入り口サイン コサイン タンジェント コタンジェントの定義とは何ですか。 正接関数のグラフ、y = Tan x。 他の三角関数を使用したサインの計算
三角法は、三角関数と幾何学における三角関数の使用を研究する数理科学の分野です。 三角法の開発はその時代に始まりました 古代ギリシャ。 中世には、中東とインドの科学者がこの科学の発展に重要な貢献をしました。
この記事は以下に特化しています 基本概念そして三角法の定義。 基本的な三角関数、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義について説明します。 それらの意味は、幾何学の文脈で説明され、図示されます。
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当初、角度を引数とする三角関数の定義は直角三角形の辺の比で表現されていました。
三角関数の定義
角度のサイン (sin α) は、この角度の反対側の脚と斜辺の比です。
角度の余弦 (cos α) - 斜辺に対する隣接する脚の比率。
角度正接 (t g α) - 隣接する側に対する反対側の比。
角度コタンジェント (ct g α) - 隣接する辺と反対側の辺の比。
これらの定義は、 鋭角直角三角形！
例を挙げてみましょう。
直角 C を持つ三角形 ABC では、角度 A の正弦は脚 BC と斜辺 AB の比に等しくなります。
サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義により、これらの関数の値を次のように計算できます。 既知の長さ三角形の辺。
覚えておくことが重要です!
サインとコサインの値の範囲は-1から1です。つまり、サインとコサインは-1から1の値を取ります。タンジェントとコタンジェントの値の範囲は数直線全体であり、つまり、これらの関数は任意の値を取ることができます。
上記の定義は鋭角に適用されます。 三角法では回転角という概念が導入されており、鋭角とは異なりその値は0度から90度に限定されず、回転角は度またはラジアンで-∞から+∞までの実数で表現されます。 。
この文脈では、任意の大きさの角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを定義できます。 デカルト座標系の原点を中心とする単位円を想像してみましょう。
座標(1,0)の始点Aを中心を中心に回転させます。 単位円ある角度 α まで角度を変えて点 A 1 に進みます。 定義は点 A 1 (x, y) の座標に関して与えられます。
回転角のサイン(sin)
回転角αの正弦は点Ａ１（ｘ，ｙ）の縦座標である。 sin α = y
回転角の余弦(cos)
回転角αの余弦は、点Ａ １ （ｘ、ｙ）の横座標である。 cosα = x
回転角の正接(tg)
回転角αの正接は、点Ａ １ （ｘ、ｙ）の縦座標とその横座標との比である。 t g α = y x
回転角のコタンジェント(ctg)
回転角αの余接は、点Ａ １ （ｘ、ｙ）の横座標とその縦座標との比である。 c t g α = xy
サインとコサインはあらゆる回転角度に対して定義されます。 回転後の点の横座標と縦座標は任意の角度で決定できるため、これは論理的です。 接線と余接では状況が異なります。 回転後の点が横軸ゼロ (0, 1) および (0, - 1) の点に移動する場合、接線は定義されません。 このような場合、タンジェント t g α = y x の式にはゼロによる除算が含まれるため、まったく意味がありません。 コタンジェントでも状況は同様です。 違いは、点の縦座標がゼロになる場合にはコタンジェントが定義されないことです。
覚えておくことが重要です!
サインとコサインは任意の角度 α に対して定義されます。
接線は、α = 90° + 180° k、k ∈ Z (α = π 2 + π k、k ∈ Z) を除くすべての角度に対して定義されます。
コタンジェントは、α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) を除くすべての角度に対して定義されます。
決めるとき 実践例「回転角αのサイン」とは言わないでください。 「回転角度」という言葉は単純に省略されており、何が議論されているかが文脈からすでに明らかであることを示唆しています。
数字
回転角度ではなく、数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義についてはどうでしょうか?
