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自然次数の根とその性質。平方根。総合ガイド (2019)

この記事で紹介するのは、 数の根の概念。順番に進めていきます。平方根から始めて、そこから立方根の説明に進み、その後、根の概念を一般化し、n 乗根を定義します。同時に、定義、表記法を紹介し、語根の例を挙げ、必要な説明とコメントを加えます。

平方根、算術平方根

数値の根、特に平方根の定義を理解するには、が必要です。この時点で、数値の 2 乗、つまり数値の 2 乗に遭遇することがよくあります。

まずは始めましょう 平方根の定義.

意味

a の平方根は、二乗が a に等しい数値です。

持ってくるには 例平方根 、いくつかの数値、たとえば 5、−0.3、0.3、0 を取り、それらを 2 乗すると、それぞれ 25、0.09、0.09、0 という数値が得られます (5 2 =5・5=25、 (−0.3) 2 =(−0.3)・(−0.3)=0.09、（０．３）２＝０．３・０．３＝０．０９および０２＝０・０＝０）。次に、上記の定義により、数値 5 は数値 25 の平方根、数値 -0.3 と 0.3 は 0.09 の平方根、0 はゼロの平方根です。

どのような数 a に対しても、その 2 乗が a に等しい a が存在するわけではないことに注意してください。つまり、負の数 a に対して、2 乗が a に等しい実数 b は存在しません。実際、b 2 はそうでないため、a=b 2 という等式は負の a に対して不可能です。負の数任意の b について。したがって、 実数の集合には負の数の平方根はありません。言い換えれば、実数のセットでは、負の数の平方根は定義されておらず、意味がありません。

このことから次のことがわかります論理的な質問: 「負でない a に対する a の平方根は存在しますか?」答えは「はい」です。この事実は、平方根の値を求めるために使用される建設的な方法によって正当化できます。

次に、次の論理的な質問が生じます。「与えられた非負の数 a - 1、2、3、またはそれ以上のすべての平方根の数は何ですか?」答えは次のとおりです。a がゼロの場合、ゼロの平方根はゼロだけです。 a が正の数の場合、数値 a の平方根の数は 2 で、根はになります。これを正当化しましょう。

a=0 の場合から始めましょう。まず、ゼロが実際にゼロの平方根であることを示しましょう。これは、明らかな等式 0 2 =0・0=0 と平方根の定義から導き出されます。

ここで、0 がゼロの唯一の平方根であることを証明しましょう。逆の方法を使ってみましょう。ゼロの平方根であるゼロ以外の数値 b があるとします。次に、条件ｂ２＝０が満たされなければならないが、非ゼロｂでは式ｂ２の値が正であるため、これは不可能である。私たちは矛盾に到達しました。これは、0 がゼロの唯一の平方根であることを証明します。

a が正の数の場合に移りましょう。上で、負でない数値には常に平方根があると述べました。a の平方根を数値 b とします。 a の平方根でもある数値 c があるとします。次に、平方根の定義により、等式 b 2 =a および c 2 =a が真となり、そこから b 2 −c 2 =a−a=0 となりますが、b 2 −c 2 =( b−c)・( b+c) の場合、 (b−c)・(b+c)=0 となります。結果の等価性は有効です 実数を使った演算の性質 b−c=0 または b+c=0 の場合にのみ可能です。したがって、数値 b と c は等しいか逆になります。

数 a の平方根である数 d があると仮定すると、すでに与えられたものと同様の推論により、d が数 b または数 c に等しいことが証明されます。したがって、正の数の平方根の数は 2 であり、平方根は反対の数です。

平方根を扱いやすいように、負の根は正の根から「分離」されています。この目的のために導入されるのは、 算術平方根の定義.

意味

非負数 a の算術平方根は、二乗が a に等しい非負の数です。

a の算術平方根の表記はです。この符号は算術平方根符号と呼ばれます。根号記号とも呼ばれます。したがって、同じオブジェクトを意味する「ルート」と「ラジカル」の両方を聞くことがあります。

算術平方根記号の下にある数値は次のように呼ばれます。根数、ルート記号の下の式は次のようになります。 過激な表現, 一方、「部数」という用語は「部数表現」に置き換えられることがよくあります。たとえば、この表記では 151 という数字は部首番号であり、この表記では a という式は部首表現です。

読む際には、「算術」という単語が省略されることが多く、たとえば、「7 の平方根 29」と読み取られます。「算術」という言葉は、次のことを強調したい場合にのみ使用されます。私たちが話しているのは特に数値の正の平方根についてです。

導入された表記法を考慮すると、任意の非負数に対する算術平方根の定義から、 a が得られます。

正の数 a の平方根は、算術平方根記号を使用しておよびとして記述されます。たとえば、13 の平方根はとです。算術ゼロの平方根ゼロに等しい、あれは、。負の数 a については、勉強するまで表記に意味を持たせません。 複素数。たとえば、およびという式は意味がありません。

