入り口対数を使った簡単な方程式の解き方。 対数方程式を解く。 ザ・コンプリートガイド (2019)
対数方程式。 単純なものから複雑なものまで。
注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）
対数方程式とは何ですか?
これは対数を使った方程式です。 びっくりしましたよね？）それでは、はっきりさせておきます。 これは、未知数 (x) とそれを含む式を求める方程式です。 対数の内側。そしてそこだけ！ 大事です。
ここではいくつかの例を示します 対数方程式 :
log 3 x = log 3 9
log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)
log x+1 (x 2 +3x-7) = 2
lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)
まあ、わかります... )
注記！ X が付いた最も多様な表現が見つかります。 もっぱら対数内で。突然、方程式のどこかに X が現れた場合 外、 例えば：
log 2 x = 3+x、
これは方程式になります 混合タイプ。 このような方程式には、それを解くための明確なルールがありません。 今のところは考慮しません。 ちなみに、対数の中に次の方程式があります。 数字だけ。 例えば：
何と言えばいい？ これに出会えたらラッキー！ 数値の対数は ある数字。それだけです。 このような方程式を解くには、対数の性質を知っていれば十分です。 特別なルールに関する知識、解決に特化したテクニック 対数方程式、ここでは必要ありません。
それで、 対数方程式とは何ですか- 私たちはそれを理解しました。
対数方程式を解くにはどうすればよいですか?
解決 対数方程式- 事は実際にはそれほど単純ではありません。 したがって、私たちのセクションは 4 つです...あらゆる種類の関連トピックに関するかなりの量の知識が必要です。 さらに、これらの式には特別な特徴があります。 そして、この特徴は対数方程式を解く際の主要な問題と言っても差し支えないほど重要です。 この問題については、次のレッスンで詳しく扱います。
今のところは心配しないでください。 僕らは正しい道を行くよ 単純なものから複雑なものまで。の上 具体的な例。 重要なのは、単純なことを深く掘り下げ、リンクをたどることを怠らないことです。リンクをそこに置いたのには理由があります。そうすればすべてがうまくいきます。 必然的に。
最も基本的で最も単純な方程式から始めましょう。 それらを解決するには、対数の概念を理解することをお勧めしますが、それ以上のことはありません。 全く分からない 対数、決断を下す 対数方程式 - どういうわけかぎこちなくさえあります...非常に大胆だと思います)。
最も単純な対数方程式。
これらは次の形式の方程式です。
1. log 3 x = log 3 9
2. log 7 (2x-3) = log 7 x
3. log 7 (50x-1) = 2
解決プロセス 任意の対数方程式対数を含む方程式から対数を持たない方程式への移行にあります。 最も単純な方程式では、この遷移は 1 ステップで実行されます。 そのため、これらが最も単純です。)
そして、このような対数方程式は驚くほど簡単に解けます。 自分で見て。
最初の例を解いてみましょう。
log 3 x = log 3 9
この例を解決するには、ほとんど何も知る必要はありません、はい...純粋に直感です!) 何が必要ですか 特にこの例が気に入らないですか？ なんというか…対数が嫌いなんです！ 右。 それでは、それらを取り除きましょう。 この例をよく見てみると、自然な欲求が湧き出てきます...実に魅力的です。 対数をすべて取得して捨てます。 そして何が良いかというと、 できるする！ 数学はそれを可能にします。 対数が消える答えは次のとおりです。
すごいですよね？ これはいつでも行うことができます (そしてそうすべきです)。 この方法で対数を消去することは、対数方程式と不等式を解く主な方法の 1 つです。 数学では、この操作はと呼ばれます 増強。もちろん、そのような清算に関する規則はありますが、それらはほとんどありません。 覚えて：
以下の場合、対数を恐れることなく消去できます。
a) 同じ数値基礎
c) 左から右への対数は純粋 (係数なし) で、見事に分離されています。
最後の点を明確にさせてください。 方程式で次のようにしましょう
log 3 x = 2log 3 (3x-1)
対数は削除できません。 右側の2つはそれを許可しません。 係数ですね...例では
log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)
方程式を強化することも不可能です。 左側には孤立対数はありません。 そのうちの2つがあります。
つまり、方程式が次のようになり、次のようになった場合にのみ、対数を削除できます。
ログ a (....) = ログ a (....)
括弧内には省略記号があります。 あらゆる表現。シンプルなもの、超複雑なもの、あらゆる種類。 何でも。 重要なことは、対数を消去した後に残るのは、 より単純な方程式。もちろん、対数を使用しない一次方程式、二次方程式、分数方程式、指数方程式、その他の方程式を解く方法をすでに知っていることが前提となります。)
これで、2 番目の例を簡単に解決できます。
log 7 (2x-3) = log 7 x
実は心の中で決まっているんです。 私たちは強化し、次のことを実現します。
まあ、それは非常に難しいですか？） ご覧のとおり、 対数方程式の解の一部は 対数を消去する場合のみ...そして、それらを除いた残りの方程式の解が得られます。 些細な事だ。
3 番目の例を解いてみましょう。
log 7 (50x-1) = 2
左に対数があることがわかります。
この対数は、部分対数表現を得るために底を上げなければならない数 (つまり 7) であることを思い出してください。 (50x-1)。
しかし、この数は 2 です。 式によると、 あれは：
基本的にはこれですべてです。 対数 消えた、残るのは無害な方程式です。
この対数方程式を対数の意味のみに基づいて解きました。 対数を消去する方がまだ簡単ですか?) 私も同感です。 ちなみに、この例は2から対数をとれば消去法で解けます。 任意の数値を対数にすることができます。 さらに、私たちがそれを必要とする方法。 対数方程式と (特に!) 不等式を解く際に非常に役立つテクニックです。
数値から対数を求める方法がわかりません! 大丈夫です。 セクション 555 では、この手法について詳しく説明しています。 マスターして最大限に活用できます！ エラーの数が大幅に減少します。
4 番目の方程式は、(定義上) まったく同様の方法で解かれます。
それでおしまい。
この教訓を要約しましょう。 例を使用して、最も単純な対数方程式の解法を調べました。 それは非常に重要です。 そして、そのような方程式がテストや試験に出てくるからだけではありません。 事実は、最も邪悪で複雑な方程式でさえ、必然的に最も単純なものに還元されるということです。
実際には、最も単純な方程式が解決策の最終部分になります。 どれでも方程式。 そして、この最後の部分は厳密に理解する必要があります。 そしてさらに。 このページを必ず最後までお読みください。 そこには驚きが…）
今、私たちは自分たちで決めます。 言ってみれば、もっと良くなりましょう...）
方程式の根 (または根が複数ある場合はその和) を求めます。
ln(7x+2) = ln(5x+20)
log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)
log 16 (0.5x-1.5) = 0.25
log 0.2 (3x-1) = -3
ln(e 2 +2x-3) = 2
log 2 (14x) = log 2 7 + 2
答え（もちろん混乱しています）：42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.
