入り口試験プロファイルレベルを解いていきます。 基礎および専門レベルの数学における統一国家試験の準備
, 11 年生卒業生にとって必須の試験です。 統計的には、それが最も困難です。
についてよく理解しておくことをお勧めします。 一般情報試験について知り、すぐに準備を始めてください。 2019 年の試験は昨年と何ら変わりません。これは基本オプションと専門オプションの両方に適用されます。
統一国家試験の基礎レベル
このオプションは、次の 2 つの場合の卒業生に適しています。
- 大学に入学するのに数学は必要ありません。
- 卒業後も勉強を続けるつもりはない。
選択した専門分野に「数学」という科目がある場合、基礎レベルは選択できません。
基本的な試験の採点
主なスコアをテストのスコアに変換する公式は毎年更新され、統一州試験の初期の期間後に判明します。 ロソブルナゾルからの法令はすでに発令されており、2019年のすべての科目における主要スコアとテストスコアの対応が正式に確立されました。
この命令によれば、数学の基本的な統一州試験に C 以上の成績で合格するには、12 点の主要点を獲得する必要があります。 これは同等です 正しい実行任意の 12 個のタスク。 初期スコアの最大値は 20 です。
基本的な試験構造
2019 年基礎レベル数学テストは、整数または有限数の 20 問の短答式問題で構成されます。 10進数、または一連の数字。 答えは計算するか、提案されたオプションの 1 つを選択する必要があります。
統一国家試験のプロフィールレベル
2019 年のこの統一州試験は、昨年の統一州試験と何ら変わりません。
ほとんどの専門分野では数学が入学の主要科目として指定されているため、卒業生が大学入学のために合格しなければならないプロフィールレベルです。
プロファイルテストの評価
ここには特別なことは何もありません。通常どおり、最初のポイントを収集し、それがテストのスコアに変換されます。 また、すでに 100 点システムを使用しているため、試験の点数を決定することができます。
試験に合格するには、基本ポイント 6 点を獲得するだけで十分です。 これを行うには、パート 1 の少なくとも 6 つのタスクを解決する必要があります。最大初期スコアは 32 です。
プロファイルテストの構造
2019 年の統一州試験は、プロファイル レベルの数学のテストで、19 のタスクを含む 2 つの部分で構成されています。
- パート 1: 基本的な難易度の 8 つのタスク (1 ～ 8) と短答付き。
- パート 2: 4 つのタスク (9 ～ 12) より高いレベル短い回答による難易度、および詳細な回答による高レベルの難易度の 7 つのタスク (13 ～ 19)。
統一国家試験の準備
- 合格統一州試験は、登録や SMS なしで無料でオンラインでテストされます。 提示されたテストは、その年に実施された実際の試験と複雑さと構造が同一です。
- ダウンロード数学における統一州試験のデモ版。これにより、試験の準備を強化し、簡単に合格できるようになります。 提案されているすべてのテストは、連邦教育測定協会 (FIPI) によって統一州試験の準備のために開発され、承認されています。 同じFIPIではすべて公式 統一州試験のオプション.
- チェックアウト試験の準備のための基本的な公式が含まれているため、デモやテストのオプションを完了する前に記憶をリフレッシュするのに役立ちます。
おそらく、実際に表示されるタスクは試験には出題されませんが、同じトピックに関する、または単に番号が異なる、デモと同様のタスクが存在します。
一般統一国家試験の数字
| 年 | 最小 統一国家試験のスコア | 平均点 | 参加者の数 | 失敗した、 ％ | 数量< 100点 |
間隔- 試験の長さ、最小。 |
| 2009 | 21 | |||||
| 2010 | 21 | 43,35 | 864 708 | 6,1 | 160 | 240 |
| 2011 | 24 | 47,49 | 738 746 | 4,9 | 205 | 240 |
| 2012 | 24 | 44,6 | 831 068 | 7,5 | 56 | 240 |
| 2013 | 24 | 48,7 | 803 741 | 6,2 | 538 | 240 |
| 2014 | 20 | 46,4 | 240 | |||
| 2015 | 27 | 45,4 | 235 | |||
| 2016 | 27 | 235 | ||||
| 2017 | 27 | 235 | ||||
多くの志願者は、入学前にテストに合格するために必要な知識を独力で取得する方法に懸念を抱いています。 2017 年、彼らは解決策を見つけるためにインターネットに頼ることが多くなりました。 解決策はたくさんありますが、本当に価値のある解決策を見つけるには長い時間がかかります。 幸いなことに、よく知られ実績のあるシステムがあります。 そのうちの 1 つは、ドミトリー グシュチンの統一州試験を解くというものです。
ドミトリー・グシチンの教育システムは、「統一州試験の解決」と呼ばれ、次の試験に向けた包括的な準備を意味します。 ドミトリー・グシチンは、将来の世代が試験に合格できるように、必要な知識を作成し、無料で提供しようとしました。 このシステムは、科目の独立した学習のために設計されています。 統一国家試験は統一された情報提示に基づいており、トピックごとに順番に生徒の脳にフィットします。
