Üstel denklemlerin çözümü. Örnekler. İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri

Üstel denklemlerin çözümü. Örnekler.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Ne oldu üstel denklem? Bu, bilinmeyenlerin (x'ler) ve onlarla ifadelerin yer aldığı bir denklemdir. göstergeler bazı dereceler. Ve sadece orada! Bu önemli.

İşte buradasın örnekler üstel denklemler :

3 x 2 x = 8 x+3

Not! Derece bazında (aşağıda) - Sadece sayılar. İÇİNDE göstergeler derece (yukarıda) - X'li çok çeşitli ifadeler. Aniden denklemde gösterge dışında bir yerde bir X belirirse, örneğin:

bu bir denklem olacak karışık tip. Bu tür denklemlerin çözümü için açık kurallar yoktur. Şimdilik bunları dikkate almayacağız. Burada ilgileneceğiz üstel denklemleri çözme en saf haliyle.

Aslında saf üstel denklemler bile her zaman net bir şekilde çözülmeyebilir. Ancak çözülebilecek ve çözülmesi gereken belirli türde üstel denklemler vardır. Bunlar ele alacağımız türler.

Basit üstel denklemlerin çözümü.

Öncelikle çok basit bir şeyi çözelim. Örneğin:

Herhangi bir teori olmadan bile basit seçimle x = 2 olduğu açıktır. Başka bir şey yok, değil mi? X'in başka hiçbir değeri işe yaramaz. Şimdi bu zorlu üstel denklemin çözümüne bakalım:

Ne yaptık? Aslında onu çöpe attık aynı gerekçeler(üçlü). Tamamen dışarı atıldı. Ve iyi haber şu ki, çiviyi kafamıza vurduk!

Aslında üstel bir denklemde sol ve sağ varsa aynısı Herhangi bir kuvvetteki sayılar, bu sayılar kaldırılabilir ve üsler eşitlenebilir. Matematik izin verir. Geriye çok daha basit bir denklemi çözmek kalıyor. Harika, değil mi?)

Ancak şunu kesin olarak hatırlayalım: Bazları ancak soldaki ve sağdaki baz numaraları muhteşem bir izolasyonda olduğunda kaldırabilirsiniz! Herhangi bir komşu ve katsayı olmadan. Denklemlerde şunu söyleyelim:

2 x +2 x+1 = 2 3 veya

ikili kaldırılamaz!

En önemli konuda ustalaştık. Kötü üstel ifadelerden daha basit denklemlere nasıl geçilir?

"Bu zamanlar!" - diyorsun. “Testler ve sınavlarla ilgili bu kadar ilkel bir dersi kim verir ki!?”

Katılıyorum. Kimse yapmaz. Ancak artık zorlu örnekleri çözerken nereye nişan almanız gerektiğini biliyorsunuz. Sağda ve solda aynı taban numarasının olacağı forma getirilmesi gerekmektedir. O zaman her şey daha kolay olacak. Aslında bu bir matematik klasiğidir. Orjinal örneği alıp istenilen şekle dönüştürüyoruz biz akıl. Elbette matematik kurallarına göre.

En basitine indirgemek için biraz daha çaba gerektiren örneklere bakalım. Onları arayalım basit üstel denklemler.

Basit üstel denklemlerin çözümü. Örnekler.

Üstel denklemleri çözerken ana kurallar şunlardır: dereceleri olan eylemler. Bu eylemlerin bilgisi olmadan hiçbir şey işe yaramaz.

Dereceli eylemlere kişisel gözlem ve yaratıcılık eklenmelidir. Aynı taban sayılarına mı ihtiyacımız var? Bu yüzden bunları örnekte açık veya şifreli biçimde arıyoruz.

Bakalım bu pratikte nasıl yapılıyor?

Bir örnek verelim:

2 2x - 8x+1 = 0

İlk keskin bakış gerekçesiyle. Onlar... Onlar farklı! İki ve sekiz. Ama cesaretinizi kırmak için henüz çok erken. Bunu hatırlamanın zamanı geldi

İki ile sekiz derece bakımından akrabadır.) Şöyle yazmak pekâlâ mümkündür:

8 x+1 = (2 3) x+1

Formülü dereceli işlemlerden hatırlarsak:

(bir n) m = bir nm,

bu harika sonuç veriyor:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Orijinal örnek şöyle görünmeye başladı:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Transfer ediyoruz 2 3 (x+1) sağda (hiç kimse matematiğin temel işlemlerini iptal etmedi!), şunu elde ederiz:

2 2x = 2 3(x+1)

Neredeyse hepsi bu. Bazların çıkarılması:

Bu canavarı çözeriz ve alırız

Bu doğru cevap.

Bu örnekte ikinin kuvvetlerini bilmek bize yardımcı oldu. Biz tanımlanmış sekizde şifrelenmiş iki tane var. Bu teknik (ortak zeminlerin şifrelenmesi) farklı sayılar) üstel denklemlerde çok popüler bir tekniktir! Evet, logaritmalarda da. Sayılardaki diğer sayıların kuvvetlerini tanıyabilmeniz gerekir. Üstel denklemlerin çözümü için bu son derece önemlidir.

Gerçek şu ki, herhangi bir sayıyı herhangi bir kuvvete yükseltmek sorun değil. Kağıt üzerinde bile çoğaltın, hepsi bu. Örneğin herkes 3'ün beşinci kuvvetine ulaşabilir. Çarpım tablosunu biliyorsanız 243 işe yarayacaktır.) Ancak üstel denklemlerde çoğu zaman bir kuvvete ulaşmak gerekli değildir, tam tersi... Öğrenin hangi sayı ne dereceye kadar 243 veya 343 sayısının arkasında gizlidir... Burada hiçbir hesap makinesi size yardımcı olamaz.

Bazı sayıların kuvvetlerini görerek bilmeniz gerekir değil mi... Hadi pratik yapalım mı?

Sayıların hangi güçlere ve hangi sayılara sahip olduğunu belirleyin:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Cevaplar (elbette bir karmaşa içinde!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Yakından bakarsanız görebilirsiniz garip gerçek. Görevlerden çok daha fazla cevap var! Öyle oluyor... Örneğin, 2 6, 4 3, 8 2 - hepsi 64.

Sayılarla ilgili bilgileri not aldığınızı varsayalım.) Üstel denklemleri çözmek için kullandığımızı da hatırlatayım. Tümü matematiksel bilgi birikimi. Orta ve orta sınıftan olanlar da dahil. Doğrudan liseye gitmedin, değil mi?)

Örneğin, üstel denklemleri çözerken, ortak çarpanı parantez dışında bırakmak çoğu zaman yardımcı olur (7. sınıfa merhaba!). Bir örneğe bakalım:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Ve yine ilk bakış temellerde! Derecelerin tabanları farklıdır... Üç ve dokuz. Ama biz onların aynı olmasını istiyoruz. Peki, bu durumda arzu tamamen yerine getirildi!) Çünkü:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Derecelerle ilgilenirken aynı kuralları kullanmak:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Bu harika, yazabilirsiniz:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Aynı nedenlerle bir örnek verdik. Peki sırada ne var? Üçlü atamazsın... Çıkmaz sokak mı?

Hiç de bile. En evrensel ve güçlü karar kuralını hatırlayın herkes matematik görevleri:

Neye ihtiyacınız olduğunu bilmiyorsanız elinizden geleni yapın!

Bak, her şey yoluna girecek).

Bu üstel denklemde ne var? Olabilmek Yapmak? Evet, sol tarafta parantezlerin dışına çıkmak için yalvarıyor! 3 2x'lik genel çarpan bunu açıkça ima ediyor. Deneyelim, sonra göreceğiz:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Örnek giderek daha iyi hale geliyor!

Temelleri ortadan kaldırmak için herhangi bir katsayı olmaksızın saf bir dereceye ihtiyacımız olduğunu hatırlıyoruz. 70 sayısı bizi rahatsız ediyor. Denklemin her iki tarafını da 70'e bölersek şunu elde ederiz:

Hata! Her şey daha iyi oldu!

Bu son cevaptır.

Ancak aynı temelde taksilemenin de sağlandığı ancak bunların ortadan kaldırılmasının mümkün olmadığı durumlar da vardır. Bu, diğer üstel denklem türlerinde de olur. Bu türe hakim olalım.

