入り口『二次方程式の出現の歴史。 二次方程式の発展の歴史
ホーム > レポート英雄の名を冠した市立教育機関中等教育学校 ソビエト連邦
ソトニコワ A.T. およびShepeleva N. G.村ウリツコエ
トピックに関するレポート:
「起源の歴史」
によって準備された：イゾトヴァ・ユリア
アンプリエヴァ・エレナ
シェペレフ・ニコライ
ディアチェンコ・ユーリ。
ああ、数学。 何世紀にもわたって、あなたは栄光に覆われていますが、
地上のすべての著名人の中の著名人。
あなたは雄大な女王です
ガウスがそれに命名したのも不思議ではありません。
厳密で、論理的で、雄大で、
飛行中は矢のように細く、
色褪せないあなたの栄光
何世紀にもわたって、彼女は不死を獲得しました。
私たちは人間の心を称賛し、
彼の事情 魔法の手,
今世紀の希望、
地球上のあらゆる科学の女王。
今日お伝えしたいのは
起源の歴史
すべての学生が知っておくべきこと -
二次方程式の歴史。
ユークリッド、 紀元前3世紀に e. 彼は 2 冊目の本全体をその要素の幾何代数に費やしました。 必要な材料二次方程式を解くためのものです。ユークリッド (Eνκλειδηζ)、古代ギリシャの数学者、私たちに伝えられた最初の数学に関する理論的論文の著者
ユークリッドに関する知識は非常に不足しています。 信頼できると考えられる唯一のことは、彼が 科学活動紀元前3世紀にアレクサンドリアで起こった。 e. ユークリッドはアレクサンドリア学派の最初の数学者です。 彼の主著「Principia」（ラテン語版「Elements」）には、面積測定、立体測定、および数論における多くの問題のプレゼンテーションが含まれています。 その中で彼はギリシャ数学のこれまでの発展を要約し、基礎を作成しました。 更なる発展数学。 サギ - 紀元1世紀にギリシャで最初に誕生したギリシャの数学者および技術者。 きれいにする 代数的方法二次方程式を解くこと。
アレクサンドリアのサギ。 サギ、1世紀 n. e.、ギリシャの機械学および数学者。 彼の生涯の時期は不明であり、彼がアルキメデス (紀元前 212 年に死去) の言葉を引用したこと、および彼自身もパップス (西暦 300 年頃) の言葉を引用したことだけが知られています。 現在、彼は1世紀に生きていたという説が有力です。 n. e. 彼は幾何学、力学、流体静力学、光学を学びました。 プロトタイプを発明した 蒸気機関そして精密なレベリングツール。 最も人気のあるのは自動劇場、噴水などの自動機械でした。G. は静力学と運動学の法則に基づいてセオドライトを説明し、レバー、ブロック、ネジ、軍用車両について説明しました。 彼は光学では光の反射の法則を定式化し、数学では最も重要な要素を測定する方法を確立しました。 幾何学的形状。 G. の主な著作は、理論学、空気学、自動詩学、力学 (フランス語。著作はすべてアラビア語で保存されている)、カトプティクス (鏡の科学。ラテン語翻訳のみで保存されている) などです。G. は彼の業績を利用しました。前任者: ユークリッド、アルキメデス、ランプサカスのストラト。 彼のスタイルはシンプルかつ明確ですが、時には簡潔すぎたり、構造化されていない場合もあります。 G.の作品への関心は3世紀に起こりました。 n. e. ギリシャ人、次にビザンチン人、アラブ人の学生が彼の作品にコメントを付け、翻訳しました。
ディオファントス- 西暦 3 世紀のギリシャの科学者は、幾何学に頼ることなく、純粋に代数的にいくつかの二次方程式を解き、方程式自体とその解を記号形式で書き留めました。
「ギリシャの数学者ディオファントスが二次方程式をどのように構成し、解いたかをお話します。 たとえば、これは彼のタスクの 1 つです。「和が 20 で積が 96 であることを知っている 2 つの数値を見つけてください。」
1. 問題の条件から、必要な数が等しくないことがわかります。 それらが等しい場合、その積は 96 ではなく 100 になります。
2. それで そのうちの 1 つは金額の半分以上になります。 10 + x、もう一方は小さい、つまり 10 – ×。
3. 両者の差は 2 倍です。
4. したがって、方程式 (10 + x) * (10 – x) = 96 となります。
100 – x 2 = 96 x 2 – 4 = 0
5. x = 2 と答えます。 私たちが探している数字の 1 つは 12 です。
その他-8． 解 x = - 2 はディオファントスには存在しません。 ギリシャの数学は正の数しか知りませんでした。」
ディオファントスは決断の仕方をよく知っていた 複雑な方程式、未知数に文字指定を使用し、計算に特別な記号を導入し、単語の略語を使用しました。 バスカレ – アカリア- 西暦12世紀のインドの数学者。 二次方程式を解くための一般的な方法を発見しました。
インドの数学者の問題の 1 つ、たとえばバスカラ問題を見てみましょう。
「猿の群れが楽しんでいます。広場にいる猿の総数の8分の1が森ではしゃぎ、残りの12匹は丘の頂上で叫んでいます。」 教えてください、猿は何匹いますか？」
この問題についてコメントすると、この問題は方程式 (x/8) 2 + 12 = x に対応すると言いたいと思います。 Bhaskara は、x 2 – 64x = - 768 と書きます。 32 の 2 乗を両辺に加算すると、方程式は次のようになります。
× 2 – 64 × + 32 2 = - 768 + 1024
(x – 32) 2 = 256
抽出後 平方根 x – 32 =16 が得られます。
「この場合、」とバスカラは言います。「最初の部分の負の単位は、2 番目の部分の単位がそれより小さいようなものであるため、後者は正と負の両方と見なすことができ、次の 2 倍の値が得られます。未知の者：48と16。」
結論を下す必要があります。バスカラの解決策は、バスカラが二次方程式の根が 2 値であることを知っていたことを示しています。
古代インドのバスカラ問題を解決することが提案されています。
「3匹減った5分の1の猿が洞窟に隠れ、1匹の猿が木に登って姿を現した。 何匹の猿がいましたか？ この問題は二次方程式に帰着する初歩的な方法で解決できることに注意してください。
アル - ホレズミ
- 825年に『回復と反対の書』という本を著したアラブの学者。 これは世界初の代数学の教科書でした。 彼はまた、6 種類の二次方程式を与え、6 つの方程式のそれぞれに対して、それを解くための特別な規則を言葉で定式化しました。 ホレズミの論文には6種類の方程式があり、次のように表現されています。 1. 「平方根は根に等しい」、つまり ああ 2 = で。
2. 「正方形は数字に等しい」、つまり 斧 2 = c。
3. 「根は数値に等しい」、つまり ああ=す。
4. 「平方根と数字は根に等しい」、つまり ax 2 + c = インチ
5. 「二乗と根は数字に等しい」、つまり ax 2 + inx = s。