2017 年統一国家試験数学、基礎レベル
ドミトリー・グシュチンは、非常に一般的なテクニックを使用して、OGE や統一州試験などの試験を支援することを約束します。 それは、すべての新しい知識がトピックごとに提示され、体系化されているという事実にあります。 生徒は、最終的に内容を定着させるために繰り返す必要がある内容を簡単に選択できます。
課題は基本レベルと上級レベルで利用できます。 このようなタスクの顕著な例は数学です。 メイン (基礎) レベルでは、学校の一般的な知識体系がカバーされます。 すべての生徒が 11 年間で習得する知識が必要です。 プロフィール レベルは、特定の科目に焦点を当てた専門学校の卒業生向けに設計されています。
このシステムの興味深い特徴は、実際の試験との類似性です。 最終テストの場合、課題は統一州試験形式で提出されます。 学生はテストを受けた後に最終スコアを知ることもできます。 これは、人が新しい目標を達成し、新しい内容を学ぶ意欲を高めるのに役立ちます。 試験における実際のチャンスを理解することで、考えをまとめ、正確に何を学ぶ必要があるかを理解することができます。
「統一国家試験を解く」の中で最も人気のある科目を他の科目とともに提供します。 ドミトリー・グシチンのロシア語には、語彙だけでなく、文法、句読点、構文の規則も含まれています。 化学には、特定の問題を解決する例、特別な公式が含まれています。 また、化学セクションには、さまざまな化合物や化学物質に関する概念が含まれています。 生物学セクションでは、あらゆる生物界の生命活動をカバーします。 最終的に試験に合格するのに役立つ重要な理論が含まれています。
次の機能は、進捗状況が記録され、進捗状況を追跡できることです。 このアプローチは、勉強する気がなくなったときでも、やる気を起こさせるのに役立ちます。 自分自身の結果は、常にあなたにさらなる努力を強います。
このシステムには仕事を評価するための基準も設けられています。 彼らはあなたの試験準備を計画的かつ思慮深くサポートします。 将来の学生はいつでもそれらを読んで、試験官が何に注意を払うかを理解することができます。 これは、作業の特定の重要な側面に注意を払うために重要です。 一般に、学生は自分の選択の重要性を十分に認識しており、評価基準を覚えています。
ビデオ コース「Get an A」には、数学の統一州試験に 60 ～ 65 点で合格するために必要なトピックがすべて含まれています。 数学のプロファイル統一国家試験のすべてのタスク 1 ～ 13 を完了します。 数学の統一国家基礎試験に合格するのにも適しています。 統一国家試験に 90 ～ 100 点で合格したい場合は、パート 1 を 30 分でミスなく解く必要があります。
10 年生から 11 年生および教師向けの統一州試験の準備コース。 統一州試験のパート 1 の数学 (最初の 12 問題) と問題 13 (三角法) を解くために必要なものがすべて揃っています。 そしてこれは統一国家試験の70点以上であり、100点の学生も文系の学生もこれなしではやっていけません。
必要な理論がすべて揃っています。 統一国家試験の簡単な解決策、落とし穴、秘密。 FIPI タスク バンクのパート 1 の現在のタスクがすべて分析されました。 このコースは、2018 年統一国家試験の要件に完全に準拠しています。
このコースには 5 つの大きなトピックが含まれており、それぞれ 2.5 時間かかります。 各トピックは、シンプルかつ明確にゼロから提供されます。
何百もの統一州試験タスク。 文章題と確率論。 問題を解決するためのシンプルで覚えやすいアルゴリズム。 幾何学模様。 あらゆる種類の統一国家試験タスクの理論、参考資料、分析。 ステレオメトリー。 トリッキーな解決策、便利なカンニングペーパー、空間的想像力の発達。 三角関数をゼロから問題まで 13. 詰め込むのではなく理解する。 複雑な概念を明確に説明します。 代数。 根、べき乗と対数、関数と導関数。 統一国家試験パート 2 の複雑な問題を解くための基礎。
中等一般教育
ラインUMK G.K.ムラヴィン。 代数と数学的解析の原理 (10-11) (詳細)
UMKメルズリャク線。 代数と解析の始まり (10-11) (U)
数学
数学の統一国家試験の準備 (プロファイル レベル): 課題、解答、説明
課題を分析し、教師と一緒に例題を解きますプロフィール レベルの試験時間は 3 時間 55 分 (235 分) です。
最小しきい値- 27 ポイント。
試験問題は 2 つの部分で構成されており、内容、複雑さ、タスクの数が異なります。
作業の各部分の特徴は、タスクの形式です。
- パート 1 には 8 つのタスク (タスク 1 ～ 8) が含まれており、整数または最後の小数の形式で短い回答が与えられます。
- パート 2 には、整数または最終小数の形式での短い解答を含む 4 つのタスク (タスク 9 ～ 12) と、詳細な解答 (解答の根拠を含む解答の完全な記録) を含む 7 つのタスク (タスク 13 ～ 19) が含まれています。行った活動）。
パノヴァ・スヴェトラーナ・アナトレヴナ、学校の最高カテゴリーの数学教師、職歴20年：
