分数有理方程式を解くための一般的なスキーム。 有理方程式 – ナレッジハイパーマーケット

スミルノワ アナスタシア ユリエヴナ

レッスンタイプ:新しい教材を学ぶレッスン。

組織形態 教育活動 ：正面、個別。

レッスンの目的: 新しいタイプの方程式である分数有理方程式を紹介し、分数有理方程式を解くためのアルゴリズムのアイデアを与えること。

レッスンの目標。

教育:

• 分数有理方程式の概念の形成。
• 分数がゼロに等しいという条件を含む分数有理方程式を解くアルゴリズムを検討します。
• アルゴリズムを使用して分数有理方程式を解くことを教えます。

発達:

• 獲得した知識を応用するスキルを開発するための条件を作り出す。
• 開発を促進する 認知的関心主題に対する学生。
• 分析し、比較し、結論を導く生徒の能力を開発します。
• 相互制御と自制心、注意力、記憶力、口頭および書面によるスピーチ、独立性のスキルの発達。

教育:

• 主題に対する認知的関心を促進する。
• 教育問題の解決における自主性を促進する。
• 最終的な結果を達成するための意志と忍耐力を養います。

装置：教科書、黒板、クレヨン。

教科書は「代数８」。 Yu.N. Makarychev、N.G. Mindyuk、K.I. Neshkov、S.B. Suvorova、S.A. Telyakovsky 編集。 モスクワの「啓蒙」。 2010年

の上 このトピック 5時間が割り当てられています。 これが最初のレッスンです。 主なことは、分数有理方程式を解くアルゴリズムを学習し、演習でこのアルゴリズムを実践することです。

授業中

1. 組織的な瞬間。

こんにちは皆さん！ 今日は四行詩からレッスンを始めたいと思います。
あらゆる人の生活を楽にするために、
何が決まるのか、何が可能になるのか、
笑って、みんな頑張ってね、
トラブルが起きないように、
僕らは笑い合って創り上げた 良い雰囲気そして仕事を始めました。

黒板に方程式が書いてあるので、よく見てください。 これらの方程式をすべて解くことができますか? どれがそうではないのか、またその理由は何ですか?

左辺と右辺が分数有理式である方程式を分数有理方程式といいます。 今日の授業では何を学ぶと思いますか? レッスンのトピックを作成します。 そこで、ノートを開いて、「分数有理方程式を解く」という授業のテーマを書き留めます。

2. 知識を更新する。 正面調査、クラスでの口頭調査。

そして今、私たちが勉強する必要がある主な理論的資料を繰り返します 新しい話題。 次の質問に答えてください。

1. 方程式とは何ですか? ( 変数との等価性.)
2. 方程式番号 1 の名前は何ですか? ( 線形。） 解決 一次方程式. (未知数を含むすべてのものを方程式の左側に移動し、すべての数値を右側に移動します。 似たような用語をあげてください。 未知の要因を見つける).
3. 方程式番号 3 の名前は何ですか? ( 四角。) ソリューション 二次方程式。 (P 数式について)
4. 比例とは何ですか？ ( 2 つの比率が等しい.) 比例の主な性質。 ( 比率が正しい場合、その極項の積は中間項の積と等しくなります。.)
5. 方程式を解くときにどのような特性が使用されますか? ( 1. 方程式内の項を符号を変えてある部分から別の部分に移動すると、指定された方程式と等価な方程式が得られます。 2. 方程式の両辺をゼロ以外の同じ数値で乗算または除算すると、指定された方程式と等価な方程式が得られます。.)
6. 分数がゼロになるのはいつですか? ( 分子がゼロで分母がゼロでない場合、分数はゼロに等しくなります。.)

3. 新素材の説明。

方程式 2 をノートとボード上で解きます。

答え: 10.

どれの 分数有理方程式比例という基本的な性質を使って解決してみませんか? (その5)。

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

方程式 4 をノートとボード上で解きます。

答え: 1,5.

方程式の両辺に分母を掛けることで解ける分数有理方程式は何ですか? (その6)。

× 2 -7x+12 = 0

D=1›0、x 1 =3、x 2 =4。

答え: 3;4.

次のレッスンでは、方程式 No. 7 のような方程式を解く方法を見ていきます。

なぜこれが起こったのか説明してください。 ある場合にはルートが 3 つあり、別の場合には 2 つあるのはなぜですか? この分数有理方程式の根は何ですか?

これまで生徒たちは無関係なルートという概念に遭遇したことがありませんでしたが、なぜこれが起こったのかを理解するのは確かに非常に困難です。 クラスの誰もこの状況を明確に説明できない場合、教師は誘導的な質問をします。

• 式 2 および 4 は式 5 および 6 とどのように異なりますか? ( 方程式 No. 2 と 4 では、分母に数字が入っています。No. 5 ～ 6 - 変数を含む式です。.)
• 方程式の根は何ですか? ( 方程式が真となる変数の値.)
• 数値が方程式の根であるかどうかを確認するにはどうすればよいですか? ( チェックを入れる.)