なんだ、すべてがうまくいくわけではないのか？ 起こります。 心配しないで！ セクション 555 では、これらすべての例に対する解決策が明確かつ詳細に説明されています。 間違いなくそこでわかります。 役立つ実践テクニックも学べます。
全てがうまくいきました！ 「残り 1 つ」のすべての例?) おめでとうございます!
苦い真実をあなたに明らかにする時が来ました。 これらの例を正しく解決しても、他のすべての対数方程式を正しく解くことが保証されるわけではありません。 このような最も単純なものでも。 ああ、ああ。
実際のところ、対数方程式 (最も基本的なものであっても) の解は次のもので構成されます。 2つの等しい部分。方程式を解き、ODZ を操作します。 私たちは方程式自体を解くという 1 つの部分をマスターしました。 そんなに難しくないよ右？
このレッスンでは、DL が解答にまったく影響を及ぼさない例を特別に選択しました。 でも、みんなが私みたいに優しいわけじゃないですよね…）
したがって、他の部分をマスターすることが不可欠です。 ODZ。 これは対数方程式を解く際の主な問題です。 難しいからではありません。この部分は最初の部分よりもさらに簡単です。 しかし、人々はODZのことを単に忘れているからです。 あるいは彼らは知りません。 または両方）。 そして彼らは突然降ってきます...
次のレッスンでは、この問題を扱います。 そうすれば自信を持って決断できる どれでも単純な対数方程式を使用し、非常に確実なタスクにアプローチします。
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例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。 即時検証によるテスト。 興味を持って学びましょう！）
関数と導関数について知ることができます。
対数方程式の解法に関する長いレッスン シリーズの最後のビデオ。 今回は主に対数の ODZ を扱います。このような問題を解くときにほとんどのエラーが発生するのは、まさに定義領域の誤った考慮 (または無視) が原因です。
この短いビデオ レッスンでは、対数の加算と減算の公式の使用法を見ていき、また、多くの生徒が問題を抱えている分数有理方程式についても扱います。
何を話しましょうか？ 私が理解したい主な式は次のようになります。
log a (f g ) = log a f + log a g
これは、積から対数の和へ、そしてその逆への標準的な遷移です。 おそらく、対数を勉強し始めた当初からこの公式を知っているでしょう。 ただし、問題が 1 つあります。
変数 a、f、g が普通の数であれば問題はありません。 この公式は非常にうまく機能します。
しかし、f と g の代わりに関数が登場すると、どの方向に変換するかによって定義範囲が拡大または縮小されるという問題が発生します。 自分で判断してください。左に書かれた対数の定義域は次のとおりです。
fg > 0
しかし、右側に書かれた部分では、定義の領域がすでに多少異なります。
f > 0
g > 0
この一連の要件は、元の要件よりも厳格です。 最初のケースでは、オプション f で満足します。< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0が実行されます）。
したがって、左側の構造から右側の構造に移行すると、定義領域の狭まりが発生します。 最初に合計があり、それを積の形に書き直すと、定義の領域が拡張されます。
言い換えれば、前者の場合は根が失われる可能性があり、後者の場合は余分な根が得られる可能性があります。 実対数方程式を解くときは、これを考慮する必要があります。
したがって、最初のタスクは次のとおりです。
[写真のキャプション] 左側には、同じ底を使用した対数の合計が表示されます。 したがって、これらの対数を追加できます。
[写真のキャプション] ご覧のとおり、右側では次の式を使用してゼロを置き換えています。
a = log b b a
方程式をもう少し整理してみましょう。
log 4 (x − 5) 2 = log 4 1
目の前には対数方程式の標準形式があり、対数記号を取り消して引数を等価にすることができます。
(x − 5) 2 = 1
|x − 5| = 1
注意してください: モジュールはどこから来たのでしょうか? 正確な平方根は係数に等しいことを思い出してください。
[写真のキャプション] 次に、係数を使用して古典方程式を解きます。
|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g
x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; × 2 = 5 + 1 = 6
答えの候補を 2 つ挙げます。 それらは元の対数方程式の解ですか? とんでもない！
すべてをそのままにして答えを書き留める権利は私たちにはありません。 対数の合計を引数の積の 1 つの対数に置き換えるステップを見てください。 問題は、元の式に関数があることです。 したがって、次のことを要求する必要があります。
x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0。
積を変換して正確な平方を取得すると、要件が変わりました。
(x − 5) 2 > 0
この要件はいつ満たされるのでしょうか? はい、ほとんどいつもです！ x − 5 = 0 の場合を除きます。 不等式は 1 つのパンクポイントに縮小されます。
x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5
ご覧のとおり、定義の範囲が拡大しました。これがレッスンの最初に話した内容です。 その結果、余分な根が現れる可能性があります。
このような余分な根が現れるのを防ぐにはどうすればよいでしょうか? それは非常に簡単です。取得したルートを見て、元の方程式の定義領域と比較します。 数えてみましょう：
x (x − 5) > 0
間隔法を使用して解決します。
x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5
結果の数字を線上にマークします。 不等式が厳密であるため、すべての点が欠落しています。 5 より大きい任意の数値を取得し、次のように置き換えます。
[写真のキャプション] 区間 (−∞; 0) ∪ (5; ∞) に興味があります。 セグメント上で根をマークすると、x = 4 が適切ではないことがわかります。これは、この根が元の対数方程式の定義範囲外にあるためです。
全体性に戻り、根 x = 4 を取り消して、答えを書き留めます: x = 6。これが元の対数方程式の最終的な答えです。 以上です、問題は解決しました。
2 番目の対数方程式に移りましょう。
[写真のキャプション] 解決しましょう。 最初の項は分数であり、2 番目の項は同じ分数ですが反転されていることに注意してください。 lgx という式を怖がらないでください。これは単なる 10 進対数なので、次のように書くことができます。
lgx = log 10 x
2 つの逆分数があるため、新しい変数を導入することを提案します。