「学校の卒業証書を受け取るためには、卒業生は統一州試験という形で 2 つの必須試験に合格する必要があり、そのうちの 1 つは数学です。 ロシア連邦における数学教育の発展に関する概念に従って、数学の統一国家試験は基礎レベルと専門レベルの 2 つのレベルに分かれています。 今日はプロファイルレベルのオプションを見ていきます。」
タスクNo.1- 統一州試験の参加者が、5 年生から 9 年生の初級数学のコースで習得したスキルを実際の活動に応用する能力をテストします。 参加者は計算スキルを持ち、有理数を処理でき、小数を四捨五入でき、測定単位を別の単位に変換できる必要があります。
例1.ピーターが住んでいるアパートには冷水流量計（メーター）が設置されていました。 5月1日、メーターは172立方メートルの消費量を示した。 水のメートル、そして6月1日には177立方メートル。 m. ピーターは 5 月の冷水の値段が 1 立方メートルだとしたら、いくら払わなければなりませんか。 冷水1mは34ルーブル17コペイカ? ルーブルで答えてください。
解決：
1) 1 か月あたりに費やす水の量を求めます。
177 - 172 = 5 (立方メートル)
2) 無駄な水に対してどれくらいのお金を払うのか調べてみましょう。
34.17 5 = 170.85 (摩擦)
答え： 170,85.
タスクその2- 最も単純な試験タスクの 1 つです。 卒業生の大多数はそれにうまく対処できており、これは関数の概念の定義についての知識があることを示しています。 要件コードによるタスクの種類 2 は、取得した知識とスキルを実践的な活動で活用するタスクであり、 日常生活。 タスク No. 2 は、関数を使用して量間の実際のさまざまな関係を記述し、そのグラフを解釈することで構成されます。 タスク No. 2 では、表、図、グラフに表示される情報を抽出する能力をテストします。 卒業生は、関数を指定するさまざまな方法で引数の値から関数の値を決定し、グラフに基づいて関数の動作とプロパティを説明できる必要があります。 また、最大の、または 最小値そして研究した関数のグラフを構築します。 問題の状況を読み取ったり、図を読んだりする際に発生するエラーはランダムです。
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例2。図は、2017 年 4 月前半の鉱山会社 1 株の交換価値の推移を示しています。 4月7日、その実業家はこの会社の株を1,000株購入した。 4月10日には購入した株式の4分の3を売却し、4月13日には残りの株式をすべて売却した。 これらの作戦の結果、実業家はいくら失ったでしょうか?
解決：
2) 1000 · 3/4 = 750 (株) - 購入した全株式の 3/4 を構成します。
6) 247500 + 77500 = 325000 (摩擦) - ビジネスマンは売却後に 1000 株を受け取りました。
7) 340,000 – 325,000 = 15,000 (こする) - ビジネスマンはすべての操作の結果として負けました。
答え： 15000.
タスクその3- 最初の部分の基本レベルのタスクであり、アクションを実行する能力をテストします。 幾何学的形状コース「面積測定」の内容について説明します。 タスク 3 では、市松模様の紙上の図形の面積を計算する能力、角度の度数を計算する能力、周長を計算する能力などをテストします。
例 3.セルサイズが1cm×1cmの市松模様の紙に描かれた長方形の面積を求めます（図を参照）。 平方センチメートル単位で答えてください。
解決：特定の図形の面積を計算するには、ピークの公式を使用できます。
特定の長方形の面積を計算するには、Peak の公式を使用します。
|
S= B + |
G | |
| 2 |
|
S = 18 + |
6 | |
| 2 |
こちらもお読みください: 物理学の統一国家試験: 振動に関する問題の解決
タスクその4- コース「確率理論と統計」の目的。 最も単純な状況における事象の確率を計算する能力がテストされます。
例4.円の上に 5 つの赤い点と 1 つの青い点がマークされています。 すべての頂点が赤色であるポリゴンと、頂点の 1 つが青色であるポリゴンのどちらが大きいかを決定します。 回答の中で、あるものが他のものよりもいくつ多いかを示してください。
解決： 1) の組み合わせ数の公式を使ってみましょう。 n要素による k:
その頂点はすべて赤です。
3) すべての頂点が赤色の 1 つの五角形。
4) 10 + 5 + 1 = 16 個のポリゴン (すべての頂点が赤色)。
上部が赤いもの、または上部が 1 つ青いもの。
上部が赤いもの、または上部が 1 つ青いもの。
8) 赤い頂点と 1 つの青い頂点を持つ 1 つの六角形。
9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 個のポリゴン (すべての頂点が赤色、または青色の頂点が 1 つある)。
10) 青い点を使用した 42 – 16 = 26 個のポリゴン。
11) 26 – 16 = 10 ポリゴン – すべての頂点が赤だけであるポリゴンより、頂点の 1 つが青い点であるポリゴンが何個多いか。
答え： 10.