テスト中に、ゼロで除算しなければならないことに気づく生徒もいます。 彼らは、数字 0 と 5 はこの方程式の根ではないと結論付けています。 この誤差をなくすことができる分数有理方程式を解く方法はあるのでしょうか?という疑問が生じます。 はい、この方法は、分数がゼロに等しいという条件に基づいています。

このように分数有理方程式を解くアルゴリズムを定式化してみましょう。 子どもたちは自分たちでアルゴリズムを組み立てます。

分数有理方程式を解くアルゴリズム:

1. すべてを左側に移動します。
2. 分数を共通の分母に分解します。
3. システムを作成します。分子が 0 に等しく、分母が 0 に等しくない場合、分数は 0 に等しくなります。
4. 方程式を解きます。
5. 不等式をチェックして無関係な根を除外します。
6. 答えを書き留めてください。

4. 新しい内容の最初の理解。

ペアで作業します。 方程式の種類に応じて、生徒自身が方程式の解き方を選択します。 教科書「代数 8」からの課題、Yu.N. マカリチェフ、2007: No. 600(b,c); No.601(a,e)。 教師は課題の完了を監視し、生じた質問に答え、成績の悪い生徒を支援します。 セルフテスト: 答えはボードに書かれます。

b) 2 - 無関係なルート。 答え: 3.

c) 2 - 無関係なルート。 答え: 1.5。

a) 答え: -12.5。

5. 宿題を設定する。

1. 教科書の段落 25 を読み、例 1 ～ 3 を分析します。
2. 分数有理方程式を解くアルゴリズムを学びます。
3. ノート No.600 (d, d) で解きます。 No.601(g,h)。

6. レッスンをまとめます。

それで、今日のレッスンでは、分数有理方程式について学び、これらの方程式を解く方法を学びました 違う方法。 分数有理方程式を解く方法に関係なく、どのようなことに留意する必要がありますか? 分数有理方程式の「ずるさ」とは何でしょうか?

皆さんありがとう、レッスンは終わりました。

私たちは二次方程式を解く方法をすでに学びました。 ここで、研究した方法を有理方程式に拡張してみましょう。

有理式とは何ですか? 私たちはすでにこの概念に遭遇しています。 有理式は、数値、変数、それらの累乗、および数学演算の記号で構成される式です。

したがって、有理方程式は次の形式の方程式になります。 - 合理的な表現。

以前は、線形方程式に帰着できる有理方程式のみを検討しました。 ここで、二次方程式に還元できる有理方程式を見てみましょう。

例1

方程式を解きます。

解決：

分数は、分子が 0 に等しく、分母が 0 に等しくない場合に限り、0 に等しくなります。

次のシステムが得られます。

システムの最初の方程式は 2 次方程式です。 これを解く前に、すべての係数を 3 で割ってみましょう。次のようになります。

2 つのルートが得られます。 。

2 が 0 に等しくなることはないため、次の 2 つの条件を満たす必要があります。 。 上記で得られた方程式の根は、2 番目の不等式を解くときに得られた変数の無効な値と一致しないため、両方ともこの方程式の解になります。

答え：.

それでは、有理方程式を解くアルゴリズムを定式化しましょう。

1. すべての項を左側に移動し、右側が 0 になるようにします。

2. 左辺を変形して単純化し、すべての分数を共通の分母にします。

3. 次のアルゴリズムを使用して、結果の分数を 0 に等しくします。 .

4. 最初の式で得られ、答えの 2 番目の不等式を満たす根を書き留めます。

別の例を見てみましょう。

例 2

方程式を解きます。 .

解決

最初に、すべての項を左側に移動して、右側に 0 が残るようにします。

ここで、方程式の左辺を共通の分母にしてみましょう。

この方程式は次のシステムと等価です。

システムの最初の方程式は 2 次方程式です。

この方程式の係数: 。 判別式を計算します。

2 つのルートが得られます。 。

次に、2 番目の不等式を解いてみましょう。どの因子も 0 に等しくない場合に限り、因子の積は 0 に等しくありません。

次の 2 つの条件を満たす必要があります。 。 最初の方程式の 2 つの根のうち、1 つだけが適切であることがわかります - 3。

答え：.

この授業では、有理式とは何かを思い出し、二次方程式に帰着する有理方程式の解き方も学びました。

次のレッスンでは、実際の状況のモデルとして有理方程式を見て、運動の問題も見ていきます。

参考文献

1. バシュマコフ M.I. 代数、8年生。 - M.: 教育、2004 年。
2. ドロフェエフ G.V.、スヴォロワ S.B.、ブニモビッチ E.A. 他。代数、8、第 5 版。 - M.: 教育、2010 年。
3. ニコルスキー S.M.、ポタポフ M.A.、レシェトニコフ N.N.、シェフキン A.V. 代数、8年生。 一般向けの教科書 教育機関。 - M.: 教育、2006 年。