6. 「根と数は平方に等しい」、つまり in + c = ax 2.アル・ホレズミ問題を分析してみましょう。これは結局、二次方程式を解くことになります。 「平方と数は根に等しい。」 たとえば、1 つの正方形と数字 21 は、同じ正方形の 10 個の根に等しいです。 問題は、21 を加算すると同じ平方根の 10 に等しくなる正方形から何が形成されるかということです。
そして 
4 番目のアル・ホレズミ公式を使用して、生徒は次のように書く必要があります: x 2 + 21 = 10x
フランソワ・ベト - フランスの数学者。与えられた二次方程式の根の和と積に関する定理を定式化して証明しました。
私が説明する芸術は新しいものであるか、少なくとも時間の経過とともにひどく腐敗し、野蛮人の影響によって歪められているため、まったく新しい外観を与える必要があると考えました。
フランソワ・ベト
Iet Francois (1540-1603/12/13) は、有名な要塞ラ ロシェルの近くにあるポワトゥー県のフォントネー ル コント市で生まれました。 法律の学位を取得した彼は、19 歳から故郷で弁護士として成功を収めました。 ベトは弁護士として、国民の間で権威と尊敬を集めていた。 彼は幅広い教育を受けた人でした。 天文学や数学などあらゆることを知っていた 自由時間これらの科学に与えられました。
ビエタの主な情熱は数学でした。 彼は、カルダーノ、ボンベリ、ステヴィンなどの最も近い先人である古典アルキメデスとディオファントスの作品を深く研究しました。 ヴィエトはそれらを賞賛するだけでなく、言語的象徴主義による理解の難しさという大きな欠陥にも気づいた。ほとんどすべての行動やサインは言葉で書き記されており、現在私たちが知っているような便利でほぼ自動化された規則のヒントはまったくなかった。使用。 録音できなかったため、開始できませんでした 一般的な見解代数比較またはその他の代数式。 数値係数を含む各タイプの方程式は、特別な規則に従って解かれました。 したがって、これらの数値自体に依存しない、すべての数値に対してそのような一般的なアクションがあることを証明する必要がありました。 Viet と彼の支持者たちは、問題の数がオブジェクトの数であるかセグメントの長さであるかは重要ではないことを確立しました。 重要なことは、これらの数値を使用して代数演算を実行でき、その結果、再び同じ種類の数値が得られるということです。 これは、それらがいくつかの抽象的な記号によって指定できることを意味します。 ベトはまさにそれをやった。 彼は文字通りの微積分を導入しただけでなく、根本的に新しい発見をし、数値ではなく数値の演算を研究するという目標を自分自身に設定しました。 この表記法により、ヴィースは代数方程式の一般的な性質を研究する際に重要な発見をすることができました。 このため、ヴィエタが代数学の「父」、文字記号の創始者と呼ばれているのは偶然ではありません。
http :// ソム. フィオ. る/ リソース/ カルプヒナ/2003/12/ 褒められた%20 仕事/ コンサート/ 索引1. htm
http :// ページ. マルス. る/ iac/ 学校/ s4/ ページ74. html
1.1. 二次方程式の誕生の歴史から
代数学は、方程式を使用してさまざまな問題を解決することに関連して生まれました。 通常、問題では、所望の量と与えられた量に対して実行されたいくつかのアクションの結果を知りながら、1 つ以上の未知数を見つける必要があります。 このような問題は、最終的には 1 つまたは複数の方程式系を解き、与えられた量に対する代数演算を使用して必要な方程式を見つけることになります。 代数を勉強します 一般的なプロパティ量に対するアクション。
一次方程式や二次方程式を解くための代数テクニックのいくつかは、4000 年前に知られていました。 古代バビロン.
古代バビロンの二次方程式
古代においてさえ、一次方程式だけでなく二次方程式も解く必要があったのは、土地区画の面積の特定や軍事的な性質の掘削作業に関連した問題を解決する必要があったためです。天文学や数学そのものの発展と同様に。 バビロニア人は紀元前 2000 年頃に二次方程式を解くことができました。 現代の代数表記を使用すると、彼らの楔形文字テキストには、不完全なものに加えて、たとえば完全な二次方程式が存在すると言えます。
バビロニアの文書に記載されているこれらの方程式を解くための規則は、基本的に現代のものと一致しますが、バビロニア人がどのようにしてこの規則に到達したのかは不明です。 これまでに発見されたほぼすべての楔形文字テキストは、レシピの形で提示された解決策を伴う問題のみを提供しており、それらがどのように発見されたのかについては示されていません。 にもかかわらず 上級バビロンで代数学が発展したため、楔形文字テキストには負の数の概念が欠けており、 一般的な方法二次方程式を解くこと。
ディオファントスの『算術』には、代数学の体系的な表現は含まれていませんが、説明を伴い、さまざまな次数の方程式を構築することによって解決される体系的な一連の問題が含まれています。
ディオファントスは方程式を作成するとき、未知数を巧みに選択して解を単純化します。
たとえば、これは彼の仕事の 1 つです。
問題 2. 「和が 20、積が 96 であることを知った 2 つの数値を求めてください。」
ディオファントスは次のように推論します。問題の条件から、必要な数は等しくないことがわかります。なぜなら、それらが等しい場合、その積は 96 ではなく 100 に等しくなるからです。したがって、それらの 1 つは以上になります。それらの合計の半分、つまり .10 + x。 もう 1 つはそれより小さい、つまり 10 - x です。 両者の差は 2 倍です。 したがって、次の方程式が成り立ちます。
(10+x)(10-x) =96、
したがって、x = 2 となります。必要な数値の 1 つは 12 で、もう 1 つは 8 です。ギリシャ数学では正の数しか知らなかったため、解 x = - 2 はディオファントスには存在しません。
必要な数値の 1 つを未知数として選択してこの問題を解決すると、方程式の解が得られます。
ディオファントスが、必要な数の半差を未知数として選択することにより、解を単純化していることは明らかです。 彼は問題を不完全な二次方程式を解くことになんとか還元しました。
インドの二次方程式
二次方程式に関する問題は、インドの数学者で天文学者のアリヤバッタによって 499 年に編纂された天文論文「アリヤバティアム」にすでに記載されています。 別のインドの科学者、ブラフマグプタ（7世紀）は次のように概説しています。 原則二次方程式の解は単一の正準形式に変換されます。
ax 2 + bx = c、a> 0. (1)
式 (1) では、係数が負の場合もあります。 ブラフマグプタの規則は本質的に私たちの規則と同じです。
インドでは、難しい問題を解決するための公開コンテストが一般的でした。 インドの古い本の一つには、そのような競争について次のように書かれています。「太陽がその輝きで星よりも輝くように、学識のある人は、代数問題を提案し解決することで、公の集会で自分の栄光を上回るでしょう。」 多くの場合、タスクは服を着て行われます 詩的な形式.
