入り口三角形の二等分線は、その辺を半分に分割します。 角の二等分線。 レッスンを完了する – ナレッジ ハイパーマーケット
レッスンのテーマ
角の二等分線
レッスンの目的
角の二等分線とその性質についての児童の知識を高める。
と知り合いになります 新情報角度の二等分線について。
二等分線の性質に関する定理が証明できるという生徒の知識を広げる 違う方法;
開発する 論理的思考、数理科学への関心、忍耐力、分析能力。
レッスンの目的
角の二等分線について生徒の知識を広げます。
描画ツールを使用して角の二等分線を作成するスキルを強化します。
追加で入手して、 興味深い情報このトピックにおいて;
数学の発展における定理の重要性についての情報を提供します。
問題を解決して得た知識を定着させる。
忍耐力、好奇心、そして数学を学びたいという意欲を養います。
レッスンプラン
1. 開示 主な話題角の二等分線についてのレッスン。
2. 対象となる内容の繰り返し。
3. 二等分線に関する興味深い情報。
4. 歴史的参照、ギリシャ幾何学。
5. 宿題。
角の二等分線
今日のレッスンでは、二等分線のトピックを取り上げます。 二等分線の定義を思い出してみましょう。
二等分線は、角の辺から等距離にある点の軌跡です。
簡単に言うと、二等分線とは角を半分に分ける線のことです。
角の二等分線は、角の頂点から出て、角を他の 2 つの等しい角に分割する光線です。
フランス語から翻訳された「二等分線」という言葉は、角を半分に切る、または半分に等分するものを意味します。
三角形の二等分線
角の二等分線に加えて、三角形の二等分線もあります。三角形にはそれぞれ最大 3 つの角が含まれるため、各三角形は 3 つの異なる二等分線を持つことができます。
三角形の二等分線は何ですか? 三角形の二等分線は、三角形の頂点と反対側の点を結ぶ角の二等分線のセグメントです。
三角形の二等分線には次の特徴があります。 ユニークな特性。 たとえば、反対側を他の 2 つの側に比例するセグメントに分割します。
について 直角三角形、その場合、その二等分線は正確に 鋭い角、それらが交差すると、ちょうど 45 度の角度を形成します。
さらに、三角形の二等分線は、三角形に内接する円の中心で厳密に交差するという性質を忘れてはなりません。
さて、最も興味深いのは、二等辺三角形の場合、底辺に引かれた線が二等分線、中央線、高さになるということです。 したがって、逆の法則は、中央値、高さ、三角形の 1 つの頂点から引かれた二等分線が一致する場合、二等辺三角形が得られるということです。
直角三角形と二等辺三角形についてどのような性質を覚えていますか?
二等分線の構築
角度の二等分線は、度数を使用する分度器を使用して作成されます。 二等分線の構築を開始するには、度数を半分に分割し、頂点の片側に半角の度数を置き、残りの半分が指定された角度の二等分線になります。
持っていきましょう 指定された角度、これは 90 度の度数を持ち、二等分線を使用して 45 度の 2 つの構成角を取得します。
直角は、二等分線を使用して角度を 2 つの直角に分割します。 二等分線を作成する場合、鈍角は二等分線を 2 つの鋭角に分割します。
二等分線の定義から、それが角度を二等分する光線であることがわかります。 二等分線を作成するには、角度を半分に分割する必要があることを意味します。
角の二等分線を作成するためのアルゴリズム
1. まず角の頂点を中心として辺と交わる円を描きます。
3. 交点がこの角度の内側になるように、半径を指定して 2 つの円を描きます。
4. 次に、これらの円の交点を通過するように、角度の頂点から光線を描きます。 この光線はこの角度の二等分線です。
次に、結果の光線がこの角度の二等分線であることを証明してみましょう。 3p で求めた、1 つの辺、つまり頂点から円の交点までの線分を共有する 2 つの三角形の例を考えてみましょう。
対応する辺の 2 番目のペアは、ステップ 1 で取得した、角度の頂点から円とその辺の交点までのセグメントです。
