GirişKesirlerle örnekler nasıl yapılır? Bir kesrin bir sayıyla çarpılması. Kesirli örnekler nasıl çözülür - kesirli eşitsizlikler
Talimatlar
Ortak bir paydaya indirgeme.
a/b ve c/d kesirleri verilsin.
Birinci kesrin payı ve paydası LCM/b ile çarpılır.
İkinci kesrin payı ve paydası LCM/d ile çarpılır
Şekilde bir örnek gösterilmektedir.
Kesirleri karşılaştırmak için bunları ortak bir paydaya eklemeniz ve ardından payları karşılaştırmanız gerekir. Örneğin, 3/4< 4/5, см. .
Kesirlerde toplama ve çıkarma.
İki sıradan kesirin toplamını bulmak için, bunların ortak bir paydaya getirilmesi, ardından payların eklenmesi ve paydanın değişmeden bırakılması gerekir. Şekilde 1/2 ve 1/3 kesirlerinin eklenmesine bir örnek gösterilmektedir.
Kesirlerin farkı da benzer şekilde bulunur; ortak paydayı bulduktan sonra kesirlerin payları çıkarılır, şekle bakınız.
Adi kesirlerle çarpılırken pay ve paydalar birlikte çarpılır.
İki kesri bölmek için ikinci kesirin bir kesri gereklidir, yani. payını ve paydasını değiştirin ve ardından elde edilen kesirleri çarpın.
Konuyla ilgili video
Kaynaklar:
- bir örnek kullanarak kesirler 5. sınıf
- Temel kesir problemleri
Modül ifadesinin mutlak değerini temsil eder. Bir modülü belirtmek için düz parantezler kullanılır. İçlerinde bulunan değerler modülo olarak kabul edilir. Modülün çözümü, parantezlerin belirli kurallara göre açılması ve ifade değerleri kümesinin bulunmasından oluşur. Çoğu durumda modül, alt modüler ifadenin bir dizi pozitif ve pozitif sonuç alacağı şekilde genişletilir. negatif değerler sıfır değeri dahil. Modülün bu özelliklerine dayanarak orijinal ifadenin diğer denklemleri ve eşitsizlikleri derlenip çözülür.
Talimatlar
Orijinal denklemi ile yazın. Bunu yapmak için modülü açın. Her bir alt modüler ifadeyi göz önünde bulundurun. Modüler parantez içindeki ifadenin içerdiği bilinmeyen miktarların hangi değerinde sıfır olacağını belirleyin.
Bunu yapmak için alt modüler ifadeyi sıfıra eşitleyin ve elde edilen denklemi bulun. Bulduğunuz değerleri yazın. Aynı şekilde her bir modül için bilinmeyen değişkenin değerlerini belirleyiniz. verilen denklem.
Bir sayı doğrusu çizin ve ortaya çıkan değerleri üzerine çizin. Sıfır modülündeki değişkenin değerleri, çözüm sırasında kısıtlama görevi görecektir. modüler denklem.
Orijinal denklemde, değişkenin değerleri sayı doğrusunda görüntülenenlere karşılık gelecek şekilde işareti değiştirerek modüler olanları genişletmeniz gerekir. Ortaya çıkan denklemi çözün. Değişkenin bulunan değerini modül tarafından belirtilen kısıtlamaya göre kontrol edin. Eğer çözüm koşulu sağlıyorsa doğrudur. Kısıtlamalara uymayan kökler atılmalıdır.
Benzer şekilde, işareti dikkate alarak orijinal ifadenin modüllerini genişletin ve elde edilen denklemin köklerini hesaplayın. Kısıt eşitsizliklerini karşılayan sonuçta ortaya çıkan tüm kökleri yazın.
Kesirli sayılar şu şekilde ifade edilebilir: farklı şekillerde miktarın kesin değeri. Tam sayılarla yapabildiğiniz matematik işlemlerinin aynısını kesirlerle de yapabilirsiniz: çıkarma, toplama, çarpma ve bölme. Karar vermeyi öğrenmek kesirler, onların bazı özelliklerini hatırlamamız gerekiyor. Bunlar türüne bağlıdır kesirler, bir tamsayı kısmının varlığı, ortak bir payda. Bazı Aritmetik işlemler yürütüldükten sonra sonucun kesirli kısmının azaltılmasını gerektirirler.
İhtiyacın olacak
- - hesap makinesi
Talimatlar
Rakamlara yakından bakın. Kesirler arasında ondalık sayılar ve düzensiz olanlar varsa, bazen önce ondalık sayılarla işlem yapmak ve sonra bunları düzensiz forma dönüştürmek daha uygundur. Çevirebilir misin kesirler Bu formda başlangıçta payda virgülden sonraki değer yazılıyor ve paydaya 10 yazılıyor. Gerekirse yukarıdaki ve aşağıdaki sayıları bir bölene bölerek kesri azaltın. Parçanın tamamı izole edilen kesirler, paydayla çarpılıp payın sonuca eklenmesiyle yanlış forma dönüştürülmelidir. Bu değer yeni pay olacak kesirler. Başlangıçta yanlış olan bir parçanın tamamını seçmek için kesirler payını paydaya bölmeniz gerekir. Sonucun tamamını yazın kesirler. Ve bölümün geri kalanı yeni pay, payda olacak kesirler değişmez. Tamsayı kısmı olan kesirler için, önce tamsayı, sonra kesirli kısım için ayrı ayrı işlem yapmak mümkündür. Örneğin, 1 2/3 ve 2 ¾'ün toplamı hesaplanabilir:
- Kesirleri yanlış forma dönüştürme:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Terimlerin ayrı ayrı tamsayı ve kesirli kısımlarının toplamı:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Çizginin altındaki değerler için ortak paydayı bulun. Örneğin 5/9 ve 7/12 için ortak payda 36 olacaktır. Bunun için birincinin pay ve paydası kesirler 4 ile (28/36 elde edersiniz) ve ikincisini 3 ile (15/36 elde edersiniz) çarpmanız gerekir. Artık hesaplamaları gerçekleştirebilirsiniz.
Kesirlerin toplamını veya farkını hesaplayacaksanız öncelikle bulunan ortak paydayı çizginin altına yazın. Paylar arasında gerekli işlemleri yapın ve sonucu yeni satırın üstüne yazın. kesirler. Böylece yeni pay, orijinal kesirlerin paylarının farkı veya toplamı olacaktır.
Kesirlerin çarpımını hesaplamak için kesirlerin paylarını çarpın ve sonucu son payın yerine yazın. kesirler. Paydalar için de aynısını yapın. Birini bölerken kesirler bir kesri diğerine yazın ve payını ikincinin paydasıyla çarpın. Bu durumda birincinin paydası kesirler buna göre ikinci payla çarpılır. Bu durumda bir tür devrim meydana gelir. kesirler(bölen). Son kesir, her iki kesrin pay ve paydalarının çarpılmasının sonucu olacaktır. Öğrenmek zor değil kesirler, “dört katlı” şeklinde yazılmış vaziyette kesirler. İkiyi ayırırsa kesirler, “:” ayırıcısını kullanarak bunları yeniden yazın ve normal bölme işlemine devam edin.
Nihai sonucu elde etmek için, pay ve paydayı bu durumda mümkün olan en büyük tam sayıya bölerek elde edilen kesri azaltın. Bu durumda satırın üstünde ve altında tam sayılar bulunmalıdır.
Not
Paydaları farklı olan kesirlerle aritmetik işlem yapmayın. Öyle bir sayı seçin ki, her kesrin payını ve paydasını onunla çarptığınızda her iki kesrin paydaları eşit olur.
Kayıt yaparken kesirli sayılar Temettü satırın üstüne yazılır. Bu miktar kesrin payı olarak belirlenir. Kesrin böleni veya paydası satırın altına yazılır. Örneğin bir buçuk kilogram pirincin kesri şu şekilde yazılacaktır: 1 ½ kg pirinç. Bir kesrin paydası 10 ise bu kesre ondalık sayı denir. Bu durumda pay (temettü) tüm kısmın sağına virgülle ayrılarak yazılır: 1,5 kg pirinç. Hesaplama kolaylığı için böyle bir kesir her zaman yanlış biçimde yazılabilir: 1 2/10 kg patates. Basitleştirmek için pay ve payda değerlerini bir tamsayıya bölerek azaltabilirsiniz. Bu örnekte 2'ye bölebilirsiniz. Sonuç 1 1/5 kg patates olacaktır. Aritmetik işlem yapacağınız sayıların aynı formda sunulduğundan emin olun.
Talimatlar
“Ekle” menü öğesine bir kez tıklayın ve ardından “Sembol”ü seçin. Bu en çok biri basit yollar ekler kesirler metnin içine. Aşağıdakilerden oluşur. Hazır semboller seti şunları içerir: kesirler. Sayıları kural olarak küçüktür, ancak metinde 1/2 yerine ½ yazmanız gerekiyorsa, bu seçenek sizin için en uygun seçenek olacaktır. Ayrıca kesir karakterlerinin sayısı yazı tipine bağlı olabilir. Örneğin, Times New Roman yazı tipi için aynı Arial'a göre biraz daha az kesir vardır. Size en uygun olanı bulmak için yazı tiplerini değiştirin en iyi seçenek gelince basit ifadeler.
“Ekle” menü öğesine tıklayın ve “Nesne” alt öğesini seçin. Önünüzde eklenecek olası nesnelerin listesini içeren bir pencere görünecektir. Bunların arasından Microsoft Denklem 3.0'ı seçin. Bu uygulama yazmanıza yardımcı olacak kesirler. Ve sadece kesirler aynı zamanda çeşitli içeren karmaşık matematiksel ifadeler trigonometrik fonksiyonlar ve diğer unsurlar. Bu nesneye farenin sol tuşuyla çift tıklayın. Önünüzde birçok sembol içeren bir pencere açılacaktır.
Bir kesri yazdırmak için, payı ve paydası boş olan bir kesri temsil eden sembolü seçin. Farenin sol tuşuyla bir kez üzerine tıklayın. Şemanın kendisini açıklayan ek bir menü görünecektir. kesirler. Birkaç seçenek olabilir. Size en uygun olanı seçin ve farenin sol tuşuyla bir kez tıklayın.
Kesirli eylemler. Bu yazımızda örneklere, her şeye detaylı bir şekilde açıklamalarla bakacağız. Düşüneceğiz ortak kesirler. Ondalık sayılara daha sonra bakacağız. Tamamını izleyip sırayla incelemenizi tavsiye ederim.
1. Kesirlerin toplamı, kesirlerin farkı.
Kural: Paydaları eşit olan kesirler eklenirken sonuç bir kesir olur - paydası aynı kalır ve payı şu şekilde olur: toplamına eşit kesirlerin payları.