これは、12 世紀の有名なインドの数学者の問題の 1 つです。 バスカーズ。
バスカラの解決策は、作者が二次方程式の根が 2 値であることを知っていたことを示しています。
問題 3 に対応する式は次のとおりです。
バスカラはこう装って書いている。
x 2 - 64x = - 768
そして、この方程式の左辺を正方形にするには、両辺に 32 2 を加えて、次を取得します。
x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024、
(x - 32) 2 = 256、
x 1 = 16、x 2 = 48。
アル・フワリズミの二次方程式
アル・フワリズミの代数論文では、一次方程式と二次方程式の分類が示されています。 著者は6種類の方程式を数え、以下のように表現します。
1) 「平方根は根に等しい」つまり ax 2 = bx。
2) 「平方は数字に等しい」、つまり ax 2 = c。
3) 「根は数値に等しい」、つまり ax = c です。
4) 「平方根と数字は根に等しい」、つまり ax 2 + c = bx。
5) 「平方根と根は数値に等しい」、すなわち、ax 2 + bx = c。
6) 「根と数は平方に等しい」、つまり bx + c == ax 2。
消費を避けたアル・フワリズミにとって 負の数、これらの各方程式の項は加数であり、減算ではありません。 この場合、正の解をもたない方程式は明らかに考慮されません。 著者は、al-jabr と al-mukabal の手法を使用してこれらの方程式を解く方法を説明します。 もちろん、彼の決定は私たちの決定と完全に一致するわけではありません。 これが純粋に修辞的であることは言うまでもなく、たとえば、最初のタイプの不完全な二次方程式を解くとき、アル・ホレズミは、17 世紀までのすべての数学者と同様に、ゼロ解を考慮に入れていないことに注意する必要があります。おそらく、具体的な実務ではタスクでは重要ではないからでしょう。 完全な二次方程式を解くとき、アル・フワリズミは特定の数値例を使用してそれらを解くための規則を示し、次にその幾何学的証明を示します。
例を挙げてみましょう。
問題 4. 「正方形と数字の 21 は 10 の根に等しい。 根を見つけてください」（方程式 x 2 + 21 = 10x の根を意味します）。
解決策: 根の数を半分に割ると 5 が得られ、5 をそのまま掛けて積から 21 を引くと、残りは 4 になります。4 から根を取り、2 を求めます。5 から 2 を引くと 3 を求めます。探しているルートになります。 または、2 に 5 を足すと 7 になります。これもルートです。
アル・ホレズミの論文は、二次方程式の分類を体系的に説明し、その解法の公式を示した、私たちに伝えられた最初の本です。
12 世紀から 17 世紀にかけてヨーロッパで使われた二次方程式。
ヨーロッパのアル・フワリズミのモデルに従った二次方程式を解くための形式は、1202 年に書かれた「そろばんの書」に初めて記載されました。 イタリアの数学者レナード・フィボナッチ。 著者は問題を解決するための新しい代数例をいくつか独自に開発し、ヨーロッパで初めて負の数の導入に取り組みました。
この本は、イタリアだけでなく、ドイツ、フランス、その他のヨーロッパ諸国でも代数知識の普及に貢献しました。 この本の多くの問題は、14 世紀から 17 世紀のヨーロッパのほぼすべての教科書で使用されました。 二次方程式を解くための一般規則は、符号と係数 b、c のすべての可能な組み合わせに対して単一の正準形式 x 2 + bх = с にまとめられ、1544 年にヨーロッパで M. シュティーフェルによって定式化されました。
一般形式で二次方程式を解く公式の導出は Viète から入手できますが、Viète は正の根のみを認識しました。 イタリアの数学者タルターリア、カルダーノ、ボンベリは 16 世紀の最初の数学者の一人です。 正の根に加えて、負の根も考慮されます。 17世紀のみ。 ジラール、デカルト、ニュートン、その他の科学者の研究のおかげで、二次方程式を解く方法は モダンな外観..
実際の問題を解決するための代数的手法の起源は科学と結びついています 古い世界。 数学の歴史から知られているように、エジプト、シュメール、バビロニアの筆記者や計算者 (紀元前 20 世紀から 6 世紀) によって解決された数学問題の重要な部分は、計算的な性質のものでした。 しかし、それでも時折、量の望ましい値が特定の間接的な条件によって指定されるという問題が発生し、現代の観点から見ると、方程式または連立方程式の合成が必要でした。 当初、このような問題を解決するために算術的手法が使用されました。 その後、代数の概念の始まりが形成され始めました。 たとえば、バビロニアの計算機は、次の観点から削減できる問題を解決することができました。 現代の分類 2 次方程式に変換します。 文章問題を解くための方法が作成され、後に代数コンポーネントを分離し、その独立した研究を行うための基礎として機能しました。
この研究は別の時代に行われ、最初はアラブの数学者 (西暦 6 世紀から 10 世紀) によって行われ、方程式を次のように簡略化する特徴的な動作を特定しました。 標準ビュー同様の項をもたらし、符号を変えて方程式のある部分から別の部分に項を転送します。 そして、ルネサンス期のヨーロッパの数学者たちによって、長い研究の結果、現代の代数学の言語、文字の使用、四則演算のための記号の導入、括弧などが生み出されました。 17世紀。 数学の特定の部分としての代数学は、独自の主題、方法、応用分野を備え、すでに形成されていました。 私たちの時代に至るまで、そのさらなる発展は、方法の改善、応用範囲の拡大、概念と数学の他の分野の概念との関係の明確化で構成されていました。
したがって、方程式の概念に関連する資料の重要性と膨大さを考慮して、現代の数学方法における方程式の研究は、方程式の起源と機能に関する 3 つの主要な領域に関連付けられています。
二次方程式の歴史より 著者：9 期「A」クラスの生徒 スヴェトラーナ・ラドチェンコ 監修者：アラブギナ I.A. 数学教師 MBOU「グリエフスク第 5 中学校」ケメロヴォ地域 プレゼンテーションの主題分野: 数学 教師を支援するために作成 スライド合計 20 枚 内容 はじめに……………………………………………… ……………………………3 二次方程式の出現の歴史から 古代バビロンの二次方程式……………………………….4 インドの二次方程式……………… ………………………………5 アル・フワリズミにおける二次方程式………………………………6 ディオファントスが二次方程式をどのように構成し、解いたか………………………… ..... 7 ヨーロッパ Xll ～ XVll 世紀の二次方程式…………………………………………8 3. 今日の二次方程式…………………………………………………… ……………… .10 二次方程式の学習方法………………………………………….11 二次方程式を解くための 10 の方法……………………………….12 解くためのアルゴリズム不完全な 2 次方程式………………………………13 完全な 2 次方程式を解くためのアルゴリズム………………………………14 与えられた 2 次方程式を解く…………………………………… ……………………………………………………………………15 4. 応用問題を解くための二次方程式の実践………………………………………………………………………………………….16 5. まとめ。 ……………………………………………………………………………………………18 1. 2. 6. 使用文献一覧……………… ……………………………….19 2 はじめに 何も新しいことを学ばず、教育に何も加えなかったその日またはその時間を不幸だと考えてください。 ヤン・アモス・コメニウス 3 二次方程式は、代数学の壮大な建造物を支える基礎です。 これらは、三角関数、指数関数、対数、無理数、超越方程式や不等式を解く際に広く使用されています。 二次方程式は学校の代数学コースで主要な位置を占めています。 学校の数学コースでは多くの時間が勉強に費やされます。 基本的に、二次方程式は特定の実用的な目的に役立ちます。 現実世界の空間形態と量的関係に関する問題のほとんどは、最終的に解決されます。 さまざまな種類 二次方程式を含む方程式。 人々は、その解決方法を習得することで、科学技術のさまざまな疑問に対する答えを見つけます。 二次方程式の出現の歴史から 古代バビロン: すでに紀元前約 2000 年前、バビロニア人は二次方程式の解き方を知っていました。 完全な二次方程式と不完全な二次方程式の両方を解く方法が知られていました。 たとえば、古代バビロンでは、次の二次方程式が解決されました。 4 インド 二次方程式を使用して解決された問題は、西暦 499 年にインドの天文学者で数学者のアリヤバタによって書かれた天文学に関する論文「アルヤバティアム」に記載されています。 別のインドの科学者、ブラマグプタは、二次方程式を正準形式に変換したものを解くための普遍的な規則を概説しました: ax2+bx=c; さらに、「a」を除くすべての係数が負になる可能性があると想定されました。 科学者によって定式化された規則は、現代の規則と本質的に一致します。 5 Al-Khorezmi の 2 次方程式: Al-Khorezmi の代数論文では、1 次方程式と 2 次方程式の分類が示されています。 著者は6種類の方程式を数え、「平方根は根に等しい」と表現しています。 ax2 = bx; 「二乗は数値に等しい」、つまり ax2 = c; 「根は数値に等しい」、つまり ax = c; 「平方根と数字は根に等しい」、つまり ax2 + c = bx; 「平方根と根は数値に等しい」つまり ax2 + bx = c; 「根と数は平方に等しい」、つまり bx + c = ax2 です。 6 ディオファントスは二次方程式をどのように構成し、解いたか: 最もユニークな古代ギリシャの数学者の 1 人は、アレクサンドリアのディオファントスでした。 ディオファントスの生年も死亡日も明らかにされていません。 彼は3世紀に生きていたと考えられています。 広告 ディオファントスの著作の中で最も重要なのは『算術』ですが、13 冊のうち今日まで残っているのは 6 冊だけです。 ディオファントスの『算術』には、代数学の体系的な表現は含まれていませんが、説明を伴い、さまざまな次数の方程式を構築することによって解決される多数の問題が含まれています。 ディオファントスは方程式を作成するとき、未知数を巧みに選択して解を単純化します。 7 12 世紀から 17 世紀のヨーロッパの二次方程式: イタリアの数学者レナード フィボナッチは、問題を解く新しい代数例を独自に開発し、ヨーロッパで初めて負の数を導入しました。 符号と係数 b、c のすべての可能な組み合わせに対して、単一の正準形式 x2 + bх = с に帰着する二次方程式を解くための一般規則は、1544 年にヨーロッパで Michael Stiefel によって定式化されました。 8 フランソワ・ベト フランスの数学者 F. ベト (1540-1603) は、代数記号の体系を導入し、初等代数学の基礎を開発しました。 彼は数字を文字で表す最初の人物の 1 人であり、これにより方程式理論が大きく発展しました。 一般形式で二次方程式を解く公式の導出は Viète から入手できますが、Viète は正の根のみを認識しました。 9 今日の二次方程式 二次方程式を解く能力は、他の方程式とその系を解くための基礎として機能します。 方程式の解き方の学習は、方程式の最も単純なタイプから始まり、プログラムは両方のタイプの段階的な蓄積と、同一および同等の変換の「資金」を決定します。これを利用して、任意の方程式を最も単純な方程式に減らすことができます。 学校の代数コースで方程式を解くための一般化された手法を開発するプロセスも、この方向に構築される必要があります。 高校の数学コースでは、学生は方程式やシステムの新しいクラスに直面したり、既知の方程式の詳細な学習に直面したりすることになります。二次方程式を解く方法に重点が置かれており、特別な研究対象となっています。 このトピックの特徴は、 深いプレゼンテーションと、その教育の助けを借りて確立されたつながりの豊かさ、プレゼンテーションの論理的妥当性。 したがって、方程式と不等式の中で例外的な位置を占めています。 二次方程式の研究における重要な点は、縮小された二次方程式の根と係数の間に関係が存在することを述べるビエタの定理を考慮することです。 ビエタの定理を習得することが難しいのは、いくつかの状況が原因です。 まず第一に、直接定理と逆定理の違いを考慮する必要があります。 11 二次方程式を解く 10 の方法: 方程式の左辺を因数分解します。 完全な正方形を選択する方法。 公式を使用して二次方程式を解きます。 ビエタの定理を使用して方程式を解きます。 「スロー」法を使用して方程式を解く 二次方程式の係数の性質。 二次方程式のグラフィカルな解。 コンパスと定規を使って二次方程式を解きます。 12 ノモグラムを使用して二次方程式を解く。 二次方程式を解くための幾何学的な方法。 不完全な二次方程式を解くためのアルゴリズム 1) 方程式が ax2 = 0 の形式を持つ場合、その根は 1 つ x = 0 になります。 2) 方程式の形式が ax2 + bx = 0 の場合、因数分解法が使用されます。x (ax + b) = 0。 これは、x = 0 または ax + b = 0 のいずれかを意味します。その結果、2 つの根が得られます。 x2 = 3) 方程式の形式が ax2 + c = 0 の場合、ax2 = - c の後に x2 の形式に変換されます。= - の場合< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0、つまり - = m (m>0 の場合、方程式 x2 = m には根が 2 つあります。したがって、不完全な 2 次方程式には根が 2 つある場合もあれば、根が 1 つある場合もあれば、根がない場合もあります)。 13 完全な二次方程式を解くためのアルゴリズム。 これらは、ax2 + bx + c = 0 の形式の方程式です。ここで、a、b、c は与えられた数値であり、≠ 0、x は未知数です。 二次方程式の根の数を決定し、これらの根を見つけるために、完全な二次方程式を形式に変換できます。 完全な二次方程式を解く次のケースが考慮されます: D< 0, D = 0, D >0. 1. D の場合< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0 の場合、二次方程式 ax2 + bx + c = 0 には 2 つの根があり、次の式で求められます。 14 縮小二次方程式の解法 F. ビエタの定理: 縮小二次方程式の根の和は、反対の符号をとった 2 番目の係数に等しく、根の積は自由項に等しい。 