1. 祭り 教育的なアイデア "公開レッスン" ().
2. School.xvatit.com ()。
3. Rudocs.exdat.com ()。

宿題

有理方程式と分数有理方程式について理解し、その定義と例を示し、最も一般的なタイプの問題も分析してみましょう。

Yandex.RTB R-A-339285-1

有理方程式: 定義と例

合理的な表現への慣れは学校 8 年生から始まります。 この時期、代数学の授業では、ノートに有理式を含む方程式を含む課題に遭遇する生徒が増えています。 それが何であるかを思い出してみましょう。

定義 1

有理方程式は両辺に有理式を含む方程式です。

さまざまなマニュアルで、別の公式を見つけることができます。

定義 2

有理方程式- これは方程式で、左側に有理式が含まれ、右側にゼロが含まれます。

有理方程式に対して与えた定義は、同じことについて話しているため、同等です。 私たちの言葉の正しさは、あらゆる合理的な表現について次のような事実によって確認されます。 Pそして Q方程式 P = Qそして P − Q = 0等価な表現になります。

それでは例を見てみましょう。

例1

有理方程式:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 。

有理方程式には、他のタイプの方程式と同様に、1 から数個までの任意の数の変数を含めることができます。 まず見てみましょう 簡単な例、方程式には変数が 1 つだけ含まれます。 そして、徐々にタスクを複雑にしていきます。

有理方程式は、整数と分数の 2 つの大きなグループに分類されます。 各グループにどのような方程式が適用されるかを見てみましょう。

定義 3

有理方程式の左側と右側に有理式全体が含まれている場合、その有理方程式は整数になります。

定義 4

有理方程式の一方または両方の部分に分数が含まれる場合、有理方程式は分数になります。

分数有理方程式には必ず変数による除算が含まれるか、分母に変数が存在します。 方程式全体を記述する際にそのような分割はありません。

例 2

3 × + 2 = 0そして (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– 有理方程式全体。 ここで、方程式の両辺は整数式で表されます。

1 x - 1 = x 3 および x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5は分数有理方程式です。

全体の有理方程式には、一次方程式と二次方程式が含まれます。

方程式全体を解く

このような方程式を解くには、通常、それらを等価な代数方程式に変換する必要があります。 これは、次のアルゴリズムに従って方程式の等価変換を実行することで実現できます。

• まず、方程式の右側でゼロを取得します。これを行うには、方程式の右側にある式を左側に移動し、符号を変更する必要があります。
• 次に、方程式の左側の式を多項式に変換します。 標準ビュー.

代数方程式を取得する必要があります。 この式は元の式と等価になります。 簡単なケースでは、方程式全体を線形または二次方程式に還元して問題を解決できます。 一般に、次数の代数方程式を解きます。 n.

例 3

方程式全体の根を見つける必要があります 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

解決

等価な代数方程式を取得するために、元の式を変換してみましょう。 これを行うには、方程式の右側に含まれる式を左側に移し、符号を反対の符号に置き換えます。 結果として、次のことが得られます。 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

次に、左辺の式を標準形式の多項式に変換して、次のようにします。 必要なアクションこの多項式を使用すると、次のようになります。

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

元の方程式の解を次の形式の二次方程式の解に還元することに成功しました。 × 2 − 5 × − 6 = 0。 この方程式の判別式は正です。 D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 。これは、実際のルートが 2 つあることを意味します。 二次方程式の根の公式を使用してそれらを見つけてみましょう。

x = - - 5 ± 49 2 1、

x 1 = 5 + 7 2 または x 2 = 5 - 7 2、

x 1 = 6 または x 2 = - 1

解決中に見つけた方程式の根が正しいかどうかを確認してみましょう。 このために、受け取った数値を元の方程式に代入します。 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3そして 3・(−1+1)・(−1−3)＝(−1)・(2・(−1)−1)−3。 最初のケースでは 63 = 63 、2番目に 0 = 0 。 ルーツ x=6そして x = − 1実際、条件例で与えられた方程式の根です。

答え： 6 , − 1 .

「方程式全体の次数」が何を意味するかを見てみましょう。 方程式全体を代数形式で表す必要がある場合に、この用語によく遭遇します。 概念を定義しましょう。

定義5

方程式全体の次数- これが程度です 代数方程式、元の整数方程式と等価です。

上の例の方程式を見ると、この方程式全体の次数が 2 番目であることがわかります。

私たちのコースが 2 次方程式を解くことに限定されている場合、このトピックの議論はそこで終わる可能性があります。 しかし、それはそれほど単純ではありません。 3次方程式を解くことは困難を伴います。 そして、4次以上の方程式には、 一般式ルーツ。 この点に関して、3次、4次、その他の次数の方程式全体を解くには、他の多くの技術や方法を使用する必要があります。

有理方程式全体を解くために最も一般的に使用されるアプローチは、因数分解法に基づいています。 この場合のアクションのアルゴリズムは次のとおりです。

• レコードの右側にゼロが残るように、式を右側から左側に移動します。
• 左側の式を因子の積として表し、次にいくつかの単純な方程式のセットに進みます。

例 4

方程式 (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) の解を求めます。

解決

反対の符号を使用して、式をレコードの右側から左側に移動します。 (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0。 左辺を標準形式の多項式に変換すると、次の 4 次の代数方程式が得られるため、不適切です。 × 4 − 12 × 3 + 32 × 2 − 16 × − 13 = 0。 変換が簡単だからといって、そのような方程式を解く際のすべての困難が正当化されるわけではありません。

