入り口二次関数で y ゼロを見つける方法。 2次関数のグラフ
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「関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフ。プロパティ」
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みんな、オン 最後のレッスン私たちが建てた たくさんの多くの放物線を含むグラフ。 今日は、これまでに得た知識を要約し、この関数を最も一般的な形式でプロットする方法を学びます。
2 次三項 $a*x^2+b*x+c$ を見てみましょう。 $a、b、c$ は係数と呼ばれます。 任意の数値を指定できますが、$a≠0$ です。 $a*x^2$ は主項と呼ばれ、$a$ は主係数と呼ばれます。 係数 $b$ と $c$ は次のようにできることに注意してください。 ゼロに等しいつまり、三項式は 2 つの項で構成され、3 番目の項はゼロに等しくなります。
関数 $y=a*x^2+b*x+c$ を見てみましょう。 この関数は、最高累乗が 2 番目、つまり 2 乗であるため、「二次」と呼ばれます。 係数は上で定義したものと同じです。
前回のレッスン、最後の例では、同様の関数のグラフのプロットを見ていきました。
このような二次関数は $y=a(x+l)^2+m$ の形式に還元できることを証明しましょう。
このような関数のグラフは次を使用して構築されます。 追加システム座標 大きな数学では、数字は非常にまれです。 ほとんどすべての問題は、最も一般的なケースで証明する必要があります。 今日はそのような証拠の 1 つを見ていきます。 みなさん、数学的装置の全能力だけでなく、その複雑さもお分かりいただけたでしょう。
ハイライトしましょう 完全な正方形二次三項式から:
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac(b)(a)*x)+c=$ $= a(x^2+2\frac(b)(2a)*x+\frac(b^2)(4a))-\frac(b^2)(4a)+c=a(x+\frac(b) (2a))^2+\frac(4ac-b^2)(4a)$。
私たちは欲しかったものを手に入れました。
二次関数は次のように表すことができます。
$y=a(x+l)^2+m$、ここで $l=\frac(b)(2a)$、$m=\frac(4ac-b^2)(4a)$。
グラフ $y=a(x+l)^2+m$ をプロットするには、関数 $y=ax^2$ をプロットする必要があります。 また、放物線の頂点は座標 $(-l;m)$ の点に位置します。
したがって、関数 $y=a*x^2+b*x+c$ は放物線です。
放物線の軸は直線 $x=-\frac(b)(2a)$ となり、横軸に沿った放物線の頂点の座標は、ご覧のとおり、次の式で計算されます。 x_(c)=-\frac(b)(2a) $。
放物線の頂点の y 軸座標を計算するには、次の方法があります。
- 式を使用します: $y_(в)=\frac(4ac-b^2)(4a)$,
- $x$ に沿った頂点の座標を元の関数 $y_(в)=ax_(в)^2+b*x_(в)+c$ に直接代入します。
いくつかのプロパティを説明したり、特定の質問に答えたりする必要がある場合、必ずしも関数のグラフを作成する必要はありません。 次の例では、構築せずに回答できる主な質問を検討します。
例1.
関数 $y=4x^2-6x-3$ をグラフ化せずに答えてください 次の質問:
解決。
a) 放物線の軸は直線 $x=-\frac(b)(2a)=-\frac(-6)(2*4)=\frac(6)(8)=\frac(3) )(4)$ 。
b) $x_(c)=\frac(3)(4)$ 上の頂点の横座標を見つけました。
元の関数に直接代入して頂点の座標を求めます。
$y_(в)=4*(\frac(3)(4))^2-6*\frac(3)(4)-3=\frac(9)(4)-\frac(18)(4) )-\frac(12)(4)=-\frac(21)(4)$。
c) グラフ $y=4x^2$ を並列転送することで、必要な関数のグラフが得られます。 その枝は上を向いています。これは、元の関数の放物線の枝も上を向くことを意味します。
一般に、係数 $a>0$ の場合、分岐は上向きになります。
例2。
関数 $y=2x^2+4x-6$ をグラフ化します。
解決。
放物線の頂点の座標を見つけてみましょう。
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(4)(4)=-1$。
$y_(в)=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$。
座標軸上に頂点の座標をマークしましょう。 この時点で、まるで 新しいシステム座標に放物線 $y=2x^2$ を作成します。
放物線グラフの作成を簡素化する方法はたくさんあります。
- 2 つの対称点を見つけ、これらの点での関数の値を計算し、座標平面上でそれらをマークし、放物線を描く曲線の頂点に接続します。
- 頂点の右側または左側に放物線の枝を作成し、それを反映させることができます。
- ポイントごとに構築できます。
例 3.
