入り口等差数列でnを求める方法。 代数の授業「等差数列の定義。等差数列のn項の公式」（9年生）
多くの人が聞いたことがある 等差数列、しかし誰もがそれが何であるかをよく理解しているわけではありません。 この記事では、対応する定義を示し、等差数列の違いを見つける方法の問題についても検討し、いくつかの例を示します。
数学的定義
それで、もし 私たちが話しているのは算術または代数級数について (これらの概念は同じことを定義します)、これは、次のようなことを意味します。 数列、次の法則を満たします: 一連の隣接する 2 つの数値はすべて同じ値だけ異なります。 数学的には次のように書かれます。
ここで、n はシーケンス内の要素 a n の数を意味し、数値 d は数列の差です (その名前は提示された式から来ています)。
違い d を知ることは何を意味しますか? 隣り合う数字が互いにどのくらい「離れているか」について。 ただし、d の知識は必要ですが、必須ではありません。 十分な条件全体の進行状況を決定 (復元) します。 もう 1 つの数字を知る必要があります。これは、検討中の系列のどの要素でも構いません (たとえば、4、a10)。ただし、原則として、最初の数字、つまり 1 が使用されます。
進行要素を決定するための公式
一般に、特定の問題の解決に進むには、上記の情報だけで十分です。 それにもかかわらず、等差数列が与えられ、その違いを見つける必要がある前に、いくつかの有用な公式を提示します。これにより、その後の問題を解決するプロセスが容易になります。
次のように、番号 n のシーケンスの任意の要素を見つけることができることを示すのは簡単です。
a n = a 1 + (n - 1) * d
実際、この式は簡単な検索で誰でも確認できます。n = 1 に置き換えると最初の要素が得られ、n = 2 に置き換えると式は最初の数値と差の合計を返します。
多くの問題の条件は次のように構成されています。 有名なカップルシーケンス内の番号も指定されている数値の場合は、数値系列全体を復元する必要があります (差分と最初の要素を見つけます)。 この問題を次で解決します。 一般的な見解.
そこで、番号 n と m を持つ 2 つの要素が与えられたとします。 上記で得られた式を使用すると、2 つの方程式からなる系を作成できます。
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d
未知の量を見つけるには、このような系を解くためのよく知られた簡単な手法を使用します。つまり、ペアの左辺と右辺を減算すると、等式は有効のままです。 我々は持っています：
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
したがって、未知の 1 つ (a 1) を除外しました。 これで、d を決定するための最終式を書くことができます。
d = (a n - a m) / (n - m)、n > m
非常に単純な式を受け取りました。問題の条件に従って差 d を計算するには、要素自体と要素間の差の比率を取るだけで済みます。 シリアルナンバー。 1つ注意する必要があります 大事なポイント注意: 「シニア」メンバーと「ジュニア」メンバーの間で差異が考慮されます。つまり、n > m (「シニア」とは、シーケンスの先頭からさらに離れた位置にあることを意味します。 絶対値「ジュニア」要素よりも大きいか小さい可能性があります)。
差分 d 数列の式は、問題を解く開始時にいずれかの式に代入して、最初の項の値を取得する必要があります。
コンピューター技術が発展した現代では、多くの学童がインターネット上で課題の解決策を見つけようとしているため、この種の質問がよく発生します。「オンラインで等差数列の違いを見つけてください」というものです。 このようなリクエストの場合、検索エンジンは多数の Web ページを返します。そこにアクセスして、条件からわかるデータを入力する必要があります (これは、進行の 2 つの項、またはそれらの特定の数の合計のいずれかです) ）すぐに答えが得られます。 しかし、問題を解決するためのこのアプローチは、生徒の成長と、割り当てられた課題の本質の理解という点で非生産的です。
数式を使わない解法
与えられた公式を一切使用せずに最初の問題を解いてみましょう。 級数の要素を a6 = 3、a9 = 18 とします。等差数列の違いを求めます。
既知の要素が互いに近接して並んでいます。 最大値を得るには、差 d を最小値に何回加算する必要がありますか? 3 回 (最初に d を追加すると 7 番目の要素が得られ、2 回目は 8 回目、最後に 3 回目は 9 回目)。 3に3回足すと18になる数字は何ですか? これが5番です。 本当に：
したがって、未知の差は d = 5 となります。
もちろん、適切な公式を使用して解決策を実行することもできましたが、これは意図的に行われたものではありません。 詳しい説明問題の解決策が明らかになるはずですし、 輝かしい例等差数列とは何ですか?