つまり、x1 と x2 が方程式 x2 +px + q = 0 の根である場合、x1 + x2 = - p、x1 x2 = q となります。 (*) ビエタの定理の逆定理: 式 (*) が数値 x1、x2、p、q に対して有効である場合、x1 と x2 は方程式 x2 +px + q = 0 の根になります。 15 実践的な応用応用問題を解くための二次方程式の計算 バスカー (1114-1185) - 12 世紀最大のインドの数学者および天文学者。 彼はウッジャインの天文台の所長を務めました。 バスカラは、4 部構成の論文「シッダーンタ・シロマニ」（「教えの王冠」）を書きました。「リラヴァティ」は算術、「ビズダガニータ」は代数学、「ゴラダヤ」は球面論、「グランハガニータ」は数学の理論です。惑星の動き。 バスカラは、その重要性を疑っていましたが、方程式の負の根を取得しました。 彼は永久機関の初期の設計の 1 つを所有しています。 16 12 世紀の有名なインドの数学者の問題の 1 つ。 Bhaskara: Bhaskara の解決策は、二次方程式の根が 2 値であることを作者が知っていたことを示しています。 17 結論 二次方程式を解く科学の発展は、長くて茨の道を歩んできました。 シュティーフェル、ビエタ、タルターリア、カルダーノ、ボンベリ、ジラール、デカルト、ニュートンの著作を経て初めて、二次方程式を解く科学が現代的な形になりました。 二次方程式の重要性は、問題解決の優雅さと簡潔さだけではありませんが、これも非常に重要です。 問題を解決する際に二次方程式を使用した結果、多くの場合、新しい詳細が発見され、興味深い一般化が行われ、明確化が行われ、結果として得られる式と関係の分析によって示唆されることも同様に重要です。 二次方程式の発展の歴史に関連する文献やインターネットのリソースを調べながら、私はこう自問しました。「これほど困難な時代に生きた科学者たちは、死の脅威にさらされても科学に取り組む動機は何だったのでしょうか?」 おそらく、まず第一に、科学の発展の鍵となるのは人間の心の探究心です。 世界の本質についての疑問、この世界における人間の立場についての疑問は、思考力があり、好奇心旺盛で、知的な人々を常に悩ませます。 人々は常に自分自身と世界における自分の立場を理解しようと努めてきました。 自分自身の内側を見つめてください。もしかしたら、日常生活と怠惰に負けてしまったために、本来の好奇心が損なわれているのではないでしょうか? 多くの科学者の運命は、後に続く 18 の例です。 すべての名前がよく知られ、人気があるわけではありません。 考えてみてください。身近な人たちにとって、私はどのような存在でしょうか? しかし、最も重要なことは、私が自分自身についてどう感じているか、私は尊敬に値するかどうかです。 考えてみてください... 参考文献 1. Zvavich L.I. 「代数 8 年生」、M.、2002 年。 2. Savin Yu.P. 「 百科事典 3. Yu.N.Makarychev「代数 8 年生」、M、2012 年。 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www.ido.rudn.ru /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 ありがとう注目してください 20
二次方程式の誕生の歴史から
代数学は、方程式を使用してさまざまな問題を解決することに関連して生まれました。 通常、問題では、所望の量と与えられた量に対して実行されたいくつかのアクションの結果を知りながら、1 つ以上の未知数を見つける必要があります。 このような問題は、最終的には 1 つまたは複数の方程式系を解き、与えられた量に対する代数演算を使用して必要な方程式を見つけることになります。 代数学は、量に対する演算の一般的な性質を研究します。
一次方程式および二次方程式を解くための代数技術のいくつかは、4000 年前の古代バビロンで知られていました。
古代バビロンの二次方程式
古代においてさえ、一次方程式だけでなく二次方程式も解く必要があったのは、土地区画の面積の特定や軍事的な性質の掘削作業に関連した問題を解決する必要があったためです。天文学や数学そのものの発展と同様に。 バビロニア人は紀元前 2000 年頃に二次方程式を解くことができました。 現代の代数表記を使用すると、彼らの楔形文字テキストには、不完全なものに加えて、たとえば完全な二次方程式が存在すると言えます。
https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" width="93" height="41 src=">
バビロニアの文書に記載されているこれらの方程式を解くための規則は、基本的に現代のものと一致しますが、バビロニア人がどのようにしてこの規則に到達したのかは不明です。 これまでに発見されたほぼすべての楔形文字テキストは、レシピの形で提示された解決策を伴う問題のみを提供しており、それらがどのように発見されたのかについては示されていません。 バビロンにおける代数学の高度な発展にも関わらず、楔形文字テキストには負の数の概念や二次方程式を解くための一般的な方法が欠けています。
ディオファントスの『算術』には、代数学の体系的な表現は含まれていませんが、説明を伴い、さまざまな次数の方程式を構築することによって解決される体系的な一連の問題が含まれています。
ディオファントスは方程式を作成するとき、未知数を巧みに選択して解を単純化します。
たとえば、これは彼の仕事の 1 つです。
問題 2. 「和が 20、積が 96 であることを知った 2 つの数値を求めてください。」
ディオファントスは次のように推論します。問題の条件から、必要な数は等しくないことがわかります。なぜなら、それらが等しい場合、その積は 96 ではなく 100 に等しくなるからです。したがって、それらの 1 つは以上になります。それらの合計の半分、つまり .10 + x。 もう 1 つはそれより小さい、つまり 10 - x です。 両者の差は 2 倍です。 したがって、次の方程式が成り立ちます。
(10+x)(10-x) =96、
したがって、x = 2 となります。必要な数値の 1 つは 12 で、もう 1 つは 8 です。ギリシャ数学では正の数しか知らなかったため、解 x = - 2 はディオファントスには存在しません。
必要な数値の 1 つを未知数として選択してこの問題を解決すると、方程式の解が得られます。
ディオファントスが、必要な数の半差を未知数として選択することにより、解を単純化していることは明らかです。 彼は問題を不完全な二次方程式を解くことになんとか還元しました。
インドの二次方程式
二次方程式に関する問題は、インドの数学者で天文学者のアリヤバッタによって 499 年に編纂された天文論文「アリヤバティアム」にすでに記載されています。 別のインドの科学者、ブラフマグプタ (7 世紀) は、単一の標準形式にまとめられた二次方程式を解くための一般規則を概説しました。
ax2 + bx = c、a>
式 (1) では、係数が負の場合もあります。 ブラフマグプタの規則は本質的に私たちの規則と同じです。
インドでは、難しい問題を解決するための公開コンテストが一般的でした。 インドの古い本の一つには、そのような競争について次のように書かれています。「太陽がその輝きで星よりも輝くように、学識のある人は、代数問題を提案し解決することで、公の集会で自分の栄光を上回るでしょう。」 問題は詩的な形式で提示されることがよくありました。