逆の方がずっと簡単です。括弧内の共通因数を取り除きましょう x 2 − 10 x + 13 。したがって、次の形式の方程式に到達します。 (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0。 次に、結果の方程式を 2 つの二次方程式のセットに置き換えます。 × 2 − 10 × + 13 = 0そして x 2 − 2 x − 1 = 0そして判別式を通じてそれらの根を見つけます: 5 + 2 3、5 - 2 3、1 + 2、1 - 2。

答え： 5 + 2 3、5 - 2 3、1 + 2、1 - 2。

同様に、新しい変数を導入する方法も使用できます。 この方法を使用すると、元の整数方程式の次数よりも低い次数をもつ等価な方程式に移行できます。

例5

方程式には根がありますか? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

解決

ここで、有理方程式全体を代数方程式に還元しようとすると、次数 4 の方程式が得られます。 合理的な根。 したがって、別の方法、つまり方程式内の式を置き換える新しい変数 y を導入する方が簡単です。 × 2 + 3 ×.

次に、方程式全体を扱います (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4)。 方程式の右側を反対の符号で左側に移動し、必要な変換を実行してみましょう。 我々が得る： y 2 + 4 y + 3 = 0。 二次方程式の根を求めてみましょう。 y = − 1そして y = − 3.

では、逆の置換を行ってみましょう。 2つの方程式が得られます x 2 + 3 x = − 1そして x 2 + 3 · x = − 3 。それらを x 2 + 3 x + 1 = 0 として書き換えてみましょう。 × 2 + 3 × + 3 = 0。 得られた方程式から最初の方程式の根を求めるために、二次方程式の根の公式を使用します: - 3 ± 5 2。 2 番目の式の判別式は負です。 これは、2 番目の方程式には実根がないことを意味します。

答え：- 3 ± 5 2

方程式全体 高い学位タスクで頻繁に遭遇します。 彼らを恐れる必要はありません。 多くの人為的な変換を含む、非標準的な方法を使用して問題を解決する準備ができている必要があります。

分数有理方程式を解く

このサブトピックの考察は、p (x) q (x) = 0 の形式の分数有理方程式を解くアルゴリズムから始めます。 p(x)そして q(x)– 合理的な表現全体。 他の分数有理方程式の解は、常に指定されたタイプの方程式の解に帰着できます。

方程式 p (x) q (x) = 0 を解くために最も一般的に使用される方法は、次のステートメントに基づいています。 うーん、 どこ v- これはゼロとは異なる数値であり、分数の分子がゼロに等しい場合にのみゼロに等しくなります。 上記の論理に従うと、方程式 p (x) q (x) = 0 の解は 2 つの条件を満たすことに帰着できると主張できます。 p(x)=0そして q(x) ≠ 0。 これは、p (x) q (x) = 0 の形式の分数有理方程式を解くアルゴリズムを構築するための基礎です。

• 有理方程式全体の解を見つける p(x)=0;
• 解法中に見つかった根について条件が満たされているかどうかを確認します q(x) ≠ 0.

この条件が満たされていればルートが見つかりますが、そうでない場合はルートは問題の解決策ではありません。

例6

方程式 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 の根を求めてみましょう。

解決

ここでは、p (x) q (x) = 0 という形式の分数有理方程式を扱っています。ここで、p (x) = 3 x − 2、q (x) = 5 x 2 − 2 = 0 です。 一次方程式を解き始めましょう 3×−2＝0。 この方程式の根は次のようになります。 x = 2 3.

見つかったルートが条件を満たしているかどうかを確認してみましょう 5×2−2≠0。 これを行うには、式に数値を代入します。 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0 が得られます。

条件は満たされています。 だということだ x = 2 3元の方程式の根です。

答え： 2 3 .

分数有理方程式 p (x) q (x) = 0 を解く別のオプションもあります。 この方程式は方程式全体と等価であることを思い出してください。 p(x)=0地域の 許容可能な値元の方程式の変数 x。 これにより、方程式 p (x) q (x) = 0 を解く際に次のアルゴリズムを使用できるようになります。

• 方程式を解く p(x)=0;
• 変数 x の許容値の範囲を見つけます。
• 変数 x の許容値の範囲内にある根を、元の分数有理方程式の目的の根として取得します。

例 7

方程式 x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 を解きます。

解決

まずは二次方程式を解いてみましょう x 2 − 2 x − 11 = 0。 その根を計算するには、偶数 2 番目の係数の根の公式を使用します。 我々が得る D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12、x = 1 ± 2 3 です。

これで、元の方程式の変数 x の ODZ を見つけることができます。 これらはすべて、 × 2 + 3 × ≠ 0。 それと同じです x (x + 3) ≠ 0, ここで、x ≠ 0、x ≠ − 3 となります。