数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント
数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント tは、それぞれ次のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントに等しい数値です。 tラジアン。
たとえば、数値 10 π のサインは、回転角 10 π rad のサインと等しくなります。
数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを決定する別のアプローチがあります。 もう少し詳しく見てみましょう。
任意の実数 t単位円上の点は、直交デカルト座標系の原点の中心に関連付けられます。 サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは、この点の座標によって決定されます。
円上の始点は、座標 (1, 0) の点 A です。
正数 t
負の数 tは、開始点が円の周りを反時計回りに移動してパス t を通過する場合に到達する点に対応します。
数値と円上の点の関係が確立されたので、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義に進みます。
t のサイン (sin)
数値の正弦 t- 数値に対応する単位円上の点の縦座標 t. sin t = y
t の余弦 (cos)
数値の余弦 t- 数値に対応する単位円の点の横座標 t. コスト = x
tの正接(tg)
数値の正接 t- 数値に対応する単位円上の点の縦軸と横軸の比 t. t g t = y x = sin t コスト t
最新の定義は、この段落の冒頭に示した定義に従っており、矛盾しません。 数字に対応する円上の点 t、角度を変えて開始点が向かう点と一致します。 tラジアン。
角度および数値引数の三角関数
角度 α の各値は、この角度のサインおよびコサインの特定の値に対応します。 α = 90 ° + 180 ° k 以外のすべての角度 α と同様に、k ∈ Z (α = π 2 + π k、k ∈ Z) は特定の正接値に対応します。 上で述べたように、コタンジェントは、α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) を除くすべての α に対して定義されます。
sin α、cos α、t g α、c t g α は角度アルファの関数、または角度引数の関数であると言えます。
同様に、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントについても数値引数の関数として説明できます。 あらゆる実数 t数値のサインまたはコサインの特定の値に対応します t。 π 2 + π · k、k ∈ Z 以外のすべての数値は正接値に対応します。 同様に、コタンジェントは、π · k、k ∈ Z を除くすべての数値に対して定義されます。
三角法の基本関数
サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは基本的な三角関数です。
通常、三角関数のどの引数 (角度引数または数値引数) を扱っているかは、文脈から明らかです。
最初に示した定義と、0 ～ 90 度の範囲にあるアルファ角度に戻りましょう。 三角関数の定義サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは、直角三角形の辺の比率を使用して与えられる幾何学的定義と完全に一致します。 それを見せてみましょう。
直交デカルト座標系の中心を持つ単位円を考えてみましょう。 始点 A (1, 0) を最大 90 度回転し、その結果の点 A 1 (x, y) から横軸に垂線を引きます。 受け取った中で 直角三角形角度 A 1 O H 角度に等しいターンαでは、脚の長さ O H は点 A 1 (x, y) の横座標に等しくなります。 角度の反対側の足の長さは点 A 1 (x, y) の縦座標に等しく、斜辺の長さは単位円の半径であるため 1 に等しくなります。
幾何学の定義によれば、角度αの正弦は斜辺の反対側の比に等しい。
sin α = A 1 HO A 1 = y 1 = y
これは、アスペクト比を通じて直角三角形の鋭角の正弦を決定することは、回転角 α の正弦を決定することと等価であり、α は 0 ～ 90 度の範囲にあることを意味します。
同様に、コサイン、タンジェント、コタンジェントについても定義の対応を示すことができます。
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講義： 任意の角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント
任意の角度のサイン、コサイン
三角関数とは何かを理解するために、単位半径の円を見てみましょう。 この円は座標平面上の原点に中心があります。 決定するため 指定された関数半径ベクトルを使用します または、円の中心から始まり、点 R円上の点です。 この半径ベクトルは軸と角度 α を形成します。 おお。 円には半径があるので、 1に等しい、 それ OR = R = 1.
点からすれば R軸に対する垂直を下げる おおそうすると、斜辺が 1 に等しい直角三角形が得られます。
半径ベクトルが時計回りに移動する場合、この方向は次のように呼ばれます。 ネガティブ、反時計回りに動く場合 - ポジティブ.
角度の正弦 または、点の縦座標です R円上のベクトル。
つまり、指定された角度アルファのサインの値を取得するには、座標を決定する必要があります。 U表面的には。
この値はどのようにして得られたのでしょうか? 直角三角形の任意の角度の正弦は、反対側の脚と斜辺の比であることがわかっているので、次のようになります。
それ以来 R=1、 それ sin(α) = y 0 .
単位円では、縦座標値は -1 より小さく、1 より大きい値にすることはできません。つまり、
副鼻腔は受け入れます 正の値単位円の第 1 四半期と第 2 四半期、そして第 3 四半期と第 4 四半期はマイナスです。
角度の余弦半径ベクトルによって形成される与えられた円 または, は点の横座標です R円上のベクトル。
つまり、指定された角度アルファのコサイン値を取得するには、座標を決定する必要があります。 バツ表面的には。
直角三角形の任意の角度の余弦は、隣接する脚と斜辺の比です。
それ以来 R=1、 それ cos(α) = x 0 .