対応する辺の 3 番目のペアは、それぞれ 1p で取得されたセグメントです。 円の交点から円の交点までですが、3pで求められます。
したがって、これらのセグメントの 2 つのペアは、1 つまたは 2 つの円の半径であるため、等しくなりますが、半径は同じです。 つまり、三角形は 3 つの辺すべてで等しいということになります。 三角形が等しい場合、それらの角度は等しいことが知られています。 したがって、頂点では、2 つの新しい角度と問題の条件に従って指定された角度は等しいため、構築される光線は二等分線になります。
二等分線に関する興味深い情報
ギリシャ語から翻訳された記憶術という意味の記憶術と呼ばれる科学があることをご存知ですか。 そして、二等分線の定義をよりよく覚えておくために、二等分線は角を回って角を半分に分割するネズミであるという記憶規則があります。
アルキメデスも二等分定理を使っていたことをご存知ですか? 彼はこれを使用して、12 角形、24 角形などの半辺の長さを決定するために、底辺を辺に比例する部分に分割しました。
角の二等分線の伝説
2 つの角と二等分線、または隣接する角の形成の物語。
ある日、二つの角が同じ広場で出会った。 最古の角度は約 130 度で、最年少はわずか 50 度でした。 これはおとぎ話なので、年を度に置き換えてみましょう。 そこで彼らは会い、どちらがより良く、より重要であるかを議論し始めました。 長老は、自分が年上で賢明で、生涯で 130 度の角度でより多くのことを見てきたので、優先順位は自分の側にあると信じていました。 反対に、若い人は、自分は若いので、より強く、より回復力があると主張しました。 そして争いが永遠に続かないように、彼らはトーナメントを開催することにした。 Bisector はこれらの競技会のことを知り、同時に敵を倒し、Geometry を率いることを決意しました。
そして待ちに待ったコーナーが2つあるトーナメントの時間がやって来ました。 戦いが本格化してきたその時、バイセクターが現れ、参戦を決意した。 しかし、その後、年長のアングルが最初にバイセクターとの戦いに参加し、次に若いアングルが加わり、それでも勝利はバイセクター側に終わりました。
二セクトリックスの特性
二等分線プロパティ: 三角形では、二等分線は反対側の辺を隣接する辺に比例したセグメントに分割します。
外角の二等分線 三角形の外角の二等分線は、その辺の延長線と点で交差し、そこから辺の端までの距離は三角形の隣接する辺にそれぞれ比例します。 CBAD
二等分線の長さの公式:
三角形の反対側を二等分線で分割する線分の長さを求める公式
二等分線を二等分線の交点で分割した線分の長さの比を求める公式
問題 1. 三角形の二等分線の 1 つを、頂点から数えて 3:2 の比率で二等分線の交点で分割します。 この二等分線が描かれる三角形の辺の長さが 12 cm の場合、三角形の周囲長を求めます。
解決策 次の公式を使用して、三角形の二等分線の交点によって二等分線が分割される線分の長さの比を求めてみましょう: a + c = = 18 P ∆ ABC = a + b + c = b +(a + c) = 12 + 18 = 30。答え: P = 30cm。
タスク2。 二等分線 BD と CE ∆ ABC は点 O で交差します。AB=14、BC=6、AC=10。 O D を見つけます。
解決。 二等分線の長さを求める公式を使ってみましょう: BD = BD = = 二等分線が二等分線の交点によって分割されるセグメントの比率の公式によると、 l = となります。 2 + 1 = 合計 3 つのパーツです。
これはパート 1 OD = 答え: OD =
問題点 ∆ ABC では二等分線 AL と BK が描かれます。 AB = 15、AK =7.5、BL = 5 の場合、線分 KL の長さを求めます。 ΔABC に二等分線 AD があり、点 D を通り、AC に平行で点 E で AB と交わる線があります。 AB = 5、AC = 7 の場合、面積 ∆ ABC と ∆ BDE 。脚が 24 cm と 18 cm の直角三角形の鋭角の二等分線を求めます。 直角三角形では、鋭角の二等分線が反対側の脚を長さ4cmと5cmのセグメントに分割し、三角形の面積を求めます。