Üstel denklemlerin çözümünde bir değişkenin değiştirilmesi. Örnekler.

Denklemi çözelim:

4 x - 3 2 x +2 = 0

İlk olarak - her zamanki gibi. Bir üsse geçelim. Bir ikiliye.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Denklemi elde ederiz:

2 2x - 3 2x +2 = 0

Ve burası da takıldığımız yer. Nasıl bakarsanız bakın, önceki teknikler işe yaramayacaktır. Cephaneliğimizden başka bir güçlü ve evrensel yöntem çıkarmamız gerekecek. Buna denir değişken değiştirme.

Yöntemin özü şaşırtıcı derecede basittir. Bir karmaşık simge yerine (bizim durumumuzda - 2 x), daha basit bir tane daha yazıyoruz (örneğin - t). Görünüşte anlamsız bir değişim harika sonuçlara yol açıyor!) Her şey netleşiyor ve anlaşılır hale geliyor!

Öyleyse izin ver

O zaman 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Denklemimizde tüm kuvvetleri x ve t ile değiştiriyoruz:

Peki, aklına geldi mi?) İkinci dereceden denklemleri henüz unuttun mu? Diskriminant yoluyla çözerek şunu elde ederiz:

Burada asıl önemli olan durmamak, olduğu gibi... Henüz cevap bu değil, x'e ihtiyacımız var, t'ye değil. X'lere dönelim, yani. ters değiştirme yapıyoruz. İlk olarak t 1 için:

Yani,

Bir kök bulundu. T 2'den ikincisini arıyoruz:

Hm... 2 x solda, 1 x sağda... Sorun mu var? Hiç de bile! Bir birimin (güçlü operasyonlardan, evet...) hatırlanması yeterlidir. herhangi sayının sıfır kuvveti. Herhangi. Ne gerekiyorsa onu yerleştireceğiz. İkiye ihtiyacımız var. Araç:

Artık bu kadar. 2 kökümüz var:

Cevap bu.

Şu tarihte: üstel denklemleri çözme sonunda bazen tuhaf bir ifadeyle karşılaşıyorsunuz. Tip:

Yedi, basit bir kuvvetle ikiye dönüştürülemez. Akraba değiller... Nasıl olabiliriz? Birisinin kafası karışmış olabilir... Ama bu sitede "Logaritma nedir?" konusunu okuyan kişi. , sadece idareli bir şekilde gülümsüyor ve kararlı bir el ile kesinlikle doğru cevabı yazıyor:

Birleşik Devlet Sınavında “B” görevlerinde böyle bir cevap olamaz. Orada belirli bir sayı gerekiyor. Ancak “C” görevlerinde bu kolaydır.

Bu ders en yaygın üstel denklemlerin çözümüne ilişkin örnekler sağlar. Ana noktaları vurgulayalım.

Pratik tavsiye:

1. Öncelikle şuna bakıyoruz: zemin derece. Bunları yapmanın mümkün olup olmadığını merak ediyoruz birebir aynı. Bunu aktif olarak kullanarak yapmaya çalışalım. dereceleri olan eylemler. X'siz sayıların da üssüne dönüştürülebileceğini unutmayın!

2. Üstel denklemi solda ve sağda iken forma getirmeye çalışıyoruz. aynısı herhangi bir kuvvetteki sayılar. Kullanırız dereceli eylemler Ve çarpanlara ayırma. Sayılarla sayılabilenleri sayarız.

3. İkinci ipucu işe yaramazsa değişken değiştirmeyi deneyin. Sonuç kolayca çözülebilecek bir denklem olabilir. Çoğu zaman - kare. Veya kesirli, bu da kareye indirgenir.

4. Üstel denklemleri başarılı bir şekilde çözmek için bazı sayıların kuvvetlerini görsel olarak bilmeniz gerekir.

Her zamanki gibi dersin sonunda biraz karar vermeye davetlisiniz.) Kendi başınıza. Basitten karmaşığa.

Üstel denklemleri çözün:

Daha zor:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Köklerin çarpımını bulun:

2 3'ler + 2 x = 9

Olmuş?

O halde çok karmaşık bir örnek (gerçi akılda çözülebilir...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Daha ilginç olan ne? O zaman işte sana kötü örnek. Artan zorluk açısından oldukça cazip. Bu örnekte sizi kurtaracak şeyin yaratıcılık ve tüm matematik problemlerini çözmenin en evrensel kuralı olduğunu belirteyim.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Rahatlamak için daha basit bir örnek):

9 2 x - 4 3 x = 0

Tatlı olarak da. Denklemin köklerinin toplamını bulun:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Evet evet! Bu karma tipte bir denklemdir! Bu derste bunu dikkate almadık. Neden bunları düşünelim, çözülmeleri gerekiyor!) Bu ders denklemi çözmek için oldukça yeterli. Peki, yaratıcılığa ihtiyacın var... Ve yedinci sınıf sana yardım etsin (bu bir ipucu!).

Cevaplar (dağınık, noktalı virgülle ayrılmış):

1; 2; 3; 4; hiçbir çözüm yok; 2; -2; -5; 4; 0.

Her şey başarılı mı? Harika.

Bir problem var? Sorun değil! Özel Bölüm 555'te tüm bu üstel denklemler şu şekilde çözülür: detaylı açıklamalar. Ne, neden ve neden. Ve elbette her türlü üstel denklemle çalışmaya ilişkin değerli ek bilgiler de var. Sadece bunlar değil.)

Düşünülmesi gereken son eğlenceli soru. Bu dersimizde üstel denklemlerle çalıştık. Neden burada ODZ hakkında tek kelime etmedim? Denklemlerde bu çok önemli bir şey bu arada...

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

İkinci dereceden denklemler.

İkinci dereceden denklem- genel formun cebirsel denklemi

burada x serbest bir değişkendir,

a, b, c katsayılardır ve

İfade kare trinomial denir.

İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri.

1. YÖNTEM : Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayırmak.

Denklemi çözelim x 2 + 10x - 24 = 0. Sol tarafı çarpanlarına ayıralım:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Bu nedenle denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

(x + 12)(x - 2) = 0

Çarpım sıfıra eşit olduğundan, faktörlerinden en az biri sıfıra eşit. Bu nedenle denklemin sol tarafı sıfır olur. x = 2 ve ayrıca ne zaman x = - 12. Bu şu anlama gelir: sayı 2 Ve - 12 denklemin kökleri x 2 + 10x - 24 = 0.

2. YÖNTEM : Tam bir kare seçme yöntemi.

Denklemi çözelim x 2 + 6x - 7 = 0. Sol taraftan seçin mükemmel kare.

Bunu yapmak için x 2 + 6x ifadesini aşağıdaki biçimde yazıyoruz:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

Ortaya çıkan ifadede, ilk terim x sayısının karesi, ikincisi ise x'in 3'ün iki katı çarpımıdır. Bu nedenle tam bir kare elde etmek için 3 2 eklemeniz gerekir, çünkü

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

Şimdi denklemin sol tarafını dönüştürelim

x 2 + 6x - 7 = 0,

buna ekleme ve çıkarma 3 2. Sahibiz:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Böylece bu denklem şu şekilde yazılabilir:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Buradan, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 veya x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. YÖNTEM :Formülü kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözme.

Denklemin her iki tarafını da çarpalım

balta 2 + bx + c = 0, a ≠ 0

4a'da ve sırayla elimizde:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Örnekler.

A) Denklemi çözelim: 4x2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, iki farklı kök;

Dolayısıyla, pozitif ayrımcılık durumunda, ör. en

b 2 - 4ac >0, denklem balta 2 + bx + c = 0 iki farklı kökü vardır.

B) Denklemi çözelim: 4x2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, bir kök;

Yani eğer diskriminant sıfır ise; b 2 - 4ac = 0, o zaman denklem

balta 2 + bx + c = 0 tek bir kökü var

V) Denklemi çözelim: 2x2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Bu denklemin kökleri yoktur.

Yani eğer diskriminant negatifse, yani. b 2 - 4ac< 0 , denklem

balta 2 + bx + c = 0 kökleri yoktur.