最高のものを見つけて、 最小値関数: $y=-x^2+6x+4$、区間 $[-1;6]$。
解決。
この関数のグラフを作成し、必要な間隔を選択して、グラフの最低点と最高点を見つけてみましょう。
放物線の頂点の座標を見つけてみましょう。
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(6)(-2)=3$。
$y_(в)=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$。
座標 $(3;13)$ の点で、放物線 $y=-x^2$ を作成します。 
必要な間隔を選択しましょう。 
最下点の座標は -3 であり、最も高い点は座標 -3 です。 ハイポイント- コーディネート13。
$y_(名前)=-3$; $y_(最大)=13$。
自主的に解決すべき問題
1. 関数 $y=-3x^2+12x-4$ をグラフ化せずに、次の質問に答えてください。a) 放物線の軸となる直線を特定します。
b) 頂点の座標を見つけます。
c) 放物線はどちらの方向を向いていますか (上または下)?
2. 関数 $y=2x^2-6x+2$ のグラフを作成します。
3. 関数 $y=-x^2+8x-4$ をグラフ化します。
4. セグメント $[-5;2]$ 上の関数 $y=x^2+4x-3$ の最大値と最小値を見つけます。
二次関数は次の形式の関数です。
y=a*(x^2)+b*x+c、
ここで、a は未知の x の最高次数の係数です。
b - 未知の x の係数、
c は無料会員です。
二次関数のグラフは放物線と呼ばれる曲線です。 放物線の全体図を次の図に示します。
図1 放物線の全体図。
いくつかあります さまざまな方法で二次関数をプロットします。 そのうちの主要かつ最も一般的なものを見ていきます。
二次関数をプロットするためのアルゴリズム y=a*(x^2)+b*x+c
1. 座標系を構築し、単位セグメントをマークし、座標軸にラベルを付けます。
2. 放物線の分岐の方向 (上または下) を決定します。
これを行うには、係数 a の符号を確認する必要があります。 プラスがあれば枝は上に向き、マイナスがあれば枝は下に向きます。
3. 放物線の頂点の x 座標を決定します。
これを行うには、Xvertex = -b/2*a という式を使用する必要があります。
4. 放物線の頂点の座標を決定します。
これを行うには、方程式 Uvershiny = a*(x^2)+b*x+c に x の代わりに、前のステップで見つかった Xverhiny の値を代入します。
5. 結果の点をグラフ上にプロットし、それを通る対称軸を Oy 座標軸に平行に描きます。
6. グラフと Ox 軸の交点を見つけます。
これを行うには、既知の方法のいずれかを使用して二次方程式 a*(x^2)+b*x+c = 0 を解く必要があります。 方程式に実根がない場合、関数のグラフは Ox 軸と交差しません。
7. グラフと Oy 軸の交点の座標を見つけます。
これを行うには、値 x=0 を方程式に代入し、y の値を計算します。 これとそれと対称な点をグラフ上にマークします。
8. 任意の点 A(x,y) の座標を求めます。
これを行うには、x 座標の任意の値を選択し、それを方程式に代入します。 この時点で y の値を取得します。 グラフ上に点をプロットします。 また、点 A(x,y) と対称となるグラフ上の点もマークします。
9. 得られたグラフ上の点を滑らかな線で結び、その先までグラフを続けます。 極点、座標軸の端まで。 グラフのリーダーにラベルを付けるか、スペースがあればグラフ自体に沿ってラベルを付けます。
プロット例
例として、二次関数をプロットしてみましょう 方程式で与えられる y=x^2+4*x-1
1. 座標軸を描画し、ラベルを付け、単位セグメントをマークします。
2. 係数値 a=1、b=4、c=-1。 a=1 は 0 より大きいので、放物線の枝は上向きになります。
3. 放物線の頂点の X 座標 Xvertices = -b/2*a = -4/2*1 = -2 を決定します。
4. 放物線の頂点の座標 Y を決定します。
頂点 = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5。
5. 頂点をマークし、対称軸を描きます。
6. 二次関数のグラフと Ox 軸の交点を見つけます。 二次方程式 x^2+4*x-1=0 を解きます。