Kural: Aynı paydalara sahip kesirler arasındaki farkı hesaplarken, bir kesir elde ederiz - payda aynı kalır ve ikincinin payı, ilk kesrin payından çıkarılır.
Paydaları eşit olan kesirlerin toplamı ve farkının biçimsel gösterimi:
Örnekler (1):
Sıradan kesirler verildiğinde her şeyin basit olduğu açıktır, peki ya karıştırılırsa? Karmaşık bir şey yok...
seçenek 1– bunları sıradan olanlara dönüştürebilir ve daha sonra hesaplayabilirsiniz.
seçenek 2– tamsayı ve kesirli kısımlarla ayrı ayrı “çalışabilirsiniz”.
Örnekler (2):
Daha fazla:
Ve eğer ikisinin farkı verilirse karışık kesirler ve ilk kesrin payı ikincinin payından küçük mü olacak? Ayrıca iki şekilde hareket edebilirsiniz.
Örnekler (3):
*Adi kesirlere dönüştürüldü, fark hesaplandı, elde edilen bileşik kesir karışık kesire dönüştürüldü.
*Tamsayı ve kesirli parçalara ayırdık, üç elde ettik, sonra 3'ü 2 ve 1'in toplamı olarak, biri de 11/11 olarak sunduk, sonra 11/11 ile 7/11 arasındaki farkı bulup sonucu hesapladık. . Yukarıdaki dönüşümlerin anlamı, bir birimi alıp (seçmek) ve onu ihtiyacımız olan paydaya sahip bir kesir şeklinde sunmak, ardından bu kesirden bir başkasını çıkarabiliriz.
Başka bir örnek:
Sonuç: evrensel bir yaklaşım var - eşit paydalara sahip karışık kesirlerin toplamını (farkını) hesaplamak için, bunlar her zaman uygunsuz olanlara dönüştürülebilir ve ardından gerçekleştirilebilir. gerekli eylem. Bundan sonra sonuç bileşik kesir ise, bunu karışık kesire dönüştürüyoruz.
Yukarıda paydaları eşit olan kesirlerin örneklerine baktık. Paydalar farklıysa ne olur? Bu durumda kesirler aynı paydaya indirgenir ve belirtilen işlem gerçekleştirilir. Bir kesri değiştirmek (dönüştürmek) için kesrin temel özelliği kullanılır.
Basit örneklere bakalım:
Bu örneklerde, kesirlerden birinin paydaları eşit olacak şekilde nasıl dönüştürülebileceğini hemen görüyoruz.
Kesirleri aynı paydaya indirmenin yollarını belirlersek, buna adını vereceğiz. BİRİNCİ YÖNTEM.
Yani, bir kesri "değerlendirirken" hemen bu yaklaşımın işe yarayıp yaramayacağını bulmanız gerekir - büyük paydanın küçük olana bölünebilir olup olmadığını kontrol ederiz. Ve eğer bölünebilirse, o zaman bir dönüşüm gerçekleştiririz - her iki kesrin paydaları eşit olacak şekilde pay ve paydayı çarparız.
Şimdi şu örneklere bakın:
Bu yaklaşım onlar için geçerli değildir. Kesirleri ortak paydaya indirmenin de yolları vardır; bunları ele alalım.
İKİNCİ Yöntem.
Birinci kesrin payını ve paydasını ikincinin paydasıyla, ikinci kesrin payını ve paydasını birincinin paydasıyla çarpıyoruz:
*Aslında paydalar eşitlendiğinde kesirleri azaltıyoruz. Daha sonra, eşit paydalara sahip kesirleri toplama kuralını kullanıyoruz.
Örnek:
*Bu yöntem evrensel olarak adlandırılabilir ve her zaman işe yarar. Tek dezavantajı, hesaplamalardan sonra daha da azaltılması gereken bir kesirle karşılaşabilmenizdir.
Bir örneğe bakalım:
Pay ve paydanın 5'e bölünebildiği görülebilir:
Yöntem ÜÇ.
Paydaların en küçük ortak katını (LCM) bulmanız gerekir. Bu ortak payda olacak. Bu nasıl bir sayı? Bu en az doğal sayı, sayıların her birine bölünebilen.
Bakın, işte iki sayı: 3 ve 4, onlara bölünebilen birçok sayı var - bunlar 12, 24, 36, ... Bunlardan en küçüğü 12. Veya 6 ve 15, 30'a bölünüyorlar, 60, 90 .... En küçüğü 30'dur. Soru şu: Bu en küçük ortak katı nasıl belirleyeceğiz?
Net bir algoritma var, ancak çoğu zaman bu, hesaplamalar yapılmadan hemen yapılabilir. Örneğin yukarıdaki örneklere göre (3 ve 4, 6 ve 15) herhangi bir algoritmaya gerek yok, büyük sayıları (4 ve 15) aldık, ikiye katladık ve bunların ikinci sayıya bölünebildiğini gördük, ancak sayı çiftleri bölünebilir. diğerleri olsun, örneğin 51 ve 119.
Algoritma. Birkaç sayının en küçük ortak katını belirlemek için şunları yapmalısınız:
- her sayıyı BASİT faktörlere ayırın
— BÜYÜK olanın ayrışmasını yazın
- diğer sayıların EKSİK faktörleriyle çarpın
Örneklere bakalım:
50 ve 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
ayrışmada Daha bir beş eksik
=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 ve 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
Daha büyük bir sayının açılımında iki ve üç eksik
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* İki asal sayının en küçük ortak katı çarpımlarıdır
Soru! İkinci yöntemi kullanabildiğinize ve sonuçta ortaya çıkan kesri basitçe azaltabildiğinize göre, en az ortak katı bulmak neden faydalıdır? Evet mümkündür, ancak her zaman uygun değildir. 48∙72 = 3456 ile çarparsanız 48 ve 72 sayılarının paydasına bakın. Daha küçük sayılarla çalışmanın daha keyifli olduğunu kabul edeceksiniz.
Örneklere bakalım:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
daha büyük bir sayının açılımında üçlü eksik
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
Şimdi ilk yöntemi kullanalım:
*Hesaplamalardaki farka bakın, ilk durumda minimum sayıda var, ancak ikincisinde bir kağıt parçası üzerinde ayrı ayrı çalışmanız gerekiyor ve aldığınız kesirin bile azaltılması gerekiyor. LOC'yi bulmak işi önemli ölçüde basitleştirir.
Daha fazla örnek:
*İkinci örnekte açıkça görülüyor ki en küçük sayı 40 ve 60'a bölünebilen sayı 120'ye eşittir.
SONUÇ! GENEL BİLGİSAYAR ALGORİTMASI!
— tamsayı kısmı varsa kesirleri sıradan kesirlere indirgeriz.
- kesirleri ortak paydaya getiriyoruz (öncelikle bir paydanın diğerine bölünebilir olup olmadığına bakıyoruz; bölünebiliyorsa diğer kesrin payını ve paydasını çarpıyoruz; bölünemiyorsa diğer yöntemleri kullanarak hareket ediyoruz) yukarıda belirtilmiş).
- Paydaları eşit olan kesirler aldıktan sonra işlemler (toplama, çıkarma) gerçekleştiriyoruz.
- gerekirse sonucu azaltırız.
- gerekirse parçanın tamamını seçin.
2. Kesirlerin çarpımı.
Kural basit. Kesirleri çarparken pay ve paydaları çarpılır:
Örnekler:
Görev. Üsse 13 ton sebze getirildi. Patates ithal edilen sebzelerin ¾'ünü oluşturuyor. Üsse kaç kilo patates getirildi?
Parçayla bitirelim.
*Daha önce size bir kesrin ana özelliğine ilişkin resmi bir açıklamayı bir çarpım aracılığıyla vereceğime söz vermiştim, lütfen:
3. Kesirlerin bölünmesi.
Kesirleri bölmek onları çarpmak anlamına gelir. Burada bölen kesrin (bölünen kesir) ters çevrildiğini ve eylemin çarpma işlemine dönüştüğünü hatırlamak önemlidir:
Bu eylem dört katlı kesir şeklinde yazılabilir, çünkü “:” bölümünün kendisi de kesir olarak yazılabilir:
Örnekler:
Bu kadar! Sana iyi şanslar!
Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.
Kesirli örnekler matematiğin temel unsurlarından biridir. Kesirli denklemlerin birçok farklı türü vardır. Aşağıda bu tür örnekleri çözmek için ayrıntılı talimatlar bulunmaktadır.
Kesirli örnekler nasıl çözülür - genel kurallar
Toplama, çıkarma, çarpma veya bölme gibi her türden kesirli örnekleri çözmek için temel kuralları bilmeniz gerekir:
- Paydası aynı olan kesirli ifadeleri toplamak için (payda kesrin altındaki sayı, pay üstteki sayıdır), paylarını toplayıp paydayı aynı bırakmanız gerekir.
- Bir kesirden ikinci bir kesirli ifadeyi (aynı paydaya sahip) çıkarmak için paylarını çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.
- Paydaları farklı olan kesirleri toplamak veya çıkarmak için en küçük ortak paydayı bulmanız gerekir.
- Kesirli bir çarpım bulmak için pay ve paydaları çarpmanız ve mümkünse azaltmanız gerekir.
- Bir kesri bir kesre bölmek için, birinci kesri ikinci kesirin tersiyle çarpmanız gerekir.
Kesirlerle örnekler nasıl çözülür - pratik
Kural 1, örnek 1:
3/4 +1/4'ü hesaplayın.
Kural 1'e göre, eğer iki (veya daha fazla) kesir aynı paydaya sahipse, paylarını eklemeniz yeterlidir. Şunu elde ederiz: 3/4 + 1/4 = 4/4. Bir kesirin pay ve paydası aynı ise kesir 1'e eşit olacaktır.
Cevap: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.
Kural 2, örnek 1:
Hesapla: 3/4 – 1/4
2 numaralı kuralı kullanarak bu denklemi çözmek için 3'ten 1 çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir. 2/4'ünü elde ederiz. İki 2 ve 4 azaltılabileceği için azaltıp 1/2 elde ederiz.
Cevap: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.
Kural 3, Örnek 1
Hesapla: 3/4 + 1/6
Çözüm: 3. kuralı kullanarak en küçük ortak paydayı buluruz. En küçük ortak payda, örnekteki tüm kesirli ifadelerin paydalarına bölünebilen sayıdır. Bu yüzden hem 4'e hem de 6'ya bölünebilecek minimum sayıyı bulmamız gerekiyor. Bu sayı 12'dir. Payda olarak 12 yazıyoruz. 12'yi ilk kesrin paydasına bölüp 3 elde ediyoruz, 3 ile çarpıyoruz, yazıyoruz. Payda 3 *3 ve + işareti. 12'yi ikinci kesrin paydasına bölersek 2 elde ederiz, 2'yi 1 ile çarparız, paya 2*1 yazarız. Böylece paydası 12 ve payı 3*3+2*1=11 olan yeni bir kesir elde ederiz. 11/12.