5. 二等辺三角形の底辺は 5 cm、辺は 20 cm なので、三角形の底辺の角の二等分線を求めます。 6. 二等分線を見つける 直角 a と b に等しい足を持つ三角形。 7. 辺の長さ a = 18 cm、b = 15 cm、c = 12 cm の三角形 ABC の角 A の二等分の長さを計算します。 8. 三角形 ABC の辺 AB、BC、AC の長さは次のとおりです。比率はそれぞれ2:4:5です。 内角の二等分線がその交点で分割される比率を求めます。
答え: 答え: 答え: 答え: 答え: 答え: 答え: 答え: AP = 6 AP = 10 cm KL = CP =
平均レベル
三角形の二等分線。 詳細な理論例付き (2019)
三角形の二等分線とその性質
セグメントの中点が何か知っていますか? もちろんそうでしょう。 円の中心はどうでしょうか？ 同じ。 角度の中点は何ですか? そんなことは起こらないとも言えます。 しかし、セグメントは半分に分割できるのに、角度は半分に分割できないのはなぜでしょうか? その可能性は十分にあります - 点ではないだけですが…。 ライン。
二等分線とは、角を回って角を半分に分けるネズミのことです。 したがって、二等分線の実際の定義は、次のジョークと非常によく似ています。
三角形の二等分線- これは、この角の頂点と反対側の点を結ぶ三角形の角の二等分線分です。
かつて、古代の天文学者や数学者は、二等分線の多くの興味深い特性を発見しました。 この知識により、人々の生活は大幅に簡素化されました。 建設、距離の計算、大砲の発射の調整さえも簡単になりました...これらの特性の知識は、GIA および統一州試験のタスクを解決するのに役立ちます。
これに役立つ最初の知識は、 二等辺三角形の二等分線。
ところで、これらの用語をすべて覚えていますか? それぞれがどのように違うのか覚えていますか? いいえ？ 怖くない。 今すぐそれを理解しましょう。
それで、 二等辺三角形の底辺- これは他のどの側面にも匹敵しない側面です。 写真を見て、どちら側だと思いますか？ そう、こちら側です。
中央値は、三角形の頂点から引かれ、反対側 (これも同じです) を半分に分割する線です。
「二等辺三角形の中央値」とは言っていないことに注意してください。 なぜなのかご存知ですか？ なぜなら、三角形の頂点から引かれた中央線は、どの三角形でも反対側の辺を二等分するからです。
さて、高さは上から底辺に垂直に引いた線です。 気づきましたか？ ここでも、二等辺三角形だけでなく、任意の三角形について話します。 どの三角形の高さも常に底辺に対して垂直になります。
それで、わかりましたか？ ほとんど。 二等分線、中央値、高さについてさらによく理解し、永遠に覚えておくには、それらを相互に比較し、どのように似ているか、どのように異なるかを理解する必要があります。 同時に、よりよく覚えておくためには、すべてを「人間の言語」で説明する方が良いでしょう。 そうすれば、数学の言語で簡単に操作できるようになりますが、最初はこの言語を理解できないため、すべてを自分の言語で理解する必要があります。
では、それらはどのように似ているのでしょうか? 二等分線、中央線、高度 - それらはすべて三角形の頂点から「出て」、反対側に静止し、出てくる角度または反対側で「何かをします」。 シンプルだと思いますね？
それらはどう違いますか？
- 二等分線は、それが現れる角度を半分に分割します。
- 中央線は反対側を半分に分けます。
- 高さは常に反対側に対して垂直になります。
それでおしまい。 わかりやすいですね。 そして一度理解すれば覚えられるのです。
今 次の問題。 の場合はなぜ 二等辺三角形二等分線は中央値と高さの両方ですか?