x1=-2-√3 x2=-2+√3。 得られた値をグラフ上にマークします。
7. グラフと Oy 軸の交点を見つけます。
x=0; y=-1
8. 任意の点 B を選択します。その座標を x=1 とします。
すると、y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4となります。
9. 得られた点を結んでグラフに署名します。
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実際にやってみるとわかるように、二次関数のプロパティとグラフに関するタスクは深刻な問題を引き起こします。 これは非常に奇妙です。なぜなら、彼らは 8 年生で二次関数を勉強し、その後 9 年生の最初の四半期を通して放物線の特性を「苦しめ」、さまざまなパラメータのグラフを作成するからです。
これは、生徒に放物線の作成を強制するとき、実際にはグラフを「読む」ことに時間を費やしていない、つまり、画像から受け取った情報を理解する練習をしていないという事実によるものです。 どうやら、十数か 2 のグラフを作成した後、賢い学生自身が式の係数とグラフの関係を発見して定式化することが想定されています。 外観グラフィックアート。 実際にはこれは機能しません。 このような一般化には、数学的なミニ研究における本格的な経験が必要ですが、もちろん、ほとんどの 9 年生はそのような経験を持っていません。 一方、州検査局は、スケジュールを使用して係数の符号を決定することを提案しています。
私たちは、学童に不可能なことを要求するのではなく、そのような問題を解決するためのアルゴリズムの 1 つを提供するだけです。
したがって、フォームの関数は y = ax 2 + bx + c二次関数と呼ばれ、そのグラフは放物線です。 名前が示すように、主な用語は次のとおりです。 斧2。 あれは あ残りの係数 ( bそして と) はゼロに等しくなります。
その係数の符号が放物線の外観にどのような影響を与えるかを見てみましょう。
係数の最も単純な依存関係 あ。 ほとんどの学童は自信を持って次のように答えます。 あ> 0 の場合、放物線の枝は上向きになります。 あ < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой あ > 0.
y = 0.5x 2 - 3x + 1
この場合 あ = 0,5
そして今、 あ < 0:
y = - 0.5x2 - 3x + 1
この場合 あ = - 0,5
係数の影響 と従うのもとても簡単です。 ある点における関数の値を見つけたいと想像してみましょう。 バツ= 0。式にゼロを代入します。
y = ある 0 2 + b 0 + c = c。 判明したのは、 y = c。 あれは と放物線と y 軸の交点の縦座標です。 通常、この点はグラフ上で簡単に見つけることができます。 そして、それがゼロより上か下かを判断します。 あれは と> 0 または と < 0.
と > 0:
y = x 2 + 4x + 3
と < 0
y = x 2 + 4x - 3
したがって、もし と= 0 の場合、放物線は必ず原点を通過します。
y = x 2 + 4x
パラメーターを使用するとさらに難しくなります b。 それを見つける時点は、次のものだけではありません。 bでもまたから あ。 これが放物線の頂点です。 その横座標（軸座標） バツ)は次の式で求められます。 x in = - b/(2a)。 したがって、 b = - 2ax インチ。 つまり、次のように進めます。グラフ上の放物線の頂点を見つけ、その横座標の符号を決定します。つまり、ゼロの右側を調べます ( ×で> 0) または左へ ( ×で < 0) она лежит.
しかし、それだけではありません。 係数の符号にも注意する必要があります あ。 つまり、放物線の枝がどこを向いているかに注目してください。 そしてその後初めて、公式に従って、 b = - 2ax インチサインを決める b.
例を見てみましょう:
枝が上を向いているということは、 あ> 0、放物線は軸と交差します でゼロ以下、つまり と < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, ×で> 0. それで b = - 2ax インチ = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: あ > 0, b < 0, と < 0.