これは、12 世紀の有名なインドの数学者の問題の 1 つです。 バスカーズ。
バスカラの解決策は、作者が二次方程式の根が 2 値であることを知っていたことを示しています。
問題 3 に対応する式は次のとおりです。
https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" width="12" height="26 src=">x2 - 64x = - 768
そして、この方程式の左辺を二乗するために、両辺に 322 を加えて、次を取得します。
x2 - b4x + 322 = -768 + 1024、
(x - 32)2 = 256、
x1 = 16、x2 = 48。
アル・フワリズミの二次方程式
アル・フワリズミの代数論文では、一次方程式と二次方程式の分類が示されています。 著者は6種類の方程式を数え、以下のように表現します。
1) 「平方根は根に等しい」つまり ax2 = bx。
2) 「平方は数値に等しい」、つまり ax2 = c。
3) 「根は数値に等しい」、つまり ax = c です。
4) 「平方根と数字は根に等しい」つまり、ax2 + c = bx。
5) 「平方根と根は数値に等しい」つまり、ax2 + bx = c。
6) 「根と数は平方に等しい」、すなわち bx + c == ax2。
負の数の使用を避けたアル・フワリズミーにとって、これらの各式の項は加数であり、減算ではありません。 この場合、正の解をもたない方程式は明らかに考慮されません。 著者は、al-jabr と al-mukabal の手法を使用してこれらの方程式を解く方法を説明します。 もちろん、彼の決定は私たちの決定と完全に一致するわけではありません。 これが純粋に修辞的であることは言うまでもなく、たとえば、最初のタイプの不完全な二次方程式を解くとき、アル・ホレズミは、17 世紀までのすべての数学者と同様に、ゼロ解を考慮に入れていないことに注意する必要があります。おそらく、具体的な実務ではタスクでは重要ではないからでしょう。 完全な二次方程式を解くとき、アル・フワリズミは特定の数値例を使用してそれらを解くための規則を示し、次にその幾何学的証明を示します。
例を挙げてみましょう。
問題 4. 「正方形と数字の 21 は 10 の根に等しい。 根を見つけてください」（方程式 x2 + 21 = 10x の根を意味します）。
解決策: 根の数を半分に割ると 5 が得られ、5 をそのまま掛けて積から 21 を引くと、残りは 4 になります。4 から根を取り、2 を求めます。5 から 2 を引くと 3 を求めます。探しているルートになります。 または、2 に 5 を足すと 7 になります。これもルートです。
アル・ホレズミの論文は、二次方程式の分類を体系的に説明し、その解法の公式を示した、私たちに伝えられた最初の本です。
ヨーロッパの二次方程式XII- XVIIV.
ヨーロッパのアル・フワリズミのモデルに従った二次方程式を解くための形式は、1202 年に書かれた「そろばんの書」に初めて記載されました。 イタリアの数学者レナード・フィボナッチ。 著者は問題を解決するための新しい代数例をいくつか独自に開発し、ヨーロッパで初めて負の数の導入に取り組みました。
この本は、イタリアだけでなく、ドイツ、フランス、その他のヨーロッパ諸国でも代数知識の普及に貢献しました。 この本の多くの問題は、14 世紀から 17 世紀のヨーロッパのほぼすべての教科書で使用されました。 二次方程式を解くための一般規則は、符号と係数 b、c のすべての可能な組み合わせに対して単一の正準形式 x2 + bх = с にまとめられ、1544 年にヨーロッパで M. Stiefel によって定式化されました。
一般形式で二次方程式を解く公式の導出は Viète から入手できますが、Viète は正の根のみを認識しました。 イタリアの数学者タルターリア、カルダーノ、ボンベリは 16 世紀の最初の数学者の一人です。 正の根に加えて、負の根も考慮されます。 17世紀のみ。 ジラール、デカルト、ニュートン、その他の科学者の研究のおかげで、二次方程式を解く方法は現代的な形になりました。
実際の問題を解決するための代数的手法の起源は、古代世界の科学に関連しています。 数学の歴史から知られているように、エジプト、シュメール、バビロニアの筆記者や計算者 (紀元前 20 世紀から 6 世紀) によって解決された数学問題の重要な部分は、計算的な性質のものでした。 しかし、それでも時折、量の望ましい値が特定の間接的な条件によって指定されるという問題が発生し、現代の観点から見ると、方程式または連立方程式の合成が必要でした。 当初、このような問題を解決するために算術的手法が使用されました。 その後、代数の概念の始まりが形成され始めました。 たとえば、バビロニアの計算機は、現代の分類の観点からは 2 次方程式に還元できる問題を解くことができました。 文章問題を解くための方法が作成され、後に代数コンポーネントを分離し、その独立した研究を行うための基礎として機能しました。
この研究は別の時代に行われ、最初はアラブの数学者 (西暦 6 世紀から 10 世紀) によって行われました。彼らは方程式を標準形式にするための特徴的な行為を特定しました。つまり、類似した項を持ち込むこと、方程式のある部分から別の部分に項を移動することです。符号の変更。 そして、ルネサンス期のヨーロッパの数学者たちによって、長い研究の結果、現代の代数学の言語、文字の使用、四則演算のための記号の導入、括弧などが生み出されました。 17世紀。 数学の特定の部分としての代数学は、独自の主題、方法、応用分野を備え、すでに形成されていました。 私たちの時代に至るまで、そのさらなる発展は、方法の改善、応用範囲の拡大、概念と数学の他の分野の概念との関係の明確化で構成されていました。
したがって、方程式の概念に関連する資料の重要性と膨大さを考慮して、現代の数学方法における方程式の研究は、方程式の起源と機能に関する 3 つの主要な領域に関連付けられています。
二次方程式を解くには、次のことを知っておく必要があります。
判別式を見つけるための式。
· 二次方程式の根を求める公式。
· このタイプの方程式を解くためのアルゴリズム。
· 不完全な二次方程式を解く。
· 完全な二次方程式を解く。
· 与えられた二次方程式を解きます。
· 解かれた方程式の誤りを見つけて修正します。
· チェックを行います。
各方程式の解は、次の 2 つの主要な部分で構成されます。
· この方程式を最も単純なものに変換します。
· 既知のルール、公式、またはアルゴリズムを使用して方程式を解く。
二次方程式を解く際の生徒の活動方法は徐々に一般化していきます。 「二次方程式」というトピックを学習する場合、次の段階を区別できます。
ステージ I – 「不完全な二次方程式を解く」。
ステージ II – 「完全な二次方程式を解く」。
ステージ III – 「縮小二次方程式を解く」。
最初の段階では、不完全な二次方程式が考慮されます。 数学者は最初、不完全な二次方程式を解くことを学んだので、彼らが言うように、このためには何も発明する必要がありませんでした。 これらは次の形式の方程式です: ax2 = 0、ax2 + c = 0、c≠ 0、ax2 + bx = 0、b ≠ 0。これらの方程式のいくつかを解くことを検討してください。