前のタスクと同様のタスク
次に、入力データを変更して、同様の問題を解決してみましょう。 したがって、a3 = 2、a9 = 19 かどうかを確認する必要があります。
もちろん、再び「正面からの」解決方法に頼ることもできます。 ただし、系列の要素が互いに比較的遠く離れているため、この方法は完全に便利というわけではありません。 しかし、結果の式を使用すると、すぐに答えが得られます。
d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83
ここで最終的な数値を四捨五入しました。 この丸めがどの程度エラーを引き起こしたかは、結果を確認することで判断できます。
a9 = a3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98
この結果は、条件で指定された値とわずか 0.1% だけ異なります。 したがって、100 分の 1 の位まで四捨五入することは成功した選択であると考えられます。
an項の公式の適用に関する問題
未知の d を決定する問題の典型的な例を考えてみましょう。a1 = 12、a5 = 40 の場合の等差数列の差を求めます。
未知の代数列の 2 つの数が与えられ、そのうちの 1 つが要素 a 1 である場合、長く考える必要はなく、すぐに a n 項の公式を適用する必要があります。 この場合、次のようになります。
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
除算時に正確な数値を取得したため、前の段落で行ったように、計算結果の正確性を確認することに意味はありません。
別の同様の問題を解いてみましょう。a1 = 16、a8 = 37 の場合の等差数列の差を見つける必要があります。
前と同様のアプローチを使用すると、次の結果が得られます。
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
等差数列について他に知っておくべきことは何ですか?
未知の差分や個々の要素を見つける問題に加えて、数列の最初の項の合計の問題を解くことが必要になることもよくあります。 これらのタスクの考察はこの記事の範囲を超えていますが、情報を完全にするためにここで説明します。 一般式一連の n 個の数値の合計については、次のようになります。
∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2
最初のレベル
算術級数。 詳細な理論例付き (2019)
数列
それでは、座って数字を書き始めましょう。 例えば：
任意の数字を書くことができ、好きなだけ数字を書くことができます (この場合は数字があります)。 どれだけ数字を書いても、どれが 1 番目でどれが 2 番目というように最後まで言うことができ、つまり番号を付けることができます。 これは数値シーケンスの例です。
数列
たとえば、私たちのシーケンスの場合:
割り当てられた番号は、シーケンス内の 1 つの番号にのみ固有です。 言い換えれば、シーケンス内に 3 番目の数字は存在しません。 2 番目の数字 (th 番目の数字など) は常に同じです。
数字の付いた数を数列の第 項と呼びます。
通常、シーケンス全体を何らかの文字 (たとえば、) で呼びます。このシーケンスの各メンバーは、このメンバーの番号に等しいインデックスを持つ同じ文字です: 。
私たちの場合には： 
隣接する数字の差が同じで等しい数列があるとします。
例えば： 
等
この数列を等差数列といいます。
「進歩」という用語は、6 世紀にローマの作家ボエティウスによって導入され、無限の数列として広い意味で理解されました。 「算術」という名前は、古代ギリシャ人によって研究された連続比例理論から移されました。
これは数値シーケンスであり、その各メンバーは、同じ数値に追加された前のメンバーと等しくなります。 この数を等差数列の差といい、指定します。
どの数列が等差数列であり、どの数列が等差数列ではないのかを判断してください。
a)
b)
c)
d)
わかった？ 答えを比較してみましょう。
は等差数列 - b、c。
ではありません等差数列 - a、d。
与えられた数列 () に戻り、その第 3 項の値を見つけてみましょう。 存在する 二それを見つける方法。
1.方法
数列の第 項に到達するまで、前の値に数列番号を加算できます。 要約する必要があまりなく、3 つの値のみであるのは良いことです。
したがって、記述された等差数列の第 3 項は と等しくなります。
2.方法
数列の第 3 項の値を求める必要がある場合はどうすればよいでしょうか? 合計には1時間以上かかりますし、数字の足し算を間違えないわけではありません。
もちろん、数学者は等差数列の差を前の値に加算する必要がない方法を考え出しました。 描かれた絵をよく見てください...あなたはすでに特定のパターンに気づいているはずです。
たとえば、この等差数列の第 3 項の値が何で構成されているかを見てみましょう。 
言い換えると：
この方法で、指定された等差数列のメンバーの値を自分で見つけてみてください。
計算しましたか？ メモと答えを比較してください。
等差数列の項を前の値に順次追加したとき、前の方法とまったく同じ数値が得られたことに注意してください。
この式を「非個人化」してみましょう。一般的な形式にすると次のようになります。
|
等差数列方程式。 |
等差数列は増加または減少する可能性があります。
増加中- 項の後続の各値が前の値よりも大きくなる進行。
例えば：
降順- 後続の各項の値が前の値よりも小さくなる進行。
例えば：
導出された式は、等差数列の増加項と減少項の両方の項の計算に使用されます。