ここで、解の最初の段階で得られた根 x = 1 ± 2 3 が変数 x の許容値の範囲内にあるかどうかを確認してみましょう。 彼らが入ってくるのが見えます。 これは、元の分数有理方程式には 2 つの根 x = 1 ± 2 3 があることを意味します。

答え： x = 1 ± 2 3

説明されている 2 番目の解決方法は、変数 x の許容値の範囲が簡単に見つかり、方程式の根が見つかる場合には、最初の解決方法よりも簡単です。 p(x)=0不合理な。 たとえば、7 ± 4 · 26 9 です。 根は有理数になることがありますが、分子または分母が大きくなります。 例えば、 127 1101 そして − 31 59 。 状態確認の手間が省けます q(x) ≠ 0: ODZ に従って適切ではないルートを除外する方がはるかに簡単です。

方程式の根が p(x)=0が整数である場合、p (x) q (x) = 0 の形式の方程式を解くために、説明されている最初のアルゴリズムを使用する方が適切です。 方程式全体の根をより速く見つける p(x)=0、条件が満たされているかどうかを確認します。 q(x) ≠ 0 ODZ を見つけてから方程式を解くのではなく、 p(x)=0このODZで。 これは、そのような場合、DZ を見つけるよりも確認する方が通常は簡単であるという事実によるものです。

例8

方程式の根を求めます (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0。

解決

方程式全体を見てみましょう (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0そしてそのルーツを見つけること。 これを行うには、因数分解を通じて方程式を解く方法を適用します。 元の方程式は、4 つの方程式 2 x − 1 = 0、x − 6 = 0、x 2 − 5 x + 14 = 0、x + 1 = 0 のセットと等価であることがわかります。そのうち 3 つは線形であり、 1つは二次関数です。 根を求める: 最初の方程式から x = 1 2、2番目から – x=6、3 番目から – x = 7 、x = − 2、4 番目から – x = − 1.

取得したルートを確認してみましょう。 この場合、5 次の代数方程式を解く必要があるため、ODZ を決定することは困難です。 方程式の左側にある分数の分母がゼロにならない条件を確認するのが簡単になります。

式内の変数 x の根を順番に置き換えてみましょう ×5−15×4＋57×3−13×2＋26×＋112そしてその値を計算します。

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 。

実行された検証により、元の分数有理方程式の根が 1、2、6、および − 2 .

答え： 1 2 , 6 , - 2

例9

分数有理方程式 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 の根を求めます。

解決

方程式を使ってみましょう (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0。 そのルーツを探ってみましょう。 この方程式は二次方程式と一次方程式のセットとして想像する方が簡単です。 5×2−7×−1＝0そして x − 2 = 0.

根を求めるには、二次方程式の根の公式を使用します。 最初の方程式から 2 つの根 x = 7 ± 69 10 が得られ、2 番目の方程式から 2 つの根が得られます。 x = 2.

根の値を元の式に代入して条件を確認するのは非常に困難です。 変数 x の ODZ を決定するのが簡単になります。 この場合、変数 x の ODZ は、条件を満たすものを除くすべての数値になります。 × 2 + 5 × − 14 = 0。 x ∈ - ∞、- 7 ∪ - 7、2 ∪ 2、+ ∞ が得られます。

次に、見つかった根が変数 x の許容値の範囲に属しているかどうかを確認してみましょう。

根 x = 7 ± 69 10 - が属しているため、これらは元の方程式の根であり、 x = 2- には属していないため、無関係なルートです。

答え： x = 7 ± 69 10 。

p (x) q (x) = 0 の形式の分数有理方程式の分子に数値が含まれる場合を個別に調べてみましょう。 このような場合、分子にゼロ以外の数値が含まれていると、方程式には根がありません。 この数値がゼロに等しい場合、方程式の根は ODZ からの任意の数値になります。

例 10

分数有理方程式 - 3、2 x 3 + 27 = 0 を解きます。

解決

方程式の左側の分数の分子にゼロ以外の数値が含まれるため、この方程式には根がありません。 これは、x のどの値でも、問題ステートメントで指定された分数の値がゼロに等しくなることを意味します。

答え：根がない。

例 11

方程式 0 x 4 + 5 x 3 = 0 を解きます。

解決

分数の分子にはゼロが含まれるため、方程式の解は変数 x の ODZ からの任意の値 x になります。

次に、ODZ を定義しましょう。 これには、x のすべての値が含まれます。 × 4 + 5 × 3 ≠ 0。 方程式の解 × 4 + 5 × 3 = 0は 0 そして − 5 、この方程式は次の方程式と同等であるため、 × 3 (x + 5) = 0、そしてこれは、2 つの方程式 x 3 = 0 と を組み合わせたものと等価です。 x + 5 = 0、これらの根が見える場所。 許容可能な値の望ましい範囲は、x を除く任意の x であるという結論に達します。 x = 0そして x = − 5.

