İrrasyonel denklemleri çözmek için algoritma. yöntem. Formüle göre küp

Eğer bir denklem karekök işaretinin altında bir değişken içeriyorsa bu denkleme irrasyonel denir.

Bazen gerçek bir durumun matematiksel modeli bir rasyonel denklem. Bu nedenle en azından en basit irrasyonel denklemleri çözmeyi öğrenmeliyiz.

İrrasyonel denklemi düşünün: 2 x + 1 = 3.

Dikkat etmek!

Bir denklemin her iki tarafının karesini alma yöntemi, irrasyonel denklemleri çözmenin ana yöntemidir.

Ancak bu anlaşılabilir bir durumdur: Karekök işaretinden başka nasıl kurtulabiliriz?

\(2x + 1 = 9\) denkleminden \(x = 4\) bulunur. Bu hem \(2x + 1 = 9\) denkleminin hem de verilen irrasyonel denklemin köküdür.

Kare alma yöntemi teknik olarak basittir ancak bazen sorunlara yol açar.

Örneğin irrasyonel denklem olan 2 x − 5 = 4 x − 7'yi düşünün.

Her iki tarafın karesini alırsak şunu elde ederiz:

2 x − 5 2 = 4x − 7 2 2 x − 5 = 4 x − 7

Ancak \(x = 1\) değeri, rasyonel denklemin kökü olmasına rağmen \(2x - 5 = 4x - 7\), verilen irrasyonel denklemin kökü değildir. Neden? Verilen irrasyonel denklemde \(x\) yerine \(1\) koyarsak − 3 = − 3 elde ederiz.

Sayısal bir eşitliğin sağında da solunda da anlamsız ifadeler varsa, bu eşitliğin gerçekleşmesinden nasıl söz edebiliriz?

Bu gibi durumlarda şöyle derler: \(x = 1\) - yabancı kök Belirli bir irrasyonel denklem için. Verilen irrasyonel denklemin kökleri olmadığı ortaya çıktı.

Yabancı kök sizin için yeni bir kavram değildir; rasyonel denklemleri çözerken yabancı köklerle zaten karşılaşılmıştır; doğrulama bunların tespit edilmesine yardımcı olur.

İrrasyonel denklemler için doğrulama, denklemin çözümünde zorunlu bir adımdır; bu, varsa yabancı köklerin tespit edilmesine ve bunların atılmasına yardımcı olacaktır (genellikle "ayıklama" derler).

Dikkat etmek!

Yani irrasyonel bir denklem her iki tarafın karesi alınarak çözülür; Ortaya çıkan rasyonel denklemi çözdükten sonra, olası yabancı kökleri kontrol etmek ve ayıklamak gerekir.

Bu sonucu kullanarak bir örneğe bakalım.

Örnek:

5 x − 16 = x − 2 denklemini çözün.

5 x − 16 = x − 2 denkleminin her iki tarafının karesini alalım: 5 x − 16 2 = x − 2 2 .

Dönüştürüyoruz ve şunu elde ediyoruz:

5 x - 16 = x 2 - 4 x 4; - x 2 9 x - 20 = 0; x 2 - 9 x 20 = 0; x1 = 5; x 2 = 4.

Muayene.\(x = 5\)'i 5 x − 16 = x − 2 denkleminde yerine koyarsak, 9 = 3 - doğru bir eşitlik elde ederiz. \(x = 4\)'ü 5 x − 16 = x − 2 denkleminde yerine koyarsak, 4 = 2 - doğru bir eşitlik elde ederiz. Bu, bulunan her iki değerin de 5 x − 16 = x − 2 denkleminin kökleri olduğu anlamına gelir.

