Artan ve azalan fonksiyonun aralıklarını çevrimiçi olarak bulun. Artan ve azalan fonksiyonun yeterli işaretleri

Bir fonksiyonun doğasını belirlemek ve davranışından bahsetmek için artış ve azalma aralıklarını bulmak gerekir. Bu sürece fonksiyon araştırması ve grafik oluşturma denir. Ekstrem nokta, bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulurken kullanılır, çünkü bunlarda fonksiyon aralıktan artar veya azalır.

Bu makale tanımları ortaya koyuyor, aralıkta yeterli bir artış ve azalma işareti ve bir ekstremun varlığı için bir koşul formüle ediyor. Bu, örneklerin ve problemlerin çözümü için geçerlidir. Türev bulmanın çözümünde türevi bulmayı kullanması gerekeceğinden, fonksiyonların türevlenmesiyle ilgili bölüm tekrarlanmalıdır.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Tanım 1

Herhangi bir x 1 ∈ X ve x 2 ∈ X, x 2 > x 1 için f (x 2) > f (x 1) eşitsizliği karşılandığında, y = f (x) fonksiyonu x aralığında artacaktır. Başka bir deyişle, daha yüksek değer argüman fonksiyonun daha büyük değerine karşılık gelir.

Tanım 2

Herhangi bir x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1 için f (x 2) > f (x 1) eşitliği olduğunda, y = f (x) fonksiyonunun x aralığında azalan olduğu kabul edilir. doğru kabul edilir. Başka bir deyişle, daha büyük bir işlev değeri daha küçük bir bağımsız değişken değerine karşılık gelir. Aşağıdaki şekli düşünün.

Yorum: Fonksiyon artan ve azalan aralığının uçlarında belirli ve sürekli olduğunda yani (a; b), x = a, x = b olmak üzere noktalar artan ve azalan aralığına dahil edilir. Bu tanımla çelişmez; x aralığında gerçekleştiği anlamına gelir.

Y = sin x türündeki temel fonksiyonların temel özellikleri, argümanların gerçek değerleri için kesinlik ve sürekliliktir. Buradan sinüsün - π 2 aralığı boyunca arttığını elde ederiz; π 2, o zaman segmentteki artış şu şekildedir - π 2; π 2.

Tanım 3

x 0 noktasına denir maksimum nokta y = f (x) fonksiyonu için, x'in tüm değerleri için f (x 0) ≥ f (x) eşitsizliği geçerli olduğunda. Maksimum fonksiyon fonksiyonun bir noktadaki değeridir ve ymaks ile gösterilir.

X'in tüm değerleri için f (x 0) ≤ f (x) eşitsizliği geçerli olduğunda, x 0 noktasına y = f (x) fonksiyonu için minimum nokta denir. Asgari işlevler fonksiyonun bir noktadaki değeridir ve y min şeklinde bir atamaya sahiptir.

x 0 noktasının komşuları dikkate alınır ekstrem noktalar, ve fonksiyonun uç noktalara karşılık gelen değeri. Aşağıdaki şekli düşünün.

En büyük ve en büyük fonksiyonun ekstremumları en düşük değer işlevler. Aşağıdaki şekli düşünün.

İlk resim neyi bulmanız gerektiğini gösteriyor en yüksek değer[a; segmentindeki işlevler B ] . Maksimum puan ve eşittir kullanılarak bulunur maksimum değer ikinci şekil daha çok x = b'de maksimum noktayı bulmaya benzer.

Bir fonksiyonun artması ve azalması için yeterli koşullar

Bir fonksiyonun maksimum ve minimumlarını bulmak için, fonksiyonun bu koşulları sağlaması durumunda ekstremum işaretlerini uygulamak gerekir. İlk işaret en sık kullanılan olarak kabul edilir.