単位円では、横軸の値は -1 より小さく、1 より大きくすることはできません。つまり、
コサインは、単位円の第 1 四半期と第 4 四半期では正の値をとり、第 2 四半期と第 3 四半期では負の値をとります。
正接任意の角度サインとコサインの比率が計算されます。
直角三角形を考える場合、これは隣接する辺に対する反対側の辺の比です。 もし 私たちが話しているのは単位円についての場合、これは縦軸と横軸の比になります。
これらの関係から判断すると、横軸の値がゼロ、つまり角度が 90 度の場合、接線は存在できないことがわかります。 タンジェントは他のすべての値を取ることができます。
接線は、単位円の第 1 四半期と第 3 四半期では正であり、第 2 四半期と第 4 四半期では負です。
タンジェント (tg x) およびコタンジェント (ctg x) の参考データ。 幾何学的定義、プロパティ、グラフ、数式。 接線と余接、導関数、積分、級数展開の表。 複雑な変数を使用した式。 双曲線関数との接続。
幾何学的定義
|BD| - 点 A を中心とする円の円弧の長さ。
α はラジアンで表される角度です。
タンジェント ( タンα) は、直角三角形の斜辺と脚の間の角度 α に依存する三角関数で、反対側の脚の長さの比 |BC| に等しくなります。 隣接する脚の長さ |AB| 。
コタンジェント ( ctgα) は、直角三角形の斜辺と脚の間の角度 α に依存する三角関数で、隣接する脚の長さの比 |AB| に等しくなります。 反対側の脚の長さ |BC| 。
正接
どこ n- 全体。
西洋の文献では、タンジェントは次のように表されます。
.
;
;
.
正接関数のグラフ、y = Tan x
コタンジェント
どこ n- 全体。
西洋文献では、コタンジェントは次のように表されます。
.
次の表記も使用できます。
;
;
.
コタンジェント関数のグラフ、y = ctg x
正接と余接の性質
周期性
関数 y = tgxそしてy = ctgxは周期πで周期的です。
パリティ
タンジェント関数とコタンジェント関数は奇数です。
定義と値の領域、増加、減少
タンジェント関数とコタンジェント関数は、定義領域内で連続です (連続性の証明を参照)。 タンジェントとコタンジェントの主なプロパティを表に示します ( n- 全体）。
| y = tgx | y = ctgx | |
| 範囲と継続性 | ||
| 値の範囲 | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| 増加中 | - | |
| 降順 | - | |
| エクストリーム | - | - |
| ゼロ、y = 0 | ||
| 縦軸との交点 x = 0 | y = 0 | - |
数式
サインとコサインを使った式
;
;
;
;
;
和と差からの正接と余接の公式
残りの式は簡単に入手できます。たとえば、
接線の積
接線の和と差の公式
この表は、引数の特定の値に対する正接と余接の値を示しています。 
複素数を使った式
双曲線関数による式
;
;
デリバティブ
; .
.
関数の変数 x に関する n 次微分:
.
接線の式を導出する > > > ; コタンジェントの場合 > > >
積分
シリーズ展開
タンジェントの x 乗の展開を取得するには、次の展開のいくつかの項を取得する必要があります。 パワーシリーズ関数用 罪×そして cosxこれらの多項式を互いに除算します。 これにより、次の式が生成されます。
で 。
で 。
どこ Bn- ベルヌーイ数。 それらは、次のいずれかの漸化関係から決定されます。
;
;
どこ 。
または、ラプラスの公式によれば、次のようになります。 
逆関数
逆関数タンジェントとコタンジェントは、それぞれ逆正接と逆余接です。
逆正接、arctg
、 どこ n- 全体。
逆余接、arctg
、 どこ n- 全体。
参考文献:
で。 ブロンスタイン、K.A. Semendyaev、エンジニアと大学生のための数学ハンドブック、「Lan」、2009 年。
G. コーン、科学者および技術者のための数学ハンドブック、2012 年。
「直角三角形の鋭角のサイン、コサイン、タンジェント」のレッスン
レッスンの目標:
教育 - サイン、コサイン、直角三角形の鋭角のタンジェントの概念を紹介し、これらの量間の依存関係と関係を探ります。
発展 - 角度の関数としてのサイン、コサイン、タンジェントの概念の形成、三角関数の定義の領域、発展 論理的思考、正しい数学的スピーチの開発。
教育 - 独立した仕事のスキルの開発、行動の文化、記録管理の正確さ。
レッスンの進行状況:
1. 開催時間
「教育とはレッスンを受けた数ではなく、理解した数です。 だから、前に進みたいなら、ゆっくり気をつけて急いでください。」
2. レッスンの動機。
ある賢人はこう言いました。「精神の最高の現れは心です。 理性の最高の表現は幾何学です。 ジオメトリ セルは三角形です。 彼は宇宙と同じように無尽蔵です。 円は幾何学の魂です。 円を知れば、幾何学の魂を知るだけでなく、自分の魂を高めることができます。」
私たちはあなたと一緒に少し調べてみます。 思いついたアイデアを共有しましょう。間違いを恐れないでください。どのようなアイデアでも、新しい検索の方向性を得ることができます。 私たちの成果は誰かにとっては素晴らしいものではないかもしれませんが、それは私たち自身の成果になります。
3. 基礎知識の更新。
どのような角度が考えられますか?