タスクNo.5- 最初の部分の基礎レベルでは、単純な方程式 (無理数、指数関数、三角関数、対数) を解く能力をテストします。
例5。方程式 2 3 + を解く バツ= 0.4 5 3 + バツ .
解決。この方程式の両辺を 5 3 + で割ります。 バツ≠ 0、得られます
| 2 3 + バツ | = 0.4 または | 2 | 3 + バツ | = | 2 | , | ||
| 5 3 + バツ | 5 | 5 |
したがって、3 + ということになります。 バツ = 1, バツ = –2.
答え： –2.
タスクNo.6面積測定では、幾何学的な量 (長さ、角度、面積) を見つけ、実際の状況を幾何学の言語でモデル化します。 幾何学的概念と定理を使用して構築されたモデルの研究。 困難の原因は、通常、面積測定に必要な定理の無知または誤った適用です。
三角形の面積 ABC 129に等しい。 DE– 正中線は側面と平行 AB。 台形の面積を求めます ベッド.
解決。三角形 CDE三角形に似た タクシー頂点の角度なので 2 つの角度で C一般、角度 СDE角度に等しい タクシーの対応する角度として DE || AB割線 交流。。 なぜなら DEは、条件による三角形の中心線であり、その後、中心線のプロパティによって決まります。 DE = (1/2)AB。 これは、類似係数が 0.5 であることを意味します。 相似な図形の面積は相似係数の二乗として関係付けられるため、
したがって、 セイベド = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.
タスクNo.7- 関数の研究に対する導関数の適用をチェックします。 実装を成功させるには、デリバティブの概念についての意味のある非形式的な知識が必要です。
例7。関数のグラフへ y = f(バツ) 横座標点 バツ 0 の場合、このグラフの点 (4; 3) と (3; –1) を通過する線に垂直な接線が引かれます。 探す f′( バツ 0).
解決。 1) 与えられた 2 つの点を通る直線の方程式を使用して、点 (4; 3) と (3; –1) を通る直線の方程式を求めてみましょう。
(y – y 1)(バツ 2 – バツ 1) = (バツ – バツ 1)(y 2 – y 1)
(y – 3)(3 – 4) = (バツ – 4)(–1 – 3)
(y – 3)(–1) = (バツ – 4)(–4)
–y + 3 = –4バツ+ 16| · (-1)
y – 3 = 4バツ – 16
y = 4バツ– 13、ここで k 1 = 4.
2) 接線の傾きを求める k 2、線に垂直 y = 4バツ– 13、ここで k式によると、1 = 4:
3) 接線角度は、接点における関数の導関数です。 手段、 f′( バツ 0) = k 2 = –0,25.
答え： –0,25.
タスクNo.8- 試験参加者の初歩的な立体測定に関する知識、図形の表面積と体積、上反角を求める公式を適用する能力、類似した図形の体積を比較する能力、幾何学的図形、座標、ベクトルなどを使用してアクションを実行できる能力をテストします。
球に外接する立方体の体積は 216 です。球の半径を求めます。
解決。 1) V立方体 = ある 3 (どこで あ– 立方体の辺の長さ)、したがって
あ 3 = 216
あ = 3 √216
2) 球が立方体に内接するということは、球の直径の長さと立方体の辺の長さが等しいことを意味します。 d = ある, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.
タスクNo.9- 卒業生には、代数式を変換および簡略化するスキルが必要です。 短答式で難易度が上がった課題No.9。 統一州試験の「計算と変換」セクションのタスクは、いくつかのタイプに分類されます。
- 数値/文字の三角関数式を変換します。
数値有理式の変換。
代数式と分数の変換。
数値/文字の無理数式の変換。
程度を伴う行為。
対数式の変換。
例9。 cos2α = 0.6 であることがわかっている場合は、tanα を計算します。
| 3π | < α < π. |
| 4 |
解決。 1) 二重引数の公式 cos2α = 2 cos 2 α – 1 を使用して求めます。
| タン 2 α = | 1 | – 1 = | 1 | – 1 = | 10 | – 1 = | 5 | – 1 = 1 | 1 | – 1 = | 1 | = 0,25. |
| cos2α | 0,8 | 8 | 4 | 4 | 4 |
これは、tan 2 α = ± 0.5 を意味します。
3) 条件別
| 3π | < α < π, |
| 4 |
これは、α が第 2 四半期の角度であり、tgα であることを意味します。< 0, поэтому tgα = –0,5.