İkinci dereceden bir denklemin köklerinin formülü (1) balta 2 + bx + c = 0 kökleri bulmanızı sağlar herhangi indirgenmiş ve eksik dahil ikinci dereceden denklem (varsa). Formül (1) sözlü olarak şu şekilde ifade edilir: ikinci dereceden bir denklemin kökleri, payı, ters işaretle alınan ikinci katsayıya eşit olan bir kesire eşittir, artı eksi bu katsayının karesinin karekökü, birinci katsayının çarpımının serbest terimle dört katına çıkmadan ve payda birinci katsayının iki katıdır.

4. YÖNTEM: Vieta teoremini kullanarak denklemleri çözme.

Bilindiği gibi indirgenmiş ikinci dereceden denklem şu şekildedir:

x 2 + piksel + c = 0.(1)

Kökleri Vieta teoremini karşılıyor; bir =1 benziyor

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Bundan aşağıdaki sonuçları çıkarabiliriz (p ve q katsayılarından köklerin işaretlerini tahmin edebiliriz).

a) Yarı üye ise Q verilen denklem (1) pozitiftir ( q > 0), bu durumda denklemin eşit işaretli iki kökü vardır ve bu ikinci katsayıya bağlıdır P. Eğer R< 0 ise her iki kök de negatiftir R< 0 ise her iki kök de pozitiftir.

Örneğin,

x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 Ve x2 = 1,Çünkü q = 2 > 0 Ve p = - 3< 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 Ve x 2 = - 1,Çünkü q = 7 > 0 Ve p= 8 > 0.

b) Serbest üye ise Q verilen denklem (1) negatiftir ( Q< 0 ), bu durumda denklemin farklı işaretli iki kökü vardır ve büyük kök pozitif olacaktır: P< 0 , veya negatif ise p > 0 .

Örneğin,

x2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 Ve x2 = 1,Çünkü q= - 5< 0 Ve p = 4 > 0;

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 Ve x 2 = - 1,Çünkü q = - 9< 0 Ve p = - 8< 0.

Örnekler.

1) Denklemi çözelim 345x2 – 137x –208 = 0.

Çözüm.Çünkü a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), O

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Cevap 1; -208/345.

2) Denklemi çözün 132x2 – 247x + 115 = 0.

Çözüm.Çünkü a + b + c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), O

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Cevap 1; 115/132.

B. İkinci katsayı ise b = 2k– çift ​​sayı, ardından kök formülü

Örnek.

Denklemi çözelim 3x2 - 14x + 16 = 0.

Çözüm. Sahibiz: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, iki farklı kök;

Cevap: 2; 8/3

İÇİNDE. İndirgenmiş denklem

x 2 + piksel + q= 0

genel bir denklemle örtüşür; bir = 1, b = p Ve c = q. Bu nedenle, indirgenmiş ikinci dereceden denklem için kök formül şu şekildedir:

Şekli alır:

Formül (3)'ün kullanımı özellikle aşağıdaki durumlarda uygundur: R- çift sayı.

Örnek. Denklemi çözelim x 2 – 14x – 15 = 0.

Çözüm. Sahibiz: x 1,2 =7±

Cevap: x 1 = 15; x2 = -1.

5. YÖNTEM: Denklemlerin grafiksel çözümü.

Örnek. x2 - 2x - 3 = 0 denklemini çözün.

y = x2 - 2x - 3 fonksiyonunun grafiğini çizelim

1) Elimizde: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4. Bu, parabolün tepe noktasının (1; -4) noktası olduğu ve parabolün ekseninin x = 1 düz çizgisi olduğu anlamına gelir.

2) X ekseni üzerinde parabolün eksenine göre simetrik olan iki noktayı alın, örneğin x = -1 ve x = 3 noktaları.

f(-1) = f(3) = 0 elde ederiz. Koordinat düzleminde (-1; 0) ve (3; 0) noktalarını oluşturalım.

3) (-1; 0), (1; -4), (3; 0) noktalarından bir parabol çiziyoruz (Şekil 68).

x2 - 2x - 3 = 0 denkleminin kökleri, parabolün x ekseni ile kesişme noktalarının apsisleridir; Bu, denklemin köklerinin şöyle olduğu anlamına gelir: x1 = - 1, x2 - 3.

Talimatlar

Yerine Koyma Yöntemi Bir değişkeni ifade edin ve onu başka bir denklemde değiştirin. Herhangi bir değişkeni kendi takdirinize bağlı olarak ifade edebilirsiniz. Örneğin, ikinci denklemden y'yi ifade edin:
x-y=2 => y=x-2Daha sonra her şeyi ilk denklemde yerine koyun:
2x+(x-2)=10 “x” olmayan her şeyi sağ tarafa taşıyın ve hesaplayın:
2x+x=10+2
3x=12 Daha sonra x'i elde etmek için denklemin her iki tarafını da 3'e bölün:
x=4. Yani “x”i buldunuz. "Y"yi bulun. Bunu yapmak için, "y"yi ifade ettiğiniz denklemde "x"i değiştirin:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Bir kontrol yapın. Bunu yapmak için ortaya çıkan değerleri denklemlerde değiştirin:
2*4+2=10
4-2=2
Bilinmeyenler doğru şekilde bulundu!

Denklemleri toplamanın veya çıkarmanın bir yolu Herhangi bir değişkenden hemen kurtulun. Bizim durumumuzda bunu “y” ile yapmak daha kolaydır.
"Y"de "+" işareti ve ikincisinde "-" olduğundan, toplama işlemini gerçekleştirebilirsiniz, yani. Sol tarafı solla ve sağ tarafı sağla katlayın:
2x+y+(x-y)=10+2Dönüştür:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4“x”i herhangi bir denklemde yerine koyun ve “y”yi bulun:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=21. yöntemle doğru bulunduklarını görebilirsiniz.

Açıkça tanımlanmış değişkenler yoksa denklemleri biraz dönüştürmek gerekir.
İlk denklemde "2x", ikincisinde ise sadece "x" var. Toplama sırasında x'in azalması için ikinci denklemi 2 ile çarpın:
x-y=2
2x-2y=4Daha sonra ikinciyi birinci denklemden çıkarın:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Parantezden önce bir eksi varsa, açtıktan sonra bunu tersiyle değiştirin:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
herhangi bir denklemden ifade ederek y=2x'i bulun;
x=4

Konuyla ilgili video

İpucu 2: İki değişkenli bir doğrusal denklem nasıl çözülür?

Denklem ax+bу+c=0 genel formuyla yazılan denkleme iki denklemli doğrusal denklem denir. değişkenler. Böyle bir denklemin kendisi sonsuz sayıda çözüm içerir, bu nedenle problemlerde her zaman bir şeyle desteklenir - başka bir denklem veya sınırlayıcı koşullar. Problemin sağladığı koşullara bağlı olarak iki denklemli bir doğrusal denklemi çözün. değişkenler meli Farklı yollar.

İhtiyacın olacak

• - iki değişkenli doğrusal denklem;
• - ikinci denklem veya ek koşullar.

Talimatlar

İki doğrusal denklem sistemi verildiğinde, bunu aşağıdaki şekilde çözün. Katsayıların olduğu denklemlerden birini seçin değişkenler daha küçüktür ve değişkenlerden birini ifade eder, örneğin x. Daha sonra y'yi içeren bu değeri ikinci denklemde yerine koyun. Ortaya çıkan denklemde yalnızca bir y değişkeni olacak, y olan tüm parçaları sola, serbest olanları sağa taşıyın. Y'yi bulun ve x'i bulmak için orijinal denklemlerden herhangi birinin yerine koyun.

İki denklemli bir sistemi çözmenin başka bir yolu var. Denklemlerden birini bir sayıyla çarpın, böylece x gibi değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olur. Daha sonra denklemlerden birini diğerinden çıkarın (eğer sağ taraf 0 değilse, sağ tarafları da aynı şekilde çıkarmayı unutmayın). X değişkeninin ortadan kaybolduğunu ve yalnızca bir y değişkeninin kaldığını göreceksiniz. Ortaya çıkan denklemi çözün ve y'nin bulunan değerini orijinal eşitliklerden herhangi birinin yerine koyun. x'i bulun.

İki doğrusal denklem sistemini çözmenin üçüncü yolu grafikseldir. Bir koordinat sistemi çiziniz ve denklemleri sisteminizde verilen iki doğrunun grafiğini çiziniz. Bunu yapmak için, herhangi iki x değerini denklemde değiştirin ve karşılık gelen y'yi bulun - bunlar, çizgiye ait noktaların koordinatları olacaktır. Koordinat eksenleriyle kesişimi bulmanın en uygun yolu, x=0 ve y=0 değerlerini değiştirmektir. Bu iki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları görevler olacaktır.