分数有理方程式 0 x 4 + 5 x 3 = 0 には、ゼロと - 5 以外の任意の数である解が無限に存在することがわかります。

答え： - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

ここで、任意形式の分数有理方程式とその解法について話しましょう。 それらは次のように書くことができます r(x) = s(x)、 どこ 処方箋）そして s(x)– 有理式。そのうちの少なくとも 1 つは分数です。 このような方程式を解くことは、p (x) q (x) = 0 の形式の方程式を解くことになります。

方程式の右側の式を反対の符号を付けて左側に移すことで等価な方程式が得られることはすでにわかっています。 これは、方程式が r(x) = s(x)は次の方程式と等価です r (x) − s (x) = 0。 有理式を有理分数に変換する方法についてもすでに説明しました。 このおかげで、方程式を簡単に変形できます r (x) − s (x) = 0 p (x) q (x) という形式の同一の有理分数に変換します。

したがって、元の分数有理方程式から移動します。 r(x) = s(x) p (x) q (x) = 0 という形式の方程式に変換します。これはすでに解き方を学習しています。

から移行する場合は、次のことを考慮する必要があります。 r (x) − s (x) = 0 p(x)q(x) = 0 になり、その後、 p(x)=0変数 x の許容値の範囲の拡大は考慮に入れていない可能性があります。

元の式が r(x) = s(x)と方程式 p(x)=0変換の結果、それらは同等ではなくなります。 次に、方程式の解 p(x)=0私たちにとって異質な根を与える可能性があります r(x) = s(x)。 この点に関して、それぞれの場合において、上記のいずれかの方法を使用して検証を実行する必要があります。

このトピックを学びやすくするために、次の形式の分数有理方程式を解くためのアルゴリズムにすべての情報をまとめました。 r(x) = s(x):

• 右側から反対の符号を付けて式を転送すると、右側にゼロが得られます。
• 元の式を有理分数 p (x) q (x) に変換し、分数と多項式の演算を順次実行します。
• 方程式を解く p(x)=0;
• 無関係な根が ODZ に属していることを確認するか、元の式に代入することによって、無関係な根を特定します。

視覚的には、一連のアクションは次のようになります。

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → 消去 外部ルート

例 12

分数有理方程式 x x + 1 = 1 x + 1 を解きます。

解決

方程式 x x + 1 - 1 x + 1 = 0 に移りましょう。 方程式の左側にある分数有理式を p (x) q (x) の形式に変換しましょう。

これを行うには、有理分数を公分母に減らし、式を単純化する必要があります。

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

方程式 - 2 x - 1 x (x + 1) = 0 の根を見つけるには、方程式を解く必要があります。 − 2 × − 1 = 0。 ルートを 1 つ取得します x = - 1 2.

いずれかの方法を使用して確認するだけです。 両方を見てみましょう。

結果の値を元の式に代入してみましょう。 - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 となります。 正しい数値的等価性が得られました − 1 = − 1 。 だということだ x = − 1 2元の方程式の根です。

次に、ODZ を確認してみましょう。 変数 x の許容値の範囲を決定してみましょう。 これは、− 1 と 0 を除く数値のセット全体になります (x = − 1 と x = 0 では、分数の分母は消えます)。 入手した根 x = − 1 2 ODZ所属。 これは、元の方程式の根であることを意味します。

答え： − 1 2 .

例 13

方程式 x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x の根を求めます。

解決

私たちは分数有理方程式を扱っています。 したがって、アルゴリズムに従って行動します。

逆の符号を使用して式を右側から左側に移動しましょう: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

必要な変換を実行してみましょう: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x。

という方程式にたどり着きます x = 0。 この方程式の根はゼロです。

この根が元の方程式に無関係であるかどうかを確認してみましょう。 この値を元の方程式に代入してみましょう: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0。 ご覧のとおり、結果として得られる方程式は意味がありません。 これは、0 が無関係な根であり、元の分数有理方程式には根がないことを意味します。

答え：根がない。

アルゴリズムに他の同等の変換が含まれていない場合でも、それが使用できないという意味ではありません。 このアルゴリズムは普遍的ですが、制限するものではなく、支援するように設計されています。

例 14

方程式 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24 を解きます。

解決

最も簡単な方法は、アルゴリズムに従って指定された分数有理方程式を解くことです。 しかし、別の方法もあります。 考えてみましょう。

右辺と左辺から 7 を引くと、1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24 が得られます。

このことから、左側の分母の式は右側の数値の逆数、つまり 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 に等しくなければならないと結論付けることができます。

両辺から 3 を引きます: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7。 類推により、2 + 1 5 - x 2 = 7 3、ここから 1 5 - x 2 = 1 3、そして 5 - x 2 = 3、x 2 = 2、x = ± 2

見つかった根が元の方程式の根であるかどうかを判断するチェックを実行してみましょう。

答え： x = ± 2

テキスト内のエラーに気付いた場合は、それを強調表示して Ctrl+Enter を押してください。

整数式は、加算、減算、乗算の演算を使用して数値とリテラル変数で構成される数式です。 整数には、ゼロ以外の数値による除算を含む式も含まれます。

分数有理式の概念

分数式は、数値と文字変数を使用して実行される加算、減算、乗算の演算、およびゼロ以外の数値による除算に加えて、文字変数を使用した式への除算も含む数式です。

有理式はすべて整数式と分数式です。 有理方程式とは、左辺と右辺が有理式である方程式です。 有理方程式の左辺と右辺が整数式である場合、そのような有理方程式は整数と呼ばれます。