平方根の定義に基づいて、実際によく使用される平方根の性質を証明します。

この点の結論として、数値 a の平方根は変数 x に関して x 2 =a の形式の解であることに注意してください。

数値の立方根

立方根の定義数値 a は平方根の定義と同様に与えられます。ただ、正方形ではなく、数値の立方体の概念に基づいています。

意味

a の立方根は、その 3 乗が a に等しい数値です。

あげましょう 立方根の例。これを行うには、いくつかの数値 (7、0、−2/3 など) を取得し、それらを 3 乗します: 7 3 =7・7・7=343、0 3 =0・0・0=0、。次に、立方根の定義に基づいて、数字の 7 は次のように言えます。立方根 343 の 0 はゼロの立方根、-2/3 は -8/27 の立方根です。

平方根とは異なり、数値の立方根は、非負の a だけでなく、任意の実数 a に対しても常に存在することがわかります。これを行うには、平方根を学習するときに説明したのと同じ方法を使用できます。

さらに、与えられた数 a の立方根は 1 つだけです。最後の文を証明しましょう。これを行うには、a が正の数、a=0、および a が負の数という 3 つのケースを個別に検討します。

a が正の場合、a の立方根は負の数にもゼロにもなり得ないことを示すのは簡単です。確かに、b を a の立方根とすると、定義により、等式 b 3 =a を書くことができます。この等価性が負の b および b=0 の場合には当てはまらないことは明らかです。これらの場合、b 3 =b・b・b はそれぞれ負の数またはゼロになるからです。したがって、正の数 a の立方根は正の数です。

ここで、数値 b に加えて数値 a の別の立方根があると仮定します。これを c と表します。したがって、ｃ３＝ａとなる。したがって、b 3 −c 3 =a−a=0 ですが、 b 3 −c 3 =(b−c)・(b 2 +b・c+c 2)(これは乗算の公式の略称です) 立方体の違い）、したがって、（ｂ－ｃ）・（ｂ２＋ｂ・ｃ＋ｃ２）＝０となる。結果の等価性は、b-c=0 または b 2 +b・c+c 2 =0 の場合にのみ可能です。最初の等式から b=c が得られますが、2 番目の等式には解がありません。これは、その左辺が 3 つの正の項 b 2、b・c および c 2 の合計として、任意の正数 b および c に対して正の数であるためです。これは、正の数 a の立方根の一意性を証明します。

a=0 の場合、数値 a の立方根は数値 0 のみになります。実際、ゼロ以外のゼロの立方根である数値 b があると仮定すると、等式 b 3 =0 が成り立つはずですが、これは b=0 の場合にのみ可能です。

負の a についても、正の a の場合と同様の引数を与えることができます。まず、負の数の立方根は正の数またはゼロに等しくなり得ないことを示します。次に、負の数の 2 番目の立方根があると仮定し、それが必ず最初の立方根と一致することを示します。

したがって、与えられた実数 a の立方根は常に存在し、一意の立方根が存在します。

あげましょう 算術立方根の定義.

意味

非負数の算術立方根 aは、その 3 乗が a に等しい非負の数です。

非負の数 a の算術立方根はと表され、その符号は算術立方根の符号と呼ばれ、この表記法の数値 3 はと呼ばれます。 ルートインデックス。ルート記号の下の数字は根数、ルート記号の下の式は次のとおりです。 過激な表現.

算術立方根は非負の数 a に対してのみ定義されますが、負の数が算術立方根記号の下にある表記を使用することも便利です。それらを次のように理解します。、ここで、a は正の数です。例えば、 .

立方根のプロパティについては、一般記事「ルートのプロパティ」で説明します。

立方根の値を計算することは、立方根の抽出と呼ばれます。このアクションについては、「ルートの抽出: 方法、例、ソリューション」の記事で説明されています。

この点を結論付けるために、数値 a の立方根が x 3 =a の形式の解であるとしましょう。

n 乗根、n 次の算術根

数の根の概念を一般化しましょう - を紹介します n乗根の定義 nの場合。

意味

a の n 乗根は、その n 乗が a に等しい数です。

からこの定義自然指数を使って次数を研究したときに 1 =a をとったので、数値 a の 1 次根が数値 a そのものであることは明らかです。

上では、n=2 と n=3 の n 乗根 (平方根と立方根) の特殊なケースを見てきました。つまり、平方根は 2 次の根、立方根は 3 次の根です。 n=4、5、6、... の n 次の根を調べるには、それらを 2 つのグループに分けると便利です。最初のグループ - 偶数次の根 (つまり、n = 4、6、8 の場合) , ...)、2 番目のグループ - 奇数次の根 (つまり、n=5、7、9、...)。これは、偶数乗根は平方根に似ており、奇数乗根は立方根に似ているという事実によるものです。一つずつ対処していきましょう。

根っこから始めましょう。その力は次のとおりです。偶数 4、6、8、... すでに述べたように、これらは数値 a の平方根に似ています。つまり、数値 a の偶数次の根は、非負の a に対してのみ存在します。さらに、a=0 の場合、a の根は一意でゼロに等しく、a>0 の場合、数値 a の偶数次の根が 2 つ存在し、それらは反対の数になります。

最後の発言を実証してみましょう。 b を偶数次の根とします (これを 2 m と表します。ここで、m はいくらかです) 自然数) 番号 a から。数値 c (数値 a からの次数 2・m の別の根) があるとします。次に、 b 2・m −c 2・m =a−a=0 となります。しかし、私たちは b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) という形を知っています。 (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)、その後、(b−c)・(b+c)・ (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0。この等式から、b−c=0、または b+c=0、または b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0。最初の 2 つの等式は、数値 b と c が等しいか、b と c が反対であることを意味します。そして、最後の等式は、b=c=0 に対してのみ有効です。これは、その左側に、非負数の合計として、任意の b と c に対して非負となる式があるためです。