Sorun koşullarında yalnızca bir doğrusal denklem varsa, o zaman size çözüm bulabileceğiniz ek koşullar verilmiştir. Bu koşulları bulmak için sorunu dikkatlice okuyun. Eğer değişkenler x ve y mesafeyi, hızı ve ağırlığı belirtir; x≥0 ve y≥0 sınırını ayarlamaktan çekinmeyin. X veya y'nin elma sayısını vb. gizlemesi oldukça mümkündür. – o zaman değerler yalnızca olabilir. Eğer x oğlunun yaşı ise babasından büyük olamayacağı açıktır, dolayısıyla bunu problemin koşullarında belirtin.

Kaynaklar:

• tek değişkenli denklem nasıl çözülür

Kendi kendine denklemüç ile Bilinmeyen birçok çözümü vardır, bu nedenle çoğu zaman iki denklem veya koşulla desteklenir. İlk verilerin ne olduğuna bağlı olarak kararın gidişatı büyük ölçüde bağlı olacaktır.

İhtiyacın olacak

• - üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem.

Talimatlar

Üç sistemden ikisinde üç bilinmeyenden yalnızca ikisi varsa, bazı değişkenleri diğerleri cinsinden ifade etmeye çalışın ve bunları yerine koyun. denklemüç ile Bilinmeyen. Bu durumda amacınız durumu normale dönüştürmektir. denklem bilinmeyen bir kişiyle. Eğer öyleyse, sonraki çözüm oldukça basittir; bulunan değeri diğer denklemlerde yerine koyun ve diğer tüm bilinmeyenleri bulun.

Bazı denklem sistemleri bir denklemden diğerine çıkarılabilir. İki bilinmeyenin aynı anda iptal edilmesi için bir değişkeni veya bir değişkeni çarpmanın mümkün olup olmadığına bakın. Böyle bir fırsat varsa, bundan yararlanın, büyük olasılıkla sonraki çözüm zor olmayacaktır. Bir sayıyla çarparken hem sol hem de sağ tarafı çarpmanız gerektiğini unutmayın. Aynı şekilde denklemlerde çıkarma işlemi yaparken sağ tarafın da çıkarılması gerektiğini unutmamalısınız.

Önceki yöntemler yardımcı olmadıysa, şunu kullanın: genel anlamdaÜçlü herhangi bir denklemin çözümleri Bilinmeyen. Bunu yapmak için denklemleri a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 biçiminde yeniden yazın. Şimdi x için bir katsayılar matrisi (A), bilinmeyenler matrisi (X) ve serbest olanlardan oluşan bir matris (B) oluşturun. Katsayılar matrisini bilinmeyenler matrisiyle çarptığınızda, serbest terimler matrisini, yani A*X=B elde edeceğinizi lütfen unutmayın.

Önce A matrisinin (-1) üssünü bulun, sıfıra eşit olmaması gerektiğine dikkat edin. Bundan sonra, ortaya çıkan matrisi B matrisiyle çarpın, sonuç olarak tüm değerleri gösteren istenen X matrisini alacaksınız.

Cramer yöntemini kullanarak üç denklemli bir sistemin çözümünü de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için sistem matrisine karşılık gelen üçüncü dereceden determinantı ∆ bulun. Daha sonra karşılık gelen sütunların değerleri yerine serbest terimlerin değerlerini değiştirerek art arda üç determinant daha bulun: ∆1, ∆2 ve ∆3. Şimdi x'i bulun: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Kaynaklar:

• üç bilinmeyenli denklemlerin çözümleri

Bir denklem sistemini çözmek zorlu ve heyecan vericidir. Sistem ne kadar karmaşıksa çözülmesi de o kadar ilginç olur. Çoğu zaman matematikte lise iki bilinmeyenli denklem sistemleri vardır, ancak yüksek Matematik daha fazla değişken olabilir. Sistemler çeşitli yöntemler kullanılarak çözülebilir.

Talimatlar

Bir denklem sistemini çözmenin en yaygın yöntemi ikamedir. Bunu yapmak için bir değişkeni diğerine göre ifade etmeniz ve onu ikincinin yerine koymanız gerekir. denklem sistemler, dolayısıyla lider denklem bir değişkene. Örneğin şu denklemler verilmiştir: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

İkinci ifadeden, değişkenlerden birini ifade etmek, diğer her şeyi ifadenin sağ tarafına taşımak, katsayının işaretini değiştirmeyi unutmamak uygundur: x = 3-y.

Parantezleri açın: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Ortaya çıkan y değerini şu ifadeye koyarız: x=3-y;x=3-1;x=2 .

İlk ifadede tüm terimler 2'dir, çarpma işleminin dağılma özelliğine 2'yi parantez dışına alabilirsiniz: 2*(2x-y-3)=0. Artık ifadenin her iki kısmı da bu sayı kadar azaltılabilir ve modül katsayısı bire eşit olduğundan y olarak ifade edilebilir: -y = 3-2x veya y = 2x-3.

İlk durumda olduğu gibi, bu ifadeyi ikinci durumda değiştiriyoruz. denklem ve şunu elde ederiz: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Ortaya çıkan değeri ifadede değiştirin: y=2x -3;y=4-3=1.

Y'nin katsayısının değer olarak aynı, işaret olarak farklı olduğunu görüyoruz, dolayısıyla bu denklemleri toplarsak y'den tamamen kurtulacağız: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 7x- 14=0; x=2. X değerini sistemin iki denkleminden herhangi birinde yerine koyarsak y=1 elde ederiz.

Konuyla ilgili video

Biquadratic denklem temsil etmek denklem dördüncü derece, Genel form ax^4 + bx^2 + c = 0 ifadesiyle temsil edilir. Çözümü, bilinmeyenlerin ikamesi yönteminin kullanımına dayanmaktadır. Bu durumda x^2'nin yerini başka bir değişken alır. Böylece sonuç sıradan bir karedir denklemçözülmesi gereken bir konu.

Talimatlar

İkinci dereceden denklemi çöz denklem değiştirilmesinden kaynaklanmaktadır. Bunu yapmak için önce değeri şu formüle göre hesaplayın: D = b^2? 4ac. Bu durumda a, b, c değişkenleri denklemimizin katsayılarıdır.

Biquadratic denklemin köklerini bulun. Bunu yapmak için elde edilen çözümlerin karekökünü alın. Bir çözüm varsa, o zaman iki tane olacaktır - olumlu ve olumsuz anlam kare kök. Eğer iki çözüm varsa, iki ikinci dereceden denklemin dört kökü olacaktır.

Konuyla ilgili video

Biri klasik yöntemler Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü Gauss yöntemidir. Basit dönüşümler kullanan bir denklem sistemi, son değişkenlerden başlayarak tüm değişkenlerin sırayla bulunduğu adım adım bir sisteme dönüştürüldüğünde, değişkenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılmasından oluşur.

Talimatlar

İlk olarak denklem sistemini tüm bilinmeyenlerin kesin olarak tanımlanmış bir düzende olacağı bir forma getirin. Örneğin, tüm bilinmeyen X'ler her satırda ilk önce görünecek, tüm Y'ler X'lerden sonra gelecek, tüm Z'ler Y'lerden sonra gelecek, vb. Her denklemin sağ tarafında bilinmeyen olmamalıdır. Her bilinmeyenin önündeki katsayıları ve her denklemin sağ tarafındaki katsayıları zihinsel olarak belirleyin.