Bir ekstremum için ilk yeterli koşul

Tanım 4

x 0 noktasının ε komşuluğunda türevlenebilir olan ve verilen x 0 noktasında sürekliliğe sahip bir y = f(x) fonksiyonu verilsin. Buradan şunu anlıyoruz

• x ∈ (x 0 - ε ; x 0) ve f " (x) ile f " (x) > 0 olduğunda< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• ne zaman f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) için 0 ise, x 0 minimum noktadır.

Başka bir deyişle, işareti koyma koşullarını elde ediyoruz:

• fonksiyon x 0 noktasında sürekli olduğunda, işareti değişen, yani +'dan -'ye kadar bir türevi vardır, bu da noktaya maksimum adı verildiği anlamına gelir;
• Fonksiyon x 0 noktasında sürekli olduğunda, işareti -'den +'ya değişen bir türevi vardır, bu da noktaya minimum adı verildiği anlamına gelir.

Bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarını doğru bir şekilde belirlemek için bunları bulma algoritmasını izlemelisiniz:

• tanım alanını bulun;
• fonksiyonun bu alandaki türevini bulun;
• fonksiyonun mevcut olmadığı sıfırları ve noktaları tanımlayın;
• aralıklarda türevin işaretinin belirlenmesi;
• fonksiyonun işaret değiştirdiği noktaları seçin.

Bir fonksiyonun ekstremumlarını bulmayla ilgili birkaç örneği çözerek algoritmayı ele alalım.

örnek 1

Verilen y = 2 (x + 1) 2 x - 2 fonksiyonunun maksimum ve minimum noktalarını bulun.

Çözüm

Bu fonksiyonun tanım alanı x = 2 dışındaki tüm gerçek sayılardır. İlk önce fonksiyonun türevini bulalım ve şunu elde edelim:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

Buradan fonksiyonun sıfırlarının x = - 1, x = 5, x = 2 olduğunu yani her parantezin sıfıra eşitlenmesi gerektiğini görüyoruz. Bunu sayı ekseninde işaretleyelim ve şunu elde edelim:

Şimdi her aralığın türevinin işaretlerini belirliyoruz. Aralığa dahil olan bir noktayı seçip onu ifadede değiştirmek gerekir. Örneğin x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6 noktaları.

Bunu anlıyoruz

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, bu da - ∞ ; - 1 aralığının pozitif bir türevi olduğu anlamına gelir.Benzer şekilde şunu buluruz:

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

İkinci aralığın sıfırdan küçük çıkması, aralığın türevinin negatif olacağı anlamına gelir. Üçüncüsü eksi, dördüncüsü artı. Sürekliliği belirlemek için türevin işaretine dikkat etmeniz gerekir, eğer değişirse bu bir ekstrem noktadır.

x = - 1 noktasında fonksiyonun sürekli olacağını, yani türevin işaretinin +'dan -'ye değişeceğini buluyoruz. İlk işarete göre, x = - 1 maksimum noktadır, yani şunu elde ederiz:

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

X = 5 noktası fonksiyonun sürekli olduğunu ve türevinin işaretinin -'den +'ya değişeceğini gösterir. Bu, x = -1'in minimum nokta olduğu ve belirlenmesinin şu şekilde olduğu anlamına gelir:

y m ben n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Grafik resmi

Cevap: y m a x = y (- 1) = 0, y m ben n = y (5) = 24.

Bir ekstremum için ilk yeterli kriterin kullanılmasının, fonksiyonun x 0 noktasında türevlenebilirliğini gerektirmediği gerçeğine dikkat etmek önemlidir, bu, hesaplamayı basitleştirir.

Örnek 2

y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 fonksiyonunun maksimum ve minimum noktalarını bulun.

Çözüm.