Çeşitli denklemleri çözme konusunda zaten biraz deneyim kazandınız: doğrusal, ikinci dereceden, rasyonel, irrasyonel. Denklemleri çözerken çeşitli dönüşümlerin gerçekleştirildiğini biliyorsunuz, örneğin: denklemin bir üyesi denklemin bir kısmından diğerine zıt işaretle aktarılır; denklemin her iki tarafı da sıfır olmayan aynı sayıyla çarpılır veya bölünür; paydadan kurtulurlar, yani p x q x = 0 denklemini \(p(x)=0\) denklemiyle değiştirirler; Denklemin her iki tarafının karesi alınır.

Elbette, bazı dönüşümler sonucunda yabancı köklerin ortaya çıkabileceğini fark ettiniz ve bu nedenle dikkatli olmanız gerekiyordu: Bulunan tüm kökleri kontrol edin. Şimdi tüm bunları teorik açıdan anlamaya çalışacağız.

İki denklem \(f (x) = g(x)\) ve \(r(x) = s(x)\) aynı köklere sahiplerse (veya özellikle her iki denklemin de kökleri yoksa) eşdeğer olarak adlandırılır. ).

Genellikle bir denklemi çözerken, bu denklemi daha basit ama ona eşdeğer bir denklemle değiştirmeye çalışırlar. Böyle bir yer değiştirmeye denklemin eşdeğer dönüşümü denir.

Denklemin eşdeğer dönüşümleri aşağıdaki dönüşümlerdir:

1. Bir denklemin terimlerinin denklemin bir kısmından diğerine zıt işaretlerle aktarılması.

Örneğin, \(2x + 5 = 7x - 8\) denklemini \(2x - 7x = - 8 - 5\) denklemiyle değiştirmek, denklemin eşdeğer bir dönüşümüdür. Bu, \(2x + 5 = 7x -8\) ve \(2x - 7x = -8 - 5\) denklemlerinin eşdeğer olduğu anlamına gelir.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Cebir çalışırken okul çocukları birçok denklem türüyle karşı karşıya kalır. En basitleri arasında bir bilinmeyen içeren doğrusal olanlardır. Matematiksel ifadedeki bir değişken belirli bir güce yükseltilirse denklem ikinci dereceden, kübik, iki ikinci dereceden vb. olarak adlandırılır. Bu ifadeler rasyonel sayılar içerebilir. Ancak irrasyonel denklemler de var. Bilinmeyenlerin radikal işaretin altında olduğu bir fonksiyonun varlığıyla diğerlerinden farklıdırlar (yani, tamamen harici olarak buradaki değişken, karekök altında yazılmış olarak görülebilir). İrrasyonel denklemleri çözmenin kendine has bir yöntemi vardır. özellikler. Doğru cevabı elde etmek için bir değişkenin değeri hesaplanırken bunların dikkate alınması gerekir.

"Kelimelerle Anlatılamaz"

Eski matematikçilerin esas olarak işledikleri bir sır değil rasyonel sayılar. Bunlar, bilindiği gibi, belirli bir topluluğun temsilcileri olan sıradan ve ondalık periyodik kesirler aracılığıyla ifade edilen tam sayıları içerir. Ancak Orta ve Yakın Doğu'nun yanı sıra Hindistan'ın trigonometri, astronomi ve cebir geliştiren bilim adamları da irrasyonel denklemleri çözmeyi öğrendiler. Örneğin Yunanlılar benzer nicelikleri biliyorlardı ama bunları sözel hale getirerek “ifade edilemeyen” anlamına gelen “alogos” kavramını kullanmışlardı. Bir süre sonra Avrupalılar onları taklit ederek bu sayıları “sağır” olarak adlandırdılar. Yalnızca sonsuz, periyodik olmayan bir kesir biçiminde temsil edilebilmeleri bakımından diğerlerinden farklıdırlar; bunun nihai sayısal ifadesinin elde edilmesi kesinlikle imkansızdır. Bu nedenle, daha sık olarak sayılar krallığının bu tür temsilcileri, ikinci veya daha yüksek derecenin kökü altında bulunan bir tür ifade olarak sayılar ve işaretler şeklinde yazılır.