有理方程式の左辺または右辺が分数式である場合、そのような有理方程式は分数と呼ばれます。

分数有理式の例

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

分数有理方程式を解くスキーム

1. 方程式に含まれるすべての分数の共通分母を見つけます。

2. 方程式の両辺に共通の分母を掛けます。

3. 結果として得られる方程式全体を解きます。

4. 根を確認し、共通分母を消滅させる根を除外します。

分数の有理方程式を解いているので、分数の分母には変数が含まれます。 つまり、それらは共通項となるということです。 そして、アルゴリズムの 2 番目のポイントでは、共通の分母を乗算します。そうすると、無関係な根が現れる可能性があります。 この場合、共通分母はゼロになります。つまり、共通分母を掛けても意味がありません。 したがって、最後に取得したルートを確認する必要があります。

例を見てみましょう:

分数有理方程式を解きます: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))。

こだわります 一般的なスキーム: まず、すべての分数の共通分母を見つけてみましょう。 x*(x-5) が得られます。

各分数に共通の分母を掛けて、結果として得られる式全体を書きます。

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

結果として得られる方程式を単純化してみましょう。 我々が得る：

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

単純な縮小二次方程式が得られます。 既知の方法のいずれかでこれを解くと、根 x=-2 と x=5 が得られます。

次に、取得した解を確認します。

数値 -2 と 5 を共通の分母に代入します。 x=-2 では、共通分母 x*(x-5) は消えず、-2*(-2-5)=14 となります。 これは、数値 -2 が元の分数有理方程式の根になることを意味します。

x=5 のとき、公分母 x*(x-5) は次のようになります。 ゼロに等しい。 したがって、ゼロによる除算が行われるため、この数値は元の分数有理方程式の根ではありません。

レッスンの目標:

教育:

• 分数有理方程式の概念の形成。
• 分数有理方程式を解くさまざまな方法を検討します。
• 分数がゼロに等しいという条件を含む分数有理方程式を解くアルゴリズムを検討します。
• アルゴリズムを使用して分数有理方程式を解くことを教えます。
• テストを実施してトピックの習熟度を確認します。

発達:

• 獲得した知識を正しく操作し、論理的に考える能力を開発します。
• 知的スキルの発達と 精神的な操作- 分析、合成、比較および合成;
• 自発性の開発、決定を下す能力、そしてそこで止まらないこと。
• 批判的思考の発達。
• 研究スキルの開発。

教育:

• 主題に対する認知的関心を促進する。
• 教育問題の解決における自主性を促進する。
• 最終的な結果を達成するための意志と忍耐力を養います。

レッスンタイプ: レッスン - 新しい教材の説明。

授業中

1. 組織的な瞬間。

こんにちは皆さん！ 黒板に方程式が書いてあるので、よく見てください。 これらの方程式をすべて解くことができますか? どれがそうではないのか、またその理由は何ですか?

左辺と右辺が分数有理式である方程式を分数有理方程式といいます。 今日の授業では何を学ぶと思いますか? レッスンのトピックを作成します。 そこで、ノートを開いて、「分数有理方程式を解く」という授業のテーマを書き留めます。

2. 知識を更新する。 正面調査、クラスでの口頭調査。

そして今、新しいトピックを研究するために必要な主要な理論的資料を繰り返します。 次の質問に答えてください。

1. 方程式とは何ですか? ( 変数との等価性.)
2. 方程式番号 1 の名前は何ですか? ( 線形.) 線形方程式を解く方法。 ( 未知数を含むすべてのものを方程式の左側に移動し、すべての数値を右側に移動します。 似たような用語をあげてください。 未知の要因を見つける).
3. 方程式番号 3 の名前は何ですか? ( 四角。) 二次方程式を解く方法。 ( 選択 フルスクエア、ビエタの定理とその結果を使用した公式による.)
4. 比例とは何ですか？ ( 2 つの比率が等しい.) 比例の主な性質。 ( 比率が正しい場合、その極項の積は中間項の積と等しくなります。.)
5. 方程式を解くときにどのような特性が使用されますか? ( 1. 方程式内の項を符号を変えてある部分から別の部分に移動すると、指定された方程式と等価な方程式が得られます。 2. 方程式の両辺をゼロ以外の同じ数値で乗算または除算すると、指定された方程式と等価な方程式が得られます。.)
6. 分数がゼロになるのはいつですか? ( 分子がゼロで分母がゼロでない場合、分数はゼロに等しくなります。.)

3. 新素材の説明。

方程式 2 をノートとボード上で解きます。

答え: 10.

比例の基本的な性質を使用して、どのような分数有理方程式を解くことができますか? (その5)。

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

方程式 4 をノートとボード上で解きます。

答え: 1,5.