Bir fonksiyonun tanım kümesinin tamamı gerçek sayılardır. Bu, aşağıdaki formdaki bir denklem sistemi olarak yazılabilir:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8, x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

O zaman türevi bulmanız gerekir:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 ", x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y" = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Tek taraflı limitlerin değerleri farklı olduğundan x = 0 noktasının türevi yoktur. Bunu anlıyoruz:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Fonksiyonun x = 0 noktasında sürekli olduğu sonucu çıkar, sonra hesaplarız

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Türev şu hale geldiğinde argümanın değerini bulmak için hesaplamalar yapmak gerekir: sıfıra eşit:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Her aralığın işaretini belirlemek için elde edilen tüm noktalar düz bir çizgi üzerinde işaretlenmelidir. Bu nedenle her aralık için keyfi noktalardaki türevi hesaplamak gerekir. Örneğin x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6 değerlerine sahip noktaları alabiliriz. Bunu anlıyoruz

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Düz çizgideki görüntü şuna benzer:

Bu, bir ekstremun ilk işaretine başvurmanın gerekli olduğu sonucuna vardığımız anlamına gelir. Bunu hesaplayıp bulalım

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , buradan itibaren maksimum noktalar x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3 değerlerine sahip olur

Minimumları hesaplamaya geçelim:

y m ben n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m ben n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m ben n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Fonksiyonun maksimumunu hesaplayalım. Bunu anlıyoruz

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Grafik resmi

Cevap:

y m ben n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m ben n = y (0) = - 8 y m ben n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Bir f " (x 0) = 0 fonksiyonu verilirse, o zaman f "" (x 0) > 0 ise, f "" (x 0) ise x 0'ın minimum nokta olduğunu elde ederiz.< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Örnek 3

y = 8 x x + 1 fonksiyonunun maksimum ve minimumlarını bulun.

Çözüm

İlk olarak tanım alanını buluyoruz. Bunu anlıyoruz

D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Fonksiyonu farklılaştırmak gerekir, bundan sonra şunu elde ederiz:

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

X = 1'de türev sıfır olur, bu da noktanın olası bir ekstremum olduğu anlamına gelir. Açıklığa kavuşturmak için ikinci türevi bulmak ve x = 1'deki değeri hesaplamak gerekir. Şunu elde ederiz:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

Bu, bir ekstremum için 2 yeterli koşulunu kullanarak x = 1'in maksimum nokta olduğunu elde ettiğimiz anlamına gelir. Aksi takdirde giriş y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 gibi görünür.

Grafik resmi

Cevap: y m a x = y (1) = 4 ..

Tanım 5

y = f(x) fonksiyonunun ε komşuluğunda n'inci dereceye kadar türevi vardır verilen nokta x 0 ve x 0 noktasında n + 1. dereceye kadar türev. O halde f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Buradan, n bir çift sayı olduğunda x 0'ın bir bükülme noktası olduğu, n bir tek sayı olduğunda x 0'ın bir uç nokta olduğu ve f (n + 1) (x 0) > 0 olduğu sonucu çıkar. 0 minimum noktadır, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Örnek 4

y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 fonksiyonunun maksimum ve minimum noktalarını bulun.

Çözüm

Orijinal fonksiyon rasyonel bir tam fonksiyondur; bu, tanım alanının tamamen gerçek sayılar olduğu anlamına gelir. Fonksiyonu ayırt etmek gerekiyor. Bunu anlıyoruz

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7x-5)

Bu türev x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3'te sıfıra gidecektir. Yani noktalar olası ekstrem noktalar olabilir. Ekstremum için üçüncü yeterli koşulun uygulanması gerekmektedir. İkinci türevi bulmak, bir fonksiyonun maksimum ve minimum varlığını doğru bir şekilde belirlemenizi sağlar. İkinci türev olası ekstremum noktalarında hesaplanır. Bunu anlıyoruz

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Bu, x 2 = 5 7'nin maksimum nokta olduğu anlamına gelir. 3. yeterli kriteri uygulayarak n = 1 ve f (n + 1) 5 7 için şunu elde ederiz:< 0 .

x 1 = - 1, x 3 = 3 noktalarının niteliğini belirlemek gerekir. Bunu yapmak için üçüncü türevi bulmanız ve bu noktalardaki değerleri hesaplamanız gerekir. Bunu anlıyoruz

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Bu, x 1 = - 1'in fonksiyonun dönüm noktası olduğu anlamına gelir, çünkü n = 2 ve f (n + 1) (- 1) ≠ 0 için. x 3 = 3 noktasını araştırmak gerekir. Bunun için 4. türevi buluyoruz ve bu noktada hesaplamalar yapıyoruz:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Yukarıda kararlaştırılanlardan x 3 = 3'ün fonksiyonun minimum noktası olduğu sonucunu çıkarıyoruz.