答え： –0,5.
#ADVERTISING_INSERT# タスクNo.10- 学生が初期に習得した知識とスキルを実際の活動や日常生活で活用する能力をテストします。 これらは数学の問題ではなく物理の問題であると言えますが、必要な式や量はすべて条件式で与えられています。 問題は要約すると、一次方程式または二次方程式、あるいは一次不等式または二次不等式を解くことになります。 したがって、このような方程式や不等式を解いて答えを求めることができる必要があります。 答えは整数または有限の小数として指定する必要があります。
2 つの質量体 メートル= それぞれ 2 kg、同じ速度で移動 v= 互いに 2α の角度で 10 m/s。 絶対的に非弾性の衝突中に放出されるエネルギー (ジュール単位) は、次の式で求められます。 Q = MV２罪２α。 衝突の結果、少なくとも 50 ジュールが放出されるためには、物体は最小角度 2α (度単位) でどれくらい動かなければなりませんか?
解決。この問題を解決するには、区間 2α ∈ (0°; 180°) で不等式 Q ≥ 50 を解く必要があります。
MV 2 sin 2 α ≥ 50
2 10 2 sin 2 α ≥ 50
200 sin 2 α ≧ 50
α ∈ (0°; 90°) なので、次のみを解きます。
不等式の解をグラフで表してみましょう。
条件 α ∈ (0°; 90°) より、30° ≤ α を意味します。< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.
タスクNo.11- 典型的ですが、学生にとっては難しいことが判明しました。 困難の主な原因は、数学的モデルの構築 (方程式の作成) です。 タスク No. 11 は文章問題を解く能力をテストします。
例11.春休み中、11 年生のヴァシャは統一州試験に備えて 560 の練習問題を解かなければなりませんでした。 3月18日、学校の最終日、ヴァシャは5つの問題を解きました。 それから毎日、前日よりも同じ数の問題を解きました。 休暇の最終日である 4 月 2 日にヴァシャが解決した問題の数を調べてください。
解決：と表しましょう ある 1 = 5 – Vasya が 3 月 18 日に解決した問題の数 d– Vasya が解決した毎日のタスクの数、 n= 16 – 3 月 18 日から 4 月 2 日までの日数、 S 16 = 560 – タスクの総数、 ある 16 – Vasya が 4 月 2 日に解決した問題の数。 Vasya は毎日、前日と比べて同じ数の問題をより多く解いたことがわかっているので、合計を求めるための公式を使用できます。 等差数列:560 = (5 + ある 16) 8、
5 + ある 16 = 560: 8,
5 + ある 16 = 70,
ある 16 = 70 – 5
ある 16 = 65.
答え： 65.
タスクNo.12- 関数を使用して演算を実行し、関数の学習に導関数を適用できるかどうかをテストします。
関数の最大点を見つける y= 10ln( バツ + 9) – 10バツ + 1.
解決： 1) 関数の定義域を見つけます。 バツ + 9 > 0, バツ> –9、つまり x ∈ (–9; ∞)。
2) 関数の導関数を求めます。
4) 見つかった点は区間 (-9; ∞) に属します。 関数の導関数の符号を決定し、関数の動作を図に示しましょう。
希望の最高点 バツ = –8.
G.K.の教材ライン用の数学の実用的なプログラムを無料でダウンロードしてください。 ムラヴィナ、KS ムラヴィーナ、O.V. ムラヴィーナ 10-11 代数に関する無料の教材をダウンロードタスクNo.13- 詳細な回答による複雑さのレベルの増加、方程式を解く能力をテストします。複雑さのレベルが増加した詳細な回答によるタスクの中で最もうまく解決できます。
a) 方程式 2log 3 2 (2cos) を解きます。 バツ) – 5log 3 (2cos バツ) + 2 = 0
b) セグメントに属するこの方程式の根をすべて見つけます。
解決： a) log 3 (2cos) とします。 バツ) = t、次に 2 t 2 – 5t + 2 = 0,
|
|
log 3(2cos バツ) = | 2 | ⇔ |
|
2コス バツ = 9 | ⇔ |
|
コス バツ = | 4,5 | ⇔だから |cos バツ| ≤ 1, |
| log 3(2cos バツ) = | 1 | 2コス バツ = √3 | コス バツ = | √3 | ||||||
| 2 | 2 |
| それからcos バツ = | √3 |
| 2 |
|
|
バツ = | π | +2π k |
| 6 | |||
| バツ = – | π | +2π k, k ∈ Z | |
| 6 |
b) セグメント上にある根を見つけます。
この図は、指定されたセグメントのルートが以下に属していることを示しています。
| 11π | そして | 13π | . |
| 6 | 6 |
| 答え： A) | π | +2π k; – | π | +2π k, k ∈ Z; b) | 11π | ; | 13π | . |
| 6 | 6 | 6 | 6 |
円柱の底面の円の直径は 20、円柱の母線は 28 です。この平面は、長さ 12 と 16 の弦に沿ってその底面と交差します。弦間の距離は 2√197 です。
a) 円柱の底面の中心がこの平面の片側にあることを証明します。
b) この平面と円柱の底面との間の角度を見つけます。
解決： a) 長さ 12 の弦は基礎円の中心からの距離 = 8 にあり、同様に長さ 16 の弦は距離 6 にあります。円柱の底面は 8 + 6 = 14 または 8 − 6 = 2 です。
この場合、弦間の距離は次のいずれかになります。
= = √980 = = 2√245
= = √788 = = 2√197.