[写真のキャプション] したがって、方程式は次のように書き換えることができます。
t + 1/t = 2;
t + 1/t − 2 = 0;
(t 2 − 2t + 1)/t = 0;
(t − 1) 2 /t = 0。
ご覧のとおり、分数の分子は正確な二乗です。 分数は分子がゼロになるとゼロに等しくなります。 ゼロに等しい、分母はゼロではありません。
(t − 1) 2 = 0; t≠0
最初の方程式を解いてみましょう。
t − 1 = 0;
t = 1。
この値は 2 番目の要件を満たします。 したがって、変数 t に関してのみ方程式を完全に解いたと言えます。 ここで、t が何であるかを思い出してみましょう。
[写真のキャプション]比率は次のようになります。
logx = 2 logx + 1
2 logx − logx = −1
logx = −1
この方程式を標準形式に変換します。
logx = log 10 −1
x = 10 −1 = 0.1
その結果、理論的には元の方程式の解となる 1 つの根が得られました。 ただし、安全策を講じて、元の方程式の定義領域を書き出してみましょう。
[写真のキャプション] したがって、私たちのルートはすべての要件を満たしています。 元の対数方程式の解を見つけました。 答え: x = 0.1。 問題は解決された。
今日のレッスンの重要なポイントは 1 つだけです。積から和に移動し、またその逆に移動する公式を使用するときは、移動の方向に応じて定義の範囲が狭くなったり拡大したりする可能性があることを必ず考慮してください。
何が起こっているのか、つまり縮小か拡大かをどうやって理解すればよいでしょうか? とてもシンプルです。 以前は機能が一緒だったが、現在は別々になっている場合、定義の範囲は狭くなります (要件が増えるため)。 最初は機能が別々に存在していたが、現在は一緒になっている場合、定義の領域は拡張されます (個々の要素よりも製品に課される要件が少なくなります)。
この指摘を考慮して、2 番目の対数方程式はこれらの変換をまったく必要としない、つまり引数をどこにも加算または乗算しないことに注意してください。 ただし、ここでは、ソリューションを大幅に簡素化できる別の素晴らしいテクニックに注目していただきたいと思います。 変数の置き換えについてです。
ただし、定義の範囲から解放される置換は存在しないことに注意してください。 だからこそ、すべての根が見つかった後、私たちは怠けずに元の方程式に戻ってその ODZ を見つけました。
多くの場合、変数を置き換えるとき、生徒が t の値を見つけて解決策が完了したと考えると、迷惑なエラーが発生します。 とんでもない！
t の値が見つかったら、元の方程式に戻って、この文字が正確に何を意味するのかを確認する必要があります。 その結果、もう 1 つ方程式を解く必要がありますが、元のものよりもはるかに単純になります。
これがまさに新しい変数を導入するポイントです。 元の方程式を 2 つの中間の方程式に分割し、それぞれがはるかに単純な解を持っています。
「入れ子になった」対数方程式を解く方法
今日も対数方程式の学習を続け、ある対数が別の対数の符号の下にある場合の構造を分析します。 正準形式を使用して両方の方程式を解きます。
今日も対数方程式の研究を続け、ある対数が別の対数の符号の下にある場合の構造を分析します。 正準形式を使用して両方の方程式を解きます。 log a f (x) = b という形式の最も単純な対数方程式がある場合、そのような方程式を解くには次の手順を実行することを思い出してください。 まず最初に、数値 b を置き換える必要があります。
b = ログ a a b
注: a b は引数です。 同様に、元の方程式では、引数は関数 f(x) です。 次に、方程式を書き直すと、次の構造が得られます。
log a f (x) = log a a b
次に、3 番目のステップを実行できます。対数記号を取り除き、単純に次のように記述します。
f (x) = a b
その結果、新しい方程式が得られます。 この場合、関数f(x)には何の制約も課されない。 たとえば、その代わりに、 対数関数。 そして、再び対数方程式を取得します。これを再び最も単純な形に還元し、正準形で解きます。
でも、歌詞だけでも十分。 本当の問題を解決しましょう。 したがって、タスク番号 1:
log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2
ご覧のとおり、単純な対数方程式があります。 f (x) の役割は 1 + 3 log 2 x という構成で、数 b の役割は数 2 です (a の役割も 2 つで果たします)。 この2つを次のように書き換えてみましょう。
最初の 2 つの 2 は対数の底から得られたものであることを理解することが重要です。つまり、元の方程式に 5 があった場合、2 = log 5 5 2 が得られます。 一般に、底は問題で最初に与えられた対数のみに依存します。 私たちの場合、これは番号 2 です。
そこで、右側の 2 つも実際には対数であるという事実を考慮して、対数方程式を書き直します。 我々が得る：
log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4
スキームの最後のステップである正規形式の削除に進みましょう。 単純に丸太の記号を消しているだけだと言えます。 ただし、数学的な観点からは、「対数を取り消す」ことは不可能です。単に引数を同一視すると言ったほうが正しいでしょう。
1 + 3 log 2 x = 4
ここから、3 log 2 x を簡単に見つけることができます。
3 log 2 x = 3
対数 2 x = 1
最も単純な対数方程式が再び得られました。これを正準形式に戻しましょう。 これを行うには、次の変更を加える必要があります。
1 = 対数 2 2 1 = 対数 2 2
なぜ根元に2つあるのでしょうか？ 左側の正準方程式には正確に底 2 までの対数があるためです。この事実を考慮して問題を書き直します。
log 2 x = log 2 2
ここでも対数符号を取り除きます。つまり、単に引数を等価にします。 ベースが同じであり、右側でも左側でもそれ以上の追加アクションは実行されないため、これを行う権利があります。
それだけです！ 問題は解決された。 対数方程式の解を見つけました。
注記！ 変数 x が引数に現れますが (つまり、定義領域に要件があります)、追加の要件は設けません。
上で述べたように、変数が 1 つの対数のみの 1 つの引数にのみ出現する場合、このチェックは冗長です。 この場合、x は実際には引数内にのみ、また 1 つの対数記号の下にのみ出現します。 したがって、追加のチェックは必要ありません。
ただし、この方法が信頼できない場合でも、x = 2 が実際にルートであることを簡単に検証できます。 この数値を元の式に代入するだけで十分です。
2 番目の方程式に移りましょう。これはもう少し興味深いものです。
log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1
大きな対数内の式を関数 f (x) で表すと、今日のビデオ レッスンを開始した最も単純な対数方程式が得られます。 したがって、標準形式を適用できます。この形式では単位を log 2 2 1 = log 2 2 の形式で表す必要があります。