Yukarıdakilere dayanarak irrasyonel bir denklem tanımlamaya çalışalım. Bu tür ifadeler, karekök işareti kullanılarak yazılan "ifade edilemeyen sayılar" olarak adlandırılanları içerir. Her türden oldukça karmaşık seçenekler olabilirler, ancak en basit halleriyle aşağıdaki fotoğraftakine benzerler.

İrrasyonel denklemleri çözmeye başladığınızda öncelikle alanı hesaplamanız gerekir. kabul edilebilir değerler değişken.

İfade anlamlı mı?

Elde edilen değerlerin kontrol edilmesi ihtiyacı özelliklerden kaynaklanmaktadır.Bilindiği gibi böyle bir ifade ancak belirli koşullar altında kabul edilebilir ve bir anlam taşıyabilir. Çift dereceli kökler durumunda, tüm radikal ifadeler pozitif veya sıfıra eşit olmalıdır. Bu koşul karşılanmazsa sunulan matematiksel gösterim anlamlı kabul edilemez.

İrrasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğine dair özel bir örnek verelim (aşağıdaki resimde).

Bu durumda istenilen değerin kabul ettiği herhangi bir değer için belirtilen koşulların sağlanamayacağı açıktır, çünkü 11 ≤ x ≤ 4 ortaya çıkmaktadır. Bu da yalnızca Ø'nin çözüm olabileceği anlamına gelmektedir.

Analiz yöntemi

Yukarıdakilerden bazı irrasyonel denklem türlerinin nasıl çözüleceği açıkça ortaya çıkıyor. Burada basit bir analiz etkili bir yol olabilir.

Bunu yine net bir şekilde ortaya koyacak birkaç örnek verelim (aşağıdaki resim).

Birinci durumda, ifade dikkatle incelendiğinde bunun doğru olamayacağı son derece açık bir şekilde ortaya çıkar. Aslında eşitliğin sol tarafında şunu elde etmeliyiz: pozitif sayı, muhtemelen -1'e eşit olamaz.

İkinci durumda iki pozitif ifadenin toplamı düşünülebilir. sıfıra eşit, yalnızca x - 3 = 0 ve x + 3 = 0 aynı anda olduğunda. Ve bu yine imkansızdır. Bu da cevabın yine Ø yazılması gerektiği anlamına geliyor.

Üçüncü örnek daha önce tartışılana çok benzer. Aslında burada ODZ'nin koşulları şu saçma eşitsizliğin sağlanmasını gerektirir: 5 ≤ x ≤ 2. Ve böyle bir denklemin de aynı şekilde mantıklı çözümleri olamaz.

Sınırsız yakınlaştırma

İrrasyonelliğin doğası en açık ve tam olarak ancak sonsuz bir sayı dizisi aracılığıyla açıklanabilir ve bilinebilir. ondalık. Ve spesifik, parlak bir örnek bu ailenin üyelerinden biri πi'dir. Bu matematiksel sabitin eski çağlardan beri bilinmesi, bir dairenin çevresinin ve alanının hesaplanmasında kullanılması sebepsiz değildir. Ancak Avrupalılar arasında ilk kez İngiliz William Jones ve İsviçreli Leonard Euler tarafından uygulamaya konuldu.

Bu sabit şu şekilde ortaya çıkar. Farklı çevrelerdeki daireleri karşılaştırırsak, uzunluklarının ve çaplarının oranının mutlaka aynı sayıya eşit olması gerekir. Bu pi'dir. aracılığıyla ifade edersek ortak kesir, o zaman yaklaşık 7/22 elde ederiz. Bu ilk olarak yukarıdaki şekilde portresi gösterilen büyük Arşimet tarafından yapılmıştır. Bu yüzden benzer numara ismini aldı. Ancak bu açık bir değer değil, belki de sayıların en şaşırtıcısının yaklaşık değeridir. Parlak bir bilim adamı istenen değeri 0,02 doğrulukla buldu, ancak aslında bu sabitin gerçek bir anlamı yok ve şu şekilde ifade ediliyor: 3.1415926535... Bu, bazı efsanevi değere sonsuza kadar yaklaşan sonsuz bir sayı dizisidir.