方程式の両辺に分母を掛けることで解ける分数有理方程式は何ですか? (その6)。

× 2 -7x+12 = 0

D=1›0、x 1 =3、x 2 =4。

答え: 3;4.

ここで、次のいずれかの方法を使用して方程式 7 を解いてみます。

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			× 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			× 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
× 3 =5 × 4 =-2			× 3 =5 × 4 =-2
答え: 0;5;-2.			答え: 5;-2.

なぜこれが起こったのか説明してください。 ある場合にはルートが 3 つあり、別の場合には 2 つあるのはなぜですか? この分数有理方程式の根は何ですか?

これまで生徒たちは無関係なルートという概念に遭遇したことがありませんでしたが、なぜこれが起こったのかを理解するのは確かに非常に困難です。 クラスの誰もこの状況を明確に説明できない場合、教師は誘導的な質問をします。

• 方程式 No. 2 および 4 は方程式 No. 5、6、7 とどのように異なりますか? ( 式No.2と式4は分母に数字があり、式No.5～7は変数を使った式です。.)
• 方程式の根は何ですか? ( 方程式が真となる変数の値.)
• 数値が方程式の根であるかどうかを確認するにはどうすればよいですか? ( チェックを入れる.)

テスト中に、ゼロで除算しなければならないことに気づく生徒もいます。 彼らは、数字 0 と 5 はこの方程式の根ではないと結論付けています。 この誤差をなくすことができる分数有理方程式を解く方法はあるのでしょうか?という疑問が生じます。 はい、この方法は、分数がゼロに等しいという条件に基づいています。

x 2 -3x-10=0、D=49、x 1 =5、x 2 =-2。

x=5 の場合、x(x-5)=0 になります。これは、5 が無関係なルートであることを意味します。

x=-2 の場合、x(x-5)≠0 になります。

答え: -2.

このように分数有理方程式を解くアルゴリズムを定式化してみましょう。 子どもたちは自分たちでアルゴリズムを組み立てます。

分数有理方程式を解くアルゴリズム:

1. すべてを左側に移動します。
2. 分数を共通の分母に分解します。
3. システムを作成します。分子が 0 に等しく、分母が 0 に等しくない場合、分数は 0 に等しくなります。
4. 方程式を解きます。
5. 不等式をチェックして無関係な根を除外します。
6. 答えを書き留めてください。

ディスカッション: 比例の基本特性を使用し、方程式の両辺に共通の分母を掛ける場合に、解を形式化する方法。 (解決策に追加: 共通の分母を消滅させるものをルートから除外します)。

4. 新しい内容の最初の理解。

ペアで作業します。 方程式の種類に応じて、生徒自身が方程式の解き方を選択します。 教科書「代数 8」からの課題、Yu.N. マカリチェフ、2007: No. 600(b,c,i); No.601(a、e、g)。 教師は課題の完了を監視し、生じた質問に答え、成績の悪い生徒を支援します。 セルフテスト: 答えはボードに書かれます。

b) 2 – 無関係なルート。 答え: 3.

c) 2 – 無関係なルート。 答え: 1.5。

a) 答え: -12.5。

g) 答え: 1;1.5。

5. 宿題を設定する。

1. 教科書の段落 25 を読み、例 1 ～ 3 を分析します。
2. 分数有理方程式を解くアルゴリズムを学びます。
3. ノート No.600 (a、d、e) で解きます。 No.601(g,h)。
4. No.696(a) を解いてみてください (オプション)。

6. 研究テーマに関する制御タスクを完了する。

作業は紙の上で行われます。

タスクの例:

A) 分数有理式の方程式はどれですか?

B) 分子が____________、分母が_____________の場合、分数はゼロに等しくなります。

Q) 数値 -3 は方程式 6 の根ですか?

D) 方程式 No. 7 を解きます。

課題の評価基準:

• 学生がタスクの 90% 以上を正しく完了した場合は、「5」が与えられます。
• 「4」 - 75%-89%
• 「3」 - 50%-74%
• 課題の 50% 未満を完了した生徒には「2」が与えられます。
• ジャーナルでは 2 の評価は与えられません。3 はオプションです。

7. 反省。

独立したワークシートに次のように書きます。

• 1 – レッスンが興味深く、理解できたかどうか。
• 2 – 興味深いですが、明確ではありません。
• 3 – 面白くはないが、理解できる。
• 4 – 面白くない、明確ではない。

8. レッスンをまとめます。

そこで、今日のレッスンでは、分数有理方程式について学び、これらの方程式をさまざまな方法で解く方法を学び、トレーニングの助けを借りて知識をテストしました。 独立した仕事。 次のレッスンで自主的な作業の結果を学び、自宅で知識を定着させる機会が得られます。

分数有理方程式を解くためのどの方法が、より簡単で、より親しみやすく、より合理的だと思いますか? 分数有理方程式を解く方法に関係なく、何を覚えておく必要がありますか? 分数有理方程式の「ずるさ」とは何でしょうか?

皆さんありがとう、レッスンは終わりました。