Başvuru

Öğrenciler ve okul çocukları için çalışılan materyali pekiştirmek için sitede her türlü denklemi çevrimiçi çözme. Denklemler çevrimiçi. Cebirsel, parametrik, transandantal, fonksiyonel, diferansiyel ve diğer denklem türleri vardır.Bazı denklem sınıflarının analitik çözümleri vardır ve bunlar yalnızca kökün tam değerini vermekle kalmayıp aynı zamanda çözümü denklemde yazmanıza da olanak tanıdığı için kullanışlıdır. parametreleri içerebilen bir formül biçimi. Analitik ifadeler sadece kökleri hesaplamaya değil, aynı zamanda parametre değerlerine bağlı olarak bunların varlığını ve miktarını da analiz etmeye olanak sağlar ki bu genellikle daha da önemlidir. pratik uygulama köklerin belirli değerlerinden daha fazla. Denklemleri çevrimiçi çözme. Çevrimiçi denklemler. Bir denklemi çözmek, bu eşitliğin sağlandığı argümanların bu tür değerlerini bulma görevidir. Argümanların olası değerlerine ek koşullar (tam sayı, gerçek vb.) getirilebilir. Denklemleri çevrimiçi çözme. Çevrimiçi denklemler. Denklemi çevrimiçi olarak anında ve yüksek doğrulukla çözebilirsiniz. Belirtilen işlevlere (bazen "değişkenler" olarak da adlandırılır) ilişkin argümanlara, bir denklem durumunda "bilinmeyenler" adı verilir. Bu eşitliğin sağlandığı bilinmeyenlerin değerlerine bu denklemin çözümleri veya kökleri denir. Köklerin bu denklemi sağladığı söylenir. Bir denklemi çevrimiçi çözmek, tüm çözümlerinin (köklerinin) kümesini bulmak veya köklerin olmadığını kanıtlamak anlamına gelir. Denklemleri çevrimiçi çözme. Çevrimiçi denklemler. Kök kümeleri çakışan denklemlere eşdeğer veya eşit denir. Kökleri olmayan denklemler de eşdeğer kabul edilir. Denklemlerin eşdeğerliği simetri özelliğine sahiptir: eğer bir denklem diğerine eşdeğerse, ikinci denklem birinciye eşdeğerdir. Denklemlerin eşdeğerliği geçişlilik özelliğine sahiptir: eğer bir denklem diğerine eşdeğerse ve ikincisi üçüncüye eşdeğerse, o zaman ilk denklem üçüncüye eşdeğerdir. Denklemlerin eşdeğerlik özelliği, bunları çözme yöntemlerinin dayandığı onlarla dönüşümler yapmamızı sağlar. Denklemleri çevrimiçi çözme. Çevrimiçi denklemler. Site, denklemi çevrimiçi çözmenize izin verecektir. Analitik çözümleri bilinen denklemler dördüncü dereceden yüksek olmayan cebirsel denklemleri içerir: doğrusal denklem, ikinci dereceden denklem, kübik denklem ve dördüncü derecenin denklemi. Cebirsel denklemler Genel durumda, yüksek dereceli denklemlerin analitik çözümleri yoktur, ancak bazıları daha düşük dereceli denklemlere indirgenebilir. Aşkın fonksiyonları içeren denklemlere aşkın denir. Bunların arasında analitik çözümler bazıları için bilinmektedir. trigonometrik denklemler, sıfırlardan beri trigonometrik fonksiyonlar iyi biliniyor. Genel durumda analitik bir çözüm bulunamadığında sayısal yöntemler kullanılır. Sayısal yöntemler kesin bir çözüm sağlamaz, ancak yalnızca kökün bulunduğu aralığın önceden belirlenmiş belirli bir değere daraltılmasına izin verir. Online denklem çözümü.. Online denklem.. Online denklem yerine aynı ifadenin nasıl oluştuğunu hayal edeceğiz doğrusal bağımlılık ve yalnızca düz bir teğet boyunca değil, aynı zamanda grafiğin tam dönüm noktasında. Bu yöntem konunun incelenmesinde her zaman vazgeçilmezdir. Denklem çözmenin nihai değere sonsuz sayılar kullanarak ve vektörler yazarak yaklaştığı sıklıkla görülür. İlk verileri kontrol etmek gereklidir ve görevin özü budur. Aksi halde yerel koşul formüle dönüştürülür. Düz bir çizgi boyunca ters çevirme verilen fonksiyon Denklem hesaplayıcısının uygulamada çok fazla gecikme olmadan hesaplayacağı ofset, alan ayrıcalığıyla sağlanacaktır. Öğrencilerin bilimsel ortamda başarılarını konuşacağız. Ancak yukarıdakilerin hepsinde olduğu gibi, bulma sürecinde bize yardımcı olacaktır ve denklemi tamamen çözdüğünüzde ortaya çıkan cevabı düz çizgi parçasının uçlarında saklayın. Uzayda çizgiler bir noktada kesişir ve bu noktaya doğruların kesiştiği nokta denir. Satırdaki aralık daha önce belirtildiği gibi gösterilir. Matematik çalışmaları için en yüksek yazı yayınlanacaktır. Parametrik olarak belirlenmiş bir yüzeyden bir argüman değeri atamak ve denklemi çevrimiçi çözmek, bir işleve verimli erişimin ilkelerini özetleyebilecektir. Möbius şeridi veya diğer adıyla sonsuzluk, sekiz rakamına benziyor. Bu iki taraflı değil, tek taraflı bir yüzeydir. Herkesin genel olarak bildiği prensibe göre, objektif olarak kabul edeceğiz doğrusal denklemler olduğu gibi ve çalışma alanında temel atama için. Sırayla verilen argümanların yalnızca iki değeri vektörün yönünü ortaya çıkarabilir. Çevrimiçi denklemlere yönelik başka bir çözümün, onu çözmekten çok daha fazlası olduğunu varsaymak, sonuç olarak değişmezin tam teşekküllü bir versiyonunu elde etmek anlamına gelir. Bütünleşik bir yaklaşım olmadan öğrencilerin bu materyali öğrenmesi zordur. Daha önce olduğu gibi, her özel durum için kullanışlı ve akıllı çevrimiçi denklem hesaplayıcımız zor zamanlarda herkese yardımcı olacaktır, çünkü yalnızca giriş parametrelerini belirtmeniz yeterlidir ve sistemin kendisi cevabı hesaplayacaktır. Veri girmeye başlamadan önce, çok fazla zorluk yaşamadan yapılabilecek bir giriş aracına ihtiyacımız olacak. Her cevap tahmininin sayısı, sonuçlarımıza ikinci dereceden bir denklem kazandıracaktır, ancak bunu yapmak o kadar kolay değildir çünkü tersini kanıtlamak kolaydır. Teori, özellikleri gereği pratik bilgilerle desteklenmemektedir. Cevabın yayınlanması aşamasında kesir hesaplayıcısını görmek matematikte kolay bir iş değildir, çünkü bir sayıyı bir kümeye yazma alternatifi fonksiyonun büyümesini artırmaya yardımcı olur. Ancak öğrenci eğitiminden bahsetmemek yanlış olur, dolayısıyla her birimiz yapılması gerekeni söyleyeceğiz. Daha önce bulunan kübik denklem haklı olarak tanım alanına ait olacak ve sembolik değişkenlerin yanı sıra sayısal değerler uzayını da içerecektir. Teoremi öğrenen veya ezberleyen öğrencilerimiz kendilerini ancak en iyi halleriyle gösterecekler, biz de onlar adına mutlu olacağız. Çoklu alan kesişmelerinden farklı olarak çevrimiçi denklemlerimiz, iki ve üç sayısal birleştirilmiş çizginin çarpılmasıyla elde edilen bir hareket düzlemiyle tanımlanır. Matematikte bir küme benzersiz olarak tanımlanmamıştır. Öğrencilere göre en iyi çözüm ifadenin tam olarak kaydedilmesidir. Bilimsel dilde söylendiği gibi, sembolik ifadelerin soyutlanması işin içine girmez, ancak denklemlerin çözümü her durumda kesin bir sonuç verir. bilinen vakalar. Öğretmenin dersinin süresi bu teklifin ihtiyaçlarına bağlıdır. Analiz birçok alanda tüm hesaplama tekniklerinin gerekliliğini gösterdi ve denklem hesaplayıcının bir öğrencinin yetenekli ellerinde vazgeçilmez bir araç olduğu kesinlikle açıktır. Matematik çalışmalarına sadık bir yaklaşım, farklı yönlerden görüşlerin önemini belirler. Temel teoremlerden birini belirlemek ve denklemi, hangi cevaba bağlı olarak, uygulanmasına daha fazla ihtiyaç duyulacak şekilde çözmek istiyorsunuz. Bu alandaki analizler ivme kazanıyor. En baştan başlayalım ve formülü türetelim. Fonksiyonun artış seviyesini aştıktan sonra, bükülme noktasındaki teğet boyunca uzanan çizgi, denklemi çevrimiçi çözmenin, fonksiyonun argümanından aynı grafiği oluşturmanın ana yönlerinden biri olacağı gerçeğine kesinlikle yol açacaktır. Bu durum öğrencilerin çıkarımlarıyla çelişmiyorsa amatör bir yaklaşımın uygulanma hakkı vardır. Arka plana alınan nesnenin mevcut tanım alanına matematiksel