奇数 n の n 次の根については、立方根に似ています。つまり、数値 a の奇数次の根は、あらゆる実数 a に対して存在し、与えられた数値 a に対して一意です。

数 a の奇数次の根 2・m+1 の一意性は、a の立方根の一意性の証明との類推によって証明されます。平等ではなくここだけ a 3 −b 3 =(a−b)・(a 2 +a・b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = という形式の等式が使用されます。 (b−c)・(b 2・m +b 2・m−1・c+b 2・m−2・c 2 +… +c 2・m)。最後の括弧内の式は次のように書き換えることができます。 b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c))))。たとえば、m=2 の場合、次のようになります。 b 5 −c 5 =(b−c)・(b 4 +b 3 ・c+b 2 ・c 2 +b・c 3 +c 4)= (b−c)・(b 4 +c 4 +b・c・(b 2 +c 2 +b・c))。 a と b が両方とも正であるか、両方とも負である場合、その積は正の数となり、括弧内の式 b 2 +c 2 +b·c 自体が成り立ちます。高度な入れ子になっている場合、正の数の合計が正になります。ここで、前のネスト度の括弧内の式に順番に移動すると、それらも正の数の合計として正であることがわかります。その結果、次の等式が得られます。 b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)・(b 2・m +b 2・m−1・c+b 2・m−2・c 2 +… +c 2・m)=0 b-c=0 の場合、つまり数値 b が数値 c に等しい場合にのみ可能です。

n乗根の表記法を理解しましょう。この目的のために与えられるのは、 n 次の算術根の定義.

意味

非負数 a の n 次の算術根は、n 乗が a に等しい非負の数です。

累乗関数の基本的な特性 (式や根の特性など) が示されています。微分、積分、展開パワーシリーズべき乗関数の複素数による表現。

意味

意味
指数 p を伴うべき乗関数は関数 f です (x) = xp、点 x での値は、点 p で底が x である指数関数の値と等しくなります。
さらに、f (0) = 0 p = 0 pの場合> 0 .

のために自然な価値観指数、べき関数は x に等しい n 個の数値の積です。
.
これはすべての有効なに対して定義されています。

指数の正の有理値の場合、べき関数は数値 x の次数 m の n 乗根の積です。
.
奇数 m の場合、すべての実数 x に対して定義されます。偶数 m の場合、累乗関数は負でないものに対して定義されます。

負の場合、べき乗関数は次の式で決定されます。
.
したがって、その時点では定義されていません。

指数 p の無理数値の場合、べき乗関数は次の式で決定されます。
,
ここで、a は任意の正の数です。 1に等しい: .
の場合、に対して定義されます。
のとき、べき乗関数はに対して定義されます。

連続。べき乗関数は、その定義領域内で連続です。

x ≥ 0 のべき乗関数の特性と公式

ここでは、次のべき乗関数の特性を検討します。負の値引数 x。上で述べたように、指数 p の特定の値については、x の負の値に対して累乗関数も定義されます。この場合、そのプロパティは偶数または奇数を使用してのプロパティから取得できます。これらのケースについては、「」ページで詳しく説明および図解されています。

指数 p を持つべき乗関数 y = x p には、次の特性があります。
(1.1) セット上で定義され、継続的である
で、
で ;
(1.2) 多くの意味があります
で、
で ;
(1.3) 厳密に増加すると、
厳密には次のように減少します。
(1.4) で ;
で ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

性質の証明は「べき乗関数（連続性と性質の証明）」のページに記載されています。

ルート - 定義、公式、プロパティ

意味
n 次の数値 x の根は n 乗すると x となる数値です。
.
ここで n = 2, 3, 4, ... - 1 より大きい自然数。

n 次の数値 x の根が方程式の根 (つまり、解) であるとも言えます。
.
この関数は関数の逆関数であることに注意してください。

xの平方根は次数 2 の根です: 。

xの立方根は次数 3 の根です: 。

偶数度

偶数乗の場合、n = 2m、ルートは x ≥ に対して定義されます。 0 。よく使用される式は、正の x と負の x の両方に有効です。
.
平方根の場合:
.

ここでは、演算を実行する順序が重要です。つまり、最初に二乗が実行されて非負の数が得られ、次にそこからルートが取得されます (平方根は非負の数から取得できます)。）。順序を変更すると、負の x のルートは未定義になり、式全体が未定義になります。

奇数度

奇数乗の場合、根はすべての x に対して定義されます。
;
.

ルートの性質と公式

x の根はべき乗関数です。
.
x≧の場合 0 次の式が適用されます。
;
;
, ;
.

これらの式は変数の負の値にも適用できます。偶数乗の急進的な表現が否定的ではないことを確認する必要があるだけです。

プライベートな価値観

0 のルートは 0: です。
ルート 1 は 1 に等しい: 。
0 の平方根は 0: です。
1 の平方根は 1: です。

例。根の根

根の平方根の例を見てみましょう。
.
上記の式を使用して内側の平方根を変換しましょう。
.
次に、元のルートを変換しましょう。
.
それで、
.