実際にこれを確認してみましょう。
次の数値で構成される等差数列が与えられています。この等差数列を計算するために数式を使用した場合、その数列の 番目の数が何になるかを確認してみましょう。
それ以来：
したがって、この式は減少および増加の両方の等差数列で機能すると確信しています。
この等差数列の第 3 項と第 3 項を自分で見つけてみてください。
結果を比較してみましょう。
等差数列プロパティ
問題を複雑にしてみましょう。等差数列の性質を導き出します。
次の条件が与えられたとします。
- 等差数列、値を見つけます。
「簡単だよ」と言って、すでに知っている公式に従って数え始めます。
ああ、それでは次のようにしましょう。
絶対的に正しい。 最初に検索し、それを最初の数値に加算して、探しているものを取得することがわかりました。 進行状況が小さな値で表される場合は、何も複雑なことはありませんが、条件に数値が指定されている場合はどうなるでしょうか。 同意します、計算に間違いがある可能性があります。
ここで、何らかの公式を使用してこの問題を 1 ステップで解決できるかどうか考えてみましょう。 もちろん、その通りです。それが私たちがこれから明らかにしようとしているものです。
等差数列の必要な項を次のように表します。それを見つけるための公式は既知です。これは、最初に導いた公式と同じです。
、 それから：
- 進行の前の項は次のとおりです。
- 進行の次の項は次のとおりです。
進行の前後の項を要約してみましょう。
数列の前後の項の合計は、それらの間にある数列項の 2 倍の値であることがわかります。 つまり、既知の前後の値を持つ累進項の値を求めるには、それらを加算して除算する必要があります。
そうです、同じ番号でした。 材料を確保しましょう。 進行度の値を自分で計算することは、まったく難しいことではありません。
よくやった！ あなたは進歩についてほぼすべてを知っています! 伝説によると、史上最も偉大な数学者の一人、「数学者の王」カール ガウスによって簡単に導き出された公式は 1 つだけです。
カール ガウスが 9 歳のとき、ある教師は他のクラスの生徒の成績をチェックするのに忙しく、授業中に次の問題を出しました。 自然数から（他の情報源によると）までを含みます。」 1分後、生徒の一人（これはカール・ガウスでした）がその課題に正しい答えを出したときの教師の驚きを想像してみてください。一方、命知らずのクラスメートのほとんどは、長い計算の末、間違った結果を受け取りました...
若きカール ガウスは、あなたも簡単に気づくことができる特定のパターンに気づきました。
- 番目の項で構成される等差数列があるとします。等差数列のこれらの項の合計を見つける必要があります。 もちろん、すべての値を手動で合計することもできますが、ガウスが探していたように、タスクで項の合計を求める必要がある場合はどうなるでしょうか?
私たちに与えられた進歩を描きましょう。 ハイライト表示された数値をよく見て、それらを使ってさまざまな数学的演算を実行してみてください。 
試してみましたか？ 何に気づきましたか? 右！ それらの合計は等しい
さて、教えてください、私たちに与えられた進行の中で、そのようなペアは合計で何組ありますか? もちろん、それはすべての数字のちょうど半分です。
等差数列の 2 つの項の合計が等しく、類似したペアが等しいという事実に基づいて、合計は次と等しいことがわかります。
.
したがって、等差数列の最初の項の和の公式は次のようになります。
問題によっては第 3 項が分からない場合もありますが、進行の違いは分かります。 第 3 項の式を和の式に代入してみます。
何を手に入れましたか？
よくやった！ さて、カール ガウスに出題された問題に戻りましょう。 th から始まる数値の合計が何に等しいか、および th から始まる数値の合計を自分で計算してください。
いくらもらいましたか？
ガウスは、項の合計が等しいこと、および項の合計が等しいことを発見しました。 それはあなたが決めたことですか？
実際、等差数列の項の和の公式は、3 世紀に古代ギリシャの科学者ディオファントスによって証明され、この時代を通じて、機知に富んだ人々が等差数列の特性を最大限に活用していました。
たとえば、想像してみてください 古代エジプトそして最も 大規模工事その時 - ピラミッドの建設... 写真はその一面を示しています。 
ここでの進歩はどこにあると思いますか？ 注意深く見て、ピラミッドの壁の各列にある砂ブロックの数のパターンを見つけてください。 
なぜ等差数列ではないのでしょうか? 基礎にブロックレンガを配置した場合、1つの壁を構築するのに必要なブロックの数を計算します。 モニター上で指を動かしながら数を数えないことを祈りますが、最後の公式と等差数列について話したすべてを覚えていますか?
この場合、進行は次のようになります。
等差数列の違い。
等差数列の項の数。
データを最後の式に代入してみましょう (ブロック数を 2 つの方法で計算します)。
方法1.
方法2。
そして今、モニター上で計算することができます。得られた値をピラミッド内のブロックの数と比較します。 わかった？ よくやった、等差数列の n 番目の項の和をマスターしました。
もちろん、基礎部分のブロックからピラミッドを構築することはできません。 この条件で壁を建てるのに必要な砂レンガの数を計算してみてください。
あなたは管理しましたか？
正解はブロックです。
トレーニング
タスク:
- マーシャは夏に向けて体調を整えています。 彼女は毎日スクワットの回数を増やしています。 最初のトレーニングセッションでスクワットを行った場合、マーシャは週に何回スクワットを行うことになりますか?
