Bir fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulmak ne anlama gelir? Monoton fonksiyonların limitleri

Bir fonksiyonun artan, azalan ve ekstremum değerleri

Bir fonksiyonun artış, azalma ve ekstremum aralıklarını bulmak hem bağımsız bir görevdir hem de diğer görevlerin önemli bir parçasıdır. tam fonksiyon çalışması. Fonksiyonun artış, azalış ve ekstremum değerlerine ilişkin ilk bilgiler aşağıda verilmiştir. türev üzerine teorik bölüm ki kesinlikle tavsiye ederim ön çalışma (veya tekrarlama)– ayrıca aşağıdaki materyalin aynı temele dayanması nedeniyle esasen türev, bu makalenin uyumlu bir devamı niteliğindedir. Bununla birlikte, eğer zaman kısaysa, o zaman bugünkü dersten tamamen resmi örneklerle pratik yapmak da mümkündür.

Ve bugün havada nadir görülen bir birlik ruhu var ve orada bulunan herkesin arzuyla yandığını doğrudan hissedebiliyorum. Türevini kullanarak bir fonksiyonu keşfetmeyi öğrenin. Bu nedenle makul, iyi, ebedi terminoloji hemen monitör ekranlarınızda belirir.

Ne için? Sebeplerden biri en pratik olanıdır: böylece belirli bir görevde genel olarak sizden ne istendiğinin netleşmesi için!

Fonksiyonun monotonluğu. Bir fonksiyonun ekstremum noktaları ve ekstremumları

Biraz fonksiyon düşünelim. Basitçe söylemek gerekirse, onun olduğunu varsayıyoruz. sürekli tüm sayı doğrusunda:

Her ihtimale karşı, özellikle yeni tanışan okuyucular için olası yanılsamalardan bir an önce kurtulalım. fonksiyonun sabit işaretli aralıkları. Şimdi biz İLGİLENMİYORUM, fonksiyonun grafiğinin eksene göre nasıl yerleştirildiği (eksenin kesiştiği yerde yukarıda, aşağıda). İkna edici olmak için eksenleri zihinsel olarak silin ve bir grafik bırakın. Çünkü ilginin yattığı yer burası.

İşlev artışlar bir aralıkta, eğer bu aralığın herhangi iki noktası için, ilişkiyle bağlantılı eşitsizlik doğrudur. Yani, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir ve grafiği "aşağıdan yukarıya" doğru gider. Gösterim işlevi aralık boyunca büyür.

Aynı şekilde, fonksiyon azalır Belirli bir aralığın herhangi iki noktası için eşitsizlik doğru olacak şekilde bir aralıkta. Yani, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık gelir ve grafiği "yukarıdan aşağıya" doğru gider. Fonksiyonumuz aralıklarla azalır .

Bir fonksiyon belirli bir aralıkta artıyor veya azalıyorsa buna denir. kesinlikle monoton bu aralıkta. Monotonluk nedir? Kelimenin tam anlamıyla alın – monotonluk.

Ayrıca tanımlayabilirsiniz azalmayan işlev (ilk tanımda rahat durum) ve artmayan fonksiyon (2. tanımda yumuşatılmış durum). Bir aralıkta azalmayan veya artmayan bir fonksiyona, belirli bir aralıkta monotonik fonksiyon denir (katı monotonluk, “basitçe” monotonluğun özel bir durumudur).

Teori aynı zamanda yarım aralıklar, bölümler de dahil olmak üzere bir fonksiyonun artışını/azalışını belirlemeye yönelik diğer yaklaşımları da dikkate alır, ancak başınıza yağ-yağ-yağ dökmemek için kategorik tanımlarla açık aralıklarla çalışmayı kabul edeceğiz. - bu daha açık ve birçok pratik sorunu çözmek için oldukça yeterli.

Böylece, Makalelerimde "bir fonksiyonun monotonluğu" ifadesi neredeyse her zaman gizlenecek aralıklar katı monotonluk(kesinlikle artan veya kesinlikle azalan fonksiyon).