Cevap: 11/12
Kural 3, Örnek 2:
3/4 – 1/6’yı hesaplayın. Bu örnek öncekine çok benzer. Aynı adımları yapıyoruz ancak payda + işareti yerine eksi işareti yazıyoruz. Şunu elde ederiz: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.
Cevap: 7/12
Kural 4, Örnek 1:
Hesapla: 3/4 * 1/4
Dördüncü kuralı kullanarak, birinci kesrin paydasını ikincinin paydasıyla, birinci kesrin payını da ikincinin payıyla çarpıyoruz. 3*1/4*4 = 3/16.
Cevap: 3/16
Kural 4, Örnek 2:
2/5 * 10/4'ü hesaplayın.
Bu kısım azaltılabilir. Bir çarpım olması durumunda, birinci kesrin payı ve ikincinin paydası ile ikinci kesrin payı ve birincinin paydası iptal edilir.
4'ten 2, 5'ten 10 sadeleşir. 1 * 2/2 = 1*1 = 1 elde ederiz.
Cevap: 2/5 * 10/4 = 1
Kural 5, Örnek 1:
Hesapla: 3/4: 5/6
5. kuralı kullanarak şunu elde ederiz: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Kesirleri önceki örneğin prensibine göre azaltıyoruz ve 9/10 elde ediyoruz.
Cevap: 9/10.
Kesirli örnekler nasıl çözülür - kesirli denklemler
Kesirli denklemler, paydanın bilinmeyen içerdiği örneklerdir. Böyle bir denklemi çözmek için belirli kuralları kullanmanız gerekir.
Bir örneğe bakalım:
15/3x+5 = 3 denklemini çözün
Sıfıra bölünemeyeceğini hatırlayalım. payda değeri sıfır olmamalıdır. Bu tür örnekleri çözerken bunun belirtilmesi gerekir. Bu amaçla bir OA (izin verilen değer aralığı) mevcuttur.
Yani 3x+5 ≠ 0.
Dolayısıyla: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3
x = 5/3'te denklemin çözümü yoktur.
ODZ'yi belirttikten sonra, mümkün olan en iyi şekilde Bu denklemi çözmek kesirlerden kurtulacaktır. Bunu yapmak için öncelikle kesirli olmayan tüm değerleri kesir olarak sunarız, bu durumda 3 sayısı. Elde ederiz: 15/(3x+5) = 3/1. Kesirlerden kurtulmak için her birini en küçük ortak paydayla çarpmanız gerekir. Bu durumda (3x+5)*1 olacaktır. Sıralama:
- 15/(3x+5)'i (3x+5)*1 = 15*(3x+5) ile çarpın.
- Parantezleri açın: 15*(3x+5) = 45x + 75.
- Aynısını denklemin sağ tarafı için de yapıyoruz: 3*(3x+5) = 9x + 15.
- Sol ve sağ kenarları eşitleyin: 45x + 75 = 9x +15
- X'leri sola, sayıları sağa hareket ettirin: 36x = – 50
- X'i bulun: x = -50/36.
- İndirgeriz: -50/36 = -25/18
Cevap: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.
Kesirli örnekler nasıl çözülür - kesirli eşitsizlikler
(3x-5)/(2-x)≥0 tipindeki kesirli eşitsizlikler sayı ekseni kullanılarak çözülür. Bu örneğe bakalım.
Sıralama:
- Pay ve paydayı sıfıra eşitliyoruz: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2 - Ortaya çıkan değerleri üzerine yazarak bir sayı ekseni çiziyoruz.
- Değerin altına bir daire çizin. İki tür daire vardır: dolu ve boş. İçi dolu daire, verilen değerin çözüm aralığında olduğu anlamına gelir. Boş bir daire bu değerin çözüm aralığına dahil olmadığını gösterir.
- Payda olamaz çünkü sıfıra eşit, 2'nin altında boş bir daire olacak.
- İşaretleri belirlemek için denklemde ikiden büyük herhangi bir sayıyı yerine koyarız, örneğin 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. değer negatif yani ikiden sonra alanın üstüne eksi yazıyoruz. Daha sonra X'in yerine 5/3 ile 2 arasındaki herhangi bir değeri (örneğin 1) koyun. Değer yine negatiftir. Eksi yazıyoruz. Aynı işlemi 5/3'e kadar bulunan alan için de tekrarlıyoruz. 5/3'ten küçük herhangi bir sayıyı değiştiririz, örneğin 1. Yine eksi.
- İfadenin 0'dan büyük veya ona eşit olacağı x değerleriyle ilgilendiğimiz ve böyle değerler olmadığı için (her yerde eksiler vardır), bu eşitsizliğin çözümü yoktur yani x = Ø (boş bir set).
Cevap: x = Ø
Ders içeriği
Paydaları benzer olan kesirleri toplama
İki tür kesir toplama işlemi vardır:
- Paydaları benzer olan kesirleri toplama
- Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması
Öncelikle paydaları benzer olan kesirlerin toplamasını öğrenelim. Burada her şey basit. Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir. Örneğin kesirleri toplayalım ve . Payları ekleyin ve paydayı değiştirmeden bırakın:
Dört parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği kolaylıkla anlayabiliriz. Pizzaya pizza eklerseniz pizza elde edersiniz:
Örnek 2. Kesirleri ekleyin ve .
Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıktı. Görevin sonu geldiğinde uygunsuz kesirlerden kurtulmak gelenekseldir. Uygunsuz bir kesirden kurtulmak için onun tamamını seçmeniz gerekir. Bizim durumumuzda, parçanın tamamı kolayca izole edilebilir - iki bölü ikiye eşittir bir:
İki parçaya bölünen bir pizzayı hatırlarsak bu örneği daha kolay anlayabiliriz. Pizzaya daha fazla pizza eklerseniz bir bütün pizza elde edersiniz:
Örnek 3. Kesirleri ekleyin ve .
Yine payları topluyoruz ve paydayı değiştirmeden bırakıyoruz:
Üç parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği rahatlıkla anlayabiliriz. Pizzaya daha fazla pizza eklerseniz pizza alırsınız:
Örnek 4. Bir ifadenin değerini bulun 
Bu örnek öncekilerle tamamen aynı şekilde çözüldü. Paylar eklenmeli ve payda değişmeden bırakılmalıdır:
Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Bir pizzaya pizza ekleyip daha fazla pizza eklerseniz 1 tam pizza ve daha fazla pizza elde edersiniz.
Gördüğünüz gibi paydaları aynı olan kesirleri toplamanın karmaşık bir tarafı yok. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:
- Paydası aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplamanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;
Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması
Şimdi farklı paydalara sahip kesirleri nasıl toplayacağımızı öğrenelim. Kesirleri eklerken kesirlerin paydalarının aynı olması gerekir. Ancak her zaman aynı değildirler.
Örneğin kesirler toplanabilir çünkü bunlar aynı paydalar.
Ancak kesirler hemen eklenemez çünkü bu kesirler farklı paydalar. Bu gibi durumlarda kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi gerekir.
Kesirleri aynı paydaya indirmenin birkaç yolu vardır. Diğer yöntemler yeni başlayanlar için karmaşık görünebileceğinden bugün bunlardan yalnızca birine bakacağız.
Bu yöntemin özü, öncelikle her iki kesirin paydalarının LCM'sinin aranmasıdır. LCM daha sonra ilk ek faktörü elde etmek için ilk kesrin paydasına bölünür. Aynısını ikinci kesir için de yaparlar - LCM, ikinci kesrin paydasına bölünür ve ikinci bir ek faktör elde edilir.
Daha sonra kesirlerin payları ve paydaları ek faktörlerle çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüşür. Ve bu tür kesirlerin nasıl ekleneceğini zaten biliyoruz.
örnek 1. Kesirleri toplayalım ve
Öncelikle her iki kesrin paydalarının en küçük ortak katını buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası ise 2 sayısıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 6'dır.
LCM (2 ve 3) = 6
Şimdi kesirlere dönelim ve . İlk olarak, LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün ve ilk ek faktörü elde edin. LCM 6 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 6'yı 3'e bölersek 2 elde ederiz.
Ortaya çıkan 2 sayısı ilk ek çarpandır. Bunu ilk kesire yazıyoruz. Bunu yapmak için kesirin üzerine küçük bir eğik çizgi çizin ve üzerinde bulunan ek çarpanı yazın:
Aynısını ikinci kesirle de yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölüyoruz ve ikinci ek faktörü elde ediyoruz. LCM 6 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 2 sayısıdır. 6'yı 2'ye bölersek 3 elde ederiz.
Ortaya çıkan 3 sayısı ikinci ek çarpandır. Bunu ikinci kesire yazıyoruz. Yine ikinci kesrin üzerine küçük bir eğik çizgi çiziyoruz ve onun üzerinde bulunan ek çarpanı yazıyoruz:
Artık eklemeye hazır her şeyimiz var. Kesirlerin paylarını ve paydalarını ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:
Geldiğimiz noktaya dikkatlice bakın. Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl ekleneceğini zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar götürelim:
Bu örneği tamamlıyor. Eklemek ortaya çıkıyor.
Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Bir pizzaya pizza eklerseniz, bir tam pizza ve altıda bir pizza daha alırsınız:
Kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi bir resim kullanılarak da gösterilebilir. Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyerek kesirleri ve . Bu iki fraksiyon aynı pizza parçalarıyla temsil edilecek. Tek fark bu sefer eşit paylara bölünecek (aynı paydaya indirgenecek).
İlk çizim bir kesri (altıda dört parça), ikinci çizim ise bir kesri (altıda üç parça) temsil etmektedir. Bu parçaları ekleyerek (altıdan yedi parça) elde ederiz. Bu kısım uygunsuz olduğundan tamamını vurguladık. Sonuç olarak (bir bütün pizza ve başka bir altıncı pizza) elde ettik.
Lütfen bu örneği çok ayrıntılı olarak anlattığımızı unutmayın. İÇİNDE Eğitim Kurumları Bu kadar ayrıntılı yazmak alışılmış bir şey değil. Hem paydaların hem de bunlara ek faktörlerin LCM'sini hızlı bir şekilde bulmanız ve ayrıca bulunan ek faktörleri paylarınız ve paydalarınızla hızlı bir şekilde çarpmanız gerekir. Eğer okulda olsaydık bu örneği şu şekilde yazmamız gerekirdi:
Ama aynı zamanda var arka taraf madalyalar. Matematik çalışmanın ilk aşamalarında detaylı notlar almazsanız bu tür sorular ortaya çıkmaya başlar. “Bu sayı nereden geliyor?”, “Kesirler neden bir anda bambaşka kesirlere dönüşüyor? «.