- に含まれるすべての奇数の合計は何ですか。
- ログを保存するとき、ロガーは各最上位層に含まれるログが前の層より 1 つ少なくなるようにログをスタックします。 石積みの基礎が丸太である場合、1 つの石積みには何本の丸太が入っていますか?
答え:
- 等差数列のパラメータを定義しましょう。 この場合
(週 = 日)。答え： 2週間以内に、マーシャは1日1回スクワットをする必要があります。
- 初め 奇数、最後の番号。
等差数列の違い。
ただし、 の奇数の数は半分ですが、等差数列の第 項を求める公式を使用してこの事実を確認してみましょう。数字には奇数が含まれます。
利用可能なデータを式に代入してみましょう。答え：に含まれるすべての奇数の合計は等しい。
- ピラミッドに関する問題を思い出してみましょう。 私たちのケースでは、各最上位層が 1 つのログだけ削減されるため、合計で多数の層が存在します。
データを式に代入してみましょう。答え：石積みの中に丸太があります。
要約しましょう
- - 隣接する数字の差が同じで等しい数字列。 増加することも減少することもあります。
- 計算式を求める等差数列の第 3 項は、式 - で記述されます。ここで、 は数列内の数値の数です。
- 等差数列のメンバーのプロパティ- - ここで、 は進行中の数字の数です。
- 等差数列の項の合計は 2 つの方法で見つけることができます。
, ここで、 は値の数です。
算術累進。 平均レベル
数列
座って数字を書き始めましょう。 例えば：
任意の数字を書くことができ、好きなだけ数字を書くことができます。 しかし、どれが 1 番目でどれが 2 番目であるかなどをいつでも言うことができ、それらに番号を付けることができます。 これは数列の例です。
数列は一連の番号であり、それぞれに一意の番号を割り当てることができます。
言い換えれば、各数値は特定の自然数、および一意の自然数に関連付けることができます。 そして、この番号をこのセットの他の番号に割り当てることはありません。
番号が付いた番号は、シーケンスの 番目のメンバーと呼ばれます。
通常、シーケンス全体を何らかの文字 (たとえば、) で呼びます。このシーケンスの各メンバーは、このメンバーの番号に等しいインデックスを持つ同じ文字です: 。
数列の第 3 項を何らかの式で指定できると非常に便利です。 たとえば、次の式は
シーケンスを設定します。
そして、式は次の順序になります。
たとえば、等差数列は数列です (ここでは最初の項が等しく、差が です)。 または（、違い）。
n項式
この式をリカレントと呼びます。この式では、 番目の項を見つけるために、前またはいくつか前の項を知る必要があります。
たとえば、この式を使用して数列の第 3 項を見つけるには、前の 9 項を計算する必要があります。 たとえば、そうしましょう。 それから：
さて、その公式が何であるかは明らかですか?
各行で、何らかの数値を加算したり、乗算したりします。 どれ？ 非常に単純です。これは現在のメンバーの番号から次の値を引いたものです。
今はもっと便利ですよね？ 私たちは以下をチェックします:
自分で決めてください:
等差数列で、n 番目の項の式を求め、100 番目の項を求めます。
解決：
最初の項は等しいです。 違いはなんですか？ 内容は次のとおりです。
(数列の連続する項の差に等しいため、差と呼ばれます)。
したがって、式は次のようになります。
この場合、100 番目の項は次と等しくなります。
から までのすべての自然数の和は何ですか?
伝説によると、 偉大な数学者カール ガウスは 9 歳の少年で、この金額を数分で計算しました。 彼は、最初と最後の数字の合計が同じであること、2 番目と最後から 2 番目の数字の合計が同じであること、最後から 3 番目と 3 番目の数字の合計が同じであることに気づきました。 このようなペアは合計で何組ありますか? そう、ちょうど全数字の半分です。 それで、
等差数列の最初の項の和の一般式は次のようになります。
例：
すべての合計を求めます 二桁の数字、倍数。
解決：
その最初の番号はこれです。 後続の各数値は、前の数値に加算することによって取得されます。 したがって、関心のある数値は、最初の項とその差で等差数列を形成します。
この数列の第 3 項の式:
すべて 2 桁でなければならない場合、数列にはいくつの項がありますか?
非常に簡単： 。
進行の最後の項は等しくなります。 次に合計:
答え： 。
さあ、自分で決めてください。
- 毎日、アスリートは前日よりも多くのメートルを走ります。 初日にkm m走った場合、1週間で合計何km走ることになりますか?
- 自転車に乗る人は毎日、前日よりも多くのキロメートルを移動します。 初日、彼は数キロ移動しました。 彼は1キロメートルを移動するのに何日かかるでしょうか? 彼は旅の最終日で何キロ進むでしょうか?