Grafik resmi

Cevap: x 2 = 5 7 verilen fonksiyonun maksimum noktası, x 3 = 3 minimum noktasıdır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Çok önemli bilgi Fonksiyonun davranışı hakkında artan ve azalan aralıklar sağlar. Bunları bulmak, fonksiyonu inceleme ve grafiği çizme sürecinin bir parçasıdır. Ayrıca artıştan azalışa veya azalıştan artışa değişimin olduğu uç noktalar da verilmiştir. Özel dikkat Belirli bir aralıkta bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulurken.

Bu yazıda gerekli tanımları vereceğiz, bir fonksiyonun belirli bir aralıkta artması ve azalması için yeterli bir kriter ve bir ekstremun varlığı için yeterli koşulları formüle edeceğiz ve bu teorinin tamamını örnek ve problemlerin çözümüne uygulayacağız.

Sayfada gezinme.

Belirli bir aralıkta artan ve azalan fonksiyon.

Artan bir fonksiyonun tanımı.

y=f(x) fonksiyonu herhangi biri için X aralığında artar ve eşitsizlik devam ediyor. Başka bir deyişle, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir.

Azalan fonksiyonun tanımı.

y=f(x) fonksiyonu herhangi biri için X aralığında azalır ve eşitsizlik geçerli . Başka bir deyişle, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık gelir.

NOT: Eğer fonksiyon artan veya azalan aralığın (a;b) uçlarında, yani x=a ve x=b'de tanımlı ve sürekli ise bu noktalar artan veya azalan aralığına dahil edilir. Bu, X aralığında artan ve azalan bir fonksiyonun tanımlarıyla çelişmez.

Örneğin, temel temel fonksiyonların özelliklerinden, argümanın tüm gerçek değerleri için y=sinx'in tanımlı ve sürekli olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla sinüs fonksiyonunun aralıktaki artışından, aralıkta arttığını söyleyebiliriz.

Ekstrem noktalar, bir fonksiyonun ekstremumları.

Nokta denir maksimum nokta Eşitsizlik komşuluğundaki tüm x'ler için doğruysa y=f(x) işlevi. Fonksiyonun maksimum noktasındaki değerine denir. fonksiyonun maksimumu ve belirtir.

Nokta denir minimum puan Eşitsizlik komşuluğundaki tüm x'ler için doğruysa y=f(x) işlevi. Fonksiyonun minimum noktasındaki değerine denir. minimum fonksiyon ve belirtir.

Bir noktanın komşuluğu aralık olarak anlaşılır , burada yeterince küçük bir pozitif sayı var.

Minimum ve maksimum noktalara denir ekstrem noktalar ve ekstremum noktalara karşılık gelen fonksiyon değerlerine denir fonksiyonun ekstremum değeri.

Bir fonksiyonun ekstremumlarını, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleriyle karıştırmayın.

Birinci şekilde fonksiyonun segment üzerindeki en büyük değeri maksimum noktasında elde edilmiş ve fonksiyonun maksimumuna eşit olup, ikinci şekilde fonksiyonun en büyük değeri x=b noktasında elde edilmiştir. , bu maksimum nokta değil.

Artan ve azalan fonksiyonlar için yeterli koşullar.

Bir fonksiyonun artması ve azalması için yeterli koşullar (işaretler) esas alınarak fonksiyonun artış ve azalış aralıkları bulunur.