Farklı paydalara sahip kesirleri toplamayı kolaylaştırmak için aşağıdaki adım adım talimatları kullanabilirsiniz:
- Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun;
- LCM'yi her fraksiyonun paydasına bölün ve her fraksiyon için ek bir faktör elde edin;
- Kesirlerin pay ve paydalarını ek faktörleriyle çarpın;
- Paydaları aynı olan kesirleri ekleyin;
- Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, tüm kısmını seçin;
Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun 
.
Yukarıda verilen talimatları kullanalım.
Adım 1. Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun
Her iki fraksiyonun paydalarının LCM'sini bulun. Kesirlerin paydaları 2, 3 ve 4 sayılarıdır
Adım 2. LCM'yi her kesrin paydasına bölün ve her kesir için ek bir faktör elde edin
LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 2 sayısıdır. 12'yi 2'ye bölersek 6 elde ederiz. İlk ek faktör olan 6'yı elde ederiz. Bunu ilk kesrin üstüne yazıyoruz:
Şimdi LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası da 3 sayısıdır. 12'yi 3'e bölersek 4 elde ederiz. İkinci ek faktör olan 4'ü elde ederiz. Bunu ikinci kesrin üstüne yazıyoruz:
Şimdi LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve üçüncü kesrin paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölersek 3 elde ederiz. Üçüncü ek faktör 3'ü elde ederiz. Bunu üçüncü kesrin üstüne yazıyoruz:
Adım 3. Kesirlerin pay ve paydalarını ek faktörleriyle çarpın
Pay ve paydaları ek faktörleriyle çarpıyoruz:
Adım 4. Paydaları aynı olan kesirleri toplayın
Paydaları farklı olan kesirlerin aynı (ortak) paydaya sahip kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Geriye kalan tek şey bu kesirleri eklemek. Üzerine eklemek:
Ekleme tek satıra sığmadığı için kalan ifadeyi bir sonraki satıra taşıdık. Buna matematikte izin verilir. Bir ifade bir satıra sığmadığında bir sonraki satıra taşınır ve ilk satırın sonuna ve yeni satırın başına eşittir işareti (=) konulması gerekir. İkinci satırdaki eşittir işareti, bunun ilk satırdaki ifadenin devamı olduğunu gösterir.
Adım 5. Cevabın hatalı bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, cevabın tamamını seçin
Cevabımızın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıktı. Bir kısmını tam olarak vurgulamamız gerekiyor. Şunları vurguluyoruz:
Bir cevap aldık
Paydaları Benzer Olan Kesirlerde Çıkarma
Kesirlerde iki tür çıkarma işlemi vardır:
- Paydaları Benzer Olan Kesirlerde Çıkarma
- Paydaları Farklı Kesirlerde Çıkarma
Öncelikle paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi yapmayı öğrenelim. Burada her şey basit. Bir kesirden başka bir kesir çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız, ancak paydayı aynı bırakmanız gerekir.
Örneğin ifadesinin değerini bulalım. Bu örneği çözmek için ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir. Bunu yapalım:
Dört parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği kolaylıkla anlayabiliriz. Bir pizzadan pizza keserseniz pizza alırsınız:
Örnek 2.İfadenin değerini bulun.
Yine birinci kesrin payından ikinci kesrin payını çıkarın ve paydayı değiştirmeden bırakın:
Üç parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği rahatlıkla anlayabiliriz. Bir pizzadan pizza keserseniz pizza alırsınız:
Örnek 3. Bir ifadenin değerini bulun 
Bu örnek öncekilerle tamamen aynı şekilde çözüldü. İlk kesirin payından, kalan kesirlerin paylarını çıkarmanız gerekir:
Gördüğünüz gibi paydaları aynı olan kesirlerde çıkarma işleminde karmaşık bir şey yoktur. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:
- Bir kesirden başka bir kesir çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;
- Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, o zaman onun tamamını vurgulamanız gerekir.
Paydaları Farklı Kesirlerde Çıkarma
Örneğin, kesirlerin paydaları aynı olduğundan, bir kesirden bir kesir çıkarabilirsiniz. Ancak bir kesirden kesir çıkaramazsınız çünkü bu kesirlerin paydaları farklıdır. Bu gibi durumlarda kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi gerekir.
Ortak payda, farklı paydalara sahip kesirleri toplarken kullandığımız prensibin aynısını kullanarak bulunur. Öncelikle her iki kesrin paydalarının LCM'sini bulun. Daha sonra LCM, ilk kesrin paydasına bölünür ve ilk kesrin üzerine yazılan ilk ek faktör elde edilir. Benzer şekilde LCM, ikinci kesrin paydasına bölünür ve ikinci kesrin üzerine yazılan ikinci bir ek faktör elde edilir.
Daha sonra kesirler ek katsayılarıyla çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüştürülür. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz.
Örnek 1.İfadenin anlamını bulun:
Bu kesirlerin paydaları farklı olduğundan onları aynı (ortak) paydaya indirgemeniz gerekir.
İlk önce her iki fraksiyonun paydalarının LCM'sini buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası ise 4 sayısıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 12'dir.
LCM (3 ve 4) = 12
Şimdi kesirlere dönelim ve
İlk kesir için ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 12'yi 3'e bölersek 4 elde ederiz. İlk kesrin üstüne bir dört yazın:
Aynısını ikinci kesirle de yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölersek 3 elde ederiz. İkinci kesrin üzerine bir üç yazın:
Artık çıkarma işlemine hazırız. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:
Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar götürelim:
Bir cevap aldık
Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Pizzayı pizzadan keserseniz pizza alırsınız
Bu ayrıntılı versiyonçözümler. Okulda olsaydık bu örneği daha kısa çözmek zorunda kalırdık. Böyle bir çözüm şöyle görünecektir:
Kesirlerin ortak bir paydaya indirgenmesi bir resim kullanılarak da gösterilebilir. Bu kesirleri ortak bir paydaya indirgeyerek kesirleri elde ettik. Bu kesirler aynı pizza dilimleri ile temsil edilecek, ancak bu sefer eşit paylara bölünecekler (aynı paydaya indirgenmiş):
İlk resim bir kesiri (on ikiden sekizi) gösterirken, ikinci resim bir kesiri (on ikiden üçü) göstermektedir. Sekiz parçadan üç parça kestiğimizde on iki parçadan beş parça elde ediyoruz. Kesir bu beş parçayı tanımlamaktadır.
Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun 
Bu kesirlerin farklı paydaları vardır, bu nedenle önce onları aynı (ortak) paydaya indirgemeniz gerekir.
Bu kesirlerin paydalarının LCM'sini bulalım.
Kesirlerin paydaları 10, 3 ve 5 sayılarıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 30'dur.
LCM(10, 3, 5) = 30
Şimdi her kesir için ek faktörler buluyoruz. Bunu yapmak için LCM'yi her kesrin paydasına bölün.
İlk kesir için ek bir faktör bulalım. LCM 30 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 10 sayısıdır. 30'u 10'a bölerek ilk ek çarpan 3'ü elde ederiz. Bunu ilk kesrin üstüne yazıyoruz:
Şimdi ikinci kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 3 sayısıdır. 30'u 3'e bölerek ikinci ek faktör 10'u elde ederiz. Bunu ikinci kesrin üzerine yazıyoruz:
Şimdi üçüncü kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve üçüncü kesrin paydası 5 sayısıdır. 30'u 5'e bölerek üçüncü ek faktör 6'yı elde ederiz. Bunu üçüncü kesrin üstüne yazıyoruz:
Artık her şey çıkarma işlemine hazır. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:
Paydaları farklı olan kesirlerin aynı (ortak) paydaya sahip kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz. Bu örneği bitirelim.
Örneğin devamı tek satıra sığmayacağından devamını bir sonraki satıra taşıyoruz. Yeni satırdaki eşittir işaretini (=) unutmayın:
Cevabın normal bir kesir olduğu ortaya çıktı ve her şey bize uygun görünüyor, ancak bu çok hantal ve çirkin. Bunu daha basit hale getirmeliyiz. Ne yapılabilir? Bu kısmı kısaltabilirsiniz.
Bir kesri azaltmak için payını ve paydasını 20 ve 30 sayılarının (GCD) ile bölmeniz gerekir.
Böylece 20 ve 30 sayılarının gcd'sini buluyoruz:
Şimdi örneğimize dönüyoruz ve kesrin payını ve paydasını bulunan gcd'ye yani 10'a bölüyoruz.
Bir cevap aldık
Bir kesri bir sayıyla çarpmak
Bir kesri bir sayıyla çarpmak için verilen kesrin payını o sayıyla çarpmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.
örnek 1. Bir kesri 1 sayısıyla çarpın.
Kesrin payını 1 sayısıyla çarpın
Kayıt yarım 1 kez sürüyormuş gibi anlaşılabilir. Örneğin, bir kez pizza yerseniz pizza alırsınız
Çarpma yasalarından biliyoruz ki, çarpan ve çarpan yer değiştirirse çarpım değişmeyecektir. İfade olarak yazılırsa çarpım yine eşit olacaktır. Bir tam sayı ile bir kesri çarpma kuralı yine işe yarar:
Bu notasyon birin yarısını almak şeklinde anlaşılabilir. Örneğin 1 tam pizza varsa ve yarısını alırsak pizza elde ederiz:
Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun
Kesrin payını 4 ile çarpın
Cevap uygunsuz bir kesirdi. Tamamını vurgulayalım:
İfadeden iki çeyreğin 4 kere alınması şeklinde anlaşılabilir. Örneğin 4 pizza alırsanız 2 tam pizza alırsınız.
Çarpan ile çarpanı yer değiştirirsek, ifadesini elde ederiz. Bu da 2'ye eşit olacaktır. Bu ifadeyi dört tam pizzadan iki pizzanın alınması şeklinde de anlayabiliriz:
Kesirlerin Çarpılması
Kesirleri çarpmak için pay ve paydalarını çarpmanız gerekir. Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, onun tamamını vurgulamanız gerekir.
Örnek 1.İfadenin değerini bulun.