- 店頭の冷蔵庫の価格は毎年同じ金額ずつ下がります。 ルーブルで売りに出された冷蔵庫が 6 年後にルーブルで売られた場合、その冷蔵庫の価格が毎年いくら下がったかを調べてください。
答え:
- ここで最も重要なことは、等差数列を認識し、そのパラメータを決定することです。 この場合、(週 = 日) となります。 この数列の最初の項の合計を決定する必要があります。
.
答え： - ここでは次のように与えられます: が見つかる必要があります。
明らかに、前の問題と同じ合計の公式を使用する必要があります。
.
値を代入します。ルートが明らかに合わないので、答えは次のとおりです。
第 3 項の式を使用して、最後の 1 日に移動した経路を計算してみましょう。
(km)。
答え： - 与えられた: 。 探す： 。
これ以上に簡単なことはありません。
（こする）。
答え：
算術累進。 主な内容について簡単に説明
これは、隣接する数字の差が同じで等しい数列です。
等差数列は増加 () または減少 () することができます。
例えば：
等差数列の n 項を求める公式
は次の式で記述されます。ここで、 は進行中の数字の数です。
等差数列のメンバーのプロパティ
これにより、隣接する用語がわかっている場合、数列の用語を簡単に見つけることができます (数列内の数値の数はどこにあるのか)。
等差数列の項の和
金額を確認するには次の 2 つの方法があります。
ここで、 は値の数です。
ここで、 は値の数です。
説明書
等差数列は、a1、a1+d、a1+2d...、a1+(n-1)d の形式のシーケンスです。 数値 d ステップ 進行.算術の任意の n 番目の項の一般は明らかです。 進行の形式は次のとおりです: An = A1+(n-1)d。 そこでメンバーの一人を知ると、 進行、メンバー 進行そしてステップ 進行、つまり、進行メンバーの番号を指定できます。 当然のことながら、n = (An-A1+d)/d という式で求められます。
m番目の項を知ってみましょう 進行そしてもう一人のメンバー 進行- n 番目、ただし、前のケースと同様に n ですが、n と m は一致しないことがわかっています。 進行 d = (An-Am)/(n-m) という式を使用して計算できます。 すると、n = (An-Am+md)/dとなります。
算術方程式のいくつかの要素の合計がわかっている場合 進行、最初と最後だけでなく、これらの要素の数も決定できます。 進行 S = ((A1+An)/2)n と等しくなります。 次に、 n = 2S/(A1+An) - chdenov 進行。 An = A1+(n-1)d という事実を利用すると、この式は n = 2S/(2A1+(n-1)d) のように書き換えることができます。 これから解くことで n を表すことができます。 二次方程式.
等差数列は、順序付けられた数値のセットであり、最初のメンバーを除く各メンバーは、前のメンバーと同じ量だけ異なります。 この一定値は数列の差またはそのステップと呼ばれ、等差数列の既知の項から計算できます。
説明書
最初と 2 番目、または他の隣接する項のペアの値が問題の条件からわかっている場合、差 (d) を計算するには、単純に後続の項から前の項を減算します。 結果の値は正または 負の数- それは進行状況が増加しているかどうかによって異なります。 で 一般的な形式数列の隣接する項の任意に選択したペア (aᵢ と aᵢ₊₁) の解を次のように記述します: d = aᵢ₊₁ - aᵢ。
このような数列の 1 対の項 (一方が最初の項 (a₁) であり、もう一方が任意に選択されたその他の項) について、差 (d) を求める公式を作成することも可能です。 ただし、この場合、シーケンスの任意に選択されたメンバーのシリアル番号 (i) がわかっている必要があります。 差を計算するには、両方の数値を加算し、その結果を任意の項の序数から 1 を引いた値で割ります。 一般に、この式は次のように書きます: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1)。
序数 i の等差数列の任意のメンバーに加えて、順序番号 u の別のメンバーが既知の場合は、それに応じて前のステップの式を変更します。 この場合、数列の差 (d) は、これら 2 つの項の合計をそれらの序数の差で割ったものになります: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v)。
問題条件がその最初の項の値 (a₁) と等差数列の最初の項の指定された数 (i) の和 (Sᵢ) を与える場合、差 (d) を計算する式は多少複雑になります。 目的の値を取得するには、合計をそれを構成する項の数で割り、シーケンス内の最初の数値の値を減算し、結果を 2 倍にします。 結果の値を、1 減算した合計を構成する項の数で割ります。 一般に、判別式を計算する式は次のように記述します: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1)。
何 要点数式？
この式を使用すると、次のことがわかります。 どれでも 彼の番号で」 ん」 .
もちろん、最初の用語も知っておく必要があります 1そして 進行の違い d,これらのパラメータがなければ、特定の進行状況を書き留めることはできません。
この公式を暗記する（または暗記する）だけでは十分ではありません。 その本質を理解し、公式をさまざまな問題に適用する必要があります。 そして、適切な瞬間を忘れないようにしましょう...) 方法 忘れないで- わからない。 そしてここ 覚え方必要であれば、必ずアドバイスさせていただきます。 レッスンを最後まで受講した方が対象です。）
それでは、等差数列の n 項の公式を見てみましょう。
一般に数式とは何ですか - 私たちは想像します。) 等差数列、メンバー番号、数列の違いとは何ですか - 明確に述べられています 前のレッスンで。ちなみに、未読の方はぜひ読んでみてください。 そこではすべてがシンプルです。 それが何であるかを理解することはまだ残っています 第n期.