大きな方程式を書き直してみましょう。
log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2
引数を等価にして、対数の符号から離れましょう。 左でも右でもベースは同じなので、私たちにはこれを行う権利があります。 さらに、log 2 4 = 2 であることに注意してください。
log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2
log 1/2 (2x − 1) = 0
再び、log a f (x) = b という形式の最も単純な対数方程式が目の前にあります。 正規形式に移りましょう。つまり、log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1 の形式でゼロを表します。
方程式を書き換えて対数記号を取り除き、引数を等価にします。
log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1
2x − 1 = 1
繰り返しますが、すぐに回答を受け取りました。 元の式には引数として関数が含まれる対数が 1 つだけであるため、追加のチェックは必要ありません。
したがって、追加のチェックは必要ありません。 x = 1 がこの方程式の唯一の根であると言っても過言ではありません。
しかし、第 2 対数に 4 ではなく x の関数がある場合 (または 2x が引数ではなく底にある場合)、定義領域をチェックする必要があります。 そうしないと、余分な根に遭遇する可能性が高くなります。
この余分な根はどこから来るのでしょうか？ この点はしっかりと理解しておかなければなりません。 元の方程式を見てください。関数 x が対数記号の下にあるすべての箇所です。 したがって、log 2 x を書き留めたので、要件 x > 0 が自動的に設定されます。そうでない場合、このエントリは単に意味がありません。
ただし、対数方程式を解くと、すべての対数符号が取り除かれ、単純な構造が得られます。 ここにはもう制限はありません。 一次関数 x の任意の値に対して定義されます。
最終関数はどこでも常に定義されるが、元の関数はどこでも常に定義されないというこの問題が、対数方程式を解く際に余分な根が頻繁に発生する理由です。
しかし、もう一度繰り返しますが、これは関数が複数の対数にある、またはそれらの 1 つの底にある状況でのみ発生します。 本日検討している問題では、定義領域を拡大することは原則として問題ありません。
根拠が異なるケース
このレッスンでは、より複雑な設計について説明します。 現在の方程式の対数はすぐには解けなくなり、最初にいくつかの変換を行う必要があります。
互いに正確なべき乗ではない、まったく異なる底を持つ対数方程式を解き始めます。 このような問題を怖がらせる必要はありません。最も難しい問題と同じように解決するのが難しい問題ではありません。 シンプルなデザインこれについては上で説明しました。
しかし、問題に直接移る前に、正準形式を使用して最も単純な対数方程式を解く公式を思い出してください。 次のような問題を考えてみましょう。
log a f (x) = b
関数 f (x) は単なる関数であり、数値 a と b の役割は数値 (変数 x なし) であることが重要です。 もちろん、文字通り、変数 a と b の代わりに関数がある場合をすぐに見ていきますが、それは今の話ではありません。
覚えているように、数値 b は、左側にある同じ底 a の対数に置き換える必要があります。 これは非常に簡単に行われます。
b = ログ a a b
もちろん、「任意の数ｂ」および「任意の数ａ」という言葉は、定義の範囲を満たす値を意味する。 特に、この式では 私たちが話しているのは基数 a > 0 および a ≠ 1 のみ。
ただし、元の問題には a を底とする対数がすでに含まれているため、この要件は自動的に満たされます。これは確実に 0 より大きく、1 に等しくありません。したがって、対数方程式を解き続けます。
log a f (x) = log a a b
このような表記法を標準形式と呼びます。 その便利さは、引数を等価にすることでログ記号をすぐに取り除くことができるという事実にあります。
f (x) = a b
この手法を、変数底を使用して対数方程式を解くために使用します。 じゃ、行こう！
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0.5 0.125
次は何ですか？ 誰かが、正しい対数を計算する必要がある、またはそれらを同じ底に減らす必要がある、または他の何かを言う必要があると言うでしょう。 そして実際、今度は両方の塩基を同じ形式 (2 または 0.5) にする必要があります。 ただし、次のルールを最後に学びましょう。
対数方程式に次の値が含まれる場合、 小数、これらの分数は必ず 10 進表記から通常の表記に変換してください。 この変換により、ソリューションが大幅に簡素化されます。
このような遷移は、アクションや変換を実行する前であっても、直ちに実行する必要があります。 見てみましょう:
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8
このような記録は私たちに何をもたらすのでしょうか？ 1/2 と 1/8 は、負の指数を持つ累乗として表すことができます。
[写真のキャプション] 私たちの前にあるのは正規形です。 引数を同等にして古典的なものを取得します 二次方程式:
× 2 + 4x + 11 = 8
× 2 + 4x + 3 = 0
私たちの前には次の二次方程式があり、これはビエタの公式を使用して簡単に解くことができます。 高校では、同様の表示が文字通り口頭で行われるはずです。
(x + 3)(x + 1) = 0
× 1 = −3
× 2 = −1
それだけです！ 元の対数方程式が解けました。 根が２本出てきました。
この場合、変数 x を持つ関数は 1 つの引数にのみ存在するため、定義域を決定する必要がないことを思い出してください。 したがって、スコープの定義は自動的に行われます。
したがって、最初の方程式は解けます。 2 番目に進みましょう。
log 0.5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9
log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1
ここで、最初の対数の引数は、負の指数をもつべき乗として書くこともできることに注意してください: 1/2 = 2 −1。 次に、方程式の両辺の累乗を取り出し、すべてを −1 で割ります。
[写真のキャプション] そして今、私たちは非常に大きなことを達成しました 重要なステップ対数方程式を解くとき。 おそらく誰かが何かに気づいていないので、説明しましょう。
方程式を見てください。左側と右側の両方に対数符号がありますが、左側には底 2 の対数があり、右側には底 3 の対数があります。3 は整数乗ではありません。 2 であり、逆に、2 を整数度で 3 と書くことはできません。