Bir noktanın mahallesi. Ardından öğrencilerin bulabildikleri her yere kaçtıkları ve köşelerde dehşet içinde saklandıkları sözler. ...her ne kadar gönderiden sonra Cauchy sınırları Muhtemelen artık saklanmıyorlar, sadece hafifçe titriyorlar =) Merak etmeyin, artık teoremlerin kanıtı olmayacak matematiksel analiz– Tanımları daha kesin bir şekilde formüle etmek için çevreye ihtiyacım vardı ekstrem noktalar. Hatırlayalım:

Bir noktanın mahallesi Belirli bir noktayı içeren bir aralık denir ve kolaylık sağlamak için aralığın genellikle simetrik olduğu varsayılır. Örneğin bir nokta ve onun standart komşuluğu:

Aslında tanımlar:

Nokta denir kesin maksimum nokta, Eğer var onun mahallesi, hepsi için değerleri noktanın kendisi dışında eşitsizliktir. bizim spesifik örnek mesele bu.

Nokta denir kesin minimum nokta, Eğer var onun mahallesi, hepsi için değerleri noktanın kendisi dışında eşitsizliktir. Çizimde “a” noktası var.

Not : Komşuluk simetrisi gerekliliği hiç de gerekli değildir. Ayrıca önemli varoluşun gerçeği belirtilen koşulları karşılayan mahalle (küçük veya mikroskobik)

noktalar denir kesinlikle ekstremum noktalar ya da sadece ekstrem noktalar işlevler. Yani maksimum puanlar ve minimum puanlar için genelleştirilmiş bir terimdir.

“Aşırı” kelimesini nasıl anlıyoruz? Evet, monotonluk kadar doğrudan. Hız trenlerinin uç noktaları.

Monotonluk durumunda olduğu gibi, gevşek varsayımlar mevcuttur ve teoride daha da yaygındır. (tabii ki, dikkate alınan katı davalar da bu kapsamdadır!):

Nokta denir maksimum nokta, Eğer varçevresi öyle hepsi için
Nokta denir minimum puan, Eğer varçevresi öyle hepsi için Bu mahallenin değerleri, eşitsizliği barındırıyor.

Son iki tanıma göre, sabit bir fonksiyonun (veya bir fonksiyonun "düz bölümünün") herhangi bir noktasının hem maksimum hem de minimum nokta olarak kabul edildiğini unutmayın! Bu arada fonksiyon hem artmayan hem de azalmayan, yani monotondur. Bununla birlikte, bu düşünceleri teorisyenlere bırakacağız, çünkü pratikte neredeyse her zaman geleneksel "tepeler" ve "oyuklar" (çizime bakınız) benzersiz bir "tepenin kralı" veya "bataklığın prensesi" ile düşünürüz. Bir çeşitlilik olarak ortaya çıkar uç, yukarı veya aşağı yönlendirilmiş, örneğin noktadaki fonksiyonun minimumu.

Evet, bu arada, ah telif hakkı:
– anlamı denir maksimum işlevler;
– anlamı denir minimum işlevler.

Yaygın isim - aşırılıklar işlevler.

Lütfen sözlerinize dikkat edin!

Ekstrem noktalar– bunlar “X” değerleridir.
Aşırılıklar– “oyun” anlamları.

! Not : Bazen listelenen terimler doğrudan fonksiyonun KENDİSİNİN GRAFİĞİ üzerinde yer alan “X-Y” noktalarına atıfta bulunur.

Bir fonksiyon kaç ekstrema sahip olabilir?

Yok, 1, 2, 3,... vb. sonsuzluğa. Örneğin sinüsün sonsuz sayıda minimum ve maksimum değeri vardır.

ÖNEMLİ!"Maksimum fonksiyon" terimi aynı değil dönem " maksimum değer işlevler." Değerin yalnızca yerel mahallede maksimum olduğunu ve sol üstte "daha havalı yoldaşların" bulunduğunu fark etmek kolaydır. Aynı şekilde “bir fonksiyonun minimumu” ile “bir fonksiyonun minimum değeri” aynı şey değildir ve çizimde değerin sadece belirli bir alanda minimum olduğunu görüyoruz. Bu bakımdan ekstremum noktalara da denir. yerel ekstremum noktaları ve ekstremum – yerel aşırılıklar. Yakınlarda yürürler ve dolaşırlar ve küresel kardeşler. Yani herhangi bir parabolün tepe noktasında küresel minimum veya küresel maksimum. Ayrıca, aşırı uç türleri arasında ayrım yapmayacağım ve açıklama daha çok genel eğitim amaçlı olarak dile getirildi - "yerel"/"küresel" ek sıfatları sizi şaşırtmamalı.