1. ax2 = 0 の場合。このタイプの方程式は、次のアルゴリズムを使用して解決されます。
1) x2 を見つけます。
2) x を求めます。
たとえば、5x2 = 0。 方程式の両辺を 5 で割ると、x2 = 0 となり、x = 0 となります。
2. ax2 + c = 0 の場合、c≠ 0 このタイプの方程式は、次のアルゴリズムを使用して解かれます。
1) 用語を右側に移動します。
2) 平方が数値 c に等しいすべての数値を見つけます。
たとえば、x2 - 5 = 0、この方程式は方程式 x2 = 5 と同等です。したがって、平方根が数値 5 に等しいすべての数値を見つける必要があります。..gif" width="16" height="19 ">..gif" width=" 16" height="19 src="> であり、他のルートはありません。
3. ax2 + bx = 0 の場合、b ≠ 0。このタイプの方程式は、次のアルゴリズムを使用して解かれます。
1) 共通因数を括弧の外に移動します。
2) x1、x2 を求めます。
たとえば、x2 - 3x = 0 とします。方程式 x2 - 3x = 0 を x (x - 3) = 0 の形式で書き直してみましょう。この方程式には明らかに x1 = 0、x2 = 3 という根があります。他の根はありません。 if in x の代わりに 0 と 3 以外の数値を代入すると、方程式 x (x – 3) = 0 の左辺で、ゼロに等しくない数値が得られます。
したがって、これらの例は、不完全な二次方程式がどのように解かれるかを示しています。
1) 方程式の形式が ax2 = 0 の場合、根 x = 0 が 1 つあります。
2) 方程式の形式が ax2 + bx = 0 の場合、因数分解法が使用されます。x (ax + b) = 0。 これは、x = 0 または ax + b = 0 のいずれかを意味します。.gif" width="16" height="41"> 次の場合 -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0、つまり - = m、m>0、方程式 x2 = m には根が 2 つあります。
https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24 src=">, (この場合、短い表記 = が許可されます。
したがって、不完全な 2 次方程式には 2 つの根があることも、1 つの根があることも、根がないこともあります。
第 2 段階では、完全な 2 次方程式の解法への移行が実行されます。 これらは、ax2 + bx + c = 0 の形式の方程式です。ここで、a、b、c は与えられた数値であり、≠ 0、x は未知数です。
完全な二次方程式は次の形式に変換できます。 
、二次方程式の根の数を決定し、これらの根を見つけるために。 完全な二次方程式を解く次のケースが考慮されます: D< 0, D = 0, D > 0.
1.Dの場合< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.
たとえば、2x2 + 4x + 7 = 0。解決策: ここでは、a = 2、b = 4、c = 7。
D = b2 – 4ac = 42 – 4*2*7 = 16 – 56 = - 40。
D以来< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.
2. D = 0 の場合、二次方程式 ax2 + bx + c = 0 には根が 1 つあり、これは次の式で求められます。
たとえば、4x – 20x + 25 = 0。解決策: a = 4、b = - 20、c = 25。
D = b2 – 4ac = (-20) 2 – 4*4*25 = 400 – 400 = 0。
D = 0 であるため、この方程式の根は 1 つになります。 このルートは、式 ..gif" width="100" height="45">.gif" width="445" height="45 src=">" を使用して求められます。
ax2 + bx + c = 0 の形式の方程式を解くアルゴリズムがコンパイルされています。
1. 式 D = b2 – 4ac を使用して判別式 D を計算します。
2.Dの場合< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.
3. D = 0 の場合、二次方程式には根が 1 つあり、これは次の式で求められます。
4..gif" width="101" height="45">。
このアルゴリズムは普遍的であり、不完全な二次方程式と完全な二次方程式の両方に適用できます。 ただし、不完全な 2 次方程式は通常、このアルゴリズムでは解決されません。
数学者は実践的で経済的な人々なので、次の公式を使用します: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53"> (4)
2..gif" width="96" height="49 src=">、D..gif" width="89" height="49"> と同じ符号を持ち、式 (3) には 2 つの根があります。
2) その方程式に一致する 2 つの根がある場合。
3) その方程式に根がない場合。
二次方程式の研究における重要な点は、縮小された二次方程式の根と係数の間に関係が存在することを述べるビエタの定理を考慮することです。
ビエタの定理。 与えられた二次方程式の根の合計は、反対の符号を付けた 2 番目の係数に等しく、根の積は自由項に等しくなります。
言い換えると、x1 と x2 が方程式 x2 + px + q = 0 の根である場合、
これらの公式は、代数記号の体系を導入し、初等代数学の基礎を開発したフランスの数学者 F. ビエタ () にちなんで、ビエタの公式と呼ばれます。 彼は数字を文字で表す最初の人物の 1 人であり、これにより方程式理論が大きく発展しました。
たとえば、指定された方程式 x2 - 7x +10 = 0 には根 2 と 5 があります。根の合計は 7 で、積は 10 です。根の合計は、取得した 2 番目の係数に等しいことがわかります。符号が反対の場合、根の積は自由項に等しくなります。
ビエタの定理の逆も真です。
ビエタの定理の逆定理。 式 (5) が数値 x1、x2、p、q に対して有効である場合、x1 と x2 は方程式 x2 + px + q = 0 の根になります。
ビエタの定理とその逆は、さまざまな問題を解決するためによく使用されます。
例えば。 数値 1 と -3 を根とする次の二次方程式を書いてみましょう。
ビエタの公式によると
– p = x1 + x2 = - 2、
したがって、必要な方程式の形式は x2 + 2x – 3 = 0 になります。
ビエタの定理を習得することが難しいのは、いくつかの状況が原因です。 まず第一に、直接定理と逆定理の違いを考慮する必要があります。 ビエタの直接定理は、二次方程式とその根を与えます。 逆数では 2 つの数のみが存在し、定理の結論には 2 次方程式が表示されます。 学生は、ビエタの直接定理または逆定理を誤って参照して、自分の推論を正当化するという間違いをよく犯します。