したがって、これらは底が異なる対数であり、単にべき乗を加算するだけでは互いに約分できません。 このような問題を解決する唯一の方法は、これらの対数の 1 つを取り除くことです。 この場合、まだ検討中ですので、 単純な作業、右側の対数が単純に計算され、最も単純な方程式が得られました。これは、まさに今日のレッスンの最初に説明したものです。
右側にある数値 2 を log 2 2 2 = log 2 4 として表しましょう。そして、対数記号を取り除くと、単純に 2 次方程式が残ります。
log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4
5x 2 + 9x + 2 = 4
5x 2 + 9x − 2 = 0
私たちの前には通常の二次方程式がありますが、x 2 の係数が 1 と異なるため、これは約分されません。 したがって、判別式を使用してこれを解決します。
D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121
x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5
x 2 = (−9 − 11)/10 = −2
それだけです！ 両方の根が見つかりました。これは、元の対数方程式の解が得られたことを意味します。 実際、元の問題では、変数 x を持つ関数は 1 つの引数にのみ存在します。 したがって、定義領域に対する追加のチェックは必要ありません。私たちが見つけた両方のルートは、考えられるすべての制限を確実に満たしています。
今日のビデオレッスンはこれで終わりかもしれませんが、最後にもう一度言いたいのは、対数方程式を解くときは、すべての小数を必ず普通の分数に変換してください。 ほとんどの場合、これによりソリューションが大幅に簡素化されます。
ごくまれに、小数部を削除しても計算が複雑になるだけの問題に遭遇することがあります。 ただし、そのような方程式では、原則として、小数を取り除く必要がないことは最初から明らかです。
その他のほとんどの場合 (特に対数方程式を解く練習を始めたばかりの場合)、自由に小数点を削除して通常の小数点に変換してください。 なぜなら、実践すると、この方法でその後の解決策と計算が大幅に簡素化されることがわかるからです。
解決策の微妙な点とコツ
今日はより複雑な問題に移り、数値ではなく関数に基づく対数方程式を解きます。
そして、たとえこの関数が線形であっても、解法スキームに小さな変更を加える必要があります。その意味は結局、対数の定義領域に課せられる追加の要件に帰着します。
複雑なタスク
このチュートリアルはかなり長くなります。 その中で、多くの生徒が間違える、かなり深刻な 2 つの対数方程式を分析します。 数学の家庭教師として働いている間、私は常に 2 種類の間違いに遭遇しました。
- 対数の定義領域の拡張による余分な根の出現。 このような不快な間違いを避けるために、各変換を注意深く監視してください。
- 学生がいくつかの「微妙な」ケースを考慮するのを忘れたという事実によるルーツの喪失 - これらが今日私たちが焦点を当てる状況です。
これ 最後の授業、対数方程式専用。 長くなりますので、複雑な対数方程式を解析していきます。 快適になって、お茶を淹れて、さあ始めましょう。
最初の方程式は非常に標準的なものに見えます。
log x + 1 (x − 0.5) = log x − 0.5 (x + 1)
両方の対数が互いの反転コピーであることにすぐに注目してください。 素晴らしい公式を思い出してみましょう。
log a b = 1/log b a
ただし、この式には、数値 a と b の代わりに変数 x の関数がある場合に生じるいくつかの制限があります。
b > 0
1 ≠ a > 0
これらの要件は対数の底に適用されます。 一方、分数では、変数 a が対数の引数に含まれるだけでなく (したがって a > 0)、対数自体が分数の分母に含まれるため、1 ≠ a > 0 である必要があります。 。 ただし、log b 1 = 0 であり、分母はゼロ以外でなければならないため、a ≠ 1 となります。
したがって、変数 a に対する制限は残ります。 しかし、変数 b はどうなるでしょうか? 一方では、底は b > 0 を意味し、他方では、対数の底は 1 とは異なる必要があるため、変数 b ≠ 1 を意味します。合計すると、式の右側から、1 ≠ ということがわかります。 b > 0。
しかし、ここに問題があります。左対数を扱う最初の不等式には、2 番目の要件 (b ≠ 1) が欠落しています。 言い換えれば、この変換を実行するときは、次のようにする必要があります。 別途確認してください、引数 b は 1 とは異なります。
それでは、確認してみましょう。 式を適用してみましょう。
[写真のキャプション] 1 ≠ x − 0.5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0
したがって、元の対数方程式から、a と b の両方が 0 より大きく、1 に等しくない必要があることがわかりました。これは、対数方程式を簡単に反転できることを意味します。
新しい変数を導入することをお勧めします。
log x + 1 (x − 0.5) = t
この場合、構築は次のように書き換えられます。
(t 2 − 1)/t = 0
分子には二乗の差があることに注意してください。 省略された乗算公式を使用して平方の差を明らかにします。
(t − 1)(t + 1)/t = 0
分数は、分子がゼロで分母がゼロ以外の場合、ゼロに等しくなります。 ただし、分子には積が含まれるため、各因数をゼロとみなします。
t 1 = 1;
t 2 = −1;
t≠0。
ご覧のとおり、変数 t の両方の値が適切です。 ただし、t ではなく x の値を見つける必要があるため、解決策はそこで終わりません。 対数に戻ると次のようになります。
log x + 1 (x − 0.5) = 1;
log x + 1 (x − 0.5) = −1。
これらの各方程式を標準形式に置き換えてみましょう。
log x + 1 (x − 0.5) = log x + 1 (x + 1) 1
log x + 1 (x − 0.5) = log x + 1 (x + 1) −1
最初のケースでは対数符号を取り除き、引数を同等にします。
x − 0.5 = x + 1;
x − x = 1 + 0.5;
このような方程式には根がありません。したがって、最初の対数方程式にも根がありません。 しかし、2 番目の方程式を使用すると、すべてがはるかに興味深いものになります。
(x − 0.5)/1 = 1/(x + 1)
比率を解くと、次のようになります。
(x − 0.5)(x + 1) = 1
対数方程式を解くときは、すべての小数を通常の小数として使用する方がはるかに便利であることを思い出してください。そのため、方程式を次のように書き換えましょう。
(x − 1/2)(x + 1) = 1;
x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;
x 2 + 1/2x − 3/2 = 0。
以下の二次方程式が目の前にありますが、これは Vieta の公式を使用して簡単に解くことができます。