Özetleyelim küçük gezi Bir deneme çekimiyle teoriye dönüş: "Fonksiyonun monotonluk aralıklarını ve ekstremum noktalarını bulma" görevi ne anlama geliyor?

İfade sizi şunu bulmaya teşvik ediyor:

– artan/azalan fonksiyon aralıkları (azalmayan, artmayan çok daha az sıklıkla görülür);

– maksimum ve/veya minimum puanlar (varsa). Başarısızlığı önlemek için minimum/maksimum değerleri kendiniz bulmak daha iyidir ;-)

Bütün bunlar nasıl belirlenir? Türev fonksiyonunu kullanma!

Artan, azalan aralıklar nasıl bulunur?
Fonksiyonun ekstrem noktaları ve ekstremumları?

Aslında pek çok kural zaten biliniyor ve anlaşılıyor. türevin anlamı hakkında ders.

Teğet türev boyunca fonksiyonun arttığına dair sevindirici bir haber getiriyor tanım alanı.

Kotanjant ve türevi ile durum tam tersidir.

Ark sinüs aralık boyunca artar - buradaki türev pozitiftir: .
Fonksiyon tanımlı ancak türevlenebilir olmadığında. Ancak kritik noktada sağdan türev ve sağdan teğet vardır, diğer kenarda ise bunların solak karşılıkları vardır.

Ark kosinüs ve türevi için de benzer akıl yürütmenin sizin için çok zor olmayacağını düşünüyorum.

Yukarıdaki durumların tümü, bunların çoğu tablosal türevler, hatırlatırım, doğrudan şuradan takip edin türev tanımları.

Neden bir fonksiyonu türevini kullanarak araştıralım?

Bu fonksiyonun grafiğinin neye benzediğini daha iyi anlamak için: "aşağıdan yukarıya" gittiği yer, "yukarıdan aşağıya" gittiği yer, minimum ve maksimumlara ulaştığı yer (eğer ulaşıyorsa). Tüm fonksiyonlar o kadar basit değildir; çoğu durumda belirli bir fonksiyonun grafiği hakkında hiçbir fikrimiz yoktur.

Daha anlamlı örneklere geçip bunları düşünmenin zamanı geldi. Bir fonksiyonun monotonluk ve ekstremum aralıklarını bulmak için algoritma:

örnek 1

Fonksiyonun artış/azalış aralıklarını ve ekstremumlarını bulun

Çözüm:

1) İlk adım bulmaktır bir fonksiyonun alanı ve ayrıca kırılma noktalarını da (varsa) not edin. Bu durumda fonksiyon tüm sayı doğrusunda süreklidir ve bu eylem bir dereceye kadar resmidir. Ancak bazı durumlarda burada ciddi tutkular alevlenir, bu yüzden paragrafı küçümsemeden ele alalım.

2) Algoritmanın ikinci noktası şundan kaynaklanmaktadır:

bir ekstremum için gerekli koşul:

Bir noktada bir ekstremum varsa o zaman değer de mevcut değildir.

Sonu kafanız mı karıştı? “Modül x” fonksiyonunun ekstremumu .

Şart gerekli ama yeterli değil ve bunun tersi her zaman doğru değildir. Dolayısıyla eşitlikten fonksiyonun noktasında maksimum veya minimuma ulaştığı sonucu çıkmaz. Yukarıda klasik bir örnek zaten vurgulanmıştı - bu kübik bir parabol ve onun kritik noktasıdır.