koşulların analizini doğrusal denklemler olarak koyan alt görevdir. Diklik yönündeki dengeleme karşılıklı olarak yalnızlığın avantajını azaltır mutlak değer. Çevrimiçi denklem çözme modulo, parantezleri önce artı işaretiyle, sonra eksi işaretiyle açarsanız aynı sayıda çözümü verir. Bu durumda iki kat daha fazla çözüm olacak ve sonuç daha doğru olacaktır. İstikrarlı ve doğru bir çevrimiçi denklem hesaplayıcı, öğretmen tarafından belirlenen görevde amaçlanan hedefe ulaşma başarısıdır. Gerekli yöntem Büyük bilim adamlarının görüşlerindeki önemli farklılıklar nedeniyle seçim yapmak mümkün görünüyor. Ortaya çıkan ikinci dereceden denklem, parabol adı verilen çizgilerin eğrisini tanımlar ve işaret, kare koordinat sistemindeki dışbükeyliğini belirleyecektir. Denklemden, Vieta teoremine göre hem diskriminantı hem de kökleri elde ediyoruz. İlk adım, ifadeyi uygun veya yanlış kesir olarak temsil etmek ve bir kesir hesaplayıcı kullanmaktır. Buna bağlı olarak ilerideki hesaplamalarımızın planı oluşacaktır. Teorik bir yaklaşımla matematik her aşamada faydalı olacaktır. Sonucu kesinlikle kübik denklem olarak sunacağız çünkü üniversitedeki bir öğrencinin işini kolaylaştırmak için köklerini bu ifadede saklayacağız. Yüzeysel analize uygun olan her yöntem iyidir. Ekstra Aritmetik işlemler hesaplama hatalarına yol açmayacaktır. Cevabı belirli bir doğrulukla belirler. Denklemlerin çözümünü kullanarak şunu kabul edelim - belirli bir fonksiyonun bağımsız değişkenini bulmak, özellikle sonsuzdaki paralel çizgilerin çalışıldığı dönemde o kadar kolay değildir. İstisna göz önüne alındığında ihtiyaç çok açıktır. Polarite farkı açıktır. Enstitülerdeki öğretmenlik deneyiminden öğretmenimiz öğrendi ana ders Denklemlerin tam matematiksel anlamda çevrimiçi olarak çalışıldığı. Burada teorinin uygulanmasında daha yüksek çabalardan ve özel becerilerden bahsediyorduk. Sonuçlarımızın lehine, kimse bir prizmadan bakmamalı. Yakın zamana kadar kapalı bir kümenin bölge üzerinde bu haliyle hızla arttığına ve denklemlerin çözümünün araştırılması gerektiğine inanılıyordu. İlk aşamada her şeyi dikkate almadık olası seçenekler ancak bu yaklaşım her zamankinden daha haklı. Parantezlerle yapılan ekstra eylemler, çıplak gözle gözden kaçırılamayacak olan ordinat ve apsis eksenleri boyunca bazı ilerlemeleri haklı çıkarır. Fonksiyonda kapsamlı bir orantısal artış anlamında bir bükülme noktası vardır. Nasıl olduğunu bir kez daha kanıtlayacağız gerekli kondisyon vektörün bir veya daha fazla azalan konumunun tüm azalma aralığı boyunca uygulanacaktır. Kapalı bir alanda betiğimizin ilk bloğundan bir değişken seçeceğiz. Üç vektör esas alınarak oluşturulan bir sistem, ana kuvvet momentinin yokluğundan sorumludur. Bununla birlikte, denklem hesaplayıcısı oluşturulan denklemin hem yüzeyin üstünde hem de paralel çizgiler boyunca tüm terimlerinin bulunmasına yardımcı oldu. Başlangıç ​​noktasının etrafına bir daire çizelim. Böylece, kesit çizgileri boyunca yukarı doğru hareket etmeye başlayacağız ve teğet, daireyi tüm uzunluğu boyunca tanımlayacak ve sonuçta kıvrım adı verilen bir eğri elde edilecektir. Bu arada bu eğrinin biraz tarihçesinden bahsedelim. Gerçek şu ki, tarihsel olarak matematikte, bugünkü gibi saf anlayışıyla matematik kavramının kendisi yoktu. Daha önce, tüm bilim adamları ortak bir görevle, yani bilimle meşguldü. Daha sonra, birkaç yüzyıl sonra, bilim dünyası Muazzam miktarda bilgiyle dolu olan insanlık hala birçok disiplini tanımladı. Hala değişmeden kalıyorlar. Ancak yine de her yıl dünyanın dört bir yanındaki bilim insanları bilimin sınırsız olduğunu kanıtlamaya çalışıyor ve doğa bilimleri hakkında bilginiz olmadığı sürece denklemi çözemezsiniz. Nihayetinde buna bir son vermek mümkün olmayabilir. Bunu düşünmek dışarıdaki havayı ısıtmak kadar anlamsız. Argümanın değeri pozitifse, değerin modülünü keskin bir şekilde artan yönde belirleyeceği aralığı bulalım. Reaksiyon en az üç çözüm bulmanıza yardımcı olacaktır ancak bunları kontrol etmeniz gerekecektir. Web sitemizin benzersiz hizmetini kullanarak denklemi çevrimiçi olarak çözmemiz gerektiği gerçeğiyle başlayalım. Her iki parçayı da tanıtalım verilen denklem, “ÇÖZ” butonuna tıklayın ve sadece birkaç saniye içinde kesin cevabı alın. İÇİNDE özel durumlar Matematik üzerine bir kitap alalım ve cevabımızı tekrar kontrol edelim, yani sadece cevaba bakalım ve her şey netleşecek. Yapay yedekli bir paralel boru için aynı proje uçacak. Paralel kenarları olan bir paralelkenar vardır ve doğal form formüllerinde içi boş alan birikmesinin artan sürecinin mekansal ilişkisini incelemeye yönelik birçok ilkeyi ve yaklaşımı açıklar. Belirsiz doğrusal denklemler, istenen değişkenin ortak değerlerimize bağımlılığını gösterir. şu an zaman çözümü ve uygunsuz kesri bir şekilde türetmeniz ve önemsiz olmayan bir duruma indirmeniz gerekir. Düz çizgi üzerinde on nokta işaretleyin ve her bir noktadan, verilen yönde, dışbükey noktası yukarı bakacak şekilde bir eğri çizin. Denklem hesaplayıcımız herhangi bir özel zorluk yaşamadan, bir ifadeyi öyle bir biçimde sunacaktır ki, kuralların geçerliliğinin kontrolü, kaydın başında bile açıkça görülecektir. Formülde aksi belirtilmedikçe, matematikçiler için özel kararlılık temsilleri sistemi ilk sırada gelir. Buna, plastik cisimler sisteminin izomorfik durumu konulu bir raporun ayrıntılı bir sunumuyla yanıt vereceğiz ve denklemlerin çevrimiçi çözülmesi, bu sistemdeki her maddi noktanın hareketini açıklayacaktır. Derinlemesine araştırma düzeyinde, en azından uzayın alt katmanının ters çevrilmesi konusunu ayrıntılı olarak açıklığa kavuşturmak gerekli olacaktır. Fonksiyonun süreksizlik bölümünde artan sırada uygulayacağız genel yöntem Bu arada mükemmel bir araştırmacı, hemşehrimiz ve aşağıda uçağın davranışından bahsedeceğiz. Analitik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun güçlü özellikleri nedeniyle, çevrimiçi denklem hesaplayıcıyı yalnızca türetilmiş yetki sınırları dahilinde amaçlanan amaç için kullanırız. Daha fazla akıl yürüterek, incelememizi denklemin homojenliğine, yani sağ tarafının sıfıra eşit olmasına odaklayacağız. Matematikteki kararımızın doğru olduğundan bir kez daha emin olalım. Önemsiz bir çözüm elde etmekten kaçınmak için, bazı ayarlamalar yapalım başlangıç ​​koşulları Sistemin koşullu kararlılığı sorunu üzerine. İyi bilinen bir formül kullanarak iki girişi yazdığımız ve negatif kökleri bulduğumuz ikinci dereceden bir denklem oluşturalım. Eğer bir kök ikinci ve üçüncü köklerden beş birim daha büyükse, o zaman ana argümanda değişiklik yaparak alt görevin başlangıç ​​koşullarını bozmuş oluruz. Doğası gereği, matematikte olağandışı bir şey her zaman en yakın yüzlüğe kadar anlatılabilir. pozitif sayı. Kesir hesaplayıcı, sunucu yükünün en iyi anında benzer kaynaklardaki analoglarından birkaç kat daha üstündür. Ordinat ekseni boyunca büyüyen hız vektörünün yüzeyinde birbirine zıt yönlerde bükülmüş yedi çizgi çiziyoruz. Atanan fonksiyon argümanının karşılaştırılabilirliği, kurtarma bakiyesi sayacının okumalarının ilerisindedir. Matematikte bu fenomeni, hayali katsayılara sahip kübik bir denklemle ve aynı zamanda azalan çizgilerin iki kutuplu ilerlemesiyle temsil edebiliriz. Anlamlarının ve ilerlemelerinin birçoğundaki kritik sıcaklık farkı noktaları, karmaşık bir kesirli fonksiyonun faktörlere ayrıştırılması sürecini tanımlar. Size bir denklemi çözmeniz söyleniyorsa hemen