Bir cevap aldık. Bu oranın azaltılması tavsiye edilir. Kesir 2 oranında azaltılabilir. Daha sonra nihai çözüm aşağıdaki formu alacaktır:
İfade yarım pizzadan pizza almak şeklinde anlaşılabilir. Diyelim ki yarım pizzamız var:
Bu yarıdan üçte ikisi nasıl alınır? Öncelikle bu yarıyı üç eşit parçaya bölmeniz gerekir:
Ve bu üç parçadan ikisini alın:
Pizza yapacağız. Üç parçaya bölündüğünde pizzanın nasıl göründüğünü unutmayın:
Bu pizzanın bir parçası ile aldığımız iki parça aynı boyutlara sahip olacak:
Başka bir deyişle, Hakkında konuşuyoruz yaklaşık aynı büyüklükte pizza. Bu nedenle ifadenin değeri
Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun
Birinci kesrin payını ikinci kesrin payıyla ve birinci kesrin paydasını ikinci kesrin paydasıyla çarpın:
Cevap uygunsuz bir kesirdi. Tamamını vurgulayalım:
Örnek 3. Bir ifadenin değerini bulun
Birinci kesrin payını ikinci kesrin payıyla ve birinci kesrin paydasını ikinci kesrin paydasıyla çarpın:
Cevabın normal bir kesir olduğu ortaya çıktı, ancak kısaltılması iyi olurdu. Bu kesri azaltmak için, bu kesrin payını ve paydasını 105 ve 450 sayılarının en büyük ortak bölenine (GCD) bölmeniz gerekir.
O halde 105 ve 450 sayılarının gcd'sini bulalım:
Şimdi cevabımızın payını ve paydasını şimdi bulduğumuz gcd'ye, yani 15'e bölüyoruz.
Bir tam sayıyı kesir olarak gösterme
Herhangi bir tam sayı kesir olarak gösterilebilir. Örneğin 5 sayısı şu şekilde gösterilebilir. Bu beşin anlamını değiştirmez çünkü ifade “beş sayısının bire bölümü” anlamına gelir ve bu da bildiğimiz gibi beşe eşittir:
Karşılıklı sayılar
Şimdi çok tanışacağız ilginç konu Matematikte. Buna "ters sayılar" denir.
Tanım. Numaraya geri dönA ile çarpıldığında bir sayıdırA bir tane verir.
Bu tanımda değişken yerine yerine koyalım A 5 numara ve tanımı okumaya çalışın:
Numaraya geri dön 5 ile çarpıldığında bir sayıdır 5 bir tane verir.
5 ile çarpıldığında 1 veren bir sayı bulunabilir mi? Bunun mümkün olduğu ortaya çıktı. Beşi kesir olarak düşünelim:
Daha sonra bu kesri kendisiyle çarpın, sadece pay ve paydayı değiştirin. Yani kesri kendisiyle ancak tersten çarpalım:
Bunun sonucunda ne olacak? Bu örneği çözmeye devam edersek şunu elde ederiz:
Bu, 5 sayısının tersinin sayı olduğu anlamına gelir, çünkü 5'i çarptığınızda bir elde edersiniz.
Bir sayının tersi herhangi bir tam sayı için de bulunabilir.
Ayrıca herhangi bir kesrin tersini de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için ters çevirmeniz yeterlidir.
Bir kesri bir sayıya bölmek
Diyelim ki yarım pizzamız var:
İkiye eşit olarak paylaştıralım. Kişi başına ne kadar pizza verilecek?
Pizzanın yarısını böldükten sonra her biri birer pizza oluşturan iki eşit parça elde edildiği görülüyor. Böylece herkes pizza alır.
Kesirlerin bölünmesi karşılıklı işlemler kullanılarak yapılır. Karşılıklı sayılar, bölmeyi çarpmayla değiştirmenize olanak tanır.
Bir kesri bir sayıya bölmek için kesri bölenin tersiyle çarpmanız gerekir.
Bu kuralı kullanarak pizzamızın yarısının ikiye bölünmesini yazacağız.
Yani kesri 2 sayısına bölmeniz gerekiyor. Burada temettü kesirdir ve bölen ise 2 sayısıdır.
Bir kesri 2 sayısına bölmek için bu kesri bölen 2'nin tersi ile çarpmanız gerekir. Bölen 2'nin tersi kesirdir. Yani şununla çarpmanız gerekiyor:
496. Bulmak X, Eğer:
497. 1) Bilinmeyen bir sayının 10 1/2'sini 3/10'una eklerseniz 13 1/2 elde edersiniz. Bilinmeyen numarayı bulun.
2) Bilinmeyen bir sayının 7/10'undan 10 1/2 çıkarırsanız 15 2/5 elde edersiniz. Bilinmeyen numarayı bulun.
498 *. Bilinmeyen bir sayının 3/4'ünden 10 çıkarıp çıkan farkı 5 ile çarparsanız 100 elde edersiniz. Sayıyı bulun.
499 *. Bilinmeyen bir sayıyı 2/3 oranında arttırırsanız 60 elde edersiniz. Bu kaç sayıdır?
500 *. Bilinmeyen sayıya aynı miktarı ve ayrıca 20 1/3'ü eklerseniz 105 2/5 elde edersiniz. Bilinmeyen numarayı bulun.
501. 1) Kare salkım ekiminde patates verimi hektar başına ortalama 150 cent, geleneksel ekimde ise bu miktarın 3/5'idir. Patatesler kare salma yöntemiyle ekilirse 15 hektarlık bir alandan ne kadar daha fazla patates hasat edilebilir?
2) Deneyimli bir işçi 1 saatte 18 parça, deneyimsiz bir işçi ise bu miktarın 2/3'ünü üretmiştir. Deneyimli bir işçi 7 saatlik bir günde kaç parça daha üretebilir?
502. 1) İçinde toplanan öncüler üç gün 56 kg farklı tohum. Birinci gün toplam miktarın 3/14'ü, ikinci gün bir buçuk katı, üçüncü gün ise geri kalan tahıl toplandı. Öncüler üçüncü günde kaç kilogram tohum topladılar?
2) Buğdayı öğütürken sonuç şuydu: Toplam buğday miktarının 4/5'i un, irmik - undan 40 kat daha az ve geri kalanı kepek. 3 ton buğday öğütüldüğünde ayrı ayrı ne kadar un, irmik ve kepek elde edildi?
503. 1) Üç garaj 460 arabayı barındırabilir. Birinci garaja sığan araba sayısı ikinci garaja sığan araba sayısının 3/4'ü kadardır ve üçüncü garajda birincinin 1 1/2 katı araba vardır. Her garaja kaç araba sığar?
2) Üç atölyesi olan bir fabrikada 6.000 işçi çalışmaktadır. İkinci atölyede birinciye göre 1 1/2 kat daha az işçi vardır ve üçüncü atölyedeki işçi sayısı ikinci atölyedeki işçi sayısının 5/6'sıdır. Her atölyede kaç işçi var?
504. 1) Toplam gazyağının önce 2/5'i, sonra 1/3'ü gazyağı dolu bir tanktan döküldü ve ardından tankta 8 ton gazyağı kaldı. Başlangıçta depoda ne kadar gazyağı vardı?
2) Bisikletçiler üç gün boyunca yarıştı. İlk gün tüm yolculuğun 4/15'ini, ikinci gün 2/5'ini, üçüncü gün ise kalan 100 km'yi kat ettiler. Bisikletçiler üç günde ne kadar yol kat ettiler?
505. 1) Buzkıran üç gün boyunca buz alanında yolunu bulmaya çalıştı. İlk gün tüm mesafenin 1/2'sini, ikinci gün kalan mesafenin 3/5'ini, üçüncü gün ise kalan 24 km'yi yürüdü. Buzkıranın üç günde kat ettiği yolun uzunluğunu bulun.
2) Üç grup okul çocuğu köyü yeşillendirmek için ağaç dikti. Birinci müfreze tüm ağaçların 7/20'sini, ikinci müfreze kalan ağaçların 5/8'ini, üçüncü müfreze ise kalan 195 ağacı dikti. Üç takım toplamda kaç ağaç dikti?
506. 1) Bir biçerdöver bir tarladan üç günde buğday hasadı yaptı. İlk gün parselin tüm alanının 5/18'inden, ikinci gün kalan alanın 7/13'ünden, üçüncü gün ise kalan 30 1/2 alandan hasat yapmıştır. hektar. Hektardan ortalama 20 kuruş buğday hasat edildi. Tüm bölgede ne kadar buğday hasat edildi?
2) Ralli katılımcıları ilk gün tüm parkurun 3/11'ini, ikinci gün kalan parkurun 7/20'sini, üçüncü gün yeni kalan parkurun 5/13'ünü, dördüncü gün ise kalan parkurun 5/13'ünü kat ettiler. 320 km. Mitingin güzergahı ne kadar?
507. 1) Araç ilk gün tüm mesafenin 3/8'ini, ikinci gün ilk gün kat ettiği mesafenin 15/17'sini, üçüncü gün ise kalan 200 km'yi kat etmiştir. Bir araba 10 km boyunca 1 3/5 kg benzin tüketirse ne kadar benzin tüketilir?
2) Şehir dört bölgeden oluşmaktadır. Kentte yaşayanların 4/13'ü birinci bölgede, birinci ilçede yaşayanların 5/6'sı ikinci bölgede, birinci ilçede yaşayanların 4/11'i üçüncü bölgede; iki ilçe birleşiyor ve dördüncü ilçede 18 bin kişi yaşıyor. Bir kişi günde ortalama 500 gr tüketirse, şehrin tüm nüfusunun 3 gün için ne kadar ekmeğe ihtiyacı olur?
508. 1) Turist tüm yolculuğunun ilk gününde 10/31'ini, ilk gün yürüdüğünün ikinci 9/10'unu, üçüncü gününde geri kalan kısmını, üçüncü gününde ise 12 yürümüştür. ikinci güne göre km daha fazla. Turist üç günün her birinde kaç kilometre yürüdü?
2) Araba A şehrinden B şehrine olan tüm yolu üç günde kat etmiştir. Araç ilk gün tüm mesafenin 7/20'sini, ikinci gün kalan mesafenin 8/13'ünü, üçüncü gün ise ilk güne göre 72 km daha az yol kat etti. A ve B şehirleri arasındaki mesafe ne kadardır?
509. 1) İcra Komitesi üç fabrikanın işçilerine arazi tahsis etti. Bahçe arazileri. Birinci tesise toplam parsel sayısının 9/25'i, ikinci tesise birinci için ayrılan parsel sayısının 5/9'u ve üçüncü tesise kalan parsellerin tahsisi yapılmıştır. İlk fabrikaya üçüncü fabrikadan 50 arsa daha az tahsis edilmişse, üç fabrikanın işçilerine toplam kaç arsa tahsis edilmiştir?
2) Uçak, kış işçilerinin vardiyasını üç gün içinde Moskova'dan kutup istasyonuna teslim etti. İlk gün tüm mesafenin 2/5'ini, ikinci gün ilk gün kat ettiği mesafenin 5/6'sını, üçüncü gün ise ikinci güne göre 500 km daha az uçtu. Uçak üç günde ne kadar uzağa uçtu?
510. 1) Fabrikanın üç atölyesi vardı. İlk atölyedeki işçi sayısı fabrikadaki tüm işçilerin 2/5'idir; ikinci atölyede birinciye göre 1 1/2 kat daha az işçi var ve üçüncü atölyede ikinciye göre 100 daha fazla işçi var. Fabrikada kaç işçi var?