Ama öyle de olsa, gerekli kondisyon ekstremum şüpheli noktaları bulma ihtiyacını belirler. Bunu yapmak için türevi bulun ve denklemi çözün:

İlk makalenin başında fonksiyon grafikleri hakkında Bir örnek kullanarak hızlı bir şekilde parabolün nasıl oluşturulacağını anlattım. : “...birinci türevi alıp sıfıra eşitliyoruz: ...Yani denklemimizin çözümü: - parabolün tepe noktası tam da bu noktada...”. Sanırım artık herkes parabolün tepe noktasının neden tam olarak bu noktada bulunduğunu anladı =) Genel olarak burada da benzer bir örnekle başlamalıyız ama bu çok basit (bir çaydanlık için bile). Ayrıca dersin en sonunda bir analog var. bir fonksiyonun türevi. Bu nedenle dereceyi artıralım:

Örnek 2

Fonksiyonun monotonluk ve ekstremum aralıklarını bulun

Bu bir örnektir bağımsız karar. Tam çözüm ve dersin sonunda görevin yaklaşık son örneği.

Kesirli-rasyonel fonksiyonlarla uzun zamandır beklenen buluşma anı geldi:

Örnek 3

Birinci türevi kullanarak bir fonksiyonu keşfedin

Bir ve aynı görevin ne kadar değişken biçimde yeniden formüle edilebileceğine dikkat edin.

Çözüm:

1) Fonksiyon noktalarda sonsuz süreksizliklere maruz kalır.

2) Kritik noktaları tespit ediyoruz. Birinci türevi bulup sıfıra eşitleyelim:

Denklemi çözelim. Bir kesrin payı sıfıra eşit olduğunda sıfıra eşit:

Böylece üç kritik nokta elde ediyoruz:

3) Tespit edilen TÜM noktaları sayı doğrusu üzerinde çizeriz ve aralık yöntemi TÜREVİN işaretlerini tanımlarız:

Aralıkta bir nokta alıp türevin değerini hesaplamanız gerektiğini size hatırlatırım. ve işaretini belirleyin. Saymak bile değil, sözlü olarak "tahmin etmek" daha karlı. Örneğin aralığa ait bir noktayı alalım ve yerine koyma işlemini gerçekleştirelim: .

Dolayısıyla iki "artı" ve bir "eksi" bir "eksi" verir, bu da türevin tüm aralık boyunca negatif olduğu anlamına gelir.

Anladığınız gibi eylemin altı aralığın her biri için gerçekleştirilmesi gerekiyor. Bu arada, pay faktörünün ve paydanın herhangi bir aralıktaki herhangi bir nokta için kesinlikle pozitif olduğunu ve bunun görevi büyük ölçüde basitleştirdiğini unutmayın.

Yani türev bize FONKSİYONUN KENDİSİNİN şu kadar arttığını söyledi: ve kadar azalır. Aynı türdeki aralıkları birleştirme simgesiyle bağlamak uygundur.

Fonksiyonun maksimuma ulaştığı noktada:
Fonksiyonun minimuma ulaştığı noktada:

İkinci değeri neden yeniden hesaplamak zorunda olmadığınızı düşünün ;-)

Bir noktadan geçerken türev işaret değiştirmez, dolayısıyla fonksiyonun orada EKSTREMİ YOKTUR - hem azaldı hem de azalan kaldı.

! Tekrar edelim önemli nokta : noktalar kritik olarak kabul edilmez - bir işlev içerirler belirlenmedi. Buna göre burada Prensipte hiçbir aşırılık olamaz(türev işaret değiştirse bile).

Cevap: fonksiyon şu kadar artar: ve azalır Fonksiyonun maksimum değerine ulaşıldığı noktada: , ve bu noktada – minimum: .

Monotonluk aralıkları ve ekstremum bilgisi, yerleşik bilgilerle birlikte asimptotlar zaten çok iyi bir fikir veriyor dış görünüş fonksiyon grafikleri. Ortalama eğitime sahip bir kişi, bir fonksiyonun grafiğinin iki dikey asimptotu ve bir eğik asimptotu olduğunu sözlü olarak belirleyebilir. İşte kahramanımız:

Çalışmanın sonuçlarını bu fonksiyonun grafiğiyle ilişkilendirmeyi bir kez daha deneyin.
Kritik noktada ekstremum yoktur ancak grafik bükülmesi(kural olarak benzer durumlarda olur).