çözmek için acele etmeyin, mutlaka önce eylem planının tamamını değerlendirin, ancak ondan sonra doğru yaklaşımı seçin. Faydaları mutlaka olacaktır. İşin kolaylığı ortadadır, aynı durum matematikte de geçerlidir. Denklemi çevrimiçi çözün. Tüm çevrimiçi denklemler, belirli bir sayı veya parametre kaydını ve belirlenmesi gereken bir değişkeni temsil eder. Bu değişkeni hesaplayın, yani kimliğin tutulacağı bir dizi değerin belirli değerlerini veya aralıklarını bulun. Başlangıç ​​ve son koşullar doğrudan bağlıdır. İÇİNDE ortak karar Denklemler genellikle belirli bir problem ifadesi için tüm çözüm ailelerini elde edeceğimiz bazı değişkenleri ve sabitleri içerir. Genel olarak bu, kenarı 100 santimetreye eşit olan uzamsal bir küpün işlevselliğini arttırmak için harcanan çabaları haklı çıkarır. Bir cevap oluşturmanın herhangi bir aşamasında bir teoremi veya lemmayı uygulayabilirsiniz. Site, gerekirse ürünlerin toplamının herhangi bir aralığında kademeli olarak bir denklem hesaplayıcısı üretir. en küçük değer. Vakaların yarısında, içi boş olan böyle bir top, artık bir ara cevap belirleme gerekliliklerini karşılamıyor. En azından azalan vektör temsili yönündeki ordinat ekseninde, bu oran şüphesiz önceki ifadeden daha optimal olacaktır. O saatte doğrusal fonksiyonlar tam bir nokta analizi yapılacak, aslında tüm karmaşık sayılarımızı ve iki kutuplu düzlemsel uzaylarımızı bir araya getireceğiz. Ortaya çıkan ifadeye bir değişken koyarak denklemi adım adım çözecek ve en detaylı cevabı yüksek doğrulukla vereceksiniz. Bir öğrencinin matematikteki eylemlerini bir kez daha kontrol etmesi iyi bir davranış olacaktır. Kesir oranındaki oran, sıfır vektörün tüm önemli faaliyet alanlarında sonucun bütünlüğünü kaydetti. Tamamlanan eylemlerin sonunda önemsizlik doğrulanır. Basit bir görevle, öğrenciler denklemi çevrimiçi olarak mümkün olan en kısa sürede çözerlerse zorluk yaşamayabilirler, ancak tüm farklı kuralları da unutmayın. Bir dizi alt küme, yakınsak gösterim bölgesinde kesişir. Farklı durumlarda ürün hatalı bir şekilde çarpanlara ayrılmamıştır. Üniversitelerdeki ve teknik kolejlerdeki öğrenciler için önemli bölümler için matematiksel tekniklerin temellerine ayrılan ilk bölümümüzde denklemi çevrimiçi çözmenize yardımcı olacaksınız. Vektör analizinin ardışık çözüm bulma ile en iyi etkileşimi süreci geçen yüzyılın başında patentlendiğinden, cevaplar için birkaç gün beklememize gerek kalmayacak. Çevredeki ekiple ilişki kurma çabalarının boşuna olmadığı ortaya çıktı; ilk önce açıkça başka bir şeye ihtiyaç vardı. Birkaç nesil sonra, dünyanın her yerindeki bilim insanları, insanları matematiğin bilimlerin kraliçesi olduğuna inandırdılar. İster sol cevap ister sağ olsun, yine de kapsamlı terimler üç satır halinde yazılmalıdır, çünkü bizim durumumuzda kesinlikle sadece matris özelliklerinin vektör analizinden bahsedeceğiz. Doğrusal olmayan ve doğrusal denklemler, iki ikinci dereceden denklemlerin yanı sıra, kitabımızda özel bir yere sahiptir. en iyi uygulamalar herkesin uzayındaki hareketin yörüngesini hesaplamak maddi noktalar kapalı sistem. Ardışık üç vektörün skaler çarpımının doğrusal analizi, bu fikri hayata geçirmemize yardımcı olacaktır. Her ifadenin sonunda, gerçekleştirilen sayı alanı katmanları boyunca optimize edilmiş sayısal istisnalar uygulanarak görev daha kolay hale getirilir. Farklı bir yargı, bulunan cevabı bir daire içindeki üçgenin keyfi şekliyle karşılaştırmayacaktır. İki vektör arasındaki açı, gerekli marj yüzdesini içerir ve denklemleri çevrimiçi olarak çözmek, genellikle başlangıç ​​koşullarının aksine denklemin belirli bir ortak kökünü ortaya çıkarır. İstisna, bir fonksiyonun tanımlanması alanında olumlu bir çözüm bulmanın kaçınılmaz sürecinin tamamında katalizör rolü oynar. Bilgisayar kullanamayacağınız söylenmiyorsa, o zaman çevrimiçi denklem hesaplayıcı zor problemleriniz için tam size göredir. Sadece koşullu verilerinizi doğru formatta girmeniz yeterlidir; sunucumuz mümkün olan en kısa sürede tam teşekküllü bir sonuç yanıtı verecektir. Üstel fonksiyon doğrusaldan çok daha hızlı artar. Akıllı kütüphane literatürünün Talmudları buna tanıklık ediyor. Genel anlamda, üç karmaşık katsayılı ikinci dereceden bir denklemin yapacağı gibi bir hesaplama yapacaktır. Yarım düzlemin üst kısmındaki parabol, noktanın eksenleri boyunca doğrusal paralel hareketi karakterize eder. Burada vücudun çalışma alanındaki potansiyel farkından bahsetmeye değer. Optimumun altında bir sonuç karşılığında, kesir hesaplayıcımız, sunucu tarafındaki işlevsel programların incelenmesinde matematiksel derecelendirmede haklı olarak ilk sırayı alır. Bu hizmetin kullanım kolaylığı milyonlarca İnternet kullanıcısı tarafından takdir edilecektir. Nasıl kullanılacağını bilmiyorsanız size yardımcı olmaktan memnuniyet duyarız. Ayrıca, köklerini hızlı bir şekilde bulmanın ve bir düzlemde fonksiyonun grafiğini oluşturmanın gerekli olduğu durumlarda, bir dizi ilkokul problemindeki kübik denklemi özellikle not etmek ve vurgulamak istiyoruz. Daha yüksek derecelerüreme enstitüdeki karmaşık matematik problemlerinden biridir ve çalışması için yeterli sayıda saat ayrılmıştır. Tüm doğrusal denklemler gibi bizimki de birçok nesnel kurala göre bir istisna değildir; farklı bakış açılarından bakıldığında başlangıç ​​koşullarını belirlemenin basit ve yeterli olduğu ortaya çıkar. Artış aralığı fonksiyonun dışbükeylik aralığına denk gelir. Denklemleri çevrimiçi çözme. Teori çalışması, ana disiplinin çalışmasına ilişkin çok sayıda bölümden alınan çevrimiçi denklemlere dayanmaktadır. Belirsiz problemlerde bu yaklaşımın kullanılması durumunda, denklemlerin çözümünü önceden belirlenmiş bir biçimde sunmak ve sadece sonuç çıkarmak değil, aynı zamanda böyle olumlu bir çözümün sonucunu da tahmin etmek çok basittir. Matematiğin en iyi geleneklerine sahip bir hizmet, tıpkı Doğu'da olduğu gibi, konu alanını öğrenmemize yardımcı olacaktır. Zaman aralığının en iyi anlarında benzer görevler onluk ortak bir faktörle çarpıldı. Denklem hesaplayıcıda birden fazla değişkenin çarpımlarının çokluğu, kütle veya vücut ağırlığı gibi niceliksel değişkenlerden ziyade nitelikle çarpmaya başladı. Malzeme sistemindeki dengesizlik durumlarını önlemek için, dejenere olmayan matematiksel matrislerin önemsiz yakınsaklığından üç boyutlu bir transformatörün türetilmesi bizim için oldukça açıktır. Görevi tamamlayın ve denklemi verilen koordinatlarda çözün, çünkü uzay sonrası zamana dahil olan tüm değişkenler gibi sonuç önceden bilinmez. Kısa bir süre için ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarın ve her iki tarafı önceden en büyük ortak çarpana bölün. Ortaya çıkan kapsanan sayı alt kümesinin altından ayrıntılı bir şekilde art arda otuz üç noktayı çıkarın. kısa süre. O kadar ki mümkün olan en iyi şekilde Denklemleri çevrimiçi olarak çözmek her öğrenci için mümkündür.İleriye baktığımızda, gelecekte onsuz yaşamanın zor olacağı önemli ama önemli bir şey söyleyelim. Geçen yüzyılda büyük bilim adamı matematik teorisinde bir takım kalıpları fark etti. Uygulamada sonuç, olayların pek de beklenen izlenimi değildi. Bununla birlikte, prensip olarak, çevrimiçi denklemlerin bu çözümü, öğrencilerin kapsadığı teorik materyalin çalışmaya ve pratik olarak pekiştirilmesine yönelik bütünsel bir yaklaşımın anlaşılmasını ve algılanmasını geliştirmeye yardımcı olur. Bunu çalışma süreniz boyunca yapmak çok daha kolaydır.