Kare alma

Ama irrasyonel denklemlere dönelim. Bilinmeyeni bulmak için bu durumda sıklıkla başvuruyorlar. basit yöntem: mevcut eşitliğin her iki tarafının karesini alın. Bu yöntem genellikle verir iyi sonuçlar. Ancak irrasyonel miktarların sinsiliği dikkate alınmalıdır. Bunun sonucunda elde edilen tüm köklerin uygun olmayabileceği için kontrol edilmesi gerekir.

Ancak örneklere bakmaya devam edelim ve yeni önerilen yöntemi kullanarak değişkenleri bulmaya çalışalım.

Vieta teoremini kullanarak, belirli işlemler sonucunda istenilen miktar değerlerini bulmak hiç de zor değil. ikinci dereceden denklem. Burada kökler arasında 2 ve -19 olacağı ortaya çıkıyor. Ancak kontrol ederken, ortaya çıkan değerleri orijinal ifadeye yerleştirirken, bu köklerin hiçbirinin uygun olmadığından emin olabilirsiniz. Bu irrasyonel denklemlerde sık karşılaşılan bir durumdur. Bu, ikilemimizin yine hiçbir çözümü olmadığı ve cevabın boş bir kümeyi göstermesi gerektiği anlamına gelir.

Daha karmaşık örnekler

Bazı durumlarda bir ifadenin her iki tarafının karesini bir kez değil birkaç kez almak gerekir. Bunun gerekli olduğu örneklere bakalım. Aşağıda görülebilirler.

Kökleri aldıktan sonra onları kontrol etmeyi unutmayın çünkü fazladan olanlar görünebilir. Bunun neden mümkün olduğu açıklanmalıdır. Bu yöntemi uygularken denklem bir miktar rasyonelleştirilir. Ama sevmediğimiz, üretmemize engel olan köklerden kurtulmak Aritmetik işlemler, (anlaşılabileceği gibi) sonuçlarla dolu olan mevcut değer aralığını genişletiyor gibiyiz. Bunu öngörerek bir kontrol yapıyoruz. Bu durumda köklerden yalnızca birinin uygun olduğundan emin olma şansı vardır: x = 0.

Sistemler

İrrasyonel denklem sistemlerini çözmemiz gerektiği ve elimizde bir değil iki bilinmeyenin olduğu durumlarda ne yapmalıyız? Burada sıradan durumlarda olduğu gibi hareket ediyoruz ancak bu matematiksel ifadelerin yukarıdaki özelliklerini dikkate alıyoruz. Ve her yeni görevde elbette yaratıcı bir yaklaşım kullanmalısınız. Ama yine de her şeyi düşünmek daha iyidir spesifik örnek aşağıda sunulmuştur. Burada sadece x ve y değişkenlerini bulmanız değil, aynı zamanda cevapta bunların toplamını da belirtmeniz gerekir. Yani irrasyonel miktarları içeren bir sistem var (aşağıdaki fotoğrafa bakın).

Gördüğünüz gibi böyle bir görev doğaüstü derecede zor bir şeyi temsil etmiyor. Sadece akıllı olmanız ve ilk denklemin sol tarafının toplamın karesi olduğunu tahmin etmeniz gerekiyor. Benzer görevler Birleşik Devlet Sınavında da bulunur.