(x + 3/2) (x − 1) = 0;
x 1 = −1.5;
× 2 = 1。
2 つの根が得られました。これらは元の対数方程式を解くための候補です。 実際にどのような根が答えに含まれるのかを理解するために、元の問題に戻りましょう。 ここで、それぞれのルートをチェックして、定義の範囲内に収まるかどうかを確認します。
1.5 ≠ x > 0.5; 0 ≠ x > −1。
これらの要件は二重不等式に相当します。
1 ≠ x > 0.5
ここから、根 x = −1.5 は適切ではありませんが、x = 1 は非常に適切であることがすぐにわかります。 したがって、x = 1 が対数方程式の最終的な解になります。
2 番目のタスクに進みましょう。
対数 x 25 + 対数 125 x 5 = 対数 25 x 625
一見すると、すべての対数のように見えるかもしれません。 さまざまな理由そしてさまざまな議論。 このような構造物はどうすればよいでしょうか? まず、25、5、625 という数字は 5 の累乗であることに注意してください。
25 = 5 2 ; 625 = 5 4
次に、対数の素晴らしい性質を利用してみましょう。 重要なのは、引数から因数の形式でべき乗を抽出できるということです。
log a b n = n ∙ log a b
この変換は、b を関数に置き換える場合にも制限を受けます。 しかし、私たちにとって、b は単なる数字であり、追加の制限は発生しません。 方程式を書き直してみましょう。
2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5
対数符号を含む 3 つの項を含む方程式が得られました。 さらに、3 つの対数の引数はすべて等しい。
対数を反転して同じ底の 5 にします。変数 b は定数であるため、定義領域の変更は発生しません。 ただ書き直すだけです:
[写真のキャプション] 予想通り、分母には同じ対数が現れました。 変数を置き換えることをお勧めします。
log 5 x = t
この場合、方程式は次のように書き換えられます。
分子を書き出して括弧を開けてみましょう。
2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12
分数に戻りましょう。 分子はゼロでなければなりません。
[写真のキャプション] そして、分母はゼロとは異なります。
t≠0; t ≠ −3; t ≠ −2
最後の要件はすべて整数に「結び付けられ」、すべての答えが非合理的であるため、自動的に満たされます。
それで、 分数有理方程式解決すると、変数 t の値が見つかります。 対数方程式の解き方に戻って、t が何であるかを思い出してみましょう。
[写真のキャプション] この方程式を正準形式に還元し、無理次数をもつ数値を取得します。 混乱しないでください。このような議論さえも同等視することができます。
[写真のキャプション] 根が２本出てきました。 より正確には、2 つの候補の答え - それらが定義の領域に準拠しているかどうかを確認してみましょう。 対数の底は変数 x であるため、次のことが必要です。
1 ≠ x > 0;
同じ成功で、x ≠ 1/125 であると主張します。そうでない場合、2 番目の対数の底は 1 になります。 最後に、第 3 対数の x ≠ 1/25 です。
合計 4 つの制限がありました。
1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; ×≠1/25
ここで問題は、私たちの根がこれらの要件を満たしているかどうかです。 もちろん満足です！ 5 の任意のべき乗はゼロより大きく、要件 x > 0 が自動的に満たされるためです。
一方、1 = 5 0、1/25 = 5 −2、1/125 = 5 −3 は、ルートに対するこれらの制限 (念のために言いますが、指数に無理数があります) を意味します。も満足されており、どちらの答えも問題の解決策です。
それで、最終的な答えが得られました。 キーポイントこの問題には 2 つあります。
- 引数と底が入れ替わるときに対数を反転するときは注意してください。 このような変換は、定義の範囲に不必要な制限を課します。
- 対数を変換することを恐れないでください。対数は逆にすることができるだけでなく、和の公式を使用して拡張することもできます。また、一般に、対数式を解くときに学習した公式を使用して変更することもできます。 ただし、常に覚えておいてください。一部の変換は定義の範囲を拡大し、一部の変換は定義の範囲を狭めます。
ご存知のとおり、式にべき乗を掛ける場合、それらの指数は常に加算されます (a b *a c = a b+c)。 この数学法則はアルキメデスによって導出され、その後 8 世紀に数学者ヴィラセンが整数の指数の表を作成しました。 対数のさらなる発見に貢献したのは彼らでした。 この関数の使用例は、面倒な乗算を単純な加算によって簡素化する必要があるほとんどの場所で見られます。 この記事を 10 分間読んでいただければ、対数とは何か、そして対数をどのように扱うかについて説明します。 シンプルで親しみやすい言語で。
数学における定義
対数は、次の形式の式です。 log a b=c、つまり、負でない数値 (つまり、正の数値) "b" の底 "a" に対する対数は、累乗 "c とみなされます。最終的に値「b」を得るには、底「a」を累乗する必要があります。 例を使用して対数を分析しましょう。log 2 という式があるとします。 8. 答えを見つけるにはどうすればよいですか? それは非常に簡単です。2 から必要な累乗が 8 になるような累乗を見つける必要があります。頭の中でいくつかの計算を行うと、数字 3 が得られます。 それは真実です。2 の 3 乗により、答えは 8 になるからです。
対数の種類
多くの生徒や学生にとって、このトピックは複雑で理解できないように見えますが、実際には対数はそれほど怖いものではありません、主なことはその一般的な意味を理解し、その特性といくつかの規則を覚えておくことです。 3つあります 個々の種対数式:
- 自然対数 ln a、底はオイラー数 (e = 2.7)。
- 10 進数の a。底は 10 です。
- a>1 を底とする任意の数 b の対数。
それらのそれぞれは、対数定理を使用した単純化、縮小、およびその後の単一対数への縮小などの標準的な方法で解決されます。 対数の正しい値を取得するには、対数の特性と、対数を解くときのアクションの順序を覚えておく必要があります。
ルールといくつかの制限事項
数学では、公理として受け入れられるルール制約がいくつかあります。つまり、それらは議論の対象ではなく、真実です。 たとえば、数値をゼロで割ることは不可能であり、数値から偶数根を抽出することも不可能です。 負の数。 対数にも独自のルールがあり、これに従うと、長くて量の多い対数式でも操作方法を簡単に学ぶことができます。
- 基底「a」は常にゼロより大きく、1 に等しくない必要があります。そうでない場合、「1」と「0」はどの程度であっても常にその値と等しいため、式は意味を失います。
- a > 0、a b >0 の場合、「c」もゼロより大きくなければならないことがわかります。
対数を解くにはどうすればいいですか?