たとえば、二次方程式の根を選択によって求める場合、学生がよく行う直接定理ではなく、逆ビエタ定理を参照する必要があります。 ビエタの定理を判別式ゼロの場合に拡張するには、この場合、二次方程式には次の 2 つの式があることに同意する必要があります。 等根。 このような協定の利便性は、拡大してみると明らかになる 二次三項式乗数によって。
コヴァルチュク・キリル
「世紀と国を通した二次方程式」プロジェクトでは、学生たちに、その発見の基礎となった数学者を紹介します。 科学技術の進歩、歴史的資料への精通に基づいて主題としての数学への興味を育み、生徒の視野を広げ、認知活動と創造性を刺激します。
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ボリソフカ村の市立教育機関中等学校第 17 校の 8 年生のプロジェクト作品キリル・コヴァルチュク監督 G.V. ムリュコワ
世紀と国を超えた二次方程式
プロジェクトの目標: 科学的および技術的進歩の基礎となる発見を数学者に紹介すること。 幾何学と物理学の発展における科学者の研究の重要性を示します。 アプリケーションを明確にデモンストレーションする 科学的発見生活の中で。 歴史的資料に精通し、数学という教科への興味を育みます。 生徒の視野を広げ、認知活動と創造性を刺激します。
古代において、1次方程式だけでなく2次方程式を解く必要性は、天文学と数学自体の発展に伴い、土地区画の面積を求める問題を解決する必要性によって引き起こされました。 二次方程式は紀元前 2000 年頃に解けるようになりました。 e. バビロニア人。 バビロニアの文書に記載されているこれらの方程式を解くための規則は、現代のものと本質的に同じですが、これらの文書には負の数の概念や二次方程式を解くための一般的な方法が欠けています。
。 （紀元前365年頃 - 紀元前300年頃） - 古代ギリシャの数学者、私たちに伝えられた数学に関する最初の理論的論文の著者。 ユークリッド、またはユークリッド
ユークリッドの始まり ナイル川が海と合流する場所、ピラミッドの古代の熱い土地に ギリシャの数学者、知識豊富で賢明なユークリッドが住んでいました。 彼は幾何学を学び、幾何学を教えました。 彼は素晴らしい作品を書きました。 この本の名前は「始まり」です。
ユークリッド 紀元前3世紀 ユークリッドは幾何学的手法を使用して二次方程式を解きました。 ここに古代ギリシャの論文の問題の 1 つがあります。「一辺の大きさが不明な正方形の形で国境を持つ都市があり、各辺の中央に門がある。 北門から20分（1分＝1.6メートル）離れたところに柱があります。 から行く場合 南口 14bを直進し、西に曲がってさらに1775b進むと柱が見えてきます。 問題は、市の境界線のどちら側なのかということです。 »
正方形の未知の辺を決定するには、二次方程式 x ² +(k+l)x-2kd =0 を取得します。 この場合、方程式は x ² +34x-71000=0 のようになります。ここから、x=250bu l x d k
インドの二次方程式 二次方程式の問題は、インドの数学者・天文学者アリヤバタが 499 年に編纂した天文学論文「アリヤバティアム」にも見られます。 別のインドの科学者、ブラマグプタは、二次方程式を単一の標準形式にまとめて解くための一般規則を概説しました: ax ² +bx=c、a>0 V 古代インド難しい問題を解決するための公開コンテストが一般的でした。 インドの古い本の一つには、そのような競技について次のように書かれています。「太陽がその輝きで星を上回るように、学識のある人は公の集会で代数問題を提案し、解決することで他の人の栄光を上回ります。」
12 世紀のインドの有名な数学者バスカラの問題の 1 つ 元気いっぱいの猿の群れが、心ゆくまで食べて楽しんでいた。 その8は広場で 楽しく片付けていました。 そして蔓には12匹…ぶら下がりながら飛び跳ね始めた…この群れには何匹の猿がいたんだろう？
解決。 () 2 +12 = x、x 2 - 64x +768 = 0、a = 1、b = -64、c = 768、D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0。X 1、 2 = , x 1 = 48, x 2 = 16. 答え: 16 匹か 48 匹のサルがいました。それを解きましょう。
二次方程式の根の公式は、何度か「再発見」されました。 今日まで生き残っているこの公式の最初の導出の 1 つは、インドの数学者 Brahmagupta のものです。 中央アジアの科学者アル・フワリズミは、その論文「キタブ・アル・ジャーブ・ワル・ムカバラ」の中で、完全な正方形を分離する方法によってこの公式を求めました。
アル・ホレズミはこの方程式をどのように解いたのでしょうか? 彼は次のように書いています。「ルールは次のとおりです。根の数を 2 倍にする、x = 2x · 5、この問題では 5 が得られます。これに等しい 5 を掛けると、25 になります。5 · 5 = 25 これを 30 に足します。」 -9、25 + 39 は 64 になり、64 はここから根を取り、8、8 になり、この半分から根の数、つまり 5 を引きます。8-5 は 3 のままになります。これは 3 になります。あなたが探していた平方根です。」 2番目の根はどうでしょうか？ 負の数が不明のため、2 番目の根は見つかりませんでした。 × 2 +10 × = 39
13～17世紀のヨーロッパにおける二次方程式。 ヨーロッパのアル・フワリズミをモデルにした二次方程式を解く公式は、1202 年にイタリアの数学者レオナルド・フィボナッチによって書かれた「そろばんの書」に初めて記載されました。 この膨大な作品には、イスラム諸国と両国の数学の影響が反映されています。 古代ギリシャ、プレゼンテーションの完全性と明瞭さの両方によって区別されます。 著者は問題に対するいくつかの新しい代数的解決法を独自に開発し、ヨーロッパで初めて負の数を導入しました。 彼の本は、イタリアだけでなく、ドイツ、フランス、その他のヨーロッパ諸国でも代数知識の普及に貢献しました。 そろばんの本からの多くの問題は、16 世紀と 17 世紀のヨーロッパのほぼすべての教科書で使用されました。 そして部分的には18。
フランソワ・ヴィエテ - 16世紀最大の数学者
F. Vieta が登場する以前は、二次方程式を解くことは、独自のルールに従って、非常に長い口頭での議論や説明という形で、かなり面倒な行為として実行されていました。 彼らは方程式自体を書き留めることさえできず、かなり長く複雑な口頭での説明が必要でした。 彼は「係数」という用語を作りました。 彼は、必要な量を母音で表し、データを子音で表すことを提案しました。 Vieta の記号のおかげで、二次方程式を ax 2 + bx + c =0 の形式で書くことができます。 定理: 与えられた二次方程式の根の和は、反対の符号をとった 2 番目の係数に等しく、根の積は自由項に等しい。 この定理は「ビエタの定理」と呼ばれているという事実にもかかわらず、それは彼以前から知られており、彼はそれを現代の形に変換しただけです。 ビエタは「代数学の父」と呼ばれる
人類は無知から知識へと長い道のりを歩んできましたが、その過程で不完全で不完全な知識がどんどん完全で完全な知識に置き換えられ続けています。 最後の言葉
住んでいる私たち XXIの始まり世紀、古代を魅了します。 私たちの祖先は、現代の観点から見て彼らが欠けていることにまず気づきますが、彼らと比較して私たち自身が欠けていることに通常は気づきません。
彼らのことを忘れないようにしましょう...
ご清聴ありがとうございました！