Örnek 4

Fonksiyonun ekstremumunu bulun

Örnek 5

Fonksiyonun monotonluk aralıklarını, maksimumlarını ve minimumlarını bulun

…bugün neredeyse bir nevi “küpün içindeki X” tatiline benziyor....
Soooo, galeride kim bunun için içki içmeyi teklif etti? =)

Her görevin kendine özgü nüansları ve teknik incelikleri vardır ve bunlar dersin sonunda yorumlanır.

Hangisi işaret değiştirmez, yani ya her zaman negatif değildir ya da her zaman pozitif değildir. Ayrıca artış sıfır değilse fonksiyon çağrılır. kesinlikle monoton. Monotonik fonksiyon aynı yönde değişen fonksiyondur.

Fonksiyon şu durumlarda artar: daha yüksek değer argüman fonksiyonun daha büyük değerine karşılık gelir. Bir argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geliyorsa, fonksiyon azalır.

Tanımlar

Fonksiyon verilsin.

. . . .

(Kesinlikle) artan veya azalan bir fonksiyona (kesinlikle) monotonik denir.

Diğer terminoloji

Bazen artan fonksiyonlara denir azalmayan ve azalan fonksiyonlar artmayan. Bu durumda, tam olarak artan fonksiyonlara basitçe artan, tam olarak azalan fonksiyonlara ise basitçe azalan denir.

Monotonik fonksiyonların özellikleri

Bir fonksiyonun monoton olma koşulları

Genel anlamda bunun tersi doğru değildir. Kesinlikle monotonik bir fonksiyonun türevi yok olabilir. Ancak türevinin sıfıra eşit olmadığı noktalar kümesinin aralıkta yoğun olması gerekir.Daha doğrusu böyledir.

Benzer şekilde, yalnızca aşağıdaki iki koşulun karşılanması durumunda bir aralıkta kesin olarak azalır:

Örnekler

Ayrıca bakınız

Wikimedia Vakfı. 2010.

• Tükürük
• Gorki Demiryolu

Diğer sözlüklerde “Monotonik fonksiyonun” ne olduğunu görün:

Monoton fonksiyon- belirli bir aralıkta artan (yani, bu aralıktaki argümanın herhangi bir değeri ne kadar büyük olursa, fonksiyonun değeri de o kadar büyük) veya azalan (tersi durumda) olabilen bir f(x) fonksiyonudur. .... ...

MONOTON FONKSİYONU- argüman arttığında ya her zaman artan (veya en azından azalmayan) ya da her zaman azalan (artmayan) bir fonksiyon ... Büyük Ansiklopedik Sözlük

MONOTON FONKSİYONU- (monoton fonksiyon) Argümanın değeri arttıkça fonksiyonun değerinin daima aynı yönde değiştiği bir fonksiyon. Bu nedenle, eğer y=f(x) ise, x'in tüm değerleri için ya dy/dx 0 olur, bu durumda y artıyor... ... Ekonomik sözlük

Monoton fonksiyon- (Yunanca monotonos monokromatik kelimesinden) Δx = x' x > 0 için Δf(x) = f(x') f(x) artışları işaretini değiştirmeyen, yani ya her zaman negatif olmayan ya da her zaman olan bir fonksiyon olumlu değil. Tamamen kesin olmamakla birlikte, M.f. bunlar değişen işlevlerdir... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

monoton fonksiyon- argüman arttığında ya her zaman artan (veya en azından azalmayan) ya da her zaman azalan (artmayan) bir fonksiyon. * * * MONOTON FONKSİYONU MONOTON FONKSİYONU, argüman arttığında ya her zaman artan (ya da... ... ansiklopedik sözlük

MONOTON FONKSİYONU- Reel sayıların belirli bir alt kümesinde tanımlanan tek değişkenli bir fonksiyon; sayının artması işareti değiştirmez, yani ya her zaman negatif değildir ya da her zaman pozitif değildir. Kesinlikle sıfırdan büyük (küçük) ise, o zaman M.f. isminde... ... Matematik Ansiklopedisi