図を見て、中央値が 2 つの完全に等しい三角形に分割されていることを確認するだけです。 それだけです！ しかし、数学者は自分の目を信じたくないのです。 彼らはすべてを証明する必要がある。 怖い言葉？ そんなことはありません - シンプルです! 見てください、どちらも等しい側面を持ち、一般的には共通の側面を持っています。 (- 二等分線!) そして、2 つの三角形には 2 つの等しい辺と、それらの間に角度があることがわかります。 三角形の等号の最初の記号を思い出し (覚えていない場合はトピックを参照してください)、それゆえに = and と結論付けます。
これはすでに良好です。つまり、中央値であることが判明したということです。
しかし、それは何でしょうか？
写真を見てみましょう - 。 そして、それができました。 そう！ 最後に、万歳！ そして。
この証明は少し重いと思いましたか? 写真を見てください - 2 つの同一の三角形がそれ自体を物語っています。
いずれにしても、次のことをしっかりと覚えておいてください。
今度はもっと難しくなります: 数えましょう 任意の三角形の二等分線間の角度!心配しないでください、それはそれほど難しいことではありません。 写真を見てください:
数えてみましょう。 あなたはあれを覚えてますか 三角形の角度の合計は?
この驚くべき事実を当てはめてみましょう。
一方では、以下から。
あれは。
では、次のことを見てみましょう。
でも二等分、二等分！
以下について思い出してみましょう。
今、手紙を通して
\angle AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)
意外じゃないですか？ それは明らかになった 2 つの角の二等分線間の角度は 3 番目の角のみに依存します!
さて、私たちは 2 つの二等分線を調べました。 3人いたらどうなるの？？？ それらはすべて一点で交差するのでしょうか？
それともこうなりますか？
あなたはどのように思いますか？ そこで数学者たちは考えて考えて証明しました。
それは素晴らしいことではありませんか？
なぜこれが起こるのか知りたいですか?
つまり...2つの直角三角形: そして。 彼らは持っている：
- 一般的な斜辺。
- （二等分線だから！）
これは、角度と斜辺によることを意味します。 したがって、これらの三角形の対応する脚は等しいです。 あれは。
点が角度の側面から等しく（または等しく）離れていることを証明しました。 ポイント 1 について説明します。 次に、ポイント 2 に進みます。
なぜ 2 が正しいのでしょうか?
そして点と点を結びましょう。
これは、二等分線上にあることを意味します。
それだけです！
これらすべてを問題を解決するときにどのように適用できるでしょうか? たとえば、問題にはよく次のようなフレーズがあります。「円は角の側面に接しています...」。 そうですね、何かを見つける必要があります。
すると、すぐにそれに気づきます
そして平等を使うことができます。
3. 三角形の 3 つの二等分線が 1 点で交差します
二等分線が角の辺から等距離にある点の軌跡であるという性質から、次のステートメントが得られます。
具体的にはどのように出てくるのでしょうか？ でも見てください、2 つの二等分線は間違いなく交差しますよね?