この条件により、弦の投影が円筒軸の片側に位置する 2 番目のケースが実現されました。 これは、軸が円柱内でこの平面と交差しないこと、つまり、基部が円柱の片側にあることを意味します。 証明する必要があったもの。
b) 塩基の中心を O 1 と O 2 として表します。 長さ 12 の弦のベースの中心からこの弦 (すでに述べたように長さ 8 です) に対して垂直二等分線を描き、もう一方のベースの中心からもう一方の弦まで描きましょう。 それらは、これらの弦に垂直な同じ平面 β にあります。 小さい方の弦 B、大きい方の弦 A、および A の 2 番目のベースへの射影の中点を H (H ∈ β) と呼びましょう。 この場合、AB,AH ∈ β、したがって AB,AH は弦、つまりベースと指定された平面の交点の直線に対して垂直になります。
これは、必要な角度が次の値に等しいことを意味します。
| ∠ABH = arctan | A.H. | =アークタン | 28 | = actg14. |
| B.H. | 8 – 6 |
タスクNo.15- 詳細な回答による複雑さのレベルの増加により、不等式を解く能力がテストされます。これは、複雑さのレベルが増加した詳細な回答によるタスクの中で最もうまく解決されます。
例15。不平等を解く | バツ 2 – 3バツ| ログ 2 ( バツ + 1) ≤ 3バツ – バツ 2 .
解決：この不等式の定義範囲は区間 (-1; +∞) です。 3 つのケースを個別に考えてみましょう。
1) しましょう バツ 2 – 3バツ= 0、つまり バツ= 0 または バツ= 3. この場合、この不等式が成り立つため、これらの値が解に含まれます。
2) さあ、しましょう バツ 2 – 3バツ> 0、つまり バツ∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞)。 さらに、この不等式は次のように書き換えることができます ( バツ 2 – 3バツ) ログ 2 ( バツ + 1) ≤ 3バツ – バツ 2 を正の式で割ります。 バツ 2 – 3バツ。 ログ 2 を取得します ( バツ + 1) ≤ –1, バツ + 1 ≤ 2 –1 , バツ≤ 0.5 –1 または バツ≤ -0.5。 定義領域を考慮すると、次のようになります。 バツ ∈ (–1; –0,5].
3) 最後に、次のことを考えます。 バツ 2 – 3バツ < 0, при этом バツ∈ (0; 3)。 この場合、元の不等式は次の形式に書き換えられます (3 バツ – バツ 2) ログ 2 ( バツ + 1) ≤ 3バツ – バツ 2. 正の 3 で割った後 バツ – バツ 2 、ログ 2 を取得します ( バツ + 1) ≤ 1, バツ + 1 ≤ 2, バツ≤ 1. 地域を考慮すると、次のようになります。 バツ ∈ (0; 1].
得られた解を組み合わせると、次のようになります。 バツ ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.
答え： (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.
タスクNo.16- 上級レベルとは、詳細な回答が記載された第 2 部のタスクを指します。 このタスクでは、幾何学的形状、座標、ベクトルを使用してアクションを実行する能力をテストします。 このタスクには 2 つのポイントが含まれています。 最初のポイントではタスクを証明する必要があり、2 番目のポイントでは計算する必要があります。
で 二等辺三角形頂点 A で角度 120°の ABC、二等分線 BD が描画されます。 長方形 DEFH は、辺 FH が線分 BC 上に位置し、頂点 E が線分 AB 上に位置するように三角形 ABC に内接します。 a) FH = 2DH であることを証明します。 b) AB = 4の場合、長方形DEFHの面積を求めます。
解決： A)
1) ΔBEF – 長方形、EF⊥BC、∠B = (180° – 120°): 2 = 30°、その後、30°の角度の反対側にある脚の性質により EF = BE となります。
2) EF = DH = とします。 バツの場合、BE = 2 バツ、BF = バツピタゴラスの定理によると√3。
3) ΔABC は二等辺なので、∠B = ∠C = 30˚ となります。
BD は ∠B の二等分線であり、∠ABD = ∠DBC = 15˚ を意味します。
4) ΔDBH – 長方形を考慮します。 DH⊥BC。
| 2バツ | = | 4 – 2バツ |
| 2バツ(√3 + 1) | 4 |
| 1 | = | 2 – バツ |
| √3 + 1 | 2 |
√3 – 1 = 2 – バツ
バツ = 3 – √3
EF = 3 – √3
2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )
S DEFH = 24 – 12√3。
答え： 24 – 12√3.