Bir aralıkta artan ve azalan fonksiyonların işaretlerinin formülasyonları şunlardır:

• y=f(x) fonksiyonunun türevi X aralığındaki herhangi bir x için pozitifse, bu durumda fonksiyon X kadar artar;
• y=f(x) fonksiyonunun türevi X aralığındaki herhangi bir x için negatifse, bu durumda fonksiyon X üzerinde azalır.

Dolayısıyla bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirlemek için şunlar gereklidir:

Algoritmayı açıklamak için artan ve azalan fonksiyonların aralıklarını bulma örneğini ele alalım.

Örnek.

Artan ve azalan fonksiyonun aralıklarını bulun.

Çözüm.

İlk adım, fonksiyonun tanım tanım kümesini bulmaktır. Örneğimizde paydadaki ifadenin sıfıra gitmemesi gerekir, dolayısıyla .

Fonksiyonun türevini bulmaya geçelim:

Yeterli bir kritere dayanarak bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirlemek için tanım alanındaki eşitsizlikleri çözeriz. Aralık yönteminin bir genellemesini kullanalım. Payın tek gerçek kökü x = 2'dir ve payda x=0'da sıfıra gider. Bu noktalar tanım alanını, fonksiyonun türevinin işaretini koruduğu aralıklara böler. Bu noktaları sayı doğrusunda işaretleyelim. Türevin pozitif veya negatif olduğu aralıkları geleneksel olarak artılar ve eksilerle belirtiriz. Aşağıdaki oklar şematik olarak fonksiyonun karşılık gelen aralıktaki artışını veya azalmasını göstermektedir.

Böylece, Ve .

Noktada x=2 fonksiyonu tanımlı ve sürekli olduğundan hem artan hem de azalan aralıklara eklenmelidir. x=0 noktasında fonksiyon tanımlı olmadığından bu noktayı gerekli aralıklara dahil etmiyoruz.

Elde edilen sonuçları karşılaştırmak için fonksiyonun bir grafiğini sunuyoruz.

Cevap:

Fonksiyon şu şekilde artar: , (0;2] aralığında azalır.

Bir fonksiyonun ekstremumu için yeterli koşullar.

Bir fonksiyonun maksimum ve minimumlarını bulmak için, eğer fonksiyon koşulları sağlıyorsa, ekstremumun üç işaretinden herhangi birini kullanabilirsiniz. Bunlardan en yaygın ve kullanışlı olanı ilkidir.

Bir ekstremum için ilk yeterli koşul.

y=f(x) fonksiyonu noktanın -komşuluğunda türevlenebilir ve noktanın kendisinde sürekli olsun.

Başka bir deyişle:

Bir fonksiyonun ekstremumunun ilk işaretine dayanarak ekstremum noktalarını bulma algoritması.

• Fonksiyonun tanım tanım kümesini buluyoruz.
• Fonksiyonun türevini tanım tanım kümesinde buluyoruz.
• Payın sıfırlarını, türevin paydasının sıfırlarını ve türevin bulunmadığı tanım alanının noktalarını belirleriz (listelenen tüm noktalara denir) olası ekstrem noktalar türev bu noktalardan geçerek işaretini değiştirebilir).
• Bu noktalar fonksiyonun tanım bölgesini türevin işaretini koruduğu aralıklara böler. Her bir aralıktaki türevin işaretlerini belirleriz (örneğin, bir fonksiyonun türevinin belirli bir aralıktaki herhangi bir noktadaki değerini hesaplayarak).
• Fonksiyonun sürekli olduğu ve türevin işaret değiştirdiği noktaları seçiyoruz - bunlar uç noktalardır.

Çok fazla kelime var, bir fonksiyonun ekstremumunun ilk yeterli koşulunu kullanarak ekstremum noktalarını ve ekstremumlarını bulma konusunda birkaç örneğe bakalım.

Örnek.

Fonksiyonun ekstremumunu bulun.