三角形とは何ですか?
三角形を定義する主な要素は何ですか?
三角形には辺によってどんな種類があるのでしょうか？
三角形には角度によってどんな種類があるのでしょうか？
脚とは何ですか？
斜辺とは何ですか?
直角三角形の辺を何といいますか?
この三角形の辺と角度の間にはどのような関係があるか知っていますか?
辺と角度の関係を知る必要があるのはなぜですか?
人生におけるどのような問題が、三角形の未知の辺を計算する必要につながる可能性がありますか?
「斜辺」という用語は、「何かの上に伸びる」、「収縮する」を意味するギリシャ語の「hyponeinouse」に由来しています。 この言葉は、2本の互いに直角なスタンドの端に弦が張られた古代ギリシャのハープのイメージに由来しています。 「カテトゥス」という用語は、「鉛直線」の始まり、「垂直」を意味するギリシャ語の「kathetos」に由来しています。
ユークリッドは「足は直角を囲む辺である」と言いました。
で 古代ギリシャ地面に直角三角形を作る方法はすでに知られていました。 これを行うために、彼らは互いに同じ距離で13の結び目を作ったロープを使用しました。 エジプトのピラミッド建設では、この方法で直角三角形が作られました。 おそらくこれが、辺 3、4、5 の直角三角形がエジプトの三角形と呼ばれた理由です。
4. 新しい教材を勉強する。
古代、人々は星を観察し、その観察に基づいてカレンダーを作成し、種まきの日や川の洪水の時間を計算しました。 海では船が、陸ではキャラバンが星を頼りに旅を進めました。 これらすべてにより、三角形の辺を計算する方法を学ぶ必要が生じました。その頂点のうちの 2 つは地面にあり、3 番目の頂点は星空の点で表されます。 この必要性に基づいて、三角形の辺間のつながりを研究する科学、三角法の科学が生まれました。
私たちがすでに知っている関係だけで、そのような問題を解決するには十分だと思いますか?
今日のレッスンの目的は、新しい接続と依存関係を探索し、関係を導き出し、次の幾何学のレッスンでその関係を使用してそのような問題を解決できるようにすることです。
科学者の役割に自分自身を感じて、古代の天才タレス、ユークリッド、ピタゴラスに倣い、真実の探求の道を歩んでみましょう。
このためには理論的根拠が必要です。
角度 A と脚 BC を赤でハイライト表示します。
ハイライト 緑脚AC。
鋭角 A の斜辺に対する反対側の部分がどの部分であるかを計算してみましょう。これを行うには、斜辺に対する反対側の比率を計算します。
この比率には特別な名前があり、地球上のあらゆる地点にいるすべての人が、鋭角の反対側と斜辺の比率を表す数値であることを理解しています。 この言葉は正弦です。 それを書き留め。 角度の名前のないサインという単語はまったく意味を失うため、数学的表記は次のようになります。
ここで、鋭角 A の斜辺に対する隣接する脚の比率を計算します。
この比率はコサインと呼ばれます。 その数学的表記は次のとおりです。
鋭角 A の別の比率、つまり、隣接する辺に対する反対側の比率を考えてみましょう。
この比率はタンジェントと呼ばれます。 その数学的表記は次のとおりです。
5. 新しい材料の統合。
中間の発見を統合しましょう。
サインって…
コサインって…
タンジェントは…
| 罪A = | 罪 について = | 罪A 1 = |
| cos A = | コス について = | cosA 1 = |
| タンA = | tg について = | タンA 1 = |
No. 88、889、892 を口頭で解きます (ペアで作業します)。
取得した知識を使用して実際的な問題を解決します。
「高さ 70 メートルの灯台塔からは、水平線に対して 3 度の角度で船が見えます。 それはどんな感じ
灯台から船までの距離は？
問題は正面から解決されます。 ディスカッション中は、黒板やノートに絵を描いたり、必要なメモを書きます。
問題を解決するときは、Bradis テーブルが使用されます。
問題 p.175 の解決策を考えてみましょう。
No.902(1)を解きます。
6. 目の運動をしましょう。
頭を動かさずに、時計回りに教室の壁の周囲、反時計回りに周囲の黒板、時計回りにスタンドに描かれた三角形、そして反時計回りに等しい三角形を見回してください。 頭を左に向けて地平線、今度は鼻の先端を見てください。 目を閉じて、5つ数えて、目を開けると...