一般に、進行は一連の数値として記述できます。
1、2、3、4、5、....
1- 等差数列の最初の項を表します。 3- 3人目のメンバー、 4- 4番目など。 第 5 期に興味がある場合は、次のように取り組んでいるとしましょう。 5、120分の1の場合 - s 120.
一般的にそれをどのように定義できますか? どれでも等差数列の項、 どれでも番号？ とてもシンプルです！ このような：
あ、ん
それはそれです 等差数列の n 番目の項。文字 n は、すべてのメンバー番号 (1、2、3、4 など) を一度に非表示にします。
そして、そのような記録は私たちに何をもたらすのでしょうか？ 考えてみてください、彼らは数字の代わりに文字を書き留めました...
この表記法は、等差数列を扱うための強力なツールを提供します。 表記法を使用する あ、ん、すぐに見つけることができます どれでもメンバー どれでも等差数列。 そして、その他の進行上の問題をたくさん解決してください。 さらに詳しくは自分の目で確認してください。
等差数列の n 番目の項の式では、次のようになります。
| a n = a 1 + (n-1)d |
1- 等差数列の最初の項。
n- 会員番号。
この式は、あらゆる進行の主要なパラメータを結び付けます。 ; 1 ; dそして n. すべての進行上の問題は、これらのパラメータを中心に展開します。
n 項の公式は、特定の数列を記述するためにも使用できます。 たとえば、問題は進行が条件によって指定されていると言う場合があります。
a n = 5 + (n-1) 2.
このような問題は行き止まりになる可能性があります...級数も差分もありません...しかし、条件を式と比較すると、このような進行であることが簡単に理解できます ａ １ ＝５、およびｄ＝２である。
そして、それはさらに悪いことになる可能性があります!) 同じ条件を仮定すると、次のようになります。 a n = 5 + (n-1) 2、はい、括弧を開けて、同じようなものを持ってきてください? 我々が得る 新しい式:
a n = 3 + 2n。
これ 一般的なものではなく、特定の進行のためのものです。 ここに落とし穴が潜んでいます。 1期は3だと思う人もいる。 実際には最初の項は 5 ですが...もう少し低く、このような修正された式を使用して作業します。
進行問題では別の表記法があります - n+1。 ご想像のとおり、これは数列の「n プラス第一」項です。 その意味は単純で無害です。) これは、番号 n より 1 大きい数列のメンバーです。 たとえば、何らかの問題が発生した場合、 あ、んそれから5期目 n+1 6人目のメンバーになります。 等。
ほとんどの場合、指定 n+1漸化式で見られます。 この恐ろしい言葉を恐れないでください!) これは等差数列のメンバーを表現する単なる方法です 前回のものを通して。漸化式を使用して、次の形式で等差数列が与えられたとします。
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
4 番目から 3 番目まで、5 番目から 4 番目まで、というようになります。 たとえば、20 項をすぐに数えるにはどうすればよいでしょうか? 20? でもそんなわけない！） 19期がわかるまでは20期を数えることはできない。 これが漸化式と n 項の式の根本的な違いです。 リカレントは経由でのみ機能します 前の第 n 項の式は次のようになります。 初めそして許可します すぐに番号でメンバーを検索します。 一連の数値全体を順番に計算する必要はありません。
等差数列では、再帰式を通常の式に変えるのは簡単です。 連続する用語のペアを数え、その差を計算します d、必要に応じて最初の項を見つけます 1、通常の形式で数式を記述し、それを操作します。 州科学アカデミーではこのような作業が頻繁に行われます。
等差数列の n 番目の項に対する公式の適用。
まず、公式を直接適用する方法を見てみましょう。 前回のレッスンの終わりに次の問題がありました。
等差数列 (a n) が与えられます。 a 1 =3 および d=1/6 の場合、121 を求めます。
この問題は公式を使わずに単純に次の式に基づいて解くことができます。 等差数列の意味。追加しても追加しても... 1 ～ 2 時間。)
式によれば、解決には 1 分もかかりません。 時間は調整できます。）決めましょう。
条件は、式を使用するためのすべてのデータを提供します。 ａ １ ＝３、ｄ＝１／６。何が等しいかを理解することはまだ残っています n.問題ない！ 見つける必要があります 121。 したがって、次のように書きます。
注目してください！ インデックスの代わりに n特定の数字が表示されました: 121。これは非常に論理的です。) 私たちは等差数列のメンバーに興味があります。 百二十一番。これは私たちのものになります n.これが意味です n= 121 括弧内の式にさらに代入します。 すべての数値を式に代入して計算します。
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
それでおしまい。 510 番目の項と 1003 番目の項をすぐに見つけることができます。 代わりに置きます n文字のインデックス内の希望の番号「 ああ」そして括弧内で数えます。
重要なことを思い出させてください。この式を使用すると、次のことがわかります。 どれでも等差数列項 彼の番号で」 ん」 .