タスクNo.17- 詳細な答えを伴うタスク。このタスクでは、実践的な活動や日常生活における知識とスキルの応用、数学的モデルを構築および探索する能力がテストされます。 この課題は経済的な内容の文章問題です。
例17。 2,000万ルーブルの預金は4年間開設される予定です。 毎年の終わりに、銀行は年の初めの規模と比較して預金を 10% 増加させます。 さらに、3 年目と 4 年目の初めに、投資家は毎年、次の方法で預金を補充します。 バツ百万ルーブル、ここで バツ - 全体番号。 探す 最高値 バツ、この場合、銀行は4年間で1,700万ルーブル未満の預金を蓄積します。
解決： 1 年目の終わりには、拠出金は 20 + 20 · 0.1 = 2,200 万ルーブルとなり、2 年目の終わりには - 22 + 22 · 0.1 = 2,420 万ルーブルとなります。 3 年目の初めの拠出金 (100 万ルーブル) は (24.2 + バツ)、そして最後に - (24.2 + バツ） + (24,2 + バツ）· 0.1 = (26.62 + 1.1 バツ）。 4 年目の初めの拠出額は (26.62 + 2.1) になります。 バツ）、そして最後に - (26.62 + 2.1 バツ) + (26,62 + 2,1バツ) · 0.1 = (29.282 + 2.31 バツ）。 条件によって、不等式が成立する最大の整数 x を見つける必要があります。
(29,282 + 2,31バツ) – 20 – 2バツ < 17
29,282 + 2,31バツ – 20 – 2バツ < 17
0,31バツ < 17 + 20 – 29,282
0,31バツ < 7,718
| バツ < | 7718 |
| 310 |
| バツ < | 3859 |
| 155 |
| バツ < 24 | 139 |
| 155 |
この不等式の最大の整数解は数値 24 です。
答え： 24.
タスクNo.18- 詳細な回答を伴う、より複雑なレベルのタスク。 このタスクは、志願者の数学的準備に対する要件が強化された大学への競争選抜を目的としています。 複雑さの高いタスクとは、1 つの解決方法を使用するのではなく、さまざまな方法を組み合わせて行うタスクです。 タスク 18 を正常に完了するには、確かな数学的知識に加えて、次のことも必要です。 上級数学的文化。
何で ある不平等系
| バツ 2 + y 2 ≤ 2ああ – ある 2 + 1 | |
| y + ある ≤ |バツ| – ある |
解決策は正確に 2 つありますか?
解決：このシステムは次の形式で書き直すことができます。
| バツ 2 + (y– ある) 2 ≤ 1 | |
| y ≤ |バツ| – ある |
最初の不等式に対する一連の解を平面上に描くと、点 (0, あ）。 2 番目の不等式の解のセットは、関数のグラフの下にある平面の一部です。 y = |
バツ| –
ある,
後者は関数のグラフです
y = |
バツ|
、下にシフト あ。 この系の解は、各不等式の解の集合の交差部分です。
したがって、このシステムでは図の場合に限り 2 つの解が存在することになります。 1.
円と線の接点がシステムの 2 つの解になります。 各直線は軸に対して 45°の角度で傾いています。 だから三角形だよ PQR– 長方形の二等辺。 ドット Q座標 (0, あ）、そしてポイント R– 座標 (0, – あ）。 さらに、セグメント PRそして PQ 1 に等しい円の半径に等しい。つまり、
| Qr= 2ある = √2, ある = | √2 | . |
| 2 |
| 答え： ある = | √2 | . |
| 2 |
タスクNo.19- 詳細な回答を伴う、より複雑なレベルのタスク。 このタスクは、志願者の数学的準備に対する要件が強化された大学への競争的な選抜を目的としています。 複雑さの高いタスクとは、1 つの解決方法を使用するのではなく、さまざまな方法を組み合わせて行うタスクです。 タスク 19 を正常に完了するには、既知のアプローチの中からさまざまなアプローチを選択し、研究した方法を変更して、解決策を検索できる必要があります。
させて SN和 P等差数列の項 ( うp）。 と知られている Sn + 1 = 2n 2 – 21n – 23.
a) 式を入力します Pこの進行の第 3 項。
b) 最小の絶対和を見つける Sn.
c) 最小のものを見つける P、 これで Sn整数の2乗になります。
解決: a) それは明らかです あ、ん = Sn – Sn-1. この式を使用すると、次のようになります。
Sn = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,
Sn – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27
手段、 あ、ん = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.