Matematikte irrasyonellik

Bazı denklemleri çözmek için yeterli “alan” bulunmayan insanlık arasında her defasında yeni sayı türleri yaratma ihtiyacı ortaya çıktı. İrrasyonel sayılar bir istisna değildir. Tarihin gerçeklerinin de gösterdiği gibi, büyük bilgeler buna ilk kez çağımızdan önce, 7. yüzyılda dikkat çekmişlerdir. Bu, Hindistan'dan Manava olarak bilinen bir matematikçi tarafından yapıldı. Bazılarının bunu açıkça anladı doğal sayılar kökü çıkarmak imkansızdır. Örneğin bunlar arasında 2; 17 veya 61 ve diğerleri.

Hippasus adlı bir düşünür olan Pisagorculardan biri, hesaplamaya çalışarak aynı sonuca vardı. sayısal ifadeler pentagramın kenarları. Sayısal değerlerle ifade edilemeyen ve sıradan sayıların özelliklerine sahip olmayan matematiksel unsurları keşfederek meslektaşlarını o kadar kızdırdı ki, gemiden denize atıldı. Gerçek şu ki, diğer Pisagorcular onun akıl yürütmesini evrenin yasalarına karşı bir isyan olarak görüyorlardı.

Radikalin İşareti: Evrim

Çözerken “sağır” sayıların sayısal değerini ifade eden kök işareti kullanılmaya başlandı irrasyonel eşitsizlikler ve denklemler hemen mevcut değildir. Avrupalı, özellikle de İtalyan matematikçiler radikal hakkında ilk kez 13. yüzyılda düşünmeye başladılar. Aynı zamanda, Latin R'yi atama için kullanma fikri ortaya çıktı, ancak Alman matematikçiler çalışmalarında farklı davrandılar. V harfini daha çok sevdiler.Almanya'da, 2, 3 vb.'nin karekökünü ifade etmesi amaçlanan V(2), V(3) tanımı kısa sürede yayıldı. Daha sonra Hollandalılar müdahale ederek radikalin burcunu değiştirdi. Ve Rene Descartes, karekök işaretini modern mükemmelliğe taşıyarak evrimi tamamladı.

Mantıksız olandan kurtulmak

İrrasyonel denklemler ve eşitsizlikler yalnızca karekök işaretinin altında bir değişken içeremez. Herhangi bir derecede olabilir. Bundan kurtulmanın en yaygın yolu denklemin her iki tarafını da uygun kuvvete yükseltmektir. Bu, irrasyonel operasyonlarda yardımcı olan ana eylemdir. Çift sayılı durumlardaki eylemler daha önce tartıştığımız eylemlerden özellikle farklı değildir. Burada radikal ifadenin negatif olmama koşulları dikkate alınmalı ve çözümün sonunda, daha önce ele alınan örneklerde gösterildiği gibi değişkenlerin yabancı değerlerinin filtrelenmesi gerekir. .

Doğru cevabı bulmaya yardımcı olan ek dönüşümler arasında sıklıkla ifadenin eşleniğiyle çarpılması kullanılır ve ayrıca çözümü kolaylaştıran yeni bir değişkenin tanıtılması da sıklıkla gerekli olur. Bazı durumlarda bilinmeyenlerin değerini bulmak için grafiklerin kullanılması tavsiye edilir.

Kök işareti altında bilinmeyen bir miktar içeren denklemlere irrasyonel denir. Bunlar örneğin denklemlerdir.

Çoğu durumda, denklemin her iki tarafının üstel alınmasını bir kez veya tekrar tekrar uygulayarak, irrasyonel bir denklemi şu veya bu derecede bir cebirsel denkleme (orijinal denklemin bir sonucudur) indirgemek mümkündür. Bir denklemi bir kuvvete yükseltirken, yabancı çözümler ortaya çıkabileceğinden, o zaman çözüldükten sonra cebirsel denklem Bu irrasyonel denklemi indirgediğimiz için, bulunan kökler orijinal denklemde değiştirilerek kontrol edilmeli ve yalnızca onu karşılayanlar korunmalı ve geri kalanlar - yabancı olanlar - atılmalıdır.