2) Kolektif çiftlik, üç komşu köyün sakinlerini içermektedir. İlk köydeki ailelerin sayısı kollektif çiftlikteki tüm ailelerin 3/10'udur; ikinci köyde aile sayısı birinciye göre 1 1/2 kat daha fazladır ve üçüncü köyde aile sayısı ikinciye göre 420 daha azdır. Kollektif çiftlikte kaç aile var?
511. 1) Artel, hammadde stoğunun 1/3'ünü ilk haftada, geri kalanın ise 1/3'ünü ikinci haftada tüketti. İlk haftada hammadde tüketimi ikinci haftaya göre 3/5 ton daha fazlaysa artelde ne kadar hammadde kalır?
2) İthal kömürün 1/6'sı ilk ayda evin ısıtılması için, geri kalanının 3/8'i ikinci ayda harcandı. İkinci ayda ilk aya göre 1 3/4 daha fazla kömür kullanılırsa evi ısıtmak için ne kadar kömür kalır?
512. Kollektif çiftliğin toplam arazisinin 3/5'i tahıl ekimine ayrılmış, geri kalanın 13/36'sı sebze bahçesi ve mera, geri kalan arazi ise orman, kollektif çiftliğin ekili alanı ise 217 hektar daha fazla alan Ormanlarda tahıl ürünlerine ayrılan arazinin 1/3'ü çavdar, geri kalanı ise buğday ekilmektedir. Kolektif çiftlik kaç hektar araziye buğday, kaç hektar araziye çavdar ekti?
513. 1) Tramvay güzergahı 14 3/8 km uzunluğa sahiptir. Tramvay bu rota boyunca 18 durak yapıyor ve durak başına ortalama 1 1/6 dakikaya kadar zaman harcıyor. Tramvayın tüm güzergah boyunca ortalama hızı saatte 12 1/2 km'dir. Bir tramvayın bir yolculuğu tamamlaması ne kadar sürer?
2) Otobüs güzergahı 16 km. Bu güzergah üzerinde otobüs, her biri 3/4 dakikalık 36 durakta durmaktadır. ortalama olarak her biri. Ortalama otobüs hızı saatte 30 km'dir. Bir otobüs bir rotayı ne kadar sürer?
514*. 1) Saat şu anda 6. akşamlar. Günün geçmişten kalan kısmı nedir ve günün hangi kısmı kalmıştır?
2) Bir vapur iki şehir arasındaki mesafeyi akıntıyla 3 günde kat etmektedir. ve aynı mesafeyi 4 gün içinde geri dönüyoruz. Sallar bir şehirden diğerine kaç gün boyunca yüzecek?
515. 1) Uzunluğu 6 2/3 m, genişliği 5 1/4 m olan bir odanın zeminini döşemek için her bir levhanın uzunluğu 6 2/3 m ve genişliği 3/ ise kaç adet levha kullanılacaktır? Uzunluğun 80'i mi?
2) Dikdörtgen bir platformun uzunluğu 45 1/2 m, genişliği ise uzunluğunun 5/13'üdür. Bu alan 4/5 m genişliğinde bir patika ile sınırlanmıştır.Yolun alanını bulunuz.
516. Sayıların aritmetik ortalamasını bulun:
517. 1) İki sayının aritmetik ortalaması 6 1/6'dır. Sayılardan biri 3 3/4'tür. Başka bir numara bul.
2) İki sayının aritmetik ortalaması 14 1/4'tür. Bu sayılardan biri 15 5/6'dır. Başka bir numara bul.
518. 1) Yük treni üç saat boyunca yoldaydı. İlk saatte 36 1/2 km, ikinci saatte 40 km ve üçüncü saatte 39 3/4 km yol kat etti. Trenin ortalama hızını bulunuz.
2) Araba ilk iki saatte 81 1/2 km, sonraki 2 1/2 saatte ise 95 km yol kat etti. Saatte ortalama kaç kilometre yürüdü?
519. 1) Traktör sürücüsü araziyi sürme işini üç günde tamamladı. İlk gün 12 1/2 hektar, ikinci gün 15 3/4 hektar ve üçüncü gün 14 1/2 hektar sürdü. Bir traktör sürücüsü günde ortalama kaç hektar araziyi sürüyordu?
2) Üç günlük turistik gezi yapan bir grup okul çocuğu, ilk gün 6 1/3 saat, ikinci gün 7 saat yollarda kaldı. ve üçüncü gün - 4 2/3 saat. Okul çocukları her gün ortalama kaç saat yolculuk yapıyorlardı?
520. 1) Evde üç aile yaşıyor. Birinci ailede daireyi aydınlatmak için 3, ikinci ailede 4, üçüncü ailede ise 5 ampul bulunmaktadır. Tüm lambalar aynı olsaydı ve toplam elektrik faturası (tüm ev için) 7 1/5 ruble olsaydı, her aile elektrik için ne kadar ödemelidir?
2) Üç ailenin yaşadığı bir apartman dairesinde bir cilacı yerleri cilalıyordu. İlk ailenin 36 1/2 metrekarelik yaşam alanı vardı. m, ikincisi 24 1/2 metrekaredir. m ve üçüncü - 43 metrekare. m.Tüm işler için 2 ruble ödendi. 08 kop. Her aile ne kadar ödedi?
521. 1) Bahçe parselinde 50 çalıdan çalı başına 1 1/10 kg, 70 çalıdan çalı başına 4/5 kg, 80 çalıdan çalı başına 9/10 kg patates toplandı. Her çalıdan ortalama kaç kilogram patates hasat ediliyor?
2) 300 hektarlık bir alandaki saha ekibi, 1 hektar başına 20 1/2 kental kışlık buğday, 1 hektar başına 80 hektardan 24 kental ve 20 hektardan - 28 1/2 kental kışlık buğday hasadı aldı. 1 ha. 1 hektarlık bir tugayın ortalama verimi nedir?
522. 1) İki sayının toplamı 7 1/2'dir. Bir sayı diğerinden 4 4/5 büyüktür. Bu sayıları bulun.
2) Tatar ve Kerç Boğazlarının genişliğini ifade eden sayıları toplarsak 11 7/10 km elde ederiz. Tatar Boğazı, Kerç Boğazı'ndan 3 1/10 km daha geniştir. Her bir boğazın genişliği ne kadardır?
523. 1) Üç sayının toplamı 35 2/3'tür. İlk sayı ikinciden daha fazla 5 1/3 ve üçte birinden 3 5/6 daha fazla. Bu sayıları bulun.
2) Adalar Yeni Dünya Sakhalin ve Severnaya Zemlya birlikte 196 7/10 bin metrekarelik bir alanı kaplıyor. km. Novaya Zemlya'nın alanı 44 1/10 bin metrekaredir. Severnaya Zemlya bölgesinden km daha büyük ve 5 1/5 bin metrekare. Sakhalin bölgesinden km daha büyük. Listelenen adaların her birinin alanı nedir?
524. 1) Daire üç odadan oluşmaktadır. İlk odanın alanı 24 3/8 m2'dir. m ve dairenin tüm alanının 13/36'sıdır. İkinci odanın alanı 8 1/8 metrekaredir. m üçüncünün alanından daha fazla. İkinci odanın alanı nedir?
2) Üç günlük bir yarışmanın ilk gününde bir bisikletçi, toplam seyahat süresinin 13/43'üne karşılık gelen 3 1/4 saat boyunca yoldaydı. İkinci gün üçüncü güne göre 1 1/2 saat daha fazla bisiklet sürdü. Bisikletçi yarışmanın ikinci gününde kaç saat yol kat etti?
525. Üç parça demirin toplam ağırlığı 17 1/4 kg'dır. İlk parçanın ağırlığı 1 1/2 kg, ikinci parçanın ağırlığı 2 1/4 kg azaltılırsa üç parçanın ağırlığı da aynı olacaktır. Her bir demir parçasının ağırlığı ne kadardı?
526. 1) İki sayının toplamı 15 1/5'tir. Birinci sayı 3 1/10 azaltılır, ikinci sayı 3 1/10 artırılırsa bu sayılar eşit olur. Her sayı neye eşittir?
2) İki kutuda 38 1/4 kg tahıl vardı. Bir kutudan diğerine 4 3/4 kg mısır gevreği dökerseniz, her iki kutuda da eşit miktarda tahıl olacaktır. Her kutuda ne kadar mısır gevreği var?
527 . 1) İki sayının toplamı 17 17/30'dur. İlk sayıdan 5 1/2 çıkarıp ikinciye eklerseniz, birinci sayı ikinciden yine 2 17/30 büyük olacaktır. Her iki sayıyı da bulun.
2) İki kutuda 24 1/4 kg elma var. İlk kutudan ikinciye 3 1/2 kg aktarırsanız, birincide ikinciden 3/5 kg daha fazla elma olacaktır. Her kutuda kaç kilo elma var?
528 *. 1) İki sayının toplamı 8 11/14, farkları ise 2 3/7'dir. Bu sayıları bulun.
2) Tekne nehir boyunca saatte 15 1/2 km hızla ve akıntıya karşı saatte 8 1/4 km hızla hareket etti. Nehrin akış hızı nedir?
529. 1) İki garajda 110 araba var ve bunlardan birinde diğerinden 1 1/5 kat daha fazla var. Her garajda kaç araba var?
2) İki odadan oluşan bir dairenin yaşam alanı 47 1/2 m2'dir. m Bir odanın alanı diğerinin alanının 8/11'idir. Her odanın alanını bulun.
530. 1) Bakır ve gümüşten oluşan bir alaşımın ağırlığı 330 gr.Bu alaşımdaki bakırın ağırlığı, gümüşün ağırlığının 5/28'idir. Alaşımda ne kadar gümüş ve ne kadar bakır var?
2) İki sayının toplamı 6 3/4, bölümü ise 3 1/2'dir. Bu sayıları bulun.
531. Üç sayının toplamı 22 1/2'dir. İkinci sayı 3 1/2 katıdır ve üçüncüsü birincinin 2 1/4 katıdır. Bu sayıları bulun.
532. 1) İki sayının farkı 7'dir; büyük bir sayının küçük bir sayıya bölünmesi bölümü 5 2/3'tür. Bu sayıları bulun.
2) İki sayının farkı 29 3/8, kat oranları ise 8 5/6'dır. Bu sayıları bulun.
533. Bir sınıfta devamsız öğrenci sayısı mevcut öğrenci sayısının 3/13'üdür. Mevcut olanların sayısı, gelmeyenlerin sayısından 20 fazla olduğuna göre, listeye göre sınıfta kaç öğrenci vardır?