B) 以来 Sn = 2n 2 – 25n、次に関数を考えます S(バツ) = | 2バツ 2 – 25×|。 そのグラフを図に示します。
明らかに、最小値は関数のゼロに最も近い整数点で得られます。 明らかにこれらがポイントです バツ= 1, バツ= 12 および バツ= 13. それ以来、 S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2・144 – 25・12| = 12、 S(13) = |S 13 | = |2・169 – 25・13| = 13 の場合、最小値は 12 になります。
c) 前の段落から次のことがわかります。 SNポジティブ、から始まる n= 13. 以来 Sn = 2n 2 – 25n = n(2n– 25) したがって、この式が完全な平方であるときの明白なケースは、次のときに実現されます。 n = 2n– 25、つまり、 P= 25.
13 から 25 までの値を確認する必要があります。
S 13 = 13 1、 S 14 = 14 3、 S 15 = 15 5、 S 16 = 16 7、 S 17 = 17 9、 S 18 = 18 11、 S 19 = 19 13、 S 20 = 20 13、 S 21 = 21 17、 S 22 = 22 19、 S 23 = 23 21、 S 24 = 24 23.
値が小さい場合には、 P 完全な正方形は達成されていない。
答え： A) あ、ん = 4n– 27; b) 12; c) 25.
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*2017 年 5 月以降、統一出版グループ「DROFA-VENTANA」はロシア教科書会社の一部となりました。 この企業には、Astrel 出版社と LECTA デジタル教育プラットフォームも含まれています。 総監督アレクサンダー・ブリチキン、ロシア連邦政府傘下の金融アカデミー卒業生、候補者 経済学、デジタル教育分野（電子形式の教科書、ロシア電子学校、デジタル教育プラットフォーム LECTA）における DROFA 出版社の革新的プロジェクトの責任者。 DROFA 出版社に入社する前は、出版社の副社長の職にありました。 戦略的開発出版ホールディングス「EXMO-AST」への出資。 現在、出版社「ロシア教科書」は、連邦リストに含まれる最大の教科書ポートフォリオを持っています - 485 タイトル（特殊学校用の教科書を除くと約 40%）。 同社の出版社は、ロシアの学校で物理学、図画、生物学、化学、技術、地理学、天文学など、国の生産力の発展に必要な知識分野で最も人気のある教科書セットを所有している。 同社のポートフォリオには教科書や 教材のために 小学校、教育分野で大統領賞を受賞。 これらは、ロシアの科学、技術、生産の可能性の発展に必要な主題分野の教科書とマニュアルです。
数学の統一国家試験は、学校卒業生が証明書を取得して高等教育機関に入学する前に行われる主要な試験の 1 つです。 このタイプの知識管理は、その過程で獲得した専門分野の知識を評価するために使用されます。 学校教育。 統一国家試験はテスト形式を採用しており、最終テストの課題は、ロソブルナゾルおよび教育分野のその他の認定団体によって準備されています。 数学の合格点は、受験する大学の個別の要件によって異なります。卒業。 高得点で試験に無事合格 - 重要な要素入学して成功。
工業大学や経済大学への入学には、プロファイルレベルの数学が必須です。 試験課題の基礎は基本レベルであり、さらに複雑な問題と例題が追加されます。 短くて詳細な回答が期待されます。
- 最初のタスクでは深い知識は必要ありません。これは基本レベルの知識を問うテストです。
- 次の 5 つはより難しく、平均から高度なレベルのこの主題の習得が必要です。 これらの課題は、解答が短いため、コンピュータを使用してチェックされます。
学生がこのレベルを選択した場合、これは高等教育で正確な科学を学び続けたいという学生の願望を意味します。 教育機関。 専門試験を選択するということは、学生の知識レベルが非常に高いこと、つまり基礎的な準備が必要ないことも示しています。
準備プロセスには、主要セクションの繰り返しが含まれており、非標準的で創造的なアプローチが必要となる複雑さが増した問題を解決します。
調製方法
- 基礎訓練は学校で行われ、学生はそこで基礎を習得しますが、場合によっては教師が卒業生向けに追加の選択科目を実施します。 主な推奨事項は、特に大学院では、すべてのトピックを注意深く徹底的に習得することです。
- 独立した仕事: これには特別な自制心、意志、自制心が必要です。 注意深く読む必要があります 。 問題は方向性にあります。専門家だけが将来の応募者を注意が必要なトピックに適切に導くことができます。
- 個別指導: 専門のスペシャリストが、複雑なタスクを効果的かつ迅速に解決できるようお手伝いします。
- コースとオンライン学習: 時間とお金を節約する、実績のある最新の方法。 重要な利点は、オンラインでテストを受けて、すぐに答えを入手し、さまざまなタスクを練習できることです。