指数 p のさまざまな値の場合は y = x p。

以下は、引数 x の非負の値に対する関数のグラフです。 x の負の値に対して定義されたべき乗関数のグラフは、「べき乗関数、そのプロパティとグラフ」のページに記載されています。

逆関数

指数 p のべき乗関数の逆関数は、指数 1/p のべき乗関数です。

もしそうなら。

べき乗関数の導関数

n次微分:
;

数式の導出 > > >

べき乗関数の積分

P ≠ - 1 ;
.

べき級数展開

で - 1 < x < 1 次の分解が行われます。

複素数を使った式

複素変数 z の関数を考えてみましょう。
f (z) = zt.
複素変数 z を法 r と引数 φ で表現してみましょう (r = |z|)。
z = r e i φ 。
複素数 t を実数部と虚数部の形式で表します。
t = p + i q 。
我々は持っています：

次に、引数 φ が一意に定義されていないことを考慮します。
,

q = の場合を考えてみましょう。 0 つまり、指数は実数 t = p です。それから
.

p が整数の場合、kp は整数です。次に、三角関数の周期性により、次のようになります。
.
あれは指数関数整数の指数の場合、指定された z に対して値は 1 つだけであるため、明確になります。

p が無理数の場合、任意の k に対する積 kp は整数を生成しません。 k は無限の一連の値を実行するため、 k = 0、1、2、3、...の場合、関数 z p は無限に多くの値を持ちます。引数 z がインクリメントされるたびに 2π(1 ターン)、関数の新しいブランチに移動します。

p が有理数の場合、次のように表すことができます。
、どこメートル、ン- 公約数を含まない整数。それから
.
最初の n 値、k = k 0 = 0、1、2、...n-1、nを与えるさまざまな意味 Kp:
.
ただし、後続の値は、前の値とは整数だけ異なる値を与えます。たとえば、k = kの場合 0+n我々は持っています：
.
三角関数、その引数は次の倍数の値によって異なります。 2π、持っている等しい値。したがって、kをさらに増やすと、k = kの場合と同じz p の値が得られます。 0 = 0、1、2、...n-1.

したがって、有理指数を持つ指数関数は多値であり、n 個の値 (分岐) を持ちます。引数 z がインクリメントされるたびに 2π(1 ターン)、関数の新しいブランチに移動します。このような n 回転の後、カウントダウンが開始された最初のブランチに戻ります。

特に、次数 n の根には n 個の値があります。例として、正の実数 z = x の n 乗根を考えてみましょう。この場合、φ 0 = 0 、z = r = |z| = x, .
.
したがって、平方根の場合、n = 2 ,
.
偶数 k については、 (-1) k = 1。奇数 k の場合、 (-1) k = -1.
つまり、平方根には + と - の 2 つの意味があります。

参考文献:
で。ブロンスタイン、K.A. Semendyaev、エンジニアと大学生のための数学ハンドブック、「Lan」、2009 年。

このテーマに関する 11 年生の授業台本:

「実数の n 乗根。 »

レッスンの目的:根幹についての総合的な理解を生徒に形成する n-番目の次数とn次の算術根、計算スキルの形成、意識的および合理的な使用根を含むさまざまな問題を解くときの根の性質。トピックの質問に対する生徒の理解レベルを確認します。

主題：トピックに関する内容を習得するための有意義で組織的な条件を作成します。数値とアルファベットの表現 » 知覚、理解、一次記憶のレベルで。実数の n 乗根を計算するときにこの情報を使用する能力を開発します。

メタ主題:コンピューティングスキルの開発を促進する。分析し、比較し、一般化し、結論を引き出す能力。

個人的：自分の意見を表現し、他の人の答えに耳を傾け、対話に参加し、積極的に協力する能力を養います。

予定通りの結果。

主題： 根を計算したり方程式を解くときに、実数の n 乗根の特性を実際の状況に適用できるようになります。

個人的： 注意力と計算の正確さ、自分自身と自分の仕事に対する厳しい態度を養い、相互扶助の感覚を養います。

レッスンの種類: 新しい知識を学び、最初に定着させるレッスン

教育活動への動機:

東洋の知恵には、「馬を水辺まで連れて行くことはできるが、水を強制することはできない」と言われています。そして、彼自身がもっと学ぼうとせず、精神的な発達に取り組む意欲がない場合、人によく勉強するように強制することは不可能です。結局のところ、知識は、記憶だけによってではなく、思考の努力によって獲得された場合にのみ知識となります。

「努力すればどんな頂点も乗り越えられる」をモットーにレッスンを行っていきます。レッスン中、あなたと私はいくつかのピークを克服する時間が必要であり、各自がこれらのピークを克服するために全力を注ぐ必要があります。

「今日のレッスンでは、「N 乗根」という新しい概念を理解し、この概念をさまざまな表現の変換に適用する方法を学ばなければなりません。

あなたの目標は以下に基づいています様々な形態既存の知識を活用し、教材の学習に貢献し、良い成績を得るために努力します。」
私たちは中学２年生で実数の平方根を勉強しました。平方根は次の形式の関数に関連しています。 y=バツ 2. 皆さん、平方根の計算方法と、それにどのような性質があるか覚えていますか?
a) 個別調査:

これはどういう表現ですか

いわゆる平方根

いわゆる算術平方根

平方根の性質をリストする

b) ペアで作業します: 計算します。

2. 知識を更新し、問題のある状況を作り出す:方程式 x 4 =1 を解きます。どうすれば解決できるでしょうか？ (分析的およびグラフ的)。グラフで解いてみましょう。これを行うには、1 つの座標系で関数 y = x 4 直線 y = 1 のグラフを構築します (図 164 a)。これらは、A (-1;1) と B(1;1) の 2 つの点で交差します。点 A と B の横座標、つまり x 1 = -1、

x 2 = 1 は方程式 x 4 = 1 の根です。
まったく同じ方法で推論して、方程式 x 4 =16 の根を見つけます。次に、方程式 x 4 =5 を解いてみましょう。幾何学的な図を図に示します。 164 b. この方程式には x 1 と x 2 という 2 つの根があり、前の 2 つの場合と同様に、これらの数値は相互に反対であることは明らかです。しかし、最初の 2 つの方程式では、根は問題なく見つかりました (グラフを使用せずに見つけることができました)。しかし、方程式 x 4 = 5 では問題があります。図面からは根の値を示すことができませんが、 1 つのルートが左側の点 -1 に位置し、2 番目のルートが点 1 の右側にあることだけを確認できます。

x 2 = - (「5 の 4 乗根」と読みます)。

方程式 x 4 = a (a 0) について話しました。方程式 x 4 = a (a 0、n は任意の自然数) についても同様に話すことができます。たとえば、方程式 x 5 = 1 をグラフで解くと、x = 1 がわかります (図 165)。方程式 x 5 "= 7 を解くと、方程式には根 x 1 が 1 つあり、これは点 1 のわずかに右側の x 軸上に位置することがわかります (図 165 を参照)。数値 x 1 については、次のように導入します。表記も

定義1. ルートn番目非負数 a の累乗 (n = 2、3、4、5、...) は非負数であり、n 乗すると数値 a になります。

この数を表すと、数 a は根数と呼ばれ、数 n は根の指数と呼ばれます。
n=2 の場合、通常は「第 2 根」とは言わず「平方根」と書きますが、この場合は書きません。これは 8 年生の代数コースで特別に学習した特別な場合です。。

n = 3 の場合、「3 次根」の代わりに「立方根」と呼ばれることがよくあります。あなたが立方根に初めて出会ったのも、8 年生の代数コースでした。 9年生の代数では立方根を使いました。

したがって、a ≥0、n= 2、3、4、5、…の場合、1) ≥ 0; 2) () n = a。

一般に、=b と b n =a は非負の数 a と b の間の関係と同じですが、2 番目の関係のみを詳しく説明します。簡単な言葉で(最初のものよりも単純な文字を使用します)。

非負の数の根を求める操作は、通常、根抽出と呼ばれます。この操作は、適切な累乗への引き上げの逆の操作です。比較する：

もう一度注意してください。これは定義 1 で規定されているため、表には正の数のみが表示されます。また、たとえば、(-6) 6 = 36 は正しい等式ですが、そこから平方根を使用した表記法に進みます。無理だと書きます。定義により、正の数は = 6 (-6 ではない) を意味します。同様に、 2 4 =16、t (-2) 4 =16 ですが、根の符号に移りますが、 = 2 (同時に≠-2) と書かなければなりません。

場合によっては、この表現は部首 (ラテン語の gadix - 「根」から) と呼ばれます。ロシア語では、「急進的」という用語がよく使われます。たとえば、「急進的変化」、つまり「急進的な変化」です。ちなみに、ルートの指定自体が gadix という単語を彷彿とさせます。記号は様式化された文字 r です。

根を抽出する操作は、負の基数についても決定されますが、根指数が奇数の場合のみです。言い換えれば、等式 (-2) 5 = -32 は =-2 と等価な形式で書き直すことができます。以下の定義が使用されます。

定義2.負の数 a の奇根 n (n = 3.5,...) は負の数であり、n 乗すると数値 a になります。

この数は、定義 1 と同様にで表され、数値 a は根数、数値 n は根の指数です。
したがって、 a 、 n=,5,7,… の場合: 1) 0; 2) () n = a。

したがって、偶数根は、非負の根号表現に対してのみ意味を持ちます (つまり、定義されます)。奇数根は、あらゆる急進的な表現に意味を持ちます。

5. 知識の一次統合:

1. 計算: No. 33.5; 33.6; 33.74 33.8 経口 a) ; b）; V) ; G) 。

d) 前の例とは異なり、数値の正確な値を示すことはできません。2 4 = 16 (これは 17 未満)、および 3 4 = 81 であるため、この数値が 2 より大きく 3 より小さいことだけが明らかです。（これは17以上です）。 24 は 34 よりも 17 にはるかに近いため、近似等号を使用する理由があります。
2. 次の式の意味を調べてください。

対応する文字を例の隣に配置します。

偉大な科学者についてのちょっとした情報。ルネ・デカルト (1596-1650) フランスの貴族、数学者、哲学者、生理学者、思想家。ルネ・デカルトは解析幾何学の基礎を築き、文字指定 x 2、y 3 を導入しました。変数の関数を定義するデカルト座標は誰もが知っています。