Çözüm.

Bir fonksiyonun tanım kümesi, x=2 dışındaki gerçek sayılar kümesinin tamamıdır.

Türevi bulma:

Payın sıfırları x=-1 ve x=5 noktalarıdır, x=2 noktasında payda sıfıra gider. Bu noktaları sayı ekseninde işaretleyin

Her aralıkta türevin işaretlerini belirleriz; bunu yapmak için her aralığın noktalarından herhangi birinde, örneğin x=-2, x=0, x=3 ve x=-2 noktalarında türevin değerini hesaplarız. x=6.

Bu nedenle aralıkta türev pozitiftir (şekilde bu aralığın üzerine artı işareti koyduk). Aynı şekilde

Bu nedenle ikinci aralığın üstüne bir eksi, üçüncünün üstüne bir eksi ve dördüncünün üstüne bir artı koyarız.

Geriye fonksiyonun sürekli olduğu ve türevinin işaret değiştirdiği noktaları seçmek kalır. Bunlar ekstrem noktalardır.

Noktada x=-1 fonksiyon süreklidir ve türevi artıdan eksiye işaret değiştirir, dolayısıyla ekstremumun ilk işaretine göre x=-1 maksimum noktadır, fonksiyonun maksimumu buna karşılık gelir .

Noktada x=5 fonksiyon süreklidir ve türevi eksiden artıya işaret değiştirir, dolayısıyla x=-1 minimum noktadır, fonksiyonun minimumu buna karşılık gelir .

Grafik illüstrasyon.

Cevap:

LÜTFEN DİKKAT EDİN: Bir ekstremum için ilk yeterli kriter, fonksiyonun noktanın kendisinde türevlenebilirliğini gerektirmez.

Örnek.

Fonksiyonun ekstremum noktalarını ve ekstremumlarını bulun .

Çözüm.

Bir fonksiyonun tanım kümesi gerçek sayılar kümesinin tamamıdır. Fonksiyonun kendisi şu şekilde yazılabilir:

Fonksiyonun türevini bulalım:

Noktada x=0 türevi mevcut değildir, çünkü argüman sıfıra yaklaştığında tek taraflı limitlerin değerleri çakışmaz:

Aynı zamanda, orijinal fonksiyon x=0 noktasında süreklidir (fonksiyonun süreklilik açısından incelenmesi bölümüne bakınız):

Türevin sıfıra gittiği argümanın değerini bulalım:

Elde edilen tüm noktaları sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim ve her bir aralığın türevinin işaretini belirleyelim. Bunu yapmak için, türevin değerlerini her aralığın isteğe bağlı noktalarında hesaplıyoruz, örneğin x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Yani,

Böylece bir ekstremun ilk işaretine göre minimum puanlar , maksimum puanlar .

Fonksiyonun karşılık gelen minimumlarını hesaplıyoruz

Fonksiyonun karşılık gelen maksimumlarını hesaplıyoruz

Grafik illüstrasyon.

Cevap:

.

Bir fonksiyonun ekstremumunun ikinci işareti.

Gördüğünüz gibi, bir fonksiyonun ekstremumunun bu işareti, o noktada en azından ikinci dereceden bir türevin varlığını gerektirir.

Fonksiyonun ekstremum değerleri

Tanım 2

Bir $x_0$ noktasına, eğer bu noktanın bir komşuluğu varsa, bu komşuluktaki tüm $x$ için $f(x)\le f(x_0) eşitsizliği varsa, $f(x)$ fonksiyonunun maksimum noktası denir. $ tutar.

Tanım 3

Bir $x_0$ noktasına, eğer bu noktanın bir komşuluğu varsa, bu komşuluktaki tüm $x$ için $f(x)\ge f(x_0) eşitsizliği varsa, $f(x)$ fonksiyonunun maksimum noktası denir. $ tutar.

Bir fonksiyonun ekstremum kavramı, bir fonksiyonun kritik noktası kavramıyla yakından ilişkilidir. Tanımını tanıtalım.