たとえば、方程式 10 x = 100 の答えを見つけるというタスクが与えられます。これは非常に簡単です。100 になる数値 10 を累乗して累乗を選択する必要があります。もちろん、これは 10 2 = です。 100。
次に、この式を対数形式で表してみましょう。 log 10 100 = 2 が得られます。対数を解くとき、すべてのアクションは実質的に収束して、特定の数値を取得するために対数の底を入力する必要がある累乗を求めます。
未知の度数の値を正確に判断するには、度数テーブルの操作方法を学ぶ必要があります。 次のようになります。
ご覧のとおり、技術的な知識と九九の知識があれば、一部の指数は直感的に推測できます。 ただし、 大きな値度数表が必要になります。 複雑な数学的トピックについてまったく知らない人でも使用できます。 左の列には数値 (基数 a) が含まれており、数値の一番上の行は数値 a を累乗した c の値です。 交点のセルには、答えとなる数値 (a c =b) が含まれています。 たとえば、数字 10 の最初のセルを 2 乗すると、値 100 が得られます。これは 2 つのセルの交点に示されます。 すべてはとてもシンプルで簡単なので、最も真のヒューマニストでも理解できるでしょう。
方程式と不等式
特定の条件下では、指数は対数になることがわかります。 したがって、あらゆる数学的数値表現は対数等式として記述することができます。 たとえば、3 4 =81 は、4 に等しい 81 の 3 を底とする対数として書くことができます (log 3 81 = 4)。 負の累乗の場合もルールは同じです。2 -5 = 1/32 を対数として書くと、log 2 (1/32) = -5 が得られます。 数学の最も魅力的なセクションの 1 つは、「対数」のトピックです。 以下の方程式の性質を調べた直後に、その例と解を見ていきます。 ここで、不等式がどのようなものか、そして不等式と方程式を区別する方法を見てみましょう。
次の形式の式を指定すると: log 2 (x-1) > 3 - それは次のとおりです。 対数不等式、未知の値「x」は対数の符号の下にあるためです。 また、この式では 2 つの量が比較されます。目的の数値の底 2 に対する対数は、数値 3 よりも大きいです。
対数方程式と不等式の最も重要な違いは、対数を含む方程式 (例 - 対数 2 x = √9) は答えに 1 つ以上の特定の数値を暗示するのに対し、不等式を解くときは領域として定義されることです。 許容可能な値、およびこの関数のブレークポイント。 結果として、答えは方程式の答えのような単純な個々の数値のセットではなく、連続する一連の数値または数値のセットになります。
対数に関する基本定理
対数の値を求めるという原始的なタスクを解決する場合、その特性がわからない場合があります。 ただし、対数方程式や不等式に関しては、まず対数の基本的な性質をすべて明確に理解し、実際に適用する必要があります。 方程式の例は後で見ていきますが、最初に各プロパティを詳しく見てみましょう。
- 主な恒等式は次のようになります: a logaB =B。 これは、a が 0 より大きく 1 ではなく、B が 0 より大きい場合にのみ適用されます。
- 積の対数は、次の式で表すことができます: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2。この場合、必須の条件は次のとおりです: d、s 1、および s 2 > 0。 a≠1。 この対数公式を例と解法を使って証明することができます。 log a s 1 = f 1 および log a s 2 = f 2 とすると、a f1 = s 1、a f2 = s 2 となります。 s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (次のプロパティ) が得られます。度 )、そして定義により、 log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2、これが証明する必要があるものです。
- 商の対数は次のようになります: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2。
- 数式の定理は次の形式になります: log a q b n = n/q log a b。
この式を「対数の次数の性質」といいます。 これは通常の学位の特性に似ていますが、すべての数学は自然公準に基づいているため、これは驚くべきことではありません。 証明を見てみましょう。
log a b = t とすると、a t =b になります。 両方の部分を m 乗すると、次のようになります。 a tn = b n ;
しかし、 a tn = (a q) nt/q = b n なので、log a q b n = (n*t)/t となり、log a q b n = n/q log a b となります。 定理は証明されました。
問題と不平等の例
対数に関する最も一般的なタイプの問題は、方程式と不等式の例です。 ほぼすべての問題集に掲載されており、数学の試験でも必須となります。 大学に入学したり、数学の入学試験に合格したりするには、そのような問題を正しく解く方法を知る必要があります。
残念ながら、対数の未知の値を解いて決定するための単一の計画やスキームはありませんが、特定のルールを各数学的不等式または対数方程式に適用できます。 まず第一に、式を簡略化できるか、または次のような結果につながるかどうかを確認する必要があります。 一般の見かけ。 長いものを簡略化する 対数表現プロパティを正しく使用すれば可能です。 早速彼らのことを知りましょう。
対数方程式を解くときは、どのようなタイプの対数があるかを決定する必要があります。式の例には、自然対数または小数の対数が含まれている場合があります。
ln100、ln1026 の例を次に示します。 彼らの解決策は、要するに、底の 10 がそれぞれ 100 と 1026 に等しくなるべき乗を決定する必要があるという事実に帰着します。 解決策に向けて 自然対数対数恒等式またはそのプロパティを適用する必要があります。 例を挙げて解決策を見てみましょう 対数問題他の種類。
対数式の使用方法: 例と解決策付き
それでは、対数に関する基本定理の使用例を見てみましょう。
- 積の対数の特性は、展開が必要なタスクで使用できます。 非常に重要 b をより単純な因数に数値化します。 たとえば、log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512。答えは 9 です。
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - ご覧のとおり、対数累乗の 4 番目のプロパティを使用して、一見複雑で解けない式をなんとか解くことができました。 底を因数分解して、対数の符号から指数値を取り出すだけです。
統一州試験の課題
対数は入学試験でよく出題され、特に統一州試験（学校卒業生全員を対象とした州試験）では対数の問題が多く出題されます。 通常、これらのタスクはパート A (最も簡単なパート) だけでなく、 テスト部分試験）だけでなく、パート C（最も複雑で量の多いタスク）にも含まれます。 試験では、「自然対数」というトピックについての正確かつ完璧な知識が必要です。
問題の例と解決策は公式から引用しています 統一州試験のオプション。 このようなタスクがどのように解決されるかを見てみましょう。
log 2 (2x-1) = 4 と仮定します。 解決策:
式を少し単純化して書き直してみましょう。 log 2 (2x-1) = 2 2、対数の定義により、2x-1 = 2 4 となるため、2x = 17 となります。 x = 8.5。
- 解決策が煩雑で混乱しないように、すべての対数を同じ底に換算することが最善です。
- 対数記号の下の式はすべて正として示されるため、対数記号の下にある式の底となる指数を乗数として取り出すとき、対数記号の下に残る式は正でなければなりません。
数学の最終テストの準備には、「対数」という重要なセクションが含まれます。 このトピックのタスクは必ず統一州試験に含まれます。 過去数年の経験から、対数方程式は多くの学童にとって困難を引き起こしていることがわかります。 したがって、さまざまなレベルのトレーニングを受けた学生は、正しい答えを見つけて迅速に対処する方法を理解する必要があります。
Shkolkovo 教育ポータルを使用して認定テストに合格しましょう!