3 。方程式を解きます: a) = -2; b) = 1; c) = -4

解決： a) = -2 の場合、y = -8。実際には両方の部分与えられた方程式私たちは立方体にしなければなりません。 3x+4= - 8; となります。 3x= -12; x = -4。 b) 例 a) と同様の推論で、方程式の両辺を 4 乗します。 x=1 が得られます。

c) この方程式には解がありませんので、4 乗する必要はありません。なぜ？定義 1 によれば、偶数根は非負の数であるためです。
いくつかのタスクが提供されます。これらのタスクを完了すると、偉大な数学者の名前と姓がわかります。この科学者は 1637 年にルートサインを初めて導入しました。

6.少し休みましょう。

クラス全員が手を挙げます - これは「1」です。

頭が回りました - それは「2」でした。

断然、前を向いてください - これは「3」です。

手を横に広げて「4」にします

手に力を込めて押しつけるのが「ハイタッチ」です。

全員が座る必要があります - それは「6人」です。

7. 独立した仕事:

オプション: オプション 2:

b) 3-。 b)12-6。

2. 方程式を解きます: a) x 4 = -16; b) 0.02x 6 -1.28=0; a) x 8 = -3; b)0.3x9 – 2.4=0;

c) = -2; c)= 2

8. 繰り返し:方程式 = - x の根を求めます。方程式に複数の根がある場合は、小さい方の根で答えを書きます。

9. 反省:レッスンで何を学びましたか? 何が面白かったですか？何が大変でしたか？

この記事は、ルートの特性に関するトピックに関連する詳細な情報をまとめたものです。トピックを考慮して、特性から始めて、すべての配合を研究し、証拠を提供します。トピックを統合するために、n 次のプロパティを検討します。

Yandex.RTB R-A-339285-1

根の性質

プロパティについて話します。

財産乗算された数あるそして b、これは等式 a · b = a · b として表されます。係数の形式、正またはゼロで表すことができます。 a 1 、 a 2 、 … 、 a k a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
商 a: b = a: b、a ≥ 0、b > 0 から、この形式 a b = a b で書くこともできます。
数のべき乗から得られるプロパティある偶数の指数 a 2 m = 任意の数の a m あるたとえば、数値 a 2 = a の 2 乗から得られる性質です。

提示された式のいずれでも、ダッシュ記号の前後の部分を入れ替えることができます。たとえば、等式 a · b = a · b は a · b = a · b に変換されます。等式プロパティは、複雑な方程式を単純化するためによく使用されます。

最初の特性の証明は、平方根の定義と自然指数による累乗の特性に基づいています。 3 番目の特性を正当化するには、数値の係数の定義を参照する必要があります。

まず、平方根 a · b = a · b の性質を証明する必要があります。定義によれば、 a b は正またはゼロに等しい数値であると考える必要があり、これは次と等しくなります。 ab建設中正方形に。式 a · b の値は、正または非負の数の積としてゼロに等しくなります。乗算された数の累乗の性質により、 (a · b) 2 = a 2 · b 2 の形式で等価性を表すことができます。平方根の定義により、a 2 = a および b 2 = b となるため、a · b = a 2 · b 2 = a · b となります。

同様の方法で、積からそれを証明できます。 k乗数 a 1 、 a 2 、 … 、 a kは、これらの係数の平方根の積に等しくなります。確かに、 a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k です。

この等式から、a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k となります。

このトピックを強化するために、いくつかの例を見てみましょう。

例1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 と 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) 。

商の算術平方根の性質: a: b = a: b、a ≥ 0、b > 0 を証明する必要があります。このプロパティにより、a: b 2 = a 2: b 2 および a 2: b 2 = a: b という等式を書くことができますが、a: b は正の数またはゼロに等しいです。この表現が証拠になります。

たとえば、0:16 = 0:16、80:5 = 80:5、30.121 = 30.121 となります。

数値の二乗の平方根の性質を考えてみましょう。これは、 a 2 = a として等式として書くことができます。この性質を証明するには、以下のいくつかの等式を詳細に考慮する必要があります。 a ≧ 0そしてで ある< 0 .

明らかに、a ≥ 0 の場合、等式 a 2 = a が成り立ちます。で ある< 0 a 2 = - a という等式が真になります。実はこの場合、 − a > 0そして (− a) 2 = a 2 です。結論としては、a 2 = a、a ≥ 0 - a、a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

いくつかの例を見てみましょう。

例 2

5 2 = 5 = 5 および - 0.36 2 = - 0.36 = 0.36。

証明された特性は、2 m = a m を正当化するのに役立ちます。ある– 本物、そして メートル-自然数。実際、べき乗を上げるという性質により、そのべき乗を置き換えることができます。 2メートル表現 (午前) 2の場合、a 2 m = (a m) 2 = a m となります。