534. 1) İki sayı arasındaki fark 3 1/5'tir. Bir sayı diğerinin 5/7'sidir. Bu sayıları bulun.
2) Baba oğlumdan büyük 24 yıldır. Oğlunun yıllarının sayısı babanın yıllarının 5/13'üne eşittir. Baba kaç yaşında, oğul kaç yaşında?
535. Bir kesrin paydası payından 11 birim büyüktür. Paydası payın 3 3/4 katı olan bir kesrin değeri nedir?
No. 536 - 537 sözlü olarak.
536. 1) Birinci sayı ikincinin 1/2'sidir. İkinci sayı birinciden kaç kat daha büyüktür?
2) Birinci sayı ikincinin 3/2'sidir. Birinci sayının hangi kısmı ikinci sayıdır?
537. 1) Birinci sayının 1/2'si ikinci sayının 1/3'üne eşittir. Birinci sayının hangi kısmı ikinci sayıdır?
2) Birinci sayının 2/3'ü ikinci sayının 3/4'üne eşittir. Birinci sayının hangi kısmı ikinci sayıdır? İkinci sayının hangi kısmı birincidir?
538. 1) İki sayının toplamı 16'dır. İkinci sayının 1/3'ü birincinin 1/5'ine eşitse bu sayıları bulun.
2) İki sayının toplamı 38'dir. Birinci sayının 2/3'ü ikinci sayının 3/5'ine eşitse bu sayıları bulun.
539 *. 1) İki çocuk birlikte 100 mantar topladı. Birinci çocuğun topladığı mantar sayısının 3/8'i sayısal olarak ikinci çocuğun topladığı mantar sayısının 1/4'üne eşittir. Her çocuk kaç tane mantar topladı?
2) Kurumda 27 kişi istihdam edilmektedir. Erkeklerin 2/5'i kadınların 3/5'ine eşit olduğuna göre kaç erkek çalışıyor ve kaç kadın çalışıyor?
540 *. Üç oğlan bir voleybol topu satın aldı. İlk çocuğun katkısının 1/2'sinin ikincinin katkısının 1/3'üne veya üçüncünün katkısının 1/4'üne eşit olduğunu ve üçüncünün katkısının 1/4 olduğunu bilerek her çocuğun katkısını belirleyin. oğlan birincinin katkısından 64 kopek fazla.
541 *. 1) Bir sayı diğerinden 6 fazladır Bir sayının 2/5'i diğerinin 2/3'üne eşitse bu sayıları bulun.
2) İki sayının farkı 35'tir. Birinci sayının 1/3'ü ikinci sayının 3/4'üne eşitse bu sayıları bulunuz.
542. 1) Birinci takım bir işi 36 günde, ikinci takım ise 45 günde tamamlayabilir. Her iki ekip birlikte çalışarak bu işi kaç günde tamamlar?
2) Bir yolcu treni iki şehir arasındaki mesafeyi 10 saatte, yük treni ise bu mesafeyi 15 saatte kat etmektedir. Her iki tren de bu şehirlerden birbirine doğru aynı anda ayrıldı. Kaç saat sonra buluşacaklar?
543. 1) Bir hızlı tren iki şehir arasındaki mesafeyi 6 1/4 saatte, yolcu treni ise 7 1/2 saatte kat etmektedir. Bu trenler her iki şehirden aynı anda birbirlerine doğru yola çıkarsa kaç saat sonra buluşacak? (En yakın 1 saate kadar yuvarlak cevap.)
2) İki motosikletçi aynı anda iki şehirden birbirine doğru yola çıktı. Bir motosikletçi bu şehirler arasındaki mesafenin tamamını 6 saatte, bir diğeri ise 5 saatte kat edebiliyor. Motosikletçiler yola çıktıktan kaç saat sonra buluşacak? (En yakın 1 saate kadar yuvarlak cevap.)
544. 1) Farklı taşıma kapasitesine sahip üç araç, ayrı ayrı çalışarak bir miktar kargo taşıyabilir: birincisi 10 saatte, ikincisi 12 saatte. üçüncüsü ise 15 saatte aynı kargoyu birlikte çalışarak kaç saatte taşıyabilirler?
2) İki tren aynı anda iki istasyondan birbirine doğru ayrılıyor: ilk tren bu istasyonlar arasındaki mesafeyi 12 1/2 saatte, ikincisi ise 18 3/4 saatte kat ediyor. Trenler kalkıştan kaç saat sonra buluşacak?
545. 1) Küvete iki musluk bağlanır. Bunlardan biri sayesinde banyo 12 dakikada, diğeriyle ise 1 1/2 kat daha hızlı doldurulabiliyor. Her iki musluğu aynı anda açarsanız küvetin 5/6'sını kaç dakikada doldurursunuz?
2) İki daktilo metni yeniden yazmalıdır. İlk sürücü bu işi 3 1/3 günde, ikinci sürücü ise 1 1/2 kat daha hızlı tamamlayabilir. Her iki daktilo aynı anda çalışırlarsa işi kaç günde bitirirler?
546. 1) Havuz birinci boruyla 5 saatte dolar, ikinci boruyla 6 saatte boşaltılabilir.İki boru aynı anda açılırsa havuzun tamamı kaç saat sonra dolar?
Not. Havuz bir saatte (kapasitesinin 1/5 - 1/6'sı) kadar doldurulur.
2) İki traktör tarlayı 6 saatte sürdü. Tek başına çalışan birinci traktör bu tarlayı 15 saatte sürerken, tek başına çalışan ikinci traktör bu tarlayı kaç saatte sürer?
547 *. İki tren aynı anda iki istasyondan birbirine doğru hareket ediyor ve 18 saat sonra buluşuyor. serbest bırakılmasının ardından. İlk tren bu mesafeyi 1 gün 21 saatte kat ederse, ikinci trenin istasyonlar arasındaki mesafeyi kat etmesi ne kadar sürer?
548 *. Havuz iki boruyla doldurulmuştur. Önce birinci boruyu açtılar, sonra 3 3/4 saat sonra havuzun yarısı dolduğunda ikinci boruyu açtılar. 2 1/2 saat sonra işbirliği havuz doluydu. İkinci borudan saatte 200 kova su dökülürse havuzun kapasitesini belirleyiniz.
549. 1) Bir kurye treni Leningrad'dan Moskova'ya doğru yola çıkıyor ve 1 km'yi 3/4 dakikada kat ediyor. Bu trenin Moskova'dan ayrılmasından 1/2 saat sonra, hızı ekspres trenin hızının 3/4'üne eşit olan hızlı bir tren Moskova'dan Leningrad'a doğru yola çıktı. Moskova ile Leningrad arasındaki mesafe 650 km ise, kurye treni kalktıktan 2 1/2 saat sonra trenler birbirinden ne kadar uzakta olacak?
2) Kolektif çiftlikten şehre 24 km. Bir kamyon kollektif çiftlikten ayrılıyor ve 2 1/2 dakikada 1 km yol alıyor. 15 dakika sonra. Bu araba şehri terk ettikten sonra bir bisikletçi, kamyonun hızının yarısı kadar bir hızla kolektif çiftliğe doğru yola çıktı. Bisikletçi ayrıldıktan ne kadar süre sonra kamyonla buluşacak?
550. 1) Bir köyden bir yaya çıktı. Yaya ayrıldıktan 4 1/2 saat sonra, hızı yayanın hızının 2 1/2 katı olan bir bisikletçi aynı yöne doğru ilerledi. Yaya ayrıldıktan kaç saat sonra bisikletçi ona yetişir?
2) Hızlı tren 187 1/2 km'yi 3 saatte, yük treni ise 288 km'yi 6 saatte gider. Yük treni hareket ettikten 7 1/4 saat sonra aynı yöne ambulans hareket ediyor. Hızlı trenin yük trenine yetişmesi ne kadar sürer?
551. 1) Bölge merkezine giden yolun geçtiği iki kollektif çiftlikten iki kollektif çiftçi aynı anda at sırtında ilçeye doğru yola çıktı. Bunlardan ilki saatte 8 3/4 km hızla gitti, ikincisi ise birincisinden 1 1/7 kat daha fazlaydı. İkinci kolektif çiftçi, 3 4/5 saat sonra ilkine yetişti. Kolektif çiftlikler arasındaki mesafeyi belirleyin.
2) Ortalama hızı saatte 60 km olan Moskova-Vladivostok treninin kalkışından 26 1/3 saat sonra TU-104 uçağı aynı yönde, hızının 14 1/6 katı hızla havalandı. trenin. Uçak trene kalkıştan kaç saat sonra yetişir?
552. 1) Nehir boyunca şehirler arası mesafe 264 km'dir. Vapur bu mesafeyi 18 saatte kat etti ve bu sürenin 1/12'sini durarak geçirdi. Nehrin hızı saatte 1 1/2 km'dir. Bir buharlı geminin durgun suda hiç durmadan 87 km yol alması ne kadar sürer?
2) Bir motorlu tekne nehir boyunca 207 km'yi 13 1/2 saatte kat etti ve bu sürenin 1/9'unu duraklarda geçirdi. Nehrin hızı saatte 1 3/4 km'dir. Bu tekne durgun suda 2 1/2 saatte kaç kilometre yol alabilir?
553. Tekne, rezervuar boyunca 52 km'lik mesafeyi hiç durmadan 3 saat 15 dakikada kat etti. Ayrıca saatte 1 3/4 km hızla akıntıya karşı nehir boyunca ilerleyen bu tekne, eşit süreli 3 durak yaparak 2 1/4 saatte 28 1/2 km yol kat etti. Tekne her durakta kaç dakika bekledi?
554. Saat 12'de Leningrad'dan Kronstadt'a. Vapur öğleden sonra yola çıktı ve bu şehirler arasındaki mesafenin tamamını 1,5 saatte kat etti. Yolda, saat 12.18'de Kronstadt'tan Leningrad'a doğru yola çıkan başka bir gemiyle karşılaştı. ve ilkinin 1 1/4 katı hızda yürüyorum. İki gemi saat kaçta buluştu?
555. Trenin 14 saatte 630 kilometrelik yolu kat etmesi gerekiyordu. Bu mesafenin 2/3'ünü kat ederek 1 saat 10 dakika gözaltında tutuldu. Hedefine gecikmeden ulaşabilmek için yolculuğuna hangi hızla devam etmelidir?
556. Sabah 4:20'de. sabah bir yük treni Kiev'den Odessa'ya doğru yola çıktı. ortalama sürat Saatte 31 1/5 km. Bir süre sonra Odessa'dan, hızı bir yük treninin hızından 1 17/39 kat daha yüksek olan bir posta treni onunla buluşmak için çıktı ve kalkışından 6 1/2 saat sonra yük treniyle karşılaştı. Kiev ile Odessa arasındaki mesafe 663 km ise posta treni Odessa'dan saat kaçta ayrıldı?