Tanım 4

Aşağıdaki durumlarda $x_0$, $f(x)$ fonksiyonunun kritik noktası olarak adlandırılır:

1) $x_0$ - tanım alanının iç noktası;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ veya mevcut değil.

Ekstremum kavramı için yeterli ve gerekli koşullar Onun varlığı.

Teorem 2

Bir ekstremum için yeterli koşul

$x_0$ noktası $y=f(x)$ fonksiyonu için kritik olsun ve $(a,b)$ aralığında olsun. Her $\left(a,x_0\right)\ ve\ (x_0,b)$ aralığında $f"(x)$ türevinin mevcut olduğunu ve sabit bir işareti koruduğunu varsayalım. Sonra:

1) $(a,x_0)$ aralığında türev $f"\left(x\right)>0$ ise ve $(x_0,b)$ aralığında türev $f"\left( ise x\sağ)

2) $(a,x_0)$ aralığında $f"\left(x\right)0$ türevi varsa, o zaman $x_0$ noktası bu fonksiyon için minimum noktadır.

3) Hem $(a,x_0)$ aralığında hem de $(x_0,b)$ aralığındaysa $f"\left(x\right) >0$ türevi veya $f"\left(x türevi \Sağ)

Bu teorem Şekil 1'de gösterilmektedir.

Şekil 1. Ekstremin varlığı için yeterli koşul

Aşırılık örnekleri (Şekil 2).

Şekil 2. Ekstrem noktalara örnekler

Bir fonksiyonu ekstremum için inceleme kuralı

2) $f"(x)$ türevini bulun;

7) Teorem 2'yi kullanarak her aralıkta maksimum ve minimumların varlığı hakkında sonuçlar çıkarın.

Arttırma ve azaltma fonksiyonu

Önce artan ve azalan fonksiyonların tanımlarını verelim.

Tanım 5

$X$ aralığında tanımlanan bir $y=f(x)$ fonksiyonunun, $x_1 noktasındaki herhangi bir $x_1,x_2\in X$ noktası için artan olduğu söylenir.

Tanım 6

$X$ aralığında tanımlanan bir $y=f(x)$ fonksiyonunun, $x_1f(x_2)$ için herhangi bir $x_1,x_2\in X$ noktası için azalan olduğu söylenir.

Artan ve azalan bir fonksiyonun incelenmesi

Türevi kullanarak artan ve azalan fonksiyonları inceleyebilirsiniz.

Bir fonksiyonu artan ve azalan aralıklara göre incelemek için aşağıdakileri yapmanız gerekir:

1) $f(x)$ fonksiyonunun tanım tanım kümesini bulun;

2) $f"(x)$ türevini bulun;

3) $f"\left(x\right)=0$ eşitliğinin sağlandığı noktaları bulun;

4) $f"(x)$'ın bulunmadığı noktaları bulun;

5) Bulunan tüm noktaları ve bu fonksiyonun tanım alanını koordinat çizgisi üzerinde işaretleyin;

6) Ortaya çıkan her aralıkta $f"(x)$ türevinin işaretini belirleyin;

7) Bir sonuca varın: $f"\left(x\right)0$ aralığında fonksiyon artar.

Artan, azalan fonksiyonları ve ekstremum noktaların varlığını incelemek için problem örnekleri

örnek 1

Arttırma ve azaltma fonksiyonunu ve maksimum ve minimum noktaların varlığını inceleyin: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

İlk 6 nokta aynı olduğundan önce bunları gerçekleştirelim.

1) Tanım alanı - tüm gerçek sayılar;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ tanım alanının tüm noktalarında mevcuttur;

5) Koordinat çizgisi:

Figür 3.

6) Her aralıkta $f"(x)$ türevinin işaretini belirleyin:

\ \ .

İlgili bilgi.

Artan bir fonksiyonun tanımı.