そして、3 番目の二等分線は次のようになります。
しかし実際には、すべてがはるかに優れています。
2つの二等分線の交点を見てみましょう。 と呼びましょう。
両方ともここで何を使用しましたか？ はい 段落1、 もちろん！ 点が二等分線上にある場合、その点は角度の辺から等距離にあります。
そしてそれは起こりました。
しかし、これら 2 つの等式をよく見てください。 結局のところ、それらから、したがって、 ということがわかります。
そして今、それが登場します ポイント2: 角度の辺までの距離が等しい場合、点は二等分線上にあります...角度は何ですか? もう一度写真を見てください。
と は角度の辺までの距離であり、それらは等しいため、点は角度の二等分上にあります。 3 番目の二等分線も同じ点を通過しました。 3 つの二等分線はすべて 1 点で交差します。 そして追加のプレゼントとして、
半径 内接サークル。
(念のため、別のトピックを参照してください)。
さて、今では決して忘れることはありません:
三角形の二等分線の交点が、その三角形に内接する円の中心になります。
次の物件に行きましょう... わあ、二等分線には物件がたくさんありますね。 プロパティが増えると、二等分線問題を解決するためのツールも増えるため、これは素晴らしいことです。
4. 二等分線と平行度、隣接する角の二等分線
二等分線が角度を半分に分割するという事実は、場合によっては完全に予期しない結果につながります。 例えば、
ケース1
すごいですよね？ なぜそうなるのかを理解しましょう。
一方で、二等分線を描きます。
しかしその一方で、交差する角度もあります（テーマを思い出してください）。
そして今、それが判明しました。 真ん中を捨てる: ! -二等辺です！
ケース2
三角形を想像してください（または写真を見てください）
その先の面を続けてみましょう。 これで 2 つの角度ができました。
- - 内側のコーナー
- - 外側の角は外側ですよね？
それで、今度は誰かが一度に1つではなく2つの二等分線、つまり賛成と賛成の両方を描きたいと考えました。 何が起こるか？
うまくいくでしょうか？ 長方形！
驚くべきことに、まさにその通りです。
それを理解しましょう。
金額はいくらだと思いますか？
もちろん、結局のところ、それらはすべて一緒になって直線になるような角度を作ります。
ここで、 と が二等分線であることを思い出して、角度の内側に正確に があることを確認してください。 半分 4 つの角度すべての合計から: そして - - つまり、正確に。 方程式として書くこともできます。
信じられないことですが、本当です。
三角形の内角と外角の二等分線間の角度は等しい。
ケース3
ここでは、内隅と外隅のすべてが同じであることがわかりますか?
あるいは、なぜこのようなことが起こるのかもう一度考えてみましょう。
繰り返しになりますが、隣接するコーナーについては、
(平行基底に対応するものとして)。
そしてまた、彼らは仲直りする ちょうど半分合計から
結論：問題に二等分線が含まれている場合 隣接角または二等分線 関連する平行四辺形または台形の角度、そしてこの問題では 確かに直角三角形、または場合によっては長方形全体が関係します。
5. 二等分線と反対側
三角形の角の二等分線は、単に何らかの方法でではなく、特別で非常に興味深い方法で反対側を分割することがわかります。
あれは：
驚くべき事実ですね。
これからこの事実を証明しますが、準備をしてください。以前よりも少し難しくなります。
再び――「宇宙」への出口――追加編成！
まっすぐ行きましょう。
何のために？ それでは見てみましょう。
二等分線を線と交差するまで続けてみましょう。
これは見覚えのある写真ですか？ はい、はい、はい、ポイント 4 のケース 1 とまったく同じです。(- 二等分線)
横向きに寝そべる
それで、それも。
次に、三角形とを見てみましょう。
彼らについて何が言えますか?
それらは似ています。 そうですね、それらの角度は垂直方向の角度と同じです。 それで、2つのコーナーで。
今、私たちは関係者の関係を書く権利を持っています。
そして、短い記法で次のようになります。
おお！ 何かを思い出しますよね？ これが私たちが証明したかったことではないでしょうか？ はい、はい、まさにその通りです！
「船外活動」がいかに素晴らしいものであるかがわかります。追加の直線を構築するということです。それがなければ何も起こらなかったでしょう。 そして、私たちはそれを証明しました
これで安心して使えるようになりました！ 三角形の角の二等分線のもう 1 つの性質を見てみましょう。心配しないでください。最も難しい部分は終わりました。簡単になります。
それはわかります
定理 1:
定理 2:
定理 3:
定理 4:
定理5:
定理6:
ソロキナ・ヴィカ
三角形の二等分線の性質の証明が与えられ、問題解決への理論の適用が検討されます。
ダウンロード：
プレビュー:
オクチャブリスキー地区自治体自治区サラトフ行政教育委員会 教育機関ライセウム No. 3 にちなんで名付けられました。 A.S.プーシキン。
地方自治体の科学的実践的
会議
"最初のステップ"
主題： 二等分線とそのプロパティ。
完成した作品：8年生
ソロキナ・ヴィクトリア科学指導者：最高カテゴリーの数学教師ポポワ・ニーナ・フェドロヴナ。
サラトフ 2011
- タイトルページ………………………………………………………………1
- 目次…………………………………………………………2
- 概要と目的……………………………………………………………… ..3
- 二等分線の性質の考慮
- 3 番目の点の軌跡…………………………………….3
- 定理1………………………………………………………………4
- 定理2………………………………………………………………4
- 三角形の二等分線の主な性質:
- 定理 3……………………………………………………………………4
- タスク 1……………………………………………………………………………….7
- タスク 2……………………………………………………………….8
- タスク 3…………………………………………………………………………9
- タスク 4……………………………………………………………….9-10
- 定理4………………………………………………………………10-11
- 二等分線を見つけるための公式:
- 定理 5………………………………………………………….11
- 定理 6………………………………………………………….11
- 定理 7………………………………………………………….12
- タスク 5………………………………………………………………12-13
- 定理 8………………………………………………………….13
- タスク 6……………………………………………………………….14
- タスク 7……………………………………………………………………14-15
- 二等分線を使用した基本方向の決定……………………15
- 結論と結論…………………………………………………………..15
- 参考文献リスト……………………………………..16
二等分線
幾何学の授業で相似三角形について勉強しているときに、二等分線と対辺の関係についての定理の問題に遭遇しました。 二等分線のトピックには何か興味深いものがありそうな気がしますが、私はこのトピックに興味があり、さらに深く研究したいと思いました。 結局のところ、二等分線には、さまざまな問題の解決に役立つ驚くべき特性が非常に豊富にあります。
このトピックを検討すると、幾何学の教科書には二等分線の性質についてほとんど記載されていないことがわかりますが、試験では二等分線を知っていれば、問題をはるかに簡単かつ迅速に解くことができます。 さらに、GIA および統一州試験に合格するには、現代の学生は独学する必要があります。 追加資料学校のカリキュラムに。 だからこそ、私は二等分線のトピックをより詳細に研究することにしました。
二等分線（ラテン語の bi-「double」と sectiono から） 角度の「切断」) は、角度の頂点から始まり、角度を 2 つの等しい部分に分割する光線です。 角の二等分線（およびその延長線）は、角の辺（またはその延長線）から等距離にある点の軌跡です。)
点の 3 番目の軌跡
図F 何らかの性質を持つ点の軌跡（点の集合）ですあ、 2 つの条件が満たされる場合:
- 点が図形に属しているという事実から F、 それはプロパティを持っているということになります A;
- 点が性質を満たすという事実からあ、 それは図に属するということになります F.
幾何学で考慮される最初の点の軌跡は円、つまり円です。 1 つの固定点から等距離にある点の軌跡。 2 番目はセグメントの垂直二等分線、つまり セグメントの端から等距離にある点の軌跡。 そして最後に、3 番目の二等分線は、角の辺から等距離にある点の幾何学的軌跡です。
定理 1:
二等分点は辺から等距離にあります彼は隅っこです。
証拠：
R にしてみましょう - 二等分点 A. 要点から落としましょうP 垂線 RVと コーナーの側面にあるPC。 すると、VAR = SAR 斜辺と鋭角による。 したがって、PB = PC
定理 2:
点 P が角 A の辺から等距離にある場合、点 P は二等分線上にあります。.
証明: PB = PC => VAR = CAP => BAP= CAP => AR は二等分線です。
基本的な幾何学的事実の中には、二等分線が反対側を反対側に関連して分割するという定理があります。 この事実は長い間影の中にありましたが、二等分線に関するこの事実やその他の事実を知っていれば、解決がはるかに簡単になる問題がいたるところにあります。 私は興味を持ち、この二等分線の特性をさらに調査することにしました。
三角形の角の二等分線の主な性質
定理3. 二等分線は、隣接する辺に対して三角形の反対側の辺を分割します。.