=

Hedefler:

1. Konuyla ilgili bilgi ve becerileri sistematikleştirin ve genelleştirin: Üçüncü ve dördüncü derece denklemlerin çözümleri.
2. Bazıları tür veya çözüm yöntemi açısından yabancı olan bir dizi görevi tamamlayarak bilginizi derinleştirin.
3. Matematiğin yeni bölümlerini inceleyerek matematiğe ilgi oluşturmak, denklem grafikleri oluşturarak grafik kültürünü beslemek.

Ders türü: birleştirilmiş.

Teçhizat: grafik projektörü.

Görünürlük: tablo "Viete Teoremi".

Dersler sırasında

1. Sözlü sayma

a) p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 polinomunun binom x-a'ya bölünmesinden kalan nedir?

b) Kübik bir denklemin kaç kökü olabilir?

c) Üçüncü ve dördüncü dereceden denklemleri nasıl çözeriz?

d) İkinci dereceden bir denklemde b bir çift sayı ise D ve x 1; x 2'nin değeri nedir?

2. Bağımsız iş(Gruplarda)

Kökler biliniyorsa bir denklem yazın (görevlerin cevapları kodlanmıştır) “Vieta Teoremi” kullanılır

1 grup

Kökler: x 1 = 1; x2 = -2; x3 = -3; x 4 = 6

Bir denklem oluşturun:

B=1 -2-3+6=2; b=-2

c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23

d=6-12+36-18=12; d= -12

e=1(-2)(-3)6=36

x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(bu denklem daha sonra tahtadaki grup 2 tarafından çözülür)

Çözüm . 36 sayısının bölenleri arasında tam kökler arıyoruz.

р = ±1;±2;±3;±4;±6…

p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 1 sayısı denklemi sağlıyor, dolayısıyla =1 denklemin kökü. Horner'ın planına göre

p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36

p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2

p 2 (x) = x 2 -3x -18=0

x 3 =-3, x 4 =6

Cevap: 1;-2;-3;6 köklerin toplamı 2 (P)

2. grup

Kökler: x 1 = -1; x2 = x3 =2; x 4 =5

Bir denklem oluşturun:

B=-1+2+2+5-8; b= -8

c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15

D=-4-10+20-10= -4; d=4

e=2(-1)2*5=-20;e=-20

8+15+4x-20=0 (3. grup bu denklemi tahtada çözer)

р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

s.4(1)=1-8+15+4-20=-8

р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20

p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 = 2; x 2 =5

Cevap: -1;2;2;5 köklerinin toplamı 8(P)

3 grup

Kökler: x 1 = -1; x2 =1; x3 = -2; x 4 =3

Bir denklem oluşturun:

В=-1+1-2+3=1;В=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

e=-1*1*(-2)*3=6

x 4 - x 3- 7x2 + x + 6 = 0(4. grup bu denklemi daha sonra tahtada çözer)

Çözüm. 6 sayısının bölenleri arasında tam kökler arıyoruz.

р = ±1;±2;±3;±6

s.4(1)=1-1-7+1+6=0

p 3 (x) = x 3 - 7x -6

р 3 (-1) = -1+7-6=0

p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x1 = -2; x 2 =3

Cevap: -1;1;-2;3 Köklerin toplamı 1(O)

4 grup

Kökler: x 1 = -2; x2 = -2; x3 = -3; x4 = -3

Bir denklem oluşturun:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36

x 4 +4x3 – 5x2 – 36x -36 = 0(bu denklem daha sonra tahtadaki 5. grup tarafından çözülür)

Çözüm. -36 sayısının bölenleri arasında tam kökleri arıyoruz

р = ±1;±2;±3…

p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0

p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0

p2(x) = x2-9 = 0; x=±3

Cevap: -2; -2; -3; 3 Köklerin toplamı-4 (F)

5 grup

Kökler: x 1 = -1; x2 = -2; x3 = -3; x4 = -4

Bir denklem yazın

x 4+ 10x3 + 35x2 + 50x + 24 = 0(bu denklem daha sonra tahtadaki 6. grup tarafından çözülür)

Çözüm . 24 sayısının bölenleri arasında tam kökler arıyoruz.

р = ±1;±2;±3

p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O

p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0

Cevap: -1;-2;-3;-4 toplam-10 (I)

6 grup

Kökler: x 1 = 1; x2 = 1; x3 = -3; x 4 = 8

Bir denklem yazın

B=1+1-3+8=7;b=-7

c=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24= -43; d=43

x 4 - 7x 3- 13x2 + 43X - 24 = 0 (bu denklem daha sonra tahtadaki grup 1 tarafından çözülür)

Çözüm . -24 sayısının bölenleri arasında tam kökleri arıyoruz.

s.4(1)=1-7-13+43-24=0

p 3 (1)=1-6-19+24=0

p 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0

x 3 =-3, x 4 =8

Cevap: 1;1;-3;8 toplam 7 (L)

3. Denklemleri parametreyle çözme

1. x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0 denklemini çözün; köklerden biri (-1)'e eşitse

Cevabı artan sırada yazın

R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0

x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0

x 1 = - 1 koşuluna göre; D=1+15=16

P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0

x2 = -1-4 = -5;

x3 = -1 + 4 = 3;

Cevap: - 1; -5; 3

Artan sırada: -5;-1;3. (b N S)

2. Eğer x-1 ve x +2 binomlarına bölünmesinden kalanlar eşitse, x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6 polinomunun tüm köklerini bulun.

Çözüm: R=P 3 (1) = P 3 (-2)

P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a

P3(-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a

x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(x-3)(x 2 -6) = 0

3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x2 =0; x 4 =0

a=0; x=0; x=1

a>0; x=1; x=a ± √a

2. Bir denklem yazın

1 grup. Kökler: -4; -2; 1; 7;

2. grup. Kökler: -3; -2; 1; 2;

3 grup. Kökler: -1; 2; 6; 10;

4 grup. Kökler: -3; 2; 2; 5;

5 grup. Kökler: -5; -2; 2; 4;

6 grup. Kökler: -8; -2; 6; 7.