MONOTON FONKSİYONU- argüman arttığında ya her zaman artan (veya en azından azalmayan) ya da her zaman azalan (artmayan) bir fonksiyon ... Doğal bilim. ansiklopedik sözlük

Monotonik dizi sayı arttıkça elemanları azalmayan veya tam tersi artmayan bir dizidir. Bu tür dizilere araştırmalarda sıklıkla rastlanır ve çok sayıda özelliği vardır. ayırt edici özellikleri ve ek özellikler.... ... Vikipedi

işlev- Bir ekip veya bir grup insan ve bunların bir veya daha fazla süreç veya aktiviteyi gerçekleştirmek için kullandıkları araçlar veya diğer kaynaklar. Örneğin müşteri desteği. Bu terimin başka bir anlamı daha var: ... ... Teknik Çevirmen Kılavuzu

İşlev- 1. Bağımlı değişken; 2. Değişken büyüklükler arasındaki y=f(x) uyumu, bu nedenle bir miktar x'in (argüman veya bağımsız değişken) dikkate alınan her değeri belirli bir değere karşılık gelir... ... Ekonomik-matematiksel sözlük

İşlev y=f(x) isminde artan aralıkta (a;b), eğer herhangi biri için x 1 Ve x 2 x 1 , adil f(x1) Örneğin, işlevler y=ax, y=bir x'i günlüğe kaydet en a>1, y=yay x, y=yay sin x,(nОN) tüm tanım alanları boyunca artar.

Artan bir fonksiyonun grafiği

· İşlev y = f(x) isminde azalan(a;b) aralığında, eğer varsa x 1 Ve x 2 bu aralıktan öyle ki x 1 , adil f(x 1)>f(x 2).Örneğin, işlevler y=ax, y=bir x'i günlüğe kaydet 0'da<A<1, y=arcctg x, y=arccos x tüm tanım alanları boyunca azalır.

Azalan bir fonksiyonun grafiği

Azalan ve artan fonksiyonlar birlikte bir sınıf oluşturur monoton işlevler. Monoton fonksiyonların bir takım özel özellikleri vardır.

İşlev f(x), aralıkta monoton [ a,b], bu segmentte sınırlı;

· artan (azalan) fonksiyonların toplamı artan (azalan) bir fonksiyondur;

· if fonksiyonu F artar (azalır) ve N– tek sayı, o da artar (azalır);

· Eğer f"(x)>0 hepsi için xО(a,b), o zaman fonksiyon y=f(x) aralıkta artıyor (a,b);

· Eğer f"(x)<0 hepsi için xО(a,b), o zaman fonksiyon y=f(x) aralıkta azalıyor (a,b);

· Eğer f(x) – sette sürekli ve monotonik fonksiyon X, o zaman denklem f(x)=C, Nerede İLE– bu sabit olabilir X birden fazla çözüm yok;

· denklemin tanım alanında ise f(x)=g(x) işlev f(x) artar ve fonksiyon g(x) azalıyorsa denklemin birden fazla çözümü olamaz.

Teorem. (bir fonksiyonun monotonluğu için yeterli bir koşul). Segmentte sürekli ise [ a, b] işlev y = f(X) aralığın her noktasında ( a, b) pozitif (negatif) bir türevi varsa, o zaman bu fonksiyon [ segmentinde artar (azalır) a, b].

Kanıt. Herkes için >0 olsun xО(a,b). İki keyfi değeri düşünün x 2 >x1, ait [ a, b] Lagrange formülüne göre x 1<с < х 2 . (İle) > 0 Ve x 2 – x 1 > 0, bu nedenle > 0, dolayısıyla > , yani f(x) fonksiyonu [ aralığında artar a, b] Teoremin ikinci kısmı da benzer şekilde kanıtlanır.

Teorem 3. (bir fonksiyonun ekstremumunun varlığının gerekli işareti). Eğer fonksiyon c noktasında türevlenebilirse en=F(X) bu noktada bir ekstremuma sahiptir, o halde .