例 3

3 8 = 3 4 = 3 4 および (-8 , 3) 14 = - 8 、3 7 = (8 , 3) 7 。

n乗根の性質

まず、n 乗根の基本特性を考慮する必要があります。

数値の積からのプロパティあるそして bは正またはゼロに等しく、等式 a · b n = a n · b n として表現できます。このプロパティは積に対して有効です。 k数字 a 1 、 a 2 、 … 、 a k a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
から小数プロパティ a b n = a n b n を持ちます。ここで、あるは正またはゼロに等しい任意の実数であり、 b– 正の実数。
どれについてもあるそしてインジケーターさえも n = 2m a 2 · m 2 · m = a は true、奇数の場合 n = 2 m − 1 a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a という等式が成り立ちます。
a m n = a n m からの抽出のプロパティ、ここである– 正またはゼロに等しい任意の数値、 nそして メートルが自然数である場合、この性質は次の形式でも表現できます。。。 a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 。。。 · nk ;
非負の a および任意の nそして メートルこれは自然なことですが、公平な等価性 a m n · m = a n を定義することもできます。
次数の性質 n数乗からある、これは正またはゼロに等しく、自然度 メートル、等式 a m n = a n m によって定義されます。
比較プロパティ同じインジケーター: 任意の正の数値の場合あるそして bそのような ある< b 、不等式 a n< b n ;
ルートの下に同じ番号を持つ比較プロパティ: if メートルそして n –自然数 m > n、その後、 0 < a < 1 不等式 a m > a n が真であり、次の場合 a > 1午前中に実行されました< a n .

上記の等式は、等号の前後の部分を入れ替えた場合に有効です。このような形でも使用できます。これは、式を単純化または変換するときによく使用されます。

ルートの上記の特性の証明は、数の定義、次数の特性、および係数の定義に基づいています。これらの特性は証明されなければなりません。しかし、すべてが順調です。

まず、積の n 乗根 a · b n = a n · b n の性質を証明しましょう。のためにあるそして b 、これは正またはゼロに等しい , 値 a n · b n も、非負の数を乗算した結果であるため、正またはゼロになります。自然乗に対する積の性質により、等式 a n · b n n = a n n · b n n を書くことができます。ルートの定義により n- 次 a n n = a および b n n = b なので、 a n · b n n = a · b になります。結果として得られる平等性は、まさに証明する必要があるものです。

この性質は積についても同様に証明できます。 k乗数: 負でない数値の場合、a 1、a 2、…、a n、a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0。

root プロパティの使用例を次に示します。 n積の - 乗: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 と 8、3 4 17、(21) 4 3 4 5 7 4 = 8、3 17、(21) 3 · 5 7 4 。

商の根の性質 a b n = a n b n を証明しましょう。で a ≧ 0そして b > 0条件 a n b n ≥ 0 が満たされ、 a n b n n = a n n b n n = a b になります。

例を示してみましょう:

例 4

8 27 3 = 8 3 27 3 と 2、3 10: 2 3 10 = 2、3: 2 3 10。

次のステップでは、数値から次数までの n 次の性質を証明する必要があります。 n。これを、任意の実数に対する等式 a 2 m 2 m = a および a 2 m - 1 2 m - 1 = a として想像してみましょう。あるそして自然な メートル。で a ≧ 0 a = a および a 2 m = a 2 m が得られます。これは、a 2 m 2 m = a が等しいことを証明し、a 2 m - 1 2 m - 1 = a が等しいことは明らかです。で ある< 0 それぞれ、a = - a および a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m が得られます。数値の最後の変換は、累乗特性に従って有効です。これはまさに、奇数次数 - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 が考慮されるため、等価 a 2 m 2 m = a と a 2 m - 1 2 m - 1 = a が真であることを証明するものです。任意の番号に対して c、正またはゼロに等しい。

受け取った情報を統合するために、このプロパティを使用したいくつかの例を考えてみましょう。

例5

7 4 4 = 7 = 7、(- 5) 12 12 = - 5 = 5、0 8 8 = 0 = 0、6 3 3 = 6、および (- 3、39) 5 5 = - 3、39。

次の等式 a m n = a n m を証明しましょう。これを行うには、等号 a n · m = a m n の前後の数値を入れ替える必要があります。これは、入力が正しいことを意味します。のために ああ、どちらがポジティブですかまたはゼロに等しい , a m n の形式は、正またはゼロに等しい数です。べき乗をべき乗する性質とその定義に目を向けましょう。彼らの助けを借りて、a m n n · m = a m n n m = a m m = a の形式で等式を変換できます。これは、検討中のルートのルートの特性を証明します。

他の性質も同様に証明されます。本当に、。。。アン・ク・ン・２・ｎ・１・ｎ・１・ｎ・２・。。。 · n k = 。。。アンクン３ｎ２ｎ２・ｎ３・。。。 · n k = 。。。アンクン４ｎ３ｎ３・ｎ４・。。。 · n k = 。。。 = a n k n k = a 。

たとえば、7 3 5 = 7 5 3 および 0.0009 6 = 0.0009 2 2 6 = 0.0009 24 です。

次の性質 a m n · m = a n を証明してみましょう。これを行うには、n が正またはゼロに等しい数値であることを示す必要があります。 n m をべき乗すると、次のようになります。午前。番号があるが正またはゼロの場合、 nの中から - 番目の学位あるは正の数またはゼロです。この場合、 a n · m n = a n n m であり、これを証明する必要があります。

得た知識を定着させるために、いくつかの例を見てみましょう。

次の性質、つまり a m n = a n m の形式の累乗根の性質を証明しましょう。それは明らかです a ≧ 0次数 a n m は非負の数です。さらに、彼女は、 nの乗は次の値に等しい午前、確かに、 a n m n = a n m · n = a n n m = a m です。これは、検討中の学位の特性を証明します。

たとえば、2 3 5 3 = 2 3 3 5 となります。

正の数についてはそれを証明する必要がありますあるそして b 条件が満たされる ある< b 。不等式 a n を考えてみましょう< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию ある< b 。したがって、< b n при ある< b .