もっと巧妙な方法で問題を解決しましょう。 次の問題に遭遇してみましょう。
a 17 =-2 の場合、等差数列 (a n) の最初の項を見つけます。 d=-0.5。
何かお困りのことがあれば、最初のステップを教えます。 等差数列の n 項の式を書きなさい!はいはい。 ノートに直接、手で書き留めてください。
| a n = a 1 + (n-1)d |
さて、式の文字を見ると、どのようなデータがあり、何が欠けているのかがわかります。 利用可能 d=-0.5、 17人目のメンバーがいる…あれ？ それだけだと思っていたら問題は解決しません、はい...
まだ番号はあります n！ 状態 a 17 =-2隠れた 2 つのパラメータ。これは、第 17 項の値 (-2) とその数 (17) の両方です。 それらの。 n=17。この「些細なこと」はしばしば頭をすり抜けてしまい、それがなければ（頭ではなく「些細な」ことがなければ！）問題は解決できません。 ただし...頭もありません。)
ここで、愚かにもデータを式に代入することができます。
a 17 = a 1 + (17-1)・(-0.5)
そうそう、 17-2 であることがわかっています。 さて、次のように置き換えてみましょう。
-2 = a 1 + (17-1)・(-0.5)
基本的にはこれですべてです。 あとは等差数列の第 1 項を式から表現して計算するだけです。 答えは次のようになります。 a 1 = 6。
このテクニック - 式を書き留めて既知のデータを単純に置き換える - は、単純なタスクに非常に役立ちます。 もちろん、できる必要があります 式から変数を表現し、何をする必要がありますか？ このスキルがなければ数学はまったく勉強できないかもしれません...
もう 1 つの人気のあるパズル:
a 1 =2 の場合、等差数列の差 (a n) を求めます。 a 15 = 12。
私たちは何をしているのでしょうか？ 驚くでしょう、私たちは式を書いているのです!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
私たちが知っていることを考えてみましょう: ａ１＝２； ａ１５＝１２； そして（特に強調します！） n=15。 これを式に代入してください。
12=2 + (15-1)d
私たちは算術を行います。)
12=2 + 14日
d=10/14 = 5/7
これが正解です。
したがって、次のタスクは、 n、1そして d決めた。 残っているのは、数値の求め方を学ぶことだけです。
数字 99 は等差数列 (a n) のメンバーであり、a 1 =12 です。 d=3。 この会員番号を見つけてください。
既知の量を n 項の式に代入します。
a n = 12 + (n-1) 3
一見すると、ここには未知の量が 2 つあります。 nとn。しかし あ、ん- これは番号が付いた進行中のメンバーです n...そして私たちはこの進行メンバーを知っています! 99です。その番号はわかりません。 ん、したがって、この番号を見つける必要があります。 数列 99 の項を式に代入します。
99 = 12 + (n-1) 3
式から表すと n、 我々が考えます。 答えは次のとおりです。 n=30。
そして今度は同じトピックに関する問題ですが、より創造的です):
数値 117 が等差数列 (a n) のメンバーであるかどうかを判断します。
-3,6; -2,4; -1,2 ...
もう一度式を書いてみましょう。 えっ、パラメータがないんですか？ うーん...なぜ私たちに目があるのですか?) 進行の最初の項が見えますか? 私たちは見る。 これは-3.6です。 安全に次のように書くことができます。 a 1 = -3.6。違い dシリーズからわかるでしょうか？ 知っていれば簡単です 等差数列の違いは何ですか:
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
そこで、最も単純なことを行いました。 未知の番号への対処が残っている n前の問題では、少なくとも、それが与えられた数列の項であることがわかっていました。 しかし、ここでは私たちもわかりません...どうすればいいですか? さて、どうしよう、どうしよう... スイッチオン クリエイティブなスキル!)