統一州試験の準備をする場合、高校卒業生は、試験問題をうまく解決するための最も完全かつ正確な情報を提供する信頼できる情報源を必要としています。 しかし、教科書が常に手元にあるわけではなく、インターネットで必要なルールや公式を探すのに時間がかかることもよくあります。
Shkolkovo 教育ポータルを使用すると、いつでもどこでも統一国家試験の準備をすることができます。 私たちのウェブサイトは、対数や 1 つまたは複数の未知数に関する大量の情報を繰り返し、同化するための最も便利なアプローチを提供します。 簡単な方程式から始めましょう。 問題なく対処できたら、より複雑な問題に進みます。 特定の不等式を解くのが難しい場合は、その不等式をお気に入りに追加して、後で戻ることができます。
「理論ヘルプ」セクションを参照すると、タスクを完了するために必要な公式、特殊なケースの繰り返し、標準対数方程式の根を計算する方法を見つけることができます。 シュコルコボの教師たちは、合格に必要なすべての資料を収集し、体系化し、最もシンプルでわかりやすい形式で提示しました。
あらゆる複雑なタスクに簡単に対処するために、私たちのポータルでいくつかの標準的な対数方程式の解法に慣れることができます。 これを行うには、「カタログ」セクションに移動します。 我々が提示します たくさんの方程式を含む例 プロファイルレベル数学の統一国家試験。
ロシア全土の学校の学生が私たちのポータルを使用できます。 授業を始めるには、システムに登録して方程式を解き始めるだけです。 結果を統合するには、毎日 Shkolkovo Web サイトにアクセスすることをお勧めします。
例:
\(\log_(2)(x) = 32\)
\(\log_3x=\log_39\)
\(\log_3((x^2-3))=\log_3((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2((x+1))+10=11 \lg((x+1))\)
対数方程式の解き方:
対数方程式を解くときは、\(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\) の形式に変換してから、\(f(x) に移行するように努める必要があります。 )=g(x) \)。
\(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\)。
例：\(\log_2(x-2)=3\)
|
解決： |
ODZ: |
とても重要です！この移行は、次の場合にのみ実行できます。
元の方程式を作成しました。最後に、見つかった方程式が ODZ に含まれているかどうかを確認します。 これを行わないと余分な根が現れる可能性があり、誤った判断を意味します。
左側と右側の数字 (または式) は同じです。
左側と右側の対数は「純粋」です。つまり、乗算や除算などがあってはなりません。 – 等号の両側には単一の対数のみ。
例えば：
式 3 と 4 は、対数の必要な特性を適用することで簡単に解くことができることに注意してください。
例 。 方程式 \(2\log_8x=\log_82.5+\log_810\) を解きます。
解決 :
|
ODZ: \(x>0\) と書きましょう。 |
||
|
\(2\log_8x=\log_82.5+\log_810\) ODZ: \(x>0\) |
対数の前の左側は係数、右側は対数の合計です。 これは私たちを悩ませます。 プロパティ \(n \log_b(a)=\log_b(a^n)\) に従って、2 つを指数 \(x\) に移動しましょう。 対数の和を次の性質に従って 1 つの対数として表しましょう: \(\log_ab+\log_ac=\log_a(bc)\) |
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|
\(\log_8(x^2)=\log_825\) |
方程式を \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\) の形式に縮小し、ODZ を書き留めました。つまり、\(f(x) の形式に移動できるということです。 =g(x)\ )。 |
|
|
起こりました 。 私たちはそれを解決し、ルーツを取得します。 |
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\(x_1=5\) \(x_2=-5\) |
根がODZに適しているかどうかを確認します。 これを行うには、 \(x\) の代わりに \(x>0\) に \(5\) と \(-5\) を代入します。 この操作は口頭で行うことができます。 |
|
|
\(5>0\), \(-5>0\) |
最初の不等式は真ですが、2 番目の不等式は真ではありません。 つまり、 \(5\) は方程式の根ですが、 \(-5\) は根ではありません。 答えを書き留めておきます。 |
答え : \(5\)
例 : 方程式 \(\log^2_2(x)-3 \log_2(x)+2=0\) を解きます。
解決 :
|
ODZ: \(x>0\) と書きましょう。 |
||
|
\(\log^2_2(x)-3 \log_2(x)+2=0\) ODZ: \(x>0\) |
を使用して解く典型的な方程式。 \(\log_2x\) を \(t\) に置き換えます。 |
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\(t=\log_2x\) |
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いつものを頂きました。 私たちはそのルーツを探しています。 |
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\(t_1=2\) \(t_2=1\) |
逆置換を行う |
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\(\log_2(x)=2\) \(\log_2(x)=1\) |
右辺を変換して対数で表します: \(2=2 \cdot 1=2 \log_22=\log_24\) および \(1=\log_22\) |
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\(\log_2(x)=\log_24\) \(\log_2(x)=\log_22 \) |
これで方程式は \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\) となり、\(f(x)=g(x)\) に遷移できます。 |
|
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\(x_1=4\) \(x_2=2\) |
ODZのルートの対応を確認します。 これを行うには、不等式 \(x>0\) に \(x\) の代わりに \(4\) と \(2\) を代入します。 |
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\(4>0\) \(2>0\) |
どちらの不等式も真です。 これは、 \(4\) と \(2\) の両方が方程式の根であることを意味します。 |
答え : \(4\); \(2\).