たとえば、12 4 とします。< 15 2 3 4 .

根の性質を考慮する n-番目の学位。まず不等式の最初の部分を考慮する必要があります。で m > nそして 0 < a < 1 true a m > a n 。 a m ≤ a n と仮定しましょう。プロパティを使用すると、式を a n m · n ≤ a m m · n に簡略化できます。このとき、自然指数を伴う次数の性質に従って、不等式 a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n が成り立ちます。つまり、 a n ≤ a m。で得られた値 m > nそして 0 < a < 1 上記のプロパティに対応しません。

同様に、次のことも証明できます。 m > nそして a > 1条件 a m は true< a n .

上記の特性を統合するには、いくつかの点を考慮してください。具体的な例。具体的な数字を使って不等式を見てみましょう。

例6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

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ルート次数 n実数からある、どこ n- 自然数、そのような実数を呼びますバツ, n次次が次と等しいある.

ルート次数 n番号からあるという記号で示されています。この定義によると。

ルートを見つける nの中から - 番目の学位ある根抜きといいます。番号あを根数（式）といいますが、 n- ルートインジケーター。奇数の場合 n根がある n任意の実数の - 乗ある。偶数のとき n根がある n非負の数値の場合のみ -th 乗ある。ルートの曖昧さを解消するには nの中から - 番目の学位ある、算術ルートの概念が導入されます。 nの中から - 番目の学位ある.

N 次の算術根の概念

もし n- 自然数、それより大きい 1 の場合、非負の数は 1 つだけ存在します。バツ、等式が満たされるように。この番号バツ算術根と呼ばれる n非負数の乗あと指定されています。番号あは根数と呼ばれ、 n- ルートインジケーター。

したがって、定義によれば、表記、ここで、は、第一にそれ、第二にそれ、つまり、それを意味します。。

有理指数を伴う学位の概念

自然指数による次数: let あは実数であり、 n- 1 より大きい自然数、 n数値の - 乗あ仕事に電話する nそれぞれの要素が等しいあ、つまり。番号あ- 学位の基礎、 n- 指数。指数がゼロのべき乗: 定義により、 if 、 then 。数値のゼロ乗 0 意味がありません。負の整数指数を持つ次数: およびの場合、定義により仮定されます。 nが自然数の場合、 . 小数部の指数を伴う度数: およびの場合、定義により仮定されます。 n- 自然数、 メートルが整数の場合、 .

ルートを使用した操作。

以下の式中の記号は算術根（根号は正）を意味します。

1. いくつかの因子の積の根は、次の因子の根の積と等しくなります。

2. 比率の根は、被除数と除数の根の比率に等しくなります。

3. ルートを累乗する場合は、根号をこの累乗するだけで十分です。

4. 根の次数を n 倍にし、同時に根号を n 乗しても、根の値は変わりません。

5. 根の次数を n 倍に減らし、同時に根号の n 番目の根を抽出した場合、根の値は変わりません。

学位の概念を拡張する。これまで、自然指数のみを使用して次数を検討してきました。ただし、べき乗や根を使用した演算では、負の指数、ゼロ指数、小数指数が発生する可能性もあります。これらすべての指数には追加の定義が必要です。

マイナスの指数をもつ学位。負の (整数) 指数を持つ特定の数値の累乗は、負の指数の絶対値に等しい指数を持つ同じ数値の累乗で除算されたものとして定義されます。

ここで、公式 a m: a n = a m - n は、n より大きい m だけでなく、n より小さい m にも使用できます。

例 a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3。

式 a m: a n = a m - n を m = n に対して有効にしたい場合は、次数 0 の定義が必要です。

インデックスがゼロの学位。指数がゼロのゼロ以外の数値のべき乗は 1 です。

例。 2 0 = 1、(-5) 0 = 1、(-3 / 5) 0 = 1。

小数部の指数を伴う次数。実数 a を m / n 乗するには、この数値 a の m 乗の n 乗根を抽出する必要があります。

意味のない表現について。このような表現はいくつかあります。

ケース1。

a ≠ 0 は存在しません。

実際、x が特定の数であると仮定すると、除算演算の定義に従って、次のようになります: a = 0 x、つまり a = 0、これは条件 a ≠ 0 に矛盾します。

ケース2。

いずれかの番号。

実際、この式が特定の数値 x に等しいと仮定すると、除算演算の定義によれば、0 = 0 · x となります。しかし、この等価性は任意の数値 x に対して成り立ち、それは証明される必要があるものです。

本当に、

解決策: 3 つの主なケースを考えてみましょう。

1) x = 0 – この値はこの式を満たしていません

2) x > 0 の場合、x / x = 1、つまり次のようになります。 1 = 1、つまり x は任意の数値です。しかし、この場合 x > 0 であることを考慮すると、答えは x > 0 になります。

3) x で< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

この場合、解決策はありません。したがって、x > 0 となります。

自然次数の根とその性質。 平方根。 総合ガイド (2019)