私たちは 仮定する結局のところ、117 は私たちの進歩の一員なのです。 知らない番号で n。 そして、前の問題と同じように、この数値を見つけてみましょう。 それらの。 式を書き (はい、はい!))、数値を置き換えます。
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
もう一度式から表すとnを数えて次を取得します。
おっとっと！ 数字が判明しました 分数！ 111.5。 そして、数列の分数 あり得ません。どのような結論を導き出せるでしょうか? はい！ 117番 ではありません私たちの進歩のメンバー。 それは百と第一項と百と第二項の間のどこかです。 数値が自然であることが判明した場合、つまり が正の整数の場合、その数値は、見つかった数値の数列のメンバーになります。 私たちの場合、問題に対する答えは次のようになります。 いいえ。
GIA の実際のバージョンに基づくタスク:
等差数列は次の条件によって与えられます。
a n = -4 + 6.8n
進行の第 1 項と第 10 項を見つけます。
ここでの進行は珍しい方法で設定されています。 ある種の公式…それは起こります。）しかし、この公式（上で書いたように）- 等差数列の n 項の公式でもあります。彼女も許可します 進行のメンバーをその番号で見つけます。
最初のメンバーを募集しています。 考える人。 最初の項がマイナス 4 であるというのは致命的な間違いです!) 問題の式が変更されているためです。 その中の等差数列の最初の項 隠れた。大丈夫、すぐに見つけます。）
前の問題と同様に、次のように置き換えます。 n=1この式に：
a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8
ここ！ 最初の項は -4 ではなく 2.8 です。
同じ方法で 10 番目の項を探します。
a 10 = -4 + 6.8 10 = 64
それでおしまい。
そして今、これらの行を読んだ人には約束されたボーナスがあります。)
国家試験や統一国家試験の厳しい戦闘状況で、等差数列の n 項に役立つ公式を忘れたとします。 何かは覚えているけど、なんとなく不確か… あるいは nそこで、または n+1、または n-1...なんと！
落ち着いた！ この公式は簡単に導き出せます。 あまり厳密ではありませんが、自信と 正しい決断間違いなく十分です!) 結論として、覚えておいてください。 等差数列の基本的な意味数分ほどお時間をください。 ただ絵を描くだけでいいのです。 明確にするために。
数直線を引き、その上の最初の直線に印を付けます。 2番目、3番目など。 メンバー。 そして私たちは違いに気づきます dメンバー間で。 このような：
私たちは絵を見て考えます: 2 番目の項は何に等しいでしょうか? 2番 1つ d:
ある 2 =a1+ 1 d
第三期とは何ですか？ 三番目項は最初の項にプラスを加えたものに等しい 二 d.
ある 3 =a1+ 2 d
わかりますか？ いくつかの単語を太字で強調しているのは当然のことです。 わかりました、もう一歩）。
第四期とは何ですか？ 第4項は最初の項にプラスを加えたものに等しい 三つ d.
ある 4 =a1+ 3 d
ギャップの数、つまり d、 いつも 探しているメンバーの番号より1つ少ない数 n. つまり、その数に n、スペースの数意思 n-1。したがって、式は次のようになります (バリエーションはありません!)。
| a n = a 1 + (n-1)d |
一般に、視覚的な絵は数学の多くの問題を解決するのに非常に役立ちます。 写真を無視しないでください。 ただし、絵を描くのが難しい場合は、式だけで十分です!) さらに、第 n 項の式を使用すると、方程式、不等式、システムなど、数学の強力な武器全体を解決策に結び付けることができます。 数式に画像を挿入することはできません...
独立した解決策のためのタスク。
ウォームアップするには:
1. 等差数列 (a n) a 2 =3; ａ５＝５．１。 3 を見つけます。
ヒント: 画像によると、この問題は 20 秒で解けます...公式によると、それはさらに難しいことがわかります。 ただし、公式をマスターするには、この方が便利です。) 第555条この問題は、図と公式の両方を使用して解決されました。 違いを感じます！）
そしてこれはもはやウォーミングアップではありません。)
2. 等差数列 (a n) a 85 =19.1。 a 236 =49, 3. a 3 を見つけます。
え、絵描きたくないの？） もちろんですよ！ 公式によれば、そうです...
3. 等差数列は次の条件によって与えられます。a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5。 この数列の 125 項を見つけてください。
このタスクでは、進行は反復的に指定されます。 しかし、125 項まで数えてみると...誰もがそのような偉業を達成できるわけではありません。) しかし、n 項の公式は誰でもできるのです。
4. 等差数列 (a n) を指定すると、次のようになります。
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
数列の最小の正の項の数を見つけます。
5. タスク 4 の条件に従って、数列の最小の正の項と最大の負の項の合計を見つけます。
6. 増加する等差数列の第 5 項と第 12 項の積は -2.5 に等しく、第 3 項と第 11 項の和はゼロに等しくなります。 14 を見つけます。
最も簡単な作業ではありません、そうです...) 「指先」の方法はここでは機能しません。 数式を書いて方程式を解く必要があります。
答え（混乱中）：
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
起こりました？ いいね！）
すべてがうまくいかないのですか？ 起こります。 ところで、最後の作業で微妙な点が一つあります。 問題を読む際には注意が必要です。 そしてロジック。
これらすべての問題の解決策については、以下で詳しく説明します。 セクション555。そして4番目にはファンタジーの要素が、6番目には微妙な瞬間が、そして 一般的なアプローチ n番目の項の公式に関係する問題を解くために、すべてが書き出されています。 お勧めします。
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ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)
例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。 即時検証によるテスト。 興味を持って学びましょう！）
関数と導関数について知ることができます。