手のひらを目に当てましょう
力強い脚を広げていきましょう。
右に曲がる
堂々と周りを見渡してみましょう。
そして、あなたも左に行く必要があります
手のひらの下から見てください。
そして - 右へ！ そしてさらに
左肩越しに！
では、作業を続けましょう。
7. 独立した仕事学生。
いいえを解決します。
8. レッスンの概要。 反射。 D/Z。
どのような新しいことを学びましたか? レッスンでは：
検討しましたか...
あなたは分析しました...
あなたが受け取りました …
あなたは結論付けました...
次の用語の語彙が増えました...
世界の科学は幾何学から始まりました。 学校で幾何学を学ばなければ、人は文化的にも精神的にも真に成長することはできません。 幾何学は実用的なものだけでなく、人間の精神的なニーズからも生まれました。
これが彼女が幾何学への愛を詩的に説明した方法です
幾何学が大好きです...
私は幾何学が大好きなので教えています
幾何学が必要です。それなしではどこにも行けません。
サイン、コサイン、円周 - ここではすべてが重要です。
すべてがここで必要です
すべてを非常に明確に学び、理解する必要があるだけです。
課題とテストを時間通りに完了します。
副鼻腔直角三角形の鋭角αは比です 反対脚から斜辺まで。
それは次のように表されます: sin α。
余弦直角三角形の鋭角 α は、隣接する脚と斜辺の比です。
それは次のように指定されます: cos α。
正接鋭角 α は、隣接する辺に対する反対側の辺の比です。
それは次のように指定されます:tg α。
コタンジェント鋭角 α は、隣接する辺と反対側の辺の比です。
これは、ctg α として指定されます。
角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは、角度の大きさにのみ依存します。
ルール:
基本 三角恒等式直角三角形の場合:
(α – 脚の反対側の鋭角 b そして脚の隣に ある 。 側 と – 斜辺。 β – 2 番目の鋭角)。
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
ある | 1 | |
b | 1 | |
ある | 1 1 | |
罪α |
鋭角が大きくなるにつれて罪αとTanαが増加し、cosαが減少します。
任意の鋭角 α の場合:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
例と説明:
直角三角形ABCを入れてみましょう
AB = 6、
BC = 3、
角度 A = 30°。
角度Aのサインと角度Bのコサインを求めてみましょう。
解決 。
1) まず、角度 B の値を求めます。ここではすべてが簡単です。直角三角形では鋭角の合計が 90 度であるため、角度 B = 60 度になります。
B = 90° – 30° = 60°。
2) sin A を計算してみましょう。sin は斜辺の反対側の比に等しいことがわかっています。 角度Aの場合 反対側の足太陽の側です。 それで：
紀元前3 1
sin A = -- = - = -
AB62
3) 次に、cos B を計算しましょう。コサインは、隣接する脚と斜辺の比に等しいことがわかっています。 アングルBの場合 隣接する脚まだ太陽の同じ側です。 これは、再び BC を AB で割る必要があることを意味します。つまり、角度 A の正弦を計算するときと同じ操作を実行します。
紀元前3 1
cos B = -- = - = -
AB62
結果は次のとおりです。
sin A = cos B = 1/2。
sin 30° = cos 60° = 1/2。
このことから、直角三角形では、ある鋭角のサインは別の鋭角のコサインに等しく、またその逆も成り立ちます。 これはまさに 2 つの式が意味するものです。
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
これをもう一度確認してみましょう。
1) α = 60°とします。 α の値をサイン公式に代入すると、次のようになります。
sin (90° – 60°) = cos 60°。
sin 30° = cos 60°。
2) α = 30°とします。 α の値をコサイン公式に代入すると、次のようになります。
cos (90° – 30°) = sin 30°。
cos 60° = sin 30°。
(三角法の詳細については、「代数」セクションを参照してください)