Kanıt. Örneğin, fonksiyona izin verin en= F(X) c noktasında maksimuma sahiptir. Bu, c noktasının tüm noktalar için delikli bir komşuluğu olduğu anlamına gelir. X bu mahalle memnun F(X) < f (C), yani F(C) bu komşuluktaki fonksiyonun en büyük değeridir. Sonra Fermat teoremine göre.

c noktasındaki minimum durumu da benzer şekilde kanıtlanır.

Yorum. Bir fonksiyonun türevinin bulunmadığı bir noktada bir ekstremumu olabilir. Örneğin bir fonksiyonun x noktasında minimumu vardır. = 0, mevcut olmamasına rağmen. Bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu veya bulunmadığı noktalara fonksiyonun kritik noktaları denir. Ancak fonksiyonun tüm kritik noktalarda bir ekstremumu yoktur. Örneğin, fonksiyon y = x 3 türevi olmasına rağmen ekstremite yoktur =0.

Teorem 4. ( yeterli kanıt bir ekstremun varlığı). Sürekli bir fonksiyon ise y = f(X) kritik C noktasını içeren belirli bir aralığın tüm noktalarında bir türevi vardır (belki de bu noktanın kendisi hariç) ve eğer argüman C kritik noktasından soldan sağa geçtiğinde türev artı işaretinden değişirse eksiye çevrildiğinde C noktasındaki fonksiyon maksimuma sahip olur ve işaret eksiden artıya değiştiğinde minimum olur.

Kanıt. C kritik bir nokta olsun ve örneğin argüman c noktasından geçtiğinde işareti artıdan eksiye değiştirsin. Bu şu anlama gelir: belirli aralıklarla (c – e; c) fonksiyon artar ve aralıkta (c; c+e)– azalır (en e>0). Bu nedenle c noktasında fonksiyonun maksimumu vardır. Minimum durumu da benzer şekilde kanıtlanır.

Yorum. Eğer argüman kritik noktadan geçtiğinde türev işaret değiştirmiyorsa, bu noktada fonksiyonun bir ekstremumu yoktur.

Çok değişkenli bir fonksiyon için limit ve süreklilik tanımları pratik olarak tek değişkenli bir fonksiyona karşılık gelen tanımlarla örtüştüğünden, çok değişkenli fonksiyonlar için limitlerin ve sürekli fonksiyonların tüm özellikleri korunur

©2015-2019 sitesi
Tüm hakları yazarlarına aittir. Bu site yazarlık iddiasında bulunmaz, ancak ücretsiz kullanım sağlar.
Sayfa oluşturulma tarihi: 2016-02-12

İlk kez 7. sınıf cebir dersinde tanışmıştık. Fonksiyonun grafiğine bakarak ilgili bilgiyi aldık: eğer grafik boyunca soldan sağa doğru hareket edersek, aynı zamanda aşağıdan yukarıya doğru hareket edersek (sanki bir tepeye tırmanıyormuş gibi), o zaman fonksiyonu şöyle ilan ederiz: artıyor (Şekil 124); yukarıdan aşağıya doğru hareket edersek (bir tepeden aşağı inersek), o zaman fonksiyonun azalan olduğunu ilan etmiş oluruz (Şekil 125).

Ancak matematikçiler bir fonksiyonun özelliklerini incelemeye yönelik bu yöntemden pek hoşlanmıyorlar. Kavram tanımlarının bir çizime dayandırılmaması gerektiğine inanıyorlar; çizim, bir fonksiyonun yalnızca şu veya bu özelliğini kendi üzerinde göstermelidir. grafikler. Artan ve azalan fonksiyon kavramlarının kesin tanımlarını verelim.

Tanım 1. y = f(x) fonksiyonunun, x 1 eşitsizliğinden itibaren X aralığında arttığı söylenir.< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Tanım 2. Eşitsizlik x 1 ise, y = f(x) fonksiyonunun X aralığında azalan olduğu söylenir.< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует eşitsizlik f(x 1) > f(x 2).

Pratikte aşağıdaki formülasyonları kullanmak daha uygundur:

argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geliyorsa, bir fonksiyon artar;
argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geliyorsa, bir fonksiyon azalır.

Bu tanımları ve § 33'te belirlenen özellikleri kullanmak sayısal eşitsizlikler, daha önce incelenen fonksiyonların artması veya azalmasıyla ilgili sonuçların gerekçesini verebileceğiz.