İrrasyonel denklemleri çözerken kendimizi yalnızca onların gerçek kökleriyle sınırlandırırız; Denklemlerin yazımında çift dereceli tüm kökler aritmetik anlamda anlaşılır.

İrrasyonel denklemlerin bazı tipik örneklerine bakalım.

A. Karekök işareti altında bilinmeyen içeren denklemler. Belirli bir denklem, işareti altında bilinmeyenin bulunduğu yalnızca bir karekök içeriyorsa, bu kök izole edilmeli, yani denklemin bir kısmına yerleştirilmeli ve diğer tüm terimler başka bir kısma aktarılmalıdır. Denklemin her iki tarafının karesini aldıktan sonra irrasyonellikten kurtulacağız ve cebirsel bir denklem elde edeceğiz.

Örnek 1. Denklemi çözün.

Çözüm. Denklemin sol tarafındaki kökü yalnız bırakıyoruz;

Ortaya çıkan eşitliğin karesini alıyoruz:

Bu denklemin köklerini buluyoruz:

Kontrol, yalnızca orijinal denklemi karşıladığını gösterir.

Denklem x içeren iki veya daha fazla kök içeriyorsa, kare almanın birkaç kez tekrarlanması gerekir.

Örnek 2. Aşağıdaki denklemleri çözün:

Çözüm, a) Denklemin her iki tarafının karesini alırız:

Kökü izole ediyoruz:

Ortaya çıkan denklemin karesini tekrar alırız:

Dönüşümlerden sonra aşağıdaki ikinci dereceden denklemi elde ederiz:

hadi çözelim:

Orijinal denklemi yerine koyarak onun bir kökü olduğuna ancak bunun ona yabancı bir kök olduğuna ikna oluyoruz.

b) Örnek, örnek a) ile aynı yöntem kullanılarak çözülebilir. Ancak bu denklemin sağ tarafında bilinmeyen bir miktar bulunmadığından yararlanarak farklı davranacağız. Denklemi sol tarafındaki eşlenik ifadeyle çarpalım; aldık

Sağda toplam ile farkın çarpımı yani kareler farkı var. Buradan

Bu denklemin sol tarafında toplam vardı Karekök; Şimdi elde edilen denklemin sol tarafında aynı köklerin farkı var. Bunu ve ortaya çıkan denklemleri yazalım:

Bu denklemlerin toplamını alırsak,

Son denklemin karesini alalım ve basitleştirmelerden sonra şunu elde edelim

Buradan buluyoruz. Kontrol ederek bu denklemin kökünün sadece sayı olduğuna ikna olduk. Örnek 3: Denklemi çözün

Burada zaten kök işaretinin altında kare üç terimlilerimiz var.

Çözüm. Denklemi sol tarafındaki eşlenik ifadeyle çarpıyoruz:

Son denklemi bundan çıkarın:

Bu denklemin karesini alalım:

Bulduğumuz son denklemden. Kontrol ederek bu denklemin kökünün yalnızca x = 1 sayısı olduğuna ikna olduk.

B. Üçüncü dereceden kökleri içeren denklemler. İrrasyonel denklem sistemleri. Kendimizi bu tür denklem ve sistemlerin bireysel örnekleriyle sınırlayalım.

Örnek 4: Denklemi çözün

Çözüm. Denklemi (70.1) çözmenin iki yolunu göstereceğiz. İlk yol. Bu denklemin her iki tarafının küpünü alalım (bkz. formül (20.8)):

(burada tutarı değiştirdik kübik kökler 4 numara, denklemi kullanarak).

Böylece sahibiz

yani basitleştirmelerden sonra,

dolayısıyla her iki kök de orijinal denklemi karşılar.

İkinci yol. Hadi koyalım

Denklem (70.1) şeklinde yazılacaktır. Üstelik şu da açık. Denklem (70.1)'den sisteme geçtik

Sistem terimindeki ilk denklemi terime göre ikinciye bölerek şunu buluruz: