \\\終了(整列)\]

それだけです！ 指数を積の外に取り出すと、すぐに数行で解ける美しい方程式が得られました。

次に、2 番目の方程式を見てみましょう。 ここではすべてがはるかに複雑です。

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

この場合、分数は既約であることが判明しましたが、何かが約分できる場合は、必ず約分してください。 多くの場合、すでに作業できる興味深い理由が表示されます。

残念ながら、私たちには特別なものは何も現れませんでした。 しかし、積の左側の指数が逆であることがわかります。

思い出してもらいたいのですが、インジケーターのマイナス記号を取り除くには、分数を「反転」するだけです。 さて、元の方程式を書き直してみましょう。

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9) )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100)。 \\\終了(整列)\]

2行目では単純に実行しました 一般的な指標ルールに従って括弧内の積から $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) $、後者では単純に数値 100 に分数を掛けます。

ここで、左側 (底部) と右側の数字が多少似ていることに注意してください。 どうやって？ はい、それは明らかです。それらは同じ数の累乗です。 我々は持っています：

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \右))^(2))。 \\\終了(整列)\]

したがって、方程式は次のように書き換えられます。

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\右))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

この場合、右側では、同じ基数で学位を取得することもできます。これには、単に分数を「ひっくり返す」だけで十分です。

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

私たちの方程式は最終的に次の形式になります。

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3)。 \\\終了(整列)\]

それが解決策です。 彼の主なアイデアは、たとえ異なるベースであっても、フックまたは詐欺師によって、これらのベースを同じものに還元しようとするという事実に要約されます。 これには、方程式の基本的な変換と累乗を扱うためのルールが役立ちます。

しかし、どのようなルールで、いつ使用するのでしょうか? ある方程式では両辺を何かで割る必要があり、別の方程式では指数関数の底を因数分解する必要があることをどのように理解できますか?

この質問に対する答えは経験によって明らかになるでしょう。 まずは手を試してみてください 簡単な方程式そして、徐々にタスクを複雑にしていきます。すぐにあなたのスキルは、同じ統一州試験や独立/試験作品からの指数方程式を解くのに十分なものになります。

この難しい問題を解決するために、一連の方程式をダウンロードすることをお勧めします。 独立した決定。 すべての方程式には答えがあるので、いつでも自分自身をテストできます。