1. Doğrusal fonksiyon y = kx +m

Eğer k > 0 ise fonksiyon baştan sona artar (Şekil 126); eğer k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Kanıt. f(x) = kx +m olsun. Eğer x 1 ise< х 2 и k >Oh, o halde, 3 sayısal eşitsizliğin özelliğine göre (bkz. § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Yani x 1 eşitsizliğinden< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. doğrusal fonksiyonlar y = kx+ m.

Eğer x 1 ise< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 ve özellik 2'ye göre kx 1 > kx 2'den şu sonuç çıkar: kx 1 + m> kx 2 + yani.

Yani x 1 eşitsizliğinden< х 2 следует, что f(х 1) >f(x2). Bu, y = f(x) fonksiyonunda bir azalma anlamına gelir, yani. doğrusal fonksiyon y = kx + m.

Bir fonksiyon tüm tanım alanı boyunca artarsa ​​(azalırsa), aralığı belirtmeden artan (azalan) olarak adlandırılabilir. Örneğin y = 2x - 3 fonksiyonu hakkında tüm sayı doğrusu boyunca arttığını söyleyebiliriz ama daha kısaca da söyleyebiliriz: y = 2x - 3 - artıyor
işlev.

2. Fonksiyon y = x2

1. Işın üzerinde y = x 2 fonksiyonunu düşünün. Pozitif olmayan iki sayı x 1 ve x 2'yi öyle alalım ki x 1 olsun< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. - x 1 ve - x 2 sayıları negatif olmadığından, son eşitsizliğin her iki tarafının karesini alarak aynı anlama sahip bir (-x 1) 2 > (-x 2) 2 eşitsizliği elde ederiz, yani. Bu, f(x 1) > f(x 2) anlamına gelir.

Yani x 1 eşitsizliğinden< х 2 следует, что f(х 1) >f(x2).

Bu nedenle ışın üzerinde y = x 2 fonksiyonu azalır (- 00, 0] (Şekil 128).

1. (0, +00) aralığında bir fonksiyon düşünün.
x1 olsun< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x2).

Yani x 1 eşitsizliğinden< х 2 следует, что f(x 1) >f(x2). Bu, açık ışında (0, +00) fonksiyonun azaldığı anlamına gelir (Şekil 129).

2. (-oo, 0) aralığında bir fonksiyon düşünün. x 1 olsun< х 2 , х 1 и х 2 - negatif sayılar. O halde - x 1 > - x 2 ve son eşitsizliğin her iki tarafı da pozitif sayılardır ve bu nedenle (yine § 33'teki örnek 1'de kanıtlanmış eşitsizliği kullandık). Sonra nereden geleceğimiz var.

Yani x 1 eşitsizliğinden< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) yani açık ışında fonksiyon azalır (- 00, 0)

Genellikle "artan fonksiyon" ve "azalan fonksiyon" terimleri birleştirilir yaygın isim monoton bir fonksiyondur ve bir fonksiyonun artan ve azalan yöndeki çalışmasına monotonluk açısından çalışan bir fonksiyon denir.

Çözüm.

1) y = 2x2 fonksiyonunun grafiğini çizelim ve bu parabolün x noktasındaki dalını alalım.< 0 (рис. 130).

2) Segment üzerindeki parçasını oluşturun ve seçin (Şek. 131).

3) Bir hiperbol oluşturalım ve bunun açık ışın (4, +00) üzerindeki kısmını seçelim (Şekil 132).
4) Üç "parçayı" tek bir koordinat sisteminde gösterelim - bu, y = f(x) fonksiyonunun grafiğidir (Şekil 133).

y = f(x) fonksiyonunun grafiğini okuyalım.

1. Fonksiyonun tanım alanı sayı doğrusunun tamamıdır.

2. x = 0'da y = 0; x > 0 için y > 0.

3. Fonksiyon ışın üzerinde azalır (-oo, 0], parça üzerinde artar, ışın üzerinde azalır, parça üzerinde yukarı doğru dışbükey, ışın üzerinde aşağı doğru dışbükeydir)