557*. Saat öğleni gösteriyor. Akrep ve yelkovanın çakışması ne kadar sürer?
558. 1) Fabrikanın üç atölyesi var. İlk atölyedeki işçi sayısı fabrikadaki tüm işçilerin 9/20'sidir, ikinci atölyede birinciye göre 1 1/2 kat daha az işçi vardır ve üçüncü atölyede işçi sayısı 300 daha azdır. ikinci. Fabrikada kaç işçi var?
2) Şehirde üç ortaokul bulunmaktadır. İlk okuldaki öğrenci sayısı bu üç okuldaki tüm öğrencilerin 3/10'udur; ikinci okulda birinciye göre 1 1/2 kat daha fazla öğrenci var ve üçüncü okulda ikinciye göre 420 daha az öğrenci var. Toplamda kaç öğrenci var? üç okul?
559. 1) İki biçerdöver operatörü aynı bölgede çalışıyordu. Bir birleştirici tüm parselin 9/16'sını ve ikinci 3/8'ini hasat ettikten sonra, ilk birleştiricinin ikinciden 97 1/2 hektar daha fazla hasat yaptığı ortaya çıktı. Ortalama olarak hektar başına 32 1/2 kental tahıl harmanlanıyordu. Her bir operatör harmanı kaç santimetrelik tahılla harmanladı?
2) İki kardeş bir fotoğraf makinesi satın aldı. Birinde kamera maliyetinin 5/8'i, ikincisinde 4/7'si, ilkinde ise 2 ruble değerindeydi. 25 kopek ikincisinden daha fazla. Herkes cihazın maliyetinin yarısını ödedi. Herkesin ne kadar parası kaldı?
560. 1) Bir binek otomobil A şehrinden B şehrine doğru yola çıkıyor, aralarındaki mesafe 215 km ve saatte 50 km hızla gidiyor. Aynı anda bir kamyon B şehrinden A şehrine doğru yola çıktı. Kamyonun saatteki hızı binek otomobilin hızının 18/25'i ise, binek otomobil kamyonla karşılaşmadan önce kaç kilometre yol kat etmiştir?
2) A ve B şehirleri arası 210 km. Bir binek otomobil A şehrinden B şehrine doğru yola çıktı. Aynı anda bir kamyon B şehrinden A şehrine doğru yola çıktı. Binek otomobil saatte 48 km hızla gidiyorsa ve kamyonun saatteki hızı binek otomobilin hızının 3/4'ü ise kamyon binek otomobille karşılaşmadan önce kaç kilometre yol kat etmiştir?
561. Kolektif çiftlikte buğday ve çavdar hasadı yapılıyordu. Çavdar yerine 20 hektar daha fazla buğday ekildi. Toplam çavdar hasadı, hem buğday hem de çavdar için 1 hektar başına 20 kuruş verimle toplam buğday hasadının 5/6'sına tekabül ediyordu. Kollektif çiftlik, buğday ve çavdar hasadının tamamının 7/11'ini devlete satmış, geri kalan tahılı ise ihtiyaçlarını karşılamaya bırakmıştı. Devlete satılan ekmeği taşımak için iki tonluk kamyonların kaç sefer yapması gerekiyordu?
562. Fırına çavdar ve buğday unu getirildi. Buğday ununun ağırlığı çavdar ununun ağırlığının 3/5'i kadardı ve buğday unundan 4 ton daha fazla çavdar unu getirildi. Ne kadar buğday ve ne kadar Çavdar ekmeği Unlu mamuller toplam unun 2/5'ini oluşturuyorsa fırın bu undan mı pişirecek?
563. Üç gün içinde bir işçi ekibi, iki kollektif çiftlik arasındaki otoyolun onarımı çalışmalarının 3/4'ünü tamamladı. Bu otoyolun ilk gün 2 2/5 km'si, ikinci gün birinciye göre 1 1/2 kat daha fazla, üçüncü gün ise ilk iki günde toplam onarılanın 5/8'i onarıldı. Kollektif çiftlikler arasındaki otoyolun uzunluğunu bulun.
564. Doldurmak ücretsiz yerler S'nin dikdörtgenin alanı olduğu tabloda, A- dikdörtgenin tabanı, a H-dikdörtgenin yüksekliği (genişliği).
565. 1) Dikdörtgen şeklindeki bir arsanın uzunluğu 120 m, eni ise uzunluğunun 2/5'i kadardır. Sitenin çevresini ve alanını bulun.
2) Dikdörtgen kesitin genişliği 250 m, uzunluğu ise genişliğin 1 1/2 katıdır. Sitenin çevresini ve alanını bulun.
566. 1) Dikdörtgenin çevresi 6 1/2 inçtir, tabanı yüksekliğinden 1/4 inç daha büyüktür. Bu dikdörtgenin alanını bulun.
2) Dikdörtgenin çevresi 18 cm, yüksekliği tabandan 2 1/2 cm daha azdır. Dikdörtgenin alanını bulun.
567. Şekil 30'da gösterilen şekilleri dikdörtgenlere bölüp ölçü alarak dikdörtgenin boyutlarını bularak alanlarını hesaplayınız.
568. 1) Alçı levhanın boyutları 2 m x l 1/2 m ise, uzunluğu 4 1/2 m ve genişliği 4 m olan bir odanın tavanını kaplamak için kaç levha kuru sıva gerekecektir?
2) 4 1/2 m uzunluğunda ve 3 1/2 m genişliğinde bir zemini döşemek için 4 1/2 m uzunluğunda ve 1/4 m genişliğinde kaç tane tahtaya ihtiyaç vardır?
569. 1) 560 m uzunluğunda ve uzunluğunun 3/4'ü genişliğinde dikdörtgen bir parsele fasulye ekildi. 1 hektara 1 sent ekilirse arsaya ekmek için kaç tohum gerekliydi?
2) Dikdörtgen bir tarladan hektar başına 25 kental buğday hasadı toplandı. Tarlanın uzunluğu 800 m, genişliği ise uzunluğunun 3/8'i olduğuna göre tarlanın tamamından ne kadar buğday hasat edilmiştir?
570 . 1) 78 3/4 m uzunluğunda ve 56 4/5 m genişliğinde dikdörtgen bir arsa, alanının 4/5'i binalarla kaplanacak şekilde inşa edilmiştir. Binaların altındaki arazi alanını belirleyin.
2) Kolektif çiftlik, uzunluğu 9/20 km ve genişliği uzunluğunun 4/9'u olan dikdörtgen bir arsa üzerinde bir bahçe düzenlemeyi planlıyor. Her ağaç için ortalama 36 m2 alana ihtiyaç duyulursa bu bahçeye kaç ağaç dikilecektir?
571. 1) Odanın normal gün ışığıyla aydınlatılması için tüm pencerelerin alanının taban alanının en az 1/5'i olması gerekir. Uzunluğu 5 1/2 m ve genişliği 4 m olan bir odada yeterli ışık olup olmadığını belirleyin Odanın 1 1/2 m x 2 m ölçülerinde bir penceresi var mı?
2) Önceki problemin durumunu kullanarak sınıfınızda yeterli ışık olup olmadığını bulun.
572. 1) Ahırın boyutları 5 1/2 m x 4 1/2 m x 2 1/2 m'dir. Yüksekliğinin 3/4'ü kadar doldurulursa ve 1 cu cu ise bu ahıra (ağırlıkça) ne kadar saman sığar? . m samanın ağırlığı 82 kg mı?
2) Odun yığını, boyutları 2 1/2 m x 3 1/2 m x 1 1/2 m olan dikdörtgen paralel yüzlü bir şekle sahiptir. 1 kübik ise odun yığınının ağırlığı nedir? m yakacak odun 600 kg ağırlığında mı?
573. 1) Dikdörtgen şeklindeki bir akvaryum, yüksekliğinin 3/5'i kadar suyla doldurulur. Akvaryumun uzunluğu 1 1/2 m, genişliği 4/5 m, yüksekliği 3/4 m'dir Akvaryuma kaç litre su dökülür?
2) Dikdörtgen paralel boru şeklindeki bir havuz 6 1/2 m uzunluğunda, 4 m genişliğinde ve 2 m yüksekliğinde olup, havuz yüksekliğinin 3/4'üne kadar su ile doldurulmuştur. Havuza dökülen su miktarını hesaplayınız.
574. 75 m uzunluğunda ve 45 m genişliğinde dikdörtgen bir arazi parçasının etrafına çit yapılması gerekiyor. Tahtanın kalınlığı 2 1/2 cm ve çitin yüksekliği 2 1/4 m olması gerekiyorsa, yapımına kaç metreküp levha girmelidir?
575. 1) Yelkovan ile saat 13 konumundaki akrep arasındaki açı nedir? saat 15'te mi? saat 17'de mi? saat 21'de mi? 23:30'da mı?
2) Akrep 2 saatte kaç derece dönecektir? saat 5? 08:00? 30 dk.?
3) Yarım daireye eşit bir yay kaç derece içerir? 1/4 daire mi? Bir dairenin 1/24'ü mü? 5/24 daire mi?
576. 1) İletki kullanarak şunları çizin: a) dik açı; b) 30°'lik bir açı; c) 60°'lik bir açı; d) 150° açı; e) 55°'lik bir açı.
2) Bir açıölçer kullanarak şeklin açılarını ölçün ve her şeklin tüm açılarının toplamını bulun (Şek. 31).
577. Bu adımları takip et:
578. 1) Yarım daire, biri diğerinden 100° daha büyük olan iki yaya bölünmüştür. Her yayın boyutunu bulun.
2) Yarım daire, biri diğerinden 15° daha az olan iki yaya bölünmüştür. Her yayın boyutunu bulun.
3) Yarım daire, biri diğerinin iki katı büyüklüğünde iki yaya bölünmüştür. Her yayın boyutunu bulun.
4) Yarım daire, biri diğerinden 5 kat daha küçük olan iki yaya bölünmüştür. Her yayın boyutunu bulun.
579. 1) “SSCB'de Nüfus Okuryazarlığı” diyagramı (Şekil 32), nüfustaki yüz kişi başına okuryazar insan sayısını göstermektedir. Diyagramdaki verilere ve ölçeğe dayanarak, belirtilen yılların her biri için okuryazar kadın ve erkek sayısını belirleyin.
Sonuçları tabloya yazın:
2) “Uzaya Sovyet elçileri” (Şekil 33) şemasındaki verileri kullanarak görevler oluşturun.
580. 1) “Beşinci sınıf öğrencisi için günlük rutin” (Şekil 34) pasta grafiğine göre, tabloyu doldurun ve şu soruları yanıtlayın: Günün hangi kısmı uykuya ayrılıyor? ödev için? okula?
2) Günlük rutininiz hakkında bir pasta grafiği oluşturun.