証拠1:
与えられた: AL - 三角形ABCの二等分線
証明する：
証明: F を 線の交点アル そしてその点を通る直線で AC側と平行。
したがって、BFA = FAC = BAF となります。 したがって、B.A.F. 二等辺三角形と AB = BF。 三角形の相似から ALCとFLBを取り揃えております
比率
どこ
証拠2
直線ALと底辺ABに平行な点Cを通る直線との交点をFとする。 その後、推論を繰り返すことができます。
証拠3
K と M を直線上に下ろした垂線の底辺とします。 B 点と C 点からの AL それぞれ。 三角形 ABL と ACL は 2 つの角度で相似です。 それが理由です
。 そして、BKL と CML の類似性から、次のことがわかります。
ここから
証明4
エリア法を使ってみましょう。 三角形の面積を計算してみましょう ABLとACL ふたつのやり方。
ここから。
証拠5
α= あなた、φ= とします。 BLA。 三角形ABLの正弦定理による
そして三角ACLでは.
なぜなら 、
次に、等式の両辺をもう一方の対応する部分に分割すると、次のようになります。.
問題 1
与えられる: 三角形 ABC では、VC は二等分線、BC = 2、KS = 1、
解決：
問題 2
与えられる:
足 24 と 18 を持つ直角三角形の鋭角の二等分線を求めます。
解決：
AC 側 = 18、BC 側 = 24 とすると、
午前。 - 三角形の二等分線。
私たちが見つけたピタゴラスの定理を使用すると、
AB = 30 であること。
それ以来
同様に 2 番目の二等分線を求めてみましょう。
答え：
問題 3
直角三角形で ABCと直角B 角の二等分線あ 横を横切る紀元前
D点にて。 BD = 4、DC = 6 であることが知られています。
三角形の面積を求めます ADC
解決：
三角形の二等分線の性質により
AB = 2 x、AC = 3 x と表します。 定理により
ピタゴラス BC 2 + AB 2 = AC 2、または 100 + 4 x 2 = 9 x 2
ここから、次のことがわかります。 x = 次に AB = 、S ABC=
したがって、
問題4
与えられる:
二等辺三角形で ABC 側 AB 10 に等しい、底 ACは12です。
角の二等分線 AとC 点で交差する D. BDを探します。
解決：
三角形の二等分線は次の点で交わるので、
1 点の場合、BD は B の二等分になります。 BDを続けましょう との交差点へ点MのAC。 このとき、M は AC、BM AC の中点です。 それが理由です
CDだから - 三角形の二等分線 BMCの場合
したがって、。
答え：
定理4. 三角形の 3 つの二等分線は 1 点で交差します。
実際、最初に 2 つの二等分線、たとえば AK の交点 P を考えてみましょう。 1とVK2 。 この点は二等分線上にあるため、辺 AB および AC から等距離にあります。A、二等分線に属するため、辺 AB および BC から等距離にあります。B. これは、辺 AC と辺 BC から等距離にあるため、第 3 の二等分線 SC に属することを意味します。 3 つまり、点 P では 3 つの二等分線がすべて交差します。
二等分線を求める公式
定理5: (二等分線の最初の公式): 三角形 ABC の場合、線分 AL は二等分線です。 A、すると、AL² = AB・AC - LB・LC。
証拠： 線 AL と三角形 ABC に外接する円との交点を M とします (図 41)。 アングルBAM 角度に等しい条件別MAC。 角度 BMA と BCA は、同じ弦によって定められる内接角として一致します。 これは、三角形 BAM と LAC が 2 つの角度で相似であることを意味します。 したがって、AL:AC = AB:AM となります。 これは、AL・AM = AB・AC AL・(AL + LM) = AB・AC AL² = AB・AC - AL・LM = AB・AC - BL・LC を意味します。 Q.E.D.