İşlev y=f(x) aralıkta artar X, eğer varsa ve eşitsizlik devam ediyor. Başka bir deyişle, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir.

Azalan fonksiyonun tanımı.

İşlev y=f(x) aralıkta azalır X, eğer varsa ve eşitsizlik geçerli . Başka bir deyişle, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık gelir.

NOT: Eğer fonksiyon artan veya azalan aralığın sonunda tanımlı ve sürekli ise (a;b) yani ne zaman x=a Ve x=b, bu noktalar artan veya azalan aralığına dahil edilir. Bu, aralıkta artan ve azalan fonksiyonun tanımlarıyla çelişmez X.

Örneğin, temel temel fonksiyonların özelliklerinden şunu biliyoruz: y=sinx argümanın tüm gerçek değerleri için tanımlanmış ve süreklidir. Dolayısıyla sinüs fonksiyonunun aralıktaki artışından, aralıkta arttığını söyleyebiliriz.

Ekstrem noktalar, bir fonksiyonun ekstremumları.

Nokta denir maksimum nokta işlevler y=f(x) eğer herkes içinse X komşuluğundan eşitsizlik geçerlidir. Fonksiyonun maksimum noktasındaki değerine denir. fonksiyonun maksimumu ve belirtir.

Nokta denir minimum puan işlevler y=f(x) eğer herkes içinse X komşuluğundan eşitsizlik geçerlidir. Fonksiyonun minimum noktasındaki değerine denir. minimum fonksiyon ve belirtir.

Bir noktanın komşuluğu aralık olarak anlaşılır , burada yeterince küçük bir pozitif sayı var.

Minimum ve maksimum noktalara denir ekstrem noktalar ve ekstremum noktalara karşılık gelen fonksiyon değerlerine denir fonksiyonun ekstremum değeri.

Bir fonksiyonun ekstremumlarını, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleriyle karıştırmayın.

İlk şekilde fonksiyonun segment üzerindeki en büyük değeri maksimum noktaya ulaşılır ve fonksiyonun maksimumuna eşit olur ve ikinci şekilde - fonksiyonun en yüksek değerine o noktada ulaşılır x=b, bu bir maksimum nokta değildir.

Artan ve azalan fonksiyonlar için yeterli koşullar.

Bir fonksiyonun artması ve azalması için yeterli koşullar (işaretler) esas alınarak fonksiyonun artış ve azalış aralıkları bulunur.

Bir aralıkta artan ve azalan fonksiyonların işaretlerinin formülasyonları şunlardır:

fonksiyonun türevi ise y=f(x) herkes için olumlu X aralıktan X, o zaman fonksiyon artar X;

fonksiyonun türevi ise y=f(x) herkes için olumsuz X aralıktan X, o zaman fonksiyon azalır X.

Dolayısıyla bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirlemek için şunlar gereklidir:

Algoritmayı açıklamak için artan ve azalan fonksiyonların aralıklarını bulma örneğini ele alalım.

Örnek.

Artan ve azalan fonksiyonun aralıklarını bulun.

Çözüm.

İlk adım fonksiyonun tanımını bulmaktır. Örneğimizde paydadaki ifadenin sıfıra gitmemesi gerekir, dolayısıyla .

Fonksiyonun türevini bulmaya geçelim:

Yeterli bir kritere dayanarak bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirlemek için tanım alanındaki eşitsizlikleri çözeriz. Aralık yönteminin bir genellemesini kullanalım. Payın tek gerçek kökü x = 2 ve payda sıfıra gider x=0. Bu noktalar tanım alanını, fonksiyonun türevinin işaretini koruduğu aralıklara böler. Bu noktaları sayı doğrusunda işaretleyelim. Türevin pozitif veya negatif olduğu aralıkları geleneksel olarak artılar ve eksilerle belirtiriz. Aşağıdaki oklar şematik olarak fonksiyonun karşılık gelen aralıktaki artışını veya azalmasını göstermektedir.