定理6: 。 (二等分線の 2 番目の公式): 辺 AB=a、AC=b、および辺を持つ三角形 ABC においてA が 2α および二等分線 l に等しい場合、次の等式が成り立ちます。
l = (2ab / (a+b)) cosα。
証拠 : ABC を与えられた三角形、AL をその二等分線、a=AB、b=AC、l=AL とします。 それからS ABC = S ALB + S ALC 。 したがって、ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα となります。 定理は証明されました。
定理7: a、b が三角形の辺、Y がそれらの間の角度である場合、はこの角度の二等分線です。 それから.
三角形の内角は三角形の二等分線と呼ばれます。
三角形の角の二等分線は、その頂点と、二等分線と三角形の反対側の辺との交点との間の線分としても理解されます。
定理8.
三角形の 3 つの二等分線は 1 点で交差します。
実際、最初に 2 つの二等分線、たとえば AK 1 と VK 2 の交点 P を考えてみましょう。 この点は、角 A の二等分線上にあるため、辺 AB および AC から等距離にあり、角 B の二等分線に属するため、辺 AB および BC からも等距離にあります。これは、点からの距離が等しいことを意味します。辺ＡＣおよび辺ＢＣは、第３の二等分線ＣＫ ３ に属する。すなわち、点Ｐにおいて、３つの二等分線はすべて交差する。
三角形の内角と外角の二等分線の性質
定理9.
三角形の内角の二等分線は、反対側の辺を隣接する辺に比例した部分に分割します。 
証拠。 三角形 ABC とその角の二等分線 B について考えてみましょう。頂点 C を通り、二等分線 BC に平行な直線 CM を、点 M で辺 AB の延長線と交差するまで引きます。 VC は角 ABC の二等分線であるため、∠ ABC = ∠ KBC となります。 さらに、平行線の対応する角度として ∠ АВК=∠ ВСМ、平行線の横方向の角度として ∠ КВС=∠ ВСМ となります。 したがって、∠ ВСМ=∠ ВМС、したがって三角形 ВСМ は二等辺であるため、ВС=ВМ となります。 角の辺と交差する平行線に関する定理によれば、AK:K C=AB:VM=AB:BC が得られ、これを証明する必要があります。
定理10
三角形 ABC の外角 B の二等分線も同様の性質を持っています。頂点 A と C から、辺 AC の延長線と二等分線との交点 L までの線分 AL と CL は、三角形の辺に比例します。 :アル: C.L.=AB:BC。
この性質は、前の性質と同じ方法で証明されます。図では、二等分線 BL に平行に補助線 SM が引かれています。 角 BMC と BC は等しい、つまり三角形 BMC の辺 BM と BC が等しいことを意味します。 そこから、AL:CL=AB:BC という結論に達します。
定理 d4。
(二等分線の最初の公式): 三角形 ABC の線分 AL が角 A の二等分線である場合、AL? = AB・AC - LB・LC。
証拠：線 AL と三角形 ABC に外接する円との交点を M とします (図 41)。 慣例により、角度 BAM は角度 MAC と等しくなります。 角度 BMA と BCA は、同じ弦によって定められる内接角として一致します。 これは、三角形 BAM と LAC が 2 つの角度で相似であることを意味します。 したがって、AL:AC = AB:AM となります。 つまり、AL・AM = AB・AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>アル？ = AB・AC - AL・LM = AB・AC - BL・LC。 それは証明される必要があったことです。 注: 円内で交差する弦のセグメントと内接角に関する定理については、「円と円」のトピックを参照してください。
定理 d5.
(二等分線の 2 番目の公式): 辺 AB=a、AC=b、角 A が 2 に等しい三角形 ABC では? と二等分線 l の場合、等式が成り立ちます。
l = (2ab / (a+b)) cos?。
証拠： ABC を与えられた三角形、AL をその二等分線 (図 42)、a=AB、b=AC、l=AL とします。 すると、S ABC = S ALB + S ALC となります。 したがって、アブシン2? =アルシン? +blsin?<=>2アブシン?・コス? = (a + b) lsin?<=>l = 2・(ab / (a+b))・cos?。 定理は証明されました。